S. Chứng minh rằng với mọi (m, n) ∈ S, m+n chia hết cho 5.
3.4.Những bài toán trên bàn cờ
Bài 75 Chứng minh rằng với mọin∈Nvà mọi số chẵnm∈N, bàn cờ cỡn×mcó cùng số ô đen và số ô trắng.
Bài 76 Chứng minh rằng với tất cả những số lẻn,m∈ , bàn cờ cỡn×mcó bốn ô vuông ở góc được tô cùng màu.
Bài 77 Chứng minh rằng với tất cả những số lẻn,m∈N, bàn cờ cỡn×mvới các ô vuông ở góc được tô màu nhiều hơn một ô ở góc được tô màu đen.
Bài 78 Quân mã của cờ quốc tế có bước đi hợp lệ là cách một ô và chéo một ô.
Một vòng đi khép kín của quân mã trên bàn8×8người ta có thể thực hiện được là
mã xuất phát từ một ô bất kì và đi qua mỗi ô một lần trước khi trở lại ô xuất phát.
Chứng minh rằng đường đi khép kín tồn tại cho bàn cờ cỡ2k×2kvới mọik≥3.
Quân bài triomino hình chữ "L" tạo bởi ba ô vuông bàn cờ gép lại. Một sắp đặt
gọi làlát bàn cờnếu mọi ô vuông của bàn cờ được lấp đầy, ngoại trừ một ô vuông
không kín.
Bài 79 Chứng minh rằng vớin≥1mọi bàn cờ 2n×2n đều có thể lát được bằng quân bài triomino còn một ô không kín dù ô vuông đó nằm ở đâu trên bàn cờ.
Bài 80 Có thể lát được hoặc không lát được bằng những quân cờ triomino theo cách trên những bàn cờ có cỡ sau đây: (a)3×2n; (b)6×2n; (c)3n×3n; (b)6n×6n.
Bài 81 Chứng minh rằng mọi bàn cờ cỡ2n×2n thiếu một ô có thể lát được bằng các quân bài triomino chỉ có ba màu sao cho không có cặp triomino nào mà có cạnh cùng chung một màu cạnh nhau.