(SKKN 2022) phương pháp tính giới hạn của dãy số và giới hạn của hàm số tại vô cực cho học sinh lớp 11 trường THPT quan sơn

1 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Trong năm gần với đổi giáo dục đổi thi cử, mơn Tốn đóng vai trị quan trọng chuyển từ hình thức thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm.Vì đòi hỏi người dạy người học phải linh hoạt nắm bắt thơng tin kiến thức xác, nhanh, gọn, dễ hiểu Trang bị kiến thức, kĩ phát triển tư duy, trí tuệ cho HS mục tiêu hàng đầu mục tiêu dạy học mơn Tốn nói chung chương trình mơn Tốn lớp 11 nói riêng Bên cạnh đại dịch covid – 19 diễn biến phức tạp, học sinh số vùng miền phải tạm nghỉ học, gấp rút dạy học để kết thúc năm học sớm, nên việc học lĩnh hội kiến thức bị gián đoạn, thời gian bị o hẹp, việc dạy học chuyển sang dạy học trực tuyến, nên việc lĩnh hội kiến thức có phần cịn hạn hữu cịn nhiều em HS trường chưa có đủ điều kiện công nghệ thông tin, mạng internet, thiết bị học trực tuyến Đặc biệt đặc thù em HS trường THPT Quan Sơn, địa hình hiểm trở, sạt lở mùa mưa về, lại cịn khó khăn, , kinh tế chưa phát triển, nhiều hộ dân nghèo, tiếp cận việc nhận thức quan trọng việc học cịn hạn chế, mơn Tốn Các em cịn có tâm lí ngại học Tốn đầu vào lớp 10 thấp, kiến thức lớp bị hổng, mơn Tốn lại mơn học trừu tượng, nhiều cơng thức tính tốn khó Là giáo viên dạy tốn, tơi vừa tuyển dụng trường THPT Quan Sơn, nhận thấy việc gieo niềm đam mê mơn Tốn, giúp em HS trường tự tin kỳ thi quan trọng Khi em học tốn, có niềm đam mê với mơn Tốn, em cảm thấy tự tin yêu thích học mơn Tốn hơn, từ em tìm tịi học tập tốt khơng mơn Tốn mà cịn tốt mơn khác Để làm điều giáo viên phải đơn giản hóa phương pháp học tốn, giúp em nắm bắt kiến thức cách hiệu quả, tiết kiệm thời gian mà học lại nhiều kiến thức cũ bị hổng Chương giới hạn dãy số giới hạn hàm số vô cực kiến thức quan trọng chương trình Tốn lớp 11, ứng dụng nhiều phần đồ thị hàm số lớp 12 Nếu kiến thức phần giới hạn dãy số giới hạn hàm số vơ cực bị hổng em gặp nhiều khó khăn việc nhận dạng đồ thị hàm số làm tập liên quan đến giới hạn vô cực chương hàm số lớp 12, mà nội dung chiếm nhiều câu thi TNTHPTQG Nhằm giúp HS nắm bắt kiến thức giới hạn dãy số giới hạn hàm số vô cực cách gọn gàng, tiết kiệm thời gian, ứng dụng vào làm tập có liên quan đến tổng CSN lùi vô hạn lớp 11 tập chương đồ thị hàm số lớp 12, đặc biệt làm số câu phần đồ thị tìm TCN, TCX, nhận dạng đồ thị bảng biến thiên thi THPTQG Từ lí trên, tơi chọn đề tài “ Phương pháp tính giới hạn dãy số giới hạn hàm số vô cực cho học sinh 11 trường THPT Quan Sơn” chương trình SGK 11 Bộ GD& ĐT 1.2 Mục đích nghiên cứu Giúp HS lớp 11 trường THPT Quan Sơn có phương pháp để tính giới hạn dãy số, giới hạn hàm số vô cực cách nhanh, gọn, xác, dễ hiểu Để từ hiểu chất dạng toán giới hạn vận dụng vào việc tìm đường TCN, TCX, có chương hàm số, hàm số mũ, hàm số lũy thừa lớp 12, hiểu chất cơng thức tính tổng CSN lùi vô hạn lớp 11 Mỗi nút thắt nhỏ, mở được, làm giảm mức độ khó mơn Tốn, mang lại u thích mơn Tốn cho HS HS giải vấn đề mà yêu cầu tốn đưa cách: nhanh, gọn, xác, có lợi việc thi trắc nghiệm, đem lại kết tốt cho em học sinh trường THPT Quan Sơn Chia sẻ với đồng nghiệp phương pháp kinh nghiệm để giải toán liên quan tới giới hạn vô cực hiệu hơn, đơn giản, tiết kiệm thời gian cho HS THPT Quan Sơn nói chung đặc biệt học sinh khối 11 nói riêng 1.3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đề tài tập trung nghiên cứu phần toán liên quan tới toán giới hạn dãy số, giới hạn hàm số vô cực Đối tượng nghiên cứu đề tài từ lý thuyết SGK 11 Bộ GD & ĐT, đưa phương pháp giải tốn tìm giới hạn dãy số giới hạn hàm số vơ cực nhanh, gọn, dễ hiểu xác cho HS lớp 11 trường THPT Quan Sơn Cụ thể HS lớp trực tiếp dạy gồm 11A2, 11A4, 11A5 1.4 Cách tiếp cận phương pháp nghiên cứu Khi thực đề tài sử dụng phương pháp nghiên cứu chuyên ngành lý luận phương pháp giảng dạy mơn tốn học tơi tập trung vào phương pháp sau: Nghiên cứu lý luận: Tìm tịi, nghiên cứu tài liệu Điều tra quan sát thực tiễn: Khảo sát, thống kê, phân tích, so sánh số liệu Thực nghiệm sư phạm Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lý luận 2.1.1 Lí thuyết chung (SGK) 2.1.1.1 Giới hạn hữu hạn dãy số a) Định nghĩa: Dãy số (un) gọi có giới hạn 0, n tiến dương vô cực, với số dương nhỏ tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, có giá trị tuyệt đối nhỏ số dương Kí hiệu: , hay lim un = với số nhỏ tùy ý, tồn số tự nhiên n0 cho: |un| n0 = a ( - a) = 0, tức là: Với > 0, nhỏ tùy ý, tồn số tự nhiên n0 cho : |- a| < , > n0 Dãy có giới hạn số thực gọi dãy số có giới hạn hữu hạn b) Một số giới hạn đặc biệt: lim = với k - Nếu |q| < = - Nếu un = c (với c số) = = c * Chú ý: Ta viết lim un = a thay cho cách viết = a 2.1.1.2 Một số định lý giới hạn * Định lí 1: Nếu dãy số (un) thỏa |un| < kể từ số hạng trở lim un = * Định lí 2: Cho lim un = a, lim = b Ta có : 1) lim (un = a b 2) lim (un a.b 3) lim = (b 4) Nếu un lim = 5) Tổng CSN lùi vơ hạn Cho CSC (un) có cơng bội q thỏa |q| < Khi tổng S = u1 + u2 + u3 + + un + gọi tổng vơ hạn CSN Khi đó: S = lim Sn = lim = lim = (vì |q|n  0) 2.1.1.3 Giới hạn vô cực a) Định nghĩa: Ta nói dãy số (un) có giới hạn +, un lớn số dương bất kì, kể từ số hạng trở Kí hiệu: lim un = + ∞ Dãy số (un) có giới hạn -, = + Kí hiệu: lim un = b) Một số kết đặc biệt: + lim nk = + với số nguyên k > + lim qn = + với |q | > c) Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực Quy tắc1: Nếu lim un = lim = lim (unvn) xác định sau: lim un + + lim + lim (un.vn) + Quy tắc 2: Nếu lim un = , lim = l lim un + + Dấu l lim (un.vn) + + Quy tắc 3: Nếu lim un = l, lim = > < kể từ số hạng trở lim coi sau: Dấu l + + Dấu lim + + 2.1.1.4 Bài tập minh họa Tìm giới hạn dãy số dựa vào định lý giới hạn * Phương pháp: Gồm dạng toán sau: Khi tìm lim ta thường chia tử mẫu cho n k, k bậc lớn tử mẫu Khi tìm lim [ – ] lim f(n) = lim g(n) = + ta thường tách sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp Dạng 1: Giới hạn dãy số viết dạng biểu thức phân thức: * Bài tốn 1: Tính giới hạn sau: c) lim d) lim e) lim f) lim * Gợi ý giải : Chia tử mẫu biểu thức cần tính giới hạn cho lũy thừa với bậc cao (hoặc lũy thừa với số lớn nhất) a) = lim = lim = = b) lim = lim = = = c) lim = lim = = = d) lim = lim = lim = e) lim = lim = lim = lim f) lim = lim = lim = lim = lim = = Dạng 2: Giới hạn dãy số viết dạng biểu thức đa thức.Tính: a) lim (-4n3 + 5n + 2021) b) lim (5n2 + 12n - 6n + 2021 - 2022) c) lim (3n2 - 2).(3 + 5n) d) lim [4n + cos(5n)] * Gợi ý giải: Nhân chia biểu thức tính giới hạn cho lũy thừa có bậc cao * Bài tốn 2: Tính giới hạn sau: a) lim n3.(- + = lim n3 lim (- + = (.(- 4) = b) lim n2.(5 + = lim n2.lim (5 + = (+ c) lim (15n3 + 9n2 - 10n - 6) = lim n3.(15 + – - ) = lim n3 lim.(15 + - - ) = 15 = (+ = + d) lim n.(4 + ) = lim n lim (4 + ) = + Dạng 3: Giới hạn dãy số viết dạng biểu thức có chứa * Bài tốn 3: Tính giới hạn sau: a)A = lim () c) C = lim b) B = lim d) D = lim * Gợi ý giải: Chia tử mẫu cho lũy thừa với bậc cao a) A = lim [n.( - )] = (+ = (+ b) B = lim = = = c) C = lim n = lim n lim= (+ = (+ (-2) = d) D = lim = = = Dạng 4: Giới hạn dãy số có chứa dạng vô định: ∞ - ∞ Gặp phải tốn tính giới hạn dạng ta phải khử, cách đồng thời nhân chia với biểu thức liên hợp * Bài tốn : Tính giới hạn: a) A = lim () b) B = lim * Gợi ý giải: Chia tử mẫu biểu thức càn tính giới hạn cho lũy thừa có bậc cao nhất, sau phải khử giới hạn có chứa dạng vơ định ∞ - ∞ cách nhân tử mẫu với biểu thức liên hợp Ta được: a) A = lim = lim = = b) B = lim = lim = = 2.1.2 Giới hạn hàm số vô cực 2.1.2.1 Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a; + Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn L x với dãy số (xn) bất kì, xn > a xn(xn) Kí hiệu: + Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (-; a Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn L x -∞ với dãy số (xn) bất kì, xn < a xn -∞ Ta có (xn) Kí hiệu: 2.1.2.2 Một số giới hạn đặc biệt , k lẻ, * Lưu ý: = ; = +nếu a > 0, = -nếu a < = -nếu a > 0, = +nếu a < * Phương pháp tính giới hạn hàm số vơ cực tính giống tính giới hạn dãy số là: chia tử mẫu cho lũy thừa với số mũ lớn (hoặc cho lũy thừa có số lớn nhất) có biểu thức hàm số 2.1.2.3 Bài tập minh họa Dạng 1: Giới hạn hàm số y = f(x), x * Bài tốn 5: Tính giới hạn hàm số sau, x + a) y = -3x3 + 5x2 - 10x - b) y = c) y = d) y = * Gợi ý giải: Chia tử mẫu biểu thức cần tính giới hạn cho lũy thừa có bậc cao a)(-3x3 + 5x2 - 10x - 6) = () = ) = (+.(-3) = b) = c) - ) - ) = +(3 - 1) = + d) dạng vô định nên phải khử = = = =0 Dạng 2: Giới hạn hàm số y = f(x), x * Bài tốn 6: Tính giới hạn hàm số sau, x a) y = -3x3 + 5x2 - 10x - b) y = c) y = d) y = * Gợi ý giải: a)(-3x3 + 5x2 - 10x - ) = () = ) = (- (-3) = + b) = c) - ) - ) = - (-(3 - 1) = + d)Ta nhân chia cho –x =, lúc ta thấy giới hạn cho có dạng vơ định nên ta phải khử, cách nhân chia cho biểu thức liên hợp biểu thức ta được: = =2.2 Thực trạng vấn đề Trong chương trình tốn học phổ thơng SGK11, SBT11, chí số sách đọc thêm giải tốn tính giới hạn dãy số, giới hạn hàm số vô cực, cách nhân chia biểu thức tính giới hạn vơ cực với nk dãy số, với xk hàm số y = f(x), k bậc cao có biểu thức cần tính giới hạn Khi dạy lý thuyết hầu hết giáo viên dạy đến nội dung giới hạn vô cực dạy cho HS phương pháp tính giới hạn giống lý thuyết SGK 11 đưa Nhưng điều làm cho lời giải trở nên dài dịng, chí dối, nhiều HS học mức học trung bình, yếu chí khá, giải đến dạng tốn giới hạn vơ cực thấy khó hiểu, dài dịng nhiều thời gian Trong việc cải cách thi cử, làm thi trắc nghiệm tính giới hạn dãy số, giới hạn hàm số vô cực, HS phải tốn thời gian nháp thử máy tính cách bấm nhiều số 9: Cụ thể bấm 999999999 thay vào ví trí biến kết trả lời lâu Thậm chí HS học lực mức trung bình trở xuống, thấy khó hiểu khơng biết làm, việc dạy cho HS với lực học này, cần gọn, nhanh mà dễ hiểu, kịp tiến độ cho chương trình học trường, hết giảm thời gian làm thi Hơn gặp có giới hạn dạng vơ định để HS nhận nhanh dạng này, để khử, cách nhân chia cho lượng liên hợp dạng tính giới hạn , Trước thực trạng nói trên, tơi băn khoăn tự đặt câu hỏi, với HS trực tiếp giảng dạy, em có phương pháp tính nhẩm thi trắc nghiệm, phương pháp giải nhanh thi tự luận phần giới hạn dãy số, giới hạn hàm số vô cực, để từ biết vận dụng, hiểu nhanh tập có liên quan tới giới hạn vơ cực việc tìm TCN, TCX nhận dạng đồ thị chương hàm số (Hàm số mũ, hàm số lũy thừa) lớp 12 tính tổng CSN lùi vơ hạn chương trình lớp 11 Nhưng cịn nhiều HS khác trường sao, thông điệp gửi tới tất HS trường THPT Quan Sơn, tất bạn HS lớp 11 trường THPT Dựa tình hình thực tế lúc tơi viết lên SKKN này, để mong muốn gửi thông điệp tới tất em HS trường THPT Quan Sơn HS miền đất nước Do tơi nghiên cứu, tìm tịi lý thuyết học Đại Học.Tôi tích lũy phân loại thành dạng tính giới hạn dãy số, giới hạn hàm số vơ cực nhanh, gọn ,chính xác, dễ hiểu, để học sinh dễ dàng tiếp thu, chủ động, tích cực học tập Lấy lại niềm đam mê yêu thích mơn Tốn nói riêng có động lực học tập cho tất môn học trường THPT Quan Sơn nói chung cho HS 2.3 Giải pháp giải vấn đề 2.3.1 Giới hạn dãy số Dạng 1: Giới hạn dãy số cho biểu thức đa thức Un = A(n) + B(n) + C(n) + Trong đó: A(n), B(n), C(n), đơn thức (hay hạng tử) với biến n * Phương pháp: Ta thực theo bước sau: b1 Giữ lại hạng tử có bậc cao biểu thức tính giới hạn b2 Rút gọn (nếu có) biểu thức vừa giữ lại b3 Thay giá trị n = + vào vào biểu thức vừa rút gọn Kết tính kết giới hạn dãy số * Bài tốn 1: Tính giới hạn sau: a) lim (- 4n3 + 5n + 2021) b) lim (5n2 + 12n - 6n + 2021 - 2020) c) lim (3n2 - 2).(3 + 5n) d) lim [4n + cos(5n)] Gợi ý giải: Giữ lại hạng tử cao biểu thức cần tính giới hạn a) lim (- 4n3) = - 4.lim n3 = - 4.( = - 4.(= b) lim (5n2) = 5.lim n2 = 5.( = 5.(= + c) lim (3n2.5n) = lim (15.n3) = 15.lim n3 = 15.( = 15.(= + d) lim 4n = 4.lim n = 4.(+) = + Dạng 2: Giới hạn dãy số cho bỏi biểu thức phân thức Un = Trong đó: A(n), B(n), C(n), D(n), E(n), F(n), đơn thức( hay hạng tử) biến n biểu thức tử biểu thức mẫu * Phương pháp: Ta thực theo bước sau: b1 Giữ lại hạng tử có bậc cao tử mẫu b2 Rút gọn biểu thức vừa giữ lại b3 Thay n = + vào biểu thức vừa rút gọn để tính Kết tính kết giới hạn cần tính dãy số * Bài tốn 2: Tính giới hạn sau: a) lim ; b) lim ; c) lim * Gợi ý giải: Giữ lại hạng tử có bậc cao tử mẫu có mối biểu thức cần tính giới hạn Ta có: a) lim = lim = lim = b) lim = lim = lim = = c) lim = lim = lim n = + * Nhận xét: Khi dãy số viết biểu thức phân thức mà: - Bậc tử bậc mẫu giới hạn dãy số tỉ số hệ số hạng tử có bậc cao tử với hệ số hạng tử có bậc cao mẫu - Bậc tử bé bậc mẫu giới hạn dãy số - Bậc tử lớn bậc mẫu giới hạn dãy số Dạng 3: Giới hạn dãy số viết dạng lũy thừa với số khác nhau, số mũ n * Phương pháp: Ta thực theo bước sau: b1 Đưa dạng lũy thừa số mũ n Giữ lại hạng tử có số lớn biểu thức (Của tử mẫu dãy số biểu thức có dạng phân thức) b2 Rút gọn biểu thức vừa giữ lại b3 Thay n = + vào biểu thức vừa rút gọn Kết tính kết giới hạn dãy số * Bài tốn 3: Tính giới hạn sau: a) lim b) lim ; c) lim * Gợi ý giải: Đưa lũy thừa số mũ với số khác nhau, giữ lại hạng tử có số lớn tử mẫu để tính giới hạn Ta có: a) lim = lim = lim = lim = b) lim = lim = lim = lim )n = c) lim = lim = lim = Dạng 4: Giới hạn dãy số viết dạng chứa thức : , un = g(n) un = , un = * Phương pháp: Gồm trường hợp sau: Nếu k = m bậc f(n) = bậc g(n) ta giữ lại hạng tử có bậc cao có biểu thức tương ứng để tính giới hạn Nếu giới hạn tính có dạng 0.(+ tức dạng (+) – (+ ta đồng thời nhân chia cho biểu thức liên hợp biểu thức Nếu km hai tỉ số ; ; tỉ số lớn giữ lại thức hạng tử có bậc cao biểu thức có dấu để đem tính giới hạn dãy số * Bài tốn 4: Tính giới hạn sau: a) lim () b) lim c) lim d) lim * Gợi ý giải: Giữ lại hạng tử có bậc cao có biểu thức Ta có: a) lim() = lim () = lim (2n – n) = lim n = + b) lim = lim = lim = lim = lim = = c) lim = lim = lim (-2n) = -2 (+ d) lim = lim = lim = lim = Bài toán 5: Các dạng giới hạn dạng vô định ∞ - ∞ a) lim () b) lim c) lim ( – n ) d) lim * Gợi ý giải: Sử dụng phương pháp giữ lại hạng tử có bậc cao có biểu thức, ta dễ dàng thấy dạng vô định nên phải khử Ta có: a) lim () = lim () = lim (2n – 2n ) = + ∞ - (+ Là dạng vơ định nên phải khử Ta có: lim () = lim = lim = lim = lim = -2 b) lim = lim = lim Ta thấy mẫu dãy số biểu thức có giới hạn dạng vô định , nên phải khử cách nhân tử mẫu với biểu thức liên hợp mẫu ta được: lim = lim = lim = lim = c) lim ( – n2) = lim ( – n2) = lim (- ) = (+∞) – (+∞) Là dạng vô định nên phải khử cách nhân chia cho biểu thức liên hợp: lim = lim = lim = lim = lim (-2) = -2 d) lim Ta thấy dãy số biểu thức có giới hạn mẫu có dạng vơ định , nên phải khử cách nhân tử mẫu với biểu thức liên hợp mẫu ta được: lim = 12.lim = 12.lim = 12.(-1) = -12 2.3.2 Giới hạn hàm số vô cực * Phương pháp: Gồm trường hợp sau: Nếu hàm số cho hàm đa thức ta giữ lại hạng tử có số.bậc cao để tính giới hạn bước thực giống tính giới hạn dãy Nếu hàm số cho thức ta thực bước giống tính giới hạn dãy số, phải khử dạng vô định Nếu hàm số cho biểu thức hàm phân thức, ta giữ lại hạng tử có bậc cao đồng thời tử mẫu để tính giới hạn Các bước giống tính giới hạn dãy số Nếu hàm số cho biểu thức hàm chứa lũy thừa với số mũ, số khác Muốn tính giới hạn hàm số vô cực dạng này, ta việc giữ lại hạng tử có số lớn tử mẫu, để tính giới hạn 2.3.2.1 Giới hạn hàm số + * Bài toán 6: Tính giới hạn hàm số cho sau + : a) y = -3x3 + 5x2 - 10x - b) y = c) y = d) y = e) y = * Hướng dẫn giải: Ta thực theo bước sau: b1 Giữ lại hạng tử có bậc cao (hoặc hạng tử có số lớn hàm số viết biểu thức lũy thừa số mũ, số khác nhau) có biểu thức cần tính giới hạn (Của đồng thời tử mẫu hàm phân thức, nằm hàm số biểu thức chứa căn) b2 Rút gọn biểu thức vừa giữ lại (Phải khử có dạng vơ định ∞ - ∞) b3 Thay giá trị x = + ∞ (hoặc x = - ∞ giới hạn - ∞) vào biểu thức thu gọn Kết tính kết giới hạn hàm số y =(-3x3 + 5x2 - 10x - ) =(-3x3) = -3 ( = -3.(+) = y= == = =) = = == 2.(+= + = = (+ - (+Là dạng vô định nên phải khử = = == = = e)y = == = 2.3.2.2 Giới hạn hàm số * Bài tốn 7: Tính giới hạn hàm số sau a) y = -3x3 + 5x2 - 10x - b) y = c) y = d) y = e) y = * Hướng dẫn giải: Giữ lại hạng tử có bậc cao có biểu thức a) (-3x3 + 10x2 - 10x + 2021) = (-3x3 + 10x2 - 10x + 2021) =(-3x3) = -3 (x3) = -3.( = -3.(- = + b)y == =(- 6x= - 6.(-) = +∞ c)y = () = () = () = () = - (+ = d)y = ( Ta dễ dàng thấy hàm số cho có giới hạn dạng vơ định, nên phải khử cách đồng thời nhân chia cho biểu thức liên hợp biểu thức ta được: y= = = = = = = e)y = == = 2.4 Các dạng tập rèn luyện Câu Tính giới hạn lim A -∞ B C -1 D +∞ Câu Trong giới hạn sau, giới hạn ? A lim B lim n n n C lim (3 - 4.5 + ) D lim (n4 + 4n3 - 20n + 1) Câu lim (Câu 13 đề thi TNTHPTQG năm 2018) A B C +∞ D 10 Câu Chọn mệnh đề A lim (-2n2 + 3) = + C lim= B lim = D lim 2n = Câu Biết tổng S = ++ = Tính tích a.b A 60 B C D 10 * Gợi ý giải Theo cho ta có: S - = + Ta thấy: Vế phải tổng cấp số nhân lùi vô hạn Có u1 = , cơng bội q = (Vì = (vì )) Nên Sn = lim = lim = lim = (Trong đó: lim = lim = lim = lim = lim = 0) Vậy S – = Sn Suy ra: S = S n + = + = = Suy ra: a = 5, b = Nên a.b = 10 Vậy chọn D (Vậy giới hạn vơ cực cịn giúp HS hiểu rõ hơn, cơng thức tính tổng CSN lùi vơ hạn) Câu Tìm giới hạn lim ( A B C D + n n+1 Câu Tính giới hạn lim (2.3 – 5.4 ) A -5 B -20 C D + Câu Tính giới hạn I =() A B -1 C D + Câu Biết ( – ax – b ) = Giá trị b thuộc khoảng nào? A (; B (; C ( ; D ( ; Gợi ý giải: Giữ lại hạng tử có bậc cao có biểu thức Ta có: ( – ax – b) = ( – ax) = (2x – ax) = (2 - a).x = (2 - a).(+ = (là vơ lý) Suy a = giới hạn hàm số có dạng vơ định Nên ta phải khử cách nhân chia với biểu thức liên hợp ta được: = = = = = Vậy = , nên b = Nên D chọn Câu 10 Tính giới hạn A -15 B C + D Dạng 1: Ứng dụng giới hạn vơ cực vào tìm TCN đồ thị hàm số Câu 11 Đồ thị hàm số y = có đường tiệm cận ngang ? A B C D * Gợi ý giải: Vì đường TCN hàm số có ta lấy giới hạn hàm số vô cực Ta tính giới hạn hàm số cho -∞ +∞ : y= = = = = = = Hàm số có TCN thứ y = Tương tự: y = = = = = =(-1) = -1 Hàm số có TCN thứ hai y = -1 Câu 12 TCN đồ thị hàm số y = là: (Câu 11 đề thi TNTHPT năm 2020) 11 A y = B y = C y = D y = -1 Câu 13 Đồ thị sau khơng có tiệm cận ngang? A y = 3x B y = log3 x C y = D y = * Gợi ý giải: Vì đường TCN đồ thị hàm số có ta lấy giới hạn hàm số vơ cực Ta có: A y = = 3-∞ = 0; y = = 3+∞ = + ∞ Đồ thị hàm số có đường TCN bên trái y = B TXĐ hàm số y = log3x : D = (0; + ∞) Nên y =log3 x = = log3 (+∞) = + ∞ Đồ thị hàm số khơng có TCN C.y = = = = Đồ thị hàm số có TCN y = D.y = = = = = = y = = = = = = Đồ thị hàm số có hai đường TCN y = Vậy chọn B Dạng 2: Ứng dụng giới hạn vơ cực vào tìm TCX đồ thị hàm số Câu 14 Đường tiệm cận xiên đồ thị hàm số y = A y = -3x + B y = -3x – C y = 3x + D y = 3x – * Gợi ý giải: Vì đường TCX đồ thị hàm số có dạng y = ax + b Trong đó: a = , b = (f(x) – ax) Nên ta có: a = = = = (-3) = -3 b = (f(x) – ax) = ( + 3x) = = = Vậy đồ thị hàm số có đường TCX y = -3x + A chọn Dạng 3: Ứng dụng giới hạn vô cực vào nhận biết hình dạng đồ thị hàm số 2.4.1 Đối với hàm đa thức bậc lẻ - HS hiểu hàm bậc lẻ, lại có hai dâu ngược chiều 2.4.1.1 Hàm bậc 3: y = ax3 + bx2 + cx + d * Gồm hai trường hợp sau: + Trường hợp 1: Khi a > thì: y =(ax3 + bx2 + cx + d) = (ax3) = a.(-∞)3 = -∞ Nên nhánh bên trái đồ thị xuống y =(ax3 + bx2 + cx + d) = (ax3) = a.(+∞)3 = +∞ Dâu bên phải đồ thị lên.Vậy hàm bậc 3, a > đồ thị hàm số có dâu xuống dâu lên + Trường hợp 2: Khi a < thì: y =(ax3 + bx2 + cx + d) = (ax3) = a.(-∞)3 = +∞ Nên dâu bên trái đồ thị lên y =(ax3 + bx2 + cx + d) = (ax3) = a.(+∞)3 = -∞ Nên dâu bên phải đồ thị xuống Vậy hàm bậc 3, a > đồ thị hàm số có dâu xuống, dâu lên Tóm lại hàm bậc lẻ có: + Dâu bên trái lên, dâu bên phải xuống a < 12 + Dâu bên trái xuống, dâu bên phải lên a > 2.4.1.2 Các toán liên quan hàm số bậc lẻ Câu 15 Cho hàm số có đồ thị hình vẽ bên Mệnh đề sau đúng? A y = -x4 + 5x2 - B y = 2x4 - x2 + C y = x3 - 6x2 + 9x + D y = -x3 - 3x2 + * Gợi ý giải: Từ đồ thị ta thấy, hàm bậc lẻ có a > Nên đáp án C chọn Câu 16 Cho hàm số có đồ thị hình vẽ Mệnh đề sau đúng: A y = -x4 + 5x2 B y = -x3 + 2x2 + 2x – C y = x4 + 3x2 - D y = x3 + 2x2 + 2x - * Gợi ý giải: Từ đồ thị ta có: Đây hàm bậc lẻ, với hệ số a < Đáp án A 2.4.2 Đối với hàm đa thức bậc chẵn - HS hiểu đồ thị hàm bậc chẵn, lại có hai dâu phía 2.4.2.1 Hàm bậc 2: y = ax2 + bx + c * Gồm hai trường hợp sau: + Trường hợp 1: Khi a > thì: y =(ax2 + bx + c) = (ax2) = a.(-∞)2 = + ∞ Dâu bên trái đồ thị hàm số lên y =(ax2 + bx + c) = (ax3) = a.(+∞)2 = + ∞ Dâu bên phải đồ thị hàm số lên Vậy hai dâu đồ thị hàm số bậc lên a > + Trường hợp 2: Khi a < thì: y =(ax2 + bx + c) = (ax2) = a.(+∞)2 = + ∞ Dâu bên trái đồ thị hàm số lên y =(ax2 + bx + c) = (ax3) = a.(+∞)2 = + ∞ Dâu bên phải đồ thị hàm số lên.Vậy hai dâu đồ thị hàm số bậc xuống a < 2.4.2.2 Hàm bậc 4: y = ax4 + bx2+ c (Ta xét hàm trùng phương) * Gồm hai trường hợp sau: + Trường hợp 1: Khi a > thì: y =(ax4 + bx2 + c) = (ax4) = a.(-∞)4 = + ∞ Dâu bên trái đồ thị hàm số lên y =(ax4 + bx2 + c) = (ax4) = a.(+∞)4 = + ∞ 13 Dâu bên phải đồ thị hàm số lên Vậy hai dâu đồ thị hàm số bậc lên a > + Trường hợp 2: Khi a < thì: y =(ax4 + bx2 + c) = (ax4) = a.(- ∞)4 = - ∞ Dâu bên trái đồ thị hàm số xuống y =(ax4 + bx2 + c) = (ax4) = a.(+ ∞)4 = - ∞ Dâu bên phải đồ thị hàm số xuống Vậy hai dâu đồ thị hàm bậc xuống a < Tóm lại hàm số bậc chẵn ln có : + Hai dâu lên a > + Hai dâu xuống a < 2.4.2.3 Các toán liên quan hàm số bậc chẵn Câu 17 Đồ thị sau hàm số nào? A y = - x4 + 2x2 - B y = x4 - 2x2 C y = -x3 - 3x2 + D y = 2x3 - 3x2 * Gợi ý giải: Từ hình vẽ ta có: Đây hàm bậc chẵn với a > A, C, D bị loại Câu 18 Đồ thị hàm số có dạng đường cong hình vẽ sau: A y = -x4 + 2x2 - B y = -x3 + 2x - C y = 3x4 + 2x - D y = x3 + 2x2 - * Gợi ý giải: Từ hình vẽ ta có: Đây hàm bậc chẵn, hai dâu xuống, nên a < 0, suy B, C, D bị loại Vậy đáp án A chọn *Tóm lại: Qua tốn có liên quan tới giới hạn vơ cực có phần gợi ý giải tơi đưa ra, mục đích để HS thấy chất cách tính giới hạn hàm số dãy số vô cực Khi gặp tốn có liên quan tới giới hạn vơ cực, dù tốn dạng tự luận hay dạng trắc nghiệm, HS dễ dàng nhẩm kết quả, vừa nhanh, gọn, dễ hiểu, giảm tính trìu tượng tốn 2.5 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục 2.5.1 Thực trạng vấn đề Trong chương trình tốn THPT nói chung, phần đại số giải tích nói riêng phần ứng dụng giới hạn vơ cực hàm số dãy số xuất nhiều đề thi TNTHPT Phần tập giới hạn vô cực tập đồ thị hàm số có liên quan đến giới hạn vô cực gây cho học sinh nhiều lúng túng, nhiều thời gian suy nghĩ, tính tốn, mà chí cịn chưa hiểu rõ chất tốn Qua khảo sát thực tế tơi thấy thực trạng dạy học phần giới hạn dãy số hàm số vơ cực ln có đặc điểm sau: 2.5.1.1 Về phía học sinh Các em lúng túng, nhiều thời gian, dài dòng mà khơng hiểu kỹ chất tốn gặp tốn giới hạn vơ cực tốn có liên quan tới giới hạn vô cực, với HS khá, HS giỏi 14 Các em HS học lực trung bình yếu khó khăn, lúng túng, chí khơng làm tìm giới hạn dãy số hàm số vô cực phương pháp chia nhân với lũy thừa có bậc cao biểu thức cần tính giới hạn vơ cực Trong đó, nhiều tốn có liên quan tới giới hạn vơ cực lại thi trắc nghiệm có đề thi TNTHPTQG Do vậy, để giảm bớt thời gian tìm đáp án, để hiểu sâu chất toán, nâng cao điểm số cho HS kỳ thi TNTHPTQG, định HS cần rèn luyện có phương pháp nhanh phần giới hạn vơ cực 2.5.1.2 Về phía giáo viên SGK hành đưa phương pháp tính giới hạn dãy số giới hạn hàm số vô cực cách nhân chia tử mẫu cho lũy thừa với số mũ lớn biểu thức cần tính giới hạn vơ cực Phương pháp dễ dàng em HS có học lực giỏi, lại khó khăn dài dịng cho em HS có lực học yếu Nên việc dạy dạng toán cho em HS yếu điều trăn trở đa số người giáo viên Tham khảo tài liệu mà học nghiên cứu q trình học đại học Tơi đưa phương pháp tính giới hạn dãy số giới hạn hàm số vô cực, giúp HS HS mức học trung bình, yếu, dễ dàng tính giới hạn dãy số giới hạn hàm số vô cực cách nhanh, dễ hiểu, ngắn gọn, xác Bám sát vào nội dung giới hạn dãy số giới hạn hàm số vô cực SGK lớp 11 Đề tài “ Phương pháp tính giới hạn dãy số giới hạn hàm số vô cực cho học sinh lớp 11 trường THPT Quan Sơn ” để giúp HS hiểu hình dạng đồ thị hàm số, HS hiểu cách tìm đường TCN TCX hàm số, cách tính giới hạn hàm số vô cực Tôi xây dựng hệ thống tập có liên quan để HS thực hành Tuy nhiên, phần giới hạn vô cực tập ứng dụng nằm nhiều chương hàm số 12 chiếm nhiều thi TNTHPTQG, thật phải để ý nhận được, nên khơng phải giáo viên hệ thống 2.5.2 Kết thực Đây phương pháp mà áp dụng vào giảng dạy cho HS lớp 11A2, 11A4, 11A5 trường THPT Quan Sơn số HS số trường như: THPT Nông Cống 1, THPT Triệu Sơn 2, THPT Triệu Sơn 5, THPT Hàm Rồng, THPT Đào Duy Từ, Chuyên Lam Sơn thu hiệu tốt, đa số em thực thành thạo, rút ngắn thời gian làm tự tin dạng tốn tính giới hạn vơ cực tốn có vận dụng kiến thức giới hạn vơ cực như: Bài tốn tính tổng CSN lùi vơ hạn, tốn tìm TCX, TCN, tốn đồ thị chương trình hàm số lớp 12 Các em hiểu chất, yêu cầu toán Hơn em làm nhanh hơn, gọn hơn, dễ hiểu mà xác Đặc biệt qua SKKN này, HS nhẩm nhanh, hay nhận biết nhanh để tìm kết nhanh chóng khoanh vào đáp án thi trắc nghiệm mà khơng nhiều thời gian tính tốn hay bấm máy tính CASIO 15 SKKN áp dụng cho tất HS mức lực khác Đặc biệt có tác dụng thúc đẩy động lực học tập cho tất em HS có mức lực trung bình, yếu kém, giúp em HS có học lực khá, giỏi có phương pháp giải nhanh hơn, gọn tiết kiệm thời gian nhiều Giảm độ khó, độ trừu tượng học Phần nào, giúp em có đam mê, hứng thú học tập Mặt khác em HS vận dụng phương pháp làm tập có liên quan đến giới hạn vơ cực, nhanh, gọn, xác phù hợp với xu cải cách thi cử em thời Tơi cảm thấy hài lịng với kết học tập mà em HS dạy đạt qua năm dạy, đa số em hiểu giải tốt vấn đề Các em HS có học lực yếu kém, em HS thuộc vùng miền khó khăn, có phương pháp làm gọn hơn, vừa tiết kiệm thời gian mà dễ hiểu Đề tài đạt hiệu thực Từ HS yếu kém, em làm tốt có tiến thực Từ thực tế ấy, tiến hành khảo sát HS lớp dạy 11A2, 11A4, 11A5, 12A3…tôi đề, HS làm lớp vào vở, hay kiểm tra 45 phút cho HS làm vào giấy (Đề 70 % trắc nghiệm, 30 % tự luận) * Kết sau: Khi dạy HS tính giới hạn dãy số giới hạn hàm số vô cực phương pháp SGK đưa ra: (Tất HS phải tận dụng hết 45 phút) Lớp 11A2 (42 HS) 11A4 (43 HS) 11A5 (40 HS) - 10 2 Điểm 6,5 - 4 5,0-dưới 6,5 14 12 11 Dưới 5,0 20 25 23 Khi dạy HS tính giới hạn dãy số giới hạn hàm số vơ cực phương pháp tơi đưa ra: (Có nhiều HS không cần tận dụng hết 45 phút) Lớp 11A2 (42 HS) 11A4 (43 HS) 11A5 (40 HS) - 10 12 11 10 Điểm 6,5 - 18 18 18 5,0-dưới 6,5 10 11 10 Dưới 5,0 Khi dạy HS lớp 12 phần đồ thị hàm số Tôi khảo sát HS kiểm tra (100% trắc nghiệm) Kết thu sau: Lớp 12A3 (39 HS) - 10 Điểm 6,5 - 8 5,0 - 6,5 Dưới 5,0 21 16 Khi dạy HS lớp 12 phần đồ thị có lồng ghép cách tính giới hạn hàm số vô cực mà đưa Trong trình giảng dạy, em học HS nhìn nhận vấn đề nhanh tơi khảo sát HS kiểm tra phần đồ thị hàm số (70% trắc nghiệm, 30% tự luận) Kết thu sau: Lớp 12A3 (39 HS) - 10 11 Điểm 6,5 - 15 5,0 - 6,5 Dưới 5,0 Tôi nhận thấy, làm theo phương pháp đưa HS hiểu nhanh, đạt kết cao mà tiết kiệm nhiều thời gian cho làm khác Ngồi tơi thấy HS phấn khởi, tự tin có động lực học tập nhiều Kết luận kiến nghị 3.1 Kết luận SKKN tương đối thể đầy đủ phương pháp làm dạng toán liên quan đến giới hạn dãy số, giới hạn hàm số vô cực SKKN đóng góp phần thay đổi tư từ tự luận sang trắc nghiệm Từ SKKN giúp HS lớp dạy trường THPT Quan Sơn tự tin hơn, đam mê học tốn hơn, tìm kết nhanh giải dạng tập có liên quan đến giới hạn vơ cực hàm số dãy số, việc tìm TCN, TCX hàm số hiểu sâu công thức tổng CSN lùi vô hạn, phần làm giảm tính trừu tượng, độ khó tốn học, có nhiều ứng dụng có liên quan thực tế sống Qua năm giảng dạy trường THPT Quan Sơn, với kinh nghiệm hiểu biết lực, nhận thức HS, khơng ngừng nghiên cứu, học hỏi để có phương pháp dạy học phù hợp với đối tượng HS, giúp em hứng thú thích học mơn tốn Với đổi từ Bộ GD&ĐT với đặc thù chất lượng HS trường THPT Quan Sơn Mỗi giáo viên giảng dạy phải không ngừng học tập, tự bồi dưỡng, lựa chọn phương pháp dạy học, tập phù hợp giảng dạy Đề tài “Phương pháp tính giới hạn dãy số giới hạn hàm số vô cực cho học sinh lớp 11 trường THPT Quan Sơn” Tôi giúp HS tự thiết lập tiếp cận với phương pháp tính giới hạn dãy số giới hạn hàm số vô cực mới, giúp thời gian giải nhanh hơn, khơng phải sử dụng máy tính, cơng thức dễ học, dễ hiểu dễ thực xác Qua tiết dạy hướng dẫn HS cách chi tiết, hình thành cho em kỹ làm trắc nghiệm tốn, giải tốn nhanh, xác Chính 17 mà chất lượng HS nâng lên, điểm thi cải thiện rõ dàng Ngoài dạng tốn, ví dụ làm tơi u cầu HS làm tập tương tự Qua sáng kiến mong muốn cung cấp cho em HS lớp 11 trường THPT Quan Sơn tài liệu, phương pháp học hữu ích đáp ứng nhu cầu học tập em Rất mong góp ý quý thầy cô giáo! Tôi xin chân thành cảm ơn! 3.2 Kiến nghị Tạo điều kiện để tổ chuyên môn thường xuyên trao đổi rút kinh nghiệm có phương pháp dạy mới, nhanh, gọn, dễ hiểu, xác, để HS vừa tiếp cận kiến thức nhanh hơn, tốt hơn, đạt hiệu cao hơn, vừa có hứng thú động lực học tập Tổ chức nhiều hoạt động ngoại khóa cho HS XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Quan Sơn, ngày 24/05/2022 ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người viết Nguyễn Thị Giang 3.3 Tài liệu tham khảo Giải tích tập giải tích 11 (cơ nâng cao), tác giả ĐOÀN QUỲNH (Tổng Chủ biên), Nhà xuất Giáo dục Nguồn Internet Các đề thi tham khảo đề thi TN THPT thức Bộ GD & ĐT Sở GD & ĐT Thanh Hóa 3.4 Một số từ viết tắt THPT Trung học phổ thông TCN Tiệm cận ngang TCX SKKN SGK TN TNTHPTQG TXĐ CSN HS GV Tiệm cận xiên Sáng kiến kinh nghiệm Sách giáo khoa Tốt nghiệp Tốt nghiệp trung học phổ thông Quốc gia Tập xác định Cấp số nhân Học sinh Giáo viên 18 19 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT QUAN SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHƯƠNG PHÁP TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC CHO HỌC SINH LỚP 11 TRƯỜNG THPT QUAN SƠN (Theo chương trình SGK 11 Bộ Giáo Dục & Đào Tạo) Người thực hiện: Nguyễn Thị Giang Chức vụ : GV mơn Tốn Đơn vị cơng tác: trường THPT Quan Sơn SKKN thuộc lĩnh vực ( mơn ) : Tốn học Quan Sơn, tháng năm 2022 MỤC LỤC 20 Mục 1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 2.1.1 2.1.2 2.2 2.3 2.3.1 2.3.2 2.4 2.4.1 2.4.2 2.5 2.5.1 2.5.1.1 2.5.1.2 2.5.2 3.1 3.2 3.3 3.4 Bìa Trang Mục Lục Mở đầu Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Cách tiếp cận phương pháp nghiên cứu Nội dung Sáng Kiến Kinh Nghiệm Cơ sở lý luận Lý thuyết chung ( SGK) Giới hạn hàm số vô cực Thực trạng vấn đề Giải pháp giải vấn đề Giới hạn dãy số Giới hạn hàm số vô cưc 11 Các dạng tập rèn luyện 12 Đối với hàm đa thức bậc lẻ 15 Đối với hàm bậc chẵn 16 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm với hoạt động giáo 17 dục Thực trạng vấn đề 17 Về phía học sinh 17 Về phía giáo viên 18 Kết thực 18 Kết luận kiến nghị 19 Kết luận 19 Kiến nghị 20 Tài liệu tham khảo 21 Một số từ viết tắt 21 21 ... số giới hạn hàm số vô cực SGK lớp 11 Đề tài “ Phương pháp tính giới hạn dãy số giới hạn hàm số vô cực cho học sinh lớp 11 trường THPT Quan Sơn ” để giúp HS hiểu hình dạng đồ thị hàm số, HS hiểu... dãy số giới hạn hàm số vô cực, giúp HS HS mức học trung bình, yếu, dễ dàng tính giới hạn dãy số giới hạn hàm số vô cực cách nhanh, dễ hiểu, ngắn gọn, xác Bám sát vào nội dung giới hạn dãy số giới. .. 2.3.2 Giới hạn hàm số vô cực * Phương pháp: Gồm trường hợp sau: Nếu hàm số cho hàm đa thức ta giữ lại hạng tử có số. bậc cao để tính giới hạn bước thực giống tính giới hạn dãy Nếu hàm số cho thức