Những điều cần lưu ý về dãy số và phương pháp chứng minh quy nạp

NHỮNG ĐIỀU CẦN LƯU Ý VỀ DÃY SỐ VÀ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH QUY NẠP  • Giới thiệu Trong chương trình THPT, chúng ta đã quen với 3 phân môn của Toán là: Đại Số, Hình Học, Số học. Nhưng bên cạnh đó ta còn bắt gặp một phân môn mới có nhiều ứng dụng trong lý thuyết cũng như đời sống. Đó là Giải Tích. Đây là một nội dung phức tạp và đòi hỏi vận dụng nhiều, linh hoạt các kiến thức đã học được. Mở đầu cho Giải Tích, ta đã được biết Dãy số và những vấn đề cơ sở liên quan. Nội dung của nhóm sẽ không lặp lại những kiến thức đã biết này mà đi sâu vào phân tích một số vấn đề đáng chú ý; sau đó gợi mở một vài nội dung giúp các bạn nghiên cứu thêm. Cụ thể là: ∗ Các vấn đề cần lưu ý:  Cơ sở của phương pháp quy nạp.  Phương pháp quy nạp hình học.  Những hạn chế cơ bản trong việc đưa quy nạp vào chứng minh bất đẳng thức thông thường.  Tìm công thức của dãy số cơ bản.  Biểu diễn hình học của cấp số nhân, cấp số cộng.  Chuỗi số. ∗ Những vấn đề gợi mở:  Điều đặc biệt trong cách tính tổng các số hạng của một cấp số nhân.  Tồn tại hay không một cấp số vừa nhân vừa cộng?  Điều gì sẽ xảy ra nếu u 1 = 0, S n = 0?  Xoay quanh việc tính tích các số hạng của cấp số nhân, cấp số cộng. • Nội dung: A. Những vấn đề cần lưu ý:  Cơ sở của phương pháp quy nạp:  Quy nạp và suy diễn thông thường: Toán học phân biệt với nhiều môn khoa học khác là xây dựng đượïc lý thuyết suy diễn. Đấy là phương pháp đi từ cái chung đến cái riêng. VD: Nếu nói mọi số chẵn đều chia hết cho 2 thì 4 cũng chia hết cho 2 vì 4 là số chẵn. Trong cuộc sống hằng ngày, ta thường nhận xét từ các quan sát, thực nghiệm thông thường để rút ra kết luận tổng quát, đúng cho mọi trường hợp. Ta gọi đó là quy nạp. Phương pháp này giúp ta có thể đề xuất hay bác bỏ những giả thuyết, đồng thời điều này còn cho ta một cách chứng minh cho những bài toán phức tạp.  Các loại quy nạp: Quy nạp hoàn toàn: Xét tất cả các trường hợp xảy ra; sau đó suy ra kết luận là đúng. Quy nạp không hoàn toàn: Chỉ xét đơn cử một vài trường hợp và đưa ra dự đoán. => Những phương pháp này đều giúp ta tìm được những chân lý mới.  Cơ sở quy nạp: Cơ sở của quy nạp là tiên đề thứ 5 (còn gọi là tiên đề quy nạp) của hệ tiên đề Peano xây dựng từ thế kỷ XIX. Nội dung cụ thể đó như sau: “Nếu một tập hợp M các số tự nhiên có tính chất: M chứa 0 và nếu M chứa a thì M cũng chứa a* (hiểu là a+1) thì M chính là ¥ ”  Quy nạp – phương pháp chứng minh tuyệt vời trong Toán Học: Bên cạnh những phương pháp quen thuộc như: phương pháp phản chứng, phương pháp cực biên – nguyên lý khởi đầu cực trò, . , phương pháp quy nạp đã là một công cụ mạnh, sắc bén trong giải toán, nhất là những bài toán rối rắm vô cùng. Cách đây gần 4 thế kỷ, bằng những cây thước, cái bàn, Pascal đã xây dựng nên lý thuyết quy nạp. Từ đó trở đi, quy nạp đã trở thành một phương tiện giúp cho những người học toán trong công cuộc đi tìm những lời giải mà biến chứng minhphụ thuộc vào n ∈ ¥ một cách hay và đẹp. Chúng ta nhiều khi tưởng rằng quy nạp thực chất cũng chỉ là đi theo một mô hình quen thuộc cho nên bỏ qua vài bước trong đó. Chúng ta nên cẩn thận mà hiểu rằng đó là làm trái với tiên đề và như vậy tất nhiên sẽ không có cơ sở gì nói lên rằng chứng minh của ta là đúng. Do đó, ta cần trình bày đầy đủ các bước cho một chứng minh quy nạp, điều này rất cần thiết.  Các hình thức quy nạp: Có bốn hình thức: ∗ Loại 1: - Chứng minh P(1) đúng. - Chứng minh nếu P(k) đúng thì P(k+1) cũng đúng; k ≥ 1. ∗ Loại 2: - Chứng minh P(n o ) đúng. - Chứng minh nếu P(k) đúng thì P(k+1) cũng đúng; k ≥ n o . ∗ Loại 3: - Chứng minh P(1) đúng. - Chứng minh nếu P(1), P(2), . P(k) đúng thì P(k+1) cũng đúng. ∗ Loại 4: - Chứng minh P(n o ), P(n o +1) đúng. - Chứng minh nếu P(k), P(k+1) đúng thì P(k+2) cũng đúng; k ≥ n o . - Với P(n) là mệnh đề cần chứng minh trong bài toán. - Ta thấy loại 1 là hình thức SGK đã sử dụng.  Quy nạp trong H ình H ọc:  Cơ sở lý thuyết: Nội dung cũng giống như chứng minh quy nạp trong Đại Số. “Ta chứng minh A(n o ) đúng Chứng minh nếu A(k) đúng thì A(k+1) đúng, k ≥ n o . => đpcm.” Ví dụ minh họa: Cho n hình vuông bất kỳ. Chứng minh có thể cắt n hình này thành nhiều mảnh để ghép lại được một hình vuông. Giải: • Với n = 1, bài toán hiển nhiên. • Với n = 2, xét 2 hình vuông ABCD, A’B’C’D’ có cạnh là a, b (a ≥ b). Trên cạnh của ABCD lấy M,N,P,Q sao choAM = BN = CP = DQ =    + . Cắt hình vuông ABCD theo 2 đoạn MP, NQ được 4 mảnh. Đặt 4 mảnh cắt được lên A’B’C’D’. Ta dễ thấy có thể ghép thành 1 hình vuông mới có cạnh là     • Giả sử với n = k ≥ 2, bài toán đúng. Ta chứng minh bài toán cũng đúng khi n = k+1. Thật vậy, trong k+1 hình vuông chọn ra k hình vuông và cắt thành 1 hình vuông mới. Ta còn lại 2 hình vuông. Theo chứng minh n=2, ta thấy có thể cắt 2 hình vuông này thành hình vuông mới. ⇒ Bài toán đúng với n = k+1. Vậy ta có đpcm. ∗ Nếu n hình vuông trên có cạnh là a 1 , a 2 , . a n thì hình vuông cắt được có kích thước là          + + +  Các bài toán tham khảo: Bài 1: Nếu cho n điểm không cùng thuộc một đường thẳng thì trong số các đường thẳng nối chúng với nhau có không ít hơn n đường thẳng phân biệt. Bài 2: Giả sử r n và R n là bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của đa giác đều 2 n cạnh có chu vi là 1. Cm: r n+1 =   (R n +r n ) R n+1 =     +  Những hạn chế cơ bản trong việc đưa quy nạp vào chứng minh bất đẳng thức Ta thấy ở nhiều bất đẳng thức nếu ta thay vào kết luận nhiều giá trò của biến khác nhau thì bài toán vẫn đúng nhưng không biết tại sao lại chứng minh hoài không được và để tìm ra cách chứng minh đó cũng khó vô cùng. VD: Chứng minh           − + − + > ∀ ∈ ¡ Ta thấy nếu x = 0 thì VT = 1 x = 1 thì VT = 1 > 0 x = -1 thì VT = 5 Rõ ràng bài toán đúng nhưng làm sao giải đây?      B' D' A' C' B C D A P N Q M b a Ta xét một trường hợp đơn giản hơn: Chứng minh         = − + > ∀ ∈ ¡ Ta thấy nếu x < 0 thì – x > 0, khi đó kết luận bài toán là đúng khi x > 0. Ta thử dùng quy nạp: • Với x = 0, VT = 1 > 0, đúng. • Giả sử x = k ≥ 0, bài toán cũng đúng. Ta chứng minhvới x = k+1, bài toán cũng đúng. Thật vậy:         + = + − + +     = − + +    = + ≥ vì k ≥ 0 ⇒ f(k+1) ≥ 0, đúng. Ta có đpcm. Rõ ràng cách chứng minh rất nhẹ nhàng tự nhiên nhưng nó vấp phải một thiếu sót rất cơ bản : ta chỉ mới giải quyết được bài toán với x nguyên mà thôi, điều này cũng coi như vô ích. Do đó, muốn dùng ý tưởng quy nạp ta nên nhận thấy nguyên nhân cơ bản sau : ở bước quy nạp ta chứng minh k thì k+1 đúng nên chỉ cho n nhận được giá trò nguyên thôi. Muốn n nhận hết giá trò thực ta phải chứng minh bài toán đúng với n = k ± ε khi n = k đã đúng và ε là một giá trò vô cùng bé nào đó để không có số thực nào xen giữa k và k + ε hoặc k và k – ε. Rõ ràng ε không tồn tại và quy nạp của ta vô giá trò khi biến n thuộc ¡ . Trên thực tế, để chứng minh các bài toán đã nêu chỉ cần vận dụng các biến đổi đại số hoặc các bất đẳng thức quen thuộc mà thôi. Quy nạp vẫn giúp ta giải quyết một số bài toán bất đẳng thức nhưng chỉ trong một số trường hợp mà thôi.  Công thức tổng quát của dãy số : Qua SGK ta đã biết được rằng công thức tổng quát của một cấp số cộng là u n = u 1 + (n – 1)d, của một cấp số nhân là u n = u 1 .q n-1 . Công thức tổng quát giúp ta tính được mọi giá trò của dãy nếu biết trước u 1 , n và d hoặc q. Vậy với dãy (un):            − =  =  = +     ∈ ≠¡ thì sao? Thực ra cách này cũng đã được SGK đề cập đến. Ta trình bày như sau: - Nếu a = 1 hoặc b = 0 thì ta có cấp số cộng hoặc cấp số nhân - Ta chỉ xét a ≠ 1, b ≠ 0. Trước tiên ta đưa dãy (un) về một cấp số nhân hoặc cấp số cộng để vận dụng công thức tổng quát đã biết. Xét (vn) có v n = u n + α, α∈ ¡ n =1, 2, . Từ un = au n -1 + b ⇒ v n – α =a(v n -1 – α) + b ⇒ v n = av n -1+b – α(a – 1) Chọn α =   − , được v n = av n -1 Dãy (v n ):            −  = +  −   =  Đây là một cấp số nhân. Công thức tổng quát là:          −   = +  ÷ −   Vậy             −   = + −  ÷ − −   ∗ Ta còn có thể tìm thêm được công thức tổng quát của một số dãy số khác.VD:        − = +        − = + +         − − = + Ý tưởng chung là đưa về một dãy số dạng cấp số nhân, cấp số cộng rồi liệt kê các giá trò. Đôi khi ta còn dùng thêm phương pháp liệt kê rồi cộng lại (phương pháp sai phân), phương pháp quy nạp (đoán). Thậm chí ta còn có thể tìm được số hạng tổng quát của một số dãy u n = f(u n-1 ) ở một số trường hợp thuận lợi. Công thức tổng quát giúp ích rất nhiều trong Giải Tích, chẳng hạn như chứng minh tính chất nào đó, tìm limu n , xác đònh n thỏa tính chất cho trước, .           cấp số nhân – cấp số cộng   !" #$% & $'( ) *'+, -  - +%. ) '+, / 0+,&'1 - '' 2  / 3 2 $cấp số nhân, cấp số cộng.  # - +$ ) 4 5 2 $6'5 / $ 2 %3 2 7*'89 - %3 - $'+ 2 ' - :3 ) *; < ) +3&+:3 ) *,0.< 2 +=  9 - +%+, /  / 8 - %.< - $'5 / ; >? ) $0 & *  < ) +  9 - $%3 2  / %+, / =  Chứng+'  9 - 3 2 $cấp số cộng # - +$ ) '3' ) $ ) $', / 0,&0 - chứng +'%.< 2  ' ) * ) %, ) , ) $@ /  /  - +$ ) 4   ; ⇒  9 - 3 2 $ cấp số cộng ) 3:+9 -   # - +$ ) 4 5 2 $6'5 / $ 2 %3 2 7*'89 - %3 - $'+ 2 ' - :3 )  *; ,89( ) *=   ) ' - '%3 2 A=  ? / %.< - $'5 / : :< ) +$ 2 ' - '5 ) $ ( ) ∆ 9 - 6'(+ )  /  ) 6'( - $.$'. ) '( ) $$ 2 +#  B$+, ) 6$ 2  2 +=  9 - +%+, /  / 8< ) +%.< -  $'5 / %+@#   - ::< ) +$ 2 $< ) +=  $$'. 2 '+, 2  $.<$. 2 %.< 2 =  8. ) $+, ) 6$ 2 9 - '.( 2 *$%.< 2 0 & *=   =  =   < ) +3&+:3 ) *,0.< 2 +  9 - ' - '%3 2  / =  C & *  ) 9( 2 60 & *:3 )   % & ' ∗  ) 4 ( )         4    + =   = +  C D A B M   # - +$ ) 4 8''1 - '3=#8D 2 '9 - $,=#9( ) *E:'=E;∈B AE? / %.< - $'5 / ::F85 ) $=E< / E  $+, ) 6$ 2 $'. 2 '+, 2 @ ) $1 - ' - *$ ) E  E   E   8hứng+'%3 2 0 - + ) % 2 E  =  E  =  E  =  9( 2 6$' - '3 2 $cấp số nhân. ∗ Cấp số nhân( - $1 - 9 -  ( ) ( ) ( )           4     − = −   = −   ⇒3 /  / $( ) $ /  ) :3 ) ' 2  / 0 & *'1 ) '9 - #E  G / %(*$? ) $'. &  - +$ )  - *'5 -  2 %1 ) '$'( ) * & @ ) $1 - '$'*%3 / + / 0 & *:3 ) H3 - $'< - + ' )  - '$3 2 $:3 ) phương pháp+ / +đặc biệt''. & 0 & *:3 ) 6'. ) $ 2 6 VI - Chuỗi số Ta nói thêmvề dãy số. Người ta còn có các kí hiệu: { }     ∞ =   a (ánh xạ) Dãy số thực chất là một loại hàm số:   ¥ a ¡ a . 1) Chuỗi số là gì? Chuỗi số được xây dựng từ một dãy số. Mỗi chuỗi số là một tổng các số hạng của dãy đã cho. S n =  + +   = ∑ Khi n lớn vô cùng, S n tiến dần tới một điểm trên trục số thì chuỗi hội tụ, ngược lại ta có chuỗi phân kì. 2) Chuỗi hàm: Nếu trong một chuỗi các số hạng đều là những hàm số của x, ta có một chuỗi hàm. Nếu u n (x) có dạng C(n)x n (C(n) là hệ số phụ thuộc vào n) ta có một chuỗi lũy thừa. Nếu  < mà chuỗi lũy thừa hội tụ  > mà chuỗi lũy thừa phân kì thì R là bán kính hội tụ của chuỗi.  Ứng dụng: Chuỗi số, chuỗi hàm còn giúp ta xây dựng những hàm số siêu việt, số siêu việt như π e, . Ta có: cos x            I I I = − + − + −        I ∞ = = − ∑ . sin x          I + ∞ = = − + ∑ e = ( )       9+  I  ∞ − →∞ =   + =  ÷   ∑ ( )        ∞ = − π = + ∑ . B. Các vấn đề gợi mở  Điều đặc biệt trong cách tính tổng các số hạng của một cấp số nhân: Ta biết một cấp số nhân có số hạng đầu tiên là u 1 , công bội là q thì tổng n số hạng đầu tiên là     @   @ − = − mà   @  @ − − bằng gì? Ta có   @  @ − − = 1+ q+q 2 + . +q n-1 . (*) Nếu n lẻ biểu thức (*) phân tích được thành nhân tử. Ta viết: S n =   +  +   @ − = ∑ ⇒    =   + +  @ − = ∑ Đến đây ta thử suy nghó bài toán sau: “Cho một dãy số bất kì hữu hạn. Có tồn tại hay không một số thựa k sao cho khi nhân k vào hoặc cộng k vào từng số hạng của dãy đó để được môt cấp số cộng hoặc một cấp số nhân?” II - Tồn tại hay không cấp số vừa nhân vừa cộng? Trong SGK nhiều lần đề cập đến điều này nhưng chỉ đơn thuần là chứng minh dãy số đó có tất cả các số hạng bằng nhau mà thôi, tức là một cấp số cộng có d = 0 hoặc một cấp số nhân có q = 1. Ta thử xét đến một cấp số cộng có d ≠ 0 (u n ) và một cấp số nhân có q ≠ 1 (v n ) sao cho u n = v n , ∀n∈ J ¥ Ta có: u 1 = v 1 = a, a ≠ 0 (điều kiện cần) u 2 = v 2 ⇔ a+d = aq ⇔ 0  @  = − u 3 = v 3 ⇔ a+2d = aq 2 ⇔ Đến đây ta lại thấy một điều kiện cần nữa : 0 @ −  0 @  = − Với d ≠ 0, q ≠ 1 ta không thể nào có đẳng thức này. Ta chỉ có cấp số cộng – nhân khi n = 2 và u 1 ≠ 0 mà thôi. Kết quả này quá hạn chế. Ta đã thấy tron SGK đã đề cập đến một bài toán như vậy nhưng thứ tự của dãy đã có khác đi và ràng buộc. Dãy như thế tồn tại vô số với q = – 2. Nhưng ta thử tìm hiểu bài toán tổng quát sau: "tồn tại hay không một cấp số cộng sao cho các số hạng của nó theo thứ tự tùy ý lập thành một cấp số nhân ?" (Ở đây hiểu cấp số cộng có d ≠ 0, cấp số nhân có q ≠ 1).  Điều gì sẽ xảy ra nếu u 1 = 0, S n = 0? Ta biết rằng trong một cấp số cộng : tổng n số hạng đầu tiên là ( ) ( )          0     = + − = −    ∗ Điều gì xảy ra nếu u 1 = 0? Rõ ràng rằng : ( )     0  − = mà ( )     − là tổng n – 1 số tự nhiên đầu tiên ⇒ S n = ( )       0+ + + + −    hoặc S n =                 − −   ⇒ + + + =  ÷   ∗ Còn khi S n = 0? Dễ thấy u 1 = – u n . Dãy đã cho đối xứng qua 0  Xoay quanh việc tính tích các số hạng của cấp số nhân, cấp số cộng : Trong SGK chỉ đề cập đến tổng n số hạng đầu của cấp số nhân, cấp số cộng, ta thử bàn về việc tính tích P n của chúng. Đối với cấp số nhân, ta có : P n = u 1 u 2 . u n = ( ) ( ) ( )          @  @   @ − = ( )         @ + + + − = ( )        @ − Thông thường trong Đại Số, các giá trò này không có ứng dụng gì nhưng với Số Học ta thấy giá trò ( )     @ − có ý nghóa to lớn trong việc tìm số chính phương tổng quát. Đồng thời, s. / 0 2 được giải toán biện luận (H++'9, 8 - < ) +CẤP SỐ CỘNG( ) %, - $'. 2 :. 2 '3%<+ / 4 K  ; ( ) ( ) ( )       0  0     0+ + + −    H, / %<+ / $? ) $0 2  $ $∈ ¥ D - '5 - %5 / $'. )   L  ;L$ ) $', /  ) $ 2  %.< 2 K   F ) +'' ) $,$1 - '+, / :('. & 1 - $%.< 2 +, ) $5 -  ) $3 - $ 2 +1 - %( - '.$', )  -  F'+, - '+$'( ) *31 ) ''. &  ) 9 ) ( - $'+, ) $3 -  • Kê ́ t l ̣ n : D & *:3 )  & nh. phương pháp chứng+'@* 2 69à'. & ( ) %, - <:< /  / !+ / +1 ) ' "+, ) $'. ) ( ) 6< / %(*'3'+, - '3@ ) ' ) '+, / '. )  - +$ ) %, - ( 2 6%, ) ( ) $% 0 2 6'6' )  8' ) $( - ( 2 0 2 9+'' 2 $ ) +, ) $'. ) % & +, ) $%, / .< 2 $@'. &  - +$ ) '*5 - '. &  9< - ++ / +%? 2 6 . vấn đề cần lưu ý:  Cơ sở của phương pháp quy nạp.  Phương pháp quy nạp hình học.  Những hạn chế cơ bản trong việc đưa quy nạp vào chứng minh bất. NHỮNG ĐIỀU CẦN LƯU Ý VỀ DÃY SỐ VÀ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH QUY NẠP  • Giới thiệu Trong chương trình THPT,