MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ THƯỜNG GẶP TRONG CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI

Hiện nay, trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi Toán cấp tỉnh, đề thi Olympic,đề thi quốc gia luôn xuất hiện bài toán tìm giới hạn của một dãy số. Đây là mộtdạng bài toán khó, đòi hỏi nhiều kĩ thuật, là câu hỏi phân loại học sinh giỏi. Vớimong muốn nâng cao chất lượng giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi các cấp, cungcấp cho các em học sinh, đặc biệt là các em học sinh giỏi toán và yêu thích toán cóthêm một tài liệu tham khảo về kĩ thuật tìm giới hạn của dãy số, tôi nghiên cứu vàviết tài liệu: “Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số thường gặp trong cáckỳ thi chọn học sinh giỏi”

Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số thường gặp kỳ thi chọn HSG SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐĂKNÔNG TRƯỜNG THPT ĐAKMIL ****** BÀI BÁO CÁO MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ THƯỜNG GẶP TRONG CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI   Người thực hiện: Đặng Thị Thu Sương ĐăkNông – 09/2015 Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số thường gặp kỳ thi chọn HSG LỜI NÓI ĐẦU: Hiện nay, kỳ thi chọn học sinh giỏi Toán cấp tỉnh, đề thi Olympic, đề thi quốc gia ln xuất tốn tìm giới hạn dãy số Đây dạng toán khó, đòi hỏi nhiều kĩ thuật, câu hỏi phân loại học sinh giỏi Với mong muốn nâng cao chất lượng giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi cấp, cung cấp cho em học sinh, đặc biệt em học sinh giỏi tốn u thích tốn có thêm tài liệu tham khảo kĩ thuật tìm giới hạn dãy số, tơi nghiên cứu viết tài liệu: “Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số thường gặp kỳ thi chọn học sinh giỏi” PHẦN NỘI DUNG 2.1 Kiến thức sở: Định nghĩa Ta nói dãy số  un  có giới hạn số thực a hữu hạn số dương  (có thể bé tùy ý), tồn số no    n0 phụ thuộc vào  vào dãy số  un  xét), cho với số n  , n  n0 ta un  a lim un  a nói dãy số có un  a   kí hiệu nlim   un  hội tụ a Dãy số không hội tụ gọi dãy phân kỳ Định lý Nếu dãy số hội tụ giới hạn tức là: Giả sử un  lim un 1 dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn xlim  x  Định lý (Tiêu chuẩn hội tụ Weierstrass) a) Một dãy số đơn điệu bị chặn hội tụ b) Một dãy số tăng bị chặn hội tụ c) Một dãy số giảm bị chặn hội tụ  Nếu dãy số  un  thỏa mãn điều kiện un  M , n tồn giới hạn lim un lim un  M; dãy số  un  thỏa mãn điều kiện un  m, n tồn giới hạn lim un lim un  m Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số thường gặp kỳ thi chọn HSG Định lý Nếu  un   a    un  ,    C    a Định lý ( Định lý kẹp giới hạn ) Nếu với n  n0 ta có un  xn  limu n  limvn  a limx n  a Định lý ( Định lý Lagrange) Nếu hàm số y  f  x  liên tục đoạn [a;b] có đạo hàm khoảng (a;b) tồn c   a; b  thỏa mãn: f  b   f  a   f ,  c b  a  2.2 Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số: Phương pháp 1: Xác định CTTQ dãy tính giới hạn dãy số Phương pháp : Tính giới hạn dãy số cách sử dụng tính đơn điệu bị chặn dãy Phương pháp 3: Tính giới hạn dãy số cách sử dụng nguyên lý kẹp giới hạn Phương pháp 4: Tính giới hạn dãy số cách sử dụng tính chất hàm số 2.2.1 Phương pháp 1: Xác định CTTQ dãy tính giới hạn dãy số *Loại 1: Dự đoán CTTQ chứng minh quy nạp Phương pháp chung: Từ vài trường hợp ban đầu, dự đốn cơng thức số hạng tổng quát chứng minh quy nạp Sau sử dụng giới hạn un biết để tìm nlim  Vận dụng lượng giác vào việc tìm CTTQ cho dãy số: u  Bài : Cho dãy số  un  xác định  un 1   un ,  ta có u1    n  Tính limun     2cos ; u2    2(1  cos )  2cos 2  u3   u2   cos 23  cos  24 Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số thường gặp kỳ thi chọn HSG Từ ta dự đốn công thức tổng quát : un  cos  2n 1 ; n  1, 2, Ta chứng minh un  công thức quy nạp Cuối ta được: xlim  Bình luận: + Dấu hiệu làm cho ta nghĩ đến việc sử dụng lượng giác chỗ u1   2   cos Bài 2: (Đề thi học sinh giỏi lớp 12 Long An năm 2012) Cho dãy số  un  xác định sau : u1   un    un 1    u n   a) Chứng minh : tan    n  1, n  N    b) Tính: u2015 Giải:    tan          tan  tan     a)  tan  tan     8  8   tan   tan      8 tan  Đặt u1   tan a, ta có : tan a  tan    tan(a  )  tan  8  tan(a   ) u2   tan(a  ), u3     8  tan a.tan  tan tan(a  ) 8  Dự đoán un  tan(a  (n  1) ), n  1, n  N (chứng minh quy nạp)  b Cho n  2015 , ta có u2015  tan(a  2014 )  tan(a   1  tan(a  )   (  1)2  tan 1 *Loại 2: Sử dụng phương pháp hàm lặp 3 3  251 )  tan( a  )  4 Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số thường gặp kỳ thi chọn HSG Để tìm SHQT dãy số  un  phương pháp hàm lặp ta thường tìm hàm số f ( x) h( x) cho f (un )  h( f (un1 )) Sử dụng liên tiếp đẳng thức ta được: f (un )  h( f (un1 ))  h(h( f (un2 )))  h2 ( f (un  2))   hn ( f (u0 )) Hàm số f gọi hàm phụ, hàm số h gọi hàm lặp Bài 3: Cho dãy số (un ) : u1  , u n 1 ? x  u n  7un  , n  1, Tìm lim Giải: Ta có un 1   7un    7(un  ) 6 6 Vậy : un   7(un1  )  (un 2  )   n1 (u1  )  n1 Do đó: un  17 17 n 1  Suy lim  x  u 6 n Bình luận: Trong lời giải trên, quan trọng cách xét hiệu un 1  số tìm sau: un1  k  7un   k  7(un  k )  6k  Cần chọn k cho 6k 1  nên k  1 Nói cách khác số điểm bất động hàm f 6 Bài 4: Cho dãy số un  : u1  , un1  (un    2un ), n  1, Tìm limu n? Giải: Theo giả thiết un  với n và: 9un1  un    2un  18un1  2un    2un  18un1   2un    2un  16  9(2un1  1)  (  2un  4)  2un1    2un  Đặt  2un  1 3 Khi : v1  3vn1   hay 1    1   (vn  2) Như vậy: 1 1   (vn 1  2)  (vn   2)   n 1 (v1  2)  n 1 Do  n 1  Suy 3 3 vn2  1 un     ( n 1  2)2 Cuối ta : limu n  2 2 *Loại 3: Sử dụng tính chất dãy số đặc biệt CSC, CSN: Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số thường gặp kỳ thi chọn HSG Bài 5: Cho dãy số  un  u1  10 xác định sau  un 1  un  3, n  a) CMR dãy số   xác định  un  15 cấp số nhân b) Tính limu n Giải: a) Ta có   CSN  vn1  q.vn  q  const  , q  0,  n  Thật vậy, ta có 1  un 1  15 15 15  un    (vn  )   , nên   CSN có cơng bội 5 4 25   25 q  v1  Do  v1.q n 1    4 5 15 1 b) Từ câu a) suy un      4 5 n 3  n 1 1    5 n 3 15 15 Do limu n  4 Bình luận 1.Vì lại nghĩ phép đổi biến  un  15 để dãy   SCN ? 5 Ta thấy un 1  un  3, ta cần tìm số b cho un1  b  (un  b) 1 15  un 1  b  b  un  un   b  5 Do vậy, đặt  un  15 1  , n  nên   SCN Ngồi ra, đặt  5n.u n , n  1, ta có vn1   3.5n1 , n  v 15 15 5n  35 1 Suy  (5n  1)  35  u n  nn  n  n    5 45 n 3  15 Bài 6: (Bài 4.73 trang 148 sách tập ĐS GT 11NC,NXBGD 2007) Cho dãy số  un  u1  xác định  un  un 1  u  , n  n  a) CMR un  4, n  Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số thường gặp kỳ thi chọn HSG b) CMR dãy   với  un  SCN Tính lim un un  Giải: a) Ta chứng minh quy nạp un  4, n  Khi n  ta có u1   4 Giả sử uk  4, k  1, ta chứng minh uk 1  4 Thật vậy, giả sử ngược lại uk 1  4, uk   4  uk   4uk  24  uk  4, trái với giả thuyết quy nạp Vậy uk  un  4, n  b) Từ câu a) suy xác định với n  un  1 un 1  un  2(un  1)    , n Vậy (vn ) SCN lùi Ta có 1  un 1  un   5(un  4) un  vô hạn với công bội q  2 Suy    5 n n n 2 2       Nên un    n Do lim un  lim   n  1 2 2 1   1   5 5 *Loại 4: Dùng phép biến đổi để tìm SHQT dãy số Bài 7: (Đề thi học sinh giỏi lớp 11 Hà Tĩnh 2013) Cho dãy số  an   a1  n  1, n  N thỏa mãn  2 (n  2) a  n a  (n  1)a a n n 1 n n 1  Tìm lim an Giải: Dễ thấy an  0, n  N  Từ giả thiết ta có Với n  N  , đặt yn  1  ta có y1  an (n  2) n   (n  1) an 1 an Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số thường gặp kỳ thi chọn HSG 1 1 n2  2 2 (n  2)  yn1    n  yn     n  1  (n  2) yn1  n yn  yn 1  yn 4 4 (n  2)2   n 1   n     4n (n  1) y   a  Do yn   n      (n  1) n 16  n (n  1)  n    n 1    2 Vậy lim an  Như xác định CTTQ dãy số tốn trở nên quen thuộc tính giới hạn dãy số cách dễ dàng dựa vào định lý giới hạn học chương trình sách giáo khoa 2.2.2 Phương pháp 2: Tính giới hạn dãy số cách sử dụng tính đơn điệu bị chặn Bài 8: (Đề thi HSG lớp 11 Quảng Bình năm học 2014-2015) u1  Cho dãy số :  un2015  un  u   n 1 u 2014  u  n n  (n  N  ) a) Chứng minh un  1, n  N   un  dãy số tăng n b) Tìm lim  i 1 2014 i u  Giải: a) Ta có u1  Giả sử u1  Ta chứng minh uk 1  Thật : uk 1   uk2015  uk  uk2015  uk2014  2uk  (uk  1)(uk2014  2)    0 uk2014  uk  uk2014  uk  uk2014  uk  Ta có: un1  un  un2015  un  (un  1)2  u   Vậy dãy số tăng n un2014  un  un2014  un  b) Ta có: un 1 u 1  u 2014 n 2014 n   (un  1)   (un  1)  un 1   1 1  2014  2014   un 1 un  un  un  un 1  Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số thường gặp kỳ thi chọn HSG n Suy ra: u i 1 2014 i 2  1 Dãy số un tăng Giả sử lim un  a (hữu   1 u1  un1  un1  hạn), ta có a  Suy ra: a  Do : lim un    lim a 2015  a  (a  1)    a  ( vô lý) a 2014  a  a 2014  a  un 1  n  Vậy lim  i 1 2014 i u 2 1 Bình luận: Ta sử dụng định nghĩa để chứng minh dãy số tăng phương pháp phản chứng để chứng minh dãy số  un  không bị chặn Bài 9: (Đề thi HSG lớp 12 tỉnh Quảng Ngãi năm học 2010-2011) u  2010 Cho dãy số  un  xác định  12 un  2un un 1  2011  0, n  Chứng minh dãy  un  có giới hạn tính giới hạn Giải Trước hết ta nhận xét un  0, với n Thật vậy, ta có u1  2010  Giả sử u k  0, k  1, ta chứng minh uk 1  Từ hệ thức truy hồi suy 2uk uk 1  uk2  2011   uk 1  Do ta có un1  uk2  2011 0 2uk un2  2011 2011  (u n  ) Theo bất đẳng thức Cosi, ta có 2un un un2  2011 2011 un1   un g  2011, n  2un un Mặt khác ta có un 1 un2  2011 2011 1      1 un 2un2 2un2 2 (vì un  2011, n   2011 2011   ) 2un2 2.2011 Nên  un  dãy số giảm bị chặn 2011 , dãy  un  có giới hạn hữu hạn Giả sử lim un  a,  a  2010 un2  2011 un2  2011 a  2011  lim un 1  lim a ta có un1  2un 2un 2a Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số thường gặp kỳ thi chọn HSG  a  2011  a  2011 lim un  2011 2.2.3 Phương Pháp 3: Tính giới hạn dãy số cách sử dụng nguyên lý kẹp giới hạn Bài 10: (Đề thi Olympic tốn sinh viên tồn quốc năm 2003) Cho dãy số  xn  xác định bởi: xk  k     , k  1, 2, 2! 3! 4! (k  1)! n Tính lim n x1n  x2n   x2003 x  Giải: Vì xk 1  xk  Ta có xk  k 1  nên  x1  x2   x2002  x2003 p (k  2)! k (k  1)  1    Do : (k  1)! (k  1)! k ! (k  1)! k 1 1 1     (  )  (  )   (  )  1 2! 3! (k  1)! 1! 2! 2! 3! k ! (k  1)! ( k  1)! n  x1n  x n2   x n2013  2003.x n2003 Ta có: x2013 n  2003 n x2003 Vậy: Suy x2003  n x1n  x2n   x2003 1 1  n x1n  x2n   x n2003  2003 n (1  ) Vì 2004! 2004! lim (1  n  lim n  n 1 1 )  lim 2003 n (1  )  1 nên theo nguyên lý kẹp suy n  2004! 2004! 2004! n x1n  x2n   x2013  1 2014! Bài 11: (Đề thi Olympic vòng thi cấp tỉnh năm 2015) Cho un  1.3.5 (2n  1) Tìm lim un ? x  2.4.6  2n  Ta có :  u  n  un2  12.32.52 (2n  1)2 22.42.62  2n   12.32.52  2n  1 (22  1)(42  1)(62  1) ((2n)  1) 12.3252 (2n  1)2  , n  1, Do đó: 1.3.3.5.5.7.7 (2n  1)(2n  1) 2n  10 suy Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số thường gặp kỳ thi chọn HSG  un  , n  1, 2, Theo nguyên lý giới hạn kẹp lim un  x  2n  2.2.4 Phương pháp 4: Tính giới hạn dãy số cách sử dụng tính chất hàm số Dạng tốn : Cho phương trình với tham số ngun dương n : f n (x)  a) Chứng minh với n  no phương trình có nghiệm D, ký hiệu nghiệm xn b) xn Chứng minh dãy số  xn  có giới hạn hữu hạn tính xlim  Phương pháp:  Để chứng minh phương trình có nghiệm D ta sử dụng tính liên tục định lý liên quan như: định lý giá trị trung gian hàm số liên tục, đạo hàm ứng dụng đạo hàm, sử dụng định lý Lagrange…  Để giải câu b, ta sử dụng tính đơn điệu f n  x  , sử dụng định lý Lagrange… Bài 12: (Đề thi học sinh giỏi quốc gia năm 2001-2002) Cho phương trình 1 1        2x x 1 x  xk x  n2 a) Chứng minh với số ngun dương n, phương trình có nghiệm khoảng (0;1) ký hiệu nghiệm xn b) Chứng minh dãy số  xn  có giới hạn n   Giải: a) Với n=1,2,3,…ta xét hàm số: fn  x   1 1       Dễ thấy với n, hàm số f n  x  2x x 1 x  xk x n2 Liên tục nghịch biến khoảng (0;1) Hơn nữa: lim f n ( x)  ; lim f n ( x)   Suy với n phương trình có x  0 x 1 nghiệm xn  (0;1) 11 Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số thường gặp kỳ thi chọn HSG b) Với n  N  ta có : f n 1 ( x n )  ( 1 1 1       ) mà 2 xn xn  xn  xn  k xn  n xn  (n  1) 1 1 1        nên f n 1 ( xn )   2 xn xn  xn  xn  k xn  n xn  (n  1) xn  (0;1) suy ra: f n1 ( xn )  f n1 ( xn1 )   xn1  xn , n  1, 2, Do dãy số ( xn ) giảm bị chặn nên hội tụ Bài 13: (Đề thi học sinh giỏi lớp 12 TP HCM năm học 2012-2013)  u   Cho dãy số (un ) xác định :  Chứng minh dãy số (un ) có giới hạn 3u  un 1  n 2un   tìm giới hạn Giải: Từ giả thiết suy un  với n Xét hàm số: f ( x)  3x    x  2(2 x  1)  u1  5  Với x  0, f ( x)   0, x  Ta có  (2.x  1) un 1  f (un ), n  N 5 x f ( x)  , f ( x)    0, x    un  4, n  nên (un ) dãy số bị chặn 2.x   xn  u2 n 1 Do f ( x) nghịch biến (0; ) nên g ( x)  f  f  x   đồng biến  yn  u2 n Đặt  (0; ) f (x n )  f (u2n1 )  u2n  yn ; f (yn )  f (u2n )  x2n1 g (x n )  f ( f (x n ))  f (yn )  xn  1 11 49 u1  ; u2  ; u3  Ta có: u1  u3 nên x1  x2 Giả sử xk  xk 1 g ( xk )  g ( xk 1 ) 26 Nên xk 1  xk 2 xn  xn1 Suy  xn  tăng bị chặn nên  xn  có giới hạn hữu hạn a Do xn  xn1 nên f  xn   f  xn1  suy yn  yn1 ( yn ) dãy giảm bị chặn nên ( yn ) có giới hạn b 12 Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số thường gặp kỳ thi chọn HSG 3     xn , yn  ( ; 4) a, b  ( ; 4) b  a  ( ; 4)    Ta có:  f ( xn )  yn   f (a)  b suy a  b Nên ta có :  ta  f (y )  x  f (b)  a a  3a  n n 1   2a     a  b  Vậy lim un  BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1: (Bài 3.47 trang 139 sách tập ĐS GT11 NC NXBGD 2007) u1  2un1  un  1, n  Cho dãy số  un  xác định  Đặt sn  u1  u2   un , n  a) CMR dãy số   với  un  1, n  CSN lùi vô hạn b) Tính lim sn Bài 2: (Đề thi học sinh giỏi khối 12 tỉnh ĐăkNông năm 2014-2015) Cho dãy số  un  xác định công thức u1  3, un 1  (2un  ), n  N  Hãy tính lim un un Bài 3: (Đề thi học sinh giỏi khối 12 tỉnh Hà Tĩnh năm 2010-2011) Cho dãy số  un  Tính lim( u1  xác định  un2 u   un , n   n 1 2010  u u1 u1    n ) u2 u2 un 1 Bài 4: (Đề thi học sinh giỏi Quốc gia năm 2014-2015) Cho a số thực không âm dãy  un  xác định bởi: n2 u1  3, un 1  un  un2  3, (n  1) 4n  a a) Với a  , chứng minh dãy số  un  có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn b) a  0;1 , chứng minh dãy số  un  có giới hạn hữu hạn 13 Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số thường gặp kỳ thi chọn HSG KẾT LUẬN Các tốn dãy số thường khó nhiều dạng khác nhau, tài liệu đề cập đến tốn tìm giới hạn dãy số Để nâng cao chất lượng học tập cho học sinh để dạng tốn đầy đủ tơi nghiên cứu tiếp toán dãy số thường gặp đề thi học sinh giỏi tìm giới hạn dãy tổng, nghiên cứu tính chất số học dãy số… Trong trình viết tài liệu này, tơi có nhiều cố gắng, nhiên khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý chân thành thầy cô giáo đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa tập đại số giải tích lớp 11 nâng cao Đề thi học sinh giỏi tỉnh ĐăkNông qua năm Chuyên đề chọn lọc dãy số áp dụng ( Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi) Tác giả: Nguyễn Văn Mậu, Trần Nam Tuấn, Một số toán dãy số đề thi Olympic 30-4 Tác giả: Võ Giang Giai- Võ Đình Duy Tài liệu mạng 14 .. .Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số thường gặp kỳ thi chọn HSG LỜI NÓI ĐẦU: Hiện nay, kỳ thi chọn học sinh giỏi Toán cấp tỉnh, đề thi Olympic, đề thi quốc gia ln xuất tốn tìm giới hạn dãy. .. định CTTQ dãy tính giới hạn dãy số Phương pháp : Tính giới hạn dãy số cách sử dụng tính đơn điệu bị chặn dãy Phương pháp 3: Tính giới hạn dãy số cách sử dụng nguyên lý kẹp giới hạn Phương pháp 4:... dãy số  un  có giới hạn hữu hạn 13 Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số thường gặp kỳ thi chọn HSG KẾT LUẬN Các tốn dãy số thường khó nhiều dạng khác nhau, tài liệu đề cập đến tốn tìm giới hạn