4. Trả lời và gợi ý giải bài tập chương 4 1.Ta giải bài toán bằng quy nạ p toán h ọ c.
4.4. Lời giải Ta sử dụng phương pháp quy nạp the on đường tròn.
Bước cơ sở: Với n = 1, mệnh đề hiển nhiên đúng.
Bước quy nạp: Giả sử mệnh đề đúng với mọi k < n. Bây giờ ta phải chứng minh cho trường hợp n hình tròn. Ta xét tập hợp G gồm n hình tròn phủ mặt phẳng một diện tích S và kí hiệu K là hình tròn có bán kính lớn nhất r. Gọi S(K) là diện tích hình tròn này. Nếu S(K) 9 S ≥ , thì mệnh đề đúng với hình tròn K này. Trường hợp S(K) < 9 S : Mỗi một hình tròn từ G có bán kính không lớn hơn r, suy ra nếu nó có điểm chung với K, thì nó phải nằm trong hình tròn đồng tâm với K, nhưng với bán kính 3r. Vì diện tích của hình tròn này là 9S(K), tập hợp G1 tất cả các hình tròn có
điểm chung với K , phủ một phần của mặt phẳng có diện tích không lớn hơn 9S(K), suy ra nhỏ hơn S, vì 9S(K) < S. Khi đó có hình tròn G không có điểm chung với K. Tất cả những hình tròn như vậy tạo thành một tập khác rỗng G2 = G\G1 và phủ một phần mặt phẳng với diện tích
. Với những hình tròn như vậy trong G
2 9 ( )
S ≥ −S S K 2 số lượng nhỏ hơn
n. Theo giả thiết quy nạp trong tập hợp G2 có thể chọn được một hoặc một số hình tròn đôi một không giao nhau và tổng diện tích của chúng không nhỏ hơn 2 9 S , suy ra không nhỏ hơn 1( 9 ( )) ( 9 9 S S− S K = −S K). Hình tròn K không có điểm chung với bất cứ hình tròn nào trong những hình tròn ta đang xét trong G2. Thêm vào tập hợp những hình đang xét hình tròn K, ta sẽ nhận được tập hợp những hình tròn đôi một không giao nhau, mà tổng diện tích của chúng không nhỏ hơn
9