CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

Page of 73 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Nguyễn Hữu Điển Khoa Toán - Cơ - Tin học, ĐHKHTN Hà Nội Web: http://nhdien.net.ms, Email: huudien@vnu.edu.vn A MỤC TIÊU Giúp học sinh thêm phương pháp nghiên cứu học tập giải tốn mơn số học, đại số hình học Góp phần xây dựng lực tư lơgíc, diễn đạt suy nghĩ mạch lạc, suy luận có lí Gây hứng thú cho học sinh tìm tòi, phát hiện, tranh luận phê phán sai bạn bè lĩnh hội vận dụng kiến thức toán học B THỜI GIAN THỰC HIỆN Tổng thời gian thực 15 tiết, tiết tương ứng với nội dung C NỘI DUNG Bài Ngun lí quy nạp tốn học ví dụ Từ ví dụ cụ thể cách suy luận diễn giải quy nạp dẫn đến phát biểu nguyên lí quy nạp tốn học Thơng qua ví dụ đơn giản làm rõ thành phần nguyên lí quy nạp toán học Bài Kĩ thuật chứng minh phương pháp quy nạp tốn học Khảo sát khía cạnh sử dụng ngun lí quy nạp tốn học thơng qua vị dụ cụ thể Bài Các ứng dụng giải toán số học đại số Những tập số học đại số thường ứng dụng phương pháp quy nạp toán học phép chia hết, biểu diễn số, tính tổng, đẳng thức, bất đẳng thức, Bài Quy nạp tốn học hình học Những dạng tốn hình học giải phương pháp quy nạp toán học Bài Những vấn đề khác liên quan đến phương pháp quy nạp toán học Dùng định nghĩa, hồi quy, theo suy luận quy nạp tốn học PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TỐN HỌC Nguyễn Hữu Điển Khoa Toán - Cơ - Tin học, ĐHKHTN Hà Nội file://E:\Documents and Settings\DoanDanhTai\Local Settings\Temp\~hh895.htm 27/05/2008 Page of 73 Web: http://nhdien.net.ms, Email: huudien@vnu.edu.vn NGUN LÍ QUY NẠP TỐN HỌC VÀ VÍ DỤ 1.1 Suy diễn quy nạp 1.2 Một số ví dụ suy luận quy nạp 1.3 Ngun lí quy nạp tốn học 1.4 Giai đoạn quy nạp giả thiết quy nạp 1.5 Bài tập NGUN LÍ QUY NẠP TỐN HỌC VÀ VÍ DỤ 1.1 Suy diễn quy nạp Trong lao động, học tập sinh hoạt người ta phải suy luận đánh giá hoạt động Thực tế có hai hướng để suy luận đưa kết trước vấn đề phải giải Những suy luận suy diễn quy nạp Suy diễn áp đặt vấn đề chung cho trường hợp cụ thể Cách suy luận diễn hàng ngày, hàng xuất phát từ kinh nghiệm, văn hóa lồi người Trong kho tàng ca dao châm ngôn Việt Nam có nhiều mệnh đề chung Trơng mặt mà bắt hình dong Con lợn có béo lịng ngon Như vậy, lợn làm thịt thấy béo suy lịng phải ngon Hay ví dụ trơng mưa trời rơi vào trường hợp: Cơn đằng Đông vừa trông vừa chạy Cơn đằng Tây mưa dây bão dật Cơn đằng Nam vừa làm vừa chơi Cơn đằng Bắc đổ thóc phơi Hướng suy luận thứ hai từ khẳng định riêng tiến tới phát biểu khẳng định chung file://E:\Documents and Settings\DoanDanhTai\Local Settings\Temp\~hh895.htm 27/05/2008 Page of 73 gọi phép quy nạp Ta lấy ví dụ hát Quan Họ “Bèo dạt mây trôi”: “ Một tin trông, hai tin đợi, ba, bốn tin chờ chẳng thấy em ” Như vậy, người đợi chờ thực 1, 2, 3, lần nhắn tin mà người thương khơng thấy tin tức gì, phải khơng nhận tin tức gì? phải khơng nhận tin tức người thương nữa? Hay hồn cảnh mà thời gian sau nhận tin nhắn! Bằng ví dụ đơn giản ta thấy phép quy nạp có đúng, có sai Chuyên đề ta nghiên cứu cách suy luận quy nạp áp dụng xác suy luận để giải tốn số học, đại số hình học, NGUN LÍ QUY NẠP TỐN HỌC VÀ VÍ DỤ 1.2 Một số ví dụ suy luận quy nạp Trước vào nguyên lí cụ thể ta xét số ví dụ mà cách giải thực từ trường hợp cụ thể tiến tới tổng qt hóa Ví dụ Chứng minh tổng n số lẻ n2 Lời giải Ta biết số lẻ thứ 1, số lẻ thứ hai 3, số lẻ thứ ba 5, mối quan hệ số lẻ thứ k số lẻ (2k-1) với k = 1, 2, 3, Ta kí hiệu Sn tổng n số lẻ Ta tính số giá trị tổng so sánh với kết luận toán: Với n = 1, S1 = = 12, kết luận toán đúng; Với n = 2, S2 = + = 12 + 2.1.1 + = (1 + 1)2 = 22, kết luận đúng; Với n = 3, S3 = + + = 22 + 2.2.1 + = (2 + 1)2= 32, kết luận Ta tiếp tục kiểm tra cho trường hợp nữa, số lẻ vơ nhiều, khơng có khả kiểm tra hết giá trị Có cách khác không để suy luận số trường hợp mà với trường hợp? Ta thấy trường hợp giá trị sau suy kết luận từ giá trị trước mối quan hệ Sn = Sn-1 + 2n-1 Nếu tính Sn-1 = (n-1)2 ta có Sn = Sn-1 + 2n – = (n-1)2 + + 2n - 1= n2 Như vậy, số trước có kết số sau đúng, ta có n =3 kết luận suy n =4 kết luận đúng, sau n =5, Suy mệnh đề với giá trị n Ví dụ Cho số đường thẳng chia mặt phẳng thành miền khác Chứng minh ta tô miền hai màu trắng đen cho miền cạnh (có chung đoạn biên) có màu khác file://E:\Documents and Settings\DoanDanhTai\Local Settings\Temp\~hh895.htm 27/05/2008 Page of 73 Lời giải Chú ý cách chia mặt phẳng thành miền khác tô hai màu thỏa mãn điều kiện tốn, ví dụ (h 1) Nếu chọn miền mầu đen hai phần cịn lại màu trắng, điều không thỏa mãn điều kiện toán Như vậy, chia mặt phẳng nửa đường thẳng mệnh đề khơng Hình Nhưng chia mặt phẳng đường thẳng mệnh đề cịn Với đường thẳng, cách tơ nửa mặt phẳng đen, cịn nửa tơ trắng (h 2) Nếu cho hai đường thẳng từ hình đặt thêm đường thẳng chia mặt phẳng thành bốn miền Dựa màu trường hợp đường thẳng, nửa mặt phẳng đường thẳng thứ hai, miền màu đen ta tô trắng màu trắng ta tơ đen cho hình Nếu cho ba đường thẳng ta đặt đường thẳng thứ ba lên hình cho ta hình chưa tơ màu lại file://E:\Documents and Settings\DoanDanhTai\Local Settings\Temp\~hh895.htm 27/05/2008 Page of 73 Trên nửa mặt phẳng đường thẳng mới, miền màu trắng ta tô lại màu đen ngược lại, cuối ta nhận hình Ta thấy miền cạnh nửa mặt phẳng đổi màu nửa mặt phẳng không đổi màu khác màu Cịn miền cạnh có biên đường thẳng đặt vào theo cách đổi màu nửa mặt phẳng chúng khác màu Bây ta lại thêm đường vào hình q trình tơ màu lại lặp lại nhận kết tô màu cho miền Như ta tô màu theo giả thiết tốn cho n đường thẳng n+1 đường thẳng tô theo cách làm Như vậy, với số đường thẳng cho ta thực tơ màu theo giả thiết tốn Bài tốn giải Ví dụ Cho 111 chia hết cho 3, số 111111111 chia hết cho 9, số 111 111 (27 chữ số 1) chia hết cho 27 Chứng minh 111 111 (3n chữ số 1) chia hết cho 3n với n Lời giải Ta sử dụng dấu hiệu chia hết cho cho (tổng chữ số số chia hết cho số chia hết cho 3, tương tự cho số chia hết cho 9) Đơn giản ta kiểm tra trực tiếp 111 : =37 111111111 : =12345679 Bằng cách chia trực tiếp số có 27 chữ số chia cho 27 nhận kết chia hết, Ak-1 dấu hiệu chia hết cho 27 khơng có (ví dụ số 1899 có tổng 27 không chia hết cho 27) Ta chia trực tiếp số có 3n chữ số cho 3n với n = 4, 5, xem chúng có chia hết cho không? Từ kinh nghiệm hai ví dụ trước ta tìm A3 cách chứng minh mệnh đề bước n, ta phải tìm cách chứng minh suy từ bước n-1 trước có kết Ta xét số 111111111, số chia hết cho Ta kiểm tra chia hết cho 111, có kết 111111111 = 111 1001001 Ta thấy thừa số tích chia hết cho (do tiêu chuẩn chia hết cho 3) Do tích hai thừa số chia hết cho Quy trình áp dụng cho số 1111 111 (27 chữ số 1), số chia hết cho 111111111 Thương phép chia có ba chữ số chữ số cịn lại (kết số thương có hai nhóm chữ số 0, cịn số hai đầu số 1) Biết số 111111111 chia hết cho Còn số 10 010 01 chia hết cho (vì tổng file://E:\Documents and Settings\DoanDanhTai\Local Settings\Temp\~hh895.htm 27/05/2008 Page of 73 chữ số chia hết cho 3) Do số có 27 chữ số tích hai số, mà số chia hết cho số chia hết cho suy chia hết cho 27 Tiếp tục với số có 81 =3.3.3.3 chữ số tích số có 27 chữ số số có ba chữ số số lại chữ số Thừa số thứ chia hết cho 27, thừa số thứ hai chia hết cho Suy số có 81 chữ số chia hết cho 3.27=81=34 Bằng cách hoàn toàn tương tự ta chứng minh số có 81.3=243 chữ số chia hết cho 35 Ta chứng minh với số n mệnh đề suy với n+1 đúng, suy mệnh đề với n = 3, 4, 5, 6, Bài toán giải Ví dụ Chứng minh với số nguyên đồng (tiền Việt Nam) lớn đổi tiền lẻ không dư đồng tiền gồm tờ đồng đồng (1 đồng 1000 đồng thực tế) Lời giải Đẳng thức sau nói lên với đồng, đồng gồm tờ đồng đồng nào: = + 2; = + + +2 Nếu ta thêm vào hai vế đẳng thức tờ đồng, = + 2; 10 = + Tiếp tục thêm đồng vào hai đẳng thức sau cùng, ta có 11 = + 2; 12 = 10 +2 Ta tiếp tục cho số nguyên Ta thấy bước trước có hai đẳng thức suy bước sau có hai đẳng thức Như với số n nguyên đồng dù số chẵn số lẻ n-2 rơi vào hai trường hợp trước đổi hai loại tiền đồng đồng Suy đổi thành đồng đồng năm Như vậy, khẳng định của mệnh đề NGUYÊN LÍ QUY NẠP TỐN HỌC VÀ VÍ DỤ file://E:\Documents and Settings\DoanDanhTai\Local Settings\Temp\~hh895.htm 27/05/2008 Page of 73 1.3 Nguyên lí quy nạp tốn học Những ví dụ cho ta thấy toán mệnh đề sai Mỗi mệnh đề lại phụ thuộc vào biến số tự nhiên n Một cách tổng quát ta kí hiệu P(n) mệnh đề tốn học phụ thuộc vào n, với n số tự nhiên Như vậy, thực chất ví dụ xét chứng minh dãy mệnh đề sau (hoặc sai) P(1), P(2), P(3), , P(n), Một số toán phát biểu dạng: Chứng minh với số tự nhiên n, P(n) Như vậy, toán loại liên quan tới tập số tự nhiên Một tính chất số tự nhiên người ta công nhận tiên đề thường gọi tiên đề thứ tự Tiên đề thứ tự: Trong tập khác rỗng số tự nhiên có phần tử nhỏ Cho số tự nhiên n ứng với khẳng định P(n) Đáng lẽ ta phải kiểm tra vô hạn mệnh đề, người ta sử dụng ngun lí quy nạp tốn học sau đủ: Định lí (Ngun lí quy nạp tốn học) Cho n0 số nguyên dương P(n) mệnh đề có nghĩa với số tự nhiên n n0 Nếu (1) P(n0) (2) Nếu P(k) đúng, P(k+1) với số tự nhiên k mệnh đề P(n) với số tự nhiên n n0 n0; Chứng minh Ta chứng minh phản chứng Giả sử ngược lại, mệnh đề khẳng định P(n) định lí khơng với số tự nhiên n n0 Nghĩa tồn số tự nhiên m n0 , mà P(m) không Ta lấy số tự nhiên nhỏ m mà P(m) không (điều thực tiên đề thứ tự) Theo điều kiện (1) ta có bất đẳng thức m > n0, từ suy m – n0 Từ bất đẳng thức vừa lập cách chọn số tự nhiên m suy P(m – 1) đúng, khơng kéo theo P(m) cho số m = (m – 1) + Điều trái với giả thiết (2) Như vậy, điều giả sử sai định lí chứng minh Phương pháp dùng nguyên lí quy nạp toán học để giải toán, người ta gọi phương pháp quy nạp toán học Như vậy, phương pháp quy nạp toán học gồm hai bước, bước thứ ta kiểm tra mệnh đề có với n = n0, gọi bước sở Nghĩa kiểm tra P(n0) có khơng? Nếu bước sở ta chuyển sang bước thứ hai chứng minh với k n0 , P(k) mệnh đề đúng, suy P(k+1) đúng, bước gọi bước quy nạp Kết luận P(n) file://E:\Documents and Settings\DoanDanhTai\Local Settings\Temp\~hh895.htm 27/05/2008 Page of 73 với n n0 Cách chứng minh theo phương pháp quy nạp toán học tránh cho ta phải kiểm tra vô hạn bước khẳng định mệnh đề Vì mệnh đề tốn phụ thuộc vào nhiều đối số, nên người ta thường phải nói rõ chứng minh quy nạp theo n mệnh đề phụ thuộc vào n Ta xét lại ví dụ xét: Ví dụ Mệnh đề P(n) = {Tổng n số lẻ n2} Trong cách giải với n= 1, 2, mệnh đề ta chứng minh P(k) suy P (k+1) Vậy suy P(n) với n Ví dụ Mệnh đề ví dụ P(n) = {Cho n đường thẳng chia mặt phẳng thành miền khác Có thể tơ màu vùng hai màu đen trắng cho hai miền cạnh có màu khác không?}, n số đường thẳng mặt phẳng Lời giải toán thấy P(1) mệnh đề đúng, ta thấy từ mệnh đề P(1) suy P(2) từ P(2) suy P(3) đúng, lí luận hồn tồn tương tự, P(k) suy P(k+1) cách đổi màu cho nửa mặt phẳng đường thẳng cuối ta đặt vào Suy theo nguyên lí quy nạp tốn học P(n) với n Ví dụ Mệnh đề ví dụ P(n) = {Số có 3n chữ số chia hết cho 3n}, n số tự nhiên Theo lời giải tốn n = 1, P(1) = { Số 111 chia hết cho } đúng; n = 2, P(2) = { Số 111111111 chia hết cho } Theo cách giải tốn P(1) suy P(2) đúng, P(2) suy P(3) đúng, Một cách tổng quát P(k) suy P(k+1) cách phân tích số 3k+1 chữ số thành tích số có 3k chữ số số có chữ số số lại chữ số 0, từ suy mênh đề P(k+1) Vậy theo ngun lí quy nạp tốn học P(n) với n Ví dụ Bài tốn có mệnh đề P(n) = {Với n đồng, đổi n thành đồng tiền đồng đồng không?}, n số tự nhiên Ta ý giá trị ban đầu ví dụ bắt đầu n0 = Lời giải toán cho ta thấy với n = mệnh đề đúng, sau cộng vào ta nhận n = 9; 10 tiếp tục Ví dụ cần hai giá trị ban đầu bước quy nạp giả thiết hai giá trị phía trước để suy mệnh đề bước sau Cụ thể vấn đề nghiên cứu định lí định lí sau NGUN LÍ QUY NẠP TỐN HỌC VÀ VÍ DỤ file://E:\Documents and Settings\DoanDanhTai\Local Settings\Temp\~hh895.htm 27/05/2008 Page of 73 1.4 Giai đoạn quy nạp giả thiết quy nạp Phương pháp quy nạp toán học áp dụng khơng tốn học mà cịn ngành khác Vật lí, Hóa học, Sinh vật, nguyên nhân từ thí nghiệm thực nghiệm cụ thể người ta muốn tổng quát hóa rút quy luật chung Khi từ thực nghiệm họ rút công thức chung, quy luật chung, để chứng minh tính đắn chúng họ thường dùng phương pháp quy nạp toán học Ta lấy ví dụ cụ thể Ví dụ Tính tổng n số tự nhiên Lời giải Kí hiệu P(n) tổng phải tìm, nghĩa P(n) = + + + + n Ta tính số tổng giá trị ban đầu: N P(n) 1 3 10 15 21 28 Ta thấy quy luật: Tích hai số liên tiếp hàng lần số hàng Như 1.2 = 2.1, 2.3 = 2.3, 3.4 = 2.6, 4.5 = 2.10, 5.6 =2.15, 6.7 = 21, Như ta dự đốn cơng thức phải tìm P(n) = + + + + n = (1) Biểu thức gọi giả thiết quy nạp Muốn chắn công thức ta phải chứng minh phương pháp quy nạp thông qua hai bước: Bước sở: Với n = cơng thức (1) cách tính Bước quy nạp: Giả sử n = k, P(k) đúng, nghĩa có P(k) = Ta phải chứng minh (1) cho n = k + Thật vậy, P(k+1) = P(k) + (k + 1) = +k+1= + = Do cơng thức (1) với n = k +1, theo nguyên lí quy nạp tốn học cơng thức (1) với mọi n Ví dụ Tính tổng lập phương n số tự nhiên file://E:\Documents and Settings\DoanDanhTai\Local Settings\Temp\~hh895.htm 27/05/2008 Page 10 of 73 Lời giải Ta đặt công thức S(n) = 13 + 23 + 33 + + n3 Ta tính số giá trị ban đầu: n S(n) 36 100 225 441 Nhìn vào bảng ta khó tìm quy luật cho S(n) Nhưng với kinh nghiệm kết tính trước ta gép lại n P(n) 10 15 21 S(n) 36 100 225 441 Từ bảng ta thấy có lẽ S(n) = (P(n))2 : = 12, = 32, 36 = 62 , Mà công thức P(n) ta biết, công thức cho giả thiết quy nạp S(n) = 13 + 23 + 33 + + n3 = (2) Chứng minh công thức (2) phương pháp quy nạp theo n: Bước sở: Với n = 1, 2, 3, 4, 5, công thức (2) theo bảng Bước quy nạp: Giả sử (2) với n = k, ta phải chứng minh (2) với n = k+1 Thật vậy, S(k+1) = 13 + 23 + 33 + + (k+1)3 = S(k) + (k+1)3 = + (k+1)3 = (k+1)2 = (k+1)2 = Vậy (2) với n = k + Từ ngun lí quy nạp tốn học suy (2) với n Ví dụ Tính tổng với n = 1, 2, …n; | a | , LờI giải Số lượng số hạng tổng n + 1, trừ số hạng lại số hạng file://E:\Documents and Settings\DoanDanhTai\Local Settings\Temp\~hh895.htm 27/05/2008 Page 59 of 73 Công thức (4) với n = k + .Suy với n b) Lời giải Kí hiệu Tn = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + n(n+1)(n+2) = n(n+1)(n+2)(n+3) (5) Ta chứng minh quy nạp theo n: Bước sở: Với n = 1, T1 = 6, vế phải (5) có giá trị 1, suy (5) Bước quy nạp: Giả sử (5) với n = k, nghĩa Tk = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + k(k+1)(k+2) = k(k+1)(k+2)(k+3) Ta cần chứng minh tổng với n = k +1 Thật vậy, Tk+1 = Tk + (k+1)(k+2)(k+3) = k( k+1)(k+2)(k+3) + (k+1)(k+2)(k+3) = (k+1)(k+2)(k+3)[ k + 1] = (k+1)(k+2)(k+3)(k+4) Vậy (5) với n = k +1 suy (5) với n 1.5 Lời giải Các số hạng dịng bảng có dạng: n, n + 1, n + 2, , 3n – 3, 3n – (có tất 2n – số hạng) Kí hiệu tổng số hạng dịng thứ n Tn, tốn phải chứng minh cơng thức sau: Tn = (2n-1)2 (6) Bước sở: Với n = 1, T1 =1 (2n-1)2 =1, suy công thức (6) Với n =2, T2 = + + = 9; mặt khác (2n-1)2 = 3.3 =9 công thức (6) Bước quy nạp: Giả sử mệnh đề với n = k, nghĩa Tk = (2k-1)2 Ta cần chứng minh mệnh đề với n = k + 1, nghĩa Tk+1 = (2k+1)2 Thật vậy, Tk+1 = Tk – k + (3k – 1) + 3k + (3k + 1) = (2k – 1)2 – k + 3k – + 3k + 3k + = 4k2 – 4k – + 8k = 4k2 + 4k + = (2k + 1)2 Công thức (6) với n = k + Suy với n Trả lời gợi ý giải tập chương 2.1 Lời giải Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh file://E:\Documents and Settings\DoanDanhTai\Local Settings\Temp\~hh895.htm 27/05/2008 Page 60 of 73 1a) Với n = 1, bất đẳng thưc (7) có dạng Bất đẳng thức (8) suy từ bất đẳng thức hiển nhiên (x – 1)2 1b) Với n = 2, bất đẳng thức (7) có dạng (7) (8) (9) Bất đẳng thức (8) với x > 0, với x2, Cộng hai vế bất đẳng thức với 1, ta nhận (9) 2) Giả sử bất đẳng thức (7) với n = k, mà k số tự nhiên ta chứng minh bất đẳng thức (7) với n = k + 2, nghĩa Thật vậy, (8) x xk+2, ta nhận , (10) (11) (12) Cộng vế tương ứng (10) (12) cho kết (11) Tóm lại Bước sở: Trong 1a) 1b) ta chứng minh bất đẳng thức với n = n = Bước quy nạp: Trong 2) ta chứng minh từ giả thiết (7) với n = k, suy với n = k + Kết là: + Từ 1a) 2) cho khẳng định bất đẳng thức (7) cho số lẻ n + Từ 1b) 2) cho khẳng định bất đẳng thức (7) cho số chăn n Do suy (7) với số tự nhiên n 2.2 Lời giải Ta phải chứng minh Ta chưng minh theo phương pháp quy nạp: số tự nhiên n với Bước sở: Với n =1 n =2 công thức cho Bước quy nạp: Giả sử đẳng thức với n = k – n = k – 2, nghĩa có , công thức file://E:\Documents and Settings\DoanDanhTai\Local Settings\Temp\~hh895.htm 27/05/2008 Page 61 of 73 Khi , Suy cơng thức với n 2.3 Lời giải Ta chứng minh phương pháp quy nạp theo n bất đẳng thức với a + b > 0, a b, n > 1, (13) Bước sở: Với n = 2, bất đẳng thức (13) có dạng (14) Vì ta có bất đẳng thức , cộng hai vế bất đẳng thức ta nhận bất đẳng thức (14) Bước quy nạp: Giả sử (13) với n = k, nghĩa , (15) Để chứng minh (13) cho n = k + 1, ta nhân hai vế (15) với a + b, a + b > ta nhận bất đẳng thức Như để chứng minh (13) với n = k + 1, ta cần chứng minh Sau biến đổi đơn giản hai vế ta bất đẳng thức tương đương (16) (17) , điều suy từ (18) Xét hai trường hợp: 1) Nếu a > b điều kiện cho a > - b, suy a > |b|, ak > bk, bất đẳng thức (18) 2) Nếu a < b, lí luận tương tự phần ta có ak < bk, (18) Tóm lại (18) với a b, (17) Suy (13) với n = k +1 Suy với n 2.4 Lời giải Ta chứng minh phương pháp quy nạp theo n Bước sở: Khi n = bất đẳng thức hiển nhiên Bước quy nạp: Giả sử bất đẳng thức với n = k Ta phải chứng minh bất đẳng thức với n = k + Do giả thiết giả thiết quy nạp ta có Như bất đẳng thức với n = k + file://E:\Documents and Settings\DoanDanhTai\Local Settings\Temp\~hh895.htm 27/05/2008 Page 62 of 73 2.5 Lời giải Ta chứng minh quy nạp theo k đẳng thức sau: với Với k = 0, khẳng định hiển nhiên Giả sử với k n Khi Trả lời gợi ý giải tập chương 3.1 a) Lời giải Đặt An = 33n+3 – 26n – 27 Ta chứng minh quy nạp theo n: Bước sở: Với n = 0, A0 = 33 – 27 = Suy A0 chia hết cho 169 Bước quy nạp: Giả sử n = k, Ak chia hết cho 169 Ta cần chứng minh Ak+1 chia hết cho 169 Thật vậy, Ak+1 = 33(k+1)+3 – 26(k+1) – 27 = Ak + 26.33k+3 – 26 = Ak + 26[(33)k +1 – 1] = Ak + 26(33 – 1)(33n + +1) = Ak +4.169.(33k + + 1) Từ suy Ak+1 chia hết cho 169 b) Lời giải Ta chứng minh quy nạp Bước sở: Với n = Tổng + 15 – = 18 chia hết cho 9, mệnh đề với n =1 Bước quy nạp: Giả sử mệnh đề với n = k, nghĩa 4k + 15.k – = 9.p, (19) p số nguyên dương Ta cần chứng minh mệnh đề với n = k + 1, nghĩa 4k+1 + 15(k + 1) – chia hết cho Thật vậy, từ (19) suy 4k = 9p - 15k + Thay giá trị vào biểu thức cần chứng minh ta có 4(9p - 15k + 1) + 15(k + 1) – = 36p – 45k + 18 = 9(4p – 5k + 2) Tổng chia hết cho Suy mệnh đề với n c) Lời giải Kí hiệu En = a4n+1 – a Bước sở: Nếu n = 1, E1 = a5 – a = a(a2 - 1)(a2 + 1) = a(a – 1)(a + 1)[(a2 – 4) + 5] = (a – 2)(a – 1)a(a + 1)(a + 2) + 5(a – 1)a(a + 1) Thừa số thứ chia hết cho 5! = 120 = 4.30, thừa số thư hai chia hết cho file://E:\Documents and Settings\DoanDanhTai\Local Settings\Temp\~hh895.htm 27/05/2008 Page 63 of 73 5.3! = 30 Suy E1 chia hết cho 30 Bước quy nạp: Giả sử n = k Ek = a4k+1 – a chia hết cho 30 Khi với n = k + 1, số Ek+1 = a4k+5 – a = a4k+5 – a + a4k+1 - a4k+1 = (a4k+1 – a) + (a4k+5 - a4k+1) = Ek + a4k E1 chia hết cho 30 Suy mênh đề với n 3.2 Lời giải Bước sở: Với n = 1, ba số tự nhiên liên tiếp 1, 2, Tổng 13 + 23 + 33 chia hết cho Bước quy nạp: Giả sử mệnh đề toán với n = k, nghĩa ba số ngun liên tiếp k có tính chất: k3 + (k+1)3 +(k+2)3 chia hết cho Ta chứng minh với ba số tự nhiên liên tiếp (k+1) khẳng định toán đúng, nói cách khác (k+1)3 +(k+2)3 + (k+3)3 chia hết cho Thật vậy, (k+1)3 +(k+2)3 + (k+3)3 = (k3 + (k+1)3 +(k+2)3) + 9(k2 + 3k +3), tổng hai số hạng chia hết cho 9, mệnh đề với n = k + 3.3 a) Lời giải Đặt vế trái đẳng thức Tn = 14 + 24 + 34 + + n4, ta phải chứng minh Tn = Ta chứng minh quy nạp Bước sở: Với n = 1, đẳng thức đúng, hai vế có giá trị Bước quy nạp: Giả sử công thức với n = k – 1, ta phải chứng minh đẳng thức với n = k Thật vậy, Tk = Tk-1 + k4 = = = = = = = file://E:\Documents and Settings\DoanDanhTai\Local Settings\Temp\~hh895.htm 27/05/2008 Page 64 of 73 = Vậy công thức với n = k Vậy với n b) Đặt Tn = thức Tn = nạp .Ta phải chứng minh đẳng với n số tự nhiên Ta chứng minh phương pháp quy Bước sở: Với n = 1, T1 = , đẳng thức Với n = 2, T2 = , đẳng thức Bước quy nạp: Giả sử đẳng thức với n = k, nghĩa Tk = Ta phải chứng minh đẳng thức cho n = k + Thật vậy, Tk+1 = Tk + = = Đẳng thức với n = k + Suy với n , bất đẳng thức 3.4 a) Lời giải Bước sở: Với n = 2, ta có Bước quy nạp: Giả sử bất đẳng thức với n = k, nghĩa có Ta cần chứng minh file://E:\Documents and Settings\DoanDanhTai\Local Settings\Temp\~hh895.htm 27/05/2008 Page 65 of 73 Từ giả thiết quy nạp suy ta phải chứng minh Tương đương với k > = = Bất đẳng thức hiển nhiên đúng, phân số có mẫu số lớn nhỏ Do n = k + bất đẳng thức Vậy với n b) Lời giải Bước sở: Nếu n = , bất đẳng thức Bước quy nạp: Giả sử bất đẳng thức với n = k, nghĩa chứng minh Ta cần Thật vậy, , Trừ theo vế cho ta có , suy n Vậy bất đẳng thức với n= k + Suy với 3.5 a) Lời giải Ta chứng minh phương pháp quy nạp Bước sở: Với n = 2, ta có , đẳng thức Bước quy nạp: Giả sử đẳng thức với n = k, nghĩa ta cần chứng minh , , thật vậy, (theo định nghĩa dãy Phibônaxi) Đẳng thức với n = k + 1, suy với n b) Lời giải Ta chứng minh phương pháp quy nạp Bước sở: Với n = , mệnh đề file://E:\Documents and Settings\DoanDanhTai\Local Settings\Temp\~hh895.htm 27/05/2008 Page 66 of 73 Bước quy nạp: Giả sử mệnh đề với n = k, tức , ta cần chứng minh Thật vậy, Vậy bất đẳng thức với n c) Lời giải Ta chứng minh phương pháp quy nạp Bước sở: Với n = n = ta nhận u1 = u2 = 2, công thức Bước quy nạp: Giả sử công thức với n = k, nghĩa với uk uk+1 số hạng thứ k thứ k + 1, ta phải chứng minh công thức cho n = k + 2, nghĩa số hạng thứ k + Để cho gọn ta kí hiệu Khi Suy Khi và Do cách đặt ta có nghiệm phương trình Như ta có Đó điều cần chứng minh Trả lời gợi ý giải tập chương Ta giải toán quy nạp toán học 4.1 Bước sở: Với n = 1, mặt phẳng có hình trịn Ta tơ hình trịn màu đen Khi phần mặt phẳng cịn lại kề với hình trịn để trắng, nên hai phần mặt phẳng kề có màu khác Bước quy nạp: Giả sử khẳng định với n hình trịn có tranh tơ hai màu Giả sử mặt phẳng cho n + hình trịn tùy ý Xóa hình trịn có tranh gồm n hình trịn (h.15) Theo giả thiết quy nạp, tranh có n đường trịn tô hai màu trắng đen mà hai miền kề có màu khác file://E:\Documents and Settings\DoanDanhTai\Local Settings\Temp\~hh895.htm 27/05/2008 Page 67 of 73 Hình 15 Hình 16 Khơi phục lại hình trịn xóa đi, nghĩa ta lại có n + hình trịn Sau phía (phía phía ngồi đường trịn) hình trịn vừa khơi phục, ta tiến hành đổi màu miền phía (hình 16 miền trong), nghĩa trắng thành đen đen thành trắng Ta nhận tranh n +1 hình trịn tơ hai màu, mà hai miền tùy ý kề khác màu Như vậy, mệnh đề với n đường trịn suy với n + đường trịn Theo ngun lí quy nạp toán học mệnh đề với n 4.2 Lời giải Bằng quy nạp theo n ta chứng minh mặt phẳng cho 2n điểm thỏa mãn điều kiện đầu bài, số đoạn thẳng kẻ không n2 với n = 2, 3, Bước sở: Với n = 2, ta nối không đường thẳng Bước quy nạp: Giả thiết khẳng định với n = k, nghĩa với 2k điểm Ta phải chứng minh khẳng định với n = k + 1, nghĩa xét 2(k+1) điểm Lấy hai điểm A B từ điểm nối thành đoạn thẳng Còn lại 2k điểm, theo giả thiết quy nạp, đoạn thẳng kẻ giữ 2k điểm không lớn k2 Những đoạn thẳng kẻ từ A B tới 2k điểm lại, khơng q 2k (vì điểm nối với A, khơng nối với B ngược lại), thêm đoạn thẳng nối A B Như số đoạn thẳng kẻ không q k2+2k+1 = (k+1)2 Theo ngun lí quy nạp tốn hoạc mệnh đề với n nguyên dương 4.3 Lời giải Ta chứng minh quy nạp theo số dây cung n Bước sở: Với n = 1, hình trịn có dây cung Nó chia hình trịn thành hai phần Vì có dây cung nên số điểm cắt m = 0, ta có đẳng thức số phần hình trịn = + + Bước quy nạp: Giả sử khẳng định với n = k, nghĩa với k dây cung cắt m1 điểm hình trịn chia thành k + m1 + phần Xét n = k + dây cung tùy ý, cắt m điểm Đánh số dây cung từ đến k + Ta bỏ dây cung tùy ý, chẳng hạn dây cung thứ k + Trong hình trịn cịn k dây cung cắt m1 điểm, theo giả thiết quy nạp, hình tròn chia thành k + m1 + phần Ta khôi phục lại dây cung thứ k + 1, nghĩa hình lúc gồm k + dây cung file://E:\Documents and Settings\DoanDanhTai\Local Settings\Temp\~hh895.htm 27/05/2008 Page 68 of 73 cắt m điểm Khi dây cung k + bị dây cung có số từ đến k chia cắt thành n – m1 + phần, nên hình trịn thêm m – m1 + phần Bởi số phần hình trịn chia n = k + dây cung k + m1 + + m – m1 + = k + + m + = n + m + Khẳng định chứng minh 4.4 Lời giải Ta sử dụng phương pháp quy nạp theo n đường tròn Bước sở: Với n = 1, mệnh đề hiển nhiên Bước quy nạp: Giả sử mệnh đề với k < n Bây ta phải chứng minh cho trường hợp n hình trịn Ta xét tập hợp G gồm n hình trịn phủ mặt phẳng diện tích S kí hiệu K hình trịn có bán kính lớn r Gọi S(K) diện tích hình trịn Nếu S(K) , mệnh đề với hình trịn K Trường hợp S(K) < : Mỗi hình trịn từ G có bán kính khơng lớn r, suy có điểm chung với K, phải nằm hình trịn đồng tâm với K, với bán kính 3r Vì diện tích hình trịn 9S(K), tập hợp G1 tất hình trịn có điểm chung với K , phủ phần mặt phẳng có diện tích khơng lớn 9S(K), suy nhỏ S, 9S(K) < S Khi có hình trịn G khơng có điểm chung với K Tất hình trịn tạo thành tập khác rỗng G2 = Với hình G\G1 phủ phần mặt phẳng với diện tích tròn G2 số lượng nhỏ n Theo giả thiết quy nạp tập hợp G2 chọn hình trịn đơi khơng giao tổng diện tích chúng không nhỏ , suy không nhỏ Hình trịn K khơng có điểm chung với hình trịn hình trịn ta xét G2 Thêm vào tập hợp hình xét hình trịn K, ta nhận tập hợp hình trịn đơi khơng giao nhau, mà tổng diện tích chúng khơng nhỏ 4.5 Lời giải Ta chứng minh phương pháp quy nạp Bước sở: Với n = khẳng định đúng, có ba điểm nối lại thành tam giác tô màu Bước quy nạp: Giả sử mệnh đề với n = k Cho ak+1 + thỏa mãn điều kiện toán O điểm Tất đoạn thẳng nối O với điểm lại ak+1 điểm ak+1 = (k+1)ak + Những đoạn tô màu nhiều k + màu khác Suy đoạn thẳng xuất phát từ O, có ak file://E:\Documents and Settings\DoanDanhTai\Local Settings\Temp\~hh895.htm 27/05/2008 Page 69 of 73 + đoạn thẳng tơ màu (ngun lí Đirichlê), ta cho màu đỏ Ta xét điểm nối đoạn thẳng không màu đỏ Nếu chúng có hai điểm Ai Aj nối đoạn màu đỏ, tam giác OAiAj màu đỏ Nếu cặp điểm nối đoạn thẳng khơng phải màu đỏ, ta có ak + điểm, đoạn thẳng chúng tô k màu Theo giả thiết quy nạp, ba điểm chúng đỉnh tam giác có cạnh màu Trả lời gợi ý giải tập chương 5.1 Lời giải Điều kiện toán biến đổi thành (an+1 – an) – (an – an-1) = Đặt ak – ak-1 = pk, từ đẳng thức suy pn = pn-1 + pn dãy số có hiệu hai số liên tiếp 1, pn = p2 + (n-2) Ta có an = (an – an-1) + (an-1 – an-2) + + (a2 – a1) a1 = pn + pn-1 + + p2 + a1 = (n – 1)p2 + (n – 2) + (n – 3) + + + a1 = (n – 1)(a2 – a1) + a1 + 5.2 Lời giải Ta chứng minh quy nạp Bước sở: Với n = 1, Vì nên Mặt khác, suy Mệnh đề với n = Bước quy nạp: Giả sử có cơng thức với n = k, file://E:\Documents and Settings\DoanDanhTai\Local Settings\Temp\~hh895.htm (20) Ta phải chứng minh công thức với (21) 27/05/2008 Page 70 of 73 Thật vậy, Thay giá trị giả thiết quy nạp vào ta có: Thay giá trị bk ak+1 tên vào , ta có 5.3 Lời giải Ta chứng minh phương pháp quy nạp Bước sở: Với n = 2, công thức cho thành đẳng thức đáng nhớ, Bước quy nạp: Ta kí hiệu S = chứng minh với n = k – 1, nghĩa Giả sử công thức Ta chứng minh , Thật vậy, 5.4 Lời giải Ta chứng minh công thức phương pháp quy nạp theo n file://E:\Documents and Settings\DoanDanhTai\Local Settings\Temp\~hh895.htm 27/05/2008 Page 71 of 73 Bước sở: Với n = 0, công thức đúng, với n = 1, công thức (chú ý: với n = ta định nghĩa, nên nhiều lấy làm sở không đúng) Bước quy nạp: Giả sử công thức với n = k, nghĩa Ta phải chứng minh cho n = k + 1, nghĩa Ta sử dụng cơng thức Ta có , ta dùng định nghĩa 5.5 Lời giải Ta chứng minh phương pháp quy nạp Bước sở: Với n = 1, công thức hiển nhiên Bước quy nạp: Giả sử công thức với n = k, Khi dùng cơng thức , Trả lời gợi ý giải tập ôn tập làm thêm file://E:\Documents and Settings\DoanDanhTai\Local Settings\Temp\~hh895.htm 27/05/2008 Page 72 of 73 6.1 Lời giải Sai lầm bước quy nạp ta công nhận điều: số nguyên tách thành tổng hai số nguyên nhỏ Điều không với n = 6.2 Lời giải Sai lầm bước quy nạp số hạng n cần hai số hạng trước đó, nên bước sở ta phải kiểm tra hai giá trị, ví dụ n = số trước 2, tổng khơng thể số chẵn 6.3 Lời giải Ta chứng minh quy nạp toán học theo n Bước sở: Với n = Giả sử gọi bốn người nhận tài liệu A1, A2, A3, A4 cần lần gọi qua điện thoại đủ: A1 A2 thông báo cho nội dung tài liệu mà giữ, A3 A4 Cuối A1 A3 ; A2 A4 thơng báo cho Mệnh đề với n = Bước quy nạp: Giả sử mệnh đề với n = k Ta chứng minh mệnh đề với n = k + Nghĩa với (k+1) người, cần 2(k + 1) – = 2k – lần gọi điện Đầu tiên, người thứ (k+1) gọi điện thoại thông báo cho người thứ Với k người đầu tiên, theo giả thiết quy nạp cần (2k – 4) lần gọi điện để thông báo cho biết tài liệu Cuối người thứ (k+1) gọi điện thoại cho người thứ Số lần gọi tổng cộng + (2k – 4) + = 2k + 6.4 Lời giải Bước sở: Với n = Có ba đồng xu Ta đặt hai đồng xu lên bên đĩa cân Nếu cân thăng bằng, đồng xu giả đồng xu cịn lại ngồi cân, cịn cân không cân bằng, đồng tiền giả nằm bên nhẹ Như lần cân, mệnh đề Bước quy nạp: Giả sử khẳng định toán với n – Bây ta có 3n đồng xu Ta chia làm ba nhóm then 3n-1 đồng xu đặt hai nhóm lên đĩa cân Nếu cân cân đồng xu giả nhóm thứ 3, cịn ngược lại nhóm dĩa cân nhẹ Và hai trường hợp khẳng định suy từ giả thiết quy nạp 6.5 Lời giải Bước sở: Với n = số Bước quy nạp: Giả sử n = k = k + 1, số số có số tận Ta chứng minh với n có số tận số Thật vậy, 7, nên tồn số nguyên dương m, để có số tận Từ suy Do Suy tận chữ số file://E:\Documents and Settings\DoanDanhTai\Local Settings\Temp\~hh895.htm 27/05/2008 Page 73 of 73 TÀI LIỆU THAM KHẢO Những sách có nhiều tập vấn đề liên quan khác quy nạp toán học Nguyễn Hữu Điển, Phương pháp quy nạp toán học, NXB GD 2000 (tái lần thứ 3) Nguyễn Hữu Điển, Những phương pháp điển hình giải tốn phổ thơng, NXB GD 2001 (tái lần thứ 2) Nguyễn Hữu Điển, Sáng tạo giải tốn phổ thơng, NXB GD 2003 (tái lần thứ 2) file://E:\Documents and Settings\DoanDanhTai\Local Settings\Temp\~hh895.htm 27/05/2008 ... chứng minh Phương pháp dùng ngun lí quy nạp tốn học để giải tốn, người ta gọi phương pháp quy nạp toán học Như vậy, phương pháp quy nạp toán học gồm hai bước, bước thứ ta kiểm tra mệnh đề có với... NGUYÊN LÍ QUY NẠP TỐN HỌC VÀ VÍ DỤ 1.1 Suy diễn quy nạp 1.2 Một số ví dụ suy luận quy nạp 1.3 Ngun lí quy nạp tốn học 1.4 Giai đoạn quy nạp giả thiết quy nạp 1.5 Bài tập NGUN LÍ QUY NẠP TỐN HỌC VÀ... PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC 2.1 Hai bước ngun lí quy nạp tốn học 2.2 Bước quy nạp xây dựng P(k) 2.3 Bước quy nạp xây dựng P(k+1) 2.4 Một số dạng khác ngun lí quy nạp tốn học 2.5 Bài tập Kĩ THUẬT DÙNG PHƯƠNG