Bài tập hình học không gian ôn thi đại học

Bi tp HHKG Nguyn V Minh Ti liu ụn thi H Nm hc 2010 - 2011 5 BI TP ễN TP HèNH HC KHễNG GIAN Cõu 1. Cho hỡnh vuụng ABCD tõm I. Cỏc na ng thng Ax, Cy cựng vuụng gúc vi mt phng (ABCD) v cựng phớa i vi mt phng ú. Trờn Ax, Cy ln lt ly cỏc im M, N sao cho AM = m, CN = n ( m, n 0> ), gúc to bi hai mt phng (MBD) v (ABCD) bng 30 0 . Tớnh th tớch ca khi chúp B.AMNC. Tỡm iu kin ca m theo n gúc MIN vuụng. Cõu 2. Cho hỡnh chúp SABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a, tõm O. Cnh bờn SA vuụng gúc vi mp (ABCD) v SA = a; M l trung im cnh SD. a) Mt phng () i qua OM v vuụng gúc vi mt phng (ABCD) ct hỡnh chúp SABCD theo thit din l hỡnh gỡ? Tớnh din tớch thit din theo a. b) Gi H l trung im ca CM; I l im thay i trờn SD. Chng minh OH (SCD); v hỡnh chiu ca O trờn CI thuc ng trũn c nh. Cõu 3. Trờn cnh AD ca hỡnh vuụng ABCD cú di l a, ly im M sao cho AM = x (0 < x a). Trờn ng thng vuụng gúc vi mt phng (ABCD) ti A, ly im S sao cho SA = 2a. a) Tớnh khong cỏch t im M n mt phng (SAC). b) Kẻ MH vuông góc với AC tại H . Tìm vị trí của M để thể tích khối chóp SMCH lớn nhất. Cõu 4. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thoi ; hai ng chộo AC = 23a , BD = 2a v ct nhau ti O; hai mt phng (SAC) v (SBD) cựng vuụng gúc vi mt phng (ABCD). Bit khong cỏch t im O n mt phng (SAB) bng 3 4 a , tớnh th tớch khi chúp S.ABCD theo a. Cõu 5. Cho hỡnh lng tr tam giỏc ABC.ABC vi A.ABC l hỡnh chúp tam giỏc u cnh ỏy AB = a; cnh bờn AA = b. Gi l gúc gia hai mp(ABC) v mp(ABC). Tớnh tan v th tớch chúp A.BCCB. Cõu 6. Cho hỡnh chúp SABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng tõm O, SA vuụng gúc vi đáy hỡnh chúp. Cho AB = a, SA = a 2 . Gi H v K ln lt l hỡnh chiu vuông góc ca A lờn SB, SD. Chng minh SC (AHK) v tớnh th tớch khối chúp OAHK. Cõu 7. Cho lăng trụ tam giác ABC.A 1 B 1 C 1 có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 30 0 . Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (A 1 B 1 C 1 ) thuộc đờng thẳng B 1 C 1 . Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng AA 1 và B 1 C 1 theo a. Cõu 8. Cho hỡnh chúp S.ABCD ỏy ABCD l hỡnh thoi. SA = x (0 < x < A 3EA ) cỏc cnh cũn li u bng 1. Tớnh th tớch ca hỡnh chúp S.ABCD theo x. Cõu 9. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh vuụng cnh a , SA vuụng gúc vi ỏy v SA=a .Gi M,N ln lt l trung im ca SB v SD; I l giao im ca SD v mt phng (AMN). Chng minh SD vuụng gúc vi AI v tớnh th tớch khi chúp MBAI. Cõu 10. Trong mặt phẳng (P) cho đờng tròn (C) tâm O đờng kính AB = 2R. Trên đờng thẳng vuông góc với (P) tại O lấy điểm S sao cho OS = R 3 . I là điểm thuộc đoạn OS với SI = 2 3 R . M là một điểm thuộc (C). H là hình chiếu của I trên SM. Tìm vị trí của M trên (C) để tứ diện ABHM có thể tích lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó. Cõu 11. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh ch nht vi AB = a, AD = 2a. Cnh SA vuụng gúc vi mt phng ỏy, cnh bờn SB to vi mt phng ỏy mt gúc 60 0 . Trờn cnh SA ly im M sao cho AM = 3 3 a , mt phng (BCM) ct cnh SD ti N. Tớnh th tớch khi chúp S.BCNM. Cõu 12. Hỡnh chúp t giỏc u SABCD cú khong cỏch t A n mt phng ( ) SBC bng 2. Vi giỏ tr no ca gúc gia mt bờn v mt ỏy ca chúp thỡ th tớch ca chúp nh nht? Cõu 13. Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng cõn ti nh A ( A = 90 o ), AB=AC=a. Mt bờn qua cnh huyn BC vuụng gúc vi mt ỏy, hai mt bờn cũn li u hp vi mt ỏy cỏc gúc 60 o . Hóy tớnh th tớch ca khi chúp S.ABC. Cõu 14. Cho hỡnh lng tr ABC.ABC cú ỏy l tam giỏc u cnh a, hỡnh chiu vuụng gúc ca A lờn mt phng (ABC) trựng vi tõm O ca tam giỏc ABC. Tớnh th tớch khi lng tr ABC.ABC bi t khong cỏch gia AA v BC l a3 4 . Bài tập HHKG Nguyễn Vũ Minh Tài liệu ơn thi ĐH Năm học 2010 - 2011 6 Câu 15. Cho tø diƯn ABCD cã ba c¹nh AB, BC, CD ®«i mét vu«ng gãc víi nhau vµ aCDBCAB = == . Gäi C’ vµ D’ lÇn l−ỵt lµ h×nh chiÕu cđa ®iĨm B trªn AC vµ AD. TÝnh thĨ tÝch tÝch tø diƯn ABC’D’. Câu 16. Cho lăng trụ ABC.A ’ B ’ C ’ đáy ABC là tam giác đều cạnh a. .A ’ cách đều các điểm A,B,C. Cạnh bên AA ’ tạo với đáy góc 60 0 . Tính thể tích khối lăng trụ. Câu 17. Cho hình lập phương 111 1 ABCD.A B C D có độ dài cạnh bằng a. Trên các cạnh AB và CD lấy lần lượt các điểm M, N sao cho . B MCNx== Xác định ví trí điểm M sao cho khoảng cách giữa hai dường thẳng 1 AC và M N bằng 3 a . Câu 18. Cho hình lăng trụ tam giác đều .' ' 'ABC A B C có 1, ' ( 0).AB CC m m = => Tìm m biết rằng góc giữa hai đường thẳng ' A B và ' B C bằng 0 60 . Câu 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng (SBC) và (SCD) bằng 60 0 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD. Câu 20. Khối chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác vng cân đỉnh C và SA vng góc với mặt phẳng (ABC), SC = a . Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối chóp lớn nhất . Câu 21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a, AD 2a, = = cạnh SA vng góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc o 60 . Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho a3 AM 3 = . Mặt phẳng () BCM cắt cạnh SD tại điểm N . Tính thể tích khối chóp S.BCNM. Câu 22. Cho hình lặng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và A’C bằng 15 5 a . Tính thể tích của khối lăng trụ. Câu 23. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi ; hai đường chéo AC = 23a , BD = 2a và cắt nhau tại O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vng góc với mặt phẳng (ABCD). Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng 3 4 a , tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Câu 24. Cho hình chóp cụt tam giác đều ngoại tiếp một hình cầu bán kính r cho trước. Tính thể tích hình chóp cụt biết rằng cạnh đáy lớn gấp đơi cạnh đáy nhỏ. Câu 25. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên hợp với đáy một góc là 45 0 . Gọi P là trung điểm BC, chân đường vng góc hạ từ A’ xuống (ABC) là H sao cho 1 2 A PAH= uuur uuur . gọi K là trung điểm AA’, () α là mặt phẳng chứa HK và song song với BC cắt BB’ và CC’ tại M, N. Tính tỉ số thể tích ''' ABCKMN ABCKMN V V . Câu 26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA = h vng góc mặt phẳng (ABCD), M là điểm thay đổi trên CD. Kẻ SH vng góc BM. Xác định vị trí M để thể tích tứ diện S.ABH đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị lớn nhát đó. Câu 27. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a; CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60 0 . Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Câu 28. Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vng góc với mặt phẳng (ABC), ngồi ra AC = AD = 4; AB = 3; BC = 5. Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD). Câu 29. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, O là giao điểm của AC và BD. Biết mặt bên của hình chóp là tam giác đều và khỏang cách từ O đến mặt bên là d. Tính thể tích khối chóp đã cho. Câu 30. Tính thể tích hình chóp S.ABC biết SA = a,SB = b, SC = c,    00 0 ASB 60 , 90 , 120BSC CSA===. Câu 31. Cho lăng trụ đứng ABC.A 1 B 1 C 1 có AB = a, AC = 2a, AA 1 2a 5= và o 120BAC = ∧ . Gọi M là trung điểm của cạnh CC 1 . Chứng minh MB ⊥ MA 1 và tính khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng (A 1 BM). Bi tp HHKG Nguyn V Minh Ti liu ụn thi H Nm hc 2010 - 2011 7 Cõu 32. Trong mặt phẳng (P) cho đờng tròn (C) tâm O đờng kính AB = 2R. Trên đờng thẳng vuông góc với (P) tại O lấy điểm S sao cho OS = R 3 ; I là điểm thuộc đoạn OS với SI = 2 3 R ; M là một điểm thuộc (C), H là hình chiếu của I trên SM. Tìm vị trí của M trên (C) để tứ diện ABHM có thể tích lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó. Cõu 33. Cho A BC vuông góc tại A . Trên đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng () ABC tại B ta lấy một điểm S sao cho 1SB BA AC== =. ( ) P là mặt phẳng song song với các cạnh SB và A C cắt các cạnh ,, ,SA SC BC BA lần lợt tại ,,,DEFH. a) Chứng minh rằng: DEFH là hình chữ nhật. b) Xác định vị trí của mặt phẳng () P sao cho diện tích hình chữ nhật đó lớn nhất. Cõu 34. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA=2a. Gọi E là trung điểm của cạnh CD. a) Tính theo a khoảng cách từ điểm S đến đờng thẳng BE. b) Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Cõu 35. Trờn ng thng vuụng gúc ti A vi mt phng ca hỡnh vuụng ABCD cnh a ta ly im S vi SA = 2a. Gi B, D l hỡnh chiu vuụng gúc ca A lờn SB v SD. Mt phng (ABD ) ct SC ti C. Tớnh th tớch khi a din ABCDD C B. Cõu 36. Cho tam giác ABC cân nội tiếp đờng tròn tâm J bán kính R=2a (a>0), góc BAC =120 0 . Trên đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm S sao cho SA = 3.a Gọi I là trung điểm đoạn BC. Tính góc giữa SI và hình chiếu của nó trên mặt phẳng (ABC) v tớnh bỏn kớnh mt cu ngoi tip hỡnh chúp SABC theo a. Cõu 37. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng a, SO (ABCD). Gọi M, N lần lợt là trung điểm của SA và BC. Tính góc giữa đờng thẳng MN và mặt phẳng (ABCD) và thể tích khối chóp M.ABCD, biết rằng . 2 10a MN = Cõu 38. Cho hỡnh chúp S.ABC cú gúc ((SBC), (ACB)) =60 0 , ABC v SBC l cỏc tam giỏc u cnh a. Tớnh theo a khong cỏch t B n mt phng (SAC). Cõu 39. Cho lng tr ng ABC.ABC cú tt c cỏc cnh u bng a. Gi M l trung im ca AA. Tớnh th tớch ca khi t din BMBC theo a v chng minh rng BM vuụng gúc vi BC. Cõu 40. Cho t din OABC cú 4, 5, 6OA OB OC=== v 0 60 .AOB BOC COA=== Tớnh th tớch t din OABC. Cõu 41. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, 2 B Ca= , hình chiếu của A trên mặt phẳng (ABC) là trọng tâm tam giác ABC, cạnh bên tạo với mặt đáy một góc 60 0 . Tính thể tích của khối lăng trụ đó. Cõu 42. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a; AD = 2a. Các mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt đáy (ABCD). Biết góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng 60 0 . Tính thể tích khối chóp và khoảng cách giữa hai đờng thẳng CD và SB. Cõu 43. Cho hình chóp S. ABCD có ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD).Gọi M, N lần lợt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC. Cho SA= a, AD = a 2 , AB = a. Chứng minh rằng mặt phẳng (SBM) vuông góc với mặt phẳng (SAC) và tính thể tích của tứ diện ABIN. Cõu 44. Cho lng tr ng ABC.A B C cú ỏy ABC l tam giỏc vuông cân nh là A . Gúc gia AA v BC bng 30 0 v khong cỏch gia chỳng l a. Gi M l trung im ca AA . Tớnh th tớch t din MA BC . Cõu 45. Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy l tam giỏc u ABC cnh a, ( )SA ABC v SA = 3a. Gi M, N ln lt l hỡnh chiu vuụng gúc ca A lờn cnh SB, SC. Tớnh th tớch khi chúp A.BCNM theo a. Cõu 46. Cho hỡnh chúp .SABCD cú ỏy l hỡnh thang vuụng ti A v B vi B C l ỏy nh. Bit rng tam giỏc SAB l tam giỏc u cú cnh vi di bng 2a v nm trong mt phng vuụng gúc vi mt ỏy, 5SC a= v khong cỏch t D ti mt phng ( ) SHC bng 22a ( õy H l trung im AB ). Hóy tớnh th tớch khi chúp theo .a Cõu 47. Cho hỡnh chúp S.ABC cú AB = AC = a. BC = 2 a , 3aSA = , 0 30==SAB SAC . Tớnh th tớch khi chúp S.ABC. Bi tp HHKG Nguyn V Minh Ti liu ụn thi H Nm hc 2010 - 2011 8 Cõu 48. Cho hỡnh chúp S.ABC cú SA = SB = SC = 2a . ỏy l tam giỏc ABC cõn 0 120BAC = , cnh BC=2a. Tớnh th tớch ca khi chúp S.ABC. Gi M l trung im ca SA. Tớnh khong cỏch t M n mt phng (SBC). Cõu 49. Cho hỡnh chúp S.ABCD, ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a, mt bờn SAD l tam giỏc u v SB = 2a . Gi E, F ln lt l trung im ca AD v AB. Gi H l giao im ca FC v EB. a) Chng minh rng: SE EB v SBCH . b) Tớnh th tớch khi chúp C.SEB. Cõu 50. Cho hỡnh chúp S.ABC, ỏy ABC l tam giỏc vuụng ti B cú AB = a, BC = a 3 , SA vuụng gúc vi mt phng (ABC), SA = 2a. Gi M, N ln lt l hỡnh chiu vuụng gúc ca im A trờn cỏc cnh SB v SC. Tớnh th tớch ca khi chúp A.BCNM. Cõu 51. Cho hỡnh chúp S.ABC cú gúc gia hai mt phng (SBC) v (ACB) bng 60 0 , ABC v SBC l cỏc tam giỏc u cnh a. Tớnh khong cỏch t B n mp(SAC). Cõu 52. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thoi vi 0 120=A , BD = a >0. Cnh bờn SA vuụng gúc vi ỏy. Gúc gia mt phng (SBC) v ỏy bng 60 0 . Mt mt phng () i qua BD v vuụng gúc vi cnh SC. Tớnh t s th tớch gia hai phn ca hỡnh chúp do mt phng () to ra khi ct hỡnh chúp. Cõu 53. Cho hỡnh chúp t giỏc S.ABCD cú SA vuụng gúc vi mt phng (ABCD), ỏy ABCD l hỡnh ch nht cú di AB = 2a , BC = a. Gi M l trung im on CD. Gúc gia hai mt phng (ABCD) v (SBM) l 0 60 . = a) Chng minh rng mt phng (SBM) vuụng gúc vi mt phng (SAC). b) Tớnh th tớch t din SABM theo a. Cõu 54. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng tõm O v AB = 4a, hỡnh chiu vuụng gúc ca nh S lờn mt phng (ABCD) trựng vi trung im I ca on thng OA. Bit khong cỏch t I n mt phng (SAB) bng 2 2 SI . Tớnh th tớch khi chúp S.ABCD theo a . Cõu 55. Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông tại B có AB = a, BC = a 3 , SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA=2a. Gọi M, N lần lợt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB và SC. Tính thể tích của khối chóp A.BCNM. Cõu 56. Trong khụng gian cho hai im A, B c nh, di on AB = a > 0. Ax v By l hai na ng thng vuụng gúc vi nhau v cựng vuụng gúc vi AB. Trờn Ax v By ly hai im M v N sao cho MN = b (vi b l mt s cho trc v b > a). a) Xỏc nh tõm v bỏn kớnh mt cu ngoi tip t din ABMN. b) Xỏc nh v trớ ca M v N sao cho t din ABMN cú th tớch ln nht. Cõu 57. Cho t din ABCD cú tt c cỏc cnh u bng a. Gi P, Q ln lt l trung im ca AB v CD R l mt im trờn cnh BC sao cho BR = 2RC . Mt phng ( PQR) ct AD ti S . Tớnh th tớch khi t din SBCD theo a. Cõu 58. Cho lng tr u ABCABC cú cỏc cnh ỏy bng a. Khong cỏch t tõm O ca tam giỏc ABC n mt phng (ABC) bng 6 a . Tớnh th tớch lng tr u ú. Cõu 59. Cho hỡnh chúp .S ABC cú ỏy A BC l tam giỏc vuụng cõn ti C cnh huyn bng 3a . G l trng tõm tam giỏc A BC , ( ) SG ABC , 14 2 a SB = . Tớnh th tớch hỡnh chúp .S ABC v khong cỏch t B n mt phng ( ) SAC . Cõu 60. Cho hỡnh chúp S.ABC cú mt SBC vuụng gúc vi ỏy, cỏc cnh SB = SC = 1 v cỏc gúc 0 ASB BSC CSA 60===. Tớnh th tớch ca hỡnh chúp S.ABC. Bài tập HHKG Nguyễn Vũ Minh Tài liệu ôn thi ĐH Năm học 2010 - 2011 9 HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP ÔN TẬP HHKG Câu 1. BD vuông góc AC, MI vuông góc AC nên ((MBD);(ABCD)) = M IA ∠ = 30 0 . Đặt AB = x ta có AI = 2 x Trong tam giác MAI có AI.tan30 0 = MA x ⇒=6m 3( ) 2 ACNM mn SACmmn + ⇒= = +. Vậy V BACNM = 2 ()mmn+ (đvtt) * Ta có MN 2 = AC 2 + (m - n) 2 = 13m 2 -2mn + n 2 MI 2 = x 2 /2 + m 2 , NI 2 = x 2 /2 + n 2 góc MIN vuông khi và chỉ khi MN 2 = MI 2 + NI 2 hay n = 3m. Câu 2. a. Kẻ MQ//SA => ( ) ( ) ( ) M Q ABCD MQO α ⊥⇒≡ Thiết diện là hình thang vuông MNPQ (MN//PQ) 2 ().3 28 td M NPQMQ a S + ==(đvdt) b. ://, ,AMC OH AM AM SD AM CDΔ⊥⊥ () () A MSCDOHSCD⇒⊥ ⇒⊥ Gọi K là hình chiếu của O trên CI ,()OK CI OH CI CI OKH CI HK⇒⊥ ⊥⇒⊥ ⇒⊥ Trong mp(SCD) : H, K cố định, góc HKC vuông => K thuộc đường tròn đg kính HC. Câu 3. Do () ()( ) () SA ABCD SAC ABCD SA SAC ⊥ ⎧ ⇒⊥ ⎨ ⊂ ⎩ Lại cã ()( ) () (,) .sin45 2 o x MH AC SAC ABCD MH SAC d M SAC MH AM⊥= ∩ ⇒ ⊥ ⇒ = = = Ta cã 0 .45 2 22 x x AH AM cos HC AC AH a==⇒=−=− 11 1 1 .(2) .2(2) 22 3 6 22 22 MHC SMCH MCH x xxx SMHMCa VSAS aa Δ Δ ⇒= = −⇒= = − Tõ biÓu thøc trªn ta cã: [ ] 3 2 2 1 22 2 32 6 22 SMCH xx a ax x Va a xa +− ≤=⇔=−⇔= ⇔ M trïng víi D. Câu 4. Từ giả thiết AC = 23a ; BD = 2a và AC ,BD vuông góc với nhau tại trung điểm O của mỗi đường chéo.Ta có tam giác ABO vuông tại O và AO = 3a ; BO = a , do đó  0 60ADB = Hay tam giác ABD đều. Từ giả thiết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên giao tuyến của chúng là SO ⊥ (ABCD). Do tam giác ABD đều nên với H là trung điểm của AB, K là trung điểm của HB ta có DH AB⊥ và DH = 3a ; OK // DH và 13 22 a OK DH== ⇒ OK ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (SOK) Gọi I là hình chiếu của O lên SK ta có OI ⊥ SK; AB ⊥ OI ⇒ OI ⊥ (SAB) , hay OI là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB). Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao ⇒ 222 111 2 a SO OI OK SO = +⇒= I A D B C M N O Q H P A D B C S I M N I Bài tập HHKG Nguyễn Vũ Minh Tài liệu ôn thi ĐH Năm học 2010 - 2011 10 Diện tích đáy 2 42 23 D S ABC ABO SOAOBa Δ == = ; đường cao của hình chóp 2 a SO = . Thể tích khối chóp S.ABCD: 3 . 13 . 33 DDS ABC ABC a VSSO == . Câu 5. Gọi O là tâm đáy suy ra ( ) ' A OABC⊥ và góc  ' A IA α = *)Tính tan α ' tan A O OI α = với 1133 3326 aa OI AI== = 222 2222 3 '' 33 aba AO AA AO b − =−=−= 22 23 tan ba a α − ⇒= *)Tính '. ' ' A BCC B V () '. ' ' . ' ' ' '. 22 2 22 1 '. '. 3 23 1 3 3 3226 3 A BCC B ABC A B C A ABC ABC ABC VV VAOSAOS ba a a ba advtt =−= − −− ==  Câu 6. BC vuông góc với (SAB) ⇒ BC vuông góc với AH mà AH vuông với SB ⇒AH vuông góc với (SBC) ⇒AH vuông góc SC (1). Tương tự AK vuông góc SC (2). Từ (1) và (2) ⇒SC vuông góc với (AHK ); 2222 SB AB SA 3a=+=⇒SB = a3; AH.SB = SA.AB ⇒AH= a6 3 ⇒SH= 2a 3 3 ⇒SK= 2a 3 3 (do 2 tam giác SAB và SAD bằng nhau và cùng vuông tại A) Ta có HK song song với BD nên HK SH 2a 2 HK BD SB 3 =⇒= . KÎ OE// SC ()( ())OE AHK doSC AHK⇒⊥ ⊥ suy ra OE lµ ®−êng cao cña h×nh chãp OAHK vµ OE =1/2IC =1/4SC = a/2. Gọi AM là đường cao của tam giác cân AHK ta có 2 222 4a AM AH HM 9 =− = ⇒ AM= 2a 3 . == = 3 OAHK AHK 11a1a2 V OE.S . HK.AM 3322 27 (®vtt). Câu 7. Do )( 111 CBAAH ⊥ nªn gãc HAA 1 ∠ lµ gãc gi÷a AA 1 vµ (A 1 B 1 C 1 ), theo gi¶ thiÕt th× gãc HAA 1 ∠ b»ng 30 0 . XÐt tam gi¸c vu«ng AHA 1 cã AA 1 = a, gãc HAA 1 ∠ =30 0 2 3 1 a HA =⇒ . Do tam gi¸c A 1 B 1 C 1 lµ tam gi¸c ®Òu c¹nh a, H thuéc B 1 C 1 vµ 2 3 1 a HA = nªn A 1 H vu«ng gãc víi B 1 C 1 . MÆt kh¸c 11 CBAH ⊥ nªn )( 111 HAACB ⊥ KÎ ®−êng cao HK cña tam gi¸c AA 1 H th× HK chÝnh lµ kho¶ng c¸ch gi÷a AA 1 vµ B 1 C 1 Ta cã AA 1 .HK = A 1 H.AH 4 3 . 1 1 a AA AHHA HK ==⇒ S A B K H C O I D 3 a a I B ' C' O A C B A ' A 1 A B C C B 1 K H Bài tập HHKG Nguyễn Vũ Minh Tài liệu ôn thi ĐH Năm học 2010 - 2011 11 O C B A D S H Câu 8. a có ( . . )SBD DCB c c c SO COΔ=Δ ⇒= Tương tự ta có SO = OA vậy tam giác SCA vuông tại S 2 1CA x⇒=+ Mặt khác ta có 222222 AC BD AB BC CD AD+=+++ 2 3(0 3)BD x do x⇒=− << 22 1 13 4 ABCD Sxx⇒=+− Gọi H là hình chiếu của S xuống (CAB) Vì SB = SD nên HB = HD ⇒ H ∈ CO, mà 222 2 111 1 x SH SH SC SA x =+⇒= + Vậy V = 2 1 3(vtt) 6 xxd − . Câu 9. Ta có ,( , ) ,( ) AM BC BC SA BC AB AM SB SA AB ⊥⊥⊥ ⎧ ⎨ ⊥= ⎩ AM SC⇒⊥ (1) Tương tự ta có AN SC⊥ (2). Từ (1) và (2) suy ra AI SC ⊥ . Vẽ IH song song với BC cắt SB tại H. Khi đó IH vuông góc với (AMB) Suy ra 1 . 3 ABMI ABM VSIH= Ta có 2 4 ABM a S = ; 22 22222 .111 23 3 3 IH SI SI SC SA a I HBCa BC SC SC SA AC a a == = = =⇒= = ++ Vậy 23 1 343 36 ABMI aa a V ==. Câu 10. Tø gi¸c IHMO néi tiÕp nªn SH.SM = SI.SO mµ OS = R 3 , SI = 2 3 R , SM = 22 2SO OM R+= ⇒SH = R hay H lµ trung ®iÓm cña SM Gäi K lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña H lªn mp(MAB) th× HK = 1 2 SO= 3 2 R , (kh«ng ®æi) ⇒V BAHM lín nhÊt khi dt( Δ MAB) lín nhÊt ⇒M lµ ®iÓm gi÷a cña cung AB Khi ®ã V BAHM = 3 3 6 R (®vtt). Câu 11. Tính thể tích hình chóp SBCMN ( BCM)// AD nên mặt phẳng này cắt mp( SAD) theo giao tuyến MN // AD Ta có : BC AB B CBM BC SA ⊥ ⎧ ⇒⊥ ⎨ ⊥ ⎩ . Tứ giác BCMN là hình thang vuông có BM là đường cao Ta có SA = AB tan60 0 = a 3 , 3 3 2 3 23 3 a a MN SM MN AD SA a a − =⇔ = = Suy ra MN = 4 3 a . BM = 2 3 a . Diện tích hình thang BCMN là : S = 2 4 2 210 3 22 333 a a B CMN a a BM ⎛⎞ + ⎜⎟ + == ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ . Hạ AH ⊥ BM . Ta có SH ⊥ BM và BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SH . Vậy SH ⊥ ( BCNM) ⇒ SH là đường cao của khối chóp SBCNM . Bài tập HHKG Nguyễn Vũ Minh Tài liệu ôn thi ĐH Năm học 2010 - 2011 12 Trong tam giác SBA ta có SB = 2a , A BAM S BMS = = 1 2 . Vậy BM là phân giác của góc SBA ⇒  0 30SBH = ⇒ SH = SB.sin30 0 = a Gọi V là thể tích chóp SBCNM ta có V = 1 .( ) 3 S HdtBCNM = 3 10 3 27 a . Câu 12. Gọi M, N là trung điểm BC, AD, gọi H là hình chiếu vuông góc từ N xuống SM. Ta có:  ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ABCD 2 SABCD 22 22 2 22 2 2 2 SABCD SMN ,dA;SBC d N;SBC NH 2 NH 2 4 MN S MN sin sin sin tan 1 SI MI.tan sin cos 14 1 4 V 3 sin cos 3.sin .cos sin sin 2cos 2 sin.sin.2cos 33 1 sin .cos 3 Vminsin.cos max s =α = = = ⇒= = ⇒ = = αα α α =α== αα ⇒=⋅⋅= αα αα α+ α+ α αα α≤ = ⇒αα≤ ⇔αα ⇔ 22 1 in 2cos cos 3 α= α⇔ α= Câu 13. Kẻ SH vuông góc với BC. Suy ra SH ⊥ mp (ABC) Kẻ SI vuông góc với AB và SJ ⊥ AC ⇒góc SIH=góc SJH = 60 o ⇒ tam giác SHI = tam giác SHJ ⇒ HI = HJ ⇒ AIHJ là hình vuông ⇒ I là trung điểm AB ⇒ IH = a/2 Trong tam giác vuông SHI ta có SH = 3 2 a V (SABC) = 3 13 .( ) 312 a SH dt ABC == (đvtt) Câu 14. Gọi M là trung điểm BC ta thấy: ⎭ ⎬ ⎫ ⊥ ⊥ BCOA BCAM ' )'( AMABC ⊥ ⇒ Kẻ ,'AAMH ⊥ (do A∠ nhọn nên H thuộc trong đoạn AA’.) Do BCHM AMAHM AMABC ⊥⇒ ⎭ ⎬ ⎫ ∈ ⊥ )'( )'( .Vậy HM là đọan vông góc chung của AA’và BC, do đó 4 3 )BC,A'( aHMAd == . Xét 2 tam giác đồng dạng AA’O và AMH, ta có: A H HM AO OA = ' ⇔ suy ra 3 a a3 4 4 3a 3 3a AH HM.AO O'A === N M I D A B C S H I H J S B C A A B C C’ B’ A’ H O M Bi tp HHKG Nguyn V Minh Ti liu ụn thi H Nm hc 2010 - 2011 13 Th tớch khi lng tr: 12 3a a 2 3a 3 a 2 1 BC.AM.O'A 2 1 S.O'AV 3 ABC ==== . Cõu 15. Vì ABCDBCCD , nên )(ABCmpCD và do đó )()( ACDmpABCmp .Vì ACBC ' nên )(ACDmpBC . Suy ra nếu V là thể tích tứ diện ABCD thì ').''( 3 1 BCDACdtV = . Vì tam giác ABC vuông cân nên 2 2 ''' a BCCCAC === . Ta có 2222222 3aCDBCABBDABAD =++=+= nên 3aAD = . Vì BD là đờng cao của tam giác vuông ABD nên 2 '. ABADAD = , vậy 3 ' a AD = . Ta có 12 2 3 1 3 3 2 2 2 1 '.'. 2 1 sin''. 2 1 )''( 2 aaa AD CD ADACDACADACDACdt ==== . Vậy == 2 2 . 12 2 3 1 2 aa V 36 3 a . Cõu 16. T gi thit ta c chop A .ABC l chop tam giỏc u . ' AAGl gúc gia cnh bờn v ỏy . ' AAG= 60 0 , AG = 3 3 a ; ng cao A G ca chúp A .ABC cng l ng cao ca lng tr . Vy A G = 3 3 a .tan60 0 = 3 3 a . 3 = a. Vy Th tớch khi lng tr ó cho l V = 3 13 3 . 22 4 aa aa = . Cõu 17. Ta cú ()( ) ( ) ( ) 111 M N//BC MN// ABC d MN,AC d MN, ABC= Gi 11 HABAB= v 1 M K//HA,K AB 2 2 x MK= . Vỡ 11 1 AB AB MK AB v () 11 CB ABB A CB MK. T ú suy ra () ( ) () ( ) 111 M K A BC MK d MN , A BC d MN ,AC= = Nờn 22 323 3 ax a a MK x = == . Vy M tha món 2 3 a BM = . Cõu 18. Kẻ // ' ( ' ')BD AB D A B 0 (',')(,')60AB BC BD BC== 0 '60DBC = hoặc 0 ' 120 .DBC= Nếu 0 '60DBC=. Vì lăng trụ đều nên '(''')BB A B C , áp dụng định lý Pitago và định lý cosin ta có 2 '1BD BC m==+ và '3.DC = Kết hợp 0 '60DBC= ta suy ra ' B DC đều. Khi ú 2 13 2.mm+= = Nếu 0 ' 120DBC= , áp dụng định lý cosin cho ' B DC suy ra 0m = (loại). Vậy 2.m = Cõu 19. Gi M l hỡnh chiu vuụng gúc ca B lờn SC. Chng minh c gúc DMB = 120 0 v DMB cõn ti M . Tớnh c: DM 2 = 2 3 a 2 G N M C B A B' C' A' D C BA S M Bài tập HHKG Nguyễn Vũ Minh Tài liệu ôn thi ĐH Năm học 2010 - 2011 14 Δ SCD vuông tại D và DM là đường cao nên 22 2 111 =+ DM DS DC Suy ra DS = a 2 . Tam giác ASD vuông tại A suy ra SA = a. Vậy thể tích S.ABCD bằng 1 3 a 3 . Câu 20. Câu 21. Ta cã ( SAB) ⊥ ( BCNM) vµ ()( ) SAB BCNM BM∩=. Tõ S h¹ SH vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng BM th× SH ⊥ (BCNM) hay SH lµ ®−êng cao cña h×nh chãp SBCNM. MÆt kh¸c : SA = AB.tan60 0 = a 3 . Suy ra : MA = 1 3 SA L¹i cã : MN lµ giao tuyÕn cña cña mp(BCM) víi mp(SAD), mµ BC // (SAD) nªn NM // AD vµ MN // BC Do ®ã : MN SM 2 4a MN AD SA 3 3 ==⇒= V× AD ⊥ (SAB) nªn MN ⊥ (SAB) , suy ra MN ⊥ BM vµ BC ⊥ BM VËy thiÕt diÖn cña mp(BCM) víi h×nh chãp SABCD lµ h×nh thang vu«ng BCNM . Ta cã : S BCNM = () 1 MN BC BM 2 + . Trong ®ã : BC = 2a , MM 4a 3 = vµ BM = 22 AB AM+ = 2a 3 3 VËy S BCNM = 2 4a 2a 2a 3 10a 3 3 23 9 ⎛⎞ + ⎜⎟ = ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ . Khi ®ã : V SBCNM = 1 3 SH. S BCNM TÝnh SH : Ta cã ∆MAB  ∆ MHS , suy ra : SH MS AB BM = MS.AB SH MB ⇒= = 2a 3 .a 3 a 2a 3 3 = VËy : V SBCNM = 1 3 .a. 2 10a 3 9 = 3 10a 3 27 . Câu 22. Gọi M; M’ lần lượt là trung điểm của AB và A’B’. Hạ MH ⊥ M’C AB // (A’B’C) ==> d(AB,A’C) = MH Gọi ϕ là góc giữa hai mp (SCB) và (ABC) . Ta có :  SCAϕ= ; BC = AC = a.cos ϕ ; SA = a.sin ϕ Vậy () 323 2 SABC ABC 11 1 1 V .S .SA .AC.BC.SA a sin .cos a sin 1 sin 36 6 6 == =ϕϕ=ϕ−ϕ Xét hàm số : f(x) = x – x 3 trên khoảng ( 0; 1). Ta có : f’(x) = 1 – 3x 2 . () 1 f' x 0 x 3 =⇔=± Từ đó ta thấy trên khoảng (0;1) hàm số f(x) liên tục và có một điểm cực trị là điểm cực đại, nên tại đó hàm số đạt GTLN hay () () x0;1 12 Max f x f 333 ∈ ⎛⎞ == ⎜⎟ ⎝⎠ . Vậy MaxV SABC = 3 a 93 , đạt được khi sin ϕ = 1 3 hay 1 arc sin 3 ϕ= ( với 0 < 2 π ϕ < ) A B C S ϕ N D B C A S M H [...]... 3 S SAC d ( B; SAC ) S SAC = 3 16 ⇒ d(B; SAC) = 3a 13 Câu 52 Gọi V, V1, và V2 là thể tích của hình chóp S.ABCD, K.BCD và phần còn lại của hình chóp S.ABCD: V S ABCD SA SA = = 2 = 13 V1 S BCD HK HK V V V V +V Ta được: = 1 2 = 1 + 2 = 13 ⇔ 2 = 12 V1 V1 V1 V1 Tài liệu ơn thi ĐH 23 Năm học 2010 - 2011 Bài tập HHKG Nguyễn Vũ Minh Câu 53 a) Ta có S MC CB ⎛ 1 ⎞ = = ⎟ ⇒ ΔMCB đồng dạng ΔCBA BC BA ⎜ 2⎠ ⎝... H EA a3 3 1 1 AM.AC/.BC = 3 2 3 B Câu 45 Tài liệu ơn thi ĐH C’ 21 Năm học 2010 - 2011 Bài tập HHKG Ta có Nguyễn Vũ Minh VS AMN SM SN = VS ABC SB.SC S 1 a2 3 3a 3 Trong đó VS ABC = 3a = 3 4 4 SM SN SM SN SM 2 81 = ⇒ = = SB SC SB SC SB 2 100 81 3a 3 M/ k: ⇒ VS AMN = 100 4 19 3a 3 ⇒ VA BCNM = VS ABC − VS AMN = 400 Câu 46 N M C A B Từ giả thi t suy ra SH ⊥ ( ABCD ) và SH = 2a 3 =a 3 2 Theo định... tam gi¸c HMN cã tan 60 0 = ⇒ MH = HN tan 60 0 = = 4 2 8 HN MH lµ chiỊu cao cđa khèi chãp M.ABCD Tài liệu ơn thi ĐH 19 Năm học 2010 - 2011 Bài tập HHKG Nguyễn Vũ Minh VËy thĨ tÝch cđa khèi chãp nµy lµ: V = a 30 a 3 30 1 1 S ABCD MH = a 2 = 3 3 8 24 Câu 38 Gọi M là trung điểm của BC và O là hình chiếu của S lên AM Suy ra: SM =AM = a 3 ; AMS = 600 và SO ⊥ mp(ABC) 2 ⇒ d(S; BAC) = SO = 3a 3 ⇒ V(S.ABC)... AH.BH M ⇒ AH 2 + BH 2 ≥ 2 AH BH H a2 C 2 B khi AH = BH khi H là ⇒ a ≥ 2 AH BH , vậy AH.BH lớn nhất khi AH.BH = 2 2 a h tâm của hình vng , khi M ≡ D Khi đó VSABH = 12 Câu 27 Từ giả thi t bài toán ta suy ra SI thẳng góc với mặt phẳng ABCD, gọi J là trung điểm của BC; E là hình chiếu của I xuống BC 2a + a 3a IJ × CH 1 3a 3a 2 BC a 5 N IJ = = = a= = SCIJ = , CJ= A B 2 2 2 2 2 4 2 2 ⇒ SCIJ 3a 2 1 1 3a... DA AB AC (1) 2 12 từ (1) có Mà AM.BC = BA.CA ⇒ AM = 5 1 1 AH BC.DM = DA AB AC 2 2 4.3.4 6 34 DA AB AC từ đó AH = = = 17 BC.DM 144 5 16 + 25 H I J E C D D H C A M B Câu 29 Tài liệu ơn thi ĐH 16 Năm học 2010 - 2011 Bài tập HHKG Nguyễn Vũ Minh Gọi M là trung điểm CD Kẻ đường cao OH của tam giác SOM ⇒ OH ⊥ ( SCD ) ⇒ OH = d S Gọi CM = x Khi đó: OM = x , SM = x 3 SO = SM 2 − x 2 = 3 x 2 − x 2 = x 2 Ta có:... khi dt( Δ MAB) lín nhÊt ⇒ M lµ ®iĨm gi÷a cđa cung AB 3 3 Khi ®ã VBAHM= R (®vtt) 6 Câu 33 ⎧ ⎪( P ) ∩ ( SAB ) = DH ⇒ DH / / SB (1) a) ⎨ ⎪( P ) / / SB ⎩ O 17 M S D E C A F H Tài liệu ơn thi ĐH B A B Năm học 2010 - 2011 Bài tập HHKG Nguyễn Vũ Minh ⎧( P ) ∩ ( SBC ) = EF ⎪ ⇒ EF / / SB ⎨ ⎪( P ) / / SB ⎩ (2) ⎧( P ) ∩ ( SAC ) = DE ⎪ ⇒ DE / / AC ⎨ ⎪( P ) / / AC ⎩ (3) ⎧( P ) ∩ ( ABC ) = HF ⎪ ⇒ HF / / AC ⎨ ⎪( P... và (2) suy ra: SC ⊥ ( AB ' D ') ⇒ B ' D ' ⊥ SC Từ đó suy ra: SC ' ⊥ ( AB ' C ' D ') + Ta có: D E I B F C S D ' C ' B ' A D O 1 1 1 2 5a = 2+ ⇒ AB ' = 2 2 AB ' SA BA 5 Tài liệu ơn thi ĐH A B 18 C Năm học 2010 - 2011 Bài tập HHKG Nguyễn Vũ Minh 4 4 5 ⇒ SB ' = SA2 − AB '2 = 4a 2 − a 2 = a , SB = SA2 + AB 2 = 5a 5 5 SB ' 4 = ; Suy ra: SB 5 Lại có B’D’ // BD (cùng thuộc mp(SBD) và cùng vng góc với SC).. .Bài tập HHKG Nguyễn Vũ Minh a 15 a 15 ; M’C = ; MM’ = a 3 10 2 3 Vậy V = a 3 4 Câu 23 Từ giả thi t AC = 2a 3 ; BD = 2a và AC ,BD vng góc với nhau tại trung điểm O của mỗi đường chéo.Ta có HC = tam giác ABO vng tại O và AO = a 3 ; BO = a , do đó ABD = 600 nên tam giác ABD đều Từ giả thi t hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vng góc với mặt phẳng... 600 = ⇒ A ' G = AG.tan 600 = 3 = AG 3 3 2 3 a a 6 a 6 ⇒ VABC A ' B 'C ' = S ΔABC A ' G = = (®vdt) 2 3 6 Câu 42 1 +) Gäi H = AC ∩ BD => SH ⊥ (ABCD) & BH = BD 3 Tài liệu ơn thi ĐH 20 C' B' a 60 0 C G a M B Năm học 2010 - 2011 Bài tập HHKG Nguyễn Vũ Minh 1 2a 2a 3 AD = => SH = 3 3 3 KỴ HE ⊥ AB => AB ⊥ (SHE) => g((SAB);(ABCD)) = SHE = 600 Mµ HE = 1 a3 3 SH.SABCD = 3 3 +) Gäi O lµ trung ®iĨm AD=>ABCO lµ... ' ) Ta có: ⎨ ⎩ AB ⊥ HH ' Suy ra hình cầu nội tiếp hình chóp cụt này tiếp xúc với hai đáy tại H, H’ và tiếp xúc với mặt bên (ABB’A’) tại điểm K ∈ II ' Gọi x là cạnh đáy nhỏ, theo giả thi t 2x là cạnh đáy lớn Ta có: 1 x 3 1 x 3 I ' K = I ' H ' = I 'C ' = ; IK = IH = IC = 3 6 3 3 x 3 x 3 Tam giác IOI’ vng ở O nên: I ' K IK = OK 2 ⇒ = r 2 ⇒ x 2 = 6r 2 6 3 h Thể tích hình chóp cụt tính bởi: V = B + B . chúp S.ABC. Bài tập HHKG Nguyễn Vũ Minh Tài liệu ôn thi ĐH Năm học 2010 - 2011 9 HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP ÔN TẬP HHKG Câu 1. BD vuông góc AC, MI vuông góc AC nên ((MBD);(ABCD)). − −− ==  Câu 6. BC vuông góc với (SAB) ⇒ BC vuông góc với AH mà AH vuông với SB ⇒AH vuông góc với (SBC) ⇒AH vuông góc SC (1). Tương tự AK vuông góc SC (2). Từ (1) và (2) ⇒SC vuông góc với (AHK. C BA S M Bài tập HHKG Nguyễn Vũ Minh Tài liệu ôn thi ĐH Năm học 2010 - 2011 14 Δ SCD vuông tại D và DM là đường cao nên 22 2 111 =+ DM DS DC Suy ra DS = a 2 . Tam giác ASD vuông tại A