Bài 15 Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dươngn,22n+32n+52n chia hết cho
Bài 16 Cho f(n) = (a−1)f(n−1) +a f(n−2)vàg(n) = f(n+2) +a f(n+2) + (a−1)f(n). Chứng minh rằng với mọi số nguyênn>0:
g(n) = (f(1) + f(2))(2a−1)a(n−1).
Bài 17 Cho f(n) =3(f(n−1) +f(n−2)) +1,f(1) = f(2) =1. Chứng minh rằng với mọi số nguyênn>0,(f(3n) + f(3n+1))chia hết cho32.
Bài 18 Choplà một số nguyên tố lớn hơn5. đặt
F(n) =21+(p−1)n−31+(p−1)n−51+(p−1)n+61+(p−1)n
vàG(n) =100F(n)−nF(100). Chứng minh rằng với mọi số nguyên n≥0,G(n) chia hết cho p2.
Bài 19 Cho plà số nguyên dương và F(n)là một hàm số nguyên vào số nguyên. NếuF(n)thỏa mãn điều kiện sau
(F(n+3)−3F(n+2) +3F(n+1)−F(n))≡0 (mod p3), thì với mọi số nguyênn≥0,
F(n)≡ (n−1)(n−2)
2 F(0)−n(n−2)F(1) +n(n−1)
2 F(2)).
Bài 20 Choa(n) =a(n−1) +2a(n−2) +1,a(1) =a(2) =1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dươngn>0:
a(n) =2n−1−(−1)
n+1 2 .
Bài 21 Ta xétn2số Fibonacci đầu tiên được sắp đặt theo ngược chiều kim đồng hồ
như trường hợpn=3vàn=4dưới đây:
5 3 28 1 1 8 1 1 13 21 34 987 610 377 233 5 3 2 144 8 1 1 89 13 21 34 55
Chú ý rằng vớin=3(21+1) =2(8+3)và vớin=4(610+5) =5(89+34). Hãy
dự đoán và chứng minh kết quả với mọi số nguyênn>2 (có thể không dùng quy
nạp).
Bài 22 Bài toán trên cho trường hợp thay dãy Fibonacci bằng dãy Lucas, bằng dãy số Fibonacci chẵn, ...?
Bài 23 Choplà số nguyên tố lớn hơn3sao cho chia hết bởia +ab+b (anguyên
tố cùng nhau vớib). CHứng minh rằng với mọi số nguyênn≥0:
a4+(p−1)n+b4+(p−1)n+ (a+b)4+(p−1)n
chia hết cho p2.
Bài 24 Cho(6p+5)là số nguyên tố, ở đâyplà số nguyên không âm. Chứng minh rằng với mọi số nguyênn≥0:3p∑+2
k=1
k2(3n) chia hết cho(6p+5).
Bài 25 ChoF(n)là số hạng thứncủa số Fibonacci. Chứng minh rằng bằng một số cách
F(n)2+F(n+1)2+F(n+2)2+F(n+3)2=3F(2n+3).
Bài 26 ChoF(n)là số hạng thứncủa số Fibonacci. Chứng minh rằng bằng một số cách
F(5n+3)2+F(5n+4)2 chia hết cho11.
Bài 27 Chok là số nguyên dương cố định và cho plà một số nguyên tố lẻ. Cho
F(n)là một hàm từ số nguyên vào số nguyên thỏa mãn đẳng thức đồng dư sau:
k ∑ i=0 k i (−1)k−iF(n+i)≡0 (mod pk).
Nếu F(a0),F(a1), ...,F(ak−1) đều chia hết cho pk, ở đây(ai−aj) không chia hết chopvớii6= j, thì chứng minh rằng với mọi số nguyênn≥0:F(n)chia hết cho pk.
Bài 28 Cho F(n) là số Fibonacci thứ n và G(n) =89an−F(n)a11−F(n−11).
Chứng minh rằng với mọi số nguyên không âm n:G(n)chia hết cho đa thứca2−
a−1.
Bài 29 Cho4k+1 là một số nguyên tố. Chứng minh rằng tất cả những số nguyên không âmn: 2k∑ i=1 i4n+2chia hết cho4k+1. Bài 30 Cho F(n) = p∑−1 k=1 kn(p−1)+1 − p(p−1)(n(p−1) +1)) 2 và G(n) =
500500F(n)− n(n2−1)F(1001). Chứng minh rằng G(n) chia hết cho p3 với mọi số nguyênn≥0, ở đây plà số nguyên tố>13.