Phương pháp giải các bài tập hình học không gian trong các kì thi đại học

Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Chuyên đề luyện thi đại học PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TẬP Biên soạn: Nguyễn Trung Kiên m HÌNH KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI TSĐH oc Phần 1: Những vấn đề cần nắm tính toán co Hình không gian toán không khó đề thi TSĐH làm cho nhiều học sinh bối rối Thông qua chuyên đề hy vọng giúp bạn học sinh hiểu rõ chất toán để từ tìm chìa khóa giải triệt để dạng toán ⊻ Trong tam giác vuông ABC (vuông A) đường cao AH ta có: - b = c tan B , c = b tan C , AH = HB.HC 1 = + ⇒ AH = 2 AH AB AC AB + AC on gb A AB AC oc u - B H C ⊻ Trong tam giác thường ABC ta có: a = b + c − 2bc cos A;cos A = b2 + c2 − a2 2bc kh Tương tự ta có hệ thức cho cạng b, c góc B, C: - S ∆ABC = 1 ab sin C = bc sin A = ac sin B 2 - S = p.r (Trong p chu vi, r bán kính vòng tròn nội tiếp tam giác) - S= abc 4R NGUYỄN TRUNG KIÊN Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác ⊻ Thể tích khối đa diện: B.h (B diện tích đáy, h chiều cao) - VLT = B.h Phần 2) Phương pháp xác định đường cao loại khối chóp: om - Vchop = Loại 1: Khối chóp có cạnh góc vuông với đáy chiều cao Loại 2: Khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy đường cao đường kẻ từ mặt bên đến giao tuyến Loại 3: Khối chóp có mặt kề vuông góc với đáy đường cao giao tuyến mặt kề - Loại 4: Khối chóp có cạnh bên cạnh bên tạo với đáy góc chân đường cao tâm vòng tròn ngoại tiếp đáy - Loại 5: Khối chóp có mặt bên tạo với đáy góc chân đường cao tâm vòng tròn nội tiếp đáy Sử dụng giả thiết mở: oc c - Hình chóp SABCD có mặt phẳng ( SAB ) ( SAC ) tạo với đáy góc α chân đường cao hạ từ đỉnh S thuộc phân giác góc BAC - Hình chóp SABCD có SB = SC SB, SC tạo với đáy góc α chân đường cao hạ từ S rơi vào đường trung trực BC Việc xác định chân đường cao yếu tố đặc biệt quan trọng để giải câu hỏi toán hình không gian cổ điển bo cu - Phần 3: Các toán tính thể tích kh on g A Tính thể tích trực tiếp cách tìm đường cao: Để giải tốt dạng tập em cần nắm dấu hiệu để xác định đường cao sử dụng công thức + Vchóp = B.h + VLT = B.h Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 1) (TSĐH A 2009) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D , có AB = AD = a, CD = a Góc mặt phẳng ( SCB ), ( ABCD ) 600 Gọi I trung điểm AD biết mặt phẳng ( SBI ) ( SCI ) vuông góc với đáy ABCD Tính thể tích khối chóp SABCD HD giải: Dấu hiệu nhận biết đường cao toán là: ‘’2 mặt phẳng ( SBI ) ( SCI ) vuông góc với đáy ABCD ’’ NGUYỄN TRUNG KIÊN Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Vì mặt phẳng ( SBI ) ( SCI ) vuông góc với đáy ABCD mà ( SBI ) ( SCI ) có giao tuyến SI nên SI ⊥ ( ABCD ) Kẻ IH ⊥ BC ta có góc mặt phẳng ( SCB ), ( ABCD ) m ˆ = 600 Từ ta tính được: IC = a 2; IB = BC = a 5; S ( ABCD ) = AD ( AB + CD ) = 3a SHI a 3a 2S 2 IH BC = S ( IBC ) = S ( ABCD) − S ( ABI ) − S (CDI ) = 3a − a − = nên IH = ∆IBC = 2 BC co 3 15 a Từ tính VSABCD = a 5 oc S A oc u I B H D gb C on Ví dụ 2) (TSĐH D 2009) Cho lăng trụ đứng ABCA ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông B , AB = a, AA ' = 2a, A ' C = 3a Gọi M trung điểm đoạn B ' C ' , I giao điểm BM B ' C Tính thể tích khối chóp IABC theo a HD giải: Dấu hiệu để nhận biết đường cao toán là:’’ I nằm mặt bên ( BCC ' B ') vuông góc với đáy ( ABC ) ’’ kh Ta có: - ABCA ' B ' C ' lăng trụ đứng nên mặt bên vuông góc với đáy I ⊂ ( B ' BC ) ⊥ (ABC), từ I ta kẻ IH ⊥ BC IH ⊥ ( ABC ) I trọng tâm tam giác BB ' C ' ⇒ IH CI 4a = = ⇒ IH = BB ' CB ' NGUYỄN TRUNG KIÊN Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Có AC = A′C − AA′2 = 9a = 4a = a ⇒ BC = AC − AB = 2a 1 4a IH dt ( ABC ) = 2a.a = a ( đvtt) 3 om VIABC = C' A' M B' c I cu oc O C A H B Ví dụ 3: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = a 2, SA = a vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) Gọi M , N trung điểm AD SC ; I gb o giao điểm BM AC Chứng minh mặt phẳng ( SAC ) vuông góc với mặt phẳng ( SMB ) Tính thể tích khối tứ diện Lời giải: ANIB +) Chứng minh ( SAC ) ⊥ ( SMB ) on Ta có: AC = AB + BC = a + 2a = a 3; BM = AB + AM = a + 2a a = kh Gọi O = AC ∩ BD ;do I giao điểm hai đường trung tuyến AO BM nên trọng tâm tam giác ABD Theo tính chất trọng tâm tam giác ta có: AI = a a ; BI = BM = AO = AC = 3 3 NGUYỄN TRUNG KIÊN Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Nhận xét: AI + BI = (1) Mặt khác: SA ⊥ ( ABCD ) nên SA ⊥ BM (2) m Do BM ⊥ AI a 2a + = a = AB , suy tam giác AIB vuông I 3 co Từ (1) (2) suy BM ⊥ ( SAC ) +) Tính thể tích khối tứ diện ANIB Ta thấy khối chóp ANIB khối chóp NAIB c Dấu hiệu nhận biết đường cao toán là: ‘’Điểm N nằm mặt phẳng ( SAC ) vuông góc với đáy ( ABCD ) ’’ Do NO đường cao tứ diện ANIB a SA = 2 1 a a a2 = AI BI = = 2 3 oc Diện tích tam giác AIB là: S AIB uo Do NO đường trung bình tam giác SAC nên ta có: NO / / SA NO = gb 1 a 2 a a3 Thể tích khối tứ diện ANIB là: V = S AIB NO = = 3 36 on S N A M D kh I B O C NGUYỄN TRUNG KIÊN Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Ví dụ 4) Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác cân với AB = AC = 3a, BC = 2a Các mặt bên hợp với đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp SABC Lời giải: om Dấu hiệu nhận biết đường cao toán là: ‘’Hình chóp có mặt bên hợp với đáy góc chân đường cao tâm đường tròn nội tiếp đáy hình chóp’’ c Từ ta có lời giải sau: Gọi O hình chiếu S mặt phẳng ( ABC ) I , H , J hình chiếu O oc AB, BC , CA Theo định lý ba đường vuông góc ta có: SI ⊥ AB, SJ ⊥ AC , SH ⊥ BC cu Suy ra: SIO, SJO, SHO góc hợp mặt bên ( SAB ) , ( SAC ) , ( SBC ) mặt đáy Theo giả thiết ta có: SIO = SJO = SHO = 600 Các tam giác vuông SOI , SOJ , SOH nên OI = OJ = OH bo Do O tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Mặt khác: ABC tam giác cân A nên AH vừa đường phân giác, vừa đường cao, vừa kh on g đường trung tuyến Suy A, O, H thẳng hàng H trung điểm BC Tam giác ABH vuông H , ta có: AH = AB − BH = 9a − a = 2a Diện tích tam giác ABC là: S ABC = Ngoài ra: S ABC = pr , với p = ⇒r= 1 BC AH = 2a.2a = 2a 2 2 ( AB + AC + BC ) = 4a r : bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC S ABC 2a 2 a = = = OH p 4a NGUYỄN TRUNG KIÊN Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Tam giác SOH vuông O , ta có: SO = OH tan 600 = a c om a 2a 3 1 Thể tích khối chóp SABC là: V = S ABC SO = 2a 2 = 3 S I B O oc A H J cu C bo Ví dụ 5) Cho hình lăng trụ tam giác ABCA ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông A AB = a 3, AC = a Biết đỉnh C ' cách đỉnh A, B, C khoảng cách từ đỉnh B đến mặt 6a phẳng (C’AC) Tính thể tích khối chóp A ' ABC ' theo a tính cosin góc tạo mặt 15 phẳng ( ABB ' A ') mặt phẳng đáy ( ABC ) Giải: on g Dấu hiệu nhận biết đường cao toán là: ‘’Đỉnh C ' cách đỉnh A, B, C ⇔ C ' A = C ' B = C ' C ’’ kh C' B' A' N H B C M I A K NGUYỄN TRUNG KIÊN Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác - Hạ C ' H ⊥ ( ABC ) ⇒ ∆C ' HA = ∆C ' HB = ∆C ' HC ⇔ HA = HB = HC Hạ HM ⊥ AC , HN ⊥ C ' M ⇒ HN ⊥ ( ACC ') ⇒ d H /( ACC ') = HN = 3a d B /( ACC ') = 15 a ⇒ C ' H = a từ tính CC ' = 2a AB = 2 1 1 a3 Có VA ' ABC ' = VLT = C ' H dt ( ABC ) = a .a 3.a = 3 2 c Ta có: HM = om Suy H tâm vòng ngoại tiếp tam giác ABC Vì tam giác ABC vuông A nên H trung điểm BC Ta có: d B /( ACC ') = 2d H /( ACC ') AC suy I trung điểm AB Tam giác ABC vuông A nên KI ⊥ AB ⇒ Góc tạo ( ABB ' A ') oc - Hạ A ' K ⊥ ( ABC ) C ' HKA ' hình chữ nhật Gọi I = HK ∩ AB OI / / = Ta có: cos A ' IK = a a 13 IK 13 ⇒ cos A ' IK = = HK = ; A ' I = IK + A ' K = 2 A'I 13 bo IK = IK Tính A' I cu đáy ( ABC ) A ' IK on g Ví dụ 6) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành AB = 2a, AD = a, BAD = 600 SAB tam giác Gọi H trung điểm AB , K hình chiếu vuông góc H lên mặt a 15 phẳng ( SCD ) Tính thể tích khối chóp SABCD biết HK = điểm K nằm tam giác SCD Giải: Bài toán cho theo kiểu giả thiết mở Dấu hiệu để tìm đường cao khối chóp là:’’ SAB tam giác kh Tức SA = SB '' NGUYỄN TRUNG KIÊN Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác B m S C 120° H co K E D A oc uo Gọi E trung điểm CD , F trung điểm ED c F Với giả thiết SA = SB ta suy chân đường cao hạ từ S lên mặt phẳng ABCD thuộc đường trung trực đoạn thẳng AB Nói cách khác chân đường cao hạ từ S lên ( ABCD ) thuộc đường thẳng chứa HF Hạ HK ⊥ SF ⇒ HK ⊥ ( SCD ) HK dt ( SCD ) kh on gb Ta có: VSABCD = 2VSHCD = Ta cần tính diện tích tam giác SCD Ta có: dt ( SCD ) = SF CD; Mà SF = SK + KF ; SK = SH − HK ; KF = HF − HK SH đường cao tam giác SAB suy ra: SH = a 3, HF đường cao tam giác HDE suy ra: HF = a 3 15a Thay số ta có: SF = 10 Vậy: VSABCD = a 3 15a 3a3 2a = 10 NGUYỄN TRUNG KIÊN Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Ví dụ 7) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB = BC = a Giải: co Đây toán dễ làm cho học sinh bối rối xác định đường cao hình chóp m khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) a SAB = SCB = 900 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a K C oc u H oc S A B  AB ⊥ SH Hạ SH ⊥ ( ABCD )  ⇒ AB ⊥ ( SHA) ⇒ AB ⊥ HA  AB ⊥ SA gb Chứng minh tương tự ta có BC ⊥ HC ⇒ HABC hình vuông Ta có HC ⊥ BC kẻ HK ⊥ SC ⇒ HK ⊥ ( SBC ) ⇒ HK = a Mặt khác ta có: = on HK HC + HS ⇒ SH = HK HC HC − HK =a 1 3a 6a Thể tích khối chóp VSABC = SH S ∆ABC = a = 3 2 kh Ví dụ 8) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, SA = SB = a , SD = a mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD Giải: NGUYỄN TRUNG KIÊN 10 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Bài 27: Cho hình lăng trụ tam giác ABCA ' B ' C ' có BB ' = a , góc tạo BB ' mặt phẳng ( ABC ) 600, tam giác ABC vuông C góc BAC =600 Hình chiếu vuông góc điểm B ' lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện ĐS: V = om A ' ABC theo a 9a 208 Bài 28: Trong không gian cho hình chóp tam giác SABC có SC = a Góc tạo =600 Tính thể tích khối chóp SABC theo a ĐS: V = 3a c c ( ABC ) ( SAB ) Bài 29: Trong không gian cho hình chóp SABCD với ABCD hình thoi cạnh a , góc ABC = a M trung điểm AD ( P ) mặt phẳng qua BM song song với SA , cắt SC K Tính thể tích khối chóp KABCD a3 oc ĐS: V = uo 600, SO vuông góc với đáy ( O tâm mặt đáy), SO = Bài 30: Cho hình chóp SABCD có đáy hình chữ nhật, AD = a 2, CD = 2a Cạnh SA vuông góc với đáy SA = 2a Gọi K trung điểm AB gb a) Chứng minh ( SAC ) vuông góc với ( SDK ) b) Tính thể tích khối chóp CSDK theo a ; tính khoảng cách từ K đến ( SDC ) 5a 10 on ĐS: V = 2a ; h = Bài 31: Cho lăng trụ ABCA ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cạnh a , hình chiếu vuông góc A ' lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với tâm O tam giác ABC Một mặt phẳng ( P ) chứa kh BC vuông góc với AA ' cắt lăng trụ theo thiết diện có diện tích a2 Tính thể tích khối lăng trụ ĐS: V = a3 12 NGUYỄN TRUNG KIÊN 60 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Bài 32: Cho hình chóp SABC có AB = AC = a ; BC = a ; SA = a ; góc SAB góc SAC 300 Tính thể tích khối chóp theo a m a3 ĐS: V = 16 SAC khoảng cách từ G đến mặt bên ( SCD ) a b) Tính thể tích khối chóp SABCD a a3 ĐS: a ) ; b) c a) Tính khoảng cách từ tâm mặt đáy đến mặt bên ( SCD ) co Bài 33: Cho hình chóp tứ giác SABCD cạnh đáy a Gọi G trọng tâm tam giác uo Bài 34: Cho hình chóp SABC có đường cao AB = BC = a ; AD = 2a Đáy tam giác vuông cân B Gọi B ' trung điểm SB, C ' chân đường cao hạ từ A xuống SC Tính thể tích khối chóp SAB ' C ' oc a3 ĐS: 36 Bài 35: Cho lăng trụ đứng ABCA ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông, AB = BC = a , cạnh bên gb AA ' = a Gọi M trung điểm cạnh BC on a) Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABCA ' B ' C ' b) Tính khoảng cách đường thẳng AM B ' C a3 a ĐS: a ) ; b) Bài 36: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 2a ; SA = a ; SB = a mặt phẳng ( SAB ) vuông góc với mặt phẳng đáy M N trung điểm cạnh AB kh BC Tính thể tích khối chóp SBMDN góc ( SM ; ND ) ĐS: V = a 3a ; cos ϕ = NGUYỄN TRUNG KIÊN 61 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Bài 37: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang, góc BAD góc ABC 900; AB = BC = a ; AD = 2a SA vuông góc với đáy SA = 2a Gọi M , N trung điểm SA; SD Tính thể tích khối chóp SABCD khối chóp SBCMN m a3 co ĐS: a )a ; b) Bài 38: Cho lăng trụ ABCA ' B ' C ' có độ dài cạnh bên 2a , đáy ABC tam giác vuông A, AB = a ; AC = a hình chiếu vuông góc A ' ( ABC ) trung điểm cạnh c BC Tính theo a thể tích khối chóp A ' ABC cosin góc đường thẳng AA ' B ' C ' a3 ĐS: V = ;cos α = oc uo Bài 39: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a , mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M , N , P trung điểm cạnh SB, BC , CD Chứng minh AM vuông góc với BP tính thể tích khối tứ diện CMNP ĐS: V = a3 96 Bài 40: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 = 2a góc BAC = 1200 kh on gb Gọi M trung điểm cạnh CC1 Chứng minh MB ⊥ MA1 tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( A1MB) ĐS: d = a Bài 41: Cho hình chóp SABC có góc mặt phẳng ( SBC ) ( ABC ) 600 Các tam giác ABC SBC tam giác cạnh a Tính theo a khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng ( SAC ) ĐS: d = 13a 13 Bài 42: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a tâm O , SA vuông góc với đáy SA = a Gọi H K hình chiếu A lên SB, SC Chứng minh SC ⊥ ( AHK ) tính thể tích khối chóp OAHK NGUYỄN TRUNG KIÊN 62 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác ĐS: V = 2a 27 om Bài 43: Lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có đáy tam giác vuông AB = AC = a; AA1 = a Gọi M , N trung điểm AA1 BC1 Chứng minh MN đoạn vuông góc chung AA1 BC1 Tính thể tích khối chóp MA1BC1 a3 12 c ĐS: V = cu oc Bài 44: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có tất cạnh a M trung điểm cạnh AA1 Chứng minh BM ⊥ B1C tính khoảng cách BM , B1C ĐS: d = a 10 30 Bài 45: Cho hình chóp SABCD có đáy hình thang vuông A, B , AB = BC = AD =a bo Cạnh bên SA vuông góc với đáy SA = a Gọi H hình chiếu vuông góc A SB ng a) Chứng minh tam giác SCD vuông b) Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng ( SCD ) a ĐS: h = Bài 46: Cho hình chóp SABC mà mặt bên tam giác vuông SA = SB = SC = a Gọi M , N , E trung điểm cạnh AB, AC , BC , D điểm đối xứng S qua E , kh o I giao điểm AD SMN a) Chứng minh AD vuông góc với SI b) Tính theo a thể tích khối tứ diện MBSI a3 ĐS: V = 36 NGUYỄN TRUNG KIÊN 63 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Bài 47: Cho hình hộp đứng ABCDA ' B ' C ' D ' có cạnh AB = AD = a; AA ' = a góc ĐS: V = m BAD = 600 Gọi M N trung điểm A ' D ' A ' B ' Chứng minh AC ' vuông góc với mặt phẳng ( BDMN ) tính thể tích khối chóp ABDMN 3a 16 a3 2a ;V2 = 3 oc uo ĐS: V1 = c co Bài 48: Cho hình lập phương ABCDA ' B ' C ' D ' có cạnh a điểm K thuộc cạnh CC ' 2a cho: CK = Mặt phẳng α qua A, K song song với BD chia khối lập phương thành khối đa diện Tính thể tích khối đa diện Bài 49: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang, AB = BC = a , BAD = ABC = 900 , AD = 2a , SA = 2a vuông góc với đáy Gọi M , N trung điểm SA, AD Chứng minh BCNM hình chữ nhật tính thể tích khối chóp SBCNM theo a ĐS: VSBCNM = a3 on gb Bài 50: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Cạnh bên SC vuông góc SM SN với đáy SC = 2a Hai điểm M , N thuộc SB SD cho = = Mặt phẳng MB ND ( AMN ) cắt SC P Tính theo a thể tích khối chóp SAMPN ĐS: VSAMPN = 2a kh Bài 51: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a , đường cao SA = a M ( ) điểm thay đổi SB , đặt SM = x < x < a Mặt phẳng ( ADM ) cắt SC N 1) Tứ giác ADMN hình gì? Tính diện tích tứ giác theo a x NGUYỄN TRUNG KIÊN 64 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác 2) Mặt phẳng ( ADM ) chia hình chóp làm hai phần, phần hình chóp SADMN có V thể tích V1 phần lại tích V2 Xác định giá trị x để = V2 ( 2a + x ) x2 − a x + a2 ; x = 2a om ĐS: S ADNM = Bài 52: Cho lăng trụ tứ giác ABCDA ' B ' C ' D ' có chiều cao a Mặt phẳng ( A ' BD ) hợp với mặt bên ( ABB ' A ') góc 600 Tính thể tích khối lăng trụ cho .c ĐS: V = 2a Bài 53: Cho lăng trụ đứng ABCA ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông A Khoảng cách từ AA ' đến mặt bên BCC ' B ' khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( ABC ') a Mặt ĐS: V = oc phẳng ( ABC ') hợp với đáy góc 300 Tính thể tích khối lăng trụ 4a 3 cu Bài 54: Cho hình lăng trụ ABCA ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông cân đỉnh A Mặt bên ( ABB ' A ') hình thoi cạnh a nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Mặt bên ( ACC ' A ') tạo với đáy góc α Tính thể tích khối lăng trụ theo a α bo a3 ĐS: V = sin α Bài 55: Cho lăng trụ ABCA ' B ' C ' có đáy ABC tam giác nội tiếp đường tròn tâm O Hình chiếu A ' mặt phẳng ( ABC ) O Khoảng cách AA ' BC a góc kh on g hai mặt phẳng ( ABB ' A ') ( ACC ' A ') α Tính thể tích khối lăng trụ ABCA ' B ' C ' ĐS: V = 2a tan 3 tan α α −1 Bài 56: Cho hình lăng trụ ABCA ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông A với AB = a, BC = 2a Mặt bên ( ABB ' A ') hình thoi, mặt bên ( BCC ' B ') nằm mặt phẳng vuông góc với đáy, hai mặt phẳng hợp với góc α Tính thể tích khối lăng trụ cho NGUYỄN TRUNG KIÊN 65 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác ĐS: V = 3a cot α Bài 57: Cho hình hộp đứng ABCDA ' B ' C ' D ' có đáy ABCD hình thoi tâm O , cạnh ĐS: V = om a , đường chéo AC a biết tam giác AO ' C tam giác vuông O ' ( O ' tâm hình thoi A ' B ' C ' D ' ).Tính thể tích khối hộp a c Bài 58: Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh đáy a tâm O Gọi M , N trung điểm SA, SC Biết góc tạo đường thẳng BM ND 600 Tính thể tích khối ĐS: V = 30a 30a V = 18 oc chóp SABCD Bài 59: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vuông A, B có oc u AB = BC = a; AD = 2a , SAC tam giác cân S nằm mặt phẳng vuông góc với đáy, SB tạo với ( SAC ) góc 600 Gọi O giao điểm AC BD Giả sử mặt phẳng ( P ) qua O song song với SC cắt SA M Tính thể tích khối chóp MBCD khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( SCD ) gb ĐS: VMBCD 6a a , d M /( SCD ) = = 54 kh on Bài 60: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA ' B ' C ' D ' có cạnh AA ' = a Đường thẳng B ' C tạo với đường thẳng AD góc 600 , đường chéo B ' D tạo với mặt bên ( BCC ' B ') góc 300 Tính thể tích khối chóp ACB ' D ' cosin góc tạo AC B ' D ĐS: VACB ' D ' 3a , cos ( AC , B ' D ) = = 27 Bài 61: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a góc BAD = 600 Đỉnh a S cách điểm A, B, D Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SCD ) Tính thể tích khối chóp SABCD xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp SOAB NGUYỄN TRUNG KIÊN 66 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác ĐS: VSABCD = 2a a , R= 12 Bài 62: Cho hình hộp đứng ABCDA ' B ' C ' D ' có đáy ABCD hình thoi cạnh a , góc C ' A ' AD khoảng cách hai đường thẳng CD ' A ' D theo a c a3 a ĐS: V = , d = om ABC = 600 Góc mặt phẳng ( A ' BD ) ( ABCD ) 600.Tính thể tích khối chóp Bài 63: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 2a , SAB tam giác vuông S nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Biết SD tạo với ( SBC ) góc α ĐS: VSMNEF = 3a 93a , R= cu kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp SAMC theo a oc Gọi M trung điểm AB , mặt phẳng ( P ) qua M vuông góc với ( SAD) cắt SA, SD, CD N , E , F Tính thể tích khối chóp SMNEF xác định tâm , tính bán cho cos α = Bài 64: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Gọi M , N bo trung điểm AD, CD Hình chiếu S ABCD trùng với giao điểm AN BM Tính thể tích chóp SBCNM khoảng cách đường thẳng BM SC biết đường cao ng SH = 2a ĐS: VSBMNC 2a , = 24 kh o Bài 65: Cho khối chóp SABC có đáy tam giác vuông cân B , đường cao SE với E trung điểm cạnh BC SE = CE = 2a Gọi M , N trung điểm SE , CE Trên tia đối tia BA lấy điểm D cho ACD = α ( 450 < α ≤ 900 ) Gọi H hình chiếu S lên CD a) Tính thể tích tứ diện EHMN theo a α b) Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện SACD theo a thể tích tứ diện EHMN lớn 160 ĐS: V = − a cos 2α , V = π R = πa 3 NGUYỄN TRUNG KIÊN 67 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Bài 66: Cho lăng trụ đứng ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác vuông B, BAC = 60° , bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC a , khoảng cách hai đường thẳng A′B ( a 3+ ) Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABCA ' B ' C ' m AC ĐS: co Bài 67: Cho khối lăng trụ ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác vuông cân C cạnh huyền a Mặt phẳng ( A ' AB ) vuông góc với đáy ABC , AA ' = a , góc A ' AB góc nhọn Biết mặt bên ( A ' AC ) tạo với đáy ABC góc 600 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A′B′C ′ ĐS: VLT = 3a a , d B ,( A ' AC ) = 10 c theo a tính khoảng cách từ B ' đến mặt phẳng ( A ' AC ) oc uo Bài 68: Cho hình chóp SABCD có ABCD hình vuông cạnh a , SA = a , Gọi M , N điểm thuộc đoạn thẳng AB, AD cho AM = MB; DN = AN ,biết MN vuông góc với SM , ∆SMC tam giác cân S Tính thể tích khối chóp SMNCD khoảng cách SA CM ĐS: VSMCND = 11 3a a 93 , d= 192 31 kh on gb Bài 69: Cho lăng trụ đứng ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác vuông A, BC = 3a, AA′ = a góc A′B với mặt phẳng trung trực đoạn BC 30° Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A′B′C ′ khoảng cách hai đường thẳng A′B, AC ĐS: Bài 70: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vuông A, D biết AB Mặt bên SBC tam giác cạnh 2a nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Tính thể tích khối chóp SABCD khoảng cách hai đường thẳng BC , SA theo AD = DC = a ĐS: NGUYỄN TRUNG KIÊN 68 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Bài 71: Cho hình lăng trụ ABC A1 B1C1 có M trung điểm cạnh AB, BC = 2a, ACB = 900 ABC = 600 , cạnh bên CC1 tạo với mặt phẳng ( ABC ) góc 45 , hình chiếu vuông góc C1 lên mặt phẳng ( ABC ) trung điểm CM Tính thể tích khối lăng trụ cho góc tạo hai m mặt phẳng ( ABC ) ( ACC1 A1 ) co ĐS: V = 3a , tan(( ABC ); ( ACC1 A1 )) = Bài 72: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông B AB = a Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) Góc hợp SC mặt phẳng theo a a , tính thể tích khối chóp SABC uo ĐS: V = a3 M trung c điểm AC Biết khoảng cách SM AB ( SAB ) = 600 ; Bài 73: Cho hình chóp SABC có mặt bên SBC tam giác cân với SB = SC = a nằm ĐS: V = a3 oc mặt phẳng vuông góc với đáy Biết ASB = BSC = CSA = 600 Tính thể tích khối chóp SABC on gb Bài 74: Cho lăng trụ đứng ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác cân đỉnh C ; đường thẳng BC ' tạo với mặt phẳng ( ABB ' A ') góc 600 AB = AA ' = a Gọi M , N , P trung điểm BB ', CC ', BC Q điểm cạnh AB cho BQ = a Chứng minh Chứng minh ( MAC ) ⊥ ( NPQ ) tính thể tích khối lăng trụ theo a kh ĐS: V = a 15 Bài 75: Cho lăng trụ tam giác ABC A′B′C ′ có cạnh đáy a Gọi M , N , I trung điểm AA ', AB BC Biết góc tạo (C ' AI ) ( ABC ) 600 Tính thể tích khối chóp NAC ' I khoảng cách hai đường thẳng MN , AC ' NGUYỄN TRUNG KIÊN 69 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác ĐS: VNAC ' I = a3 a , d= 32 Bài 76: Cho lăng trụ ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác vuông với cạnh huyền BC = 2a ; ĐS: V = c om ABC = 600 Mặt bên ( BCB ' C ') hình thoi ( B ' BC < 900 )và vuông góc với đáy mặt bên ( ABB ' A ') tạo với đáy góc 450 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A′B′C ′ 7a3 Bài 77: Cho lăng trụ đứng ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác vuông B có lượt M , N Tính thể tích khối chóp ABCMN 3 a cu ĐS: V = oc AB = a, BC = a , BB ' = a Mặt phẳng ( P ) qua A vuông góc với A ' C cắt CC ', BB ' lần Bài 78: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh 5a , AC = 4a bo SO = 2a SO vuông góc với đáy Gọi M trung điểm SC Tính thể tích khối chóp SMBD khoảng cách hai đường thẳng SA BM on g 2a ĐS: V = , d= a 3 Bài 79: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình chữ nhật cạnh AB = a, AD = 2a , SA vuông góc với đáy ABCD Gọi M , N trung điểm SA, BC , E giao điểm mặt phẳng ( DMN ) với SB Biết DMN = 300 Tính thể tích khối chóp SDMEN theo a 8a kh ĐS: Bài 80) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình chữ nhật tâm O biết AB = a; BC = a , Tam giác SAO cân S , mặt bên SAD vuông góc với đáy ABCD Biết SD hợp với đáy ABCD góc 600 Tính thể tích khối chóp SABCD khoảng cách SB AC NGUYỄN TRUNG KIÊN 70 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác ĐS: VSABCD = 3a 3a , d= a3 a , d= 36 c c ĐS: V = om Bài 81: Cho hình lập phương ABCDA ' B ' C ' D ' có cạnh a Gọi H tâm mặt ADD ' A ' , K hình chiếu D lên BD ' Tính thể tích tứ diện D ' DHK khoảng cách từ H đến mặt phẳng ( D ' A ' B ) Bài 82: Cho hình chóp SABC có SC ⊥ ( ABC ) tam giác ABC vuông B Biết AB = a, AC = a 3, ( a > ) góc mặt phẳng ( SAB ) ( SAC ) α với tan α = uo Tính thể tích khối chóp SABC theo a 13 oc ĐS: V = 2a Bài 83: Cho hình hộp đứng ABCDA ' B ' C ' D ' có đáy ABCD hình thoi cạnh a , tam giác ABD tam giác đều.Gọi M , N trung điểm BC , C ' D ' Biết MN vuông góc với B ' D 6a3 22 , d= a 24 11 on ĐS: VDAMN = gb tính thể tích khối chóp DAMN khoảng cách từ D đến mặt phẳng ( AMN ) Bài 84: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a Gọi M , N trung điểm SB, SD Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD biết AM vuông góc với kh CN ĐS: R = 10a 10 Bài 85: Cho hình chóp SABC mà mặt bên tam giácvuông, SA = SB = SC = a Gọi M , N , E trung điểm cạnh AB, AC , BC , D điểm đối xứng S qua E ; I NGUYỄN TRUNG KIÊN 71 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác giao điểm đường thẳng AD với mặt phẳng ( SMN ) Chứng minh AD vuông góc SI tính theo a thể tích khối tứ diện MBSI a3 36 m ĐS: V = 2a 114 , d= 19 c ĐS: V = co Bài 86: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành, BC = a ABC = 1200 Mặt bên SAB tam giác cạnh 2a tạo với mặt đáy góc α Biết hình chiếu vuông góc S mặt đáy nằm hình bình hành ABCD cos α = Tính thể tích khối chóp S ABCD khoảng cách đường thẳng SB AD theo a a 14 Tính thể tích khối chóp SABC khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( SAC ) 3a ĐS: V = ,d = a oc SB = uo Bài 87: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông cân C , cạnh huyền 3a Chân đường cao hạ từ đỉnh S lên mặt phẳng ABC trọng tâm G tam giác ABC cạnh bên Bài 88: Cho hình chóp SABC có mặt bên SBC tam giác cân SB = SC = a nằm mặt gb phẳng vuông góc với đáy Biết ASB = BSC = CSA = 600 Tính thể tích khối chóp SABC 2a3 ĐS: V = on Bài 89: Cho lăng trụ đứng ABCA ' B ' C ' có AC = a, CB = 2a, ACB = 1200 đường thẳng A ' C tạo với mặt phẳng ( ABB ' A ') góc 300 Gọi M trung điểm BB ' Tính thể tích khối lăng trụ cho tính khoảng cách AM CC ' theo a kh ĐS: V = 105a a 21 d= 14 Bài 90: Cho lăng trụ đứng ABCDA ' B ' C ' D ' có đáy ABCD hình thoi cạnh a BAD = 600 , AC ' = 2a Gọi O giao điểm AC BD , E giao điểm A ' O AC ' Tính thể tích khối tứ diện EABD khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( BDE ) NGUYỄN TRUNG KIÊN 72 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác ĐS: V = a 21 3a ,d = 36 kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC A ' B AC ) −1 a khoảng cách hai đường thẳng a 15 Tính thể tích khối lăng trụ ABCA ' B ' C ' 3 a c ĐS: V = ( om Bài 91: Cho lăng trụ đứng ABCA ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông B , BAC = 600 , bán uo c Bài 92: Cho lăng trụ đứng ABCA ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông cân A , BC = 2a Gọi M trung điểm BC , biết hai mặt phẳng ( AB ' M ) ( BA ' C ') vuông góc với Tính thể tích khối lăng trụ ABCA ' B ' C ' khoảng cách từ B ' đến mặt phẳng ( AC ' M ) theo a ĐS: V = 2a , d = a Bài 93: Cho lăng trụ đứng ABCA ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cân C , đường thẳng BC ' ng bo c tạo với mặt phẳng ( ABB ' A ') góc 600 AB = AA ' = a Gọi M , N , P trung điểm BB', CC ', BC Tính thể tích khối lăng trụ ABCA ' B ' C ' khoảng cách hai đường thẳng AM , NP theo a ĐS: V = a 15 a 15 ,d = Bài 94: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác cân A với SAB = SAC = 300 AB = AC = 2a, BC = a, SA = a Tính thể tích khối chóp SABC theo a a3 kh o ĐS: V = Bài 95: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh 2a BAD = 600 tam giác SAC , SBD cân S Gọi M , N trung điểm AB, BC Biết hai mặt phẳng ( SDM ), ( SDN ) vuông góc với Tính thể tích khối chóp SABCD khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng ( SMN ) theo a NGUYỄN TRUNG KIÊN 73 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác ĐS: V = 6a a , d= Bài 96: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang cân có hai đáy AB, CD Biết m AB = 3a, AC = a 7, CD = a Các mặt bên ( SAB ), ( SBC ), ( SAD ) tạo với đáy góc 600 Hình chiếu S lên mặt phẳng ( ABCD ) nằm hình thang ABCD Tính thể tích khối co chóp SABCD theo a uo c ĐS: V = 3a Do khuôn khổ thời gian có hạn nên trình bày hoàn chỉnh vấn đề hình không gian Vì có sai sót mong bạn đọc lượng thứ Mọi đóng góp xin vui long gửi về: kiên.noiaybinhyen@gmail.com nguyentrungkien_ntk@yahoo.com HÀ NỘI oc MÙA KHAI TRƯỜNG 2012-2013 kh on gb NGUYỄN TRUNG KIÊN NGUYỄN TRUNG KIÊN 74 [...]... cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác m S N A D co K F H E Q O B c M uo C Chú ý: Trong bài toán này ta đã dựng đường cao NK để quy về bài toán cơ bản oc Phần 6 Các bài toán tính góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau trong không gian gb Khi cần tính góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b trong không gian ta phải tìm 1 đường thẳng trung gian là c song song với a và c cắt b Khi... P H H B B kh B Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau trong không gian Khi tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b trong không gian ta tiến hành theo trình tự sau: - Dựng (tìm) mặt phẳng trung gian (P) chứa a song song với b sau đó tính khoảng cách từ 1 điểm bất kỳ trên b đến mp(P) - Khi tính khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng ta có thể vận dụng 1 trong 2 phương pháp đã trình bày ở mục... khóa để giải quyết bài toán là phát hiện ra tam giác SBD vuông tại S on Các em hãy rèn luyện dạng toán này qua bài tập sau: ‘’Cho hình chóp SABCD có cạnh SD = x ( x > 0) , các cạnh còn lại của hình chóp bằng nhau và bằng a ( x > 0) Tìm x biết thể tích khối chóp SABCD bằng 2a3 ’’ 6 kh B Tính thể tích bằng phương pháp gián tiếp Khi gặp các bài toán mà việc tính toán gặp khó khăn thì ta phải tìm cách phân... 2VB ' PIE = uo c A Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng Để giải quyết nhanh gọn bài toán khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng học sinh cần nắm chắc bài toán cơ bản và các tính chất sau ⊻ BÀI TOÁN CƠ BẢN Cho khối chóp SABC có SA vuông góc với đáy ABC Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) gb oc (Tính khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên của khối chóp) ⊻ PHƯƠNG PHÁP - Hạ AM vuông góc với... www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác Từ A ' hạ A ' K vuông góc B ' C ' , Hạ A ' H vuông góc với AK thì A ' K.A ' A 2a A ' H ⊥ ( AB ' C ') ⇒ d A '/( AB ' C ') = A ' H = = 3 A ' K 2 + A ' A2 m (Rõ ràng việc quy về bài toán cơ bản có vai trò đặc biệt quan trọng trong các bài toán tính khoảng cách, các em học sinh cần chú ý điều này) co Ví dụ 5) Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam... đối xứng của hình lập phương nên ta có: VB ' PIE = VD ' QJF NGUYỄN TRUNG KIÊN 17 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác Gọi V1 , V2 lần lượt là thể tích của khối đa diện ở phía dưới và phía trên mặt phẳng ( AEF ) 3a 3 2a 3 25a 3 − = 8 72 72 V2 = VABCDA ' B ' C ' D − V1 = a 3 − 25a 3 47 a 3 = 72 72 V1 25 = V2 47 Phần 4: Các bài toán về khoảng cách trong không gian c Vậ... suy ra AH = a ) Trong bài toán này ta đã quy khoảng cách từ G đến ( SCD ) thành bài toán cơ bản là tính oc khoảng cách từ A đến ( SCD ) oc u Ví dụ 6) Cho hình lăng trụ ABCA ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A cạnh huyền BC = a 2 cạnh bên AA ' = 2a, biết A ' cách đều các đỉnh A, B, C Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AA ', AC Tính thể tích khối chóp C ' MNB và khoảng cách từ C ' đến... để download thêm các tài liệu học tập khác 3GN GS GN + GS 2 2 = 2 a a 3    + 3  3  2 = a 3 2 m Ta có d B /( SAD ) = 3dG /( SAD ) = 3GH = a a 3 3 3 3 A D H B N oc uo G E c co S C M Trong bài toán này G là chân đường cao của khối chóp Để tính khoảng cách từ B đến ( SAD) on gb ta đã quy bài toán về trường hợp cơ bản là tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng ( SAD) Ví dụ 2) Cho hình lăng trụ đứng... B' A' H K O B D C on N A kh Trong bài toán này việc nhìn ra AK là đường cao của khối chóp AKC ' M để quy khoảng cách về bài toán cơ bản là yếu tố quan trọng quyết định thành công Ví dụ 3) Cho hình chóp SABC có góc tạo bởi 2 mặt phẳng SBC và ABC là 600 Các tam giác SBC và ABC là các tam giác đều cạnh a Tính khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng SAC (Đề dự bị khối A 2007) HD giải: NGUYỄN TRUNG KIÊN 21... www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác Cách 1: Dựa vào tam giác ∆SHA ∼ ∆SAB ⇒ SH SA SH SA2 2 = ⇒ = = SA SB SB SB 2 3 c HD giải: om Ví dụ 4) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang ABC = BAD = 900 , BA = BC = a, AD = 2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 2 , gọi H là hình chiếu của A lên SB Chứng minh tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng ( SCD