Những ví dụ trên cho ta thấy rằng mỗi bài toán là một mệnh đề đúng hoặc sai. Mỗi mệnh đề như vậy lại phụ thuộc vào một biến số tự nhiên n. Một cách tổng quát ta kí hiệu P(n) là mệnh đề toán học phụ thuộc vào n, với n là số tự nhiên. Như vậy, thực chất của các ví dụ đã xét là chứng minh dãy mệnh đề sau đúng (hoặc sai)
P(1), P(2), P(3), ..., P(n), ...
Một số bài toán phát biểu dưới dạng: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, P(n) đúng. Như vậy, những bài toán loại này đều liên quan tới tập số tự nhiên. Một tính chất số tự nhiên người ta công nhận như một tiên đề và thường gọi là tiên đề thứ tự.
Tiên đề thứ tự:Trong mọi tập khác rỗng của số tự nhiên có phần tử nhỏ nhất.
Cho mỗi số tự nhiên n ứng với một khẳng định P(n). Đáng lẽ ta phải
đi kiểm tra vô hạn các mệnh đề, thì người ta sử dụng nguyên lí quy nạp toán học sau đây là đủ:
Định lí 1 (Nguyên lí quy nạp toán học).Cho n0 là một số nguyên dương và P(n) là một mệnh đề có nghĩa với mọi số tự nhiên n n≥ 0 . Nếu
(1) P(n0) là đúng và
(2) Nếu P(k) đúng, thì P(k+1) cũng đúng với mọi số tự nhiên k ≥ n0; thì mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên n n≥ 0 .
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng. Giả sử ngược lại, mệnh đề khẳng định P(n) trong định lí 1 không đúng với một số tự nhiên n ≥ n0 nào đó. Nghĩa là tồn tại một số tự nhiên m ≥ n0 , mà P(m) không
đúng. Ta lấy số tự nhiên nhỏ nhất m mà P(m) không đúng (điều này thực hiện được do tiên đề thứ tự). Theo điều kiện (1) ta có bất đẳng thức m >
n0, từ đó suy ra m – 1 ≥ n0. Từ bất đẳng thức vừa lập và cách chọn số tự
nhiên m suy ra P(m – 1) là đúng, nhưng nó không kéo theo được P(m)
đúng cho số tiếp theo vì m = (m – 1) + 1. Điều này trái với giả thiết (2). Như vậy, điều giả sử là sai và định lí được chứng minh.
Phương pháp dùng nguyên lí quy nạp toán học để giải toán, người ta gọi là phương pháp quy nạp toán học. Như vậy, phương pháp quy nạp toán học gồm hai bước, bước thứ nhất ta kiểm tra mệnh đề có đúng với n = n0, gọi là bước cơ sở. Nghĩa là kiểm tra P(n0) có đúng không? Nếu bước cơ sở đúng thì ta chuyển sang bước thứ hai chứng minh rằng nếu với mỗi k n≥ 0 , P(k) là mệnh đề đúng, thì suy ra P(k+1) cũng đúng, bước này gọi là bước quy nạp. Kết luận là P(n) đúng với mọi n n≥ 0 .
Cách chứng minh theo phương pháp quy nạp toán học là tránh cho ta phải đi kiểm tra vô hạn bước các khẳng định của mệnh đề. Vì mệnh đề
của bài toán có thể phụ thuộc vào nhiều đối số, nên người ta thường phải nói rõ chứng minh quy nạp theo n đối với mệnh đề phụ thuộc vào n. Ta xét lại những ví dụ đã xét:
Ví dụ 1. Mệnh đề trong bài này là P(n) = {Tổng n số lẻ đầu tiên bằng n2}. Trong cách giải ở trên với n= 1, 2, 3 mệnh đề đúng và ta cũng chứng minh được P(k) đúng suy ra P(k+1) cũng đúng. Vậy suy ra P(n) đúng với mọi n 1. ≥
Ví dụ 2. Mệnh đề trong ví dụ này là P(n) = {Cho n đường thẳng chia mặt phẳng thành các miền khác nhau. Có thể tô màu trên các vùng bằng hai màu đen và trắng sao cho hai miền cạnh nhau có màu khác nhau không?}, ở đây n là số đường thẳng trên mặt phẳng. Lời giải của bài toán này thấy P(1) là mệnh đềđúng, ta cũng thấy từ mệnh đề P(1) suy ra P(2)
đúng và từ P(2) suy ra P(3) đúng, ... và lí luận hoàn toàn tương tự, P(k)
của đường thẳng cuối cùng ta đặt vào. Suy ra theo nguyên lí quy nạp toán học P(n) đúng với mọi n ≥ 1.
Ví dụ 3. Mệnh đề trong ví dụ này là P(n) = {Số có 3n chữ số 1 chia hết cho 3n}, ởđây n là số tự nhiên. Theo lời giải của bài toán thì
n = 1, P(1) = { Số 111 chia hết cho 3 } là đúng;
n = 2, P(2) = { Số 111111111 chia hết cho 9 } là đúng.
Theo cách giải của bài toán thì P(1) đúng suy ra P(2) đúng, P(2) đúng suy ra P(3) đúng, ... Một cách tổng quát P(k) đúng suy ra P(k+1) cũng đúng bằng cách phân tích số 3k+1 chữ số 1 ra thành tích của số có 3k chữ số 1 và số có 3 chữ số 1 và những số còn lại là chữ số 0, từ đây suy ra mênh
đề P(k+1) đúng. Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học P(n) đúng với mọi n ≥ 1.
Ví dụ 4. Bài toán này có mệnh đề P(n) = {Với n ≥ 7 đồng, có thể đổi n ra thành những đồng tiền 2 đồng và 5 đồng không?}, ở đây n là số
tự nhiên. Ta chú ý giá trị ban đầu ở ví dụ này bắt đầu n0 = 7. Lời giải của bài toán này cho ta thấy với n = 7 và 8 mệnh đề đúng, sau đó cộng 2 vào ta nhận được n = 9; 10 và cứ tiếp tục như vậy... Ví dụ này cần hai giá trị
ban đầu và bước quy nạp cũng giả thiết đúng hai giá trị phía trước để suy ra mệnh đềđúng ở bước sau. Cụ thể vấn đề này sẽ được nghiên cứu trong
định lí 2 và định lí 3 ở bài sau.