Những bài toán giải bằng quy nạp toán học Bài 1Cho

Một phần của tài liệu Chuyên đề Phương pháp quy nạp toán học (Nguyễn Hữu Điền) (Trang 40 - 41)

F(n) = p−1 ∑ k=1 kn(p−1)+1−n(n2−1) p−1 ∑ k=1 (k2p−1−3k2)− p(p−1)(n(2p−1) +1)). Chứng minh rằngF(n)chia hết chop3với mọi số nguyênn≥0, ở đây plà một số nguyên tố lớn hơn 2.

Bài 2 Chứng minh rằng1+22n+32n+2((−1)un+1) chia hết cho7 với mọi số nguyênn>0, ở đây{un}là dãy số Fibonacci:u1=u2=1vàun+2=un+1+un.

Bài 3 Chứng minh rằng2(22n+32n+62n) +3(−1)n+1((−1)un+1) chia hết cho

13với mọi số nguyênn>0, ở đây{un}là dãy số Fibonacci:u1=u2=1vàun+2=

un+1+un.

Bài 4 Cho∑m

i=1ai và∑m

i=1akbci chi hết cho(bc)2với mọi số lẻ k. (bclà hai số nguyên tố lẻ ,b<cvà(c−1)không chia hết chob, còn ailà những số nguyên tố

cùng nhau tương ứng vớibc). Đặt

F(n) =

m

i=1

a1i+(b−1)(c−1)n.

Chứng minh rằngF(n)chia hết cho(bc)2với mọi số nguyênn≥0.

Bài 5 Choa,b,clà ba số nguyên dương sao choc=a+b. Cho plà một ước số lẻ củaa2+b2+c2. Chứng minh rằng

(a)(a6n−4+b6n−4+c6n−4)chia hết cho p. (b)(a6n−2+b6n−2+c6n−2)chia hết cho p2.

(c)(a2n+b2n+c2n)chia hết cho ppkhông chia hết cho3. (d)(a4n+b4n+c4n)chia hết cho p2mà pkhông chia hết cho3.

− −

Chứng minh rằng với mọi số nguyênn>1

(a)∑n

i=1F(i)2=F(n)F(n+1)−5;

(b)F(n)2+F(n+1)2=F(2n+4)−F(2n−3).

Bài 7 Cho(2p+1) là một số nguyên tố, ở đây p là một số lẻ lớn hơn 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyênn>0,∑n

k=1k2n chia hết cho(2p+1). Hãy chứng minh kết luận bằng một cách khác nữa.

Bài 8 Cho(4p+1) là một số nguyên tố, ở đây p là một số lẻ lớn hơn 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyênn>0,∑n

k=1a2kn chia hết cho (4p+1). aktất cả khác nhau, nằm trong tập hợp2psố nguyên dương đầu tiên và chúng có tính chất:a2pk −1

chia hết cho(4p+1). Còn những số khác của tập hợp có tính chất:a2pk +1chia hết cho(4p+1).

Bài 9 Chứng minh rằng với mọi số nguyên n≥1, 22n−1+42n−1+92n−1 không phải là số chính phương.

Bài 10 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dươngn:82n−52n không phải là số chính phương.

Bài 11 ChoF(n) =136n+1+306n+1+1006n+1+2006n+1và đặt

G(n) =2F(n) +2n(n−2)F(1)−n(n−1)F(2). Chứng minh rằng mọi số nguyênn≥0:G(n)chia hết cho73.

Bài 12 Cho f(a)là một hàm số từ những số nguyên dương vào số nguyên dương. Nếu f(a+b)−k f(a)chia hết cho pvới mọi số nguyên dươnga, khi đó chứng minh rằng tồn tạib0sao cho:(f(a+b0b)−f(a))chia hết chop.

Bài 13 Chứng minh bằng hơn một cách khẳng định sau:

1+24n+2+34n+2+44n+2+54n+2+64n+2

chia hết cho13với tất cả số nguyênn≥0.

Bài 14 Chứng minh rằng với mọi số nguyên n≥0: (2(34n+3+44n+3)−25n2+

Một phần của tài liệu Chuyên đề Phương pháp quy nạp toán học (Nguyễn Hữu Điền) (Trang 40 - 41)

Tải bản đầy đủ (PDF)

(104 trang)