Chµo mõng Các thày giáo đến dự thăm lớp Chương III DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN §1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TỐN HỌC § 2: d·y sè § 3: cÊp sè céng § 4: cÊp sè nh©n 11 Xét mệnh đề chứa biến P(n):”3n < n + 100” vµ Q(n): ”2n > n” víi n N* a Với n = 1, 2, 3, 4, P(n), Q(n) hay sai? b Với n N* P(n), Q(n) hay sai? Trả lời: a P(n) 3n ? 27 81 243 n n 2n ? n 102 103 104 16 105 32 n+100 101 Q(n) b Với n N* P(n) sai; Q(n) chưa thể khẳng định chắn ViÖc chøng tá cho Q(n) với số tự nhiên n N* cách thử với số giá trị ncho dù làm đợc với số lợng lớn đợc coi CM tập số tự nhiên vô hạn nên việc thử thực đợc Chng III: DY S - CP S CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN §1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TỐN HỌC Phương pháp qui nạp tốn học §Ĩ chứng minh mệnh đề liên quan đến số tự nhiên nN* với n ta làm nh sau: B1: Kiểm tra mệnh đề với n=1 B2: Giả sử mệnh đề với n k 1 (Giả thiết qui nạp-GTQN) Ta chứng minh mệnh đề với n=k+1 KL mệnh đề với nN* Luý: NÕu ë Bíc sai thi ta kÕt luËn mệnh dề cần c/m sai Vớ d ỏp dụng: Ví dụ 1: Chứng minh với nN*, ta có:1 n n(n 1) (1) Ví dụ 1: Chứng minh với nN*, ta có: n(n 1) n (1) Lời giải: 1(1 1) VP(1) ,đẳng thức (1) +) Với n = 1, ta có VT(1) 1 k (k 1) +) Giả sử (1) với n = k ≥ 1, nghĩa k (GTQN) Ta phải chứng minh (1) với n = k + 1, tức phải chứng minh: k (k 1) Thật vậy: (k 1)[(k 1) 1] (2) VT (2) (1 k ) ( k 1) k (k 1) (k 1) (k 1) (k 1) 1 VP (2) n(n 1) Vậy với nN*, ta có: n (1) Xét mệnh đề chứa biến Q(n): “ 3n > 3n + 1” víi n N* a Với n = 1, 2, 3, 4, Q(n) hay sai? b Với n N* Q(n) hay sai? c Dự đốn kết qu tng quỏt ca Q(n) c/m phơng pháp quy n¹p Trả lời: a Q(n) n 3n ? 3n+1 27 10 81 243 13 16 b Với n N*, Q(n) sai c DùCM ®o¸n: n 2, n N cã : 3n 3n §1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TỐN HỌC Phương pháp qui nạp tốn học Ví dụ ỏp dng: Chú ý: Để chứng minh mệnh đề ®óng víi mäi sè tù nhiªn n ≥ p ( p số tự nhiên) thỡ : B1: Kim tra mệnh đề với n = p B2: Giả sử mệnh đề với n = k ≥ p (Giả thiết qui nạp - GTQN) Ta chứng minh mệnh đề với n= k+1 HOẠT ĐỘNG NHÓM CMR:n N*cã + + + + 2n = n(n+1) (1) CMR:n N*cã un = n3 – n chia hÕt cho (2) CMR : n 2, n N cã : 3n 3n CMR:n N*cã + + + + 2n = n(n+1) (1) Giải: * Với n =1, ta có VT=VP = Vâïy (1) với n=1 * Giả sử (1) với n = k ≥ 1, tức * + + + .+ 2k = k(k+1) (2) (GT quy nạp) Ta phải cmr (1) với n = k +1, tức + + + .+ 2k + 2(k +1) =(k+1)(k+2) Thaät vaäy, từ (2) ta có VT(3) = 2+ 4+ + .+ 2k + 2(k+1) = k(k+1) + 2(k +1) = (k+1)(k+2)=VP(3) •Vậy hệ thức (1) với số n N* (3) CMR:n N*cã un = n3 – n chia hÕt cho (2) Với n = ta có: u1 = chia hÕt cho (Mệnh đề (2) đúng) Giả sử mệnh đề (2) với n = k≥ 1, nghĩa là: uk= k3 – k chia hÕt cho Ta phải c/m (2) với n = k+ 1, tức :uk +1 =(k+1)3 – (k+1) chia hÕt cho Thật vậy: Uk +1 =(k+1)3 – (k+1) = k3 + 3k2 + 3k + – k – =(k3 – k) +3(k2 + k) =uk + 3(k2 + k) chia hÕt cho Vậy với nN*, ta có: un = n3 – n chia hÕt cho CMR : n 2, n N cã : 3n 3n 3 Với n = 2, ta có VT(1) = > = VP(1), bất đẳng thức (3) Giả sử bất đẳng thức (3) với n = k≥ 1, nghĩa là: 3k Ta phải chứng minh bđt với n = k+ 1, tức : 3k 3k 1 3(k 1) Thật vậy: theo giả thiết qui nạp có: 3k 3k 3k 1 3(3k 1) k 1 3 9k 3k 1 3k 6k V × 6k nª n : 3k 1 3k Vậy: n 2, n N cã : 3n 3n §1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TỐN HỌC •Nêu phương pháp qui nạp tốn học •Chú ý chứng minh mệnh đề với số tự nhiên n ≥ p • Học thuộc nắm qui trình chứng minh tốn phương pháp qui nạp • Các tập 1,2,3,4 tự luyện tập • Bài 5: Đa giác lồi cạnh có đường chéo? • Đọc : Bạn có biết Suy luận qui nạp Q THẦY CƠ CÙNG CÁC EM SỨC KHỎE THÀNH ĐẠT ... 2, 3, 4, Q(n) hay sai? b Với n N* Q(n) hay sai? c Dự đốn kết tng quỏt ca Q(n) c/m phơng pháp quy n¹p Trả lời: a Q(n) n 3n ? 3n+1 27 10 81 243 13 16 b Vi mi n N*, Q(n) sai c DựCM... ta có VT=VP = Vâïy (1) với n=1 * Giả sử (1) với n = k ≥ 1, tức * + + + .+ 2k = k(k+1) (2) (GT quy naïp) Ta phải cmr (1) với n = k +1, tức + + + .+ 2k + 2(k +1) =(k+1)(k+2) Thật vậy, từ (2)