1Tiết 37 – 38: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC pps

1 Tiết 37 – 38: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC. I/. Mục tiêu: Qua bài học, HS cần nắm được: 1/. Về kiến thức: - Hiểu, nắm được nội dung của PPQNTH gồm 2 bước bắt buộc theo 1 trình tự quy định. - Biết lựa chọn và sử dụng PPQNTH để giải các bài toán một cách hợp lí. 2/. Về kĩ năng: - Biến đổi linh hoạt, phân biệt được đâu là giả thiết, giả thiết quy nạp và ứng dụng giải bài tập. 3/. Về tư duy: - Tư duy chặt chẽ, logich. 4/. Về thái độ: - Cẩn thận, chính xác. II/. Chuẩn bị: 1/. Kiến thức phục vụ bài mới: các kiến thức về mệnh đề, mệnh đề chứa biến. 2/. Phương tiện: MTBT, Phiếu học tập… III/. Phương pháp: Đàm thoại kết hợp phát vấn gợi mở. 2 IV/. Tiến trình bài học và các hoạt động (HĐ): 1/. Kiểm tra bài cũ: Kết hợp trong quá trình học. 2/. Nội dung bài mới: HĐ 1: Ôn tập kiến thức cũ và hình thành khái niệm mới. GV phát PHT số 1, cả lớp chia thành 8 nhóm, 1 nhóm 5 HS. GV giao nhiệm vụ: Cả lớp làm bài tập 1 trang 80. Bước 1: Các nhóm điền vào nội dung của phiếu số 1 và khẳng định tính đúng sai của P(n) và Q(n). n 1 2 3 4 5 3 n n + 100 P(n) n 1 2 3 4 5 3 2 n n Q(n) Bước 2: H 1 : Phép thử trên có phải là 1 phép chứng mimh không? H 2 : Với P(5) thì có thể kết luận về tính đúng sai của P(n) với n nguyên dương hay không? Ta thấy P(5) sai nên P(n) không thể đúng với mọi n nguyên dương. Tức là, chỉ cần chỉ ra 1 trường hợp sai là đủ để kết luận. H 3 : Nếu xét Q(n) với n lớn hơn 5 với số lượng rất lớn thì có thể xem đó là 1 phép chứng mimh hay không? Ta không thể kết luận đó là 1 phép chứng minh. Vậy, với những mệnh đề chứa biến là n nguyên dương thì phương pháp hữu hiệu nhất là dùng phương pháp quy nạp toán học như sau: HĐ 2: Giải ví dụ 1 trang 80. Chứng minh rằng: * Nn thì: 1 + 3 + 5 + … + (2n -1) = n 2 . (1) 4 H 1 : Hãy phát biếu bằng lời nội dung bài toán trên: Tổng n các số lẻ liên tiếp bằng n 2 . Đây là bài toán liên quan đến mệnh đề chứa biến * Nn nên dùng PPQNTH để giải là phù hợp nhất. Ta tiến hành 2 bước sau: Bước 1: Hãy thử biểu thức (1) trong trường hợp n = 1 và khẳng định tính đúng sai của nó. Bước 2: Đặt vế trái bằng S n , điều này có nghĩa tổng k số lẽ là S k , tổng (k + 1) là S k+1 . H 1 : Hãy phát biểu và viết giả thiết quy nạp? H 2 : Ta phải chứng minh biểu thức nào? (Câu hỏi gợi ý: Số lẻ đứng sau 2k – 1 là số nào, được biểu diễn như thế nào?) Như vậy, kết hợp với giả thiết quy nạp ta phải chứng minh vết trái bằng (k + 1) 2 . H 3 : S k+1 sẽ bằng S k cọng với số lẽ thứ k + 1. Hãy viết công thức tổng này. Và khai triển để rút rá kết luận cần tìm. Kết luận: Vậy theo quy nạp toán học ta có (1) đúng * Nn . Bài tập tương tự: Làm hoạt động 2 trang 81. Phát biểu bằng lời nội dung bài toán: Tổng n số tự nhiên đầu tiên bằng 2 )1(  nn . (2) HĐ 3: Giải hoạt động 2 trang 81. 5 Bước 1: Hãy thử biểu thức (2) trong trường hợp n = 1 và khẳng định tính đúng sai của nó. Bước 2: Hãy nêu giả thiết quy nạp và biểu thức cần chứng minh? Gợi ý: Vế phải của (2) là tích của 2 )1(  nn nên biểu thức cần chứng minh sẽ “rườm rà” hơn vì phải thay k bởi k + 1 và thay k + 1 bởi (k + 1) + 1. Từ đó, hãy định ra biểu thức cần chứng minh. Giả thiết quy nạp là: (2) đúng trong trường hợp n = k, tức là: 1 + 2 + 3 + …. + k = 2 )1(  kk ta phải chứng minh: 2 )1(  kk + (k + 1) = 2 )2)(1(   kk Hãy triển khai vế phải và rút ra kết luận. HĐ 4: Giải ví dụ 2 trang 81: * Nn , n 3 – n chia hết cho 3. (3) Ví dụ này khác với 2 ví dụ trên bởi liên quan đến điều kiện chia hết. Trước hết, ta ôn lại một tính chất thường gặp của tính chất chia hết là: A chia hết m và B chia hết m thì tổng A + B chia hết m. Bước 1: Hãy thử biểu thức (3) trong trường hợp n = 1 và khẳng định tính đúng sai của nó. Bước 2: Đặt vế trái bằng A n , giả sử A k chia hết 3, tức là: k 3 – k chia hết 3, ta sẽ chứng minhh A k+1 chia hết cho 3. Hãy viết biểu thức A k+1 , sau đó, triển khai, rút gọn, đặt nhân tử chung. Khi đặt nhân tử chung cần chú ý đưa về dạng đã có của A k . 6 Ta có: A k+1 = (k+1) 3 – (k + 1) = k 3 + 3k 2 +3k + 1 – k -1 = (k 3 - k) + 3(k + 1) = A k + 3(k 2 + k). Theo giả thiết A k chia hết cho 3; 3(k 2 + k) cũng chia hết cho 3 nên A k+1 chia hết cho 3. HĐ 5: Gợi ý giải hoạt động 3 trang 82: a/. Trước hết, hãy thử mối quan hệ của 3 n với 8n trong trường hợp n = 1, 2, 3, 4 ,5. Từ đó phát hiện quan hệ đó chỉ đúng trong trường hợp từ n bao nhiêu trở đi.Ta có thể trình bày trong bảng sau để dễ theo dõi. N 3 n ? 8n 1 2 3 4 5 7 b/. Từ đó ta có bài toán cần chứng minh bằng quy nạp như sau: Chứng minh rằng 3 n > 8n n  3  . Ta cũng tiến hành tuần tự 2 bước như các bài trên. 3/ Củng cố: - Trong chứng minh bằng quy nạp, bước1 có vẽ đơn giản, “hiển nhiên” nhưng không được bỏ qua vì sẽ có nhiều bài toán chỉ đúng trong trường hợp n k  chứ không phải đúng với mọi n, như HĐ 5 là ví dụ minh họa. Còn khó khăn nhất, tất nhiên là ở bước 2, vì thực chất đây là một bài toán mới mà ta cần phải tìm cách giải. Kết quả của cả 2 bước mới đưa đến kết luận cần chứng minh. - 4/ Hướng dẫn bài tập về nhà: - Làm lại các bài đã giải. - Làm tiếp các bài trong sách. - Với bài 4 trang 83 thì tiến hành như sau: + Khi tính S 1 , S 2 , S 3 thì giữ nguyên phân số là tích của 2 số (không nên viết giá trị của tích đó) để dễ dự đoán công thức tổng quát. + Khi đã có công thức tổng quát, phải định hướng, viết ra biểu thức cần chứng minh rồi “lắp ráp ” với giả thiết quy nạp để triển khai, rút gọn và đặt nhân tử chung. 8 9 . Tiết 37 – 38: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC. I/. Mục tiêu: Qua bài học, HS cần nắm được: 1/. Về kiến thức: - Hiểu, nắm được nội dung của PPQNTH gồm 2 bước bắt buộc theo 1 trình tự quy định chứng minh. Vậy, với những mệnh đề chứa biến là n nguyên dương thì phương pháp hữu hiệu nhất là dùng phương pháp quy nạp toán học như sau: HĐ 2: Giải ví dụ 1 trang 80. Chứng minh rằng: * Nn. thức về mệnh đề, mệnh đề chứa biến. 2/. Phương tiện: MTBT, Phiếu học tập… III/. Phương pháp: Đàm thoại kết hợp phát vấn gợi mở. 2 IV/. Tiến trình bài học và các hoạt động (HĐ): 1/. Kiểm