Chuyên đề phương pháp giải các bài tập hình học không gian

1 Chuyên đề luyện thi đại học PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TẬP HÌNH KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI TSĐH Trong kỳ thi TSĐH bài toán hình không gian luôn là dạng bài tậ p gây khó khăn cho học sinh. Nguyên nhân cơ bản là do học sinh chưa biết phân biệt rõ r àng dạng bài tập để lựa chọn công cụ , phương pháp giải cho phù hợp. Bài vi ết này sẽ giúp học sinh giải q u y ết những vướng mắc đó. Ph ần 1: Nhữ n g vấn đề cần n ắm c h ắc khi tính toán - Trong tam giác vuông ABC (vuông tại A ) đường cao AH thì ta luôn có: b = c t a n B , c = b t a n C ; 2 2 2 1 1 1 AH AB AC   - Trong tam giác thường ABC ta có: 2 2 2 2 2 2 2 cos ;cos 2 b c a a b c bc A A bc       . Tươn g tự t a c ó h ệ thức cho cạng b, c và góc B, C: - 1 1 1 sin sin sin 2 2 2 AB C S ab C bc A ac B     - V(khối c h ó p ) = 1 . 3 B h (B là diện t í c h đáy, h là chiều cao) - V(khối l ăn g t r ụ)=B.h - V(chóp S(ABCD)= 1 3 (S(ABCD).dt(ABCD)) - S=p.r (Trong đó p là nữa chu vi, r là bán kính vòng tròn nội tiếp tam giác) Ph ương p háp xác đ ịnh đườn g cao các loạ i khối ch óp: - Loại 1: K h ối c h ó p c ó 1 c ạnh g ó c v u ô n g v ới đáy đó chính là chiều cao. - Loại 2: K h ối c h ó p c ó 1 m ặt bên vuông góc với đáy t h ì đường cao chính là đường kẻ từ m ặt bên đến g i a o t u y ến. - Loại 3: K h ối c h ó p c ó 2 m ặt kề nhau cùng vuông góc với đáy t h ì đường cao chính là giao tuyến c ủa 2 mặt kề nhau đó. - Loại 4: K h ối c h ó p c ó c á c c ạnh b ê n b ằng nhau hoặc các cạnh b ê n c ù n g t ạo với đáy 1 g ó c b ằng nhau thì chân đường cao chính là tâm vòng tròn ngoại t i ếp đáy. C B H A 2 - Loại 5: K h ối c h ó p c ó c á c m ặt bên đều tạo với đáy 1 g ó c b ằng nhau thì chân đường cao chính là tâm vòng tròn nội t i ếp đáy. Sử dụng c á c g i ả t h i ết mở: - Hình chóp có 2 mặt bên kề nhau cùng tạo với đáy g ó c  thì chân đường cao hạ từ đỉnh sẽ rơi v à o đường phân giác góc tạo bởi 2 c ạnh n ằm trên mặt đáy c ủa 2 mặt bên (Ví dụ: Hình chóp SABCD có mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng tạ o với đáy g ó c  thì chân đường cao hạ từ đỉnh S t h u ộc p h â n g i á c g ó c B A C ) - Hình chóp có 2 cạnh b ê n b ằng nhau hoặc hai cạnh b ê n đều tạ o với đáy m ột góc  thì chân đường cao hạ từ đỉnh r ơi v à o đường trung trự c của đoạn t h ẳng nối 2 điểm còn lại của cạnh bên thuộc mặt đáy. (Ví dụ: Hình chóp SABCD có SB=SC hoặc SB và SC cùng tạ o với đáy m ột góc  thì chân đường cao hạ từ S rơ i v à o đường trung trực c ủa BC) Việc xác định được chân đường cao cũng là yếu tố quan trọng để tìm góc tạo bởi đường thẳng và m ặt phẳng hoặc góc tạo bởi 2 mặt phẳng. Ví dụ: Cho khối c h ó p S A B C D c ó m ặt bên SAD vuông góc (ABCD), góc tạ o bởi S C v à ( A B C D ) l à 6 0 0 , góc tạ o bởi ( S C D ) v à ( A B C D ) l à 4 5 0 , đáy l à h ì n h t h a n g c â n c ó 2 c ạnh đáy l à a , 2 a ; c ạnh b ê n b ằng a. Gọi P , Q l ần l ượt là trung đi ểm c ủa SD,BC.Tìm góc tạ o bởi P Q v à m ặt phẳng (ABCD).Tính V khối c h ó p ? Rõ ràng đây là khối c h ó p t h u ộc dạn g 2 . T ừ đó ta dễ dàng tìm được đường cao và xác định các góc như sau: - K ẻ SH vuông góc với A D t h ì S H l à đường cao(SC,(ABCD))= ˆ ˆ ;( ,( ) ) ) SCH SM ABCD HMS  , với M l à c h â n đường cao kẻ từ H l ê n CD - Từ P hạ PK vuông góc với A D t a c ó ˆ ( ,( ) ) PQ ABCD PQK  Ph ần 3: Các bài toán về t í n h t h ể t í c h A. Tính thể t í c h t r ự c t i ế p b ằ n g c á c h t ìm đường cao: Ví dụ 1) (TSĐH A 2009) Ch o h ì nh ch ó p SA BCD có đáy A B C D l à h ì n h t h a n g v u ô n g t ại A v à D . , có AB=AD=2a; CD=a. Góc giữa 2 mặt phẳng (SCB) và (ABCD) bằng 60 0 . Gọi I l à t r u n g đi ểm D A B C M H S P Q K 3 A D b i ết 2 mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với ( A B C D ) . T í n h t h ể tích khối c h ó p SABCD? HD giải: Vì 2 mặt phẳng (SBC) và (SBI) cùng vuông góc với ( A B C D ) m à ( S B I ) v à ( S C I ) c ó giao tuyến l à S I n ê n S I l à đường cao. Kẻ IH vuông góc với B C t a c ó g ó c t ạ o bởi m ặt phẳng (SBC) và (ABCD) là 0 ˆ 60 SHI  . Từ đ ó ta tính được: 2 1 2; 5; ( ) ( ) 3 2 IC a IB BC a S ABCD AD AB CD a       2 2 2 2 1 3 . ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 a a IH BC S IBC S ABCD S ABI S CDI a a        nên 2 ( ) S IBC IH BC   3 3 5 a . Từ đ ó V(SABCD)= 3 3 15 5 a . Ví dụ 2) (TSĐH D 2 0 0 9 ) C h o l ăn g t r ụ đứng ABCA ’ B ’ C ’ có đáy A B C l à t a m g i á c v u ô n g t ại B , A B = a ; A A ’ =2a; A ’ C=3a. Gọi M l à t r u n g đi ểm c ủa đoạn A ’ C ’ , I là trung đi ểm c ủa AM và A ’ C ’ . Tính V chóp IABC theo a? HD giải: - A B C A ’ B ’ C ’ là lăn g t r ụ đứng nên các mặt bên đều vuông góc với đáy. Vì I  (ACC ’ )  (ABC), từ I ta kẻ IH  A C t h ì I H l à đường cao và I chính là trọng tâm tam giác AA ’ C ’ 2 4 3 3 I H CI a I H AA CA        Có 2 2 2 2 2 2 A A 9 4 5 2 AC A C a a a BC AC AB a            V(IABC)= 3 1 1 4 1 4 . ( ) . . .2 . 3 3 3 2 9 a I H d t A B C a a a   ( đv t t ) S I A B H D C 4 B. Tính thể t í c h b ằ n g c á c h s ử d ụ n g c ô n g t h ứ c t ỉ s ố t h ể t í c h h o ặ c p h â n c h i a k h ố i đ a d i ệ n thành các khối đa diện đơn giản hơn Khi gặp các bài toán mà việc tính toán gặp khó khăn t h ì t a p h ải t ì m c á c h p h â n c h i a k h ối đa diện đó thành các khối c h ó p đơn g i ản h ơn m à c ó t h ể tính trực tiếp thể tích của nó hoặc sử dụng công thức tính tỉ s ốthể tích để tìm thể tích khối đa diện c ần t í n h t h ô n g q u a 1 k h ối đa diện t r u n g g i a n đơn g i ản h ơn . Các em học sinh cần nắm vững các công thức sau: ( ) . . ( ) . . V SA B C SA SB SC V SABC SA SB SC        (1) ( A ABC) A A ( ) SA V S V SABC    (2). Công thức (2) có thể mở rộng cho khối c h ó p b ất kỳ . C B A C ' B ' A ' S B’ C’ M A’ B A I H C 5 Ví dụ 3) Cho hình chóp SABCD có đáy A B C D l à h ì n h t h o i c ạnh a , 0 ˆ 60 BAD  , SA vuông góc v ới đáy(ABCD), SA=a. Gọi C l à t r u n g đi ểm S C , m ặt phẳng (P) đi q u a A C s o n g s o n g v ới B D c ắt các cạnh S B , S D c ủa hình chóp tại B ’ , D ’ . Tính thể tích khối c h ó p HD giải: Gọi O l à g i a o 2 đườn g c h é o t a s u y r a A C ’ và SO cắt nhau tại t r ọng tâm I của tam giác SAC. Từ I thuộc mặt phẳng (P)(SDB) kẻ đường thẳng song song với B D c ắt SB, SD tại B ’ , D ’ là 2 giao đi ểm c ần t ì m . Ta có: 1 2 ; 2 3 SC SD SB SI SC SD SB SO        Dễ thấy ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ; 2 S A B C D S A B C SAB C SABC V V V V          ( ) ( ) . . 1 ( ) ( ) . . 3 V SAB C D V SAB C SA SB SC V ABCD V SABC SA SB SC            Ta có 3 ( ) 1 1 1 3 3 ˆ . ( ) . . . . . . 3 3 3 2 6 S ABC D V SA dt ABCD SA AD AB sinDAB a a a a    3 ( ) 3 18 S AB C D V a     (đv t t ) Ví dụ 4) (Dự bị A 2007) Cho hình chóp SABCD là hình chữ nhật AB=a, AD=2a, cạng SA vuông góc với đáy, cạnh S B h ợp với đáy m ột góc 60 0 . Trên cạnh S A l ấy M s a o c h o A M = 3 3 a . Mặt phẳng BCM cắt DS tại N. Tính thể tích khối c h ó p S B C M N . HD giải: Từ M kẻ đường thẳng song song với A D c ắt SD tạ i N l à g i a o đi ểm c ần t ì m , g ó c t ạ o bởi S B v à (ABCD) là 0 ˆ 60 SBA  . Ta có SA=SBtan60 0 =a 3 . S B’ C’ D’ O B C D A 6 Từ đó suy ra SM=SA-AM= 3 2 3 2 3 3 3 3 SM SN a a a SA SD      Dễ thấy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 S A B C D S A B C S A C D SA B C SACD V V V V V    ( ) ( ) ( ) S B C M N S M B C S M C N V V V  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1. . . 1. . . ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2. . . 2. . . 1 2 5 3 9 9 V SMBCN V SMBC V SMCN V SMCN V SMCN SM SB SC SM SC SN V SABCD V SABCD V SABC V SACD SA SB SC SA SC SD           Mà 3 3 ( ) ( ) 1 1 2 3 10 3 . ( ) 3 .2 3 3 3 27 S ABC D S M B C N V SA dt ABCD a a a a V a      Ph ần 4: Các bài toán về k h o ả n g c á c h t r o n g k h ô n g g i a n A. Khoả n g c á c h t ừ 1 đ i ể m đ ế n 1 m ặ t p h ẳ n g Để giải quyết nhanh gọn bài toán khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng học sinh cần nắm chắc bài toán cơ bản và c á c t í n h c h ấ t s a u * Bài toán cơ bản: Cho khối chóp SABC có SA vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ A đến (SBC) - Hạ AM vuông góc với BC , AH vuông góc với SM suy ra AH vuông góc với (SBC). Vậy khoảng cách từ A đến (SBC) là AH. Ta có 2 2 2 1 1 1 AS AH AM   S M N A D C B 7 H M C B A S * Tính chấ t q u a n t r ọ n g c ầ n n ắ m : - Nếu đường thẳng (d) song song với mặt phẳng (P) thì khoảng cách từ mọi điểm trên (d) đến mặt phẳng (P) là như nhau - Nếu AM kBM  thì /( ) /( ) A P B P d kd trong đó (P) là mặt phẳng đi qua M Trên cơ sở các tính chất trên ta luôn quy được khoảng cách từ một điểm bất kỳ về bài toán cơ bản. Tuy nhiên 1 số trường hợp việc tìm hình chiếu trở nên vô cùng khó khăn, khi đó việc sử dụng công thức tính thể tích trở nên rất hiệu quả. Ta có V(khối chóp)= 1 3 . 3 V B h h B   Ví dụ 1) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hì n h v u ô n g c ạnh a. Hì n h c h i ếu của S trùng với trọng tâm tam giác ABD. Mặt bên (SAB) tạ o v ớ i đ á y m ộ t g ó c 6 0 0 . Tín h t heo a thể tích của khối chóp SABCD và khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAD). Lời giải: Gọi G là trọng tâm của tam giác ABD, E là hình chiếu của G lên AB Ta có:   ; SG AB GE AB AB SGE     0 ˆ 60  SAG  ˆ .tan 3 SG GE SEG G E    Mặt khác G là trọng tâm của tam giác ABD 1 3 3 a GE BC    3 1 3 . 3 9 S ABC D ABCD a V SG S   8 Hạ GN vuông góc với AD, GH vuông góc với SN. Ta có /( ) /( ) 2 2 2 2 3 3 . 3 . 3 3 3 3 3 2 3 3 3 B SAD G SAD a a GN GS a d d GH GN GS a a                    H N E G D C A B S Ví dụ 2) Cho hình lăng trụ đứng . ABCD A B C D     có đáy ABCD là hình thoi , 3 AB a  , 0 120 BAD  . Biết góc giữa đường thẳng AC  v à m ặt phẳng ( ) ADD A   b ằng 0 30 .Tính thể tích khối lăng trụ trên theo a. và khoảng cách từ trung điểm N của BB’ đến mặt phẳng (C’MA).Biết M là trung điểm của A’D’ Ta có . ' ' ' ' '. ABCD A B C D ABCD V AA S (1). Đáy ABCD là hì n h t h o i g ồm 2 tam giác đều ABC, ACD nên:   2 2 3 3 3 3 2 2. 4 2 ABCD ABC a a S S     (2) Gọi C’M là đường cao của tam giác đều C’A’D’ thì   ' ' ' C M ADA D  nên 0 ˆ ' 30 C AM  Ta có 0 2 2 3 3 3 ' ' .cot 30 ' ' 6 2 2 a a C M A M C M A A AM A M a         (3) Thay (2),(3) vào (1) ta có: 2 3 . ' ' ' ' 3 3 9 2 . 6 2 2 ABCD A B C D a a V a  . 9 Ta có /( ' ) /( ' ) N C MA K C MA d d với K là trung điểm của DD’ (Vì K v à N đối xứng nhau qua trung điểm O của AC’) Từ K hạ KH vuông góc với AM thì /( ' ) 1 ( ' ) ; . ( ' ' ) ( ' ) ( ' ) ( ) 2 K C MA KH AC M d KH KH AM dt AA D D dt AA M dt MD K dt AKD        3 3 1 3 1 6 3 1 6 6 . 6. 3 6. . . . . 3 4 2 2 2 2 2 2 2 2 a a a a a KH a a a a KH a        Vậy /( ' ) 6 2 N C MA d a  H K M B ' C ' A ' D ' D C B A N Ví dụ 3) Cho hình chóp SABC có góc tạ o bởi 2 m ặt phẳng (SBC) và (ABC) là 60 0 , ABC,SBC là các tam giác đều cạnh a . T í n h k h o ảng cách từ đỉnh B đến m p ( S A C ) . ( Đề dự bị khối A 2007) HD: Cách 1: C o i B l à đỉnh k h ối c h ó p B S A C t ừ giả thiết ta suy ra BS=BA=BC=a. Gọi O l à c h â n đường cao hạ từ B xuống mp(SAC). O chính là tâm vòng tròn ngoại t i ếp tam giác SAC. Gọi M l à trung đi ểm B C t a c ó ; SM BC AM BC   . Nên góc tạ o bởi ( S B C ) v à ( A B C ) l à 0 a 3 ˆ 60 A S = 2 SMA SM AM    . Bây giờ t a tìm vị t r í t â m v ò n g n g o ại t i ếp tam giác SAC. Tam giác SAC cân tại C n ê n t â m v ò n g t r ò n n g o ại t i ếp nằm t r ê n t r u n g t r ực của SA và CN (N là trung diểm c ủa SA). Kẻ trung trực của SC cắ t trung trực của SA tại O l à đi ểm c ần t ì m 2 2 2 2 3 2 13 16 cos 4 SA a SC a NC SNC SC SC a             10 2 2 2 2 2 4 3 2 ; ˆ 13 cos 13 13 SC a a a OC BO BC OC a SCN         . Cách 2: 0 ( ) ( ) 1 2 2 2 . ( ) . .sin 60 3 3.2 S A B C D SABM a V V BM dt SAM AM MS   3 3 ( ) 16 a dt SAC  = 2 1 1 13 3 39 3 ( ) 3 . A S = . . ( ,( ) 2 2 4 2 16 ( ) 13 a V SABC a CN a a d B SAC dt SAC     Ví dụ 4) Cho hình chóp SABCD có đáy A B C D l à h ì n h t h a n g 0 ˆ ˆ 90 ABC BAD  , BA=BC=a, A D = 2 a . C ạnh b ê n S A v u ô n g g ó c v ới đáy v à S A = 2 a , gọi H l à h ì n h c h i ếu của A lên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến m p ( S C D ) (TSĐH D 2007) HD giải: Ta có 2 2 2 2 2; 6; 2 AC a SD SA AD a SC SA AC a        . Ta cũng dễ dàng tính được 2 CD a  . Ta có 2 2 2 SD SC CD   nên tam giác SCD vuông tại C . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 . A S . 2 2 AS 3 A B A S 2 2 2 2 3 3 3 3 AB a a A H a A H AB a a a SH SH SA AH a SB a                O S P C M B A N [...]... I A 18 MỘT SỐ BÀI TẬP CHỌN LỌC VỀ HÌNH KHÔNG GIAN THƯỜNG DÙNG TRONG KỲ THI TSĐH Câu 1) Khối chóp SABCD có đáy là hình bình hành, M là trung điểm của SC Mặt phẳng (P) đi qua AM, song song với BD chia khối chóp làm 2 phần Tính tỉ số thể tích hai phần đó Câu 2) Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có các cạnh bằng a a) Tính thể tích khối chóp b) Tính khoảng cách từ tâm mặt đáy đến các mặt của hình chóp Câu... tích toàn phần của hình trụ và thể tích của khối trụ b) Tính thể tích tứ diện OO’AB Câu 50) Cho hình chóp cụt tam giác đều ngoại tiếp 1 hình cầu bán kính r cho trước Tính thể tích khối chóp cụt biết rằng cạnh đáy lớn gấp đôi cạnh nhỏ (Hình chóp ngoại tiếp hình cầu nếu hình cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp) Câu 51) Cho hình chóp tam giác đều SABC có độ dài cạnh bên bằng a Các mặt bên hợp với... S H A D B C B Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau trong không gian Khi tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b trong không gian ta tiến hành theo trình tự sau: - Dựng (tìm) mặt phẳng trung gian (P) chứa a song song với b sau đó tính khoảng cách từ 1 điểm bất kỳ trên b đến mp(P) - Khi tính khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng ta có thể vận dụng 1 trong 2 phương pháp đã trình bày ở mục... H M K A C Chú ý 1) Trong bài toán này ta đã dựng mặt phẳng trung gian là mp(AMN) để tận dụng điều kiện B’C song song với (AMN) Tại sao không tìm mặt phẳng chứa B’C các em học sinh tự suy nghĩ điều này Chú ý 2) Nếu mặt phẳng (P) đi qua trung điểm M của đoạn AB thì khoảng cách từ A đến (P) cũng bằng khoảng cách từ B đến (P)) Ví dụ 2) Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có đáy là hình vuông cạnh a Gọi E là... tam giác ABC vuông tại C và góc BAC=600 Hình chiếu vuông góc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a Câu 18) Trong không gian cho hình chóp tam giác đều SABC có SC  a 7 Góc tạo bởi (ABC) và (SAB) =600 Tính thể tích khối chóp SABC theo a Câu 19) Trong không gian cho hình chóp SABCD với ABCD là hình thoi cạnh a, góc ABC=600, a 3 SO... rằng MB  MA1 và tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (A1MB) Câu 33) Cho hình chóp SABC có góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600 Các tam giác ABC và SBC là các tam giác đều cạnh a Tính theo a khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng (SAC) Câu 34) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với đáy Cho AB=a; SA= a 2 Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A lên SB; SC Chứng...  AM 2  ME 2  Tam giác SME cân tại E 2 2 SM 5 nên cos   2  ME 5 S A E D M B N C PHẦN 4) CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI ĐA DIỆN Để giải quyết tốt dạng bài tập này học sinh cần nắm vững kiến thức cơ bản sau: ** Nếu I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp SA1 A2 An thì tâm I cách đều các đỉnh S ; A1; A2 An - Vì vậy tâm I thuộc trục đường tròn đáy là đường thẳng qua tâm vòng tròn ngoại... song với BD, cắt các cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B’, D’ Tính thể tích của khối chóp SAB’C’D’ Câu 44) Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có A’ABC là hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB=a, cạnh bên AA’=b Gọi  là góc giữa 2 mặt phẳng (ABC) và (A’BC) Tính tan  và thể tích khối chóp A’BB’CC’ Câu 45) Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy =a Gọi SH là đường cao của hình chóp Khoảng cách từ trung điểm... thể tích hình lăng trụ ˆ 7) Cho hình hộp xiên ABCDA’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a BAD  600 , AA’=A’B=AD và cạnh bên tạo với đáy góc  Xác định góc  và chân đường cao vẽ từ A’ Tính thể tích V của hình hộp theo a và  8) Cho ABCDA’B’C’D’ hình lập phương cạnh a Lấy M trên cạnh AB với AM=x (0 . 1 Chuyên đề luyện thi đại học PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TẬP HÌNH KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI TSĐH Trong kỳ thi TSĐH bài toán hình không gian luôn là dạng bài tậ p gây khó khăn cho học sinh sinh. Nguyên nhân cơ bản là do học sinh chưa biết phân biệt rõ r àng dạng bài tập để lựa chọn công cụ , phương pháp giải cho phù hợp. Bài vi ết này sẽ giúp học sinh giải q u y ết những vướng mắc. ần 5: Các bài toán tính góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau trong không gian. Khi cần t í n h g ó c g i ữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b trong không gian ta phải tìm 1 đường thẳng trung gian là