F(n) = p−1 ∑ k=1 kn(p−1)+1−n(n2−1) p−1 ∑ k=1 (k2p−1−3k2)− p(p−1)(n(2p−1) +1)). Chứng minh rằngF(n)chia hết chop3với mọi số nguyênn≥0, ở đây plà một số nguyên tố lớn hơn 2.
Bài 2 Chứng minh rằng1+22n+32n+2((−1)un+1) chia hết cho7 với mọi số nguyênn>0, ở đây{un}là dãy số Fibonacci:u1=u2=1vàun+2=un+1+un.
Bài 3 Chứng minh rằng2(22n+32n+62n) +3(−1)n+1((−1)un+1) chia hết cho
13với mọi số nguyênn>0, ở đây{un}là dãy số Fibonacci:u1=u2=1vàun+2=
un+1+un.
Bài 4 Cho∑m
i=1ai và∑m
i=1akbci chi hết cho(bc)2với mọi số lẻ k. (b vàclà hai số nguyên tố lẻ ,b<cvà(c−1)không chia hết chob, còn ailà những số nguyên tố
cùng nhau tương ứng vớibvàc). Đặt
F(n) =
m
∑
i=1
a1i+(b−1)(c−1)n.
Chứng minh rằngF(n)chia hết cho(bc)2với mọi số nguyênn≥0.
Bài 5 Choa,b,clà ba số nguyên dương sao choc=a+b. Cho plà một ước số lẻ củaa2+b2+c2. Chứng minh rằng
(a)(a6n−4+b6n−4+c6n−4)chia hết cho p. (b)(a6n−2+b6n−2+c6n−2)chia hết cho p2.
(c)(a2n+b2n+c2n)chia hết cho pmàpkhông chia hết cho3. (d)(a4n+b4n+c4n)chia hết cho p2mà pkhông chia hết cho3.
− −
Chứng minh rằng với mọi số nguyênn>1
(a)∑n
i=1F(i)2=F(n)F(n+1)−5;
(b)F(n)2+F(n+1)2=F(2n+4)−F(2n−3).
Bài 7 Cho(2p+1) là một số nguyên tố, ở đây p là một số lẻ lớn hơn 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyênn>0,∑n
k=1k2n chia hết cho(2p+1). Hãy chứng minh kết luận bằng một cách khác nữa.
Bài 8 Cho(4p+1) là một số nguyên tố, ở đây p là một số lẻ lớn hơn 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyênn>0,∑n
k=1a2kn chia hết cho (4p+1). aktất cả khác nhau, nằm trong tập hợp2psố nguyên dương đầu tiên và chúng có tính chất:a2pk −1
chia hết cho(4p+1). Còn những số khác của tập hợp có tính chất:a2pk +1chia hết cho(4p+1).
Bài 9 Chứng minh rằng với mọi số nguyên n≥1, 22n−1+42n−1+92n−1 không phải là số chính phương.
Bài 10 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dươngn:82n−52n không phải là số chính phương.
Bài 11 ChoF(n) =136n+1+306n+1+1006n+1+2006n+1và đặt (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
G(n) =2F(n) +2n(n−2)F(1)−n(n−1)F(2). Chứng minh rằng mọi số nguyênn≥0:G(n)chia hết cho73.
Bài 12 Cho f(a)là một hàm số từ những số nguyên dương vào số nguyên dương. Nếu f(a+b)−k f(a)chia hết cho pvới mọi số nguyên dươnga, khi đó chứng minh rằng tồn tạib0sao cho:(f(a+b0b)−f(a))chia hết chop.
Bài 13 Chứng minh bằng hơn một cách khẳng định sau:
1+24n+2+34n+2+44n+2+54n+2+64n+2
chia hết cho13với tất cả số nguyênn≥0.
Bài 14 Chứng minh rằng với mọi số nguyên n≥0: (2(34n+3+44n+3)−25n2+