CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

Chuyên đề này ta sẽ nghiên cứu cách suy luận quy nạp thế nào là đúng và áp dụng chính xác những suy luận này để giải các bài toán trong số học, đại số và hình học, .... Nguyên lí quy nạp

B THỜI GIAN THỰC HIỆN

Tổng thời gian thực hiện 15 tiết, mỗi bài 3 tiết tương ứng với nội dung

C NỘI DUNG

Bài 1 Nguyên lí quy nạp toán học và ví dụ

Từ những ví dụ cụ thể về cách suy luận diễn giải và quy nạp dẫn đến phát biểu nguyên lí quy nạp toán học Thông qua những ví dụ đơn giản làm rõ các thành phần của nguyên lí quy nạp toán học

Bài 2 Kĩ thuật chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

Khảo sát các khía cạnh sử dụng nguyên lí quy nạp toán học thông qua các vị dụ cụ thể

Bài 3 Các ứng dụng giải toán trong số học và đại số.

Những bài tập số học và đại số thường ứng dụng phương pháp quy nạp toán học như phép chia hết, biểu diễn số, tính tổng, đẳng thức, bất đẳng thức,

Bài 4 Quy nạp toán học trong hình học.

Những dạng toán hình học giải bằng phương pháp quy nạp toán học

Bài 5 Những vấn đề khác liên quan đến phương pháp quy nạp toán học.

Dùng những định nghĩa, hồi quy, theo suy luận quy nạp toán học

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

Nguyễn Hữu Điển

Khoa Toán - Cơ - Tin học, ĐHKHTN Hà NộiWeb: http://nhdien.net.ms, Email: huudien@vnu.edu.vn

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

Nguyễn Hữu Điển

Khoa Toán - Cơ - Tin học, ĐHKHTN Hà Nội

1 NGUYÊN LÍ QUY NẠP TOÁN HỌC VÀ VÍ DỤ

1.1 Suy diễn và quy nạp

1.2 Một số ví dụ suy luận quy nạp

1.3 Nguyên lí quy nạp toán học

1.4 Giai đoạn quy nạp và giả thiết quy nạp

1.5 Bài tập

1.1 Suy diễn và quy nạp

Trong lao động, học tập và sinh hoạt người ta phải suy luận và đánh giá những hoạt động của mình Thực tế có hai hướng chính để suy luận và đưa ra kết quả trước một vấn đề phải giải quyết Những suy

luận đó là suy diễn và quy nạp Suy diễn là áp đặt một vấn đề chung cho trường hợp cụ thể Cách suy

luận này diễn ra hàng ngày, hàng giờ xuất phát từ kinh nghiệm, văn hóa loài người Trong kho tàng ca dao và châm ngôn Việt Nam có rất nhiều mệnh đề chung như

Trông mặt mà bắt hình dong Con lợn có béo thì lòng mới ngon.

Như vậy, con lợn sắp làm thịt thấy nó béo suy ra lòng phải ngon Hay ví dụ trông một cơn mưa trên trời thì rơi vào những trường hợp:

Cơn đằng Đông vừa trông vừa chạy Cơn đằng Tây mưa dây bão dật Cơn đằng Nam vừa làm vừa chơi Cơn đằng Bắc đổ thóc ra phơi.

Hướng suy luận thứ hai là từ những khẳng định riêng tiến tới phát biểu khẳng định chung được

Web: http://nhdien.net.ms, Email: huudien@vnu.edu.vn

1 NGUYÊN LÍ QUY NẠP TOÁN HỌC VÀ VÍ DỤ

gọi là phép quy nạp Ta lấy ví dụ trong bài hát Quan Họ “Bèo dạt mây trôi”:

“ Một tin trông, hai tin đợi, ba, bốn tin chờ sao chẳng thấy em ”

Như vậy, người đợi chờ ở đây đã thực hiện 1, 2, 3, 4 lần nhắn tin mà người thương không thấy tin tức gì, phải chăng không bao giờ nhận được tin tức gì? phải chăng không bao giờ nhận được tin tức người thương nữa? Hay vì hoàn cảnh nào đó mà một thời gian sau mới nhận được tin nhắn! Bằng ví dụ đơn giản trên ta thấy rằng phép quy nạp có khi đúng, có khi sai Chuyên đề này ta sẽ nghiên cứu cách suy luận quy nạp thế nào là đúng và áp dụng chính xác những suy luận này để giải các bài toán trong số học, đại số và hình học,

1.2 Một số ví dụ suy luận quy nạp

Trước khi đi vào nguyên lí cụ thể ta xét một số ví dụ mà cách giải thực hiện từ trường hợp cụ thể tiến tới tổng quát hóa

Ví dụ 1 Chứng minh rằng tổng n số lẻ đầu tiên bằng n 2

Lời giải Ta biết rằng số lẻ thứ nhất là 1, số lẻ thứ hai là 3, số lẻ thứ ba là 5, như vậy

mối quan hệ giữa số lẻ thứ k và chính số lẻ đó là (2k-1) với k = 1, 2, 3, Ta kí hiệu Sn là tổng n số lẻ đầu tiên Ta tính một số giá trị đầu tiên của tổng này và so sánh với kết luận của bài toán:

Với n = 1, S1 = 1 = 12, kết luận của bài toán đúng;

Với n = 2, S2 = 1 + 3 = 12 + 2.1.1 + 1 = (1 + 1)2 = 22, kết luận đúng;

Với n = 3, S3 = 1 + 3 + 5 = 22 + 2.2.1 + 1 = (2 + 1)2= 32, kết luận đúng Ta có thể tiếp tục kiểm tra cho các trường hợp tiếp theo nữa, nhưng những số lẻ là vô cùng nhiều, không có khả năng kiểm tra hết được từng giá trị Có cách nào khác không để suy luận chỉ một số trường hợp mà nó đúng với mọi trường hợp? Ta thấy rằng những trường hợp ở giá trị sau đều có thể suy ra kết luận từ giá trị trước bằng mối quan hệ Sn = Sn-1 + 2n-1 Nếu đã tính được Sn-1 = (n-1)2 thì ta có Sn = Sn-1 + 2n – 1 = (n-1)2 + + 2n - 1= n2 Như vậy, cứ số trước đã có kết quả đúng thì số sau đúng, ta có n =3 kết luận đúng suy ra n =4 kết luận đúng, sau đó n =5, Suy ra mệnh đề đúng với mọi giá trị của n

Ví dụ 2 Cho một số đường thẳng chia mặt phẳng thành những miền khác nhau Chứng minh rằng ta có thể tô những miền này bằng hai màu trắng và đen sao cho những miền cạnh nhau (có chung một đoạn biên) có màu khác nhau.

1 NGUYÊN LÍ QUY NẠP TOÁN HỌC VÀ VÍ DỤ

Lời giải Chú ý không phải cách chia mặt phẳng thành những miền khác nhau nào

cũng tô được bằng hai màu thỏa mãn điều kiện bài toán, ví dụ như (h 1)

Nhưng chia mặt phẳng bằng những đường thẳng thì mệnh đề còn đúng Với một đường thẳng, bằng cách tô nửa mặt phẳng đen, còn nửa kia tô trắng (h 2)

Nếu cho hai đường thẳng thì từ hình 2 đặt thêm một đường thẳng nữa chia mặt phẳng thành bốn miền Dựa trên màu của trường hợp một đường thẳng, trên một nửa mặt phẳng của đường thẳng thứ hai, miền nào màu đen ta tô trắng và màu trắng ta tô đen cho hình 3

Nếu cho ba đường thẳng thì ta đặt đường thẳng thứ ba lên hình 3 cho ta hình 4 khi chưa tô màu lại

Nếu chọn miền trên là mầu đen thì hai phần

còn lại là màu trắng, điều này không thỏa mãn

điều kiện của bài toán Như vậy, chia mặt

phẳng bằng những nửa đường thẳng thì mệnh

Hình 1

Trên một nửa mặt phẳng của đường thẳng mới, miền nào màu trắng ta tô lại màu đen

và ngược lại, cuối cùng ta nhận được hình 5 Ta thấy rằng những miền cạnh nhau trong nửa mặt phẳng đổi màu hoặc nửa mặt phẳng không đổi màu khác màu nhau Còn những miền cạnh nhau có biên trên đường thẳng mới đặt vào theo cách đổi màu trên nửa mặt phẳng thì chúng cũng khác màu nhau

Bây giờ ta có thể lại thêm một đường mới vào hình 5 và quá trình tô màu lại lặp lại và cũng nhận được kết quả tô được màu cho các miền Như vậy nếu ta tô màu được theo giả thiết bài toán cho n đường thẳng thì n+1 đường thẳng cũng tô được theo cách làm trên Như vậy, với bất kì một số đường thẳng đã cho ta đều có thể thực hiện tô màu được theo giả thiết bài toán Bài toán đã được giải

Ví dụ 3 Cho 111 chia hết cho 3, số 111111111 chia hết cho 9, số 111 111 (27 chữ

số 1) cũng chia hết cho 27 Chứng minh rằng 111 111 (3 n chữ số 1) chia hết cho

3 n với mọi n.

Lời giải Ta có thể sử dụng dấu hiệu chia hết cho 3 và cho 9 (tổng các chữ số của một

số chia hết cho 3 thì số đó cũng chia hết cho 3, tương tự cho một số chia hết cho 9) Đơn giản hơn ta có thể kiểm tra trực tiếp 111 : 3 =37 và 111111111 : 9 =12345679.Bằng cách chia trực tiếp số có 27 chữ số 1 chia cho 27 nhận được kết quả chia hết, nhưng dấu hiệu chia hết cho 27 không có (ví dụ số 1899 có tổng 27 nhưng không chia hết cho 27) Ta không thể đi chia trực tiếp số có 3n chữ số 1 cho 3n với n = 4, 5, xem chúng có chia hết cho nhau không? Từ kinh nghiệm của hai ví dụ trước ta đi tìm cách chứng minh mệnh đề ở bước n, ta phải tìm cách chứng minh nó được suy ra từ bước n-1 trước đó đã có kết quả đúng rồi

Ta xét số 111111111, số này chia hết cho 9 Ta có thể kiểm tra nó cũng chia hết cho 111, có kết quả 111111111 = 111 1001001 Ta thấy các thừa số trong tích trên chia hết cho 3 (do tiêu chuẩn chia hết cho 3) Do đó tích của hai thừa số trên chia hết cho 9

Quy trình trên áp dụng cho số 1111 111 (27 chữ số 1), số này chia hết cho

111111111 Thương của phép chia này chỉ có ba chữ số 1 và các chữ số còn lại bằng 0 (kết quả là số thương có hai nhóm 8 chữ số 0, còn số ở giữa và hai đầu đều là số 1) Biết rằng số 111111111 chia hết cho 9 Còn số 10 010 01 chia hết cho 3 (vì tổng

Ak-1

A3

các chữ số chia hết cho 3) Do số có 27 chữ số 1 bằng tích của hai số, mà một số chia hết cho 9 và một số chia hết cho 3 suy ra nó chia hết cho 27.

Tiếp tục với một số có 81 =3.3.3.3 chữ số 1 là tích của số có 27 chữ số 1 và số có

ba chữ số 1 và các số còn lại là chữ số 0 Thừa số thứ nhất chia hết cho 27, thừa số thứ hai chia hết cho 3 Suy ra số có 81 chữ số 1 chia hết cho 3.27=81=34

Bằng cách hoàn toàn tương tự ta cũng chứng minh được một số có 81.3=243 chữ

số 1 cũng chia hết cho 35 Ta cũng có thể chứng minh với số n mệnh đề đã đúng suy

ra với n+1 vẫn còn đúng, suy ra mệnh đề đúng với mọi n = 3, 4, 5, 6, Bài toán đã được giải

Ví dụ 4 Chứng minh rằng với mọi số nguyên đồng (tiền Việt Nam) lớn hơn 6 có thể đổi ra tiền lẻ không dư bằng những đồng tiền gồm những tờ 2 đồng và 5 đồng (1 đồng ở đây bằng 1000 đồng trong thực tế).

1 NGUYÊN LÍ QUY NẠP TOÁN HỌC VÀ VÍ DỤ

1.3 Nguyên lí quy nạp toán học

Những ví dụ trên cho ta thấy rằng mỗi bài toán là một mệnh đề đúng hoặc sai Mỗi mệnh đề như vậy lại phụ thuộc vào một biến số tự nhiên n Một cách tổng quát ta kí hiệu P(n) là mệnh đề toán học phụ thuộc vào n, với n là số tự nhiên Như vậy, thực chất của các ví dụ đã xét là chứng minh dãy mệnh đề sau đúng (hoặc sai)

P(1), P(2), P(3), , P(n),

Một số bài toán phát biểu dưới dạng: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, P(n)

đúng Như vậy, những bài toán loại này đều liên quan tới tập số tự nhiên Một tính chất

số tự nhiên người ta công nhận như một tiên đề và thường gọi là tiên đề thứ tự

Tiên đề thứ tự: Trong mọi tập khác rỗng của số tự nhiên có phần tử nhỏ nhất.

Cho mỗi số tự nhiên n ứng với một khẳng định P(n) Đáng lẽ ta phải đi kiểm tra vô hạn các mệnh đề, thì người ta sử dụng nguyên lí quy nạp toán học sau đây là đủ:

Định lí 1 (Nguyên lí quy nạp toán học) Cho n 0 là một số nguyên dương và P(n) là một mệnh đề có nghĩa với mọi số tự nhiên n n 0 Nếu

(1) P(n0) là đúng và

(2) Nếu P(k) đúng, thì P(k+1) cũng đúng với mọi số tự nhiên k n0;

thì mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên n n 0

Chứng minh Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng Giả sử ngược lại, mệnh đề khẳng

định P(n) trong định lí 1 không đúng với một số tự nhiên n n0 nào đó Nghĩa là tồn tại một số tự nhiên m n0 , mà P(m) không đúng Ta lấy số tự nhiên nhỏ nhất m mà P(m) không đúng (điều này thực hiện được do tiên đề thứ tự) Theo điều kiện (1) ta có bất đẳng thức m > n0, từ đó suy ra m – 1 n0 Từ bất đẳng thức vừa lập và cách chọn số tự nhiên

m suy ra P(m – 1) là đúng, nhưng nó không kéo theo được P(m) đúng cho số tiếp theo vì

m = (m – 1) + 1 Điều này trái với giả thiết (2) Như vậy, điều giả sử là sai và định lí được chứng minh

Phương pháp dùng nguyên lí quy nạp toán học để giải toán, người ta gọi là phương

pháp quy nạp toán học Như vậy, phương pháp quy nạp toán học gồm hai bước, bước thứ

nhất ta kiểm tra mệnh đề có đúng với

n = n0, gọi là bước cơ sở Nghĩa là kiểm tra P(n0) có đúng không? Nếu bước cơ sở đúng thì ta chuyển sang bước thứ hai chứng minh rằng nếu với mỗi k n0 , P(k) là mệnh đề

đúng, thì suy ra P(k+1) cũng đúng, bước này gọi là bước quy nạp Kết luận là P(n) đúng

với mọi n n 0

Cách chứng minh theo phương pháp quy nạp toán học là tránh cho ta phải đi kiểm tra

vô hạn bước các khẳng định của mệnh đề Vì mệnh đề của bài toán có thể phụ thuộc vào

nhiều đối số, nên người ta thường phải nói rõ chứng minh quy nạp theo n đối với mệnh

đề phụ thuộc vào n Ta xét lại những ví dụ đã xét:

Ví dụ 1 Mệnh đề trong bài này là P(n) = {Tổng n số lẻ đầu tiên bằng n2} Trong cách giải ở trên với n= 1, 2, 3 mệnh đề đúng và ta cũng chứng minh được P(k) đúng suy ra P(k+1) cũng đúng Vậy suy ra P(n) đúng với mọi n 1

Ví dụ 2 Mệnh đề trong ví dụ này là P(n) = {Cho n đường thẳng chia mặt phẳng

thành các miền khác nhau Có thể tô màu trên các vùng bằng hai màu đen và trắng sao cho hai miền cạnh nhau có màu khác nhau không?}, ở đây n là số đường thẳng trên mặt phẳng Lời giải của bài toán này thấy P(1) là mệnh đề đúng, ta cũng thấy từ mệnh đề P(1) suy ra P(2) đúng và từ P(2) suy ra P(3) đúng, và lí luận hoàn toàn tương tự, P(k) đã đúng suy ra P(k+1) cũng đúng bằng cách đổi màu cho nửa mặt phẳng của đường thẳng cuối cùng ta đặt vào Suy ra theo nguyên lí quy nạp toán học P(n) đúng với mọi n 1

Ví dụ 3 Mệnh đề trong ví dụ này là P(n) = {Số có 3n chữ số 1 chia hết cho 3n}, ở đây n là số tự nhiên Theo lời giải của bài toán thì

Ví dụ 4 Bài toán này có mệnh đề P(n) = {Với n 7 đồng, có thể đổi n ra thành

những đồng tiền 2 đồng và 5 đồng không?}, ở đây n là số tự nhiên Ta chú ý giá trị ban đầu ở ví dụ này bắt đầu n0 = 7 Lời giải của bài toán này cho ta thấy với n = 7 và 8 mệnh

đề đúng, sau đó cộng 2 vào ta nhận được n = 9; 10 và cứ tiếp tục như vậy Ví dụ này cần hai giá trị ban đầu và bước quy nạp cũng giả thiết đúng hai giá trị phía trước để suy ra mệnh đề đúng ở bước sau Cụ thể vấn đề này sẽ được nghiên cứu trong định lí 2 và định

1.4 Giai đoạn quy nạp và giả thiết quy nạp

Phương pháp quy nạp toán học được áp dụng không những trong toán học mà còn

ở các ngành khác như Vật lí, Hóa học, Sinh vật, nguyên nhân là từ những thí nghiệm hoặc thực nghiệm cụ thể người ta muốn tổng quát hóa và rút ra quy luật chung Khi từ thực nghiệm họ đã rút ra công thức chung, quy luật chung, để chứng minh tính đúng đắn của chúng họ thường dùng phương pháp quy nạp toán học Ta lấy một ví dụ cụ thể

Biểu thức trên được gọi là giả thiết quy nạp Muốn chắc chắn công thức này đúng ta

phải chứng minh bằng phương pháp quy nạp thông qua hai bước:

1. Bước cơ sở: Với n = 1 công thức (1) đúng như cách tính ở trên.

2. Bước quy nạp: Giả sử n = k, P(k) đúng, nghĩa là đã có

P(k) = Ta phải chứng minh (1) cũng đúng cho n = k + 1 Thật vậy,

Lời giải Ta đặt công thức S(n) = 13 + 23 + 33 + + n3 Ta cũng đi tính một số giá trị ban đầu:

Nhìn vào bảng trên ta khó có thể tìm ra quy luật cho S(n) Nhưng với kinh nghiệm

và những kết quả đã tính ở bài trước ta gép lại

Từ bảng này ta thấy rằng có lẽ S(n) = (P(n))2 : 1 = 12, 9 = 32, 36 = 62 ,

Mà công thức P(n) ta đã biết, vậy công thức cho giả thiết quy nạp là

S(n) = 13 + 23 + 33 + + n3 = (2)Chứng minh công thức (2) bằng phương pháp quy nạp theo n:

1. Bước cơ sở: Với n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 công thức (2) đúng theo bảng trên.

2. Bước quy nạp: Giả sử (2) đúng với n = k, ta phải chứng minh (2) cũng đúng với n =

Bước cơ sở: Với n = 1, công thức (3) đúng như đã kiểm tra ở trên.

Bước quy nạp: Giả sử (3) đúng với n = k nào đó Khi đó

2 Kĩ THUẬT DÙNG PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

2.1 Hai bước của nguyên lí quy nạp toán học

2.2 Bước quy nạp được xây dựng trên P(k)

2.3 Bước quy nạp được xây dựng trên P(k+1)

2.4 Một số dạng khác của nguyên lí quy nạp toán học

2.5 Bài tập

2.1 Hai bước của nguyên lí quy nạp toán học

Nguyên lí quy nạp toán học gồm hai phần, việc kiểm tra cả hai phần cần được tôn trọng và thực hiện đầy đủ khi áp dụng nguyên lí Nếu bỏ đi một trong hai điều kiện kiểm tra đó thì sẽ nhận được kết luận sai Ta lấy một vài phản ví dụ

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

Nguyễn Hữu Điển

Khoa Toán - Cơ - Tin học, ĐHKHTN Hà NộiWeb: http://nhdien.net.ms, Email: huudien@vnu.edu.vn

2 Kĩ THUẬT DÙNG PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

Ví dụ 9 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n bất đẳng thức sau đúng:

(4)

Lời giải Giả thiết bất đẳng thức (4) đúng với n = k, với k là một số tự nhiên nào đó Nghĩa là ta có

(5)

Ta chứng minh bất đẳng thức (4) đúng với n = k + 1

(6)Thật vậy, 2k là một số không nhỏ hơn 2 với mọi số tự nhiên k khác 0 Ta cộng vế trái của (4) với 2k và cộng vế phải của (4) với 2 Ta nhận được

= k suy ra nó đúng với n = k + 1 (điều kiện thứ hai của định lí 1) Vì vậy theo nguyên lí quy nạp toán học ta có kết luận: Bất đẳng thức (4) đúng với mọi n 3 (chứ không với mọi số tự nhiên n)

Như vậy giá trị ban đầu của các bài toán chứng minh phụ thuộc vào từng bài toán

cụ thể và phải kiểm tra bước cơ sở Sau đây ta có một phản ví dụ khi không kiểm tra bước cơ sở thì hậu quả dẫn đến chứng minh sai

Ví dụ 10 Chứng minh rằng mọi số tự nhiên đều bằng số tự nhiên liền sau đó.

Lời giải Ta chứng minh theo phương pháp quy nạp toán học, Giả sử mệnh đề đúng với

với tự nhiên n = k nào đó, nghĩa là ta có

Phản ví dụ trên khi chưa kiểm tra điều kiện ban đầu thì không có cơ sở để thực hiện quy nạp, vì vậy không có nghĩa gì khi thực hiện kiểm tra phần quy nạp

Ngược lại, khi áp dụng phương pháp quy nạp mà chỉ chứng minh được một số điều kiện ban đầu, mà bỏ qua phần quy nạp thì mới chỉ đưa ra được cơ sở chứ chưa có nguyên tắc nào để mở rộng cơ sở đó Ta xét ví dụ

cho đến giá trị n = 40, tất cả giá trị này đề là số nguyên tố Nhưng với n = 41 ta có f(41) =

412 – 41 + 41 = 412 Kết quả f(41) không phải là số nguyên tố, nên kết luận của bài toán

là không đúng

Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học cần thiết thức hiện hai bước như phân tích ở phần trên Nhưng khó khăn chủ yếu là trong bước quy nạp toán học là

khi mệnh đề giả sử đã đúng cho P(k) phải chứng minh cho P(k+1) Thường người

ta tìm mối liên hệ giữa P(k) và P(k+1) để suy ra kết quả phải chứng minh

2.2 Bước quy nạp được xây dựng trên P(k)

Trong phần này ta xét khả năng biến đổi quy nạp trực tiếp từ khẳng định đúng P(k) sang khẳng định đúng P(k+1)

Ví dụ 12 Chứng minh rằng

1 + 4 + + n 2 = , (8)

với mọi n 1

Lời giải Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp theo n Kí hiệu tổng bình phương

của các số tự nhiên đầu tiên là P(n)

1. Bước cơ sở: 1 = , công thức (8) đúng

2. Bước quy nạp: Giả sử (8) đúng với n = k, P(k) = Khi đó

Ví dụ 13 Ta xét tập hợp những phân số có tử số là 1 và mẫu số là những số tự nhiên

lớn hơn 1: Chứng minh rằng với mọi n 3 có thể biểu diễn 1 thành dạng tổng n phân số khác nhau trong tập hợp trên

Ví dụ như n = 3, ta có thể viết

2 Kĩ THUẬT DÙNG PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

Lời giải Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học

1. Bước cơ sở: Với n = 3 Mệnh đề đúng như ví dụ trên

2. Bước quy nạp: Giả sử mệnh đề đúng với n – 1, nghĩa là với n – 1 phân số khác

2.3 Bước quy nạp được xây dựng trên P(k+1)

Bước quy nạp toán học cần khẳng định P(k+1) suy ra từ P(k) Nhưng nhiều khi việc biến đổi trực tiếp từ P(k) sang P(k+1) gặp rất nhiều khó khăn hoặc không có hướng chính xác để biến đổi Khi đó ta phải làm ngược lại để biểu diễn P(k+1) thành những mệnh đề P(k) và tiến hành quy nạp

zn+1 = 32n+3 + 40n – 67

= 9(32n+1 + 40n – 67) – 320n + 576

2 Kĩ THUẬT DÙNG PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

= 9.zn– 64(5n – 9)

Vế phải của đẳng thức sau cùng chia hết cho 64, vậy với n+1 mệnh đề vẫn đúng Do đó

theo nguyên lí quy nạp toán học bài toán đúng với mọi n không âm

Ví dụ 15 CM rằng là số nguyên với n = 0, 1, 2,

Lời giải Bước cơ sở: Mệnh đề đúng với n = 0

Ta cần phải chứng minh nó đúng với n = k + 1, nghĩa là chứng minh

là số nguyên Khai triển biểu thức trên

ra tổng của chúng là số nguyên Như vậy ta chứng

minh P(k+1) cũng đúng Theo nguyên lí quy nạp toán học bài toán đúng với mọi n

Ví dụ 16 Với mọi x trong 0 x , chứng minh rằng |sin nx | n sin x, ở đây n là số

nguyên không âm

Lời giải Bước cơ sở: Với n = 1 bất đẳng thức đúng là hiển nhiên

Bước quy nạp: Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k: |sin kx | k sin x Ta cần chứng minh

bất đẳng thức đúng với n = k + 1 Ta xét

|sin (k+1)x | = |sin (kx+x) | = | sin (kx) cos x + cos (kx) sin x|

= | sin (kx) cos x| + |cos (kx) sin x|

= | sin (kx)| |cos x| + |cos (kx)| |sin x|

|k sin x| + |sin x| (k+1) sin x

Những bất đẳng thức trên suy ra bởi 0 x , nên sin x 0 và

|cos kx | 1 Như vậy ta chứng minh được bất đẳng thức đúng cho

n = k + 1 Suy ra nó đúng với mọi n 1

2.4 Một số dạng khác của nguyên lí quy nạp toán học

Điều kiện thứ nhất trong nguyên lí quy nạp toán học cho ta cơ sở mở rộng bắt đầu

từ giá trị n0 Điều kiện thứ hai cho ta mệnh đề khẳng định P(n) đúng với n0 + 1, n0+ 2, Thực tế nhiều khi trong bước quy nạp phải đòi hỏi hai giá trị n = k – 1 và n = k của mệnh

đề trước suy ra đúng với n = k + 1 Trong trường hợp này bước cơ sở phải kiểm tra không những chỉ với n0, mà cả n0 + 1 Tổng quát hơn ta có định lí sau:

Định lí 2 Cho p là số nguyên dương và dãy các mệnh đề

thì mệnh đề P(n) đúng với mọi số nguyên dương n

Đây là một dạng đặc biệt của nguyên lí quy nạp toán học Chứng minh định lí này tương tự như định lí 1 Ta không chứng minh ở đây mà chỉ áp dụng nó cho những ví dụ sau:

Ví dụ 17 Cho v0 = 2, v 1 = 3 và với mỗi số tự nhiên k có đẳng thức sau

v k+1 = 3v k – 2v k-1 Chứng minh rằng vn = 2 n + 1.

Lời giải Bước cơ sở: Với n = 0 và n = 1 công thức của bài toán cho kết quả đúng

Bước quy nạp: Giả sử công thức đã đúng cho n = k và n = k – 1, nghĩa là

vk = 2k + 1 và vk-1 = 2k-1 + 1, khi đó

2 Kĩ THUẬT DÙNG PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

vk+1 = 3(2k + 1)-2(2k-1 + 1) = 2k+1 + 1

Theo định lí 1 với p =2, suy ra vn = 2n + 1 đúng với mọi số tự nhiên n

Ví dụ 18 Cho x 1 và x 2 là nghiệm của phương trình x 2 – 27x + 14 = 0 và n là số tự nhiên

Lời giải Theo công thức Viet x1 + x2 = 27 và x1x2 = 14

Ví dụ 19 Chứng minh rằng số là số nguyên dương thì cũng là số nguyên với mọi số tự nhiên dương n

Lời giải Bước cơ sở: Khi n = 1 mệnh đề hiển nhiên đúng

biểu diễn các số nguyên Vậy cũng là số nguyên

Bước quy nạp: Giả sử mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên k, mà 2 k < n Nghĩa là với

mọi số 2 k < n đều biểu diễn dưới dạng tích của của các thừa số nguyên tố Ta xét hai trường hợp:

1. Nếu n là số nguyên tố thì mệnh đề đúng;

2. Nếu n là hợp số thì theo định nghĩa hợp số, tồn tại hai số nguyên

n1 < n và n2 < n sao cho n = n1.n2 Theo giả thiết quy nạp n1 và n2 đều biểu diễn được thành tích các số nguyên tố Do đó suy ra n cũng biểu diễn được thành tích các

2 Kĩ THUẬT DÙNG PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

3 QUY NẠP TOÁN HỌC TRONG SỐ HỌC VÀ ĐẠI SỐ

Người ta còn chứng minh được rằng nguyên lí quy nạp toán học tương đương với tiên đề thứ tự Tiên đề thứ tự là cơ sở xây dựng nên số học phổ thông, nên nguyên lí quy nạp toán học có rất nhiều ứng dụng trong việc giải các bài toán số học và đại số

3.1 Bài toán phép chia hết và tính chất các số

3.2 Biểu diễn số theo cơ số

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

Nguyễn Hữu Điển

Khoa Toán - Cơ - Tin học, ĐHKHTN Hà NộiWeb: http://nhdien.net.ms, Email: huudien@vnu.edu.vn

3 QUY NẠP TOÁN HỌC TRONG SỐ HỌC VÀ ĐẠI SỐ

Ví dụ 21 Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên khác 0 thì n 3 + 11n chia hết cho 6.

Lời giải Bước cơ sở: Với n = 1, mệnh đề đúng

chứng minh (k+1)3 + 11(k+1) cũng chia hết cho 6 Thật vậy, (k+1)3 + 11(k+1) = (k3 + 11k) + 12 + 3k(k+1) Trong hai số tự nhiên liên tiếp k và k + 1 nhất định phải có một số chẵn, vậy k(k+1) chia hết cho 2, suy ra 3k(k + 1) chia hết cho 6 Từ đó suy ra (k3 + 11k) + 12 + 3k(k+1) chia hết cho 6 Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học n3 + 11n chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên n khác 0

Ví dụ 22 Chứng minh rằng với số n nguyên dương Cn = 7 n + 3n – 1 chia hết cho 9.

Lời giải Bước cơ sở: Nếu n =1, thì C1 = 7 + 3 – 1 = 9 chia hết cho 9

Lời giải Bước cơ sở: Với n = 1, ta có S1 = 1 + 1 = 2 chia hết cho 21 = 2

Bước quy nạp: Giả sử mệnh đề đúng với n = k, nghĩa là

Sk = (k + 1)(k + 2) (k + k) chia hết cho 2k, ta phải chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1 Thật vậy,

Sk+1 = (k + 2)(k + 3) [(k+1) + (k+1)]= 2(k + 1)(k + 2) (k + k) = 2Sk

Theo giả thiết quy nạp Sk chia hết cho 2k, suy ra Sk+1 chia hết cho 2k+1

Theo nguyên lí quy nạp toán học Sn chia hết 2n với mọi n nguyên dương

3.2 Biểu diễn số theo cơ số

Một số bài toán liên quan tới biểu diễn theo cơ số và tính chất của chúng

3 QUY NẠP TOÁN HỌC TRONG SỐ HỌC VÀ ĐẠI SỐ

Ví dụ 24 Chứng minh rằng

Lời giải Đặt vế trái của đẳng thức trên là Sn

Lời giải Một cách tổng quát kí hiệu Sn là tổng sau n lần thao tác Ta có thể liệt kê bảng sau:

Ta có thể tính thêm một bước nữa với n = 4, ta có

1.5.4.7.3.2.7.5.8.3.7.4.5.1 Những số này có tổng S4 = 82 Ta muốn tìm ra quy luật mà không phải viết các số lên bảng Ta xét xem tổng một bước có nhận được từ tổng bước trước đó không? Ta phân tích số bước hiện thời thành những số của bước trước ví dụ 1.3.2.3.1 ta có thể viết số tiếp theo thành 1.1 + 3.3.3 + 2.2.2 + 3.3.3 + 1.1 và thấy rằng mỗi số cũ (trừ hai số ở đầu và cuối) thành tổng 3 lần Vì thế S3 = 3S2 – 2 (do hai đầu thừa ra 2 số 1) Ta có thể kiểm tra

S5 =3S4 –2 =244 và công thức tổng quát là Sn = 3Sn-1 –2 Từ công thức này đưa ra giả thiết quy nạp

Sn = 3n + 1

Ta chứng minh công thức này bằng phương pháp quy nạp toán học

Bước cơ sở: Xem lại bảng với n = 0, 1, 2, 3 công thức trên đều đúng

Lời giải Lấy số b > 1 và áp dụng phương pháp quy nạp toán học

= c0

Bước quy nạp: Giả sử biểu diễn (7) đúng với mọi số tự nhiên k nhỏ hơn n Theo định lí

cơ bản của số học, với n và b có thể tìm được số nguyên không âm n1 và r sao cho

1. Nếu n1 = 0, thì n = r, công thức (7) tương ứng với biểu diễn

s = 0, c0 = r

2. Nếu n1 1 thì 1 n1 < n, theo giả thiết quy nạp biểu diễn (7) đúng với mọi số tự nhiên k n nghĩa là với n1 ta có

, với một số t nào đó và 0 ri b – 1 (i = 0, 1, , t); rt >0 Khi đó

, nghĩa là biểu diễn (7) tương ứng với s = t + 1, cs = rt, , c1 = r0,c0 = r

Như vậy biểu diến (7) đúng cho tất cả số tự nhiên

Bước quy nạp: Giả sử công thức đúng với n = k, nghĩa là

Sk= Ta phải chứng minh công thức đúng với n = k + 1, thật vậy,

Đẳng thức đúng với n = k + 1 Theo nguyên lí quy nạp toán học nó đúng với mọi số tự nhiên dương

Ví dụ 28 Tính tổng

Lời giải Ta có , , Ta đưa ra giả thiết

Ta sẽ chứng minh công thức này bằng phương pháp quy nạp

Bước cơ sở: Với n = 1, 2 như đã thiết lập ở trên

minh nó cũng đúng cho n = k + 1, thật vậy

với mọi số tự nhiên n 2

Lời giải Bước cơ sở: Với n = 2, công thức (8) là hằng đẳng thức đáng nhớ

Bước quy nạp: Giả sử (8) đúng với n = k – 1, nghĩa là

,

ở đây S tổng tất cả khả năng từng đôi của dãy a 1 , a 2 , , a k-1 Ta phải chứng minh

Lời giải Đặt m = n + 9, ta phải chứng minh

với n 1 Ta chứng minh bằng quy nạp toán học

chứng minh công thức đúng với n = k + 1, nghĩa là

Lời giải Đặt vế trái của bất đẳng thức bằng Sn

Bước cơ sở: Nếu n = 2 thì

Bước quy nạp: Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k , nghĩa là

Ta cần chứng minh nó cũng đúng với n = k + 1 Thật vậy,

3 QUY NẠP TOÁN HỌC TRONG SỐ HỌC VÀ ĐẠI SỐ

3.5 Quy nạp toán học và dãy số

Dãy số ta đã biết là cấp số cộng và cấp số nhân, những công thức tính tổng và số

hạng tổng quát của các dãy này đều có thể chứng minh bằng phương pháp quy nạp Tiết

này ta quan tâm tới dãy u0, u1, được cho bởi công thức un+2 = un+1 + un với n = 1, 2,

và u1 =1; u2 = 1 Cụ thể là 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, dãy số này gọi là dãy Phibônaxi

Dãy số này có nhiều ứng dụng và tính chất hay, ta xét một số tính chất

Lời giải Dùng phương pháp quy nạp chứng minh theo n

Bước cơ sở: Với n=2 đẳng thức đúng vì từ định nghĩa ta có

3 QUY NẠP TOÁN HỌC TRONG SỐ HỌC VÀ ĐẠI SỐ

đúng với số tự nhiên bất kì n > 1 và với mọi m = 1, 2,

Lời giải Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp theo m

Ta phải chứng minh (11) đúng cho m = k + 1 Thật vậy, cộng hai vế của các công thức trên ta có

Sử dụng định nghĩa của dãy Phibônaxi suy ra công thức (11) với m = k + 1 Theo nguyên

lí quy nạp toán học (11) đúng với mọi m nguyên dương và n số tự nhiên dương bất kì

Ví dụ 35 Chứng minh rằng nếu n chia hết cho m thì u n chia hết cho u m

Lời giải Vì n chia hết cho m nên ta có thể viết n = mk Ta sẽ chứng minh khẳng định trên

bằng quy nạp theo k

Bước cơ sở: Với k = 1, khi đó n = m, như vậy un chia hết cho um

Bước quy nạp: Giả sử umk chia hết cho um Ta xét um(k+1)

Nhưng um(k+1) = umk+m và theo công thức bài trước ta có

Số hạng thứ nhất có chứa um nên nó chia hết cho um, còn số hạng thứ hai theo giả thiết quy nạp umk chia hết cho um Như vậy, tổng của hai số hạng chia hết cho um, suy ra um(k+1) chia hết cho um

c) a4n+1 – a chia hết cho 30, với a là số nguyên

3.2. Chứng minh rằng tổng lập phương của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 9 3.3. Chứng minh đẳng thức

3 QUY NẠP TOÁN HỌC TRONG SỐ HỌC VÀ ĐẠI SỐ

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

Nguyễn Hữu Điển

Khoa Toán - Cơ - Tin học, ĐHKHTN Hà Nội

4 QUY NẠP TOÁN HỌC TRONG HÌNH HỌC

Nhiều bài toán hình học được gải bằng phương pháp quy nạp toán học, nhất là trong lĩnh vực hình học tổ hợp Những bài toán liên quan số lượng điểm, đường thẳng, độ lớn góc, các đa giác lồi, Ta nhắc lại một đa giác lồi là mọi đường thẳng đi qua bất kì cạnh nào của nó cũng để đa giác về một nửa mặt phẳng

Lời giải Rõ ràng với n = 1, thì một đường thẳng chia mặt phẳng thành 2 miền Với n = 2,

hai đường thẳng giao nhau chia mặt phẳng thành 4 miền Với n = 3, ba đường thẳng đi qua một điểm trên mặt phẳng chia mặt phẳng thành 6 miền, Ta có thể giả thiết số miền được chia ra bởi n đường thẳng là 2n Ta chứng minh bằng quy nạp giả thiết trên:

Bước cơ sở: Với n = 1 mệnh đề khẳng định đúng, vì một đường thẳng chia mặt phẳng

thành hai phần

Bước quy nạp: Giả sử mệnh đề đúng với số n = k, nghĩa là k đường thẳng khác nhau đi

qua một điểm chia mặt phẳng ra thành 2k miền Để chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1 đường thẳng, ta chú ý rằng nếu dựng đường thẳng đi qua điểm đã cho và không trùng với đường thẳng nào trong số những đường thẳng còn lại, thì chúng ta nhận thêm 2 miền của mặt phẳng Như vậy số miền của 2k cộng thêm 2, nghĩa là 2(k+1) Suy ra mệnh đề đúng với n = k + 1

Web: http://nhdien.net.ms, Email: huudien@vnu.edu.vn

4 QUY NẠP TOÁN HỌC TRONG HÌNH HỌC

Nếu n = 4 thì rõ ràng tứ giác chỉ có thể chia thành hai tam giác: 4 – 2 = 2 Ta có thể đưa

ra giả thiết số tam giác chia bởi đường chéo không giao nhau là Sn = n – 2 Ta chứng minh giả thiết này bằng phương pháp quy nạp

Bước cơ sở: Với n = 3; 4 công thức đúng

Bước quy nạp: Giả sử công thức đúng với n = k, nghĩa là đa giác lồi k cạnh có thể chia

thành Sk = k – 2 tam giác Ta cần chứng minh mệnh đề

giác (k+1) có thể chi thành Sk+1 = k –1

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đa giác lồi n cạnh chia bằng đường chéo không giao nhau thành Sn = n – 2 tam giác

Ví dụ 38 Tính tổng các góc trong của n-giác lồi bất kì

Lời giải Ta xét một số trường hợp ban đầu để tìm ra công thức Kí hiệu Tn là tổng góc trong của n-giác lồi Với n = 3, tổng góc trong là

T3 = 1800 = (3-2)1800 Với n = 4, tổng của góc trong của tứ giác lồi bằng 2 lần tổng góc một tam giác: T4 = 3600 = (4 – 2)1800 Từ hai trường hợp trên ta có thể giả thiết công thức phải tìm là Tn = (n – 2) 1800

Ta chứng minh công thức bằng phương pháp quy nạp

Bước cơ sở: Với n = 3, công thức đúng như tính toán trên

Bước quy nạp: Giả sử công thức đúng cho tất cả k-giác, với k < n, ta phải chứng minh

mệnh đề cũng đúng cho n-giác Ta có thể chia n-giác bằng một đường chéo thành ra hai

đúng cho n = k + 1 Thật vậy, kẻ đường

chéo A1Ak của đa giác A1A2 AkAk+1

có k + 1 cạnh (h 6)

Vì đa giác A1A2 Ak có thể chia thành

(k-2) tam giác theo giả thiết quy nạp

Do có thêm tam giác A1AkAk+1 nên đa

Hình 6

đa giác Nếu số cạnh của một đa giác là k+1, thì số cạnh của đa giác kia là n – k + 1, hơn nữa cả hai số này đều nhỏ hơn n Theo giả thiết quy nạp tổng các góc của hai đa giác này lần lượt là (k-1)1800 và (n-k-1)1800 Tổng các góc của n-giác bằng tổng các góc của hai

đa giác trên, nghĩa là (k – 1 + n - k – 1)1800= (n-2)1800

Suy ra mệnh đề đúng với mọi n 3

4.2 Chứng minh bằng quy nạp

Ví dụ 39 Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh bằng

Lời giải Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp

ta cần chứng minh mệnh đề đúng với đa giác lồi n = k +1 cạnh có số đường chéo là Sk+1

=

Thật vậy, giả sử A1A2 AkAk+1 là đa giác lồi k + 1 cạnh Trong tam giác ta kẻ đường chéo A1Ak Để đếm hết được các đường chéo trong đa giác

k + 1 cạnh ta cần phải đếm số đường chéo trong đa giác k cạnh A1A2 Ak và thêm vào

đó số đường chéo thu được từ k – 2 đường chéo nữa, tức là số đường chéo của đa giác k + 1 cạnh A1A2 Ak+1 xuất phát từ đỉnh Ak+1, ngoài ra cần tính đến đường chéo A1Ak Như vậy,

Ví dụ 40 Trong mặt mặt phẳng cho n điểm rời nhau (n > 2) tất cả không nằm trên một đường thẳng Chứng minh rằng tất cả các đường thẳng nối hai điểm trong các điểm đã cho tạo ra số đường thẳng khác nhau không nhỏ hơn n

Lời giải Bước cơ sở: Với n = 3 điểm, mệnh đề hiển nhiên đúng: Ba điểm không nằm trên

một đường thẳng nối từng đôi với nhau tạo ra ba đường thẳng khác nhau

Bước quy nạp: Giả sử mệnh đề đúng với n = k 3 điểm Ta chứng minh nó cũng đúng

4 QUY NẠP TOÁN HỌC TRONG HÌNH HỌC

cho n = k + 1 điểm Ta có thể chứng minh rằng tồn tại ít nhất một đường thẳng chỉ chứa

có hai điểm Ta kí hiệu đường thẳng đi qua hai điểm An và An+1 là AnAn+1 Nếu những điểm A1, A2, , An nằm trên một đường thẳng thì số lượng các đường thẳng sẽ đúng là n + 1: Gồm n đường thẳng nối An+1 với các điểm A1, A2, , An và đường thẳng chúng nối chung Nếu A1, A2, , An không nằm trên một đường thẳng thì theo giả thiết quy nạp có

n đường thẳng khác nhau Bây giờ ta thêm các đường thẳng nối An+1 với các điểm A1,

A2, , An Vì đường thẳng AnAn+1 không chứa một điểm nào trong A1, A2, , An-1, nên đường thẳng này khác hoàn toàn với n đường thẳng tạo ra bởi A1, A2, , An Như vậy số đường thẳng tạo ra cũng không nhỏ hơn n + 1

Ví dụ 41 Trong mặt phẳng cho n đa giác lồi (n > 3), mỗi bộ ba đa giác có điểm chung Chứng minh rằng tồn tại một điểm nằm trên tất cả các đa giác

Lời giải Bước cơ sở: Với n = 4, ta kí hiệu những hình bằng C1, C2, C3, C4 Cho những

,

1. Nếu A4 nằm trong tam giác A1A2A3, thì bởi vì A1A2A3 C4, ta có A4 C4 và suy ra A4 C, ở đây C kí hiệu là giao của các hình C1, C2, C3, C4

2. Nếu A1A2A3A4 là tứ giác lồi thì A là điểm cắt của các đường chéo của chúng, thì

dễ thấy A C

Bước quy nạp: Giả sử đã chứng minh được cho khẳng định đúng với n = k – 1 Ta xét n =

k hình C1,C2, , Ck Lấy C = Ck-1 Ck Ta xét dãy C1, C2, , Ck-1, C Ta sẽ chứng minh mọi bộ ba hình này đều cắt nhau Thật vậy, nếu giữa ba hình giao nhau không là C, thì điều kết luận trên hiển nhiên đúng Nếu C nằm trong số ba hình và ví dụ như C1, C2,

C, thì vì thế những hình C1, C2, Ck-1, Ck có điểm chung X (theo chứng minh tại phần cơ sở) Suy ra X Ck-1 Ck = C Từ đây khẳng định của bài toán suy ra bằng nguyên lí quy nạp toán học

Ví dụ 42 Một người cầm tờ giấy và dùng kéo cắt thành 7 mảnh Sau đó lấy một mảnh

đã cắt và lại cắt thành 7 mảnh Người đó tiếp tục như vậy một số lần Khi dừng lại người đó đếm tổng cộng được tất cả các mảnh đã cắt ra là 122 mảnh Hỏi người đó đếm số mảnh giấy cắt ra đúng hay sai?

Lời giải Mỗi lần cắt một mảnh giấy thành 7 mảnh, tức là ta chỉ tạo thêm ra được 6 mảnh,

nên công thức tính số mảnh giấy sau n bước có dạng

Tn= 6n + 1 Ta chứng minh công thức đúng bằng phương pháp quy nạp

6.1 + 1 = 7 Vậy công thức đúng

Sang bước thứ k + 1, người ta lấy một mảnh giấy rồi cắt thành 7 mảnh, nghĩa là tổng số mảnh sau lần thứ k + 1 là

Tk+1 = Tk – 1 + 7 = 6k + 1 – 1 + 7 = 6k + 7 = 6k + 6 + 1 = 6(k+1) + 1

Như vậy số mảnh giấy sau n bước cắt người ta thu được theo công thức Tn

Do đó Tn chia cho 6 chỉ dư 1 như công thức trên Trong khi đó người cắt đếm được số lượng 122 = 6.20 + 2, khi chia cho 6 số này dư 2, suy ra người ta đã đếm không đúng

Ví dụ 42 Cho n hình vuông bất kì Chứng minh rằng ta có thể cắt chúng ra thành một

số phần để từ các phần đó ta có thể ghép lại thành một hình vuông mới

Lời giải Khi n = 1, điều khẳng định là hiển nhiên

D1Q = và cắt hình vuông đó theo các đường MP và NQ, rõ ràng MP và NQ cắt

nhau tại O của hình vuông và tạo với nhau một góc vuông Các đường đó chia hình vuông thành bốn phần bằng nhau, những hình đó ghép vào hình vuông A2B2C2D2 như hình trên Hình nhận được sẽ là hình vuông vì các giá trị góc M, N, P, Q bù nhau, các góc

Ví dụ 43 Chứng minh rằng n-giác lồi với n 5 đều có thể cắt ra thành thành ngũ giác lồi

Lời giải Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp với mọi n-giác lồi với n 5 đều có

thể cắt ra thành các ngũ giác lồi Với n = 5 điều đó là hiển nhiên, còn với n = 6 và 7 có thể xem hình:

Bây giờ giả sử n 8 và mọi m-giác lồi với 5 m < n đều có thể cắt ra thành ngũ giác

Từ n-giác có thể cắt ra một ngũ giác tạo bởi 5 đỉnh liên tiếp Khi đó còn lại (n-3)-giác Bởi vì 5 n – 3 < n, nên (n-3)-giác lại có thể cắt ra thành các ngũ giác theo giả thiết quy nạp toán học

Ví dụ 44 Trên mặt phẳng cho 2n+1 điểm Hãy dựng một (2n+1)-giác sao cho các điểm

đã cho thành trung điểm các cạnh của đa giác

4 QUY NẠP TOÁN HỌC TRONG HÌNH HỌC