Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT YÊN LẠC BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ Tác giả sáng kiến: TRẦN VĂN LONG Mã sáng kiến: 28.52.02 Vĩnh Phúc, năm 2021 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT YÊN LẠC BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ Tác giả sáng kiến: TRẦN VĂN LONG Mã sáng kiến: 28.52.02 Vĩnh Phúc, năm 2021 MỤC LỤC Trang Lời giới thiệu 2 Tên sáng kiến 3.Tác giả sáng kiến Chủ đầu tư tạo sáng kiến……… Lĩnh vực áp dụng sáng kiến……………………………… ………… Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử………….… Mô tả chất sáng kiến……………………………… ……….… 7.1 Nội dung sáng kiến……… ………………………… Phần I Đặt vấn đề…………………………………………… Phần II Nội dung……….……………………………………… …… I Cơ sở lý luận………………………………………… … Cơ sở lý luận đề tài……………………………….…… Cơ sở thực tiễn……………………………… ……….……… II Thực trạng vấn đề nghiên cứu……… ……………… Khái quát phạm vi nghiên cứu……… ……………… Thực trạng vấn đề nghiên cứu……….………………… III Biện pháp giải pháp thực hiện…………… …………… Cơ sở đề suất giải pháp………………………………… Giải pháp chủ yếu……….………………………………… Chương Khái niệm giới hạn dãy số……… ………… Chương Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số………… I Dùng định nghĩa tính giới hạn dãy số…… ……… II Phương pháp sử dụng giới hạn dặc biệt ……… 10 III Phương pháp dùng nguyên lý kẹp….…… …………… 14 Chương Một số toán liên quan đến giới hạn dãy số……… 16 IV Kết sau thực hiện………………………………… 23 Phần III Kết luận kiến nghị………………………… …………… 24 Tài liệu tham khảo…………………………………………………… 26 7.2 Về khả áp dụng sáng kiến 27 Những thông tin cần bảo mật……………………………… 27 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến……………………… 27 10 Kết thu sau áp dụng sáng kiến vào giảng dạy…… 27 11 Danh sách tổ chức/cá nhân tham gia áp dụng thử áp 28 dụng sáng kiến lần đầu BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Lời giới thiệu Trong chương trình tốn trung học phổ thơng, tốn giới hạn vấn đề khó trừu tượng học sinh Thường học sinh thấy lúng túng đứng trước toán giới hạn, lựa chọn phương án đâu? Trong trình giảng dạy “Các tốn tìm giới hạn dãy số ” sách giáo khoa Đại số giải tích 11 nâng cao, tơi nhận thấy sách giáo khoa trình bày ngắn gọn trừu tượng Vì học sinh gặp nhiều khó khăn tiếp cận tốn Hơn nữa, sách giáo khoa sách tập chưa hệ thống phân dạng toán tìm giới hạn dãy số Trong kì kiểm tra thường xuyên, thi TN THPT Quốc Gia thi học sinh giỏi lại có xu hướng sử dụng tập tìm giới hạn dãy số, địi hỏi học sinh phải có tư tốt có phân dạng tốn để giải tốn Vì sưu tầm số tài liệu, tập tốn tìm giới hạn dãy số chia tập thành dạng để học sinh có nhìn tổng qt tốn tìm giới hạn dãy số, từ có cách làm, cách giải toán phù hợp Với mong muốn cho việc dạy học toán đếm tốt hơn, định chọn đề tài “Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số” làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm Tên sáng kiến: Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số Tác giả sáng kiến: - Họ tên: Trần Văn Long - Địa tác giả sáng kiên: Giáo viên trường THPT Yên Lạc - Số điện thoại: 0978097190 Email: longtv.yl2@gmail.com Chủ đầu tư tạo sáng kiến: Cá nhân Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Sáng kiến áp dụng để “Tìm giới hạn dãy số” chương trình tốn Đại số Giải tích 11 trường THPT Dạy học sinh ôn thi TN THPT Quốc gia học sinh thi học sinh giỏi mơn tốn 11 Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: 10/01/2021 Mô tả chất sáng kiến: 7.1 Về nội dung sáng kiến PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ Lý chọn đề tài Trong chương trình tốn trung học phổ thơng, tốn tìm giới hạn dãy số vấn đề khó trừu tượng học sinh Thường học sinh thấy lúng túng đứng trước toán tìm giới hạn dãy số, khơng biết lựa chọn cách đâu? Trong trình giảng dạy, tốn tìm giới hạn dãy số sách giáo khoa Đại số giải tích 11 nâng cao, tơi nhận thấy sách giáo khoa trình bày ngắn gọn trừu tượng Vì học sinh gặp nhiều khó khăn tiếp cận tốn Hơn nữa, sách giáo khoa sách tập chưa hệ thống phân dạng tốn tìm giới hạn dãy số Trong kì kiểm tra thường xuyên, thi TN THPT Quốc Gia thi học sinh giỏi lại có xu hướng sử dụng tập tốn đếm, địi hỏi học sinh phải có tư tốt có phân dạng tốn để giải tốn Vì sưu tầm số tài liệu, tập tốn tìm giới hạn dãy số chia tập thành dạng để học sinh có nhìn tổng qt tốn tìm giới hạn dãy số, từ có cách làm, cách giải toán phù hợp Với mong muốn cho việc dạy học tốn tìm giới hạn dãy số tốt hơn, định chọn đề tài “Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số” làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu cách có hệ thống chi tiết tốn tìm giới hạn dãy số để học sinh có nhìn tổng qt toán Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu khái niệm giới hạn dãy số Xây dựng, hệ thống phân dạng tập “bài tốn tìm giới hạn dãy số” phù hợp với phát triển tư sáng tạo học sinh Đối tượng khách thể nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: tốn tìm giới hạn dãy số chương trình tốn THPT, tốn kì thi học sinh giỏi, thi THPT Quốc gia Bộ Giáo dục Đào tạo hàng năm Khách thể nghiên cứu: học sinh lớp 11 trường Trung học phổ thông Yên Lạc 2, huyện Yên Lạc, tỉnh Vĩnh Phúc Phạm vi nghiên cứu Các tài liệu sách báo, sách giáo khoa nâng cao mơn tốn lớp 11, chun đề ơn thi TN THPT Quốc gia hàng năm tốn tìm giới hạn dãy số Phương pháp nghiên cứu Dự giờ, quan sát việc dạy giáo viên việc học học sinh q trình giải tốn tìm giới hạn dãy số Tiến hành thực nghiệm sư phạm lớp giảng dạy lớp đối tượng Cấu trúc sáng kiến kinh nghiệm Cấu trúc sáng kiến kinh nghiệm gồm phần sau: Phần I: Đặt vấn đề Phần II: Nội dung I Cơ sở lý luận Cơ sở lý luận đề tài Cơ sở thực tiễn II Thực trạng vấn đề nghiên cứu Khái quát phạm vi nghiên cứu Thực trạng vấn đê nghiên cứu III Biện pháp giải pháp thực Cơ sở đề xuất giải pháp Giải pháp chủ yếu Chương Khái niềm dãy số Chương Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số I Dùng định nghĩa tính giới hạn dãy số II Phương pháp sử dụng giới hạn dặc biệt và… III Phương pháp dùng nguyên lý kẹp IV Kết sau thực Phần III: Kết luận kiến nghị Tài liệu tham khảo PHẦN II NỘI DUNG I Cơ sở lý luận Cơ sở lý luận đề tài Mơn tốn trường Trung học phổ thơng mơn khoa học tự nhiên, địi hỏi tư sáng tạo cần nhiều kiến thức giải tập để tự hệ thống kiến thức lý thuyết hiểu thật chất tốn Từ hình thành hứng thú học tập cho học sinh học tập mơn tốn trường Trung học phổ thông Cơ sở thực tiễn Các kiến thức sách giáo khoa sách tập Đại số Giải tích 11 (ban nâng cao) Bộ Giáo dục Đào tạo ban hành cịn mang tính hàn lâm, lý thuyết thực tế Trong kiểm tra thường xuyên tốn tìm giới hạn dãy số, học sinh chưa hiểu chất toán, dẫn tới hiểu sai có nhiều sai lầm giải tốn Trong đề thi học kì, thi học sinh giỏi thi THPT Quốc gia hàng năm có xu hướng sử dụng tốn tìm giới hạn dãy số II Thực trạng vấn đề nghiên cứu Khái quát phạm vi nghiên cứu Các khái niệm tập tốn tìm giới hạn dãy số chương trình mơn tốn trường Trung học phổ thông Thực trạng vấn đề nghiên cứu Các tập tốn tìm giới hạn dãy số sách giáo khoa sách tập đơn điệu chưa đưa dạng tập cụ thể Học sinh học xong tốn tìm giới hạn dãy số làm tập sách giáo khoa sách tập cách cẩn thận khơng thể tự phân dạng tập Vì gặp loại tập học sinh thường bị lúng túng III Biện pháp giải pháp thực Cơ sở đề suất giải pháp Theo yêu cầu cụ thể việc dạy học, phân phối chương trình mơn tốn trường Trung học phổ thông (gồm tiết dạy khóa tự chọn) Theo kiến thức tốn tìm giới hạn dãy số u cầu kỹ cần phải đạt đề kiểm tra thường xuyên, đề thi THPT Quốc gia thi học sinh giỏi mơn tốn trường Trung học phổ thông Giải pháp chủ yếu Hệ thống lại kiến thức tốn tìm giới hạn dãy số mà học sinh cần sử dụng đến trình giải tập Đưa tập thường gặp tốn tìm giới hạn dãy số, dạng phương pháp giải tốn tìm giới hạn dãy số để học sinh tự tìm lời giải phù hợp với toán Nội dung cụ thể đề tài sau: CHƯƠNG KHÁI NIỆM GIỚI HẠN DÃY SỐ Trong toán học khái niệm giới hạn sử dụng để giá trị mà hàm số dãy số tiến gần đến biến số tương ứng tiến gần đến giá trị Trong khoảng khơng gian đầy đủ, khái niệm giới hạn cho phép ta xác định điểm từ dãy cauchy điểm xác định trước.giới hạn khái niệm quan trọng giải tích sử dụng để định nghĩa tính liên tục, đạo hàm phép tính tích phân Khái niệm giới hạn dãy số I Giới hạn hữu hạn a) Định nghĩa 1: Ta nói dãy số (un) có giới hạn n dần tới dương vơ cực u n số dương bé tuỳ ý, kể từ số hạng trở u n = hay u n → n → +∞ Kí hiệu: nlim → +∞ b) Định nghĩa 2: Ta nói dãy số (vn) có giới hạn số a (hay dần tới a) n → +∞ , lim ( v n − a ) = n → +∞ v n = a hay → a n → +∞ Kí hiệu: nlim → +∞ c) Một số giới hạn 1.lim c = c n →∞ 2.lim n →∞ n 3.lim q n = 0, với q < n →∞ II Giới hạn vô cực a) Dãy số có giới hạn +∞ Định nghĩa 3: Ta nói dãy số (un) có giới hạn +∞ với số dương tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, lớn số dương un = + ∞ hay un → + ∞ n → +∞ Kí hiệu: nlim →+∞ b) Dãy số có giới hạn −∞ Định nghĩa 4: Ta nói dãy số (un) có giới hạn −∞ với số âm tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, nhỏ số âm un = − ∞ hay un → − ∞ n → +∞ Kí hiệu: nlim →+∞ CHƯƠNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ I Phương pháp Dùng định nghĩa để tìm giới hạn dãy Phương pháp: ∗ lim n→∞ un=0 |un | nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở ∗ lim v =a lim (vn-a)=0 n→∞ n n→∞ ∗ lim u =+∞ un lớn số dương lớn tùy ý, kể từ số hạng n→∞ n trở ∗ lim u =-∞ lim (-un ) = +∞ n→∞ n n→∞ Bài tập mẫu: Bài 1: Cho dãy( un) thỏa mãn un> n với n.chứng minh lim n→∞ un=+∞ Giải: Ta có : lim n =+∞ lớn số dương kể từ số hạng trở mặt khác un> n nên un lớn số dương kể từ số hạng Vậy lim n→∞ un=+∞ Bài 2: Cho dãy số ( un) có un= 2n + Tìm lim n→∞ un n Giải: Ta biến đổi: un = Vậy lim n→∞ un =2 2n + 1 =2+ n lim n→∞ n =0 2n + lim n→∞ n Bài 3: Biết dãy số un thỏa mãn |un | ≤ với n Chứng minh rằng: un=0 Giải: n +1 Đặt vn= n n +1 Ta có lim vn=lim n =0 Do |vn | nhỏ số dương tùy ý, kể từ số hạng trở (1) Mặt khác theo giả thiết ta có |un |≤ vn≤ | | (2) 1 1 1 1 1 e, Ta có 1.2 = − ; 2.3 = − ; 3.4 = − ; ; n ( n + 1) = n − n +  1 1    + + + + ÷ = lim 1 − ÷= n →∞ n(n + 1)   n +1  1.2 2.3 3.4 suy ra: lim  n →∞ 1  = f, Sn= 1 − nên lim n→∞  2n +  III Phương pháp dùng nguyên lí kẹp Phương pháp: Cho dãy số (un), (vn) (wn) Nếu (un) ≤ (vn) ≤ (wn) với n lim (un)=lim (wn)= L (L∈ R) lim vn=L Bài tập mẫu   + + + Tính lim  ÷ n →∞  n +  n +  n + n   n Giaỉ: Ta thấy: n  + + + n  + + + =  ÷≥  n + n   n + n   n +  n +  n   n  n ( n + 1)  + + + ÷ ≤   n2 + +  n2 + + +  n + ÷ = n2 +    n + n  ( )   n +  n + Vậy n ( n + 1) n   + + + ≤  ÷ ≤ n2 +  n + n  ( )   n +  n + Mà lim n →∞ n ( n + 1) = 2(n + 1)   + + + Vậy lim  ÷ = n →∞  n +  n +  n + n   n Bài tập áp dụng Bài 1: Tính giới hạn giới hạn sau:  a, lim  − n →∞ c, lim n →∞ 1  ÷  3n  b, lim n →∞ n + sin n 3n + d, lim n →∞ 3sin n + cos n n +1 sin 2n + cos2n 3n + 14  e, lim  n →∞  n +1 + n2 + + +  ÷ n2 + n  Đáp số: a,0 b,0 c, d,0 f,1 Bài 2: Cho dãy số (un) (vn) cmr lim vn=0 va u ≤ với n lim un=0 Hướng dẫn: lim vn=0 suy |vn| nhỏ số dương bé tùy y, kể từ số trở (1) |un| ≤ vn ≤ |vn| với n, nên |un| ≤ | vn| với n (2) Từ (1) (2) suy |un| nhỏ số dương bé tùy y,kể từ số trở Nghĩa lim un=0 Áp dụng: Tính giới hạn dãy số có số hạng tổng quát sau: a, un= n! −1 b, un= ( ) d, un=(0,99)n cos n e, un=5n-cos n n 2n − c, un= − n ( −1) n ( n ) + 11 Đáp số: a, b, c, d, e, + ∞ 15 CHƯƠNG 3: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI GIỚI HẠN DÃY SỐ I Chứng minh dãy số có giới hạn: Phương pháp a, Áp dụng định lý Weierstrass; ∗ Nếu dãy số (un) tăng bị chặn có giới hạn ∗ Nếu dãy số (un) giảm bị chặn có giới hạn b, Chứng minh dãy số tăng bị chặn (dãy số giảm bị chặn dưới) số M ta thực hiện: tính vài số hạng dãy quan sát mối liên hệ để dự đoán chiều tăng (chiều giảm) số M c, Tính giới hạn dãy số ta thực theo hai phương pháp sau: ∗ Phương pháp 1: + Đặt lim n→∞ un =a lim + Từ lim n→∞ un+1= n→∞ f(un) ta phương trình theo ẩn a + Giải phương trình tìm nghiệm a giới hạn dãy (u n) nghiệm phương trình Nếu phương trình có nghiệm giới hạn cần tìm, cịn phương trình có nhiều nghiệm dựa vào tính chất dãy số để loại nghiệm  Chú ý: Giới hạn dãy số (nếu có) ∗ Phương pháp 2: + Tìm cơng thức tổng qt un dãy số cách dự đoán + Chứng minh công thức tổng quát un phương pháp quy nạp tốn học + Tính giới hạn dãy số thông qua công thức tổng quát Bài tập mẫu: Bài Chứng minh dãy (un) công thức truy hồi u1 = , un +1 = − n Chứng minh dãy số (un ) có giới hạn tìm giới hạn Giải: 16 Ta có u1= un +1 = un + , un >0 với n ∈N ∗ Ta chứng minh un 0,∀n∈N* u  n  Áp dụng bất đẳng thức cosi: 1 2 un+1=  un + ÷ ≥ un = 2; ∀n ≥ , n∈N* 2 un  un   Suy un> 2, ∀n ≥ 2, n ∈ N b Ta có un> 2, ∀n ≥ 2, n ∈ N nên (un) dãy bị chặn 1 2 Xét un+1- un =  un + ÷- un = 2 un  un  un  * 1 − ÷ < 0; ∀n ≥ 2, n ∈ N nên un+1