DẠY THÊM TOÁN LỚP 11 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC, DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN (BÀI TẬP + ĐÁP ÁN)

TOÁN 11 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC D 22 + 42 + 62 + ⋯ + ( 2n ) = 1D3-1 PHẦN A CÂU HỎI Câu Câu n Cho S n = A S3 = A Tn = Câu Đặt Sn = B S2 = C S2 = B Sn = n n +1 C S n = n +1 n+2 C Tn = cos π n +1 D Tn = B S n = 3n − 4n + C Sn = n 2n + Câu 10 Tìm tất số nguyên dương n cho 2n+1 > n2 + 3n A n ≥ B n ≥ C n ≥ Câu 11 Tổng S góc đa giác lồi n cạnh, n ≥ , là: A S = n.180° B S = ( n − ) 180° C S = ( n − 1) 180° D S = ( n − 3) 180° D Sn = n+2 6n + D n ≥ B S = n ( n + ) C S = n ( n + 1) D S = 2n ( n + 1) Câu 13 Kí hiệu k ! = k ( k − 1) 2.1, ∀k ∈ ℕ* Với n ∈ ℕ* , đặt Sn = 1.1!+ 2.2!+ + n.n ! Mệnh đề đúng? A Sn = 2.n ! B S n = ( n + 1)!− C S n = ( n + 1)! D S n = ( n + 1)!+ 2 Câu 14 Với n ∈ ℕ* , đặt Tn = 12 + 22 + 32 + + ( 2n ) M n = 22 + 42 + 62 + + ( 2n ) Mệnh đề đúng? T T T T 4n + 4n + 8n + 2n + A n = B n = C n = D n = M n 2n + M n 2n + Mn n +1 Mn n +1 n+2 n+3 Câu 15 Tìm số nguyên dương p nhỏ để n > 2n + với số nguyên n ≥ p A p = B p = C p = D p =  1  1  Cho Pn = 1 −  1 −  1 −  với n ≥ n ∈ ℕ Mệnh đề sau đúng?     n  n +1 n −1 n +1 n +1 A P = B P = C P = D P = n+2 2n n 2n Câu 16 Tìm tất giá trị n ∈ ℕ* cho 2n > n A n ≥ B n = n ≥ C n ≥ D n = n ≥ 1 an + b + + + = Câu 17 Với số nguyên dương n , ta có: , a, b, c ( 3n − 1) ( 3n + ) cn + 2.5 5.8 2 số nguyên Tính giá trị biểu thức T = ab + bc + ca A T = B T = C T = 43 D T = 42  an +     Câu 18 Với số nguyên dương n ≥ , ta có: 1 −  −   −  = , a , b số      n  bn + nguyên Tính giá trị biểu thức T = a + b A P = B P = C P = 20 D P = 36 Với n ∈ℕ* , hệ thức sau sai? n ( n + 1) A + + + n = B + + + + ( 2n − 1) = n C 12 + 22 + + n = n +1 2(2n + 1) D S3 = D S n = π n +1 1 + + + ,với n ∈ ℕ* Mệnh đề đúng? 1.3 3.5 (2n − 1)(2n + 1) A S = n ( n + 1) 1 1 với n ∈ N* Mệnh đề sau đúng? + + + + 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ n ( n + 1) n −1 n B Tn = cos Câu 12 Với n ∈ ℕ* , rút gọn biểu thức S = 1.4 + 2.7 + 3.10 + + n ( 3n + 1) 1 1 với n ∈ N* Mệnh đề sau đúng? + + + + 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ n ( n + 1) 12 Cho S n = A Sn = Câu Đặt Tn = + + + + (có n dấu căn) Mệnh đề mệnh đề đúng? A Sn = 8k +1 + chia hết cho Vậy đẳng thức (*) với n ∈ ℕ* Khẳng định sau đúng? A Học sinh chứng minh B Học sinh chứng minh sai khơng có giả thiết qui nạp C Học sinh chứng minh sai khơng dùng giả thiết qui nạp D Học sinh không kiểm tra bước (bước sở) phương pháp qui nạp Câu Câu Một học sinh chứng minh mệnh đề ''8 + chia hết cho 7, ∀n ∈ ℕ '' (*) sau: • Ta có: 8k +1 + = ( 8k + 1) − , kết hợp với giả thiết 8k + chia hết suy Câu Với mối số nguyên dương n , đặt S = 12 + 22 + + n2 Mệnh đề đúng? n(n + 1)(n + 2) n(n + 1)(2n + 1) A S = B S = n(n + 1)(2n + 1) n(n + 1)(2n + 1) C S = D S = * • Giả sử (*) với n = k , tức 8k + chia hết cho Câu Câu Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến A ( n ) với số tự nhiên n ≥ p ( p số tự nhiên), ta tiến hành hai bước: • Bước 1, kiểm tra mệnh đề A ( n ) với n = p • Bước 2, giả thiết mệnh đề A ( n ) với số tự nhiên n = k ≥ p phải chứng minh với n = k + Trogn hai bước trên: A Chỉ có bước B Chỉ có bước C Cả hai bước D Cả hai bước sai 2n ( n + 1)( 2n + 1) n ( n + 1)( 2n + 1) 2 n → dự đoán Sn = Cách tự luận Ta có S1 = , S2 = , S3 =  n +1 1 = : • Với n = , ta S1 = 1.2 + 1 1 k • Giả sử mệnh đề n = k ( k ≥ 1) , tức + + + = 1.2 2.3 k ( k + 1) k + 1 1 k • Ta có + + + = 1.2 2.3 k ( k + 1) k + 1 1 k ⇔ + + + + = + 1.2 2.3 k ( k + 1) ( k + 1)( k + ) k + ( k + 1)( k + ) Câu 19 Biết 13 + 23 + + n3 = an4 + bn3 + cn + dn + e, ∀n ∈ ℕ* Tính giá trị biểu thức M = a +b+c +d +e 1 A M = B M = C M = D M = Câu 20 Biết số nguyên dương n , ta có 1.2 + 2.3 + + n ( n + 1) = a1n + b1n + c1n + d1 Tính giá trị biểu thức 1.2 + 2.5 + 3.8 + + n ( 3n − 1) = a2 n3 + b2 n + c2 n + d T = a1a2 + b1b2 + c1c2 + d1d D T = 3 Câu 21 Biết 1k + k + + n k , n, k số nguyên dương Xét mệnh đề sau: A T = B T = C M = 1 1 k + 2k + + + + + = 1.2 2.3 k ( k + 1) ( k + 1)( k + ) ( k + 1)( k + ) 1 1 k +1 ⇔ + + + + = Suy mệnh đề với n = k + 1.2 2.3 k ( k + 1) ( k + 1)( k + ) k + 2 n ( n + 1) n ( n + 1)( 2n + 1) n ( n − 1) n ( n + 1)( 2n + 1) ( 3n + 3n − 1) S1 = , S2 = , S3 = S4 = 30 Số mệnh đề mệnh đề nói là: A B C D ⇔ * Câu 22 Với n ∈ ℕ , ta xét mệnh đề P : "7 n + chia hết cho 2" ; Q :"7 n + chia hết cho 3" Q :"7 n + chia hết cho 6" Số mệnh đề mệnh đề : A B C D Câu Câu 23 Xét toán: “Kiểm nghiệm với số nguyên dương n bất đẳng thức n ≥ n −1 ” Một học sinh trình bày lời giải toán bước sau: Bước 1: Với n = , ta có: n ! = 1! = 2n−1 = 21−1 = 20 = Vậy n ! ≥ n −1 Bước : Giả sử bất đẳng thức với n = k ≥ , tức ta có k ! ≥ k −1 Ta cần chứng minh bất đẳng thức với n = k + , nghĩa phải chứng minh ( k + 1) ! ≥ 2k k −1 k n −1 Bước : Ta có ( k + 1)! = ( k + 1) k ! ≥ 2.2 = Vậy n! ≥ Chứng minh hay sai, sai sai từ bước ? A Đúng B Sai từ bước C Sai từ bước với số nguyên dương n D Sai từ bước 1 an + bn Câu 24 Biết + + + = , a, b, c, d n số 1.2.3 2.3.4 n ( n + 1) ( n + ) cn + dn + 16 nguyên dương Tính giá trị biểu thức T = ( a + c )( b + d ) : A T = 75 B T = 364 C T = 300 D T = 256 PHẦN B LỜI GIẢI THAM KHẢO Câu Câu Câu Chọn C Chọn D Thiếu bước kiểm tra với n = , ta có 81 + = khơng chi hết cho 1 Nhìn vào Sn  → cho n = , ta = n ( n + 1) ( + 1) ⋅ 1 + = Chọn C 1⋅ 2 ⋅ 3 Cách trắc nghiệm: Ta tính S1 = , S2 = , S3 = Từ ta thấy quy luật từ nhỏ mẫu đơn vị Chọn B Do với n = , ta có S2 = Câu Câu Câu Đáp án    → P2 = 1 −  = n =     Vì n ≥ nên ta cho   1  n =  → P3 = 1 −   −  =     Kiểm tra đáp án cho D thỏa Chọn D Bẳng cách thử với n = , n = , n = ta kết luận Chọn D C Cách 1: Chúng ta chứng minh phương pháp quy nạp toán học n ∈ ℕ* , ta có n(n + 1)(2n + 1) đẳng thức 12 + 22 + 32 + + n = 1(1 + 1)(2.1 + 1) = - Bước 1: Với n = vế trái 12 = , vế phải Vậy đẳng thức với n = -Bước 2: Giả sử đẳng thức với n = k ≥ , tức chứng minh (k + 1) [( k + 1) + 1][ 2(k + 1) + 1] (k + 1)(k + 2)(2k + 3) 2 2 + + + + k + ( k + 1) = = 6 Ta phải chứng minh đẳng thức với n = k + , tức chứng minh (k + 1) [( k + 1) + 1][ 2(k + 1) + 1] (k + 1)(k + 2)(2k + 3) 12 + 22 + 32 + + k + ( k + 1)2 = = 6 Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có (k + 1)(k + 1)(2k + 1) 12 + 22 + 32 + + k + (k + 1) = + (k + 1) (k + 1)(k + 1)(2k + 1) k (k + 1)(2k + 1) + 6(k + 1)2 (k + 1)( k + 2)(2k + 3) Mà + ( k + 1)2 = = 6 (k + 1)(k + 2)(2k + 3) Suy 12 + 22 + 32 + + k + ( k + 1)2 = Do đẳng thức với n = k + Suy có điều phải chứng minh Vậy phương án C Cách 2: Kiểm tra tính đúng-sai phương án đến tìm phương án thơng qua số giá trị cụ thể n + Với n = S = 12 = (loại phương án B D); + Với n = S = 12 + 22 = (loại phương án A) Vậy phương án C Mặt khác 2k + 6k − ( k + 5k + ) = k + k − ≥ + − = 16 với k ≥ Do 2k + > ( k + 3k ) > k + 5k + hay bất đẳng thức với n = k + Suy bất đẳng thức chứng minh Vậy phương án D Câu 11 Đáp án B Cách 1: Từ tổng góc tam giác 180° tổng góc từ giác 360° , dự đoán S = ( n − 2) 180° Cách 2: Thử với trường hợp biết để kiểm nghiệm tính –sai từ cơng thức Cụ thể với n = S = 180° (loại phương án A, C D); với n = S = 360° (kiểm nghiệm phương án B lần nữa) Câu 12 Đáp án A Để chọn S đúng, dựa vào ba cách sau đây: Cách 1: Kiểm tra tính –sai phương án với giá trị n Với n = S = 1.4 = (loại phương án B C); với n = S = 1.4 + 2.7 = 18 (loại phương án D) Cách 2: Bằng cách tính S trường hợp n = 1, S = 4; n = 2, S = 18; n = 3, S = 48 ta dự Câu Đáp án B Ta chứng minh Tn = cos π n +1 Bước 1: Với n = vế trái bằng phương pháp quy nạp tốn học Thật vậy: , cịn vế phải cos π 21+1 = cos π = Vậy đẳng thức với n = Bước 2: Giả sử đẳng thức với n = k ≥ , nghĩa Tk = cos π k +1 Ta phải chứng minh đẳng thức với n = k + , tức chứng minh Tk +1 = cos Thật vậy, Tk +1 = + Tk nên theo giả thiết quy nạp ta có Tk +1 = + Tk = + cos π 2k + π k +1 π π π π  π  = + cos  k +  = cos k + nên Tk +1 = 2.2 cos k + = cos k + 2k +1 2   Vậy phương án B Mặt khác, + cos Câu Đáp án đốn cơng thức S = n ( n + 1) Cách 3: Ta tính S dựa vào tổng biết kết + + + n = C Cách 1: Rút gọn biểu thức Sn dựa vào việc phân tích phần tử đại diện 12 + 22 + + n = 1 1  Với số nguyên dương k , ta có =  −  (2k − 1)(2k + 1)  2k − 2k +  Câu 13 1 1 1  1  n Do đó: Sn =  − + − + + −  = 1 − = 2 3 2n − 2n +   n +  2n + Vậy phương án phương án C Cách 2: Kiểm tra tính – sai phương án dựa vào số giá trị cụ thể n 1 = (chưa loại phương án nào); Với n = S1 = 1.3 1 Với n = S2 = + = (loại phương án A,B D 1.3 3.5 Vậy phương án phương án C k +1) +1 n ( n + 1) ( 2n + 1) Ta có: S = (12 + 22 + + n ) + (1 + + + n ) = n ( n + 1) Đáp án B Chúng ta chọn phương án dựa vào hai cách sau đây: Cách 1: Kiểm nghiệm phương án giá trị cụ thể n Với n = S1 = 1.1! = (Loại phương án A, C, D) Cách 2: Rút gọn S n dựa vào việc phân tích phần tử đại diện k k ! = ( k + − 1) k ! = ( k + 1) k !− k ! = ( k + 1)!− k ! Suy ra: Sn = ( 2!− 1!) + ( 3!− 2!) + + ( ( n + 1) !− n !) = ( n + 1) !− Câu 14 Câu 10 Đáp án D Kiểm tra tính – sai bất đẳng thức với trường hợp n = 1, 2,3, 4, ta dự đoán 2n +1 > n + 3n, với n ≥ Ta chứng minh bất đẳng thức phương pháp quy nạp toán học Thật vây: -Bước 1: Với n = vế trái 24 +1 = 25 = 32, vế phải 42 + 3.4 = 28 Do 32 > 28 nên bất đẳng thức với n = -Bước 2: Giả sử đẳng thức với n = k ≥ 4, nghĩa 2k +1 > k + 3k Ta phải chứng minh bất đẳng thức với n = k + 1, tức phải chứng minh 2( n ( n + 1) 2 > ( k + 1) + ( k + 1) hay 2k + > k + 5k + Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có 2k +1 > k + 3k Suy 2.2 k +1 > ( k + 3k ) hay 2k + > 2k + 6k Đáp án A Chúng ta chọn phương án dựa vào hai cách sau đây: Cách 1: Kiểm nghiệm phương án giá trị cụ thể n T Với n = T1 = 12 + 22 = 5; M = 2 = nên = (loại phương án B, C, D) M1 Cách 2: Chúng ta tính Tn , M n dựa vào tổng biết kết Cụ thể dựa vào ví dụ 1: 2n ( 2n + 1) ( 4n + 1) 2n ( n + 1)( 2n + 1) T 4n + Tn = ;Mn = Suy n = M n 2n + Câu 15 Đáp án B Dễ thấy p = bất đẳng thức p > p + sai nên loại phương án D Xét với p = ta thấy p > p + bất đửng thức Bằng phương pháp quy nạp toán học chứng minh n > 2n + với n ≥ Vậy p = số nguyên dương nhỏ cần tìm Câu 16 Đáp án D Kiểm tra với n = ta thấy bất đẳng thức nên loại phương án A C Kiểm tra với n = ta thấy bất đẳng thức Bằng phương pháp quy nạp toán học chứng minh 2n > n , ∀n ≥ Câu 17 Đáp án B 1 1  Cách 1: Với ý = − , có: ( 3k − 1)( 3k + )  3k − 3k +  1 1 1 1 1  + + + = − + − + + −  ( 3n − 1)( 3n + )  5 2.5 5.8 3n − 3n +  3n n = = ( 3n + ) 6n + Đối chiếu với đẳng thức cho, ta có: a = 1, b = 0, c = Câu 21 Câu 22 Suy T = ab + bc + ca = a + b 2a + b x + b = ; = ; = c = 10 2c + 3c + 22 2 Giải hệ phương trình ta a = 1, b = 0, c = Suy T = ab + bc + ca = Cách 2: Cho n = 1, n = 2, n = ta được: Câu 18 Đáp án C Câu 23 Câu 24 k −1 k +1 Cách 1: Bằng cách phân tích số hạng đại diện, ta có: − = Suy k k k  n − n + n + 2n +     = = 1 −  1 −   −  =     n  2 3 n 2n 2n 4n Đối chiếu với đẳng thức cho ta có: a = 2, b = Suy P = a + b = 20 a + 3a + 2 Cách 2: Cho n = 2, n = ta = ; = Giải hệ phương trình trren ta b 3b 2 a = 2; b = Suy P = a + b = 20 Câu 19 Đáp án B Cách 1: Sử dụng kết biết: 13 + 23 + + n3 = n2 ( n + 1) n + 2n + n = So sánh cách hệ số, 4 1 ta a = ; b = ; c = ; d = e = 4 Cách 2: Cho n = 1, n = 2, n = 3, n = 4, n = , ta hệ phương trình ẩn a, b, c, d , e Giải hệ 1 phương trình đó, ta tìm a = ; b = ; c = ; d = e = Suy M = a + b + c + d + e = 4 Câu 20 Đáp án C Cách 1: Sử dụng tổng lũ y thừa bậc bậc ta có: +) 1.2 + 2.3 + + n ( n + 1) = (12 + 22 + + n ) + (1 + + + n ) = n3 + n + n 3 Suy a1 = ; b1 = 1; c1 = ; d1 = 3 +) 1.2 + 2.5 + 3.8 + + n ( 3n − 1) = (12 + 22 + + n ) − (1 + + + n ) = n3 + n Suy a2 = b2 = 1; c2 = d = Do T = a1a2 + b1b2 + c1c2 + d1d = Cách 2: Cho n = 1, n = 2, n = 3, n = sử dụng phương pháp hệ số bất đinh ta tìm a1 = ; b1 = 1; c1 = ; d1 = ; a2 = b2 = 1; c2 = d = 3 Do T = a1a2 + b1b2 + c1c2 + d1d = Đáp án D n ( n − 1) thấy có S3 = sai Đáp án A Bằng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh n + chia hết cho Thật vậy: Với n = 71 + = 12⋮ Giả sử mệnh đề với n = k ≥ , nghĩa k + chia hết ccho Ta chứng minh mệnh đề với n = k + , nghĩa phỉa chứng minh k +1 + chia hết cho Ta có: k +1 + = ( k + ) − 30 Theo giả thiết quy nạp k + chia hết k +1 + = ( k + ) − 30 chia hết cho Vậy n + chia hết cho với n ≥ Do mệnh đề P Q Đáp án A Đáp án C 1 1  Phân tích phần tử đại diện, ta có: = − k ( k + 1) ( k + )  k ( k + 1) ( k + 1) ( k + )  1 + + + Suy ra: 1.2.3 2.3.4 n ( n + 1)( n + ) 1 1 1 1  =  − + − + + − 1.2 2.3 2.3 3.4 n ( n + 1) ( n + 1)( n + )  n + 3n n + 6n 1  = = =  −  ( n + 1) ( n + )  4n + 12n + 8n2 + 24n + 16 Đối chiếu với hệ số, ta được: a = 2; b = 6; c = 8; d = 24 Suy ra: T = ( a + c )( b + d ) = 300 TOÁN 11 Câu DÃY SỐ Cho dãy số có số hạng đầu là: −1;1; −1;1; −1; Số hạng tổng quát dãy số có dạng A un =1 1D3-2 Câu MỤC LỤC Câu A u n = Câu DẠNG BIỂU DIỄN DÃY SỐ, TÌM CƠNG THỨC TỔNG QT DẠNG DÃY SỐ BỊ CHẶN TRÊN, BỊ CHẶN DƯỚI 17 Câu 10 DẠNG BIỂU DIỄN DÃY SỐ, TÌM CƠNG THỨC TỔNG QUÁT Câu 11 (THPT CHUYÊN NGUYỄN ĐÌNH TRIỂU - ĐỒNG THÁP - LẦN - 2018) Cho dãy số Câu Câu u10 = 97 B u10 = 71 C u10 =1414 D un = 5(n−1) B un = 5n C un = + n D Cho dãy số có số hạng đầu là: 8,15, 22, 29, 36, Số hạng tổng quát dãy số là: A un = 7n + B un = 7.n C un = 7.n +1 D un : Không viết dạng công thức Câu 13 B u n = n n +1 n −1 n un dãy số số hạng đây? ( n − 1) n ( n + 1)( n + ) D u n = + 2n D un = n C u n = + ( − 1) B un không xác định D un = −n với n u1 = Cho dãy số ( un ) với  u n +1 = u n + n n ( n +1)( 2n +1) n ( n −1)( 2n −1) Số hạng tổng quát un dãy số số hạng đây? B un = + D un = + n ( n −1)( 2n + 2) n ( n + 1)( 2n − 2) u1 = Cho dãy số ( un ) với un +1 − un = 2n − Số hạng tổng quát un dãy số số hạng C u n = Số hạng tổng quát B un = 1− n A u n = + ( n − 1) 4 n +1 n =5 đây? Cho dãy số có số hạng đầu là: 0; ; ; ; ; Số hạng tổng quát dãy số là: A u n = D un = ( −2) + ( n −1) B u n = + un = 1− n C un = 1+ un = 5.n +1 C un = (− 2)(n +1) u1 = un dãy số số hạng Cho dãy số ( un ) với  n +1 Số hạng tổng quát un+1 = un + ( −1) đây? A un = 1+ u10 = 971 Cho dãy số có số hạng đầu là: 5;10;15; 20; 25; Số hạng tổng quát dãy số là: A Câu Câu 12 u1 = un dãy số số hạng Cho dãy số ( un ) với  n Số hạng tổng quát un+1 = un + ( −1) đây? C Cho dãy số có số hạng đầu là: − 1, 3,19, 53 Hãy tìm quy luật dãy số viết số hạng thứ 10 dãy với quy luật vừa tìm  u n +1 = u n + n A un = − n , , , , Công thức tổng quát un dãy số cho? n n n +1 2n A u n = C u n = ∀ n ∈ ℕ * B u n = n ∀ n ∈ ℕ * ∀ n ∈ ℕ * D u n = ∀n ∈ ℕ * n +1 n+3 2n + A (un ) với u A un = + n PHẦN A CÂU HỎI Câu Cho dãy số ( n − 1) n ( n + 1) n C u n = + DẠNG DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM 15 n +1 1 1 ; ; ; ; ; ….Số hạng tổng quát dãy số là? 32 33 35 1 B u n = n +1 C u n = n D u n = n −1 3 A u n = DẠNG TÌM HẠNG TỬ TRONG DÃY SỐ 13 Câu B un = (− 2) + n 1 3 n +1 DẠNG DÃY SỐ BỊ CHẶN TRÊN, BỊ CHẶN DƯỚI PHẦN B LỜI GIẢI THAM KHẢO D un = ( −1) Cho dãy số có số hạng đầu là: DẠNG TÌM HẠNG TỬ TRONG DÃY SỐ DẠNG DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM n C un = (−1) Cho dãy số có số hạng đầu là: − 2; 0; 2; 4; 6; Số hạng tổng quát dãy số có dạng? A un = −2n PHẦN A CÂU HỎI DẠNG BIỂU DIỄN DÃY SỐ, TÌM CƠNG THỨC TỔNG QT B un = −1 D un = n2 − n n +1 Câu 14 B un = + n C u n = + ( n + 1) D un = − ( n − 1) u1 = −2  Cho dãy số ( un ) với  Công thức số hạng tổng quát dãy số là: un +1 = −2 − u n  A un = − Câu 15 B un = + ( n − 1) B un = n − ( n − 1) Cho dãy số ( un ) 1 B un = ( −1)   2 n +1 n D un = − Câu 23 n n +1 C un = − 2n D un = Cho dãy số ( un ) A un = −2 n −1 n +1 1 C un =   2 n −1 + 2n 1 D un = ( −1)    2 B un = 2n C u n = n +1 Câu 24 Câu 25 n −1 Câu 26 D un = Câu 22 Câu 28 un +1 = A 4036 4035 4035 4034 C 4038 4037 B C B 32 n−1 − D C 32 n − D 32.3n − n (Chuyên Phan Bội Châu-lần 1-2018-2019) Cho dãy số (un ) xác định un = (−1) cos ( nπ ) B − D n = 2018 A un +1 = Câu 30 Câu 31 a ( n + 1) n+2 C D −99 an (a: số) un +1 số hạng sau đây? n +1 a ( n + 1) a.n2 + an B un +1 = C un +1 = D un +1 = n +1 n +1 n+2 (Phát triển đề minh hoạ 2019-Đề 8) Cho dãy số ( un ) với un = 2n + số hạng thứ 2019 dãy A 4039 B 4390 C 4930 D 4093 Cho dãy số ( un ) với un = + n Khi số hạng u2018 A 22018 Câu 32 D 2019 D D Câu 29 Cho dãy số ( un ) với un = Câu 33 10 C + 2018 n−2 , n ≥ Tìm khẳng định sai 3n + 19 B u10 = C u21 = 31 64 D 2018 + 2018 D u50 = 47 150 n + 2n − Tính u11 n +1 1422 71 C u11 = D u11 = 12 (LẦN 01_VĨNH YÊN_VĨNH PHÚC_2019) Cho dãy số un = A u11 = 4036 4037 B 2017 + 2017 Cho dãy số ( un ) với un = A u3 = ) B C un , n ∈ ℕ* Tính tổng 2018 số hạng dãy số đó? ( n + 1) un + ( (Độ Cấn Vĩnh Phúc-lần 1-2018-2019) Cho dãy số ( un ) với un = 3n Khi số hạng u2 n −1 Giá trị u99 A 99 un − ≥ 2039190 (SỞ GD&ĐT YÊN BÁI - 2018) Cho dãy số ( u n ) xác định u1 = n (với n∈ℕ* ) n2 + Cho dãy số ( un ) có un = −n + n + Số −19 số hạng thứ dãy? A 3n.3n−1 , n ≥ Tính tổng S = u1 + u + + u20184 −1 n + n3 + n2 + n3 + 2n + n + n3 + 3n + 3n + A 2016 B 2017 C 2018 B A Câu 27 (THPT QUẢNG YÊN - QUẢNG NINH - 2018) Cho dãy số {un } xác định D 1; ; (THPT THUẬN THÀNH 1) Cho dãy số ( un ) có số hạng tổng quát un = − A u = Câu 20 (CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN - 2018)Cho dãy số ( u n ) xác định  un +1 = u n + n + 1, n ≥ Giá trị n để −un + 2017n + 2018 = A Khơng có n B 1009 C 2018 D 2017 un = ; ; Số hạng dãy là: Câu 19 (SỞ GD&ĐT NAM ĐỊNH - HKII - 2018) Cho dãy số (un ) xác định Câu 21 n Ba số hạng dãy số 2n − 1 1 B 1; ; C 1; ; 16 Cho dãy số ( un ) , biết un = A  u = với  Công thức số hạng tổng quát dãy số này: un+1 = 2un −1 −1 B un = n −1 C un = n D un = 2n −2 2 u1 = Tìm số nguyên dương n nhỏ cho  * un +1 = un + n , ∀n ∈ ℕ A n = 2017 B n = 2019 C n = 2020 Cho hai cấp số cộng (un ) :1; 6;11; (vn ) : 4; 7;10; Mỗi cấp số có 2018 số Hỏi có số có mặt hai dãy số A 403 B 401 C 402 D 504 DẠNG TÌM HẠNG TỬ TRONG DÃY SỐ u1 = với  Công thức số hạng tổng quát dãy số này: un+1 = 2un A u n = n n −1 Câu 18 C un = − u1 = −1  Cho dãy số ( un ) với  un Công thức số hạng tổng quát dãy số là: un +1 = 1 A un = ( −1)   2 Câu 17 n +1 n  u = Cho dãy số ( un ) với  Công thức số hạng tổng quát dãy số là: un +1 = un − A un = Câu 16 n −1 n 182 12 B u11 = 1142 12 Câu 34 (HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Cho dãy số ( un ) xác định k ( k : số) Khẳng định sau sai? 3n k k A Số hạng thứ dãy số B Số hạng thứ n dãy số n +1 3 C Là dãy số giảm k > D Là dãy số tăng k > Câu 43 Cho dãy số ( un ) với un =  nπ   nπ  un = 2017 sin   + 2018 cos   Mệnh đề đúng?     A un +9 = un , ∀n ∈ ℕ* B un +15 = un , ∀n ∈ ℕ* C un +12 = u n , ∀n ∈ ℕ* Câu 35 Cho dãy số ( u n ) B 19 Cho dãy số ( u n ) C 22 A Dãy số có un +1 = D 21 B C C C 51,1 D 10 Câu 46 2n −1 + Tìm n D 102,3 Câu 47 Câu 40 (THPT NGHEN - HÀ TĨNH - LẦN - 2018) Cho dãy số ( un ) công thức truy hồi sau C 23871 A un +1 = D 23436 Câu 49 C Hiệu un +1 − un = ( a − 1) Câu 50 a −1 ( a : số) Khẳng định sau sai? n2 B Hiệu un +1 − un = (1 − a ) 2n − ( n + 1) n2 B U n = n + − n + C U n = D U n = 6n Cho dãy số ( un ) có un = − n + n + Khẳng định sau đúng? 2n − ( n + 1) n2 C un = n2 D un = n + (CHUYÊN BẮC NINH - LẦN - 2018) Trong dãy số sau, dãy số dãy số giảm A un = B Hiệu số un +1 − un = 3.a D Với a < dãy số giảm a −1 (n + 1) Dãy số (U n ) có số hạng tổng quát sau dãy giảm? A số hạng đầu dãy là: −1;1;5; −5; −11; −19 B u n +1 = −n + n + C u n −1 − u n = D Là dãy số giảm Câu 41 Cho dãy số ( un ) với un = a.3n ( a : số).Khẳng định sau sai? Câu 42 Cho dãy số ( un ) với un = ) A U n = + 2n quát u n sau, dãy số dãy số giảm? 3n − A un = n B un = n +1 DẠNG DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM A Dãy số có un+1 = a.3n +1 C Với a > dãy số tăng Câu 48 (HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN - 2018) Trong dãy số ( u n ) cho số hạng tổng  u1 = ; u218 nhận giá trị sau đây?  u n +1 = u n + n; n ≥ B 46872 D Là dãy số giảm ( u1 = Câu 39 (THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG - HÀ TĨNH - LẦN - 2018) Cho dãy số  Tìm số un +1 = un + n hạng thứ dãy số A 16 B 12 C 15 D 14 A 23653 a −1 ( n + 1) an ( a : số) Kết sau sai? n +1 a n + 3n + a ( n + 1) A un +1 = B un +1 − un = n+2 ( n + 2)(n + 1) C Là dãy số tăng với a D Là dãy số tăng với a > Câu 38 (LÊ Q ĐƠN - HẢI PHỊNG - LẦN - 2018) Cho dãy số ( un ) thỏa mãn un = số hạng thứ 10 dãy số cho A 51, B 51,3 B Dãy số có : un +1 = Câu 45 Cho dãy số ( un ) với un = D u1 = Số 20 số hạng thứ dãy? un+1 = un + n B a −1 n2 + Cho dãy số ( un ) :  A a −1 Khẳng định sau đúng? n2 C Là dãy số tăng có u1 = u2 = un + = un +1 + un , ∀n ∈ ℕ * Tính u4 A Câu 37 Câu 44 Cho dãy số ( un ) với un = 2n + 39 có số hạng tổng quát un = Khi số hạng thứ dãy n +1 362 số? A 20 Câu 36 D un + = u n , ∀n ∈ ℕ* n−3 n +1 B un = n C un = n2 D un = ( −1) n n (THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN - 2018) Dãy số sau dãy số giảm? − 3n n−5 , ( n ∈ ℕ *) , ( n ∈ ℕ *) A un = B un = 2n + 4n + C un = 2n + 3, ( n ∈ ℕ *) D un = cos ( 2n + 1) , ( n ∈ ℕ *) Câu 51 (CHUYÊN BẮC NINH - LẦN - 2018) Trong dãy số sau, dãy số dãy số giảm? 2n + A un = B un = n3 − C un = n2 D un = 2n n −1 D Dãy số tăng a < DẠNG DÃY SỐ BỊ CHẶN TRÊN, BỊ CHẶN DƯỚI Câu 52 Cho dãy số ( un ) với un = ( −1) n −1 C Dãy số ( un ) dãy số giảm Câu 53 Cho dãy số ( un ) với un = A un +1 = D Số hạng thứ 10 dãy số −1 ( n + 1) C Là dãy số tăng D Năm số hạng đầu dãy là: −1 11 Câu 60 −1 Khẳng định sau sai? n2 + B un > un +1 +1 C Đây dãy số tăng Câu 54 B Năm số hạng đầu dãy là: Khẳng định sau sai? n +1 A Số hạng thứ dãy số B Dãy số ( un ) bị chặn 10 Cho dãy số ( un ) với un = sin D Bị chặn π n +1 Khẳng định sau sai? A Số hạng thứ n + dãy: un+1 = sin C Đây dãy số tăng π n+2 Câu 61 Câu 57 B Dãy ( un ) bị chặn B không tăng, không giảm D không bị chặn C Dãy ( un ) không bị chặn trên, không bị chặn D Dãy ( un ) bị chặn không bị chặn n dãy số n +1 Xét câu sau Dãy 1, 2,3, , n, dãy bị chặn Câu 62 Trong dãy số ( un ) có số hạng tổng quát un đây, dãy số dãy bị chặn? n A un = n + B un = C un = 3n − D un = n + 2n + n Câu 63 Cho dãy số ( u n ) với un = + 51−n Kết luận sau đúng? A Dãy số không đơn điệu B Dãy số giảm không bị chặn C Dãy số tăng D Dãy số giảm bị chặn Câu 64 (CHUYÊN BẮC NINH - LẦN - 2018) Trong dãy số sau, dãy dãy số bị chặn? 2n + A un = B un = 2n + sin ( n ) C un = n D un = n3 − n +1 (1) 1 1 Dãy 1, , , , , , dãy bị chặn không bị chặn 2n − A Chỉ có ( ) B Chỉ có (1) C Cả hai câu D Cả hai câu sai (2) Câu 65 (THPT LƯƠNG ĐẮC BẰNG - THANH HÓA - LẦN - 2018) Chọn kết luận sai:   A Dãy số (2n −1) tăng bị chặn B Dãy số   n +1 giảm bị chặn  1   C Dãy số −  tăng bị chặn D Dãy số  n  giảm bị chặn  n   3.2  Khẳng định sau sai? n2 + n 1 1 A Năm số hạng đầu dãy là: ; ; ; ; ; 12 20 30 B Là dãy số tăng C Bị chặn số M = D Không bị chặn Câu 58 Cho dãy số ( un ) với un = Câu 59 (SỞ GD&ĐT LÀO CAI - 2018) Cho dãy số ( u n ) A Là dãy số không bị chặn n + 2018 Chọn khẳng định khẳng định sau 2018n + bị chặn không bị chặn Cho dãy ( un ) với un = D Dãy số không tăng không giảm (−1) n −1 Khẳng định sau sai? n +1 −1 A Số hạng thứ dãy số B Số hạng thứ 10 dãy số 10 11 C Đây dãy số giảm D Bị chặn số M = A tăng C giảm −1 Khẳng định sau sai? n −1 −1 −1 −1 A Năm số hạng đầu dãy là: − 1; ; ; ; B Bị chặn số M = −1 C Bị chặn số M = D Là dãy số giảm bị chặn số m M = −1 A Dãy ( un ) (DHSP HÀ NỘI HKI 2017-2018) Dãy số ( un ) có un = −1 −2 −3 −4 −5 ; ; ; ; Cho dãy số ( un ) với un = B Dãy số bị chặn Câu 55 Cho dãy số ( un ) với un = Câu 56 −1 −2 −3 −5 −5 ; ; ; ; PHẦN B LỜI GIẢI THAM KHẢO Câu −n với un = Khẳng định sau đúng? n +1 DẠNG BIỂU DIỄN DÃY SỐ, TÌM CƠNG THỨC TỔNG QT Viết lại dãy số: , , , , n +1 ⇒ un = ∀n ∈ ℕ ∗ n+3 Câu Hướng dẫn giải: Chọn A Xét dãy (un ) có dạng: un = an3 + bn2 + cn + d Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: n Các số hạng đầu dãy ( −1) ; ( −1) ; ( −1) ; ( −1) ; ( −1) ; ⇒ un = ( −1)  a + b + c + d = −1 8a + 4b + 2c + d =  Ta có hệ:   27a + 9b + 3c + d = 19 64a + 16b + 4c + d = 53 Giải hệ ta tìm được: a = 1, b = 0, c = −3, d = Câu Hướng dẫn giải Chọn D Dãy số dãy số cách có khoảng cách số hạng ⇒ un = n3 − 3n + quy luật Số hạng thứ 10: u10 = 971 Chọn Hướng dẫn giải Hướng dẫn giải Chọn Câu Suy un = n n +1 B Ta có un = + + + + + n − = + Câu 10 Chọn n ( n − 1) D 2n = un + ( −1) = u n + ⇒ u = 2; u3 = 3; u4 = 4; u Ta có: n +1 Dễ dàng dự đốn un = n Thật vậy, ta chứng minh un = n (*) phương pháp quy nạp sau: Hướng dẫn giải + Với n = ⇒ u1 = Vậy (*) với n = + Giả sử (*) với n = k ( k ∈ ℕ* ) , ta có: uk = k Ta chứng minh (*) với n = k + , tức là: uk +1 = k + + Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số ( u n ) ta có: uk +1 = u k + ( −1) 2k = k + Vậy (*) với n ∈ ℕ* Câu 11 Chọn A Ta có: u2 = 0; u3 = −1; u4 = −2 , Dễ dàng dự đoán un = − n Câu 12 Chọn C u1 =  u2 = u1 +  Ta có: u3 = u2 + 22   u = u + ( n − 1)2 n −1  n Hướng dẫn giải B 1 1 1 ; ; ; ; ; nên un = n 31 32 33 34 35 Câu Câu Chọn Ta có: 0= +1 1 = 1+1 2 = +1 3 = +1 4 = +1 Hướng dẫn giải C số hạng đầu Câu Chọn C Ta có: = 7.1 + 15 = 7.2 + 22 = 7.3 + 29 = 7.4 + 36 = 7.5 + Suy số hạng tổng quát un = 7n + nên Câu Câu Chọn B Ta có: = 5.1 10 = 5.2 15 = 5.3 20 = 5.4 25 = 5.5 Suy số hạng tổng quát un = 5n ( −2) un = ( −2 ) + ( n − 1) Cộng hai vế ta un = + 12 + 2 + + ( n − 1) = + Câu 13 Chọn n ( n − 1)( 2n − 1) A 10 Ta có: Câu 14 Chọn Ta có: Câu 15 Chọn Ta có: Câu 16 Chọn Ta có: Câu 19 u1 = u = u + 1  2 Cộng hai vế ta un = + + + + + ( 2n − 3) = + ( n − 1) u3 = u2 +   un = un −1 + 2n − C n +1 u1 = − ; u2 = − ; u3 = − ; Dễ dàng dự đoán un = − n B  u1 =  u2 = u1 − 1  u3 = u2 − Cộng hai vế ta un = − − − = − ( n − 1) 2   un = un −1 −  D u1 = −1  u2 = u1   u2 u3 =    un = un −1  Nhân hai vế ta u1.u2 u3 un = ( −1) u1.u2 u3 un −1 1 ⇔ un = ( −1) n −1 = ( −1)   2.2.2 2 2 Lại có 13 + 23 + + (n − 1)3 = (1 + + + (n − 1)) = (n − 1) n n (n − 1)2 n(n − 1) ⇒ un − = Sử dụng mode cho n chạy từ 2017 đến 2020 , ta kết n = 2020 Câu 20 Với n = ta có: u2 = u1 + = = 2 Suy ra: un = + Với n = ta có: u3 = u2 + 2.2 + = = 32 Với n = ta có: u4 = u3 + 2.3 + = 16 = Từ ta có: un = n  n = −1( L ) Suy −un + 2017n + 2018 = ⇔ − n + 2017 n + 2018 = ⇔   n = 2018 ( N ) Câu 21 Ta có: un = 4 n + n n + + n n + + ( n + 1) = n = = = ( ) n + n + + n + ( n + n +1 ) ( 4 n + n +1 )( n + n +1 ) n +1 − n n + n +1 ( )( n +1 − n n +1 − n ) n +1 − n = n +1 − n n −1 Do S = − + − + + 20184 − + − 20184 − n −1 lan Câu 17 Theo hệ thức cho ta có: un = un−1 + (n − 1)3 = un−2 + (n − 2)3 + ( n − 1)3 = = u1 + 13 + 23 + + (n − 1)3 Chọn B u1 = u = 2u  Ta có: u3 = 2u2 Nhân hai vế ta u1.u2 u3 un = 2.2 n −1.u1.u2 u n −1 ⇔ un = n   un = 2un −1 Câu 18 Chọn D  u1 =  u2 = 2u1  Ta có: u3 = 2u2 Nhân hai vế ta u1.u2 u3 un = 2n−1.u1.u2 un−1 ⇔ un = 2n−2   un = 2un −1  = −1 + 20184 = −1 + 2018 = 2017 ( 2n + 1) un + 1   = + 4n + =  Câu 22 - Ta có: = + ( n − 1) +  + 4n + un un +1 un  u n −1  Tương tự ta đươc: 1 4n + 8n + = + ( 4.1 + ) + ( 4.2 + ) + + ( 4n + 2) = + 2n + 2n ( n + 1) = un+1 u1 2 2 ⇒ un +1 = = 4n + 8n + ( 2n + 1)( n + 3) ⇒ un = ( 2n − 1)( 2n + 1) = 1 − 2n − 2n + 2018 2n 4036 ⇒ ∑ uk = = 2n + n + 4037 k =1 k =1 Câu 23 Đáp án A Dãy (un ) có số hạng tổng quát un = + 5( n −1) = 5n − 4, n ⇒ ∑ uk = − 11 (1 ≤ n ≤ 2018) 12 Câu 90 Chọn A Cấp số cộng có số hạng tổng quát un = + ( n − 1) = 3n + Cấp số cộng thứ hai có số hạng tổng quát um = + ( m − 1) = 5m − Vậ y M = ; m = − ⇒ S = 2 (n ∈ ℕ ) ( m ∈ ℕ ) * * Câu 94 Ta cần có 3n + = 5m − ⇔ 3n = ( m − 1) Ta thấy để thỏa mãn yêu cầu tốn 3n ⋮ ⇔ n ⋮ Vì cấp số cộng có 100 số hạng nên từ suy có 20 số hạng chung Câu 91 Số ngày bạn An để dành tiền (thời gian bỏ ống heo tính từ ngày 01 tháng 01 năm 2016 đến ngày 30 tháng năm 2016 ) 31 + 29 + 31 + 30 = 121 ngày Số tiền bỏ ống heo ngày là: u1 = 100 Ta có un+1 = Đặt = Số tiền bỏ ống heo ngày thứ hai là: u2 = 100 + 1.100 Để un < Số tiền bỏ ống heo ngày thứ 121 là: u121 = 100.121 = 12100 Sau 121 ngày số tiền An tích lũy tổng 121 số hạng đầu cấp số cộng có số hạng đầu u1 = 100 , công sai d = 100 121 121 Vậy số tiền An tích lũy S121 = ( u1 + u121 ) = (100 + 12100 ) = 738100 đồng 2 + 14! 14! 14! + =2 k !(14 − k ) ! ( k + ) !(12 − k )! ( k + 1)!(13 − k ) ! = , ∀n ≥ ⇔ un +12 = un 1 ⇔ = 1+ + un un +12 un 1 , v1 = vn+1 = + nên ( ) cấp số cộng có công sai un2 2018 1 + n − suy = + n −1 un 2018 2018 1 > 2018 ⇔ (n − 1) + > 2018 ⇔ 2018 un 2018 1 + 20182 ⇔ n > 4072325 − 2018 2018 Vậy giá trị nhỏ n thỏa mãn điều kiện 4072325 Câu 95 Chọn ngẫu nhiên phần tử tập hợp X ∪ Y ta có C2000 cách chọn Gọi phần tử X , Y u k vl 3l Do uk = vl ⇒ + ( k − 1) = + ( l − 1) ⇒ k = − Do ≤ k ≤ 1000 ⇒ ≤ l ≤ 667 Mặt khác l = x ⇒ ≤ x ≤ 333,5 ⇒ có 333 số 333 Vậy xác suất để chọn phần tử là: ≈ 1, 665832916.10−4 C2000 C14k , C14k +1 , C14k + theo thứ tự lập thành cấp số cộng ta có ⇔ + un ⇔ n > 1− Chọn A Điều kiện: k ∈ ℕ, k ≤ 12 C14k + C14k + = 2C14k +1 ⇔ un = v1 + ( n − 1) = Số tiền bỏ ống heo ngày thứ ba là: u3 = 100 + 2.100 … Số tiền bỏ ống heo ngày thứ n là: un = u1 + ( n − 1) d = 100 + ( n − 1)100 = 100n Câu 92 Chọn A Từ giả thiết suy un > 0, ∀n ≥ (14 − k )(13 − k ) ( k + 1)( k + ) ( k + 1)(13 − k ) ⇔ (14 − k )(13 − k ) + ( k + 1)( k + ) = (14 − k )( k + )  k = (tm) ⇔ k − 12k + 32 = ⇔   k = (tm) Có + = 12 Câu 93 Chọn A Ta có: x ; ; y theo thứ tự lập thành cấp số cộng x + y = Đặt x = sin α , y = cos α + cos 2α sin2α + ⇔ P − = sin2α + cos 2α 2 Giả sử P giá trị biểu thức ⇒ 2P − = sin2α + cos 2α có nghiệm ⇔ ( P − 1) ≤ + 12 ⇔ − ≤ P ≤ 2 P = xy + y = sinα cos α + cos α = ( ) 21 22 TỐN 11 D Dãy số cấp số nhân có công bội q = CẤP SỐ NHÂN 1D3-4 Câu MỤC LỤC PHẦN A CÂU HỎI Câu DẠNG NHẬN DIỆN CẤP SỐ NHÂN DẠNG TÌM CƠNG THỨC CỦA CẤP SỐ NHÂN DẠNG TÌM HẠNG TỬ TRONG CẤP SỐ NHÂN DẠNG TÍNH TỔNG VÀ MỘT SỐ BÀI TỐN LIÊN QUAN DẠNG KẾT HỢP CẤP SỐ NHÂN VÀ CẤP SỐ CỘNG DẠNG BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC Câu Có giá trị nguyên dương x để ba số 1; x; x + theo thứ tự lập thành cấp số nhân? A B C D Câu (TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Tìm tất giá trị x để ba số x − 1, x, x + theo thứ tự lập thành cấp số nhân 1 A x = ± B x = ± C x = ± D x = ±3 3 Câu 10 (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN - 2018) Trong phát biểu sau, phát biểu sai? A Dãy số có tất số hạng cấp số nhân B Dãy số có tất số hạng cấp số cộng C Một cấp số cộng có công sai dương dãy số tăng D Một cấp số cộng có cơng sai dương dãy số dương Câu 11 (CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN - 2018) Xác định x dương để x − ; x ; x + lập thành cấp số nhân A x = B x = C x = ± D khơng có giá trị x Câu 12 (THPT TỨ KỲ - HẢI DƯƠNG - LẦN - 2018) Giả sử DẠNG TÌM HẠNG TỬ TRONG CẤP SỐ NHÂN 14 DẠNG KẾT HỢP CẤP SỐ NHÂN VÀ CẤP SỐ CỘNG 21 DẠNG BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC 22 PHẦN A CÂU HỎI DẠNG NHẬN DIỆN CẤP SỐ NHÂN Câu Trong dãy số ( u n ) sau đây, dãy số cấp số nhân? A un = 3n Câu Câu Câu B un = 2n C un = n D un = n + un cho công thức số hạng tổng quát cấp số nhân? 1 1 A un = n +1 B un = n − C un = n − D un = n + 2 2 D 2, 4, 6,8, Tập hợp giá trị x thỏa mãn x, x, x + theo thứ tự lập thành cấp số nhân A {0;1} B ∅ C {1} D {0} DẠNG TÌM CƠNG THỨC CỦA CẤP SỐ NHÂN 13 DẠNG TÍNH TỔNG VÀ MỘT SỐ BÀI TỐN LIÊN QUAN 18 C 2, 4,8,16, 1 1 ; − Khẳng định sau sai? Cho dãy số: −1; ; − ; 27 81 A Dãy số cấp số nhân B Dãy số cấp số nhân có u1 = −1; q= − n C Số hạng tổng quát un = ( −1) n −1 D Là dãy số không tăng, không giảm Câu PHẦN B LỜI GIẢI THAM KHẢO 12 DẠNG NHẬN DIỆN CẤP SỐ NHÂN 12 Dãy sau cấp số nhân? A 1, 2,3, 4, B 1,3,5, 7, cấp số nhân Tính cos 2α 3 A B − 2 (CHUYÊN BẮC NINH - LẦN - 2018) Trong dãy số sau, dãy cấp số nhân? n n A un = ( −1) n B un = n2 C un = 2n D un = n C sin α , cos α , tan α theo thứ tự D − DẠNG TÌM CƠNG THỨC CỦA CẤP SỐ NHÂN Cho dãy số (un ) có số hạng tổng quát un = 3.2 n+1 ( ∀n ∈ ℕ* ) Chọn kết luận đúng: Câu 13 A Dãy số cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 12 B Dãy số cấp số cộng có cơng sai d = C Dãy số cấp số cộng có số hạng đầu u1 = (DHSP HÀ NỘI HKI 2017-2018) Tìm cơng bội cấp số nhân ( un ) có u1 = u6 = 16 A q = B q = −2 C q = D q = − 2 Câu 14 Cho cấp số nhân ( u n ) có số hạng đầu u1 = u6 = 486 Công bội q A q = B q = C q = Câu 15 Cho cấp số nhân ( u n ) với u1 = − ; u = −32 Tìm q ? A q = ± B q = ±2 C q = ±4 Câu 16 Câu 25 D q = A u1 = 24 Câu 26 D q = ±1 Cho ba số thực x, y , z x ≠ Biết x, y ,3 z lập thành cấp số cộng x, y , z lập thành cấp số nhân; tìm cơng bội q cấp số nhân  q = q = A  B C q = D q =  q = q =   Câu 27 Câu 18 Câu 19 B u2 = C u2 = A 2.5 B 2.5 C 2.5 Câu 20 Cho cấp số nhân ( un ) có u1 = , cơng bội q = Ta có u5 A 24 Câu 21 B 11 C 48 u6 u8 B 3.2 2018 C 2.32019 D , u4 = Câu 24 C D 3.2 2019 D 10 (Yên Định - Thanh Hóa - 2018-2019) Cho cấp số nhân ( un ) có số hạng đầu u1 = công bội q = −2 Số hạng thứ sáu ( un ) A u6 = 320 B u6 = −160 C u6 = −320 D u2018 = 6.2 2018 + Cho ( un ) cấp số nhân, công bội q > Biết u1 = 1, u3 = Tìm u4 11 B C 16 D Câu 29 (THPT THUẬN THÀNH 1) Cho cấp số nhân có số hạng thứ gấp 4096 lần số hạng Tổng hai số hạng 34 Số hạng thứ dãy số có giá trị bằng: A B 512 C 1024 D 32 biết u1 = 12 , A u9 = u3 = 243 Tìm u9 u8 2187 B u9 = 6563 C u9 = 78732 D u9 = 2187 (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - GIA LAI - LẦN - 2018) Cho cấp số nhân ( un ) có tổng u − u = 54 Câu 32 (CHUYÊN LONG AN - LẦN - 2018) Cho cấp số nhân ( u n ) biết  Tìm số hạng u5 − u3 = 108 đầu u1 công bội q cấp số nhân A u1 = ; q = B u1 = ; q = −2 C u1 = −9 ; q = −2 D u1 = −9 ; q = Câu 33 (PHAN ĐĂNG LƯU - HUẾ - LẦN - 2018) Xen số số 768 số để cấp số nhân có u1 = Khi u5 là: A 72 B −48 C ±48 D 48 Câu 23 (THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN - 2018) Cho cấp số nhân ( un ) ; u1 = 1, q = Hỏi số 1024 số hạng thứ mấy? A 11 B C u2018 = 6.2 2017 + n số hạng Sn = 5n − với n = 1, 2, Tìm số hạng đầu u1 cơng bội q cấp số nhân đó? A u1 = , q = B u1 = , q = C u1 = , q = D u1 = , q = Giá trị u1 1 1 A u1 = B u1 = C u1 = − D u1 = 16 16 Câu 22 Cho cấp số nhân ( u n ) có số hạng đầu u1 = cơng bội q = Giá trị u2019 A 2.32018 217 Cho cấp số nhân ( un ) , n ≥ với công bội q = có số hạng thứ hai u2 = Số hạng thứ cấp số nhân A u7 = 320 B u7 = 640 C u7 = 160 D u7 = 80 Câu 31 D 2.55 (Chuyên ĐBSH lần 1-2018-2019) Cho cấp số nhân ( un ) có cơng bội dương u2 = D u1 = Câu 28 (THPT CHUYÊN KHTN - LẦN - 2018) Cho cấp số nhân ( u n ) có u5 = u9 = Tính u21 A 18 B 54 C 162 D 486 C u1 = 96 Câu 30 (THPT CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIÊU - ĐỒNG THÁP - 2018) Cho cấp số nhân ( un ) , D u2 = −18 Cho cấp số nhân ( u n ) có số hạng đầu u1 = công bội q = Giá trị 1334 11 u1 = (Bình Minh - Ninh Bình - Lần - 2018) Cho dãy số ( un ) xác định  Tính số un +1 = 2un + A (HỒNG LĨNH - HÀ TĨNH - LẦN - 2018) Cho cấp số nhân ( u n ) có u1 = −2 công bội q = Số hạng u là: A u2 = −6 B u1 = hạng thứ 2018 dãy số A u2018 = 6.2 2017 − B u2018 = 6.2 2018 − DẠNG TÌM HẠNG TỬ TRONG CẤP SỐ NHÂN Câu 17 Tìm số hạng đầu u1 cấp số nhân ( un ) biết u1 + u2 + u3 = 168 u4 + u5 + u6 = 21 D u6 = 160 u = 8u17 Câu 34 (THPT HÀ HUY TẬP - HÀ TĨNH - LẦN - 2018) Cấp số nhân ( u n ) có  20 Tìm u1 + u5 = 272 u1 , biết u1 ≤ 100 A u1 = 16 B u1 = C u1 = −16 D u1 = −2 Câu 35 (THPT HÀ HUY TẬP - LẦN - 2018) Cho cấp số nhân u1 = −1 , u6 = 0, 00001 Khi q số hạng tổng quát là? −1 −1 , un = n−1 B q = , un = −10n −1 10 10 10 n −1 1 ( −1) C q = , un = n −1 D q = , un = n−1 10 10 10 10 A q = Câu 36 C q = −4 , u1 = − , u5 = 16 Tìm (THPT CHUYÊN THOẠI NGỌC HẦU - LẦN - 2018) Cho dãy số 4,12, 36,108,324, Số hạng thứ 10 dãy số là? A 73872 B 77832 C 72873 D 78732 Câu 39 Cho tứ giác ABCD có bốn góc tạo tành cấp số nhân có cơng bội q = , góc có số đo nhỏ bốn góc là: A 10 B 300 C 120 D 240 u1 − u3 + u5 = 65 Cho cấp số nhân ( un ) thỏa mãn  Tính u3 u1 + u7 = 325 Câu 41 Câu 42 B u3 = 25 Câu 47 (Bạch Đằng-Quảng Ninh- Lần 1-2018) Cho dãy số ( un ) hạng thứ 2020 dãy A u2020 = 3.22020 − B u2020 = 3.22019 + C u2020 = 3.2 2019 − D u2020 = 3.2 2020 Câu 51 Câu 52 Câu 43 (THPT NAM TRỰC - NAM ĐỊNH - 2018) Số hạng đầu công bội q CSN với u7 = −5, u10 = 135 là: 5 5 , q = −3 , q = C u1 = ,q = A u1 = B u1 = − D u1 = − , q = −3 729 729 729 729 Câu 53 Câu 44 Câu 54 C u2019 = 5.22020 − 6062 D u2019 = 5.22020 + 6062 D S10 = −1025 B 212 − C 3.212 − D 3.212 (KSNLGV - THUẬN THÀNH - BẮC NINH NĂM 2018 - 2019) Cho ( un ) cấp số nhân, đặt Sn = u1 + u2 + + un Biết S2 = 4; S3 = 13 u2 < , giá trị S5 181 35 A B C D 121 16 16 Giá trị tổng S = + + + + 2018 32019 − 32018 − A S = B S = 2 C S = 32020 − D S = − 32018 − Số thập phân vô hạn tuần hoàn 3,1555 = 3,1 ( ) viết dạng số hữu tỉ là: A Cho dãy số ( un ) xác định u1 = ; un = 2un −1 + 3n − Tìm số hạng thứ 2019 dãy C S10 = 1025 n + số A u2019 = 5.22019 − 6062 B u2019 = 5.2 2019 + 6062 B S10 = 1023 1 (Chuyên Lam Sơn-KSCL-lần 2-2018-2019) Cho dãy ( un ) với un =   + , ∀n ∈ℕ* Tính 2 S 2019 = u1 + u + u3 + + u 2019 , ta kết 4039 6057 A 2020 − 2019 B C 2019 + 2019 D 2 2 Câu 49 Cho cấp số nhân ( un ) có u3 = 12 , u5 = 48 , có cơng bội âm Tổng số hạng đầu cấn số nhân cho A 129 B −129 C 128 D −128 D u3 = 20 u1 = Tìm số xác định  un +1 = 2un + D −212540600 Câu 48 n Cho cấp số nhân ( un ) có tổng n số hạng S n = − Tìm số hạng thứ năm cấp số nhân cho A 120005 B 6840 C 7775 D 6480 C −212540500 (LÊ QUÝ ĐÔN - HẢI PHÒNG - LẦN - 2018) Cho cấp số nhân có số hạng khơng âm thỏa mãn u2 = , u4 = 24 Tính tổng 12 số hạng cấp số nhân A 3.212 − Câu 50 C u3 = 10 B −312540500 n +   , n ≥1 Giá trị u50 gần n2 + 3n +  Cho cấp số nhân ( u n ) có u1 = −3 q = −2 Tính tổng 10 số hạng cấp số nhân A S10 = −511 (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN - 2018) Cho cấp số nhân có số hạng đầu u1 = −2, công 81 bội q = Số − số hạng thứ cấp số này? 128 A B C D A u3 = 15  2 DẠNG TÍNH TỔNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN Câu 46 1 D q = , u1 = 16 16 Câu 38 Câu 40 Cho dãy số (un ) xác định u1 = 1; un+1 = un − với số đây? A −312540600 (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN - 2018) Cho cấp số nhân u n có u2 = cơng bội q số hạng đầu u1 1 1 A q = , u1 = B q = − , u1 = − 2 2 Câu 37 Câu 45 63 20 Tính tổng A S = B 142 45 C 18 1 n −1 S = −1 + − + + ( −1) + 6 6n 6 B S = − C S = 7 D D S = − Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,121212 biểu diễn phân số 3 12 A B C D 25 11 22 99 Câu 55 (PTNK CƠ SỞ - TPHCM - LẦN - 2018) Viết thêm bốn số vào hai số 160 để cấp số nhân Tổng số hạng cấp số nhân A 215 B 315 C 415 D 515 Câu 56 (LIÊN TRƯỜNG - NGHỆ AN - LẦN - 2018) Cho cấp số nhân ( un ) 1 n −1  * un +1 =  2un +  ; n ∈ ℕ Khi u2018 bằng: 3 n + 3n +  22016 22018 A u2018 = 2017 + B u2018 = 2017 + 2019 2019 2017 2017 2 C u2018 = 2018 + D u2018 = 2018 + 2019 2019 thỏa mãn u1 + u2 + u3 = 13 Tổng số hạng đầu cấp số nhân ( u n )  u4 − u1 = 26 A S8 = 1093 Câu 57 Câu 58 B S8 = 3820 C S8 = 9841 D S8 = 3280 1 (THPT TRIỆU THỊ TRINH - LẦN - 2018) Tổng S = + + ⋅⋅⋅ + n + ⋅⋅⋅ có giá trị là: 3 1 1 A B C D Câu 65 Câu 59 Câu 60 Câu 66 (THPT LÊ HOÀN - THANH HĨA - LẦN - 2018) Tính tổng tất số hạng cấp số nhân có số hạng đầu , số hạng thứ tư 32 số hạng cuối 2048 ? 1365 5416 5461 21845 A B C D 2 2 ( un ) ? A 5377 B 5737 C 3577 1 ( −1) − , , − , , n , A −1 Câu 62 B C − Giá trị tổng + 77 + 777 + + 77 (tổng có 2018 số hạng) 70 ỉ102018 - 10 102018 - + 2018 A B ỗỗ - 2018 ữữ 9è ø 2019 7ỉ 10 10 C ỗỗ D 102018 - - 2018 ÷÷ 9è ø ( Câu 63 C Câu 64 ) (SGD&ĐT HÀ NỘI - 2018) Giá trị tổng + 44 + 444 + + 44 (tổng có 2018 số hạng) 40 2018   10 2019 − 10 10 − + 2018 A B  − 2018  9  ( Câu 67 Câu 68 D 2018 (10 −1) (THPT KINH MÔN - HD - LẦN - 2018) Cho dãy số xác định u1 = , C 220 D 221 − 20 B 18 C D Cho ba số x ; ; 2y theo thứ tự lập thành cấp số cộng ba số x ; ; 2y theo thứ tự lập thành cấp số nhân x − y B x − y = C x − y = D x − y = Câu 69 Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn (un ) biết u1 = u1 , u3 , u4 theo thứ tự ba số hạng liên tiếp cấp số cộng +1 −1 A B C D 2 −1 Câu 70 (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ SỐ 5) Ba số phân biệt có tổng 217 coi số hạng liên tiếp cấp số nhân, coi số hạng thứ , thứ , thứ 44 cấp số cộng Hỏi phải lấy số hạng đầu cấp số cộng để tổng chúng 820 ? A 20 B 42 C 21 D 17 DẠNG BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC )   10 2019 − 10 + 2018   9  B 21 − 22 (NGÔ GIA TỰ_VĨNH PHÚC_LẦN 1_1819) Cho ba số a , b , c ba số liên tiếp cấp số cộng có cơng sai Nếu tăng số thứ thêm 1, tăng số thứ hai thêm tăng số thứ ba thêm ba số ba số liên tiếp cấp số nhân Tính ( a + b + c ) A 12 ) ( thỏa mãn DẠNG KẾT HỢP CẤP SỐ NHÂN VÀ CẤP SỐ CỘNG A x − y = 10 D − 243 (THPT THANH CHƯƠNG - NGHỆ AN - 2018) Cho dãy số (un ) A 220 − 20 D 3775 (THPT BÌNH GIANG - HẢI DƯƠNG - 2018) Tính tổng cấ số nhân lùi vơ hạn D u1 = Tổng S = u1 + u2 + + u20  un = 2un −1 + 1; n ≥ (THPT HAI BÀ TRƯNG - HUẾ - 2018) Một cấp số nhân ( un ) có n số hạng, số hạng đầu u1 = , công bội q = Số hạng thứ n 1792 Tính tổng n số hạng cấp số nhân Câu 61 n +1 U U U U n Tổng S = U1 + + + + 10 bằng: 3n 10 3280 29524 25942 A B C 6561 59049 59049 U n +1 = (THPT THẠCH THANH - THANH HÓA - LẦN - 2018) Cho dãy số ( an ) xác định a1 = , an+1 = −2an , n ≥ , n ∈ ℕ Tính tổng 10 số hạng dãy số 2050 A B 2046 C −682 D −2046 (THPT CHUYÊN LAM SƠN - THANH HÓA - 2018) Cho dãy số (U n ) xác định bởi: U1 = Câu 71 (TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Người ta thiết kế tháp 11 tầng Diện tích bề mặt tầng nửa diện tích mặt tầng bên diện tích mặt tầng nửa diện tích đế tháp (có diện tích 12288 m ) Tính diện tích mặt A m B m2 C 10 m2 D 12 m2 Câu 72 (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ SỐ - 2018) Một hình vng ABCD có cạnh AB = a , diện tích S1 Nối trung điểm A1 , B1 , C1 , D1 theo thứ tự cạnh AB , BC , CD , DA ta hình vng thứ hai A1 B1C1 D1 có diện tích S2 Tiếp tục ta hình vng thứ ba A2 B2C2 D2 độ cao mà bóng đạt trước Tổng độ dài hành trình bóng thả 10 từ lúc ban đầu nằm yên mặt đất thuộc khoảng khoảng sau đây? độ cao có diện tích S3 tiếp tục thế, ta diện tích S4 , S5 , Tính S = S1 + S2 + S3 + + S100 A S = Câu 73 2100 − 299 a B S = a ( 2100 − 1) 299 C S = a ( 2100 − 1) 299 D S = a ( 299 − 1) 299 Dân số tỉnh Bình Phước theo điều tra vào ngày / / 2011 905300 người (làm trịn đến hàng nghìn) Nếu trì tốc độ tăng trưởng dân số không đổi 10% năm đến / / 2020 dân số tỉnh Bình Phước bao nhiêu? (làm trịn đến hàng đơn vị) A 22582927 B 02348115 C 2134650 D 11940591 Câu 74 (THPT KINH MÔN - HẢI DƯƠNG - LẦN - 2018) Bạn A thả bóng cao su từ độ cao 10 m theo phương thẳng đứng Mỗi chạm đất lại nảy lên theo phương thẳng đứng có độ cao độ cao trước Tính tổng qng đường bóng đến bóng dừng hẳn A 40 m B 70 m C 50 m D 80 m Câu 75 (THPT TRẦN NHÂN TÔNG - QN - LẦN - 2018) Một loại vi khuẩn sau phút số lượng tăng gấp đôi biết sau phút người ta đếm có 64000 hỏi sau phút có 2048000 A 10 B 11 C 26 D 50 Câu 76 (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - BÌNH DƯƠNG - 2018) Trên bàn cờ vua kích thước 8x8 người ta đặt số hạt thóc theo cách sau Ơ thứ đặt hạt thóc, thứ hai đặt hai hạt thóc, đặt số hạt thóc gấp đơi đứng liền kề trước Hỏi phải tối thiểu từ ô thứ để tổng số hạt thóc từ đến lớn 20172018 hạt thóc A 26 B 23 C 24 D 25 Câu 77 (THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN - 2018) Cho tam giác ABC cân đỉnh A , biết độ dài cạnh đáy BC , đường cao AH cạnh bên AB theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội q A ( 67m; 69m ) Câu 81 B ( 60m;63m ) C ( 64m;66m ) D ( 69m;72m ) Để trang trí cho quán trà sữa mở cửa mình, bạn Việt định tơ màu mảng tường hình vng cạnh 1m Phần tơ màu dự kiến hình vng nhỏ đánh số 1, 2,3 n, (các hình vng tơ màu chấm bi), cạnh hình vng nửa cạnh hình vng trước (hình vẽ) Giả sử q trình tơ màu Việt diễn nhiều Hỏi bạn Việt tơ màu đến hình vng thứ diện tích hình vng tơ bắt đầu nhỏ ( m2 ) ? 1000 Giá trị q A Câu 78 2+ B 2− C +1 D −1 (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN - 2018) Cho dãy số ( an ) xác định a1 = 5, an +1 = q.an + với n ≥ , q số, q ≠ , q ≠ Biết công thức số hạng tổng quát dãy số viết dạng an = α q n −1 + β A 13 Câu 79 Câu 80 B C 11 − q n −1 Tính α + β ? 1− q D 16 A Câu 82 B (THPT HẬU LỘC - TH - 2018) Cho bốn số a, b , c, d theo thứ tự tạo thành cấp số nhân 148 với cơng bội khác Biết tổng ba số hạng đầu , đồng thời theo thứ tự chúng số hạng thứ nhất, thứ tư thứ tám cấp số cộng Tính giá trị biểu thức T = a − b + c − d 101 100 100 101 A T = B T = C T = − D T = − 27 27 27 27 (Bạch Đằng-Quảng Ninh- Lần 1-2018) Từ độ cao 55,8m tháp nghiêng Pisa nước Italia người ta thả bóng cao su chạm xuống đất Giả sử lần chạm đất bóng lại nảy lên D (Chuyên Lê Thánh Tơng-Quảng Nam-2018-2019) Có giá trị thực tham số m để phương trình ( x −1)( x − 3)( x − m ) = có nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân tăng? A Câu 83 C B C D Biết tồn hai giá trị tham số m để phương trình x3 − x + ( m + 6m ) x − = có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân Tính tổng lập phương hai giá trị A −342 B −216 C 344 D 216 Câu 84 Cho dãy số ( un ) cấp số nhân có số hạng đầu u1 = , cơng bội q = Tính tổng 1 1 T= + + + + u1 − u5 u2 − u6 u3 − u7 u20 − u24 A − 219 15.218 B − 220 15.219 C 219 −1 15.218 D 220 − 15.219 10 Câu 85 (THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN - 2018) Với hình vng A1 B1C1 D1 hình vẽ bên, cách tơ màu phần gạch sọc gọi cách tô màu “đẹp” Một nhà thiết kế tiến hành tơ màu cho hình vng hình bên, theo quy trình sau: Câu 88 5u + 5u1 − u2 = u2 + (THPT YÊN KHÁNH A - LẦN - 2018) Cho dãy số ( un ) thỏa mãn  * un +1 = 3un ∀n ∈ ℕ Giá trị nhỏ n để un ≥ 2.32018 bằng: A 2017 B 2018 C 2019 D 2010 PHẦN B LỜI GIẢI THAM KHẢO Câu Ta thấy, với ∀n ≥ 2, n ∈ ℕ dãy số ( un ) = n có tính chất: Bước 1: Tơ màu “đẹp” cho hình vng A1 B1C1 D1 Bước 2: Tơ màu “đẹp” cho hình vng A2 B2C2 D2 hình vng chia hình vng A1 B1C1 D1 thành phần hình vẽ Câu un 2n = n −1 = nên cấp số nhân với un −1 công bội q = 2, u1 = Chọn A n −1 1 1 1 =   số hạng tổng quát cấp số nhân có u1 = q = 2n+1   1 17 un = n − có u1 = ; u2 = = 7; u3 = ≠ nên số hạng tổng quát cấp 2 2 2 số nhân 1 3 3 un = n − có u1 = − ; u = − = − ; u3 = − ≠ − nên số hạng tổng quát 2 2 cấp số nhân 19 un = n + có u1 = ; u2 = = 3; u3 = ≠ nên số hạng tổng quát cấp 2 2 2 số nhân u Lập tỉ số n+1 un un = Bước 3: Tô màu “đẹp” cho hình vng A3 B3C3 D3 hình vng chia hình vng A2 B2C2 D2 thành phần Cứ tiếp tục vậ y Hỏi cần bước để tổng diện tích phần tơ màu chiếm 49,99% A bước B bước C bước D bước Câu 86 DẠNG NHẬN DIỆN CẤP SỐ NHÂN Chọn B (SGD&ĐT BẮC NINH - 2018) Cho hình vng ( C1 ) có cạnh a Người ta chia cạnh hình vng thành bốn phần nối điểm chia cách thích hợp để có hình vng ( C2 ) (Hình vẽ) Câu n +1 A: un+1 ( −1) ( n + 1) n +1 = =− ⇒ ( un ) cấp số nhân n un n ( −1) n B: un +1 ( n + 1) = ⇒ ( un ) cấp số nhân un n2 Từ hình vng ( C2 ) lại tiếp tục làm ta nhận dãy hình vng C1 , C2 , C3 ,., Cn T= 32 , tính a ? A Câu 87 B C Câu D 2 (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ SỐ 6) Cho năm số a , b , c , d , e tạo thành cấp số nhân theo 1 1 thứ tự số khác , biết + + + + = 10 tổng chúng 40 Tính giá a b c d e trị S với S = abcde A S = 42 B S = 62 C S = 32 un+1 2n+1 = n = ⇒ un+1 = 2un ⇒ ( un ) cấp số nhân có cơng bội un un +1 n + = D: ⇒ ( un ) cấp số nhân un 3n Chọn A Dãy số (un ) có số hạng tổng quát un = 3.2 n+1 ( ∀n ∈ ℕ* ) ⇒ u n+1 = 3.2 n + C: Gọi Si diện tích hình vng Ci ( i ∈{1, 2,3, }) Đặt T = S1 + S2 + S3 + Sn + Biết Xét thương 1+1 bội q = có số hạng đầu u1 = 3.2 Câu D S = 52 11 un+1 3.2n +2 = = = const với ∀ n ∈ ℕ * nên dãy số (un ) cấp số nhân có cơng un 3.2n+1 =12 Chọn C Ta có: 2, 4,8,16, cấp số nhân có số hạng đầu u1 = công bội q = 12 Câu Ta có u6 = u1 ⋅ q ⇒ q5 = Hướng dẫn giải: Chọn A 1 1 1  1 Ta có: = −1  −  ; − = −  −  ; = −  −  ; Vậy dãy số cấp số nhân với   27  3  3 u1 = −1; q=-  1 Áp dụng công thức số hạng tổng quát cấp số nhân ta có un = u1q n −1 = −1 −   3 n −1 n = ( −1) 3n −1 Câu 14 u1 = u1 = ⇔ Theo đề ta có:  ⇒ q = 243 = 35 ⇒ q = u6 = 486 486 = u1.q Câu 15 Hướng dẫn giải: Lờigiải un = u1q Chọn C Gọi q công bội cấp số nhân Ta có 2 x = x.q 2 x = x.q q = ⇔ ⇒   x + = x.q  x + = 2.2 x  x = Câu 17 tổng quát cấp số nhân ta có DẠNG TÌM HẠNG TỬ TRONG CẤP SỐ NHÂN Số hạng u2 là: u2 = u1.q = −6  u = u1q = u1 = ⇔ ⇔ Ta có  u1q = u9 = q =  Suy u21 = u1q 20 = u1 q = 35 = 162 Câu 19 Chọn A Vì ( u n ) cấp số nhân nên u6u8 = u72 , suy ( ) (k ∈ ℤ) Câu 21 sin α sin α tan α ⇔ cos α = cos α ⇔ 6cos3 α − sin α = ⇔ cos3 α + cos α − = ⇔ cos α = Theo tính chất cấp số nhân, ta có: cos α = u u8 = u = u1 q = 2.56 Chọn C Công thức số hạng tổng quát cấp số nhân: un = u1.q n −1 Do u5 = 3.2 = 48 Chọn B Theo tính chất cấp số nhân với k ≥ uk2 = u k −1 u k +1 ta suy u3 = 1 u32 = u2 u4 = = ⇔  u3 = −1 Vì ( un ) cấp số nhân có cơng bội dương nên u3 = Gọi q công bội ta q = 1 Ta có: cos 2α = 2cos α − =   − = − 2 u4 = =4 u3 1 u2 Từ ta có u1 = = = q 16 Câu 22 Chọn A DẠNG TÌM CƠNG THỨC CỦA CẤP SỐ NHÂN Câu 13 hạng q = ⇒ u7 = u1.q ⇒ q = 64 ⇒   q = −2 Câu 18 Câu 20 + kπ số x + 3z x + 3q x ⇒ 2qx = 2 q = x + 3q x Vì x ≠ nên 2qx = ⇒ 4q = + 3q ⇒  q =  ⇔ x=± Vì x dương nên x = thức x, y ,3 z lập thành cấp số cộng nên y = Tập hợp giá trị x thỏa mãn x, x, x + theo thứ tự lập thành cấp số nhân {1} Chọn A  x = −1 Để 1; x; x + theo thứ tự lập thành cấp số nhân thì: x = x + ⇔  x = Vậy có số nguyên dương x = Câu Chọn B Để ba số lập thành cấp số nhân thì: 1 x = ( x − 1)( x + 1) ⇔ x = x − ⇔ x = ⇔ x = ± 3 Câu 10 A Đúng dãy số cho cấp số nhân với công bội q = B Đúng dãy số cho cấp số cộng với công sai d = C Đúng dãy số cho cấp số cộng có cơng sai dương nên: un +1 − un = d > ⇒ un +1 > un D Sai Ví dụ dãy − ; −2 ; ; ; … dãy số có d = > dãy số dương Câu 11 x − ; x ; x + lập thành cấp số nhân ⇔ x = ( x − 3)( x + 3) ⇔ x = x − ⇔ x = π n −1 Câu 16 Chọn A x, y , z lập thành cấp số nhân công bội q nên y = qx; z = q x Câu Điều kiện: cos α ≠ ⇔ α ≠ Chọn A Chọn B Áp dụng công Câu Câu 12 u6 16 = = 32 ⇒ q = u1 Chọn C 13 14 Áp dụng công thức số hạng tổng quát un = u1 q n −1 = 2.32018 Câu 23 Ta có un = u1.q n−1 ⇔ 1.2n−1 = 1024 ⇔ 2n−1 = 210 ⇔ n − = 10 ⇔ n = 11 Câu 24 Chọn B Ta có: u6 = u1.q = ( −2 ) = −160 Câu 25 Chọn C u + u + u = 168 u + u q + u1.q = 168 Ta có :  ⇔ 31 u4 + u5 + u6 = 21 u1.q + u1.q + u1.q = 21 u1 = S1 = − = u u1 = Ta có:  ⇒ u1 = , q = = ⇒ u = 24 − u = 20 u1 u + u = S = − = 24   2  u − u = 54 u = u q − u q = 54 u1q ( q − 1) = 54 ⇔ Câu 32 Ta có:  ⇔ ⇔ 2 u q q − = 108 u1q − u1q = 108 q = u5 − u3 = 108 )  ( Vậy u1 = ; q = Câu 31 Câu 33 Do u5 = u1.q = 3.24 = 48 Câu 34 Ta có: u1 (1 + q + q ) = 168  ⇔ u1q (1 + q + q ) = 21 168  u1 = 1+ q + q2  ⇔ q =  u1 = 96  ⇔  q = Vậy u1 = 96 , Câu 26 Chọn A Ta có un = − , un +1 = 2un + ⇔ +1 − = ( − ) + ⇔ +1 = 2vn  16 u q19 = 8u1q16 u20 = 8u17 u1q ( q − ) = 0(1) ⇔ ⇔  4 u1 + u5 = 272 u1 + u1.q = 272 u1 (1 + q ) = 272( ) q = Từ ( ) suy u1 ≠ đó: (1) ⇔  q = Nếu q = ( ) ⇔ u1 = 272 không thõa điều kiện u1 ≤ 100 Nếu q = ( ) ⇔ u1 = 16 thõa điều kiện u1 ≤ 100 Câu 35 n −1 = ( −1) 10 Vậy đáp án là: C 1   u = u1.q = Câu 36 Ta có  ⇔  u5 = 16 u1.q = 16  −1 −1 ⇔q= 105 10 n n −1 (1) ( 2) Chia hai vế ( ) cho (1) ta q3 = 64 ⇔ q = ⇒ u1 = 5 Vì u2 = = u1.2 ⇒ u1 = ⇒ u7 = 26 = 160 2 Vậy số hạng thứ cấp số 160 Đáp án C Câu 29 Chọn B q = 4096 u4 = 4096.u1 q = 16 q = 16 ⇔ ⇔ ⇔ Theo ta có:  17 u = 34 u + u = 34 u (1 + q ) = 34  u1 =   2 Vậy u3 = u1.q = 2.16 = 512 Chọn B 81 3 = −2   128 4 16 n −1 Câu 37 Áp dụng công thức cấp số nhân un = u1q n −1 ⇒ − Câu 38 Xét dãy số 4,12, 36,108,324, cấp số nhân có u1 = , q = 3 3 ⇔  =  4 4 n −1 ⇔ n = Số hạng thứ 10 dãy số u10 = u1.q = 4.39 = 78732 Câu 39 Chọn D Giả sử: Bốn góc A, B, C , D theo thứ tự lập thành cấp số nhân A nhỏ Khi B = A, C = A, D = A Nên A + A + A + A = 360 ⇒ A = 240 Câu 40 Chọn D 4 u1 − u3 + u5 = 65 u1 − u1.q + u1.q = 65 u1 − q + q = 65 (1) ⇔ ⇔ Ta có:   6 u1 + u7 = 325 u1 + q = 325 (2) u1 + u1.q = 325 Chia vế (1) cho ( ) ta phương trình : Gọi q cơng bội cấp số nhân ( un ) Ta có u3 = u1q , u8 = u1q7 ⇒ Ta có: u6 = u1.q5 = 0, 00001 ⇔ q5 =  −1  ⇒ un = u1.q n−1 = −1    10  Do cấp số nhân với v1 = , q = , = 6.q n−1 , v2018 = 6.22017 ⇒ u2018 = 6.22017 − Câu 27 Chọn D u1 = u = u =  Ta có:  ⇔ u1.q = ⇔  ⇒ u4 = u1.q3 = u = q =  q >  Câu 28 Chọn C Ta có ( un ) , n ≥ cấp số nhân có cơng bội q = nên có số hạng tổng quát un = q n −1 u1 Câu 30 Ta có u1 = u9 = 768 nên 768 = 3.q8 ⇒ q8 = 256 ⇒ q = ±2 u3 = = 243 ⇒ q = u8 q ( ( Do u9 = u1q8 = 12   = 2187   15 ) ) 16 n−1  1 3 Từ ta un = − .  + ⇒ u50 ≈ −212540500     n +1 − q2 + q = ⇔ q − 5q + 5q − = (*) + q6 Đặt t = q , t ≥ t = Phương trình (*) trở thành : t − 5t + 5t − = ⇔ ( t − ) t − t + = ⇔  t − t + = 0(vn) Với t = ⇒ q = ⇔ q = ±2 Với q = ±2 thay vào ( ) ta u1 = ( Câu 46 ) 10 Ta có: S10 = u1 Câu 47 Vậy u3 = u1.q = 5.4 = 20 Câu 41 Chọn D Cấp số nhân ( un ) có số hạng đầu u1 cơng bội q Do S n = n − nên q ≠ Khi Sn = Ta có: S1 = u1 (1 − q 1− q n ) =6 n Câu 48 −1 u1 (1 − q ) Câu 49 1 1−   = 2019 +   1− = 2020 − 22019 Vì ( u n ) CSN nên: u7 = u1.q = −5 , u10 = u1.q9 = 135 Câu 50 u 135 u q9 u ⇒ 10 = ⇔ = −27 ⇒ q = −3 ⇒ u1 = 76 = − u7 −5 u1q q 729 − ( −2 ) − q7 = = 129 1− q − ( −2 ) Chọn B Gọi u1 , q số hạng công bội cấp số nhân cần tìm u1 (1 + q ) =  u1 (1 + q ) =  S2 =  q = ⇔ ⇔ Từ giả thiết ta có   S3 = 13 u1 + q + q = 13   −3 q =   u1 = 16 u2 < u  ⇒ q = < nên cấp số nhân cần tìm có  Vì  u2 u3 = S3 − S2 = > q = −  − q  181 Do S5 = u1  =  − q  16 Câu 51 Chọn A Ta thấy S tổng 2019 số hạng cấp số nhân với số hạng đầu u1 = , công bội q = Chọn C Ta có un = 2un −1 + 3n − ⇔ un + 3n + = un−1 + ( n − 1) + 5 , với n ≥ ; n∈ ℕ ( Đặt = un + 3n + , ta có = −1 với n ≥ ; n∈ ℕ Như vậy, ( ) cấp số nhân với công bội q = v1 = 10 , = 10.2n −1 = 5.2n Do un + 3n + = 5.2n , hay un = 5.2 n − 3n − với n ≥ ; n∈ℕ Nên u2019 = 5.22019 − 6062 Câu 45 Chọn C Ta có 3 n +  3  3  un+1 = un − + = un −  ⇔ un+1 = un −  ⇔ un+1 −  (1)  n + 3n + 2 2 n +1 n +  n + 2  n +1 3 Đặt = u n − , n ≥ , ta có v1 = u1 − = − từ (1) thu v n +1 = v n 2019 Chọn A Ta có: u42 = u3 u5 = 576 Vì u3 > 0, u5 > công bội âm nên: u4 = −24 ⇒ q = −2 u 12 Lại có: u3 = u1q ⇒ u1 = 32 = = q Áp dụng cơng thức ta có: S7 = u1 ) Chọn A 1 1 1 S2019 = 2019 +   +   + +   2 2 2 u1 (1 − q ) = − ⇔ u1 = 1− q n +1 ( 2019 Vậy u2020 = 6.22019 − = 3.22020 − Câu 44 − 212 − q12 = 212 − = 1− q 1− Có u1 = ⇒ v1 = ⇒ un + = 6.2n−1 ⇒ un = 6.2n−1 − Câu 43 − ( −2 ) − qn = −3 = 1023 1− q − ( −2) Gọi công bội CSN q Suy u4 = u2 q ⇒ q = ±2 Do CSN có số hạng khơng âm nên q = Ta có S12 = u1 = 62 − ⇔ q = 1− q Vậy u5 = u1 q = 5.6 = 6480 Câu 42 Chọn A Đặt un = − ⇒ +1 − = 2.(vn − 5) + ⇒ +1 = 2vn S2 = DẠNG TÍNH TỔNG VÀ MỘT SỐ BÀI TỐN LIÊN QUAN Chọn B ) Áp dụng cơng thức tính tổng cấp số nhân ta có S = Câu 52 n−1 n−1  3  1  3 Suy dãy số (vn ) cấp số nhân với công bội q = , ta có = v1.  = − .        17 − 32019 32019 − = 1− Chọn B 3,1555 = 3,1 + 0,05 + 0,005 + 0,0005 + Dãy số 0,05;0,005; 0,0005; 0,00005; cấp số nhân lùi vô hạn có u1 = 0, 05 ; q = 0,1 18 Vậy 3,1555 = 3,1 + Câu 53 un = 2048 ⇒ u1 q n−1 = 2048 ⇒ 4n−1 = 46 ⇒ n = Chọn B Ta có: q = Câu 54 0, 05 142 = − 0,1 45 Khi tổng cấp số nhân S = u2 u3 u −1 −6 = = = − ( q < 1) Do đó: S = = = u1 u2 1− q 1+ Câu 60 12 12 12 12 1   + + + + n + = 12  + + + n +  10 10 106 10 10  10 10      12 = 12  100  = =  1−  33 99  100  u = 160 u Câu 55 Từ giả thiết ta có  ⇒q= = u1 u6 = Suy tổng số hạng cấp số nhân là: S = Câu 56 Ta có + 77 + 777 + + 77 u1 (1 − q ) 1− q  1 160 1 −    2  =    = 315 = 7 (9 + 99 + 999 + + 99 9) = 10 - +102 - + 103 - + +102018 - = 10 + 102 + 103 + + 102018 - 2018 ( ( ) ) Mặt khác,ta có 10 +10 + 10 + +102018 tổng cấp số nhân với u1 = 10 công bội q = 10 Þ 10 +102 + 103 + +102018 = 10 u (1 + q + q ) = 13 u = ⇔ ⇔ q = q = Do ( ) ( u1 (1 − q ) = 1(1 − 38 ) ) Câu 63 = 3280 1− q 1− 1 1 Câu 57 Ta có S = + + ⋅⋅⋅ + n + ⋅⋅⋅ tổng cấp số nhân lùi vơ hạn ( un ) với un = n có số hạng 3 3 1 đầu u1 = , công sai q = 3 u Do S = = = 1− q 1− a a = Câu 58 Vì n +1 = −2 suy ( an ) cấp số nhân với  an  q = −2 Suy S10 = Câu 59 Ta có un = u1.q n −1 u1 + q + q = 13 u + u q + u1.q = 13 u + u + u = 13  ⇔ Ta có  ⇔ u1.q − u1 = 26 u − u1 = 26 u1 ( q − 1) + q + q = 26 Vậy tổng S8 = a1 (1 − q10 ) 1− q Theo ta có u1 = 1− q (1 − 47 ) 5461 =2 = 1− ⇒ 7.2n−1 = 1792 ⇔ n = ⇒ S8 = 3577 1 Câu 61 Cấp số nhân có u1 = − cơng bội q = − nên tổng cấp số nhân lùi vô hạng 2 u1 (1 − q n ) u1 lim S n = lim = =− 1− q 1− q Câu 62 Chọn C Chọn B Ta có 0,121212 = u1 (1 − q ) = −682 7 ỉ102019 - 10 10 + 102 + 103 + + 102018 - 2018 = ỗỗ - 2018 ữữ 9ố ứ ( ( ( Do Câu 64 19 ) ( ) ( ) )  102019 − 10  102019 − 10 S= − 2018 ⇔ S =  − 2018  9  1 n −1    2 − − Ta có: u n+1 =  2u n +  =  2un +  = un + 3 n + 3n +   n + n +1  n + n +1 2  =  un −  (1) n+2 3 n +1  Đặt = un − u4 = u1.q ⇒ 32 = q ⇒ q = ) Đặt S = + 44 + 444 + + 44 (tổng có 2018 số hạng) Ta có: S = + 99 + 999 + + 99 = (10 − 1) + 102 − + 103 − + 102018 − Suy ra: S = 10 + 102 + 103 + + 102018 − 2018 = A − 2018 Với A = 10 + 102 + 103 + + 102018 tổng 2018 số hạng cấp số nhân có số hạng đầu − 102018 102019 − 10 − q 2018 = 10 = u1 = 10 , cơng bội q = 10 nên ta có A = u1 1− q −9 ⇔ un +1 − , u4 = 32 un = 2048 102018 - 102019 - 10 = 9 , từ (1) ta suy ra: vn+1 = n +1 20 Do ( ) cấp số nhân với v1 = u1 − 2 Suy ra: = v1.q n−1 =   3 ⇔ un − 1 2 =   n +1   n −1 2 ⇔ un =   3 n −1 +  1+ q = u −1 1− ( q < ).Vậy S = = = = ⇔ ⇒q= 1− q 2  1− 1+ 1− − q =   n +1 Câu 70 2017 22016 = + 2019 32017 2019 U n +1 Un U U n ⇔ n+1 = Theo đề ta có: U n+1 = mà U1 = hay = 3n n +1 n 3 2 Vậy u2018 =   3 Câu 65 n −1 1 = , công bội q = 2 + 2 Theo giả thiết, ta có: x + y + z = x + x + d + x + 42d = x + 49d = 217 Mặt khác, x , y , z số hạng liên tiếp cấp số nhân nên: 10 U 1 1 U 1 1 U 1 Nên ta có = =   ; =   =   ; … ; 10 =   3 3 3 3 3 10   1 U  Hay dãy  n  cấp số nhân có số hạng đầu U1 = , công bội q = 3  n  U2 U3 U10 310 − 59048 29524 Khi S = U1 + + + + = π = = = 10 2.310 2.310 59049 Câu 66 un = 2un−1 + ⇔ un + = ( un−1 + 1) d = y = xz ⇔ ( x + d ) = x ( x + 42d ) ⇔ d ( −4 x + d ) = ⇔   −4 x + d = Với d = , ta có: x = y = z = Đặt = un + 1, ta có = 2vn−1 v1 = = n ⇒ un = − = n −  n = 20  2u + ( n − 1) d  n [ 2.3 + ( n − 1)] n = 820 ⇔ Do đó, Sn = 820 ⇔  = 820 ⇔   n = − 41 2  ⇒ S = u1 + u2 + + u20 = ( 21 − 1) + ( 2 − 1) + + ( 20 − 1) = ( 21 + 2 + + 20 ) − 20 Vậy n = 20 S = ( 20 − 1) − 20 = 21 − 22 Câu 71 DẠNG KẾT HỢP CẤP SỐ NHÂN VÀ CẤP SỐ CỘNG Chọn D 11 11 1 1 Diện tích mặt tầng là: a11 = a   = 12288   = m     ( ) ⇔ ( a + 3) = ( a + 1) ( a + ) ⇔ a + a + = a + 8a + ⇔ 2a = ⇔ a = DẠNG BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC Chọn B Gọi a0, a1, a 2, , a11 diện tích mặt đế tháp, tầng 1, tầng 2,., tầng 11  n Khi ta có: a = 12288; an = an −1 = a   , n = 1,2, ,11   b = a + +) a , b , c ba số hạng liên tiếp cấp số cộng có cơng sai d = ⇒  c = a + +) Ba số a + , a + , a + ba số hạng liên tiếp cấp số nhân Câu 68 217 217 2460 = ∉N Suy n = 820 : 3 217  −4 x + 7d = x = Với −4 x + d = , ta có:  ⇔ Suy u1 = − = x + 49 d = 217  d = Vậy (vn ) cấp số nhân có số hạng đầu v1 = cơng bội 2, nên số hạng tổng quát Câu 67 Gọi ba số x , y , z Do ba số số hạng thứ , thứ thứ 44 cấp số cộng nên ta có: x ; y = x + 7d ; z = x + 42d (với d công sai cấp số cộng) ⇒ T = a + b + c = 3a + = Chọn C Do ba số x ; ; 2y theo thứ tự lập thành cấp số cộng, ta có: S = x + y = 10 (1 ) Câu 72 Dễ thấy: S1 = a ; S = a2 a2 a2 ; S3 = ; ; S100 = 99 2 100 a ( − 1) Như S1 , S , S3 , , S100 cấp số nhân với công bội q = Ta lại có ba số x ; ; 2y theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên: P = x y = 16 ( ) Từ (1) , ( 2) suy hai số x ; 2y nghiệm phương trình X − S X + P = hay   1 S = S1 + S2 + + S100 = a  + + + + 99  =   2 X = X − 10 X + 16 = ⇒  X = Theo yêu cầu toán x − y = − = Câu 69 Chọn B (un ) cấp số nhân lùi vơ hạn có cơng bội q , suy q < u3 = u1 q = q , u = u1 q = q Mà u1 , u3 , u4 theo thứ tự ba số hạng liên tiếp cấp số cộng nên u1 + u4 = 2.u3 21 Câu 73 Chọn C Sau năm số dân tỉnh Bình Phước là: 905300.1,19 ≈ 2134650 người Câu 74 Các quãng đường bóng xuống tạo thành cấp số nhân lùi vô hạn có u1 = 10 q = Tổng quãng đường bóng xuống S = Từ ta có + q = 2.q ⇔ q − 2.q + = ⇔ (q − 1)(q − q − 1) = ⇔ q − q − = 299 u1 10 = 40 = 1− q 1− 22 Câu 75 Tổng quãng đường bóng đến bóng dừng hẳn 2S − 10 = 70 (m) Số lượng vi khuẩn tăng lên cấp số nhân ( u n ) với cơng bội q = Ta có: u6 = 64000 ⇒ u1.q5 = 64000 ⇒ u1 = 2000  ac = b (1)  Câu 79 Ta có bd = c ( 2)  a + b + c = 148 ( 3)  Và cấp số cộng có u1 = a , u4 = b , u8 = c Gọi x cơng sai cấp số cộng Vì cấp số nhân có cơng bội khác nên x ≠ b = a + x Ta có :  (4) c = a + x Từ (1) ( ) ta : a ( a + x ) = ( a + 3x ) ⇔ ax − x = Sau n phút số lượng vi khuẩn un +1 un +1 = 2048000 ⇒ u1.q n = 2048000 ⇒ 2000.2n = 2048000 ⇒ n = 10 Vậy sau 10 phút có 2048000 Câu 76 Số thóc sau gấp đơi trước, đặt un số thóc thứ n số thóc lập thành  u = = 20 cấp số nhân:  n un +1 = 2un = Khi tổng số thóc từ đầu tới thứ k S k = u1 + u2 + …+ u k = + 21 +…+ k −1 Do x ≠ nên a = x Từ ( 3) ( ) , suy 3a + 10 x = 2k − k = −1 Vậ y Sk = −1 Theo đề ta có: 2k − > 20172018 ⇔ 2k > 20172019 ⇔ k > log 20172019 Vậy phải lấy tối thiểu từ ô thứ 25 Câu 77 Đặt BC = a; AB = AC = b; AH = h Theo giả thiết ta có a, h, b lập cấp số nhân, suy b2 + b2 a2 h2 = ab Mặt khác tam giác ABC cân đỉnh A nên h2 = ma = − b2 + b2 a 2 Do − = ab ⇔ a + 4ab − 4b = ⇔ a = 2 − b (vì a, b > ) b 2+2 +1 = = Lại có b = q a nên suy q = = a 2 −2 Câu 78 Cách Ta có: an +1 − k = q ( an − k ) ⇔ k − kq = ⇔ k = 1− q Đặt = an − k ⇒ vn+1 = q.vn = q vn−1 = = q n v1 (  16 b =  a = 64   Do :  ⇒ c = x =   256  d = 27  −100 Vậ y T = a − b + c − d = 27 Câu 80 Chọn A Gọi hn độ dài đường bóng lần rơi xuống thứ n ( n ∈ ℕ * ) ) Gọi ln độ dài đường bóng lần nảy lên thứ n ( n ∈ ℕ* ) Theo ta có h1 = 55,8 , l1 =   Khi = q n −1.v1 = q n −1 ( a1 − k ) = q n −1  −  − q     − q n −1 n −1  Vậy an = + k = q n −1  − = 5.q n −1 +  + k = q  − + 1− q  1− q   1− q  1− q Do đó: α = 5; β = ⇒ α + 2β = + 2.3 = 11 Cách Theo giả thiết ta có a1 = 5, a2 = 5q + Áp dụng công thức tổng quát, ta  − q1−1 1−1 a1 = α q + β − q = α  , suy  −1 a = α q 2−1 + β − q = α q + β  1− q ⇒ α + 2β = + 2.3 = 11 148 55,8 = 5,58 dãy số ( hn ) , ( ln ) cấp số nhân lùi vô 10 10 Từ ta suy tổng độ dài đường bóng là: h l 10 S = + = ( h1 + l1 ) = 68, ( m ) 1 1− 1− 10 10 Câu 81 Chọn C hạn với cơng bội q = Diện tích hình vuông lập thành cấp số nhân với số hạng u1 = 5 = α , hay  5q + = α q + β α =  β = 1 ,q = 4 n −1 1 Do số hạng tổng quát un =   = n ( n ≥ 1) Để diện tích hình vng tơ màu nhỏ 4 1 ⇔ n < ⇔ n > 1000 ⇒ n ≥ Vậy tơ màu từ hình vuông thứ thỏa mãn yêu cầu 1000 1000 toán Câu 82 Chọn B 23 24 x =  Ta có: ( x −1)( x − 3)( x − m ) = ⇔  x = x = m  T= = 1 1 + + + + u1 (1 − q ) u2 (1 − q ) u3 (1 − q ) u20 (1 − q ) = 1 1   + + + +  − q  u1 u2 u3 u20  = 1 1  + + + 19   + − q  u1 u1q u1q u1q  = 1 1   + + + + 19  − q u1  q q q  Để phương trình có nghiệm phân biệt thì: m∉{1;3} Trường hợp 1: m < < Để số m ;1 ; lập thành cấp số nhân tăng thì: m.3 = ⇔ m = Cấp số nhân tăng là: ;1;3 Trường hợp 2: < m < m = Để số ; m ; lập thành cấp số nhân tăng thì: 1.3 = m ⇔   m = − Đối chiếu điều kiện < m < ta chọn 20 1 20   −1 1 q 1 1− (q) − 220 = = = 4 19 1 − q u1 − q u1 (1 − q ) q 15.219 −1 q m= Cấp số nhân tăng là: 1; 3;3 Trường hợp 3: < < m Để số ; ; m lập thành cấp số nhân tăng thì: 1.m = Cấp số nhân tăng là: 1; 3; 1 3 Câu 85 ⇔m =   Vậy m ∈  ; 3;9 phương trình ( x −1)( x − 3)( x − m ) = có nghiệm phân biệt lập thành Câu 83 cấp số nhân tăng Chọn A Giả sử phương trình cho có nghiệm là: x1 , x2 , x3 d Theo định lí Viet, tích nghiệm: x1 x2 x3 = − = a Vì ba nghiệm lậ p thành cấp số nhân nên x2 = x1 x3 Do ta có: x23 = ⇔ x2 = Gọi diện tích tơ màu bước un , n ∈ ℕ* Dễ thấy dãy giá trị un cấp số nhân với số hạng đầu u1 = công bội q = 9 u1 ( q k − 1) Gọi Sk tổng k số hạng đầu cấp số nhân xét S k = q −1 Để tổng diện tích phần tơ màu chiếm 49,99% u1 ( q k − 1) q −1 ≥ 0, 4999 ⇔ k ≥ 3,8 Vậy cần bước Câu 86 m = Thay x = vào phương trình ta được: ( m + 6m ) = 28 ⇔   m = −7 Theo giả thiết hai giá trị c m nhận Tổng lập phương hai giá trị m là: 13 + ( −7 ) = −342 Câu 84 1 1 + + + + u1 − u5 u2 − u6 u3 − u7 u20 − u24 a 10 5 3  1  Cạnh hình vuông ( C2 ) là: a2 =  a  +  a  = Do diện tích S = a = S1 8 4  4  2  10  a 10 3  1  Cạnh hình vuông ( C3 ) là: a3 =  a2  +  a2  = = a   Do diện tích 4  4    5 S3 =   a = S Lý luận tương tự ta có S1 , S2 , S3 , S n tạo thành dãy cấp số nhân 8 lùi vơ hạn có u1 = S1 công bội q = 32 S1 8a 2 = Với T = ta có a = ⇔ a = T= 1− q 3 1 1 Câu 87 Gọi q ( q ≠ ) công bội cấp số nhân a , b , c , d , e Khi , , , , cấp số a b c d e nhân có cơng bội q Theo đề ta có Chọn B 25 26  − q5 a − q = 40  − q5  a + b + c + d + e = 40 a − q = 40    1 ⇔ ⇔ a2 q = ⇔ 1 1 1  1−    1 q − q  a + b + c + d + e = 10 1    = 10 = 10 a  a q ( q − 1) 1−  q  Ta có S = abcde = a.aq.aq aq aq = a q10 Nên S = ( a q10 ) = ( a q ) = 45 Suy S = 45 = 32 Câu 88 5u1 + 5u1 − u2 = u + (1)  * u n +1 = 3un ∀n ∈ ℕ ( ) Từ (1) có 5u1 + 5u1 − u2 = u2 + ⇔ ( 5u1 − u2 ) + 5u1 − u2 − = ⇔ 5u1 − u2 = ⇔ 5u1 − u2 = 5u − u = Từ ( ) có un +1 = 3un ⇒ u2 = 3u1 Giải hệ  u1 = u2 = 3u1 u = Dãy ( un ) cấp số nhân với  có SHTQ: un = 2.3n −1 với n ∈ ℕ * q = un ≥ 2.32018 ⇔ 2.3n −1 ≥ 2.32018 ⇔ n − ≥ 2018 ⇔ n ≥ 2019 Vậy giá trị nhỏ thỏa mãn 2019 27 ... 4 n + n n + + n n + + ( n + 1) = n = = = ( ) n + n + + n + ( n + n +1 ) ( 4 n + n +1 )( n + n +1 ) n +1 − n n + n +1 ( )( n +1 − n n +1 − n ) n +1 − n = n +1 − n n −1 Do S = − + − + + 20184... 1)(k + 2)(2k + 3) 12 + 22 + 32 + + k + ( k + 1)2 = = 6 Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có (k + 1)(k + 1)(2k + 1) 12 + 22 + 32 + + k + (k + 1) = + (k + 1) (k + 1)(k + 1)(2k + 1) k (k + 1)(2k... số nguyên dương Xét mệnh đề sau: A T = B T = C M = 1 1 k + 2k + + + + + = 1.2 2.3 k ( k + 1) ( k + 1)( k + ) ( k + 1)( k + ) 1 1 k +1 ⇔ + + + + = Suy mệnh đề với n = k + 1.2 2.3 k ( k +