S. Chứng minh rằng với mọi (m, n) ∈ S, m+n chia hết cho 5.
3.6. Hệ số Newton
Vớin,r∈Nvàr≤n, ta kí hiệu hệ số Newton bằng n
r
và được định nghĩa theo công thức n r = n! r!(n−r)!. Bài 87 Chứng minh rằng ∑n m=0 n m =2n.
Bài 88 Chứng minh rằng vớin≥1sao cho với mọi1≤m≤n, ta đều có n m ≤nm. Bài 89 Chứng minh rằng(a+b)n= ∑n m=0 n m ambn−m.
Bài 90 Chứng minh rằng với mọi số chẵnn, nếuk6= n
2, thì n
n
2
> nk.
Bài 91 Chứng minh rằng với mọin∈N, ∑n
m=0
i· ni=n2n−1.
Bài 92 Chứng minh rằng với mọin∈N, ∑n
m=0
2−i· ni= 32n.
3.7. Đồ thị
Đồ thị là một cặp thứ tự G(V,E), ở đâyV là một tập hữu hạn vàE ⊂V ×V. Những phần tử của V được gọi là đỉnh (hoặc nút), kí hiệu làV ={v1,v2, ...,vn}. Những phần tử củaE được gọi làcạnh, kí hiệu làE={e1,e2, ...,en}.
Bài 93 Chứng minh rằng một đồ thị cónđỉnh có thể có ít nhất n(n−1)
2 cạnh.
Bài 94 Một cuộc đấulà một đồ thị có hướng tạo thành bằng cách lấy đồ thị không
hướng đầy đủ và gán hướng bất kì cho các cạnh. Nghĩa là, một đồ thị G= (V,E)
sao cho với bất kìu,v∈V, thì có đúng một trong(u,v),(v,u)∈E. Chứng minh rằng mọi cuộc đấu có đường dẫn Hamilton, đò là đường mà đường đi mỗi đỉnh chỉ qua một lần.
Bài 95 Chu trình Eulertrong một đồ thị liên thông là một chu trình trong đó mỗi cạnh chỉ xuất hiện đúng một lần. Chứng minh rằng mọi đồ thị trong nó mỗi đỉnh có số cạnh chẵn đều có một chu trình Euler.
Siêu khối lập phương số chiềun là một đồ thị được định nghĩa như sau: Siêu khối số chiều0là một đỉnh. Để xây dựng siêu khối số chiềun, xuất phát từ siêu khối số
chiềun−1. Tiếp theo ta lấy thêm cả khối này bên cạnh. Vẽ thêm một cạnh từ mỗi
đỉnh của khối thứ nhất tới đỉnh tương ứng của khối thứ thứ hai bên cạnh. Vì dụ sau với khốin=0,1,2,3,4.
0 1 2 3 4
Bài 96 Chứng minh rằng siêu khốinchiều có2nđỉnh.
Bài 97 Chứng minh rằng siêu khốinchiều cón2n−1cạnh.
Bài 98 Chứng minh rằng mọi siêu khối có chu trình Hamilton (nghĩa là chu trình đi qua các đỉnh đúng một lần).
Bài 99 Chứng minh rằng các đỉnh của một siêu khối có thể tô bằng hai màu sao cho hai đỉnh cạnh nhau không có cùng một màu.
Bài 100 Chứng minh rằng các cạnh của siêu khốinchiều có thể tô bằngnmàu sao cho không cặp cạnh nào có đỉnh chung mà lại có cùng một màu.
Bài 101 Chứng minh rằng siêu khốinchiều có đúng n k
2n−k siêu khối con khác nhaukchiều.