Một số bài toán về dãy số và phương pháp giải

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ VĂN KHANH MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2011 MỤC LỤC Trang MỤC LỤC………………………….………… …………….…… … LỜI NÓI ĐẦU………………….…………………………….…….… … Chƣơng Kiến thức sở…….……………………………….…… … 1.1 Các định nghĩa dãy số… ………………….……… 1.2 Các định lý dãy số………………… ….……….… Chƣơng Một số toán dãy số phƣơng pháp giải ………… 2.1 Một số dãy số đặc biệt………… … 2.1.1 Dãy số dạng xn1  f ( xn ) … … … 2.1.2 Dãy số dạng xn1  xn  ( xn ) ………… 2.1.3 Dãy số dạng  n  ………… …………… .10 2.2 Dãy số nguyên…………………………… ……… 12 2.2.1 Nguyên lý Dirichlet dãy số nguyên…… 12 2.2.2 Hệ đến số dãy số nguyên…………… .13 2.2.3 Số phức dãy số nguyên………………… .14 2.3 Dãy số bất đẳng thức…………………… 15 2.4 Xác định số hạng tổng quát dãy số……………………… 17 2.4.1 Công thức truy hồi biểu thức tuyến tính……… 18 2.4.2 Công thức truy hồi hệ biểu thức tuyến tính ……… .19 2.4.3 Cơng thức truy hồi biểu thức tuyến tính với hệ số biến thiên .19 2.4.4 Công thức truy hồi dạng phân tuyến tính với hệ số hằng… .20 2.4.5 Phương pháp hàm sinh…………………………………… 22 2.5 Một số lớp hàm chuyển đổi cấp số .23 2.5.1 Hàm số chuyển đổi từ cấp số cộng 23 2.5.2 Hàm số chuyển đổi từ cấp số nhân 26 2.5.3 Hàm số chuyển đổi từ cấp số điều hòa .29 2.5.4 Một số lớp hàm chuyển đổi cấp số tập số nguyên .33 2.6 Dãy số xác định dãy phương trình…… 38 2.7 Dãy số tuần hoàn.……………………………………………… 42 KẾT LUẬN…………………………………… .……… …………… 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………… .46 LỜI NĨI ĐẦU Các tốn dãy số phần quan trọng đại số giải tích Các học sinh, sinh viên thường phải đối mặt với nhiều dạng tốn khó có liên quan đến vấn đề Khái niệm dãy số thường khó hình dung cấu trúc đại số tập dãy số, đặc biệt phép tính dãy có chứa tham số, phép biến đổi dãy đại số dãy… Dãy số có vị trí đặc biệt tốn học khơng đối tượng để nghiên cứu mà cịn đóng vai trị cơng cụ đắc lực mơ hình rời rạc giải tích lý thuyết phương trình, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn,… Trong nhiều kỳ thi chọn học sinh giỏi quốc gia, thi Olympic Toán quốc tế, thi Olympic sinh viên trường Đại học Cao đẳng, toán liên quan đến dãy số hay đề cập thường thuộc loại khó Các tốn ước lượng tính giá trị tổng, tích tốn cực trị xác định giới hạn hàm số cho trước thường có mối quan hệ đến đặc trưng dãy tương ứng Lý thuyết đại số toán dãy số đề cập hầu hết giáo trình giải tích tốn học Tuy nhiên chưa hệ thống đầy đủ theo dạng toán phương pháp giải tương ứng chương trình tốn phổ thơng Vì lý tơi sâu tìm hiểu đề tài “Một số toán dãy số phƣơng pháp giải” chủ yếu để bồi dưỡng cho học sinh giỏi Toán nhằm tìm hiểu sâu dãy số Luận văn gồm chương: Chƣơng : Trình bày khái niệm tính chất dãy số khái niệm có liên quan Chƣơng : Phân loại dãy số, đồng thời nêu phương pháp giải dãy số Luận văn hoàn thành Trường Đại học Vinh hướng dẫn TS Mai Văn Tư Nhân dịp tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tới TS Mai Văn Tư người định hướng nghiên cứu, thường xuyên quan tâm tạo điều kiện thuận lợi, với lời động viên khích lệ tác giả suốt q trình học tập, nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy giáo , giáo khoa Tốn – Trường Đại học Vinh động viên, giúp đỡ tác giả suốt trình viết chỉnh sửa luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng song luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo, giáo bạn đọc để luận văn hoàn thiện Nghệ an; tháng 11 năm 2011 Tác giả CHƢƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 CÁC ĐỊNH NGHĨA CƠ BẢN VỀ DÃY SỐ Định nghĩa 1.1.1 Dãy số hàm số từ * (hoặc ) vào tập hợp số ( , , , , ) hay tập tập hợp Các số hạng dãy số thường ký hiệu un ; xn ; ; yn Bản thân dãy số kí hiệu  xn  Vì dãy số trường hợp đặc biệt hàm số nên có tính chất hàm số Định nghĩa 1.1.2 Hàm số f : D  D gọi hàm số co D tồn số thực q,0  q  1, cho f ( x)  f ( y)  q x  y , x, y  D Định nghĩa 1.1.3 Dãy số un  gọi dãy tuần hồn cộng tính tồn số ngun dương l cho unl  un , n  (1.1) Số nguyên dương l nhỏ thoả mãn (1.1) gọi chu kỳ sở Định nghĩa 1.1.4 Dãy số un  gọi dãy tuần hồn nhân tính tồn số ngun dương s,(s  1) cho usn  un , n  (1.2) Số nguyên dương s nhỏ thoả mãn (1.2) gọi chu kỳ sở Định nghĩa 1.1.5 a) Dãy số un  gọi dãy phản tuần hồn cộng tính tồn số nguyên dương l cho unl  un , n  (1.3) Số nguyên dương l nhỏ thoả mãn (1.3) gọi chu kỳ sở b) Dãy số un  gọi dãy phản tuần hồn nhân tính tồn số nguyên dương s,(s  1) cho usn  un , n  Số nguyên dương s nhỏ thoả mãn (1.4) gọi chu kỳ sở (1.4) 1.2 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ DÃY SỐ Định lý 1.2.1 (Về dãy đoạn thẳng lồng nhau) Cho hai dãy số thực an ,bn  cho : n  , an  bn n  , an1, bn1    an , bn  bn  an  n   Khi tồn số thực a cho  an , bn   a Định lý 1.2.2 (Bolzano Veierstrass) Từ dãy bị chặn ln trích dãy hội tụ Định lý 1.2.3 Nếu f ( x) hàm số co D dãy số  xn  xác định x0  a  D, xn1  f ( xn ) hội tụ Giới hạn dãy số nghiệm D phương trình x  f ( x) Định lí 1.2.4 (Trung bình Cesaro) Nếu dãy số  xn  có giới hạn hữu hạn 1  a dãy số trung bình  ( x1  x2   x3 )  có giới hạn a n  Định lý phát biểu dạng tương đương sau: xn  a n n Nếu lim ( xn1  xn )  a lim n Định lí 1.2.5 (Định lí Weil phân bố đều) Nếu  số vơ tỉ dãy n n1 phân bố khoảng  0;1 Định lí 1.2.6 Nếu  ,  số vô tỉ dương thoả mãn điều kiện    1 hai dãy số xn   n  , yn  n  , n  1,2,3 lập thành phân hoạch tập hợp số nguyên dương CHƢƠNG 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI 2.1 MỘT SỐ DÃY SỐ ĐẶC BIỆT 2.1.1 Dãy số dạng xn+1 = f(xn ) Đây dạng dãy số thường gặp toán giới hạn dãy số Dãy số hoàn toàn xác định biết f giá trị ban đầu x0 Do hội tụ dãy số phụ thuộc vào tính chất hàm số f ( x) x0 Một đặc điểm quan trọng khác dãy số dạng a giới hạn dãy số a phải nghiệm phương trình x  f ( x) Chúng tơi có số kết sau: Bài toán (Thi HSG Việt Nam, 2000) Cho dãy số  xn  xác định sau: x0  0, xn1  c  c  xn Tìm tất giá trị c để với giá trị x0  (0, c), xn xác định với n tồn giới hạn hữu hạn lim xn n Giải Để xn1 tồn ta có c  c  xn  , x0  (0, c) hay c(c  1)  x0 , x0  (0, c)  c  Với c   x1  c Nếu  xn  c c  c  xn  c  c ,suy xn1 tồn f , ( x)    xn1  c Đặt f ( x)  c  c  x Với x  (0, c ) ta có c x c cx (c  x)(c  c  x )  c(c  c  c )  2(2   )  Từ suy f , ( x)  q  x  (0, c ) , tức f ( x) hàm số co (0, c ) , suy dãy số cho hội tụ Vậy tất giá trị c cần tìm c  Một trường hợp xét hội tụ dãy số  xn  trường hợp f đơn điệu, cụ thể Nếu f hàm số tăng D  xn  dãy đơn điệu Dãy số tăng hay giảm tùy theo vị trí x0 so với x1    Nếu f hàm giảm D dãy x2 p , x2 p1 dãy đơn điệu Bài toán (Olympic sinh viên Moscow, 1982) Cho dãy số  xn  xác định x0  1982, xn1  Hãy tìm lim xn n  3xn Giải Ta có  x2  1, x3  x2 Vì f ( x)  hàm số tăng từ 0,1  3x vào 0,1 nên dãy  xn n2 dãy số tăng bị chặn có giới hạn Giả sử giới hạn a ta có a  1 hay a  (Giá trị a  loại dãy tăng)  3a Trong trường hợp f hàm giảm, ta chứng minh dãy hội tụ cách chứng minh hai dãy hội tụ giới hạn Tuy nhiên, khó khăn gặp hàm số không đơn điệu Trong trường hợp này, ta phải xét khoảng đơn điệu hội tụ hàm số tuỳ thuộc vào giá trị ban đầu α 2.1.2 Dãy số dạng xn+1 = xn ±  xn  Đây trường hợp đặc biệt dãy số dạng xn1  f  xn  Tuy nhiên, với dãy số dạng vấn đề hội tụ xn thường không đặt (vì đơn giản giới hạn  ) Ở đây, ta có yêu cầu cao 10 tìm bậc tiệm cận xn , cụ thể tìm  cho xn  O(n ) Với dãy số có dạng này, Định lý 1.2.4 tỏ hữu hiệu Định lý 1.2.4 có nhiều ứng dụng quan trọng việc tìm giới hạn dãy số phát biểu cho trung bình khác trung bình nhân, trung bình điều hồ, trung bình luỹ thừa Tuy nhiên, ta khai thác cách phát biểu Định lí 1.2.4 Để tìm số  cho xn có giới hạn hữu hạn, theo Định lí 1.2.4, ta n cần tìm  cho xn 1  xn có giới hạn hữu hạn a Khi đó, nlim  x lim n n n  a1 tức    xn  a suy n Bài toán Cho dãy số  xn  xác định xo  1, xn1  sin  xn  Chứng nxn  minh nlim   Giải Dãy số cho khơng có dạng xn1  xn   xn  kết luận tốn gợi cho nghĩ đến Định lí 1.2.4 Vì   1 nên ta thử với x     Dễ dàng chứng minh nlim  n Ta có xn21  1.2.4 nlim  xn2  sin xn  2  (Dùng quy tắc L’Hopitale) Theo Định lý xn xn sin xn 1  Vậy nlim nxn   nxn2 Như ta tìm  biết  Trong trường hợp  ta phải dự tốn 33 f( xy )  f ( x) f ( y), x, y  x y * ,x y 0 Khi dãy số  f (un ) cấp số nhân Chứng minh Theo giả thiết tốn ta có un  un  2un1un1 , n  un1  un1 * Khi f (un )  f ( 1  un1 un1 , n  * , hay 2un1un1 )  f (un1) f (un1) un1  un1 Ta f (un )  f (un1) f (un1) Từ ta có dãy  f (un ) cấp số nhân Vậy để tìm hàm số chuyển đổi cấp số điều hịa thành cấp số nhân ta tìm hàm số thỏa mãn tính chất sau \ 0 thỏa mãn điều Bài tốn 27 Tìm hàm f ( x) xác định, liên tục kiện f ( xy )  f ( x) f ( y), x, y  x y * ,x y 0 (2.16) Giải Từ điều kiện toán ta suy f ( x)  0, x  Nếu tồn x0  cho f ( x0 )  f ( xy )  f ( x0 ) f ( y), y  x0  y * , x0  y  Suy f ( x)  Nếu f ( x)  0, x  (2.16) có dạng ln f ( Hay g ( xy ln f ( x)  ln f ( y) ) , x, y  x y 2 xy g ( x)  g ( y ) ) , x, y  x y * * ,x y  , x  y  ,với g ( x)  ln f ( x) , theo kết a b a toán 25 g ( x)   b, a, b  Do f ( x)  e x , a, b  x Thử lại hàm số f a b ( x)  e x , a, b  Vậy, hàm số f ( x)  f thỏa mãn điều kiện (2.16) a b ( x)  e x , a, b  số điều hòa thành cấp số nhân tùy ý chuyển đổi cấp 34 2.5.4 Một số lớp hàm chuyển đổi cấp số tập số nguyên 2.5.4.1 Hàm số chuyển đổi cấp số cộng thành cấp số cộng Bài tốn 28 Tìm hàm f ( x) xác định thỏa mãn điều kiện f ( x  y)  f ( x)  f ( y), x, y  Giải Trước hết ta khảo sát hàm số f ( x) tập hợp (2.17)  Tại x  0, y  ta f (0)  Tại x  1, y  ta f (2)  f (1) đặt f (1)  a ta có f (2)  2a Tại x  2, y  ta f (3)  f (2)  f (1)  f (3)  f (1) hay f (3)  3a Bằng phép quy nạp ta chứng minh f (n)  nf (1) hay f (n)  na, n  Tiếp theo ta khảo sát hàm số f ( x) tập hợp * Thay y   x thay vào cơng thức (2.17) ta có f (0)  f ( x)  f ( x)  f ( x)   f ( x) Khi ta có hàm f ( x) hàm lẻ Xét n  , n   n  , theo chứng minh phần ta có f (n)  na mà f (n)   f (n) nên f (n)  na Vậy hàm số cầm tìm f ( x)  ax,x  Bài toán 29 Tìm hàm f ( x) xác định f( thỏa mãn điều kiện x y f ( x)  f ( y ) ) , x, y  , x  y  2k , k  2 (2.18) Giải Đặt f (0)  b, f ( x)  b  g ( x) g (0)  , thay vào công thức (2.18) ta có b  g ( x  y b  g ( x)  b  g ( y ) x  y g ( x)  g ( y ) , suy g ( ) ) 2 2 Lần lượt chọn x  2k , y  , x  0, y  2k ta có g ( x  y g ( x)  g ( y ) ) 2 Suy g ( x  y)  g ( x)  g ( y), x, y  Theo kết tốn 28 ta có g ( x)  ax,x  Vậy f ( x)  ax+b 35 Bài toán 30 Chứng minh điều kiện cần đủ để dãy số an  lập thành cấp số cộng dãy phải thỏa mãn hệ thức 2amn  a2m  a2n , m, n  (2.19) Giải Điều kiện cần Giả sử dãy an  cấp số cộng với công sai d Khi an  a0  (n 1)d , n  * Vậy nên a2m  a2n  2a0  (2m  2n  2)d 2amn  a0  (m  n 1)d  Từ ta có cơng thức (2.19) Điều kiện đủ Giả sử dãy số an  thỏa mãn điều kiện (2.19) Ta chứng minh an  cấp số cộng với công sai d  a1  a0 Thay m  vào cơng thức (2.19) ta có 2an  a0  a2n Thay n  vào cơng thức (2.19) ta có 2am  a0  a2m Thay kết vào công thức (2.19) ta 2amn  2am  2an  2a0 (2.20) amn  am  an  a0 Thay m  vào cơng thức (2.20) ta có an1  an  d , d  a1  a0 Vậy dãy an  cấp số cộng Bổ đề 11 Điều kiện cần đủ để hàm số chuyển mội cấp số cộng nguyên dương thành cấp số cộng hàm số chuyển tập số tự nhiên thành cấp số cộng Chứng minh Điều kiện cần Nếu hàm f chuyển cấp số cộng thành cấp số cộng nhiển nhiên hàm f chuyển tập số tự nhiên thành cấp số cộng, tập số tự nhiên cấp số cộng với công sai nhỏ 36 Điều kiện đủ Hàm f chuyển tập số tự nhiên thành cấp số cộng, tức dãy  f (n) cấp số cộng n  Dãy an  cấp số cộng nguyên dương, với công sai d  Ta phải chứng minh dãy  f (an ) cấp số cộng Vì dãy  f (n) cấp số cộng nên theo cơng thức (2.20) ta có f (m  n)  f (m)  f (n)  f (0), m, n  Dãy an  cấp số cộng nguyên dương với công sai d  suy an1  an  d Khi f (an1)  f (an  d )  f (an )  f (d )  f (0) Hay f (an1)  f (an )  f (d )  f (0) không đổi Vậy dãy  f (an ) cấp số cộng với công sai f (d )  f (0)  Bài toán 31 Xác định hàm số f :  chuyển cấp số cộng an  , an  thành cấp số cộng Giải Để giải toán theo bổ đề 11 ta cần xác định hàm số chuyển dãy số tự nhiên thành cấp số cộng Hàm f chuyển dãy số tự nhiên thành cấp số cộng ta có f (m  n)  f (m)  f (n)  f (0), m, n  f (m  n)  f (0)  f (m)  f (0)  f (n)  f (0), m, n  Đặt g (n)  f (n)  f (0) ta có g (m  n)  g (m)  g (n) Theo toán 28 ta có g ( x)  ax,x  a  g (1) Do f ( x)  g ( x)  f (0) Đặt f (0)  b f ( x)  ax+b,x  Kết hợp với tốn 29 ta có hàm số chuyển đổi cấp số cộng thành cấp số cộng tập hợp số nguyên f ( x)  ax+b,x  Thử lại hàm số f ( x)  ax+b,x  thỏa mãn điều kiện toán Bài toán 32 Xác định hàm f xác định * chuyển cấp số cộng nguyên dương an  cho trước thành cấp số cộng bn  cho trước 37 Giải Nếu an   * theo kết 31 ta có f ( x)  ax+b,x  Nếu an   * , ta có hàm f : *  bn f (n)    cn * , a, b  xác định sau nÕu n an  nÕu n an  chuyển cấp số cộng nguyên dương an  cho trước Trong cn tùy ý thành cấp số cộng bn  cho trước 2.5.4.2 Hàm số chuyển đổi cấp số nhân thành cấp số nhân Bổ đề 12 Chứng minh điều kiện cần đủ để dãy số dương an  lập thành cấp số nhân dãy số phải thỏa mãn hệ thức am2 n  a2ma2n , m, n  (2.21) Chứng minh Đặt ln an  bn , n  Khi an  ebn (2.21) có dạng b e2bmn  e 2m b2n  2bmn  b2m  b2n , m, n  (2.22) Theo tốn 30 (2.22) điều kiện cần đủ để dãy số bn  lập thành cấp số cộng với công sai d  b1  b0 Theo bổ đề ta suy điều phải chứng minh Từ cơng thức (2.21) ta có Với m  ta có an2  a0a2n Với n  ta có am2  a0a2m Suy a2m a2n  an2am2 an2am2 an am , hay a  a  m  n m  n a0 a02 a02 Bài toán 33 Xác định dãy số dương  xn  thỏa mãn điều kiện xmn  xm xn , m, n  * Giải Ta có x1.n  x1.xn  x1  giả sử n  p số nguyên tố 38   Khi quy nạp ta chứng minh x pk  ( x p )k n  p1 p2 ps s   xn  ( x p ) ( x p ) ( x ps )s Trong x p nhận giá trị tùy ý p nguyên tố Từ ta có kết luận x p nhận giá trị tùy ý p nguyên tố     xn  ( x p ) ( x p ) ( x ps )s , n  p1 p2 ps s Bài toán 34 Xác định hàm số f thỏa mãn tính chất f (mn)  f (m) f (n), m, n  * Giải Ta có f (1.n)  f (1) f (n) Suy f (1)  Giả sử n  p số nguyên tố f ( pk )  f ( p)k Khi quy nạp ta chứng minh     n  p1 p2 ps s f (n)  f ( p1) f ( p2 ) f ( ps )s Trong f ( p) nhận giá trị tùy ý p số nguyên tố Vậy f ( p) nhận giá trị tùy ý p số nguyên tố     f (n)  f ( p1) f ( p2 ) f ( ps )s n  p1 p2 ps s Bài toán 35 Chứng minh hàm số f : *  * chuyển cấp số nhân thành cấp số nhân hàm số chuyển cấp số nhân có cơng bội ngun tố thành cấp số nhân Giải Điều kiện cần Nếu hàm số f chuyển cấp số nhân thành cấp số nhân hiển nhiên chuyển cấp số nhân có cơng bội nguyên tố thành cấp số nhân Điều kiện đủ Nếu hàm f :  chuyển cấp số nhân có công bội nguyên tố thành cấp số nhân Giả sử un  cấp số nhân ta phải chứng minh cấp số nhân Với un  u0qn ta xét trường hợp sau Nếu q số nguyên tố tốn chứng minh  f (un ) 39   Nếu q số nguyên tố q  p1 p2 ps s pi số nguyên tố, i  * Khi ta có   f (un )  f (u0q n )  f (u0 ( p1 p2 ps s )n ) 1.n  f (u0 ( p1)  f (u0 ) f 1.n 2 n ( p2 ) ( p1) f .( ps )s n ) 2 n ( p2 ) f  s n ( ps ) Theo bổ đề 12 ta chứng minh f (umn )  f (u2m ) f (u2n ) Ta có f (unn )  ( f (u0 ) f 1.( m n)  f (u0 ) f ( p1) f 21.( m n) f (u2m ) f (u2n )  f (u0 ) f 1.2 m f (u0 ) f  f (u0 ) f 2 ( mn) ( p1) f ( p1) f 1.2 n 22 ( m n)  2 m ( p1 ) f 21.( m  n ) ( p2 ) f s (mn) ( ps ))2 ( p2 ) f 2s (mn) ( ps ) ( p2 ) f s 2m ( ps )  2 n ( p1 ) f ( p2 ) f s 2n ( ps ) 2 ( m  n ) ( p2 ) f 2s (mn) ( ps ) Vậy ta có điều phải chứng minh 2.6 DÃY SỐ XÁC ĐỊNH BỞI DÃY CÁC PHƢƠNG TRÌNH Trong tốn học, có nhiều trường hợp khơng xác định giá trị cụ thể đối tượng mà chúng xét (như số,hàm số) thực phép tốn đối tượng Ví dụ khơng biết giá trị nghiệm phương trình, biết tổng chúng Bài toán 36 Ký hiệu xn nghiệm phương trình 1     thuộc khoảng  0,1 x x 1 xn Chứng minh dãy  xn  hội tụ Hãy tìm giới hạn dãy  xn  1 Dãy  xn  xác định hàm số f n ( x)   ,   x x 1 xn 40 liên tục đơn điệu  0,1 Tuy nhiên xác định giá trị cụ thể xn Rất may mắn, để chứng minh tính hội tụ xn , khơng cần đến điều Chỉ cần chứng minh tính đơn điệu bị chặn đủ Tính bị chặn đảm bảo  xn  Với tính đơn điệu, ta ý chút đến mơi liên hệ f n  x  f n1  x  f n1( x)  f n ( x)  x  n 1 Đây chìa khố để chứng minh tính đơn điệu xn Giải Rõ ràng xn xác định cách nhất,  xn  Ta có f n1( xn )  f n ( xn )   xn  n 1 f n1  0   Theo tính chất hàm liên tục, khoảng  0, xn  có nghiệm f n1  x  nghiệm xn1 Như ta chứng minh xn1  xn , tức dãy số  xn  đơn điệu giảm Do dãy bị chặn nên dãy số cho có giới hạn Ta chứng minh giới hạn nói Để chứng minh điều này, ta cần đến kết quen thuộc sau: 1 1      ln n n x  a  dãy số giảm nên ta có xn  a, n Thật vậy, giả sử nlim  n 1 Do       n dần đến vô nên tồn N cho n 1 1 với n  N , ta có      Khi đó, với n  N , ta có n a 0 1 1 1 1           0 xn xn 1 xn  n xn 1 2 n a a x  mâu thuẫn Vậy ta phải có nlim  n 41 Bài toán 37 (VMO, 2007) Cho số thực a  f n  x   a10 xn10  xn   x 1 Chứng minh với số nguyên dương n, phương trình f n  x   a ln có nghiệm dương Gọi nghiệm xn , chứng minh dãy  xn  có giới hạn hữu hạn n dần đến vơ Giải Kết câu 1) hiển nhiên hàm f n  x  tăng  0,  Dễ dàng nhận thấy  xn  Ta chứng minh dãy xn tăng, tức xn1  xn Tương tự lời giải trên, ta xét f n1  xn   a10 xnn11  xnn1  xnn   xn 1  xn f n ( xn ) 1  axn 1 Vì ta có f n+1 1 = a10 +n+1 > a nên ta cần chứng minh axn 1  a suy xn  xn1  Như vậy, cần chứng minh xn  a 1 a a 1 n1 1 ( ) a  a 1 a )n10   Thật xn  f n ( xn )  a10 ( a 1 a a 1 a  (a 1)10 ( a 1 n a 1 n )  a  (a 1)( )  a (do a –1  1) a a Vậy dãy số tăng  xn  tăng bị chặn nên hội tụ Một lần mối liên hệ f n1  x   x f n ( x) 1 lại giúp tìm mối quan hệ xn xn1 Từ lời giải trên, ta chứng minh lim xn  n a 1 a 1 Thật vậy, đặt c   ta có a a f n  c   f n  xn   kcn (với k   a 1 ( a 1 1)  ) 42 Theo định lý Lagrange f n  c  -f n  xn  = f’(ξ) c - xn  với    xn , c  , f ’( )   n 10 a10 n9  n n1  1  , nên từ suy kcn > c - xn Từ ta có c  kcn  xn  c Có nghĩa nlim x c  n Bài toán 38 (VMO, 2002) Cho n số nguyên dương Chứng minh phương trình 1 1     có nghiệm xn  x 1 x 1 n x 1 Chứng minh n dần đến vô cùng, xn dần đến Việc chứng minh phương trình có nghiệm xn  hiển nhiên Mối liên hệ f n1( x)  f n ( x)  f n ( x)  cho thấy xn dãy số tăng (n  1)2 x 1 1 1     x 1 x 1 n x 1 Đề cho sẵn giới hạn xn làm cho toán trở nên dễ nhiều Tương tự cách chứng minh nlim x  c nhận xét trên, ta dùng  n định lý Lagrange để đánh giá khoảng cách xn Để làm điều này, ta cần tính f n  4 với f n ( x)  1 1     việc tính f n  4 liên x 1 x 1 n x 1 quan đến dạng tổng quen thuộc Giải Đặt f n  x  gọi xn ,  xn  1 nghiệm phương trình f n  x   Ta có f n (4)  1 1 1 1          1 16 1 (2n 1)(2n 1) 4n 1 1.3 3.5 1 1 1 1  (       )   3 2n 1 2n 4n Áp dụng định lý Lagrange, ta có  f n ( xn )  f (4)  f '(c) xn  với c   xn ,4 4n 43 Nhưng f '(c)  lim x n n 1 nên từ , suy    x   n 4n (c 1)2 (4c 1)2  Trong toán sử dụng định lý Lagrange để đánh giá hiệu số xn giá trị giới hạn 2.7 DÃY SỐ TUẦN HOÀN Tương tự hàm số thơng thường, ta coi dãy số  xn  hàm f  x   xn xác định tập nhận giá trị Trong phần quan tâm đến hai loại dãy tuần hoàn tuần hồn cộng tính tuần hồn nhân tính Bài toán 39 Xác định dãy số un  thỏa mãn điều kiện unb  un  d , n  b  , d  Giải Đặt un  d n  Thay vào công thức unb  un  d , ta có b d d (n  b)  vnb  n   d b b Suy vnb  , dãy tuần hồn cộng tính chu kỳ b Vậy un  d n  với dãy tuần hồn cộng tính chu kỳ b b Bài toán 40 Xác định dãy số un  thỏa mãn điều kiện unb  c.un , n  , b  Giải Đặt * ,c n b un  c , ta có nb c b vnb n b  c.c Suy vnb  vn dãy tuần hồn cộng tính chu kỳ b n Vậy un  c b với dãy tuần hoàn cộng tính chu kỳ b 44 Bài tốn 41 Xác định dãy số un  thỏa mãn điều kiện unb  c.un  d , n  b  * ,c Giải Nếu c = theo kết tốn 40 ta có un  d n  , với dãy tuần b hồn cộng tính chu kỳ b Nếu c  Đặt un   d Khi ta có 1 c vnb  d d  c(vn  )  d , n  1 c 1 c n Hay vnb  c.vn theo kết tốn 40, ta có  c b xn x xnb   n -xn n  d bx +c  n Ta có un  1  c n  d +cb x n   c víi c > víi c < xn tïy ý cho xnb  xn , víi c > xn tïy ý cho xnb   xn , víi c < Vậy nên Nếu c = un  d n  , với dãy tuần hoàn cộng tính chu kỳ b b n  d b +c xn  Nếu c  un  1  c n  d +cb x n   1 c xn tïy ý cho xnb  xn , víi c > xn tïy ý cho xnb   xn , víi c < Bài toán 42 Xác định dãy số un  thỏa mãn điều kiện uan  c.un  d , n  a  , a 0,1, 1 , c, d  , c  Giải Nếu c = ta có uan  un  d Thay n  u0  u0  d suy d  Khi uan  un dãy số un  dãy tuần hồn nhân tính chu kỳ a 45 Nếu c  ta đặt un   van  d , ta có 1 c d d d d  c(vn  )  d  van   c.vn  1 c 1 c 1 c 1 c Hay van  c.vn , v0  0 Đặt    n víi n = loga c sn víi n  , s san   n -sn , n  0, víi c > n  0, víi c < Ta  d  Với c  un  1  c  d +nloga c s n   1 c  d  Với c  un  1  c  d +nloga c s n   1 c víi n = sn lµ dÃy tuần hoàn : san = sn , với n  víi n = sn lµ d·y tuần hoàn : san =-sn , với n Vậy nên Nếu c  1, d  không tồn dãy un  Nếu c  1, d  un  dãy tuần hồn nhân tính chu kỳ a Nếu  c   d  un  1  c  d +nloga c s n   1 c với n = sn dÃy tuần hoµn : san = sn , víi n  Nếu c   d  un  1  c  d +nloga c s n   1 c víi n = sn lµ dÃy tuần hoàn : san =-sn , với n 46 KẾT LUẬN Nội dung luận văn là: Trình bày cách có hệ thống dãy số số tính chất chúng Hệ thống, phân dạng đưa phương pháp giải cho dạng toán dãy số tương ứng Từ chứng minh tường minh số tính chất dãy số Giải chi tiết tốn có liên quan đến dãy số 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Phan Văn Khải (2006), Các chuyên đề số học, NXB Giáo dục, Hà nội 2 Nguyễn Văn Mậu (2002), Một số toán chọn lọc dãy số, NXB Giáo dục, Hà nội 3 Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Thủy Thanh (2003), Giới hạn dãy số hàm số, NXB Giáo dục, Hà nội 4 Nguyễn Văn Mậu, Trần Nam Dũng, Nguyễn Minh Tuấn (2008), Dãy số áp dụng, NXB Giáo dục, Hà nội 5 Nguyễn Văn Mậu (2003), Phương trình hàm, NXB Giáo dục, Hà nội 6 Nguyễn Trọng Tuấn( 2003), Bài toán hàm số qua kỳ thi olympic, NXB Giáo dục, Hà nội 7 Vũ Dương Thụy, Nguyễn Văn Nho (2001), 40 năm Olympic toán học quốc tế tập 1,2, NXB Giáo dục, Hà nội 8 Tạp chí tốn học tuổi trẻ (2002-2011), NXB Giáo dục, Hà nội ... hợp số nguyên dương 8 CHƢƠNG 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI 2.1 MỘT SỐ DÃY SỐ ĐẶC BIỆT 2.1.1 Dãy số dạng xn+1 = f(xn ) Đây dạng dãy số thường gặp toán giới hạn dãy số Dãy số. .. 1.1 Các định nghĩa dãy số? ?? ………………….……… 1.2 Các định lý dãy số? ??……………… ….……….… Chƣơng Một số toán dãy số phƣơng pháp giải ………… 2.1 Một số dãy số đặc biệt………… … 2.1.1 Dãy số dạng xn1  f (... BẢN VỀ DÃY SỐ Định nghĩa 1.1.1 Dãy số hàm số từ * (hoặc ) vào tập hợp số ( , , , , ) hay tập tập hợp Các số hạng dãy số thường ký hiệu un ; xn ; ; yn Bản thân dãy số kí hiệu  xn  Vì dãy số