Một số bài toán về đa thức

1 MỞ ĐẦU Nội dung luận văn gồm hai chương Chương I Trình bày lý thuyết đa thức Nội dung trình bày kiến thức đa thức gồm mục: Đa thức biến, Đa thức nguyên Đa thức nhiều biến Chương II Trình bày tập đa thức có phân loại dạng tập Nội dung trình bày gồm dạng: Xác định đa thức, Giải phương trình hệ phương trình đa thức, Cực trị đa thức Sử dụng tính chất đặc trưng đa thức Kết luận văn: Trình bày chi tiết lý thuyết đa thức tính chất liên quan đến đa thức Sử dụng công cụ hàm số học, kiến thức giải tích định lý Cauchy, Bunhiacopki, Viet, Becnuli,… để nghiên cứu chứng minh Phần tập, đưa số dạng tập đa thức có quan hệ chặt chẽ với đa thức Đã phân loại số dạng tập có chứng minh Luận văn hồn thành hướng dẫn bảo tận tình GVC.TS Mai Văn Tư Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc thành kính đến Thầy Thầy khơng hướng dẫn nghiên cứu khoa học mà Thầy cịn thơng cảm tạo điều kiện động viên tơi suốt q trình làm luận văn Bên cạnh đó, tơi xin chân thành cám ơn khoa Tốn, khoa sau Đại học trường Đại học Vinh - Đại học Sài Gịn, q thầy giảng viên quan tâm thầy cô học viên lớp Cao học 17 tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành luận văn Cuối xin chân thành cám ơn Ban giám hiệu trường THCS Trần Quang Khải - Q.12, đặc biệt thầy cô đồng nghiệp tổ Tốn, gia đình bạn bè tơi quan tâm giúp đỡ thời gian học hoàn thành luận văn Trong trình viết luận văn việc xử lý văn chắn không tránh khỏi hạn chế thiếu xót Rất mong nhận góp ý thầy cô bạn học viên để luận văn hoàn thiện Nghệ An, tháng 12 năm 2011 Học viên Nguyễn Sĩ Trung Chương I ĐA THỨC 1.1 ĐA THỨC MỘT BIẾN 1.1.1 Định nghĩa Đa thức K  K  ; K  ; K  ; K    bậc n biến x biểu thức có dạng: Pn  x   an x n  an1 x n1    a1 x  a0  an   ,  K gọi hệ số, an hệ số bậc cao a0 hệ số tự đa thức Nếu  , i  1, n a0  ta có bậc đa thức Nếu  , i  0, n ta gọi đa thức đa thức (đa thức đa thức khơng có bậc) Tập hợp tất đa thức với hệ số lấy K Ký hiệu K  x  1.1.2 Các phép toán Cho đa thức: f  x   an x n  an 1 x n1   a1 x  a0 g  x   bn x n  bn 1 x n 1   b1 x  b0 Ta định nghĩa phép toán số học: f  x   g ( x)  (an  bn ) x n  (an-1  bn-1 ) x n-1   (a1  b1 ) x  (a0  b0 ) f  x  g ( x)  c2 n x n  c2 n 1 x n1   c1 x  c0 với ck  a0bk  a1bk -1   ak b0 ; k  0,2n 1.1.3 Định lý Cho f ( x )  g ( x )  đa thức K  x   K  ; K  ; K    Khi tồn đa thức g ( x), r ( x)  K  x  cho: f  x   g  x  q  x   r  x  (với deg r  x   deg g ( x) r ( x)  r ( x)  ) Hệ Nếu r ( x)  , ta nói f ( x) g ( x) Giả sử a phần tử tùy ý K f  x   an x n  an1 x n1   a1 x  a0 đa thức tùy ý K  x  , f  a   an a n  an 1a n 1   a1a  a0 gọi giá trị f ( x) x  a Nếu f (a )  a gọi nghiệm f ( x) Bài tốn tìm nghiệm f ( x) K gọi giải phương trình đại số bậc n : an x n  an1 x n 1    a1 x  a0  (an  0) 1.1.4 Định lý Cho a  K , f ( x )  K  x  Dư phép chia f  x  cho  x – a f  a  1.1.5 Định lý Số a nghiệm f ( x) f ( x)  ( x  a ) Cho a  K , f ( x )  K  x  m   * Khi a nghiệm bội cấp m f ( x) f ( x) ( x  a ) m f ( x)  ( x  a ) m 1 Trường hợp m  ta gọi a nghiệm đơn Trường hợp m  a gọi nghiệm kép Số nghiệm đa thức tổng số nghiệm đa thức kể bội nghiệm (nếu có) Vì vậy, người ta coi đa thức có nghiệm bội cấp m đa thức có m nghiệm trùng Lược đồ Hoocne Giả sử f  x   an x n  an 1 x n1   a1 x  a0  K  x  Khi thương gần f ( x) cho  x – a  đa thức có bậc n – có dạng q  x   bn1 x n 1   b1 x  b0 ( bn –1 = an ; bk = abk 1  ak 1 với k  1, n  số dư r  ab0  a0 ) 1.1.6 Định lý Vi-ét (i) Giả sử phương trình: an x n  an 1 x n 1    a1 x  a0  (an  0) ( 1) có n nghiệm (thực phức) x1 , x2 , , xn  an 1  E ( x )  x  x   x  1 n  an  an 2   E2 ( x)  x1 x2  x2 x3   xn 1 xn  an     n a0  En ( x)  x1.x2 xn  (1) a  n (2) (ii) Ngược lại số x1 , x2 , , xn thỏa mãn hệ chúng nghiệm phương trình (1) Hệ phương trình (2) có n thành phần vế trái thành phần thứ k có Cnk số hạng (iii) Các hàm E1  x  , E2  x  ,, En  x  gọi hàm (đa thức) đối xứng sơ cấp Viét bậc 1,2,,n tương ứng 1.1.7 Định lý Mỗi đa thức thực bậc n có không n nghiệm thực Hệ Đa thức có vơ số nghiệm đa thức khơng Hệ Cho đa thức f  x  , deg f  x   n Mà f  x  nhận giá trị n  điểm khác đối số f  x   c đa thức Hệ Cho hai đa thức f  x  , g  x  max deg f  x  ;deg g  x   n Nếu f  x  , g  x  nhận n  giá trị n  giá trị khác đối số f ( x )  g ( x) 1.1.8 Định lý Mọi đa thức f ( x )    x  bậc n có n nghiệm 1.1.9 Định lý Mọi đa thức f ( x )    x  có bậc n có hệ số an  phân tích (duy nhất) thành nhân tử: m s f ( x)  an  ( x  d i ) ( x  bk x  ck ) i 1 k 1 với d i , bk , ck   , bk2  4ck  (m, n  * ) 1.1.10 Định nghĩa Khi đa thức Pn  x   an x n  an1 x n1   a1 x  a0 viết dạng Pn  x   g  x  q  x  với deg g  x   deg q  x   ta nói g  x  ước Pn  x  hay Pn  x  bội g ( x) Ta viết: g  x  Pn  x  hay Pn  x  g ( x) 1.1.11 Định nghĩa (i) Nếu d  x  P  x  d  x  Q  x  d  x  ước chung P  x  Q  x  Ký hiệu: ƯC  P  x  , Q  x    d  x  (ii) Đa thức d ( x)  gọi ước chung lớn P  x  Q  x  d  x  ước chung P  x  Q  x  , đồng thời ước chung P  x  Q  x  ước d  x  Ký hiệu:  P  x  , Q  x    d  x  1.1.12 Định nghĩa Nếu hai đa thức P  x  Q  x  có ước chung đa thức bậc ta nói P  x  Q  x  nguyên tố Hệ Hai đa thức P  x  Q  x  nguyên tố  P  x  , Q  x    1.1.13 Bổ đề (i) Ước chung lớn hai đa thức P  x  Q  x  luôn tồn (ii) Cho  P  x  , Q  x    d  x  Khi tồn cặp đa thức u  x  , v  x  cho P  x  u  x   Q  x  v  x   d  x  Hệ Hai đa thức P  x  Q  x  nguyên tố tồn cặp đa thức u  x  , v  x  cho P  x  u  x   Q  x  v  x   1.1.14 Tính chất Nếu f  x  g  x  nguyên tố f  x  h  x  nguyên tố f  x  g  x  h( x) nguyên tố Nếu f  x  , g ( x ) h  x  thỏa mãn điều kiện f  x  h  x  chia hết cho g ( x) mà h  x  g ( x) nguyên tố f  x  chia hết cho g ( x) Nếu f  x  chia hết cho đa thức g ( x) h  x  mà g ( x) h  x  nguyên tố f  x  chia hết cho g  x  h  x  m Nếu f  x  g  x  nguyên tố  f  x    g  x   n nguyên tố với m, n  * 1.2 ĐA THỨC NGUYÊN 1.2.1 Định nghĩa Cho L   Đa thức P ( x )  L  x  gọi khả qui L  x   Q( x), T ( x)  L  x  với deg Q  x   1, deg T  x   cho P  x   Q  x  T  x  Trong trường hợp ngược lại P ( x ) gọi bất khả qui L  x  1.2.2 Định nghĩa Tập tất đa thức khả qui L  x  ký hiệu L*  x  Vậy P ( x ) khả qui L  x  kéo theo P ( x )  L*  x  P ( x ) bất khả qui L  x  kéo theo P ( x )  L*  x  1.2.3 Định nghĩa Đa thức thuộc   x  gọi đa thức nguyên hệ số nguyên tố (có thể khơng đơi ngun tố nhau) Nhận xét đa thức P ( x )    x  với bậc lớn phân tích thành tích nhân tử bậc bậc hai nên P ( x )  *  x  Vậy, tính khả qui đa thức thực chất có ý nghĩa  x    x  L  x  với L tập thực  Mặt khác, P ( x )    x  gọi M mẫu số chung nhỏ mẫu số hệ số P ( x ) P ( x )  P '( x) với P '( x )    x  Hiển nhiên, M P ( x ) khả qui L  x  với A  L , đa thức A.P  x  khả qui L  x  Bởi ta xét tính khả qui đa thức thuộc   x  1.2.4 Tính chất Nếu f ( x )   x  tồn đa thức nguyên f1 ( x) phân số tối giản Hệ Nếu đa thức a a a  , b  *  cho f ( x )  f1 ( x )  b b f  x có nghiệm nguyên x  f  x   ( x   ).g ( x) với g  x  đa thức hệ số nguyên 1.2.5 Bổ đề Gauss Tích hai đa thức nguyên đa thức nguyên Hệ Cho f  x   an x n  an 1 x n1    a1 x  a0 đa thức hệ số nguyên với  ,  số nguyên khác Khi f    f       1.2.6 Tính chất Nếu đa thức P ( x )    x  , ( deg P  x   ) mà P ( x )  *  x  P ( x )  *  x  1.2.7 Tiêu chuẩn Eisenstein Cho f ( x)  an xn  an1xn1   a1x  a0   x đa thức với hệ số ngun Nếu có số ngun tố p thỏa mãn điều kiện: (i) Hệ số cao an không chia hết cho p (ii) Tất hệ số lại chia hết cho p (iii) Hệ số tự a0 chia hết cho p , không chia hết cho p đa thức f  x  bất khả qui  x  1.2.8 Tiêu chuẩn Eisenstein mở rộng Cho đa thức P ( x )  an x n  an1 x n1   a1 x  a0    x  với an  n  Giả sử tồn số nguyên tố p thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: (i) an không chia hết cho p (ii) k  ,  k  n cho a0 , a1 , a2 , , ak chia hết cho p (iii) a0 không chia hết cho p Khi đó, P  x  phân tích thành tích hai đa thức thuộc   x  bậc hai đa thức khơng nhỏ thua k  Với k  n  ta tiêu chuẩn Eisenstein quen biết Hệ Cho đa thức hệ số nguyên f  x   an x n  an 1 x n1    a1 x  a0 ( an  ) Nếu x  p , q  p, q   1, q  nghiệm f  x  p a0 q an 1.2.9 Định nghĩa (Ước lượng đa thức) n Biểu thức: Ln  x   a0   (ak cos kx  bk sin kx) (1) k 1 a 0, ak , bk   (k {1,2, , n}); a n  bn  (n  * ) gọi đa thức lượng giác bậc n (cấp n ) với hệ số a 0, ak , bk (k {1,2, , n}) 1.2.10 Định nghĩa Nếu đa thức (1) tất hệ số bk (k {1,2, , n}) ta có đa thức lượng giác cấp n cos: Cn ( x)  a0  a1 cos x  a2 cos x   an cos nx (an  0) (2) 10 Nếu (1) tất hệ số ak (k {1,2, , n}) ta có đa thức lượng giác cấp n sin: S n ( x )  b0  b1 sin x  b2 sin x   bn sin nx (bn  0) (3) 1.2.11 Tính chất (i) Cho Sn  x  Sm*  x  hai đa thức lượng giác Khi Sn  x   Sm*  x  đa thức lượng giác bậc k với k  max n, m Sn  x  Sm*  x  đa thức lượng giác bậc n  m (ii) Với đa thức lượng giác Ln  x  dang (1) luôn tồn đa thức đại số Pn  t  Qn1  t  cho Ln ( x )  Pn (cos x)  sin x.Qn1 (cos x) (iii) Với Sn  x  dạng (3) luôn tồn đa thức đại số Qn1  t  để Ln ( x )  b0  sin x.Qn1 (cos x) (iv) Với đa thức Cn  x  dạng (2) ta có Cn  x   Pn  cos x  , Pn  t  đa thức bậc n t có hệ số an  2n 1 Ngược lại, với đa thức Pn  t  với hệ số từ phép đặt ẩn phụ t  cos x ta biến đổi đa thức Cn  x  dạng (2) với an  21 n 1.3 ĐA THỨC NHIỀU BIẾN 1.3.1 Một số dạng đa thức đối xứng sơ cấp Viet 1.3.1.1 Định nghĩa Đa thức P  t1 , t2 , , t n  với n biến thực t1 , t2 , , tn hiểu hàm số có dạng: N P  t1 , t2 , , tn  =  M k  t1 , t2 , , t n   n    (1) k 0 M k  t1 , t2 , , tn  =  j1   jn  k a j j t1j t nj , ji  , i  1, n 1 n n (2) 34 thức Cauchy, Bunhiacopki, định lý trung bình bổ đề bất đẳng thức khác … Bước 1: Đặt ẩn phụ  i theo xi ẩn 1 , , , n  theo ẩn  x1 , x2 , , xn  vế trái phương trình Bước 2: Chứng minh vế trái lớn vế phải ngược lại (đa phần sử dụng bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacopki, định lý trung bình, …) Bước 3: Dấu “ = “ xảy (trở thành phương trình đa thức) 1      n Bước 4: Dựa vào kết 1      n trên, ta tìm nghiệm  x , x , , x  n chứng minh nghiệm  x1 , x2 , , xn  cần tìm - Dạng tốn đưa phương trình lượng giác Bước 1: Xác định f  x  có nghiệm   a, a  với a  Bước 2: Đặt x  a sin  hay x  a cos  Bước 3: Chuyển từ phương trình đa thức sang phương trình lượng giác - Dạng tốn phương trình đa thức f  x   g  x  có nghiệm (i) Chứng minh f  x   g  x  có nghiệm (nếu có) ta đưa tốn trở thành dạng tốn trình bày (ii) Đôi phải chứng minh phản chứng (nếu khơng chứng minh cách phương pháp tìm nghiệm trình bày dạng tốn trên) Phương pháp phản chứng: giả sử f  x   g  x  vô nghiệm, ta phải chứng minh điều mâu thuẫn vơ lý - Dạng tốn phương trình đa thức f  x   g  x  vơ nghiệm 35 (i) Phương trình f  x   g  x  chia thành trường hợp nhỏ chứng minh tất trường hợp vô nghiệm (ii) Đôi phải chứng minh phản chứng (nếu không chứng minh cách phương pháp tìm nghiệm trình bày dạng toán trên) Phương pháp phản chứng: giả sử f  x   g  x  có nghiệm, ta phải chứng minh điều mâu thuẫn vô lý 2.2.2.5 Giải hệ phương trình đa thức Giải hệ phương trình đa thức, ta tìm mối liên hệ phương trình đa thức với Dạng tốn khó, thường hay sử dụng Bất đẳng thức phương trình đa thức Khi giải hệ phương trình đa thức, ta giải phương trình đa thức điều kiện ràng buộc để giài phương trình đa thức khác Tìm số  x , x , , x  n để thỏa mãn phương trình đa thức nghiệm hệ phương trình đa thức Cịn khơng tồn số  x1 , x2 , , xn  thỏa tất phương trình đa thức hệ phương trình đa thức vơ nghiệm - Dạng tốn tìm tất giá trị n   để giải hệ phương trình đa thức Trường hợp 1: Xác định n   a, b  Bước 1: Chọn n số nguyên cho n   a, b  Bước 2: Bài toán lớn chia thành trường hợp nhỏ để giải Trường hợp 2: Xác định n   Bước 1: Ta giải trường hợp (chẳng hạn n  0, n  , n  2, ) Bước 2: m   , m cố định mà n  m Ta phải giải tổng quát để tìm nghiệm (nếu có) hệ phương trình đa thức 36 - Dạng toán chứng minh hệ phương trình đa thức ln ln có nghiệm với n   , thường hay sử dụng phương pháp qui nạp 2.3 BÀI TỐN CỰC TRỊ CĨ LIÊN QUAN ĐẾN ĐA THỨC 2.3.1 Bài tập Bài toán Với số a cho trước n số x1 , x2 , , xn  thỏa điều kiện n 1 x1  x2   xn  a Hãy tìm giá trị lớn  x x i i 1 i 1 Giải Với n số x1 , x2 , , xn  Đặt xk  max{x1 , x2 , , xn }  xi  xk , i  1, n n1 k 1 n1 k 1 n1 k 1 n1  Ta có  xi xi 1   xi xi1   xi xi1  xk  xi  xk  xi1  xk   xi   xi1  i 1 i 1 ik i1 ik  i 1 ik  k 1 n 1 n  xk   xi   xi 1   xk   xi  xk   xk  a  xk  (vì x1  x2   xn  a )  i 1 i k   i 1  2  xk  a  xk  a      (Bất đẳng thức Cauchy) a Chọn x1  x2  , xi  0, i  3, n a2 xi xi 1  x1.x2   i 1 n 1 n 1 a Vậy max   xi xi 1     i 1  Bài tốn Cho phương trình x  ax  bx  ax   có nghiệm Tìm giá trị bé a  b ? (Đề thi vô địch quốc tế 1973) Giải Gọi x0 nghiệm phương trình x0  ax03  bx0  ax0   (*) Xét x0  (*) vơ nghiệm Xét x0  , chia vế (*) cho x0 ta thu 37 *  x  ax0  b  Đặt y  x0    a 1 1     x02    a  x0    b  x0 x0 x0  x0    1 , điều kiện: y  x0   (vì x0 , y dấu) x0 x0 2   y  2  ay  b    y  ay  b  a  b y 1  a  b 2 2 Đặt t  y , t  Ta chứng minh Thật vậy, giả sử 2 t 2  t  2 2 y    y2  1 t   5t  24t  16   (t  4)(5t  4)  1 t (Đúng, t  ) Do a  b   Vậy a  b    t   y  2  x0  1  Bài tốn Cho số khơng âm x1 , x2 , , xn thỏa x1  x2   xn  Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức T  (1  x1 )(1  x2 ) (1  xn ) Giải Ta chứng minh T  x1  x2   xn  Vì số khơng âm x1 , x2 , , xn thỏa mãn 1  xi  , i  1, n 2 Với n   x1  1   x1   T  (đúng) 2 Với n  k , ta giả sử mệnh đề đúng, tức ta có x1  x2   xk  xi  0, i  1, k T  (1  x1 )(1  x2 ) (1  xk )  , 38 Với n  k  Ta chứng minh T  (1  x1 )(1 x2 ) (1 xk )(1 xk1)  Thật vậy, ta có x1  x2   xk  xk 1  , xi  0, i  1, k  Đặt yk  xk  xk 1   yk   xk  xk 1   xk  xk 1  xk xk 1  (1  xk )(1  xk 1 ) Ta thấy số không âm x1 , x2 , , xk 1 , yk thỏa mãn điều kiện 1 x1  x2   xk 1  yk  Khi đó: (1  x1 )(1  x2 ) (1  xk 1 )(1  yk )  2  (1  x1 )(1  x2 ) (1  xk 1 )(1  xk )(1  xk 1 )  Do T  (1  x1 )(1  x2 ) (1  xn )  1  T  2 1 Ta chọn x1  , xi  0, i  2, n thỏa mản x1  x2   xn  T  2 Vậy Tmin   Bài toán Tìm giá trị nhỏ biểu thức x x  y y cho x, y   0;1 x  y  Giải Xét f ( x )  x x , x   0,1 f ( x)  f ( y)  x y f    (*) Thật vậy, khơng tính tổng qt, ta giả sử  x  y  (*) viết  x y    x  y  dạng  f    f ( x)    f ( y )  f     (**)        Ta chứng minh có bất đẳng thức (**) Ta có:      x y f   f ( x)    f ( y )      yx yx  x  y  f  f '( )    f '( ) 2   39  f ''( )(   ) yx (trong x    x y    y      ) Ta có f ( x )  x x  ln f ( x)  x ln x  f '( x)  (1  ln x) f ( x)  f '( x)  f ( x)(1  ln x) 1   f ''( x)  f '( x)(1  ln x)  f ( x)  f ( x). 1  ln x    x x  Từ f ''( x )  0, x   0,1  f ''( )(   ) yx   x y      f    f ( x)    f ( y )        x  y  f     Do (**) chứng minh Vậy f ( x )  x x , x   0,1 f ( x)  f ( y)  x y f     x y  1 Áp dụng, ta có xx  y y  f (x)  f ( y)  f    f     2    2 (vì x  y  ) Chọn x  y  x x  y y  2 Vậy  x x  y y    2.3.2 Phương pháp giải 2.3.2.1 Cực trị hàm đa thức bậc ba Hàm đa thức: y  f  x   ax  bx  cx  d  a   Đạo hàm: y  f   x   3ax  2bx  c Điều kiện tồn cực trị: y  f  x  có cực trị  y  f  x  có cực đại cực tiểu  f '  x   có nghiệm phân biệt   '  b  3ac  40 Kỹ tính nhanh cực trị: Giả sử  '  b  3ac  , f   x   có nghiệm phân biệt x1 , x với x1,2  b  b  3ac hàm số đạt cực trị x1 , x 3a Theo định nghĩa ta có cực trị hàm đa thức là: 2     y1  f  x1   f  b  b  3ac  ; y  f  x   f  b  b  3ac  3a 3a     Trong trường hợp x1 , x số vơ tỉ cực trị f  x1  , f  x  tính theo định nghĩa phức tạp so với cách tính theo thuật tốn sau đây: Bước 1: Thực phép chia f  x  cho f '  x  ta có:      f  x   x  b f   x   c  b x  d  bc 9a 3a 9a  hay f  x   f   x  q  x   r  x  (với deg r  x   )         y  f  x   r  x   c  b x  d  bc 1  f  x1   3a 9a  Bước 2: Do  nên   f  x2   y  f  x   r  x   c  b x  d  bc 2  3a 9a 2.3.2.2 Cực trị hàm đa thức bậc bốn Hàm đa thức: y  f  x   ax  bx  cx  dx  e  a   Đạo hàm: y  f   x   4ax  3bx  2cx  d Cực trị: Xét f   x   Nếu f   x  có nghiệm nghiệm (nghiệm đơn nghiệm kép) f  x  có cực trị Nếu f   x  có nghiệm phân biệt f  x  có cực trị gồm cực đại cực tiểu 41 Kỹ tính nhanh cực trị: Giả sử f '  x  triệt tiêu đổi dấu x  x0 , f  x  đạt cực trị x0 với số cực trị f  x   ax 04  bx 03  cx 02  dx  e Trong trường hợp x0 số vơ tỉ cực trị f  x0  tính theo thuật tốn: Bước 1: Thực phép chia f  x  cho f '  x  ta có f  x   q  x  f   x   r  x   BËc   BËc BËc Bước 2: Do f '  x0   nên f  x0   r  x0  2.3.2.3 Dạng tốn tìm cực trị hàm đa thức f  x  (với deg f  x   ) Chứng minh a   : f  x   a, x   (hay b   : f  x   b, x   ) Tìm x  x0 để f  x0   a (hay f  x0   b ) Do f  x   a (hay max f  x   b ) 2.3.2.4 Dạng tốn tìm cực trị đa thức nhiều biến P  x1 , x2 , , xn  Chứng minh a   : P  x1 , x2 , , xn   a, xi  , i  1, n (hay b   : P  x1 , x2 , , xn   b, x  , i  1, n ) Tìm  x1 , x2 , , xn   1 , , , n  để P 1 , , , n   a (hay P 1 , , , n   b ) Do P  x1 , x2 , , xn   a (hay max P  x1 , x2 , , xn   b ) Chú ý Việc tìm cực trị đa thức khơng phải dạng tốn thường gặp hàm đa thức bậc 2, bậc 3, bậc Để giải loại toán thường sử dụng đến bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacopki, định lý trung bình số bất đẳng thức khác … 42 Đối với dạng cực trị đa thức nhiều biến thường hay sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh tổng quát 2.4 SỬ DỤNG TÍNH CHẤT ĐẶC TRƯNG CỦA ĐA THỨC 2.4.1 Bài tập Bài toán Chứng minh với giá trị tùy ý    số tùy ý x1 , x2 , , xn thỏa mãn điều kiện  x1  x2   xn  , ta có bất đẳng  thức: 1  x1  x2   xn  x1 x2 xn   1  1   1 n (Đề thi vô địch Canada, 1982) Giải Ta chứng minh phương pháp quy nap Với n  1  (Bất đẳng thức đúng) Giả sử bất đẳng thức với n  k ta có 1  x   x2   xk  x1 x2 xk   1  1   1 k Với n  k  Ta chứng minh 1  x   x2   xk 1  x1 x2 xk1   1  1   1  k  1   Thật vậy, ta có 1  x1  x2   xk 1   1  x1  x2   xk    1  x1  x2   xk      xk 1  1       x1  x2   xk     Nhận thấy     xk 1  Theo bất  x1  x2   xk    xk 1  xk 1 đẳng thức Becnuli, ta có    1  x1  x2   xk   x1  x2   xk  43    xk 1 xk 1     1  x1  x2   xk   x1  x2   xk  (vì    )   Do 1  x1  x2   xk 1   1  x1  x2   xk    1  x1  x2   xk   xk 1  x1  x2   xk xk 1 xk 1 xn1   1 1 1 1  x1  x2   xk    n  1 xk 1   n  1   Suy 1  x1  x2   xk 1   1  x1  x2   xk   xn1 1  n  1 x1 x2 xk1    1  1   1  k  1 Bài toán Chứng minh với giá trị tùy ý m, n   số tùy ý x1 , x2 , , xn , y1 , y2 , , yn  [0;1] thỏa mãn điều kiện xi  yi  1, i  1, n , ta m có bất đẳng thức 1  x1.x2 xn   1  y1m  1  ynm   (Đề thi vô địch Bungari, 1984) Giải Ta chứng minh phương pháp quy nap với n   m Với n  1  x1   1  y1m    y1m  1  y1m     (Bất đẳng thức đúng) Giả sử bất đẳng thức với n  k ta có 1  x x x  m k  1  y1m  1  ykm   m Với n  k 1 Ta chứng minh 1  x1.x2 xk 1   1  y1m  1  ykm1   Thật vậy, ta có m m 1  x x x   1  y  1  y   1  x x x 1 y    1  y  1  y   1  x x x  x x x y   1  y  1  y  m k 1 m k 1 m k k k 1 m k k 1 m k 1 m m k 1 44 m  m   1  x1.x2 xk  x1.x2 xk yk 1    1  x1.x2 xk  1  ykm1  m ( 1  x1.x2 xk   1  y1m  1  ykm   ) m  m   1  x1.x2 xk  x1.x2 xk yk 1    1  x1.x2 xk  1  ykm1  m m   a  1  a  b   1  a m 1  b m    a  b  ab   1  a m 1  b m  (*) (với a   x1.x2 xk  [0;1] b  yn  [0;1] ) Ta lại chứng minh phương pháp quy nap với m   , với m a , b  [0;1] ta có bất đẳng thức  a  b  ab   a m  b m  a mb m Với m  a  b  ab  a  b  ab   (Bất đẳng thức đúng) k Giả sử bất đẳng thức với n  k , ta có  a  b  ab  ak  bk  akbk Với n  k  Ta chứng minh  a  b  ab  k 1  a k 1  b k 1  a k 1b k 1 Thật vậy, ta có  a  b  ab k 1  ak 1  bk 1  ak 1bk 1   ak  bk  ak bk   a  b  ab   ak 1  bk 1  ak 1bk 1 k (vì  a  b  ab   a k  b k  a k b k )  2a k 1b k 1  a k 1b k  a k 1b  a k b k 1  a k b  ab k  ab k 1  a k 1  b k 1  b k   b k 1  a k 1  a k   b  a k 1  a k   a  b k 1  b k    a k 1  a  b k 1  b k    a k 1  a k  b k 1  b    a  a k 1  b k  b k 1    a k  a k 1  b  b k 1   (vì  a  a k  a k 1   b  b k  b k 1  ) Suy  a  b  ab  k 1  a k 1  b k 1  a k 1b k 1 m Do  a  b  ab   a m  b m  a mb m với a , b  [0;1] m   Từ (*), ta có 1  x x x  k 1 m m  1  y1m  1  ykm1    a  b  ab   1  a m 1  b m  45  a m  b m  a mb m   a m  b m  a mb m  m Suy 1  x1.x2 xk 1   1  y1m  1  ykm1   m Vậy 1 x1.x2 xn   1 y1m  1 ynm  1 với giá trị tùy ý m, n số tùy ý x1 , x2 , , xn , y1 , y2 , , yn  [0;1] xi  yi  1, i  1, n  Bài toán Cho số tự nhiên n  Chứng minh phương trình xn x n 1 x2 x       khơng có nghiệm hữu tỉ n! (n  1)! 2! 1! Giải Giả sử phương trình cho có nghiệm hữu tỉ  Khi  nghiệm n hữu tỉ đa thức P ( x )  x  nx n 1 xk x2 x   n!   n!  n !  n ! k! 2! 1! Nhưng đa thức P ( x ) ( deg P( x)  n ) với hệ số nguyên, có hệ số cao   phải số nguyên nên ta có: n   n n 1 k 2    n !   n!  n!  n !  k! 2! 1! (1) Gọi p ước nguyên tố n , k  1, n k   k  k  Khi ord p (k !)          s  với p s  k  P s1  p  p  p  Từ (2) suy ord p (k !)  (2) k k k k  1     s  1    s1  p p p p p p    k  ps   p  1  p     ps 1   k   p  1 p s      k  Do ord p (k !)  k  ord p (n!)  ord p (k !)  ord p (n!)  k  ord p (n!)  ord p (k !)  ord p (n!)  k  46 n! n! ord  ord p ( )  ord p (n!)  k    p k! k! p ( n!)  k 1 , k  1, n (3) Mặt khác n p nên từ (1) suy  n  p    p   k  p k , k  1, n (4) Từ (3) (4) suy ra: n !  k ord p k! Từ (1) (5) suy ra: n! p ordp ( n!)1 p ( n!) 1 , k  1, n (5)  ordp (n!)  ordp (n!) 1  1 (vô lý) xn x n1 x2 x Vậy phương trình       (với n  ) không n! (n  1)! 2! 1! có nghiệm hữu tỉ  2.4.2 Phương pháp giải Dạng toán bất đẳng thức mà sử dụng tính chất đa thức, thường dạng tốn khó Đa phần dạng tốn hay sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh tổng quát sử dụng bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacopki, Becnuli, định lý trung bình với bất đẳng thức khác …… 47 KẾT LUẬN Luận văn trình bày chi tiết lý thuyết đa thức tính chất liên quan đến đa thức Sử dụng công cụ hàm số học, kiến thức giải tích định lý Cauchy, Bunhiacopki, Viet, Becnuli,… để nghiên cứu chứng minh Phần tập, đưa số dạng tập đa thức có quan hệ chặt chẽ với đa thức Đã phân loại số dạng tập có chứng minh nêu phương pháp giải 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lê Trần Chính, Nguyễn Quý Dy, Nguyễn Văn Lộc, Nguyễn Văn Nho, Vũ Văn Thoả, Vũ Dương Thụy, Nguyễn Sinh Nguyên, Đào Tam, Lưu Xn Tình (2006), 200 Bài thi vơ địch gồm tập: Số học, Đại số, Giải tích, Hình học phẳng, Hình học khơng gian, Lượng giác, Tổ hợp, Phương trình hàm, NXB Giáo Dục [2] X V Cônhiagin, G A Tônôian, I F Sarưgin (Người dịch: PGS Nguyễn Việt Hải, Hồng Đức Chính, Nguyễn Để, Nguyễn Khánh Ngun) (2002), Các đề thi vơ địch Tốn 19 nước tập 1,2, NXB Trẻ [3] Nguyễn Văn Mậu (2006), Bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn Trung học phổ thơng Đa thức đại số Phân thức hữu tỉ, NXB Giáo Dục [4] Nguyễn Thành Quang (2003), Số học đại, Trường Đại học Vinh [5] Trần Quốc Sang, Nguyễn Xuân Đào, Phạm Hồng Mỹ Hạnh, Nguyễn Nhật Tân (2009), Chuyên đề đa thức hệ số nguyên, Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm Vĩnh Long [6] Hồng Xn Sính (2008), Đại số đại cương, NXB Giáo Dục [7] Mai Văn Tư (2010), Số P – Adic, Trường Đại học Vinh ... hệ số, an hệ số bậc cao a0 hệ số tự đa thức Nếu  , i  1, n a0  ta có bậc đa thức Nếu  , i  0, n ta gọi đa thức đa thức (đa thức đa thức khơng có bậc) Tập hợp tất đa thức với hệ số lấy K Ký... C n 1 n 14 Chương II MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 2.1 XÁC ĐỊNH ĐA THỨC 2.1.1 Bài tập Bài tốn Tìm đa thức khơng đồng với hệ số nguyên nhận số    3 làm nghiệm Giải Ta có Q... x) với g  x  đa thức hệ số nguyên 1.2.5 Bổ đề Gauss Tích hai đa thức nguyên đa thức nguyên Hệ Cho f  x   an x n  an 1 x n1    a1 x  a0 đa thức hệ số nguyên với  ,  số nguyên khác