Chuyên đề Phương pháp quy nạp toán học (Nguyễn Hữu Điền)

Nguyễn Hữu Điển, ĐHKHTN Chuyên đề: Phương pháp quy nạp tốn học Chứng minh đẳng thức tính tổng Đẳng thức liên quan đến số tự nhiên phong phú, tìm cơng thức chứng minh cơng thức theo biến số tự nhiên đa dạng, phần trước có nhiều ví dụ, ta xét thêm số ví dụ Ví dụ 27 Chứng minh đẳng thức sau với số tự nhiên n, 1.2 + 2.3 + + n(n+1) = n(n + 1)(n + 2) Lời giải Kí hiệu vế trái đẳng thức Sn Sử dụng phương pháp quy nạp toán học theo n Bước sở: Với n =1, S1 = 1.2 = 2, vế trái đẳng thức 1(1 + 1)(1 + 2) =1.2 = Vậy công thức với n = Bước quy nạp: Giả sử công thức với n = k, nghĩa Sk = k (k + 1)(k + 2) Ta phải chứng minh công thức với n = k + 1, thật vậy, Sk+1 = Sk + (k+1)(k+2) = = k (k + 1)(k + 2) + (k+1)(k+2) = (k + 1)(k + 2)(k + 3) Đẳng thức với n = k + Theo ngun lí quy nạp tốn học với số tự nhiên dương Ví dụ 28 Tính tổng Sn = 1 1 + + +L + 1.3 3.5 5.7 (2n − 1)(2n + 1) http://nhdien.wordpress.com 30 Nguyễn Hữu Điển, ĐHKHTN Lời giải Ta có S1 = giả thiết sn = Chuyên đề: Phương pháp quy nạp toán học 1 1 2 = , Ta đưa , S2 = + = = 2.1 + 15 2.2 + n Ta chứng minh công thức phương pháp 2n + quy nạp Bước sở: Với n = 1, thiết lập Bước quy nạp: Giả sử công thức với n = k, nghĩa sk = k Ta chứng minh cho n = k + 1, 2k + Sk +1 = Sk + = (2(k + 1) − 1)(2(k + 1) + 1) k + 2k + (2k + 1)(2k + 3) = 2k + 3k + (k + 1)(2k + 1) = 2k + k + (2k + 1)(2k + 3) = k +1 k +1 = 2k + 2(k + 1) + Công thức với n = k + 1, suy với n số tự nhiên Ví dụ 29 Với a1, a2, , an số thực, chứng minh 2 (a1 + a2 + L + an ) = a12 + a2 + L an + (a1a2 + a1a3 + L + an−1an ) , (8) với số tự nhiên n ≥ Lời giải Bước sở: Với n = 2, công thức (8) đẳng thức đáng nhớ Bước quy nạp: Giả sử (8) với n = k – 1, nghĩa 2 (a1 + a2 + L + ak −1 ) = a12 + a2 + L ak −1 + S , http://nhdien.wordpress.com 31 Nguyễn Hữu Điển, ĐHKHTN Chuyên đề: Phương pháp quy nạp toán học S tổng tất khả đôi dãy a1, a2, , ak-1 Ta phải chứng minh 2 (a1 + a2 + L + ak ) = a12 + a2 + L ak + S1 S1 = S + (a1 + a2 + L + ak −1 )ak Thật vậy, (a1 + a2 + L + ak ) = [(a1 + a2 + L ak −1 ) + ak ]2 = (a1 + a2 + L + ak −1 ) + 2(a1 + a2 + L + ak −1 )ak + ak 2 = (a12 + a2 + L ak −1 ) + S + 2(a1 + a2 + L + ak −1 )ak + ak 2 = (a12 + a2 + L ak −1 ) + S1 Công thức vơi n = k + 1, suy với n ≥ Chứng minh bất đẳng thức Ví dụ 30 Chứng minh bất đẳng thức sau với số tự nhiên m ≥ 10: 2m > m3 Lời giải Đặt m = n + 9, ta phải chứng minh 2n+9 > (n + 9)3 với n ≥ Ta chứng minh quy nạp tốn học Bước sở: Với n =1, ta có 210 = 1024 > 1000 = 103 Bất đẳng thức Bước quy nạp: Giả sử bất đẳng thức với n = k, nghĩa 2k +9 > (k + 9)3 Ta cần chứng minh công thức với n = k + 1, nghĩa 2k +10 > (k + 10)3 Thật 2k +10 = 2.2k +9 > 2(k + 9)3 = 2k + 54k + 486k + 1458 > k + 30k + 300k + 1000 = (k + 10)3 http://nhdien.wordpress.com 32 Nguyễn Hữu Điển, ĐHKHTN Chuyên đề: Phương pháp quy nạp tốn học Ví dụ 31 Cho n số tự nhiên khác 0, chứng minh 1+ 1 + +L + n + 2x hiển nhiên Bước quy nạp: Giả sử (9) với n = k ≥ Ta chứng minh với n = k + 1, nghĩa http://nhdien.wordpress.com 33 Nguyễn Hữu Điển, ĐHKHTN (1 + x ) Thật vậy, (1 + x ) k +1 Chuyên đề: Phương pháp quy nạp toán học k +1 > + (k + 1) x > (1 + kx)(1 + x) = + (k + 1) x + kx Do nx2 > suy điều cần chứng minh Quy nạp toán học dãy số Dãy số ta biết cấp số cộng cấp số nhân, cơng thức tính tổng số hạng tổng quát dãy chứng minh phương pháp quy nạp Tiết ta quan tâm tới dãy u0, u1, cho công thức un+2 = un+1 + un với n = 1, 2, u1 =1; u2 = Cụ thể 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, dãy số gọi dãy Phibơnaxi Dãy số có nhiều ứng dụng tính chất hay, ta xét số tính chất Ví dụ 33 Tổng n số dãy Phibônaxi số hạng thứ n + trừ 1, nghĩa u1 + u2 + L + un = un+2 − , (10) với n > Lời giải Dùng phương pháp quy nạp chứng minh theo n Bước sở: Với n=2 đẳng thức từ định nghĩa ta có u1 + u2 = + = – = u4 – Bước quy nạp: Giả sử (10) với số tự nhiên n = k đó, nghĩa u1 + u2 + L + uk = uk + − Ta phải chứng minh cho n = k + Thật vậy, u1 + u2 + L + uk +1 = (u1 + u2 + L + uk ) + uk +1 = (uk + − 1) + uk +1 = uk +1 + uk + − = uk +3 − http://nhdien.wordpress.com 34 Nguyễn Hữu Điển, ĐHKHTN Chuyên đề: Phương pháp quy nạp tốn học Theo ngun lí quy nạp toán học đẳng thức với n ≥ Ví dụ 34 Chứng minh đẳng thức un+ m = un−1um + unum+1 (11) với số tự nhiên n > với m = 1, 2, Lời giải Ta chứng minh phương pháp quy nạp theo m Bước sở: Với m = 1, ta có un−1u1 + unu2 = un−1 + un = un+1 ; với m =2, ta có un−1u2 + unu3 = un−1 + 2un = (un−1 + un ) + un = un+1 + un = un+ , có (11) Bước quy nạp: Giả sử tồn số m = k đẳng thức sau đúng: un+k = un−1uk + unuk +1 , un+ k +1 = un−1uk +1 + unuk + Ta phải chứng minh (11) cho m = k + Thật vậy, cộng hai vế công thức ta có un+ k +1 + un+k = un−1 (uk +1 + uk ) + un (uk + + uk +1 ) Sử dụng định nghĩa dãy Phibônaxi suy công thức (11) với m = k + Theo ngun lí quy nạp tốn học (11) với m nguyên dương n số tự nhiên dương Ví dụ 35 Chứng minh n chia hết cho m un chia hết cho um Lời giải Vì n chia hết cho m nên ta viết n = mk Ta chứng minh khẳng định quy nạp theo k Bước sở: Với k = 1, n = m, un chia hết cho um Bước quy nạp: Giả sử umk chia hết cho um Ta xét um(k+1) Nhưng um(k+1) = umk+m theo cơng thức trước ta có um ( k +1) = umk −1um + umk um+1 http://nhdien.wordpress.com 35 Nguyễn Hữu Điển, ĐHKHTN Chuyên đề: Phương pháp quy nạp tốn học Số hạng thứ có chứa um nên chia hết cho um, cịn số hạng thứ hai theo giả thiết quy nạp umk chia hết cho um Như vậy, tổng hai số hạng chia hết cho um, suy um(k+1) chia hết cho um Bài tập 3.1 Chứng minh với số nguyên dương n ≥ 0, số a) 33n+3 – 26n – 27 chia hết cho 169; b) 4n + 15n - chia hết cho 9; c) a4n+1 – a chia hết cho 30, với a số nguyên 3.2 Chứng minh tổng lập phương ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3.3 Chứng minh đẳng thức n(n + 1)(2n + 1)(3n + 3n − 1) ; a) + + + + n = 30 b) 3.4 4 1 1 n + + +L + = 1.5 5.9 9.13 (4n − 3)(4n + 1) 4n + Chứng minh bất đẳng thức sau: a) b) 3.5 n n +1 n + 2n 14 Cho u1, u2, , un chuỗi Phibônaxi, chứng minh a) un − un−1un+1 = (−1) n+1 với n > 1; 2 b) u1 + u2 + L + un = un un+1 ; n ⎛1+ ⎞ ⎛1− ⎞ ⎜ ⎟ −⎜ ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ c) un = ⎝ http://nhdien.wordpress.com n 36 Nguyễn Hữu Điển, ĐHKHTN Chuyên đề: Phương pháp quy nạp tốn học Bài QUY NẠP TỐN HỌC TRONG HÌNH HỌC Nhiều tốn hình học gải phương pháp quy nạp toán học, lĩnh vực hình học tổ hợp Những tốn liên quan số lượng điểm, đường thẳng, độ lớn góc, đa giác lồi, Ta nhắc lại đa giác lồi đường thẳng qua cạnh để đa giác nửa mặt phẳng Tính tốn quy nạp Ví dụ 36 Cho n đường thẳng khác mặt phẳng qua điểm chung Hỏi chúng chia mặt phẳng thành miền? Lời giải Rõ ràng với n = 1, đường thẳng chia mặt phẳng thành miền Với n = 2, hai đường thẳng giao chia mặt phẳng thành miền Với n = 3, ba đường thẳng qua điểm mặt phẳng chia mặt phẳng thành miền, Ta giả thiết số miền chia n đường thẳng 2n Ta chứng minh quy nạp giả thiết trên: Bước sở: Với n = mệnh đề khẳng định đúng, đường thẳng chia mặt phẳng thành hai phần Bước quy nạp: Giả sử mệnh đề với số n = k, nghĩa k đường thẳng khác qua điểm chia mặt phẳng thành 2k miền Để chứng minh mệnh đề với n = k + đường thẳng, ta ý dựng đường thẳng qua điểm cho không trùng với đường thẳng số đường thẳng cịn lại, nhận thêm miền mặt phẳng Như số miền 2k cộng thêm 2, nghĩa 2(k+1) Suy mệnh đề với n = k + Ví dụ 37 Có thể chia n-giác lồi thành tam giác đường chéo không giao nhau? http://nhdien.wordpress.com 37 Nguyễn Hữu Điển, ĐHKHTN Chuyên đề: Phương pháp quy nạp tốn học Lời giải Nếu n = tam giác khơng có đường chéo số tam giác có một, nghĩa – =1 Nếu n = rõ ràng tứ giác chia thành hai tam giác: – = Ta đưa giả thiết số tam giác chia đường chéo không giao Sn = n – Ta chứng minh giả thiết phương pháp quy nạp Bước sở: Với n = 3; công thức Bước quy nạp: Giả sử công thức với n = k, nghĩa đa giác lồi k cạnh chia thành Sk = k – tam giác Ta cần chứng minh mệnh đề cho n = k + Thật vậy, kẻ đường chéo A1Ak đa A1 giác A1A2 AkAk+1 có k + cạnh (h 6) A2 Ak+1 Vì đa giác A1A2 Ak chia thành (k-2) tam giác theo giả thiết quy nạp Do có thêm tam giác A1AkAk+1 nên đa Ak Hình giác (k+1) chi thành Sk+1 = k –1 Theo nguyên lí quy nạp toán học, đa giác lồi n cạnh chia đường chéo không giao thành Sn = n – tam giác Ví dụ 38 Tính tổng góc n-giác lồi Lời giải Ta xét số trường hợp ban đầu để tìm cơng thức Kí hiệu Tn tổng góc n-giác lồi Với n = 3, tổng góc T3 = 1800 = (3-2)1800 Với n = 4, tổng góc tứ giác lồi lần tổng góc tam giác: T4 = 3600 = (4 – 2)1800 Từ hai trường hợp ta giả thiết cơng thức phải tìm Tn = (n – 2) 1800 Ta chứng minh công thức phương pháp quy nạp Bước sở: Với n = 3, cơng thức tính tốn http://nhdien.wordpress.com 38 Nguyễn Hữu Điển, ĐHKHTN Chuyên đề: Phương pháp quy nạp tốn học Bước quy nạp: Giả sử cơng thức cho tất k-giác, với k < n, ta phải chứng minh mệnh đề cho n-giác Ta chia n-giác đường chéo thành hai đa giác Nếu số cạnh đa giác k+1, số cạnh đa giác n – k + 1, hai số nhỏ n Theo giả thiết quy nạp tổng góc hai đa giác (k-1)1800 (n-k-1)1800 Tổng góc n-giác tổng góc hai đa giác trên, nghĩa (k – + n - k – 1)1800= (n-2)1800 Suy mệnh đề với n ≥ Chứng minh quy nạp Ví dụ 39 Chứng minh số đường chéo đa giác lồi n cạnh n(n − 3) Lời giải Ta chứng minh phương pháp quy nạp Bước sở: Với n = 3, mệnh đề tam giác có 3(3 − 3) = đường chéo Bước quy nạp: Giả sử đa giác lồi n = k cạnh có số đường chéo S k= k (k − 3) đường chéo, ta cần chứng minh mệnh đề với đa giác lồi n = k +1 cạnh có số đường chéo Sk+1 = (k + 1)(k − 2) Thật vậy, giả sử A1A2 AkAk+1 đa giác lồi k + cạnh Trong tam giác ta kẻ đường chéo A1Ak Để đếm hết đường chéo đa giác k + cạnh ta cần phải đếm số đường chéo đa giác k cạnh A1A2 Ak thêm vào số đường chéo thu từ k – đường chéo nữa, tức số đường chéo đa giác k + cạnh A1A2 Ak+1 xuất phát từ đỉnh Ak+1, cần tính đến đường chéo A1Ak Như vậy, http://nhdien.wordpress.com 39 Nguyễn Hữu Điển, ĐHKHTN Chuyên đề: Phương pháp quy nạp tốn học C4 = Ta thấy chỉnh hợp chập m n phần tử nhận từ tổ hợp chập m cách hốn vị m phần tử Vì ta có lên hệ sau m m An = Cn Pn Từ cơng thức có ta suy m An n! C = = Pn m!(n − m)! m n Ví dụ 57 Số lượng tổ hợp chập m nphần tử tính theo cơng thức sau: m Cn = n(n − 1) (n − m + 1) 1.2 m (18) Lời giải Ta chứng minh phương pháp quy nạp Bước sở: Với m = 1, ta có Cn = n , công thức (18) Bước quy nạp: Giả sử (18) với m = k, nghĩa k Cn = n(n − 1) (n − k + 1) 1.2 k Ta chứng minh k Cn +1 = n(n − 1) (n − k + 1)(n − k ) 1.2 k (k + 1) Để nhận tất tổ hợp k + phần tử n phần tử: người ta viết tất tổ hợp chập k n phần tử thêm vào tổ hợp phần tử thứ k + n – k phần tử lại Như ta nhận tất tổ hợp chập k + n phần tử, nhận bội k + lần Thật vậy, tổ hợp (a1, a2, , ak, ak+1) nhận theo cách: tổ hợp (a2, a3, , ak, ak+1) thêm vào phần tử a1; tổ hợp (a1, a3, , ak, ak+1) thêm vào phần tử a2; , cuối tổ hợp (a1, a2, , ak) thêm vào ak+1 Nghĩa http://nhdien.wordpress.com 62 Nguyễn Hữu Điển, ĐHKHTN k k Cn +1 = Cn Chuyên đề: Phương pháp quy nạp toán học m − k n(n − 1) (n − k + 1)(n − k ) = 1.2 k (k + 1) k +1 Ví dụ 58 Với số tự nhiên n ≥ cặp số a, b có cơng thức nhị thức Newton: s n (a+b)n = an + Cn an-1b + Cn an-2b2+ + Cn an-sbs + + Cn −1 abn-1 + bn Lời giải Ta chứng minh quy nạp toán học Bước sở: Với n = 1, cơng thức a + b = a + b Bước quy nạp: Giả sử công thức với n = k tức (a+b)k = ak + Ck ak-1b + Ck2 ak-2b2+ + Cks ak-sbs + + Ckk −1 abk-1 + bk Khi (a+b)k+1 =(a+b)k(a+b) = (ak + Ck ak-1b + Ck2 ak-2b2+ + Cks ak-sbs + + Ckk −1 abk-1 + bk) (a+b) 1 = ak+1 +(1+ Ck )akb +( Ck + Ck2 )ak-1b2+ + ( Cks + Cks+1 )ak-sbs+1 + + bk +1 Theo công thức ví dụ 49 : Cks + Cks+1 = Cks+1 , ta có +1 (a+b)k+1 = ak+1 + Ck +1 akb + Ck2+1 ak-1b2+ + Cks+1 ak-sbs+1 + + bk+1 Vậy công thức chứng minh Bài tập 5.1 Dãy số a1, a2, , an, xác định theo công thức an+1 – 2an + an-1 = (n ≥ 3) Hãy tìm an thơng qua a1, a2, n 5.2 Cho dãy cặp số (a,b), (a1,b1), , (an,bn) xác định theo công thức sau a1 = a +b a +b a+b a +b , an+1 = n n b1 = , bn+1 = n+1 n 2 2 Chứng minh http://nhdien.wordpress.com 63 Nguyễn Hữu Điển, ĐHKHTN Chuyên đề: Phương pháp quy nạp toán học 1⎞ ⎞ ⎛ ⎛ an = a + (b − a ) ⎜1 − n ⎟ , bn = a + (b − a ) ⎜1 + n ⎟ 3 ⎝ ⎠ ⎝ 2.4 ⎠ 5.3 Với a1, a2, , an số thực, chứng minh (a1 + a2 + + an ) = a12 + a2 + + an + 2(a1a2 + + an−1an ) , với số tự nhiên n ≥ 5.4 Chứng minh quy nạp công thức C n + Cn + C n + n n + Cn −1 + Cn = 2n , n định nghĩa Cn = Cn = 5.5 Chứng minh với số tự nhiên n ≥ sin sin x + sin x + + sin nx = x ≠ 0: n +1 x sin nx x sin sin TÀI LIỆU THAM KHẢO Những sách có nhiều tập vấn đề liên quan khác quy nạp toán học Nguyễn Hữu Điển, Phương pháp quy nạp toán học, NXB GD 2000 (tái lần thứ 3) Nguyễn Hữu Điển, Những phương pháp điển hình giải tốn phổ thơng, NXB GD 2001 (tái lần thứ 2) Nguyễn Hữu Điển, Sáng tạo giải tốn phổ thơng, NXB GD 2003 (tái lần thứ 2) http://nhdien.wordpress.com 64 Nguyễn Hữu Điển, ĐHKHTN Chuyên đề: Phương pháp quy nạp toán học Bài QUY NẠP TOÁN HỌC VÀ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Những trước học ngun lí quy nạp tốn học cách sử dụng suy luận giải tập mơn tốn học Bài tiếp tục nghiên cứu quy nạp toán học với chuyên đề định nghĩa quy nạp, biểu diễn hồi quy, công thức tổ hợp sở, Định nghĩa quy nạp Nhiều toán học tập biết cấp số cộng, cấp số nhân, Mỗi số hạng dãy số biểu diễn phép toán giá trị số hạng trước nó, trừ trường hợp khởi đầu Nhiều công thức chung dãy đưa định nghĩa dãy Phương pháp cho dãy giống với ngun lí quy nạp tốn học Như vậy, ta dùng quy nạp để định nghĩa khái niệm Những khái niệm xây dựng gọi định nghĩa quy nạp Ví dụ định nghĩa giai thừa số nguyên kí hiệu P(n) = n! sau: Nếu n = ta gán P(0) = với n > gán giá trị P(n) = n.(n1) 2.1, nghĩa tích n số nguyên dương Như giống ngun lí quy nạp tốn học: Bước sở định nghĩa giá trị khởi đầu, n =0 n! = Bước định nghĩa quy nạp n! xác định ta xác định (n + 1)! = (n + 1) n! Như để diễn tả dãy vơ hạn đại lượng có liên quan với qua bước người ta định nghĩa phương pháp quy nạp Ví dụ cấp số cộng cấp số nhân ta định nghĩa theo kiểu Từ định nghĩa theo quy nạp người ta tìm tổng n đại lượng biểu diễn số hạng chung Điều thể rõ công thức http://nhdien.wordpress.com 49 Nguyễn Hữu Điển, ĐHKHTN Chuyên đề: Phương pháp quy nạp toán học cho số hạng tổng quát tổng số cấp số cộng cấp số nhân Nhiều toán đưa dãy cách định nghĩa sau địi hỏi tìm số hạng tổng qt Sau chứng minh phương pháp quy nạp tốn học Ví dụ 47 Dãy số a1, a2, , an, xác định sau: a1 = 1, a2 = 2, an+1 = an + an−1 với n ≥ Hãy tìm số hạng an Lời giải Ta có a2 – a1 = 1, a3 – a2 = a4 – a3 = a1 + a2 a − a2 - a2 = =− 2 a2 − a3 = , Ta tính số giá trị tìm giả thiết quy nạp an − an−1 ⎛ 1⎞ = ⎜− ⎟ ⎝ 2⎠ n −2 (12) Ta chứng minh công thức (12) quy nạp toán học Bước sở: Với n = (cả với n =3, 4) công thức (12) Bước quy nạp: Giả sử (12) với n = k, tức có ak − ak −1 ⎛ 1⎞ = ⎜− ⎟ ⎝ 2⎠ k −2 Ta phải chứng minh (12) cho n = k + Thật vậy, với định nghĩa dãy giả thiết quy nạp ta có ak +1 a + ak −1 a − ak 1⎛ 1⎞ − ak = k − ak = k −1 = − ⎜− ⎟ 2 2⎝ 2⎠ k −2 ⎛ 1⎞ = ⎜− ⎟ ⎝ 2⎠ k −1 Suy công thức (12) với n = 2, 3, 4, Mặt khác, với n ≥ 2, ta viết sau: an = a1 + (a2 – a1) + (a3 – a2) + +(an – an-1) 1 = 1+1− + − + http://nhdien.wordpress.com ⎛1⎞ +⎜ ⎟ ⎝2⎠ n −2 50 Nguyễn Hữu Điển, ĐHKHTN Chuyên đề: Phương pháp quy nạp toán học n −1 ⎛ 1⎞ 1− ⎜− ⎟ n −2 ⎛1⎞ ⎤ ⎝ 2⎠ + ⎜ ⎟ ⎥ =1+ ⎛ 1⎞ ⎝2⎠ ⎥ ⎦ 1− ⎜− ⎟ ⎝ 2⎠ ⎡ 1 = + ⎢1 − + − + ⎢ ⎣ 2⎡ ⎛ 1⎞ = + ⎢1 − ⎜ − ⎟ 3⎢ ⎝ 2⎠ ⎣ n −1 2⎛ 1⎞ Vậy an = − ⎜ − ⎟ 3⎝ 2⎠ ⎤ ⎛ ⎞n−1 ⎥ = − ⎜− ⎟ ⎥ 3⎝ 2⎠ ⎦ n −1 Ví dụ 48 Dãy số a1, a2, , an, xác định sau: (n + 2)(n + 1)an+2 − n an = 0, với n = 1, 2, (13) a1 = 0, a2 = Hãy tìm an Lời giải Ta viết lại công thức (13) an +2 n2 an = ( n + 1)( n + 2) Dễ thấy số hạng mang số lẻ Thật vậy, đặt n = 2k – 1, với k = 1, 2, ta có a2 k +1 (2 k − 1)2 = a2 k −1 k (2 k + 1) Từ a1 = 0, từ công thức theo định nghĩa quy nạp a3 = 0, a5 = 0, Khi ta đặt n = 2k, số hạng chẵn có cơng thức a2 k +2 2k a2 k = ( k + 1)(2 k + 2) (14) Với k = 1, 2, từ (14) ta tính 1 2.2 2.4 2.32 2.4.6 a4 = a2 = = ; a6 = a4 = ; a8 = a6 = 2.3 1.3 3.5 3.5 4.7 3.5.7 So sánh số hạng với số đưa giả thiết http://nhdien.wordpress.com 51 Nguyễn Hữu Điển, ĐHKHTN a2 k = Chuyên đề: Phương pháp quy nạp toán học 2.4.6 (2k − 2) 1.3.5 (2k − 1) k (15) Ta chứng minh giả thiết quy nạp Bước sở: Với k = 2, 3, công thức (15) nhận a2, a4 a8 Bước quy nạp: Giả sử (15) với k, ta chứng minh với k + 1: a2 k +2 = 2.4.6 k 1.3.5 (2k + 1) k + Thật vậy, (14) giả thiết quy nạp ta có a2( k +1) 2k 2.4.6 (2 k − 2) = ( k + 1)(2 k + 1) 1.3.5 (2 k − 1) k = 2.4.6 (2k − 2)2k 1.3.5 (2 k − 1)(2 k + 1) k + Như vậy, công thức (15) chứng minh Tóm lại ⎧ ⎪ an = ⎨ 2.4.6 (2 k − 2) ⎪ 1.3.5 (2 k − 1) k ⎩ n = k − 1, n = k (k = 1,2, ) Người ta hay dùng công thức để định nghĩa cơng thức đó, cơng thức khơng phụ thuộc vào đối số mà nhiều đối số, ví dụ định nghĩa hệ số Newton: k Cn = Hoặc Cnk = n! với n = 0, 1, 2, , k = 0, 1, , n k !(n − k )! n(n − 1) (n − k + 1) , với n = 0, 1, 2, , k = 0, 1, , n 1.2.3 k http://nhdien.wordpress.com 52 Nguyễn Hữu Điển, ĐHKHTN Chuyên đề: Phương pháp quy nạp toán học Chúng ta thiết lập tam giác số Pascal theo nguyên tắc: Cột cạnh huyền gồm toàn số 1, số hàng thứ n cột k tổng hai số hàng n – 1, cột thứ k – k 1 1 1 3 1 Ví dụ 49 Chứng minh số bảng hệ số k Newton: Mỗi số đứng hàng thứ n cột thứ k Cn Lời giải Ta chứng minh phương pháp quy nạp theo hàng n Bước sở: Chứng minh phương pháp quy nạp, với n = mệnh đề k Bước quy nạp: Giả sử hàng thứ n tạo số Cn , Cn , , Cn kí hiệu β n+1,0 , β n+1,1 , , β n+1,n+1 số hàng thứ n + Ta chứng minh β n+1,k = Cnk+1 Thật vậy, áp dụng nguyên tắc tạo bảng số giả thiết quy nạp ta có β n+1,k = Cnk −1 + Cnk = = n! n! + (k − 1)!(n − k +)! k !(n − k )! n! 1⎞ (n + 1)! ⎛ k − ⎟= = Cn+1 ⎜ (k − 1)!(n − k )! ⎝ n − k + k ⎠ k !(n − k + 1)! Như ta chứng minh công thức tam giác Pascal k k k Cn −1 + Cn = Cn+1 Ví du 50 Gọi trung tuyến n-giác đoạn thẳng nối đỉnh ngiác đến trọng tâm (n-1)-giác thành lập n-1 đỉnh lại http://nhdien.wordpress.com 53 Nguyễn Hữu Điển, ĐHKHTN Chuyên đề: Phương pháp quy nạp toán học Chứng minh trung tuyến n-giác A1A2 An giao điểm điểm chia trung tuyến theo tỉ số (n-1) : Lời giải Bước sở: Với n = 3, tam giác A1A2A3 với trung tuyến tam giác xem đoạn thẳng nối đỉnh tam giác với trung điểm cạnh đối diện (ta gói trung điểm trọng tâm đoạn thẳng) Các trung tuyến đồng quy điểm điểm chia trung tuyến theo tỉ số : kể từ đỉnh Với n = 4, tứ giác A1A2A3A4 gọi S trung điểm (trọng tâm) A1A2 O1, O2 theo thứ tự trọng tâm tam giác A1A2A3, A1A2A4 Gọi O giao điểm hai trung tuyến A3O2, A4O1 Vì SA3 SA4 trung tuyến tam giác A1A2A3, A1A2A4 nên SA3 SA4 = = suy SO1 SO2 SA3 SA4 = , nên O1O2 // A3A4 SO1 SO2 A3 A4 SA3 = = Từ tam giác đồng dạng OA3A4 O1O2 suy O1O2 SO1 OA4 OA3 A3 A4 = = = OO1 OO2 O1O2 Như vậy, giao điểm hai trung A2 tuyến xuất phát từ hai đỉnh kề tứ giác chia chúng theo tỉ số suy bốn trung tuyến tứ giác A3 O1 S O A1 O2 đồng quy O điểm chia trung tuyến theo tỉ số : A4 Hình 13 O gọi trọng tâm tứ giác Bước quy nạp: Giả sử mệnh đề cần chứng minh với n = (k – 1)giác Nghĩa trọng tâm (k – 1)-giác đồng quy O điểm chia http://nhdien.wordpress.com 54 Nguyễn Hữu Điển, ĐHKHTN Chuyên đề: Phương pháp quy nạp toán học chúng theo tỷ số (k-2):1 Ta cần chứng minh mệnh đề với n = kgiác, tức trung tuyến n giác đồng quy O điểm chia trung tuyến theo tỉ số (k-1):1 Thật vậy, gọi S trọng tâm (k-2)-giác A1A2 Ak-2 SAk-1 SAk trung tuyến (k-1)-giác A1A2 Ak-1 A1A2 Ak-2Ak (h 14) Nếu Ok Ok-1 theo thứ tự trọng tâm hai (k-1)-giác theo giả thiết quy nạp SAk −1 SAk k −1 = = , suy SOk SOk −1 Ok-1Ok // AkAk-1 Ak −1 Ak k − = Ok −1Ok Gọi O giao điểm hai trung Ak Ok-1 tuyến Ok-1Ak-1 OkAk đó, từ hai tam giác đồng dạng OOk-1Ok OAk-1Ak suy Ok S A3 Ak-1 O Ak A2 A1 Hình 14 OAk −1 OAk Ak −1 Ak k − = = = OO k-1 OOk Ok −1Ok http://nhdien.wordpress.com 55 Nguyễn Hữu Điển, ĐHKHTN Chuyên đề: Phương pháp quy nạp toán học Bài tốn dựng hình quỹ tích quy nạp Ví dụ 44 Trên mặt phẳng cho 2n+1 điểm Hãy dựng (2n+1)-giác cho điểm cho thành trung điểm cạnh đa giác Lời giải Bước sở: Nếu n = mệnh đề trở thành toán: Dựng tam giác biết trung điểm ba cạnh Đây toán quen biết trình bày sách hình học sơ cấp Bước quy nạp: Giả sử 2k + (k ≥ 1) điểm tùy ý khơng có ba điểm thẳng hàng dựng đa giác 2k + đỉnh có điểm cho trung điểm cạnh Xét 2(k+1) + điểm tùy ý khơng có ba điểm thẳng hàng A1, A2, , A2k, A2k+1, A2k+2, A2k+3 Giả sử điểm trung điểm thuộc cạnh đa giác B1B2 B2k+2B2k+3 (h 10) Khi A2k+1, A2k+2, A2k+3 trung điểm cạnh tương ứng B3 A2 B2k+1B2k+2, B2k+2B2k+3 B2k+3B1 B2 Giả sử A trung điểm cạnh B2k • A1 • B1B2k+1 Tứ giác AA2n+1A2n+2A2n+3 hình bình hành Hình bình hành AA2n+1A2n+2A2n+3 có ba đỉnh A2k+1, A2k+2, A2k+3 cho trước nên đỉnh thứ tư A hồn tồn xác • A2k B2k+1 A • A2k+1 B1 A2k+3 B2k+2 • • A2k+2 B2k+3 Hình 10 định cách qua điểm A2k+3 kẻ đường thẳng ∆1 song song với đoạn thẳng A2k+1A2k+2 Từ A2k+1 kẻ ∆ song song với đoạn thẳng A2k+3A2k+2 Giao điểm ∆1 ∆ điểm A cần xác định Theo giả thiết quy nạp 2k + điểm A1, A2, , A2k, A ta dựng đa giác B1B2 B2k+1, để Ai trung điểm cạnh BiBi+1 (1 ≤ i http://nhdien.wordpress.com 44 Nguyễn Hữu Điển, ĐHKHTN Chuyên đề: Phương pháp quy nạp toán học ≤ 2k) A trung điểm cạnh B1B2k+1 Sau từ B1 kẻ đường thẳng song song với đoạn AA2k+1, cắt đoạn thẳng B2k+1A2k+1 kéo dài B2k+2; từ B2k+1 kẻ đường thẳng song song với đoạn thẳng AA2k+3 cắt đoạn thẳng B1A2k+3 kéo dài B2k+3 Vì B2k+1A = AB1 AA2k+1 // B1B2k+2, nên B2k+1A2k+1 = A2k+1B2k+2 Tương tự, ta có B1B2k+3=A2k+3B2k+3, B2k+3A2k+2 = A2k+2B2k+2 Vậy đa giác 2k+3 đỉnh B1B2 B2k+2B2k+3 nhận điểm cho A1A2 A2k+2A2k+3 trung điểm cạnh Ví dụ 45 Biết đoạn thẳng B1C1, B2C2, , BnCn thuộc cạnh ngiác lồi A1A2 An Tìm tập hợp điểm M thuộc miền đa giác cho tổng diện tích tam giác MB1C1, MB2C2, , MBnCn số S(M0B1C1)+S(M0B2C2)+ +S(M0BnCn) (M0 điểm xác định thuộc miền đa giác S(ABC) diện tích tam giác ABC) Lời giải Bước sở: Với n = 3, lấy hai điểm P Q theo thứ tự thuộc A2A3 A3A1 tam giác A1A2A3 cho A3P = B2C2 A3Q = B3C3, S(M0B2C2)+ S(M0B3C3) = S(M0PA3) + S(M0QA3) = S(PQA3)+S(M0PQ) A2 X B2 C1 C2 B1 M0 A1 T N B3 Y C R http://nhdien.wordpress.com P Q A3 Hình 11 45 Nguyễn Hữu Điển, ĐHKHTN Chuyên đề: Phương pháp quy nạp toán học Do vậy, S(M0B1C1)+S(M0B2C2)+S(M0B3C3) = S(PQA3)+(S(M0B1C1)+S(M0PQ)) Tương tự, S(MB1C1)+S(MB2C2)+S(MB3C3) = S(PQA3) + (S(MB1C1)+S(MPQ)) Ta thấy tập hợp điểm cần tìm xác định bởi: S(MB1C1)+S(MPQ) = S(M0B1C1)+S(M0PQ) Gọi N giao điểm A1A2 PQ Trên hai cạnh góc A2NP lấy NR = PQ NT = B1C1 Khi S(M0B1C1)+S(M0PQ) = S(M0NT) + S(M0NR)=S(NRT)+S(M0RT) Tương tự, S(MB1C1)+S(MPQ) =S(NRT)+S(MRT) Tập cần tìm điểm M nằm tam giác cho S(MRT) = S(M0RT) đoạn thẳng XY qua M0 song song với RT Nếu A1A2 // PQ tập hợp điểm cần tìm đoạn thẳng thuộc đường thẳng song song với chúng Bước quy nạp: Giả sử tập hợp điểm cần tìm n-giác đoạn thẳng qua M0 ta xét (n+1)-giác A1A2 AnAn+1 Gọi B1C1, B2C2, , BnCn, Bn+1Cn+1 đoạn thẳng cho thuộc cạnh đa giác M0 điểm thuộc miền (n+1)-giác (h 12) Trên hai cạnh góc A1An+1An B3 C3 từ đỉnh An+1 ta lấy đoạn A3 An+1P = BnCn An+1Q = C2 Bn+1Cn+1 Khi B2 S(MBnCn) = S(MBn+1Cn+1) A2 = S(MAn+1P)+S(MAn+1Q) = S(An+1PQ)+S(MPQ) Với điểm M tập hợp cần tìm, ta có http://nhdien.wordpress.com An-1 Bn-1 M0 C1 Cn-1 Bn Cn+1 B1 A A’1 P Q An A’n Qn+1 Hình 12 46 Nguyễn Hữu Điển, ĐHKHTN Chuyên đề: Phương pháp quy nạp toán học S(MB1C1)+S(MB2C2)+ + S(MBn-1Cn-1)+S(MPQ) = S(M0B1C1)+ S(M0B2C2) + + S(M0Bn-1Cn-1)+S(M0PQ) Nhờ giả thiết quy nạp, tập hợp cần tìm đoạn thẳng qua M0 Ví dụ 46 Tìm tập hợp điểm cho tổng bình phương khoảng cách từ tới n điểm cho trước số Lời giải Giả sử cần phải tìm tập hợp M cho MA12 + MA2 + + MAn = k Bước sở: Với n = 2, MA12 + MA2 = k Ta lấy trung điểm I A1A2, A1 A2 2k − A1 A2 Tập hợp suy MI = ta có MA + MA = MI + 2 2 2 điểm đường tròn Bước quy nạp: Giả sử ta tìm tập hợp điểm thỏa mãn điều kiện cho n điểm đường tròn Bây ta xét (n+1) điểm A1, A2, , An, An+1 Theo trên, ta chứng minh đoạn thẳng AnAn+1 tìm điểm 2 MAn + MAn+1 = MI + I cho với M An An +1 , tốn đưa việc tìm tập hợp 2 điểm M cho MA12 + MA2 + + MAn−1 + MI số Do giả thiết quy nạp, tập hợp điểm cần tìm đường tròn Bài tập 4.1 Trên mặt phẳng bị chia n đường tròn mảnh khác Chứng minh mặt phẳng tơ hai màu cho mảnh tô màu hai mảnh liền có màu khác http://nhdien.wordpress.com 47 Nguyễn Hữu Điển, ĐHKHTN 4.2 Chuyên đề: Phương pháp quy nạp toán học Trong mặt phẳng cho 2000 điểm khơng có ba điểm nằm đường thẳng Một số chúng nối thành đoạn thẳng theo nguyên tắc: Nếu điểm A nối với điểm B điểm B nối với điểm C, A khơng nối với điểm C Chứng minh với cách nối trên, ta thu không 1.000.000 đoạn thẳng 4.3 Chứng minh n dây cung, cắt m (n > m) điểm hình trịn, chia hình trịn thành n + m + phần 4.4 Trong mặt phẳng cho n hình trịn, chúng phủ mặt phẳng với diện tích S Khi chọn hình trịn đơi khơng giao mà tổng diện tích chúng khơng nhỏ 4.5 S Dãy số tự nhiên a1, a2, , an, xác định a1 = 2, an+1 = (n+1)an + 1, n = 1, 2, Trong mặt phẳng cho an + điểm khác nhau, khơng có ba điểm nằm đường thẳng Tất đoạn thẳng nối điểm tô n màu khác Chứng minh với n = 1, 2, tồn tam giác với đỉnh điểm cho, mà cạnh tơ màu http://nhdien.wordpress.com 48 ... http://nhdien.wordpress.com 29 Nguyễn Hữu Điển, ĐHKHTN Chuyên đề: Phương pháp quy nạp toán học Bài Kĩ THUẬT DÙNG PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Hai bước ngun lí quy nạp tốn học Ngun lí quy nạp toán học gồm hai phần,... 36 Nguyễn Hữu Điển, ĐHKHTN Chuyên đề: Phương pháp quy nạp toán học Bài QUY NẠP TỐN HỌC TRONG HÌNH HỌC Nhiều tốn hình học gải phương pháp quy nạp tốn học, lĩnh vực hình học tổ hợp Những toán liên... chứng minh Phương pháp dùng nguyên lí quy nạp toán học để giải toán, người ta gọi phương pháp quy nạp toán học Như vậy, phương pháp quy nạp toán học gồm hai bước, bước thứ ta kiểm tra mệnh đề có với