DẠY THÊM TOÁN LỚP 11 CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN DÃY SỐ, GIỚI HẠN HÀM SỐ (BÀI TẬP + ĐÁP ÁN)

TOÁN 11 GIỚI HẠN DÃY SỐ u  C Nếu lim un = a > limv n = lim  n  = +∞   1D4-1 u  D Nếu lim un = a < limv n = > với n lim  n  = −∞   Contents PHẦN A CÂU HỎI DẠNG CÂU HỎI LÝ THUYẾT Câu DẠNG DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC Tìm dạng hữu tỷ số thập phân vô hạn tuần hoàn P = 2,13131313 , A P = Dạng 1.1 Phân thức bậc tử bé bậc mẫu Dạng 1.2 Phân thức bậc tử bậc mẫu Câu Dạng 1.3 Phân thức bậc tử lớn bậc mẫu 212 99 B P = 213 100 C P = 211 100 D P = 211 99 Khẳng định sau đúng? A Ta nói dãy số ( u n ) có giới hạn số a (hay u n dần tới a ) n → +∞ , lim ( un − a ) = n →+∞ Dạng 1.4 Phân thức chứa B Ta nói dãy số ( u n ) có giới hạn n dần tới vơ cực, un lớn số DẠNG DÃY SỐ CHỨA CĂN THỨC dương tùy ý, kể từ số hạng trở C Ta nói dãy số ( u n ) có giới hạn +∞ n → +∞ u n nhỏ số dương bất kì, DẠNG DÃY SỐ CHỨA LŨY THỪA 11 DẠNG MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC 14 kể từ số hạng trở D Ta nói dãy số ( un ) có giới hạn −∞ n → +∞ u n lớn số dương bất kì, PHẦN B LỜI GIẢI THAM KHẢO 17 kể từ số hạng trở DẠNG TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠNG 13 DẠNG CÂU HỎI LÝ THUYẾT 17 Câu DẠNG DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC 17 A Dạng 1.1 Phân thức bậc tử bé bậc mẫu 17 Dạng 1.2 Phân thức bậc tử bậc mẫu 20 Cho dãy số ( un ) , ( ) lim un = a, lim = +∞ lim Câu B un C −∞ D +∞ Trong khẳng định có khẳng định đúng? Dạng 1.3 Phân thức bậc tử lớn bậc mẫu 25 (I) lim nk = +∞ với k nguyên dương Dạng 1.4 Phân thức chứa 26 (II) lim q n = +∞ q < DẠNG DÃY SỐ CHỨA CĂN THỨC 27 DẠNG DÃY SỐ CHỨA LŨY THỪA 31 (III) lim q n = +∞ q > DẠNG TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠNG 33 A DẠNG MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC 34 Câu Câu PHẦN A CÂU HỎI với n ∈ ℕ * Khi n3 A lim un khơng tồn B lim un = C lim un = D Cho dãy số ( un ) thỏa un − < D lim un = (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN - 2018) Phát biểu sau sai? C lim Trong mệnh đề đây, mệnh đề sai? A Nếu lim un = +∞ limv n = a > lim ( u n ) = +∞ u B Nếu lim un = a ≠ limv n = ±∞ lim  n  C A lim un = c ( un = c số ) DẠNG CÂU HỎI LÝ THUYẾT Câu B = n D lim B lim q n = ( q > 1) = ( k > 1) nk DẠNG DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC Dạng 1.1 Phân thức bậc tử bé bậc mẫu   =  Câu A L = Câu 7 Câu 16 D Câu 20 Câu 21 D 2n + C +∞ 5n + C D C 2n − bằng: n6 + 5n5 −3 C D  1 1  + + + (THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN - 2018) Tính giới hạn lim  +  1.2 2.3 3.4 n n + 1)  (  A B C D (THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN 1 1  L = lim  + + +  + + + n   1+ A L = B L = +∞ Câu 22 Với n số nguyên dương, đặt Sn = CHÁNH - PHÚ C L = YÊN - D L = 2018 n A −∞ B D +∞ +1 A 7n − 2n3 + 3n3 + 2n + Câu 23 B C C +2 D (THPT NGUYỄN TẤT THÀNH - YÊN BÁI - 2018) Tính giá trị lim B Dạng 1.2 Phân thức bậc tử bậc mẫu Câu 24 D − C +∞ cos n + sin n n2 + D −∞ C L = (THPT CHUN HỒNG VĂN THỤ - HỊA BÌNH - 2018) Giá trị lim A D +∞ 2n + ? + n − n2 D L = Câu 26 Câu 27 2n − Câu 18 (THPT PHAN CHU TRINH - ĐẮC LẮC - 2018) Tính I = lim 2n + 3n + A I = −∞ B I = C I = +∞ D I = B − B I = D C −2 C I = 2−n n +1 n−2 bằng: 3n + D 3n − n+3 D k ∈ ℤ (THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU - NGHỆ AN - LẦN - 2018) Giới hạn lim bằng? A 3 C −1 (THPT YÊN LẠC - LẦN - 2018) Tìm giới hạn I = lim A I = − (TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Dãy số sau có giới hạn ? − 2n n2 − n − 2n − 2n A un = B un = C un = D un = 5n + 3n 5n + 3n 5n + 3n 5n + 3n B (THPT THUẬN THÀNH - BẮC NINH - 2018) Kết lim A (LƯƠNG TÀI BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Tính giới hạn L = lim B L = −2 Tìm 1 + + + Khi +2 3+3 n n + + ( n + 1) n −1 A D Câu 25 B 2018) lim Sn lim A L = −∞ Câu 17 B − A 1 + + + 22 − 32 − n −1 B C (HỒNG LĨNH - HÀ TĨNH - LẦN - 2018) lim A Câu 15 2n + C B B D L = (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần MĐ 234 năm học 2017-2018) Tìm I = lim A Câu 14 +∞ C +∞ (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) lim A Câu 13 B Câu 19 Tìm lim un biết un = 5n + (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) lim A Câu 12 B (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) lim A Câu 11 B L = (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) lim A Câu 10 n −1 n3 + C L = (THPT Chuyên Thái Bình - lần - 2019) Tính L = lim B C − 2n 3n + D − Câu 28 A I = Câu 29 2n + 2017 3n + 2018 2017 C I = 2018 A (SGD&ĐT BẮC NINH - 2018) Tính giới hạn I = lim B I = (THPT Quỳnh Lưu- Nghệ An- 2019) 19 A B 18 18 lim D I = Câu 39 + 19n 18n + 19 C +∞ 19 Câu 30 (THPT Thạch Thành-Thanh Hóa-năm 2017-2018) Dãy số sau có giới hạn khác ? n +1 sin n A B C D n n n n Câu 31 (CHUYÊN HÀ TĨNH - LẦN - 2018) lim A B A Câu 35 B (THPT LÊ XOAY - LẦN - 2018) lim A 11 Câu 36 B C A I = − 2n − 2n + 4n + 2n + (Thi thử SGD Cần Thơ mã 121 – 2019) Giá trị lim A − B C −1 Câu 38 Tính lim C D B 10 2n − , n ∈ ℕ* là: 3− n C 10n + ta kết quả: 3n − 15 10 B I = C I = 10 2n + n + A D − D I = − lim Câu 45 Tính lim B C −2 B C D - B − C D − D +∞ 8n + 3n − + 5n + n A D 2n − − 2n Câu 46 Cho hai dãy số ( un ) ( ) có un = D D D C − A B n +n A = lim 12n2 + Câu 37 Giá trị A B 12 C B A D C +∞ 3n + lim n − bằng: Câu 44 2n + kết 1+ n Câu 42 Tính giới hạn I = lim Câu 43 D n2 − 3n3 2n3 + 5n − A −2 D − 8n5 − 2n3 + Câu 33 (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần năm 2017-2018) Tìm lim 4n + 2n + A B C D (CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN - 2018) Tính lim Câu 41 Giới hạn dãy số ( u n ) với un = 4n + 2018 Câu 32 (SGD THANH HĨA - LẦN - 2018) Tính giới hạn lim 2n + 1 A B C D 2018 Câu 34 B Câu 40 Tính giới hạn lim A C n + 4n − 3n3 + n + A D − n2 2n + 1 C lim B +∞ Câu 47 Giới hạn A −2 24 lim 8n − n + 2n − 4n5 + 2019 B u ; = Tính lim n n +1 n+3 C C +∞ D +∞ D 5n + 2n + Câu 48 Giá trị B = lim A 4n + 3n + ( 3n − 1) B A bằng: C D Câu 57 n3 + n2 + Câu 49 (THPT CHUYÊN THĂNG LONG - ĐÀ LẠT - 2018) Tính L = lim ⋅ 2018 − 3n3 1 A B −3 C +∞ D − 2018 Câu 50 Câu 51 .Khi khẳng định sau đúng? A < a < B < a < Câu 52 Dãy số ( u n ) với un = A 192 ( 3n − 1)( − n ) ( 4n − ) có giới hạn phân số tối giản B 68 C −1 < a < C 32 = a2 − a +1 Câu 60 D < a < a Tính a.b b Câu 61 Câu 54 Cho dãy số ( un ) D 128 D −6 C D B +∞ 2n − + +…+ với n ∈ ℕ * Giá trị lim un bằng: n2 n n C −∞ D (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần   1   lim 1 − 1 −  1 −       n   A B 1-năm C 2017-2018) D Tính giới hạn: (CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN - 2018) Cho dãy số B 2019 2018 Câu 62 Tính lim(−2n + 3n + 4) ? A −∞ B +∞ + + + + n với un = Mệnh đề sau đúng? n2 + (u ) n với C D C −2 D 2019 C 81 D C L = D L = −∞ C D +∞ Dạng 1.3 Phân thức bậc tử lớn bậc mẫu C Dãy số ( u n ) khơng có giới hạn n → +∞ B lim un = Câu 63 lim ( − 3n ) ( n + 1) là: A −∞ D lim un = B +∞ 12 + 22 + 32 + 42 + + n Câu 55 (THPT Ninh Giang-Hải Dương năm 2017-2018) Giới hạn lim có giá n + 2n + trị bằng? 1 A B C D lim D +∞ n  (THPT HAI BÀ TRƯNG - HUẾ - 2018) Tìm lim  + + +  n  n n 1 A +∞ B C D n A A lim un = Câu 56 1 un = + + + Tính lim un 1.3 3.5 (2n −1).(2n +1) 2n + n − = với a tham số Khi a − a an + 2 A −12 B −2 C Câu 53 Biết lim B A 0` Câu 59 C n  Lim  + + + +  n  n n n Câu 58 Cho dãy số ( un ) xác định bởi: un = an2 + a n + ( n + 1) B A (Thi thử chuyên Hùng Vương Gia Lai lần -2019) Gọi S tập hợp tham số nguyên a thỏa  3n +  + a − 4a  = Tổng phần tử S mãn lim   n+2  A B C D (Chuyên Lào Cai Lần 2017-2018) Cho a ∈ ℝ cho giới hạn lim + + + + 2n + 3n + Câu 64 Tính giới hạn A L = +∞ n − 2n 3n + n − B L = Câu 65 Tính giới hạn dãy số un = A L = lim −2 −2 + 3n − 2n3 3n − B −∞ Câu 66 Giới hạn lim + + + ( 4n − 3) C lim 2n − A B +∞ C D Câu 74 Giới hạn Câu 68 (THPT HÀ HUY TẬP - LẦN - 2018) lim 4n + − n + 2n − 3 A C B Câu 69 (CỤM B I = TRƯỜNG lim n ( CHUYÊN 4n + + n 4n − n + n+4 − n+3 - - ĐBSH LẦN - C B Câu 76 Có giá trị nguyên a để lim A Khi giá trị I là: 2018) C Câu 77 Tính giới hạn lim ( Câu 70 Tìm lim un biết un = A Câu 71 C (LÊ QUÝ ĐÔN - QUẢNG TRỊ - LẦN - 2018) Tính lim n L = lim ( D −∞ B C Câu 80 Tính giới hạn L = lim ( A +∞ ( n − 3n + − n A −3 Câu 81 Tính giới hạn L = lim ) B +∞ C 4n + n + − 9n ( ( n + − n2 −   ) D I = ) 4n2 + − 8n3 + n D ) C −∞ D C −∞ D C −∞ D 53 D ) D +∞ ( A +∞ lim 9n + 2n − − 4n + B −7 DẠNG DÃY SỐ CHỨA CĂN THỨC Câu 72 C −∞ B A +∞ 12 + 22 + 33 + + n (HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN - 2018) Tính lim 2n ( n + )( 6n + ) A B C D (LÊ QUÝ ĐÔN - HẢI PHỊNG - LẦN - 2018) Tính I = lim  n  A I = +∞ B I = C I = 1, 499 Câu 79 Tính giới hạn 2n + D ) B A +∞ D − n + + + + ( 2n − 1) B +∞ n − 4n + + a − n = ? x →−∞ C D ) ( Câu 78 4x2 + x + − x2 − x + 3x + 2 A − B 3 2n + + 2n ) B +∞ A D I = C I = −1 D lim Câu 75 Tính giới hạn lim n − n2 − 4n D +∞ (THPT LÝ THÁI TỔ - BẮC NINH - 2018) Cho I = lim A I = ) n + 2n − n + A Dạng 1.4 Phân thức chứa Câu 67 ( Câu 82 Tính giới hạn D − B −7 L = lim A +∞ Câu 73 Trong giới hạn sau đây, giới hạn có giá trị 1? 3n +1 + n 3n + n A lim B lim n 5+3 4n − ( n + 3n + − n + 25 B −7 L = lim Câu 83 Tính giới hạn ) 4n + n − 4n + ĐS: 2n + − n + 4n − ) C 10 A +∞ B −7 Câu 84 Tính giới hạn sau L = lim A +∞ Câu 85 Tính giới hạn L = lim ( Câu 86 Tính giới hạn L = lim ( Câu 87 Tính giới hạn L = lim ( Câu 88 Tính giới hạn L = lim ( ( A +∞ Câu 90 Tính giới hạn L = lim ( A +∞ Câu 91 Tính giới hạn L = lim D A ) n Câu 97 53 C D Câu 98 C D lim lim ( 3n − 4n ) Câu 99 Tính giới hạn lim ) 53 D − A D − C lim ) 53 C n n B ( −1) C ( −1,0001) D (1, 2345) B 100 C 100 D B −∞ C D C D − 3.2n +1 − 2.3n +1 + 3n n + n + − n3 + n B D B Câu 100 Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn ? + 2.2017 n + 2.2018n A lim B lim n n 2016 + 2018 2016n + 2017 n +1 ) n + n − n6 + C A +∞ n3 − 2n2 − n − C n D lim ( ) 100n +1 + 3.99n 10 n − 2.98n +1 A +∞ ) C B +∞ n A ( 0,999 ) D ) 4 C lim    3 Câu 96 Dãy số sau có giới hạn ? 53 C n − n3 + n + B ( 53 2n − n + n − B n B lim    3 n 8n + 3n + − 2n + B A +∞ Câu 89 Tính giới hạn L = lim C B −1 A +∞ D  2018  lim    2019  Câu 95 ) C −∞ n A lim    3 D 8n3 + 3n2 − + 5n2 − 8n3 n→+∞ B +∞ n 53 C (THPT THÁI PHIÊN - HẢI PHÒNG - LẦN - 2018) lim 2n A ) 25 B A +∞ Câu 93 −1 Câu 94 Trong giới hạn sau giới hạn B −7 D n + − n +1 B −7 A +∞ A +∞ ( 53 C D Câu 101 Tính + 2.2018n 2.2018n +1 − 2018 D lim n n 2017 + 2018 2016n + 2018n lim 2n + 2.2n + A B C DẠNG DÃY SỐ CHỨA LŨY THỪA D Câu 102 (Chuyên - Vĩnh Phúc - lần - 2019) Có tất giá trị nguyên tham số a thuộc Câu 92 (THPT HÀ HUY TẬP - HÀ TĨNH - LẦN - 2018) Dãy số sau có giới hạn ? n 4 A   e n 1 B   3 n 5 C   3 khoảng ( 0; 2019 ) để lim n  −5  D     A 2018 11 9n + 3n +1 ≤ ? 5n + 9n + a 2187 B 2012 C 2019 D 2011 12 Câu 103 (THPT T = lim ( Chuyên Hùng Vương-Gia Lai-lần năm 2017-2018) Tính giới hạn ) DẠNG MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC 16n+1 + 4n − 16n+1 + 3n A T = B T = C T = D T = Câu 111 (THTT 16 5-488 B 142 45 C 18 A lim un = C < un < , ∀n ∈ ℕ* 2018 D lim số (un ) thỏa mãn n →+∞ n →+∞ un +1 =1 un Câu 112 (THPT Việt Trì-Phú Thọ-lần 1-năm 2017-2018) Đặt f ( n ) = ( n + n + 1) + , xét dãy số ( u n ) cho un = f (1) f ( 3) f ( 5) f ( 2n − 1) Tìm lim n un f ( ) f ( ) f ( ) f ( 2n ) B lim n un = C lim n un = D lim n un = ∀ n ≥ Biết D lim A S = −1 C u n + u4 n + u42 n + + u42018 n u n + u2 n + u22 n + + u22018 n = a 2019 + b c B S = C S = 2017 D S = 2018 Câu 114 (THTT Số 2-485 tháng 11-năm học 2017-2018) Dãy số ( un ) sau có giới hạn khác số D +∞ n dần đến vô cùng? B C u1 =  thoả mãn  Tìm lim un * un +1 = un + 4, ∀n ∈ N B lim un = C lim un = 12 B L = dãy Câu 113 (THTT số 6-489 tháng năm 2018) Cho dãy số ( u n ) xác định u1 = un +1 = un + 4n + , D D C L = 2018 A un = ( 2017 − n ) B u = n n ( 2017 n ( 2018 − n ) ) n + 2018 − n + 2016 u1 = 2017  C  un +1 = ( un + 1) , n = 1, 2,3 D un = 1 1 + + + + 1.2 2.3 3.4 n ( n + 1) Câu 115 (THPT CHU VĂN AN -THÁI NGUYÊN - 2018) Cho dãy số ( un ) xác định sau u1 = 2016; un −1 = n ( un −1 − un ) , với n ∈ ℕ* , n ≥ , tìm giới hạn dãy số ( un ) A 1011 D lim un = B 1010 Câu 116 Cho dãy số ( u n ) sau: un = n Câu 110 Cho cấp số cộng ( un ) có số hạng đầu u1 = công sai d = Tìm lim un A L = Cho B lim un = A lim n un =  u1 =  Câu 108 (Chu Văn An - Hà Nội - lần - 2019) Cho dãy số (un ), n ∈ ℕ* , thỏa mãn điều kiện  un un +1 = − Gọi S = u1 + u2 + u3 + + un tổng n số hạng dãy số cho Khi lim Sn Câu 109 Cho dãy số ( un ) 2018) với a , b , c số nguyên dương b < 2019 Tính giá trị S = a + b − c 1 1 + + + n + Câu 107 Tổng A B 2 A năm A Dãy số ( u n ) dãy tăng Câu 106 Số thập phân vô hạn tuần hoàn 3,15555 = 3,1( ) viết dạng hữu tỉ 63 20 un = n + 2018 − n + 2017, ∀n ∈ ℕ Khẳng định sau sai? Câu 104 (THPT YÊN LẠC - LẦN - 2018) Tính tổng S cấp số nhân lùi vơ hạn có số hạng đầu u1 = công bội q = − A S = B S = C S = D S = A tháng * DẠNG TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠNG 2 Câu 105 Tổng vô hạn sau S = + + + + n + có giá trị 3 A B C số A B C 1008 n + n2 + n4 D 1009 , ∀n = , , Tính giới hạn lim ( u1 + u2 + + un ) x→+∞ C D D L = 13 14 Câu 117 (THPT NGUYỄN HUỆ - TT HUẾ - 2018) Cho u1 = Tính lim un  * 3 4un +1 + = 4un + + 4, ( n ∈ ℕ ) A B C dãy số ( un ) thỏa mãn 9n + 3n +1 nguyên tham số a thuộc khoảng ( 0; 2018 ) để có lim n n + a ≤ ? +9 2187 A 2011 B 2016 C 2019 D 2009 D Câu 123 (THPT CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIÊU - ĐỒNG THÁP - 2018) Có giá trị u = − Câu 118 (THPT GANG THÉP - LẦN - 2018) Cho dãy số ( un ) biết  , un = 3un −1 − 1, ∀n ≥ u L = lim nn A Không xác định B L = +∞ C L = − D L = Câu 124 Từ độ cao 55, 8m tháp nghiêng Pisa nước Italia người ta thả bóng cao su chạm xuống đất Giả sử lần chạm đất bóng lại nảy lên độ cao độ cao mà bóng đạt 10 trước Tổng độ dài hành trình bóng thả từ lúc ban đầu nằm yên mặt đất thuộc khoảng khoảng sau đây? Câu 119 (THPT HẬU LỘC - TH - 2018) Tam giác mà ba đỉnh ba trung điểm ba cạnh tam giác ABC gọi tam giác trung bình tam giác ABC Ta xây dựng dãy tam giác A1B1C1 , A2 B2C2 , A3 B3C3 , cho A1B1C1 tam giác cạnh với số nguyên dương n ≥ , tam giác An BnCn tam giác trung bình tam giác An−1Bn−1Cn−1 Với số nguyên dương n , kí hiệu Sn tương ứng diện tích hình trịn ngoại tiếp tam giác An BnCn Tính tổng S = S1 + S2 + + Sn + ? A S = 15π B S = 4π C S = C un = n ( n − 2018 ) ( n − 2017 ) 2017 2018 B un = n ( 9π u1 = 2018  D  un +1 = ( un + 1) , n ≥ C B C 2 un + a , ∀n ∈ ℕ* Biết D D C −1 C Chiều cao mơ hình mét Câu 122 (THPT TRẦN PHÚ - ĐÀ NẴNG - 2018) Với n số tự nhiên lớn , đặt 1 1 Sn = + + + + Tính lim Sn C3 C4 C5 Cn A B D Câu 126 Một mơ hình gồm khối cầu xếp chồng lên tạo thành cột thẳng đứng Biết khối cầu có bán kính gấp đơi khối cầu nằm bán kính khối cầu 50 cm Hỏi mệnh đề sau đúng? A Chiều cao mơ hình khơng q 1, mét B Chiều cao mơ hình tối đa mét ) B −1 Câu 125 (THPT THUẬN THÀNH 1) Cho hai dãy số ( un ) , ( ) tồn giới hạn hữu hạn Biết A 2 lim u1 + u2 + + un − 2n = b Giá trị biểu thức T = ab ( D ( 69 m ; 72 m ) n→+∞ ) Câu 121 (SGD&ĐT BRVT - 2018) Cho dãy số (un ) thỏa mãn: u1 = ; un +1 = A −2 C ( 64 m ; 66 m ) giới hạn lim ( un + 2vn ) D S = 5π n2 + 2020 − 4n2 + 2017 2 + +… + 1.3 3.5 ( 2n + 1)( 2n + 3) B ( 60 m ; 63m ) hai dãy số đồng thời thỏa mãn hệ thức un +1 = 4vn − 2, +1 = un + với ∀n ∈ ℤ + Giá trị Câu 120 (CTN - LẦN - 2018) Trong dãy số ( u n ) cho đây, dãy số có giới hạn khác ? A un = A ( 67 m ; 69 m ) Câu 127 Trong lần Đồn trường Lê Văn Hưu tổ chức chơi bóng chuyền hơi, bạn Nam thả bóng chuyền từ tầng ba, độ cao 8m so với mặt đất thấy lần chạm đất bóng lại nả y lên độ cao ba phần tư độ cao lần rơi trước Biết bóng chuyển động vng góc với mặt đất Khi tổng quảng đường bóng bay từ lúc thả bóng đến bóng khơng máy gần số nhất? A 57m B 54m C 56m D 58m Câu 128 Với số nguyên dương n , gọi sn số cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn x + y ≤ n (nếu a ≠ b hai cặp số ( a; b ) ( b; a ) khác nhau) Khẳng định sau đúng? A lim n →+∞ 15 D Mơ hình đạt chiều cao tùy ý sn n = 2π B lim n →+∞ sn n = C lim n →+∞ sn n = π D lim n →+∞ sn n = 16 Câu 10 PHẦN B LỜI GIẢI THAM KHẢO Câu DẠNG CÂU HỎI LÝ THUYẾT Chọn C u Nếu lim un = a > limv n = lim  n  dương hay âm Câu Ta có: lim   = +∞ mệnh đề sai chưa rõ dấu  Câu Chọn D Lấy máy tính bấm phương án phần D kết đề Chọn A Câu Chọn B Câu 11 Câu 12 Câu un =0 = lim 2n + 7 n = 1 = lim =0 2n + n 2+ n   1  = lim   = = 5n + n  5+  n  Câu 13 Hướng dẫn giải Chọn D Chọn B (II) lim q n = +∞ q < ⇒ ( II ) khẳng định sai lim q n = q < Ta có I = lim (III) lim q n = +∞ q > ⇒ ( III ) khẳng định Chọn D Ta có: un − < 1 ⇒ lim ( un − ) = lim = ⇒ lim un − = ⇒ lim un = n3 n Câu Theo định nghĩa giới hạn hữu hạn dãy số (SGK ĐS11-Chương 4) lim q n = ( q < 1) Câu DẠNG DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC Dạng 1.1 Phân thức bậc tử bé bậc mẫu Chọn B −2+ n − n3 + n n = − = lim 3n3 + 2n + 3+ + n n Câu 14 − 2n − n n = Ta có lim = lim 5 n + 5n 1+ n Câu 15 Câu 16 Chọn B Chọn D Vậy số khẳng định Ta có: L = lim 1 − n −1 n n = = Ta có lim = lim n +3 1+ n Câu 2+ Chọn B lim (I) lim nk = +∞ với k nguyên dương ⇒ ( I ) khẳng định Câu n Chọn B Ta có: lim Dùng tính chất giới hạn: cho dãy số ( un ) , ( ) lim un = a, lim = +∞ a hữu hạn lim Chọn D Câu 17 Chọn C Xét đáp án Chọn A 1 Ta có lim = lim n = 5n + 5+ n Xét đáp án 17 + 2n + n n2 = = lim 2 2+n−n + −1 n2 n 1− n2 − n =1 = lim 5n + 3n2 +3 n 1− n − 2n n =1 B lim = lim 5n + 3n +3 n A lim 18 Xét đáp án Xét đáp án Câu 18 Câu 19 2n − = lim I = lim 2 n + 3n + 1 − − 2n n2 n = = lim 5n + 3n +3 n −2 − 2n2 n2 D lim = lim =− 5n + 3n +3 n Sn = C lim 1 1 1 = − + − + − = 1− 2 n n +1 n +1 Suy lim Sn = 2  n2  −  − n n  n n =0 = lim 3   2+ + n2  + +  n n n n   Câu 23 cos n + sin n = n2 + Dạng 1.2 Phân thức bậc tử bậc mẫu −1 2−n −1 = Câu 24 Ta có: lim = lim n = −1 1+ n +1 1+ n 1 1 1 + + + = + + + + 2 − 32 − n − 1.3 2.4 3.5 ( n − 1)( n + 1) 1 1 1 1  1 1  =  − + − + − + + − =  + − = − 1 n − n +   n +  ( n + 1) 3  Suy ra: lim un = lim  − =  ( n + 1)  Câu 20 Ta có: Ta có + + + + k tổng cấp số cộng có u1 = , d = nên + + + + k = ⇒ Câu 25  2 n 1 −  1− n−2 n n = Ta có lim = lim  = lim 1 3n +  3+ n3+  n n  Câu 26 3− 3n − n Ta có I = lim = lim = 3 n+3 1+ n Câu 27 Ta có lim Câu 28 Ta có I = lim Câu 29 Chọn A 1 1 1 1 1 1 = − + − +⋯+ − + − = 1− + + + + 1.2 2.3 3.4 n ( n + 1) 2 n −1 n n n + n +1  1 1    + + + + Vậy lim   = lim 1 −  =1 1.2 2.3 3.4 n n + n +1  ( )    Câu 21 (1 + k ) k 2 2 = − , ∀k ∈ℕ* = + + + k k ( k + 1) k k + 2   2 2 2 2 L = lim  − + − + − + + −  = lim  −  = n n +1  1 2 3  n +1  Câu 22 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có Ta có lim 1 = n n + + ( n + 1) n n n +1 n +1 + n ( ) = cos n + sin n cos n + sin n =0 lim ≤ < n2 + n2 + n +1 n +1 Ta có < Suy lim Chọn A Ta có: un = 1 + + + +2 3+3 n n + + ( n + 1) n n +1 − n 1 = − n n +1 n n +1 Câu 30 19 2017 2+ 2n + 2017 n =2 = lim 2018 3n + 2018 3+ n + 19 + 19n 19 = lim n = 19 18 18n + 19 18 + n Chọn C Có lim Suy −2 − 2n = lim n =− 3n + 3+ n n +1 = lim1 + lim = n n 20 Câu 194 (THPT CHUYÊN NGUYỄN ĐÌNH TRIỂU - ĐỒNG THÁP - LẦN - 2018) lim x x →+∞ ) ( A x →2 B C Câu D +∞ Câu 195 (THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-lần năm 2017-2018) Giới hạn có kết ? x A lim x + − x B lim x x + + x x →−∞ x →+∞ x x + + x D lim x x + − x C lim x→−∞ x →+∞ ( ( ) ) ) ) ( ( Câu 196 (THPT Quãng Xương-Thanh Hóa-lần 1-năm 2017-2018) Cho lim x →−∞ lim ( Dễ thấy lim x + 5x + − x + x − a x + + 2017 = ; x + 2018 x→ Câu x + bx + − x = Tính P = 4a + b Câu 10 x →1 Câu 11 Ta có lim DẠNG GIỚI HẠN HỮU HẠN Ta có lim 3 f ( x ) − g ( x ) = lim f ( x ) − lim g ( x ) = lim f ( x ) − lim g ( x ) = −6 Chọn D Ta có lim  f ( x ) + x − 1 = Câu 15 Chọn B sin x π Vì sin = nên lim = π x π x→ Câu 16 Ta có x→+∞ Vĩnh Phúc-lần ( x2 − x + − x C MĐ 904 ) D năm 2017-2018) Tìm giới hạn ) ( A I = B I = 46 31 x → x0 x → x0 C I = 17 11 x → x0 x → x0 D I = x →3 x → x0 Chọn D Ta có: lim ( x − 3x + 1) = x→1 Chọn B Ta có L = lim x →3 x −3 3−3 = = x +3 3+3 I = lim Chọn B lim ( 3x − x + 1) = 3.12 − 2.1 + = x x →0 6x x ( ) 3x + + = lim x→0 3x + + =3 ( x + 1)( x − ) = lim x − = −3 x2 − x − = lim ( ) x →−1 x →−1 x +1 x +1 Khi I − J = x + x + x + + x 50 − 50 Câu 17 Có: lim f ( x ) = lim x →1 x →1 x −1 = lim 1 + ( x + 1) + ( x + x + 1) + + ( x 49 + x 48 + + 1) x →1 = + + + + 50 = 25 (1 + 50 ) = 1275 x→−1 Chọn A Chọn A ) = lim 3x + − x →−1 Ta có lim ( x − x + ) = ( −1) − ( −1) + = x→1 ( J = lim Chọn B Ta có: lim x→0 x →1 Câu 2−5 = −1 Câu 14 B −2 Chuyên D P = I = lim x + − x − x + Câu = PHẦN B LỜI GIẢI THAM KHẢO A −4 Câu 198 (THPT Câu 2x + Chọn D Ta có ( x − 1) ≥ 0, ∀x ≠ Do để giới hạn +∞ giới hạn tử phải dương x +1 Vậy lim = +∞ x →1 ( x − 1) C P = x →+∞ Câu x + − x2 − Câu 13 B P = −1 Câu 197 (THPT Lê Q Đơn-Hà Nội năm 2017-2018) Tính lim Câu x3 − x + 2020 13 − 2.12 + 2020 = = 2019 2x −1 2.1 − Chọn D lim Chọn A Ta có: Với x = −2 ; x + x + ≠ x +1 ( −2 ) + = − Nên A = lim = x →−2 x + x + ( −2 ) + ( −2 ) + A P = Câu Chọn C x +1 = x→1 x + Chọn D lim Câu 12 x →+∞ Câu Chọn B lim x2 − = − = x →−2 ) x+2 2+2 = =4 x −1 −1 x − 2x + 12 − 2.1 + = =1 x +1 1+1 Vậy lim f ( x ) = 1275 x →1 21 22 Câu 18 DẠNG GIỚI HẠN MỘT BÊN Hàm số f xác định đoạn [ a; b ] gọi liên tục đoạn [ a; b ] liên tục Câu 19 Chọn B Vì lim+ ( −3x + ) = −2; lim+ ( x − ) = 0; x − > 0, ∀x > nên lim+ x→ x →2 Ta có lim+ ( x − ) x→2 x→ −3 x + = −∞ x−2 2x -1 4- x Ta có lim- (2 x - 1) = > , lim- (4 - x) = - x > với x < x® x® Câu 22 Đặt f ( x ) = x + 1; g ( x ) = x − Ta có lim+ f ( x ) = 2; lim+ g ( x ) = 0; g ( x ) > x → 1+ x® x →1 2x -1 = +¥ 4- x Câu 32 −2 x + Suy lim+ = −∞ x →1 x −1 1− 2x ⇒ lim+ = −∞ x →1 x − Câu 33 Chọn C Ta có: lim ( x + 1) = > 0; lim ( x − 1) = x − < 0, ∀ x < (do x → 1− ) x→1 x →1 Chọn C x →( −1) Câu 25 x → 1− x2 + ⇒ lim− = −∞ x→1 x −1 Câu 34 Chọn D Ta có: lim + x →1 x → 1− lim ( x + ) = >  x →1 x+2 lim− = −∞ lim ( x − 1) = x →1 x →1 x −   x − < 0, ∀x < Câu 24 x →1 x +1 = +∞ Vậy lim+ x →1 x − Chọn A Ta có lim+ (1 − x ) = −1 ; lim+ ( x − 1) = x − > 0, ∀x > Chọn B Ta có lim+ ( −2 x + 1) = −1 < , lim+ ( x − 1) = , x − > x → 1+ x→1 Câu 23 x x−2 =0 x+2 Lời giải Chọn B  lim+ ( −2 x + 1) = −1  x→1 −2 x + ⇒ lim+ = −∞ ( x − 1) =  lim + x →1 x −1  x→1 +  x → ⇒ x − > Câu 30 Chọn C x x ( x − 2)2 ( x − 2) x lim ( x − 2) = lim+ = lim+ =0 x →2+ x →2 x→ x −4 x2 − x+2 Câu 31 Chọn A Xét lim- Do lim- x = lim x − x→2+ Câu 29 Chọn A x® Chọn B = −∞ x−a x→b Ta có: lim+ = +∞ lim+ x = x > Vậy đáp án A x→0 x x →0 Suy đáp án B sai Các đáp án C D Giải thích tương tự đáp án A Câu 20 Chọn C −3 x + −3 x + Dễ thấy lim = −3 ; lim = −3 (loại) x →+∞ x − x →−∞ x − Câu 21 x →a Câu 28 khoảng ( a; b ) , đồng thời lim+ f ( x ) = f ( a ) lim− f ( x ) = f ( b ) x →a Vậy lim− 3x + − x +1 = =− x −1 −1 − Ta có: lim x→−∞ ( ) x − x + + x − = lim x →−∞ x2 − x + − ( x − 2) 2 x − x + − ( x − 2) = lim x→−∞ 3x − x2 − x + − x + 3 x = − ⇒ đáp án A = lim x →−∞ 1 − − + −1 + x x x  1 2 lim x − x + + x − = lim x  − + + −  x →+∞ x →+∞ x x x    1 2 1 2 Do lim x = +∞ lim  − + + −  = > nên lim x  − + + −  = +∞ ⇒ x→+∞ x→+∞ x →+∞ x x x x x x    đáp án C 3x + = +∞ ⇒ đáp án B sai Do lim− ( x + ) = −1 < x + < với ∀x < −1 nên lim− x →−1 x + x →−1 3− Chọn B Ta có lim− ( x − ) = 0, x − < 0, ∀x < x→3 Câu 26 Chọn D x +1 lim− = −∞ lim− ( x + 1) = > , lim− ( x − 1) = ( x − 1) < với x < x →1 x − x →1 x →1 Câu 27 Chọn D  lim− = >  x →a Ta có:  lim− (1 − a ) =  x →a −  x − a < x → a ( 23 ) 24 Do lim+ ( x + ) = −1 < x + > với ∀x > −1 nên lim− x →−1 x →−1 Câu 35 Câu 36 Câu 37 3x + = −∞ ⇒ đáp án D x +1 Do hàm số f ( x ) có giới hạn hữu hạn x dần tới −2 nên x = −2 nghiệm phương trình x + ax + b = , ta − 2a + b = x−2+a , x < −2  Ta viết lại hàm số f ( x ) =  x −  x + 1, x ≥ −2 Mặt khác hàm số tồn giới hạn 4x − = +∞ lim+ ( x − 3) = , lim+ ( x − 1) = , x − > x → 1+ x →1 x − x →1 x →1 + 2x Xét lim− thấy: lim− ( + x ) = −1 , lim− ( x + ) = x + < với x < −2 nên x → −2 x + x →−2 x →−2 + 2x lim− = +∞ x →−2 x + Ta thấy lim− f ( x ) = +∞ lim+ f ( x ) = +∞ Ta có lim+ x →1 ⇔ lim− f ( x ) = lim+ f ( ) ⇔ x →−2 x →−2 Câu 38 ( x + 1)( x − 3) = lim x − = −4 x2 − x − Ta có lim = lim ( ) x →−1 x → −1 x → −1 x +1 x +1 Câu 39  lim ( 3x − ) = −1 <  x→ 2+ 3x −  ⇒ lim+ = −∞  lim+ ( x − ) = x → x → x−2   x → 2+ ⇒ x − > Câu 44 x →−2 −2 − + a = −1 ⇔ a = ⇒ b = 12 −2 − Do 3a − b = 12 Chọn D D = ℝ Xét: lim+ f ( x ) = lim+ ( x + ax + 1) = 2a + 5; lim− f ( x ) = lim− ( x − x + 1) = x →2 x →2 x→ x→ Hàm số y = f ( x ) có giới hạn x = lim f ( x ) = lim− f ( x ) ⇔ x + = ⇔ a = x →2 + Câu 45 x →2 Ta có: ( x + ) − = lim x+4 −2 = lim+ x →0 x →0+ x x x+4 +2 x lim f ( x ) = lim+ x →0 + Câu 40 Chọn B Ta có lim− f ( x ) = lim− x →1 x →1 ) ( ) x ( x+4 +2 ) = lim+ x→ 1 = x+4 +2 1  lim f ( x ) = lim−  mx + m +  = m + x →0  4 Hàm số cho có giới hạn x = lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) 2− x+3 4− x−3 −1 = lim− = lim = +∞ x →1 x2 −1 ( x − 1)( x + 1) + x + x→1− ( x + 1) + x + ( ( x →0 x →0− ) Câu 41 x →0 x →0 1 ⇔ = m+ ⇔ m = 4 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: + lim f ( x) = > x →−1 4 + lim ( x + 1) = với ∀x ≠ −1 ( x + 1) > x →−1 Suy lim x →−1 Câu 42 f ( x) ( x + 1) Câu 46 Câu 47 = +∞ ( )   Ta có lim −4 x − x + x + = lim x  −4 − x →−∞ x →−∞ Chọn B 12  x2 + 2x − ( x − 2)( x + )  − Ta có : lim+ f ( x ) = lim+  = lim  = lim x →2 x →2  x − x −  x→2+ ( x − ) ( x + x + ) x→2+ ( x − ) ( x + x + ) 1  + +  = +∞ x x x5   1   −4 − + +  = −4 <  xlim →−∞ x x x   Vì   lim x5 = −∞  x→−∞ x+4 = x2 + x +   m2 m2 lim− f ( x ) = lim−  x + − 2m  = − 2m + x→2 x→2   = lim+ x→2 Câu 48 Chọn B 1  Ta có lim x3 − x + = lim x3  − +  = − ∞ x →−∞ x→−∞ x x   1 1 3 Câu 49 lim 3x + x − x − 2017 = lim x  + − 2 − 2017  = −∞ x→−∞ x →−∞ x x x   ( m2 Hàm só có giới hạn x = khi lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) ⇔ − 2m + = x→2 x→2 2 m = m2 ⇔ − 2m + = ⇔  2 m = Câu 43 DẠNG GIỚI HẠN TẠI VƠ CỰC Vì b = Chọn B ( ) ) Chọn D 25 26 2− + x − 3x + x x = lim = −2 x →+∞ x − x − x − x →+∞ − −1− x x x    − 1 +  ( x − 1)( x + ) = lim  x  x = Câu 62 lim x →−∞ x →−∞ x +9 1+ x Câu 63 ChọnC x + s inx x sin x sin x Ta có lim = lim + lim = + lim = + = x →+∞ x →+∞ x x→+∞ x →+∞ x x x sin x 1 sin x ( Do ≤ x → ∞ , mà lim = ⇒ lim = ) x →+∞ x x →+∞ x x x Câu 64 Chọn A   1  Ta có lim 2x + x + x = lim  x  +  + x  x→−∞   x →−∞ x          = lim  − x + + x  = lim  x  − + + 1  x →−∞ x →−∞ x   x     2− 2x −1 x = = lim x →+∞ x + x →+∞ 2 4+ x Câu 51 Chọn D Ta có a = lim y Câu 50 Câu 61 lim x →−∞ Câu 52 Áp dụng quy tắc tìm giới hạn, ta có: lim Câu 53 Ta có lim Câu 54 Câu 55 Câu 56 Câu 57 Câu 58 Câu 59 Câu 60 x →−∞ −1 −1 = lim = 5 x + x →−∞  x2 +  x  −1 1− x = lim x =− x →−∞ x + x →−∞ 3+ x 3− 3x − x =3 Ta có lim = lim x →−∞ x + x →−∞ 1+ x 3  3  x − 4  −  −4 − 4x x  = lim  x  = lim = lim  x →−∞ x + x →− ∞   x→−∞  2 x 5 +  5+  x x   lim ( )   Vì lim x = −∞ = lim  − + +  = − < nên lim 2x + x + x = +∞  x →−∞ x →−∞ x →−∞  x   − 1+ + x + 3x + x x =−1 Câu 65 Ta có lim = lim x →−∞ x →−∞ 4x −1 4− x 2− 2x −1 2x −1 x Câu 66 Ta có: lim = lim = −2 = lim x →−∞ x + − x →−∞ − x + − x →−∞ − + − 2 x x x Câu 67 Chọn B 1− x−2 x = =1 Chia tử mẫu cho x , ta có lim = lim x →+∞ x + x →+∞ 1+ x ( 8  x2 +  2+ 2x + x  x = lim = lim = lim x →+∞ x − x →+∞   x →+∞ − x 1 −  x  x 1  x2+  2+ 2x +1 x  x = 2+0 = = lim = lim Ta có L = lim x →−∞ x + x→−∞   x→−∞ + 1 + x 1 +  x  x 2− x −1 x = −2 Ta có: lim = lim x →−∞ − x x →−∞ −1 x Chọn B 2018 1− + x − 2018x + x x =1 lim = lim x →+∞ x + 2018 x x →+∞ 2018 2+ x Chọn D 1− + x − 3x + x x =1 Ta có lim = lim x →+∞ x →+∞ x2 + 2+ x Câu 68 ) Chọn D 3− 3x − x = Ta có I = lim = lim x →−∞ x + x →−∞ 2+ x Câu 69 Hướng dẫn giải Chọn D 27 28 x x = = lim x→−∞ x + x →−∞ 1+ x Câu 70 Chọn C 1  x  + 3 +3 3 + 3x x   = = Ta có: lim = lim = lim x x →+∞ x →+∞ x →+∞ 3 2x + x 2+ 2+ x x Câu 71 Chọn C −1 1− x Ta có lim = lim x =− x →−∞ x + x →−∞ 3+ x Câu 72 Chọn A 3− 3x − x =3 Ta có lim = lim x →−∞ x + x →−∞ 1+ x Chọn C Câu 73 a c+ cx + a x = c+0 =c Ta có lim = lim x →+∞ x + b x →+∞ b 1+ 1+ x Câu 74 Chọn D 4+ 4x +1 x = −4 lim = lim x →−∞ − x + x →−∞ −1 + x Câu 75 Chọn B 1+ x +1 x = • Ta có lim = lim x →−∞ x − x →−∞ 6− x Câu 76 Chọn B 1+ x +1 x =1 Ta có lim = lim x →+∞ x + x →+∞ 4+ x Câu 77 Chọn D 2 x 1+ − 1+ − x2 + − x x x lim = lim = lim =1 x →+∞ x →+∞ x →+∞ x−2 x−2 1− x Câu 78 Lời giải Chọn B Ta có: lim lim x →−∞ x2 − = lim x →−∞ x+3   3 x 1 −  x 1− − 1− x   x x = lim = lim = −1 x →−∞ x →−∞ x+3 x+3 1+ x Câu 79 Lờigiải Chọn B Ta có: lim x →−∞ Câu 80 3 x 1− − 1− x2 − x x = −1 = lim = lim x →−∞ x →−∞ 3 x+3 x(1 + ) (1 + ) x x Chọn B 2 2   x 1 + +  1 + +  x4 + x2 + x x  x x    Ta có: lim = lim = lim = x →+∞  x→+∞   1 ( x3 + 1) ( 3x − 1) x→+∞ x 1 + 13  − + −      x x  x   x  Trắc nghiệm: Sử dụng máy tính Casio + Bước 1: Nhập biểu thức vào hình máy tính: + Bước 2: Nhấn phím + Bước 3: Nhập giá trị X: Câu 81 nhấn phím + Bước 4: Kết Chọn B Vậy chọn đáp án B 3 lim f ( x ) = lim x →−∞ Câu 82 x →−∞ ( x + 1) ( x + 1) (3 + 2x ) 4 1  1  4 +  2 +  x  x  = lim = 23 = x →−∞ 3   + 2 x  Chọn B m− + m x2 − x + x x = m ⇒ m = −8 −4 = lim = lim x →−∞ x + x − x →−∞ 2+ − x x Câu 83 Chọn D  x − 3x +  4 − a = a = 23   lim  − ax − b  = ⇔ lim  ( − a ) x − b − 11 +  = ⇔  −11 − b = ⇔ b = −11 x →+∞ x →+∞ x+2 x+2      ⇒ a + b = −7 Câu 84 Chọn B 29 30 Ta có lim x →+∞ Câu 85 x + 2018 = lim x →+∞ x +1 2018 x = lim x →+∞  1 x 1 +   x x 1+ 2018 x =  1 1 +   x 1+ lim x →+∞   1 +  x2 + = lim x  x  = −∞ x→−∞ x→−∞ x + 1  1+  x   4+ = lim x →+∞ Câu 86 Câu 91 Lờigiải Chọn D ax + x − 3x + = ⇔ lim x →+∞ x →+∞ 2x − ⇔ a +1 = ⇔ a = Chọn D − x−3 Ta có lim = lim x x = = x →−∞ x + x →−∞ 1+ x Câu 88 Chọn B Câu 92 =0 xn 1 sin xn sin xn ≤ mà lim   = nên nhỏ số dương bé tùy ý kể từ số hạng xn xn xn  xn  trở  sin xn  Theo định nghĩa dãy số có giới hạn ta có lim  =0  xn  Ta có −x − = lim x →−∞ x + x →−∞ lim  1 2 + x    Chọn A 2019 =    x  +  x    4+0 (2 + 0) 2019 = 2019 x 2018 x + = lim x →+∞  1 x 2019  +  x  x2 2019 = 22019 2018 Chọn A  ( a + 1) x − ( 2a + b ) x + 2b +   x2 +  lim  + ax − b  = lim   = −5 x→+∞ x − x →+∞ x−2     a + = a = −1 ⇔ ⇔ 2a + b = b = Vậ y a + b = Câu 93 Chọn C 1+ + x + 3x + x x =−1 lim = lim x →+∞ x →+∞ 2 − 3x2 −3 x2 Câu 94 Chọn A 5− 5x − x = Ta có: lim = lim x →+∞ − x x →+∞ − −2 x Câu 95  sin xn   sin x  Ta có lim    = lim  x →+∞  x   xn   sin x  Vậy lim  =0 x →+∞  x  Câu 89 Chọn C x2 x →+∞ x 2018 4x +  ( a + 1) x + ( a + b + 3) x + b +   x2 + 3x +  lim  +ax + b  = ⇔ lim   =1 x →+∞ x +1  x +1    b +1    ( a + 1) x + ( a + b + 3) + x  ⇔ lim   =1 x →+∞   1+ x   a + = a = −1  ⇔ a + b + = ⇔  ⇒ T = a + b = −2 b = −1 b + ≠  + x x2 = ⇔ a + = ⇔ a + = 2 2− x Xét dãy số ( xn ) cho lim xn = +∞ ⇒ lim 2019 = lim x →+∞ a + 1− Ta có lim Câu 90 ( 2x + 1) Chọn C lim Câu 87 x 2018 4x + x = −1 1+ x −1 − Lời giải Chọn B Chọn B Ta có: 1− x−2 x =1 = lim x→+∞ x + x →+∞ 1+ x Chọn D lim Câu 96 31 32 2− 2x − x = = −2 = lim x →+∞ − x + x →+∞ −1 −1 + x Câu 97 Chọn C 3− 3x − x = 3−0 = − Ta có: L = lim = lim x →+∞ − x x →+∞ −2 0−2 x Câu 98 Lời giải Chọn B   3 x 1 −  x 1− − 1− x  x2 −  x x lim = lim = lim = lim = −1 x →−∞ x →−∞ x →−∞ x →−∞ x+3 x+3 x+3 1+ x Câu 99 Chọn C 2x − 2x − 2x − = lim = lim Ta có: lim x →−∞ x + − x x →−∞ x (1 + ) − x x →−∞ − x + − x x2 x2 2− x = lim = −1 x →−∞ − 1+ −1 x 5+ + 5x2 + x + x x =5 Câu 100 Ta có: lim = lim x →−∞ x →−∞ x2 + 1+ x 1 − x x − x2 − x4 − x x x = +∞ Vậy A Câu 101 Vì lim = lim = lim x →−∞ − x x →−∞ 1  x →−∞ − x x  − 2x  x x  + x − x2 = lim x →−∞ x →−∞ x Câu 105 lim lim x − x2 + x = lim x →−∞ x →−∞ x +1 x →−∞ 1 1+ 1+ x = lim x = x →−∞ x +1 1+ x x + x 1+ x2 + x =2 x2 − sin x + sin x Câu 108 lim = lim + lim = + = x →+∞ x →+∞ x →+∞ x x x 1 1 −x 1− + − 1− + x2 − x +1 x x x x =−1 Câu 109 lim = lim = lim x → −∞ x →+∞ x →+∞ 2x 2x 2 1 1 −x 1− + − 1− + x2 − x +1 x x = lim x x =−1 lim = lim x → −∞ x →−∞ x →−∞ 2x 2x 2 Sửa Câu 107 lim x →+∞ Câu 110 Ta có lim x →−∞ x  − a x − 3 x − 3x − ( ax ) x − x + ax = lim = lim x →−∞ bx − ( bx − 1) x − x − ax x →−∞ ( bx − 1) x2 − 3x − ax ( (1 − a ) − 3x x →−∞    b −  − 1− − a  x  x   = (1 − a ) b ( −1 − a ) = ) ( ) ( = lim ) a −1 = b 2017 + x2 x =1 ⇔ a =1 ⇔a= 2018 2 2 2+ x 1 − 4+ + + x2 + x + + x x x =− = lim Câu 112 Ta có lim x →−∞ x →−∞ mx − m m− x Theo ta có: − = ⇔ m = −4 ∈ [ −6; − 3] m ( − a ) x − = lim − − a x − x + x2 +  = +∞ ⇒ − − a ≥ ⇔ a ≥ Câu 113 Ta có lim ( ) (( ) )  x →+∞ x − x + x →+∞  a x + + 2017 = ⇔ lim x →+∞ x →+∞ x + 2018 a 2+ Câu 111 Ta có: lim 2− 2x − x =−2 = lim x →+∞ − x x →+∞ −3 x 4x2 + = lim x →−∞ x +1 1 + − 1)  1  x2 x = lim  x( + − 1)  = +∞ x →−∞ x x  x  Câu 106 Ta có: lim Câu 102 Ta có: lim Câu 103 Ta có: K = lim x2 ( ( 1 − 4+ x = lim x = −2 x →−∞ x +1 1+ x −x + ) Với a ≥ ⇒ a ( a − ) ≥ suy P = a ( a − ) + ≥ Câu 114 Chọn A 1 + x +1 Câu 104 lim 2018 = lim 2017 x x = x→+∞ x − x→+∞ x − 2017 x 33 34 −x + 4x + x + − x − x + = lim x →−∞ 3x + 1 − + + + 1− + x x x x = −1 = lim x →−∞ 3+ x Câu 115 Chọn B lim x →−∞ x+3 Ta có: lim 4x2 + − x →+∞ x →+∞ x 4+ lim x = 2 4+ − x x 1+ x+3 = lim x − 3x + ( x − 1)( x − 2) x −1 = lim = lim = x →2 x → ( x + 2)( x − 2) x→ x + x2 − 4 Do a = 1; b = suy S = 12 + = 17 Câu 124 Chọn A x − 42018 ( x − 2018 )( x + 2018 ) lim = lim2018 = lim2018 ( x + 22018 ) = 22019 2018 x → 22018 x − x→ x→ ( x − 2018 ) Câu 125 Chọn A x 2018 + x − x 2018 − + x − Ta có lim 2017 = lim 2017 x →1 x x → + x−2 x −1 + x −1 ( x − 1) ( x 2017 + x 2016 + x + 1) + x − x 2017 + x 2016 + x + = lim = lim 2016 2016 2015 x →1 x − x →1 x + x 2015 + + x + x + x + + x + + x − ( )( ) 1 + + x 1− + x x2 x x 3x + −2 x2 = lim x →+∞ + + + + 2019 = + + + + 2018 2 Vậy a − b = 4037 Câu 126 Chọn D 10 − x x − 10 lim = lim+ = lim+ = x →5+ x − x + x →5 x − x + x →5 x − Câu 127 Chọn B x − (1 + a ) x + a x ( x + a ) − 2a − x3 − a x − x + a = lim = lim = lim 2 x→ a x→ a x − a x → a x + ax + a x3 − a3 3a x + ax + a ( )( ) = DẠNG GIỚI HẠN VÔ ĐỊNH ଴ DẠNG 4.1 DẠNG ଴ Dạng 4.1.1 Không chứa Câu 116 Chọn A x +1 = lim x + 1) = −∞ Ta có: lim 2 ( x →−2 ( x + ) x→−2 ( x + ) Do lim x →−2 ( x + 2) = +∞ lim ( x + 1) = −1 < x →−2 Câu 128 Chọn B Câu 117 Chọn C lim x →1 ( x − 1) ( x + x + 1) x3 − A = lim = lim = lim x + x + = x →1 x →1 x − x →1 x −1 ( Câu 129 Chọn A ) Ta có: lim x →1 Câu 118 Chọn C Câu 119 Câu 120 Câu 121 Câu 122 Câu 123 ( x − 1)( x + 1) ( x − ) ( x + 1) ( x2 − ) x − 3x + = lim = lim =− x →1 x + x − x →1 ( x − 1) ( x + x + 3) x2 + x + x3 − x + x + a = = lim = ⇒ ⇒ S = x − x →1 x + b = Câu 130 Chọn A x + bx + c Vì lim = hữu hạn nên tam thức x + bx + c có nghiệm x = x→3 x −3 ⇔ 3b + c + = ⇔ c = − − 3b Khi ( x − 3)( x + + b) x + bx + c x + bx − − 3b lim = lim = lim x→ x → x→ x−3 x −3 x−3 = lim ( x + + b) = ⇔ + b = ⇔ b = ⇒ c = −15 x2 − 12 x + 35 ( x − )( x − 5) = lim x − = = lim Ta có lim x →5 x →5 x → −5 25 − x −5 ( x − 5) Chọn B ( x − )( x + ) = lim x + = x2 − Ta có: lim = lim ( ) x →2 x − x →2 x→2 x−2 Chọn B x2 − Ta có: lim = lim ( x + ) = x →3 x − x →3 Chọn A ( x − )( x − 3) = lim x − = −1 x2 − 5x + I = lim = lim ( ) x →2 x→2 x→2 x−2 x−2 Chọn B x − 3x + ( x − 1)( x − 2) Ta có: lim = lim = lim( x − 2) = −1 x →1 x →1 x →1 x −1 x −1 Chọn B x →3 Vậy P = b + c = − 13 Câu 131 Chọn A L = lim x →−1 ( x + 1)( x − ) x2 − x − x−2 = lim = lim =− x + x + x →−1 ( x + 1)( x + ) x →−1 x + Câu 132 Cách 1: x + ax + b Để lim = ta phải có x + ax + b = ( x − 3)( x − m ) x →3 x−3 Khi − m = ⇔ m = Vậy x + ax + b = ( x − ) x = x2 − 3x 35 36 Suy a = −3 b = Cách 2: x + ax + b 3a + b + Ta có = x + a + 3+ x −3 x −3 3a + b + =  a = −3 x + ax + b Vậy để có lim = ta phải có  ⇔ x →3 x−3 a + = b = x−2 x−2 1 Câu 133 lim = lim = lim = x →2 x − x → ( x − )( x + ) x→ x + x +1+ a 2+a =− ⇔ = − ⇔ a = −3 Suy b = x +1 2 Vậy a + b = 13 ⇔ lim x →1 Dạng 4.1.2 Chứa Câu 141 Chọn C ( x − 1)( x + ) = lim x + = x2 + 3x − Câu 134 Ta có: L = lim = lim ( ) x →1 x →1 x →1 x −1 x −1 ax + bx − Câu 135 Vì lim = hữu hạn nên x = phải nghiệm phương trình ax + bx − = suy x →1 x −1 a + b − = ⇒ b = − a ax + ( − a ) x − ( x − 1)( ax + ) = a + = ⇒ a = nên b = Khi lim = lim x →1 x →1 x −1 x −1 Suy ra: a + b + a + b = 18 x − 16 ( x − )( x + ) = lim x + = = lim Câu 136 lim x → x + x − 20 x → ( x − )( x + ) x→ x + − cos 3x cos5 x cos x sin x − cos3 x + cos 3x − cos3 x cos5 x + cos3 x cos5 x − cos 3x cos x cos x = lim x →0 sin x cos x (1 − cos x ) cos x cos x (1 − cos x ) − cos x = lim + lim + lim x → sin x x→ x→ sin x sin x 3x 5x 7x sin sin 2sin + lim + lim = lim x → sin x x → sin x x → sin x  25 49  2 + +  4  83 =  = 49 98 ( x − 1) x + x + − a ( x − 1) x − ax + a − = lim Câu 138 lim = lim ( x + x + − a ) = − a ⇒ a = x→1 x →1 x →1 x −1 x −1 V ậy M = a + a = Câu 139 Chọn B Câu 137 Ta có lim f ( x ) = lim x→0 x→0 ( Đặt: t = x − π x2 + x − x + x − 12 = lim x→3 x −3 ( x − 3) x + x + Ta có lim lim x →3 ) ( x →3 ( x − 3)( x + ) ( x − 3) ( x2 + x + ) = lim x →3 x+4 x2 + x + = 3+ 32 + + = 7 = 12 Câu 142 Chọn B ( ) ( 1+ x − + − − x 1+ x − − x = x x = + Do vậy: + x + + − x + ( − x )2 Ta có:  lim f ( x ) = lim  + x →0 x →0  + x + + − x + (8 − x )  = lim + lim x →0 + x + x →0 + − x + ( − x ) = 1+ ) = ( ) + 2− + x −1 x 8− x x     13 = 12 12 Câu 143 Chọn C Ta có ) − − x2 x +16 − = (  π cos  t +    = lim − sin t = −1 Khi x → t → Vậy L = lim t →0 t →0 t t Câu 140 Chọn D Vì hàm số có giới hạn hữu hạn x = nên biểu thức tử nhận x = làm nghiệm, hay + a + b = x2 + ax − − a −1 ( x − 1)( x + + a ) = − = ⇔ lim Áp dụng vào giả thiết, lim x →1 x →1 x2 −1 2 ( x − 1)( x + 1) π 37 ( − − x2 x = ( − − x2 )( x )( + − x2 + 5− x ) x + 16 + ) )= x ( x ( )=( 5− x ) ( ) 5− x ) x + 16 + x + 16 + 2 5+ 5+ Khi ta có lim x→0 − − x2 x +16 − ( x +16 + 4) = ( + 5− x ) = lim x→0 ⇒ a + 2b = 14 Câu 144 Chọn C x−3 x − 3x + − x − 3x + − = lim =− lim = lim x →0 x →0 x→0 x x − 3x + + x x − 3x + + ( ) 38 Câu 145 Chọn C ( ) ( ( x − 1)( x − ) x + + x + 17 ( x − ) x + + x + 17 x2 − 3x + lim+ = lim+ = lim+ x →1 x + − x − 17 x →1 x →1 − ( x − 1) − ( x − 1) (    − (1 − bx )  ax + − = lim  +  x →0    x  ax + + ax + + 1 x + − bx        a b = a+b = lim  +  x →0  ax + + ax + + 1 + − bx    ax + − − bx a b Theo giả thiết lim = ⇒ + = ⇔ 2a + 3b = 24 x →0 x 2a − 5b = −8 a = ⇔ + Ta có hệ  nên a ≤ sai 2a + 3b = 24 b = Câu 153 Chọn D Theo giả thiết ta có f ( ) = 2018 ) ( ) Ta có lim+ ( x − ) x + + x + 17 = −36 x→1 lim ( − x + 1) = −x +1 < ( x →1+ x − 3x + = +∞ x→1 x + − x − 17 Câu 146 Chọn A + x2 − + x2 − Ta có: lim = lim x→0 x → x   x2  (8 + x2 ) + + x2 +    1 = lim = x →0 + x + + x + 12 ⇒ lim+ ( ) x + x + −1 x + x + −1 = lim = lim x→0 x →0 x2 x x3 + x + + lim ( x →0 Ta có lim x →4 ) x +1 ( ) x3 + x + + = lim x →3 Ta có: lim x →3  x + 4x − x  = lim   = = ⇒ a = , b = ⇒ a − b = x →3 x + + x + x −   8 Câu 149 Chọn C ( ) ( ) Ta có lim x→2 ( ) ( x→1 ( x +2 ) 2019 f ( x ) + 2019 + 2019 ) = ) 1009.4.2019 = 2018 2019.2018 + 2019 + 2019 ( )( )( ) ( ) x2 − 3x x + x − x x + 4x − x + − 5x + = lim = lim x→3 x→3 x − 4x − x − x + x + + 5x + ( x −1) x + + 5x + ( ( ) ( ) ax +1 − bx − ax +1 − bx − = lim = L, với L ∈ ℝ (*) x → x − 3x + ( x −1) ( x + 2) b ≥−2   b ≥ −2 a +1 − b − = ⇔ a +1 = b + ⇔  ⇔  2   a + = b + b +  a = b + 4b +   Thay a = b + 4b + vào (*): Khi ) Câu 151 Chọn D x +1 − x −3 1 lim = lim = = lim x →3 x →3 x−3 ( x − 3) x + + x →3 x + + 2 lim x→1 ) ax + − bx − = lim x3 − 3x + x→1 (b + 4b + 3) x +1 − bx − 2 ( x −1) ( x + 2) (b + 4b + 3) x +1− (bx + 2)2 x→1 ( x −1) ( x + 2)  (b + 4b + 3) x + + bx + 2   Suy a = 1; b = = lim a + b + 2018 = + + 2018 = 2021 Câu 152 Chọn A x →0 2019 f ( x ) + 2019 + 2019 a = 3.6 ⇒ a − b = = = Vậ y  2.8 b = Câu 155 Chọn B ( x − )( x − 3) x + + ( x − 3) x + + x2 − 5x + = lim = lim =− x→2 ( x − 2) 4 x + − x→ Câu 150 Chọn C x − x −1 x2 − x + x −1 = lim = lim = Ta có lim x →1 x + x − x →1 ( x − 1)( x + ) x + x − x→1 ( x + ) x + x − lim )( Câu 154 Chọn C  x + x − ( x + 1)2 − ( x + 1)   x + 4x − x +1 − 5x + x2 − 3x  = lim   = lim   x → x → x − x + x − 4x + 3 x − 4x −  x +1 + 5x +  x + + x +  + lim ( ( x − 4) ( x→ Câu 148 Chọn A 1009  f ( x ) − 2018 x −2 1009  f ( x ) − 2018 = lim ) ) Câu 147 Chọn B ( )  ax + − 1 − − bx  ax + − − bx ax + − + − − bx = lim = lim  +  x →0 x →0 x x x x   = lim x→1 (4b + 3) x − 4bx − ( x −1) ( x + 2)  (b + 4b + 3) x + + bx + 2  = lim x→1 ( x −1)( x + 2)  (b + 4b + 3) x +1 + bx + 2  39  (4b + 3) x + = L, L ∈ ℝ  40 3 Khi đó: (4b + 3) + = ⇔ b = − ⇒ a = − 45 Vậ y a + b = 16 Câu 156 Chọn C x →3 ( ( x →0 ( x x + 4x − ) x→ ) = lim ( + 3) = lim = = x →3 ( x − 1) x + + x + ( + ) ( ) 4x ( x→1 = lim Câu 157 Chọn C ( x − 4)( x + + 1) = −6 Câu 158 Chọn A f ( x) − 16 Do lim = 12 nên ta có f (2) − 16 = hay f (2) = 16 x →2 x−2 f ( x ) − 16 − 5( f ( x ) − 16) lim = lim x →2 x→ x2 + 2x − ( x − 2)( x + 4)( (5 f ( x ) − 16) + f ( x) − 16 + 16) = lim x →1 Câu 161 lim x →2 Câu 162 L = lim x →1 1− x − x −1 = lim −x + x →1 ) = lim − x +1 x →1 ( x →1 x2 + x + − ( x − 1) ( x2 + x + + x+2 ( x2 + x + + ( ) ) = 7x +1   ) ) =I+J = 12 ( x − 1) Suy a = , b = 12 , c = Vậy a + b + c = 13 Câu 167 Chọn B x+ x+ −1 I = lim = lim = lim = x →− x − x →− x →− x − 2 x+ x− ) 4x + + =− x + x + − 7x +1 ( )( ) Câu 168 Chọn A I = lim x →1 ( )( ( ) ) 2x − x + 2x + x + 2x − x + x2 − x − = lim = lim x → x → x −1 ( x − 1)( x + 1) x + x + ( x − 1)( x + 1) x + x + ( x − 1)( x + 3) 4x + = lim = lim x →1 ( x − 1)( x + 1) ( x + x + ) x→1 ( x + 1) ( x + ) − x +1 = 2 ( x − 3) 2x2 − Câu 163 Ta có lim = lim = lim x + = x→ x − x→ x − x→ Suy a = , b = Vậy P = a + b = ( = lim x →1 ) ( ) =I+J ( x − 1) ( x − 1)( x + ) = lim ( x − 1) ( x + x + + ) x→1 Do lim ) (1 − x ) ( ( x − 1) x−2 x+2 −2 1 = lim = lim = x →2 x−2 ( x − ) x + + x →2 x + + ( − 7x +1 x →1 − 7x +1 − x −1 = lim ( x − 1) x→1 ( x − 1)  + x + +  −7 −7 = lim = x →1   3 12 2 + 7x +1 + 7x +1   Câu 160 Chọn A ) 4x − 2x +1 + 1− 2x =0 ( 4x + − 4x = lim = lim x→0 x→0 x − 3x x ( x − 3) x + + ( x − 3) ( x →1 5 = 12 = 6.48 24 x+3−2 x +3−4 1 = lim = lim = Câu 159 Ta có: lim x →1 x →1 x →1 x −1 x + + x − x + + ( ) ( ) 4x2 J = lim f ( x ) − 16 x− ( x + 4)( (5 f ( x ) − 16) + f ( x ) − 16 + 16) x →0 + lim x2 + x + − x →1 x →−2 Ta có K = lim ( x − 1) Tính I = lim = lim ( ) x2 + x + − x + x2 + x + − + − x + = lim x → ( x − 1) ( x − 1) x2 + x + − x →1 x2 − 2x − ( x + 2)( x − 4)( x + + 1) ( x + 2)( x − 4)( x + + 1) Ta có: lim = lim = lim x →−2 2( x + 2) x + − x→−2 ( x + − 1)( x + + 1) x →−2 x →2 4x2 − 2x + + − 2x Câu 166 Ta có lim Vậy T = 2a − b = 10 = lim ( x2 − x + − − 2x = lim x →0 x x lim x →0 ) 3x + − 3x + − 3 = lim = lim = x →0 x →0 x x + + x 3x + + Câu 165 Ta có: ( x − 3x ) x + x − x + − 5x + = lim x→3 x − 4x − ( x − x + 3) x + + x + lim Câu 164 Ta có: lim ( ) = x+3 ) Câu 169 Chọn D Ta có ) 41 42 x2 − x − 4x2 + = lim x →−∞ 2x + lim x →−∞ 1 1 − x 4+ −x 1− + x + x x = lim x x x →−∞ 3 3   x2 +  x2 +  x x   Ta có I = lim x 1− − 1− = lim x →−∞ x →1 f ( x ) − 20 x−2 x →2 Lúc T = lim f ( x) + − x2 + x − x →2 1 + 4+ x x = − 1− + + = 2+0 2+ x ( x →2 = lim x →2 ( 60 x + − 60 x + − = lim x → x + x−6 ( x − )( x + 3) ( x − 2)( x + 3) ( 60 x + + 60 x + + 25 ) 60 ( x − ) = lim ( x − 2)( x + 3) ( 60 x + + 60 x + + 25 60 ( x + 3) ( 60 x + + 60 x + + 25 ) = ) 25 Cách 2: Theo giả thiết có lim ( f ( x ) − 20 ) = hay lim f ( x ) = 20 (*) x →2 Khi T = lim x →2 T = lim x →2 x2 + x − ( x − )( x + 3)   f ( x ) + − 125 = lim ( x + x − 6)   f ( x ) − 20 ( x→ 2 ) ( f ( x) + + ( f ( x) + ) ( +5 L1 = lim f ( x ) + + 25  ) t →1 ) ( ) ) ( ) −3 + x + −18 3x + − ( 3x + 1) − 16  + x + =− = lim = lim = x →5 − x + x→5 9 − ( x + )  x + + 3x + + ( t + ( t − 1) t −1 ) = lim t →1 t7 + = ( t + t + t + t + t + t + 1) ( x+4 −2 x ( )( x+4+2 x+4 +2 ) ) = lim x →0 1 = x+4+2 b 15 ⇒ a = 28, b = 15 ⇒ a + b = 43 ⇒ a + b = 43 V ậy = + = a 28 Câu 174 Ta có  x +1 − x + −  x +1 − x + lim = lim  −  x →3 x →3 x−3 x −   x −3     x +1− x +5−8 = lim  −  x →3  ( x − 3) x + + ( x − ) ( x + ) + x + +      1 = 1− = = lim  − x →3  x + + ( x + )2 + x + +  12   10.6 = 5.75 25 Câu 171 Chọn A x →5 )  x+4 −2 Xét L2 = lim   = lim x →0 x →0 x    f ( x ) + + 25  T= Ta có lim ) ( x→2 f ( x) + − ) ) ( 60 x + − = lim x→ ) ( 10 ( x − ) 10 x − 20 = lim = 10 x →2 x−2 x−2 = lim ) f ( x ) − 16 lim = 12 x →1 ( x − 1)   x  = lim  x →0  x + x + − + x + −      x x + + ( x + x + x + x + x + x + 1)  = lim  x →0  x + ( x + − 1) x + + + ( x + x + x + x + x + x + 1)( x + − 22 )      x + + ( x + x5 + x + x + x + x + 1) = = lim  x →0  x + x + + + x + x + x + x3 + x + x +    Suy a = , b = , L = a + b = 13 Trình bày lại: Chọn A  x + x + −  b x   a Đặt L = lim   =  = b L = lim  x →0 x x + x + −     a Ta có  x + x + − x + + x + −   x + x + − x +   x+4−2 b = lim  = lim      + lim  x →0 x →0  a x →0  x x x       x + x +1 −1   Đặt t = x + Khi đó:  x = t − Xét L1 = lim  x →0   x x → ⇒ t →1    = lim f ( x) + + ( Chọn f ( x ) = 10 x , ta có lim x →2 ( x − 1) ( = Câu 173 Chọn C x x     lim   = lim  x→ x →0  x + x + − x + x + − x+4 + x+4 −2    Câu 170 Chọn B Cách 1: x →2 f ( x ) − 16 Câu 172 Hướng dẫn giải Chọn C f ( x ) − 16 f ( x ) − 16 = 24 ⇒ f (1) = 16 f (1) ≠ 16 lim =∞ Vì lim x →1 x →1 x −1 x −1 ( 43 ) ( ) 44 a = −1 ⇒ a =      −∞ neáu b > a TH2: b ≠ ⇒ lim x + ax + + bx = lim  x  − + + + b   =  x →−∞ x →−∞ x x    +∞ neáu b <   Vậy a = 4, b = ⇒ P = a − 2b3 = ⇒ lim DẠNG 4.2 DẠNG ∞ − ∞ Câu 175 Chọn D Xét lim x → +∞ ( ) x→−∞ x + − x = lim x + − x2 x2 + + x x →+∞ = lim x2 + + x x →+∞ lim ( ) x →−∞ ( −3x  1 x  − + −  x x  Câu 178 Chọn C x →−∞ lim ( ) x →−∞ x →−∞ 2x 5x2 + x − x = lim x →−∞ lim x→−∞ ( ) x2 + x + + x + = lim x →−∞ x + x + − ( x + 2) =− 5 − 5+ − x x2 + x + − x − = lim x→−∞ −3 x − x2 + x + − x − 2 x = lim = x →−∞ 2 − 1+ + −1− x x x Câu 181 Chọn C    lim 3x − x − = lim  x + x −  = lim x  + − x →−∞ x →−∞ x →−∞ x x    Câu 182 Chọn D ) TH1: b = ⇒ lim x →−∞ ( ) x + ax + + x = lim x →−∞ − 4+ + −2 x x = −2 x →+∞ lim x →−∞ ) x − 3x + + x = lim x − 3x + − x 2 x − 3x + − x −3 + x = lim = x →−∞ − 2− + − x x x →−∞ 1  x  −3 +  x    x− − + −  x x   Vậ y a = ; b = ⇒ a + b = Câu 186 Chọn C Đường thẳng ∆ : y = ax + 6b qua điểm M ( 3; 42 ) nên 3a + 6b = 42 ⇒ a + 2b = 14 a+ x →−∞ ) ( x →−∞   5ax + 36 x + 5ax + − x + b = lim  +b x →+∞ 36 x + ax + +     5a +   5a x = lim  +b = +b x →+∞   12 5a + +6  36 +  x x   5a 20 5a + 12b = 80 a = Do +b = ⇒ 5a + 12b = 80 Ta có hệ:  ⇔ 12 a + 2b = 14 b =   = −∞  = lim ( = lim lim x + ax + − x ) Câu 185 Chọn D x →+∞ ax + ( Vậy lim x + − x + = −3 − ( x →−∞ ) ( Suy ra: a = − , b = Vậy S = −1 Câu 179 Chọn B     1 Ta có: lim ( x + x + x ) = lim  x + + x  = lim  − x + + x  x →−∞ x →−∞ x x   x →−∞         1 = lim  x  − +   = −∞ lim x = −∞ lim  − +  = x→−∞ x →−∞ x →−∞  x x      Câu 180 Chọn A x2 + 8x +1 − x x    −2  Ta có: lim + x − x + = lim 1 +  x →+∞ x →+∞ x + x x3 + + x3 +           −2     −2   x = lim  +  = lim +   =1 x →+∞          x→+∞  2 2 1+ 1+ 1+ 1+   + + x + +        x3  x    x3  x3         x2 − 4x + x2 − x 3 = lim = x →−∞ 1− + 1− x x x + x + x = lim x →−∞ 8+ = lim Câu 184 Chọn D −3x x − x − x − x = lim = lim x →−∞ ) 8x +1 - lim ( x + x + + x) = lim a ⇒ − = −2 ⇔ a = 12 Câu 177 Chọn C x →−∞ ) Câu 183 Chọn C   ax a a x + ax + 3x = lim  =−  = lim x →−∞  x + ax − x  x →−∞ − + a − x Ta có: M = lim ) x + ax + + bx = −1 ⇔ − ( = Câu 176 Chọn B x →−∞ ( x a − 4+ + −2 x x a =− ( ) Vậy T = a + b = 41 45 46 Câu 187 Chọn D ( Ta có: lim ( x + ax + + x ) = lim x →−∞ = lim x →−∞ x + ax + + x a+ x →−∞ lim ) x →+∞ ( = lim ) x − 3x + − ( ax + b ) = ⇔ lim x →−∞ ) x + x + + x x = −1010 : x →−∞ ( ) x + x + + x = −2 Chọn đáp án Cách 2: Ta có I = lim x →−∞ = ( ) x + x + + x = lim x →−∞ A 4x +1 x2 + 4x + − x 4+ = lim x →−∞ − 1+ x x →+∞ ( ) x2 − x + − x = lim x →+∞ x − x + − x2 x2 − 4x + + x = lim x →+∞ −4 x + x2 − 4x + + x x 1− + +1 x x −4 + = lim x →+∞ = −2 x +1− x + = = lim x + + x − x →+∞ x + + x − −5 + −5 x + x Câu 191 Ta có lim x − x + − x = lim = lim =− x →+∞ x →+∞ x − x + + x x →+∞ − + + x x2  x + ax + − x    ax + Câu 192 Ta có: lim x + ax + + x = ⇔ lim   = ⇔ xlim  =5 x →−∞ x →−∞ →−∞ x + ax + − x x + ax + − x       a+   a x =5⇔ = ⇔ a = −10 ⇔ lim  x →−∞ −2 a    − 1+ + −1 x x   Vì giá trị a nghiệm phương trình x + x − 10 = Câu 193 Ta có Câu 190 lim x →+∞ ( ) x + − x − = lim ( ( ) ) x − x + − ax − b = x →+∞ ) Ta có: lim x →+∞ ) ) ( + −1 x x2 = −2 −2 Câu 189 lim (( ) ( Vậy I = lim x →+∞  ( − a ) x − 3x +   x − 3x + − a x  ⇔ lim  − b  = ⇔ lim  − b = 2 x →+∞ x →+∞    x − x + + ax   x − x + + ax   4 − a = a =   ⇔ a > ⇔  −3 b = −  −b = 2 + a Vậy a − 4b = 6x Câu 194 lim x x + x + − x + x − = lim x →+∞ x→+∞ x + 5x + + x + x − 6x = lim =3 x →+∞  5  x  1+ + + 1+ −  x x x x   Câu 195 Chọn D x x x = lim = lim Xét: lim x x + − x = lim x →+∞ x →+∞ x + + x x →+∞ x + + x x →+∞ x + + x x2 x2 1 = lim = x →+∞ 1+ +1 x Câu 196 Chọn C  2017  2017 x  −a + +  −a + + x x  a x + + 2017 x x = −a  Ta có: lim = lim = lim x →−∞ x →−∞ x →−∞ 2018 x + 2018  2018  + x 1 +  x x   1 Nên − a = ⇔ a = − 2 x Câu 188 Cách 1: Sử dụng máy tính cầm tay tính giá trị biểu thức ( a = −2 a − + + −1 x x a x + ax + + x = ⇔ = ⇔ a = −10 −2 x + ax + − x Do đó: lim x + ax + − x x + ax + − x x →−∞ ax + )( ( ) x2 + bx + − x = lim x →+∞ ( x + bx + − x )( x + bx + + x ) x + bx + + x 1  xb +  b+ b x  x = = lim = lim = lim x →+∞   x →+∞   x→+∞ b b b 1+ + +1 x  + + + 1 x  + + + 1 x x x x x x     b Nên = ⇔ b =  1 Vậ y P =  −  + =  2 Câu 197 Chọn B bx + 47 48 lim x →+∞ ( ) x2 − x + − x = lim x →+∞ x − x + − x2 x2 − 4x + + x = lim x →+∞ −4 x + x2 − 4x + + x x = −2 1− + +1 x x −4 + = lim x →+∞ Câu 198 Chọn D ( )  x2 − x + x − Ta có: I = lim x + − x − x + ⇔ I = lim  x→+∞ x→+∞  x+ x −x+2    x−2 + 1 ⇔ I = lim  + 1 x→+∞   x+ x − x+2    1−   x ⇔ I = lim  + 1 ⇔ I = x→+∞  2   1+ 1− +  x x   49 ...  x + x + − + x + −      x x + + ( x + x + x + x + x + x + 1)  = lim  x →0  x + ( x + − 1) x + + + ( x + x + x + x + x + x + 1)( x + − 22 )      x + + ( x + x5 + x + x + x + x + 1)... 2017 + x 2016 + x + 1) + x − x 2017 + x 2016 + x + = lim = lim 2016 2016 2015 x →1 x − x →1 x + x 2015 + + x + x + x + + x + + x − ( )( ) 1 + + x 1− + x x2 x x 3x + −2 x2 = lim x ? ?+? ?? + + + +. .. 5  n3 +  3+ 3+0 53 n  n = 25 + lim = 25 + lim = 25 + =   1+ + +1 1+ + +1 n  + + + 1 n n n n   Câu 83 ( n + 1) − ( n + ) L = lim 4n − ( 2n + + n + ) = lim ( ( = 6+ 2n + + n + 3 L =