Một số bài toán tô màu và ứng dụng

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN VĂN NGỢI MỘT SỐ BÀI TỐN TƠ MÀU VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN VĂN NGỢI MỘT SỐ BÀI TỐN TƠ MÀU VÀ ỨNG DỤNG CHUN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ MÃ SỐ: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Nguyễn Thành Quang NGHỆ AN - 2012 MỤC LỤC Trang LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI CHƢƠNG GIỚI THIỆU VỀ TỔ HỢP TOÁN HỌC 1.1 Một số nguyên lí 1.2 Các cấu hình tổ hợp đơn giản CHƢƠNG GIỚI THIỆU VỀ CÁC BÀI TỐN TƠ MÀU CƠ BẢN 2.1 Các kiến thức 2.2 Một số dạng toán thường gặp tơ màu 13 2.3 Các tốn tổng hợp 16 CHƢƠNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN TƠ MÀU CHỌN TỪ CÁC ĐỀ THI VƠ ĐỊCH TỐN QUỐC GIA, QUỐC TẾ 24 KẾT LUẬN 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO 55 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Tổ hợp ngành toán học rời rạc nghiên cứu cấu hình kết hợp phần tử tập hợp hữu hạn phần tử Các cấu hình phép liệt kê, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp phần tử tập hợp Tổ hợp có liên quan đến nhiều lĩnh vực khác toán học, đại số, lý thuyết xác suất thống kê, hình học ngành ứng dụng khoa học máy tính vật lí thống kê Liệt kê, đếm, xếp đối tượng có tính chất phần quan trọng lý thuyết tổ hợp Thông thường số đối tượng hữu hạn việc phân bố chúng phải thoả mãn điều kiện định đó, tùy theo yêu cầu toán Chủ đề nghiên cứu từ lâu câu hỏi tổ hợp nêu cơng trình nghiên cứu trị chơi may rủi Một tốn khác lý thuyết tổ hợp việc tạo cách xếp theo kiểu Vấn đề quan trọng mơ máy tính Chúng ta đưa thuật toán tạo cách xếp theo nhiều kiểu khác Các tốn tổ hợp có đặc trưng gắn với số cấu hình tổ hợp khổng lồ Việc giải chúng địi hỏi khối lượng tính tốn khổng lồ (có trường hợp hàng chục năm) Vì thời gian dài, mà ngành tốn học phép tính vi phân, phép tính tích phân, phương trình vi phân,… phát triển vũ bảo, nằm ngồi phát triển ứng dụng tốn học Tình thay đổi từ xuất máy tính phát triển toán học hữu hạn Nhiều vấn đề tổ hợp giải máy tính Từ chỗ nghiên cứu trị chơi, tổ hợp trở thành ngành toán học phát triển mạnh mẽ, có nhiều ứng dụng lĩnh vực tốn học, tin học… Các toán tổ hợp bao gồm: Bài toán rời rạc đại số tổ hợp; Bài tốn tơ màu; Bài tốn trị chơi; Bài tốn đồ thị Đề tài luận văn “Một số tốn tơ màu ứng dụng” nhằm sâu tìm hiểu năm tốn Tổ hợp Nội dung luận văn tập trung tìm hiểu tốn tơ màu đề tốn tơ màu chọn từ kỳ thi vơ địch tốn quốc gia, quốc tế Luận văn chia làm chương: Chương Giới thiệu Tổ hợp toán học Chương Giới thiệu tốn tơ màu Chương Giải số tốn tơ màu chọn từ đề thi vơ địch toán Tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy giáo hướng dẫn khoa học - PGS.TS Nguyễn Thành Quang - tận tình hướng dẫn, bảo, giúp đỡ để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin cảm ơn thầy cô giáo chuyên ngành Đại số Lý thuyết số, Khoa Tốn học, Phịng Đào tạo Sau đại học Trường Đại học Vinh giảng dạy hướng dẫn cho học tập nghiên cứu Tác giả xin cảm ơn Trường Đại học Đồng Tháp giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho học viên học tập nghiên cứu chương trình đào tạo sau đại học Xin cảm ơn quan công tác, gia đình, bạn hữu tơi quan tâm giúp đỡ suốt thời gian học tập vừa qua Tuy cố gắng trình học tập, nghiên cứu viết luận văn, song chắn cịn có nhiều thiếu sót, mong góp ý, bảo thầy cô bạn đồng nghiệp Nghệ An, tháng 09 năm 2012 Tác giả NGUYỄN VĂN NGỢI CHƢƠNG GIỚI THIỆU VỀ TỔ HỢP TOÁN HỌC 1.1 Một số nguyên lý 1.1.1 Nguyên lý nhân Giả sử cấu hình tổ hợp xây dựng qua k bước, bước thực n1 cách, bước thực n2 cách, …, bước k thực nk cách Khi số cấu hình tổ hợp là: n1.n2 nk 1.1.2 Nguyên lý cộng Giả sử  X , X , , X n  phân hoạch tập S Khi S  X1  X   X n 1.1.3 Nguyên lý bù trừ Công thức Cho tập hợp A, B Theo nguyên lý cộng ta có: A B  A  B  A B Công thức Cho tập hợp X n tập X , X , , X n , ta có: n X  X   X n   (1)k 1 X (n, k ) , k 1 đó: X  n, k    1i1  ik  n xi  xi   xi k tổng X  n, k  ,  i1 , i2 , , ik  lấy tất tổ hợp chập k n X  n, k  tổng Cnk số hạng Nói riêng ta có X  n,1  X1  X   X n , X  n, n   X1  X   X n Từ công thức 2, sử dụng tính chất: X  X   X n  X  X   X n  X  X1  X   X n Ta nhận công thức sau: n Công thức (Sieve): X  X   X n   (1)k X (n, k ) , k 0 đó: X  n,0   X X  n, k    1i1  ik  n X i  X i   X i , k  1, , n k Bây giờ, ta cho tính chất 1 , , n tập X Xét tốn: Đếm số phần tử X khơng thỏa mãn tính chất  k Lời giải Với k  1, , n ta có ký hiệu: X k   x  X x thỏa mãn  k  Như phần bù X k là: X k   x  X x không thỏa mãn  k  Ký hiệu N số cần đếm, theo cơng thức ta có: n N  X  X   X n  X    1 X  n, k  , k k 1 X  n, k    1i1  ik  n X i  X i   X i k k  1, , n 1.2 Các cấu hình tổ hợp đơn giản Những cấu hình sau thường làm sở cho phép đếm 1.2.1 Chỉnh hợp lặp Một chỉnh hợp lặp chập k n phần tử khác có thứ tự gồm k thành phần lấy từ n phần tử cho Các thành phần lặp lại Một chỉnh hợp lặp chập k n phần tử xem phần tử tích Đề-Các X k , với X tập n phần tử Như số tất chỉnh hợp lặp chập k n n k Kí hiệu số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử là: Ank  nk Ví dụ 1.1 Từ tập   a, b, c đặt tên biến có độ dài ký tự ? Lời giải Mỗi tên biến có ký tự chọn từ tập  phần tử lấy từ tập  Vậy số tên biến có ký tự chọn từ  N     N     N     N         81 ▄ Ví dụ 1.2 Các dãy nhị phân có độ dài n chỉnh hợp lặp chập n từ hai phần tử 0; 1 Vậy theo công thức chỉnh hợp lặp chập n từ phần tử 2n ▄ 1.2.2 Chỉnh hợp không lặp Một chỉnh hợp không lặp chập k n phần tử khác có thứ tự gồm k thành phần lấy từ n phần tử cho Các thành phần không lặp lại Theo nguyên lý nhân, số tất chỉnh hợp không lặp chập k n phần tử là: Pnk  n  n  1  n  k  1  n!  n  k ! 1.2.3 Hoán vị Hoán vị n phần tử khác cách xếp thứ tự phần tử Hốn vị coi trường hợp riêng chỉnh hợp không lặp chập k n k  n Ta có số hoán vị là: Pn  n! 1.2.4 Hoán vị lặp Hốn vị lặp hốn vị phần tử ấn định số lần lặp cho trước Số hoán vị lặp k phần tử khác số phần tử thứ lặp n1 lần, số phần tử thứ lặp n2 lần, , số phần tử thứ k lặp nk lần là: P  n ; n1 , n2 , , nk   n! n1 !n2 ! nk ! Giả sử tập S có n phần tử khác nhau, có n1 phần tử kiểu 1, n2 phần tử kiểu 2, , nk phần tử kiểu k Khi đó, số hốn vị n phần tử tập S là: P  n ; n1 , n2 , , nk   n! n1 !n2 ! nk ! 1.2.5 Tổ hợp Một tổ hợp chập k n phần tử khác không kể thứ tự gồm k thành phần khác lấy từ n phần tử cho Nói cách khác ta coi tổ hợp chập k n phần tử khác tập có k phần tử từ n phần tử cho Ký hiệu số tổ hợp chập k n phần tử Cnk Ta có Pk  Cnk k !, suy ra: Cnk  n! k !(n  k )! 1.2.6 Tổ hợp lặp Tổ hợp lặp chập k từ n phần tử nhóm khơng phân biệt thứ tự gồm k phần tử trích từ n phần tử cho, phần tử lặp lại Giả sử X có n phần tử khác Khi số tổ hợp lặp chập k từ n phần tử X, ký hiệu Rnk là: Rnk  Cnkk 1   n  k  1! k ! n  1! Ví dụ 1.3 Phương trình sau có nghiệm nguyên không âm: x1  x2  x3  11 Lời giải Chúng ta nhận thấy nghiệm phương trình ứng với cách chọn 11 phần tử từ tập có loại, cho có x1 phần tử loại 1, x2 phần tử loại 2, x3 phần tử loại chọn Vì số nghiệm số tổ hợp chập 11 từ tập gồm phần tử Theo cơng thức ta có: R311  C111131  C1311  C132  13.12  78 ▄ 1.2 10 CHƢƠNG GIỚI THIỆU VỀ CÁC BÀI TỐN TƠ MÀU CƠ BẢN Khi gặp tốn phức tạp, công việc cần làm đưa trở với ngơn ngữ tốn học quen thuộc, giúp dễ dàng tư việc trình bày lời giải trở nên đơn giản Một phương pháp hay sử dụng để làm công việc Tô màu Ta chia đối tượng xét thành nhiều đối tượng tô màu khác Không vậy, nhiều Tô màu thực giúp làm vấn đề trở nên sáng sủa tới lời giải nhanh chóng, ngắn gọn dễ hiểu Bài tốn tơ màu gán màu cho đỉnh, cạnh hay hình cho đỉnh, cạnh hay hình thỏa mãn số tính chất yêu cầu 2.1 Các kiến thức 2.1.1 Nguyên lí Dirichlet Nguyên lí Nếu nhốt n  thỏ vào n lồng tồn lồng có hai thỏ Ngun lí Nếu nhốt n thỏ vào m lồng mà phép chia n cho m có thương k cịn dư tồn lồng có k  thỏ Nhận xét Ưu điểm nguyên lí Dirichlet cho phép khẳng định tồn đối tượng có tính chất mà khơng cần mơ hình cụ thể Ví dụ 2.1 (Bài tốn ngƣời) Chứng minh người ln tìm ba người đôi quen đôi khơng quen Lời giải Đây tốn cổ điển Toán học phần nhỏ lớp rộng toán dạng Turan Để giải tốn này, ta phát biểu tốn lại sau: Cho điểm hai điểm nối với đoạn thẳng tô hai màu xanh đỏ Chứng minh rằng, tìm tam giác có ba cạnh có màu 44 Tam giác lớn có cạnh n ; tam giác lớn có cạnh n 1 n2 n2 n 1 n 1 ; tam giác có cạnh , , ; v.v , sau cùng, n n n 1 n tam giác nhỏ có cạnh góc vng 1 Suy diện tích phần , n n 1 màu trắng thêm vào là: 2 n  1 n  2 1 n    2n      n2   12       n  n  n  1 n  n  1 n  n  1  2n  n  1 12 Từ đó, diện tích phần màu đen thêm vào là: n 2n  n    12 12 nhiều diện tích phần màu trắng thêm vào n 2n  n n       12 12 6 Đến đây, ta thấy n số chẵn f  n, n   tam giác ban đầu, tam giác có f  n  1, n   n 1 , số khơng thể bị chặn theo n được, từ ta suy điều phải chứng minh ▄ Bài 21 Tìm số nguyên dương bé n  n  3 thỏa mãn tính chất sau: Với cách tơ thành hai màu cho n điểm khác thõa A1 , A2 , , An đường thẳng thỏa mãn A1 A2  A2 A3   An1 An , tồn ba điểm Ai , Aj , A2i  j 1  i  j  i  n  có màu Lời giải Giả sử ta tô thành hai màu đen trắng Xét cách tô màu cho điểm tô màu sau: A1, A2 , A5 , A6 (màu trắng), A3 , A4 , A7 , A8 (màu đen) Hiển nhiên, theo cách tơ này, khơng có ba điểm Ai , Aj , A2 j i 1  i  j  i  n  có màu, n  Ta chứng minh số n  số cần tìm Giả sử tồn cách tô hai 45 màu trắng đen cho điểm cho khơng có ba điểm Ai , Aj , A2 j i 1  i  j  i  n  có màu Trước tiên, ta giả sử với i  3, i  4, hay i  điểm Ai , Ai 2 có màu (giả sử màu trắng) Lúc đó, ba điểm Ai 1, Ai 1, Ai 4 phải màu đen, điều mâu thuẫn (để ý i   i   ) Tiếp theo, ta giả sử với i  3, i  4, i  điểm Ai , Ai 2 có màu khác Khơng tính tổng qt, giả sử A5 có màu trắng Lúc đó, A3 A7 phải có màu đen Do tính đối xứng, giả sử A4 có màu trắng A6 có màu đen Suy A8 phải màu trắng, A2 màu đen    2.5 A9 có màu trắng    2.8 Vì điểm A1 phải có hai màu trắng 1   2.2  đen 1   2.5 , ta lại có điều mâu thuẫn Vậy số n cần tìm n  ▄ Bài 22 Chia hình chữ nhật kích thước m  n  m  1, n  1 thành mn ô vuông 1 đường thẳng song song với cạnh Ta tìm hai cách hủy hai vng, sau lấp đầy cịn lại hình chữ nhật quân cờ domino  Hỏi có cách ? (Ta hiểu quân cờ domino  hình gồm hai trắng đen.) Lời giải Kí hiệu F  m, n  số cần tìm Vì quân cờ domino phủ hai ô vuông nên m n lẻ F  m, n   Giả sử mọt hai số m, n số chẵn Ta tô màu ô vuông hai màu trắng đen cho hai kề có màu khác Rõ ràng số S0 ô màu trắng số S1 ô màu đen: S0  S1  mn Mỗi quân cờ domino phủ ô trắng ô đen Nếu ta hủy hai màu trắng màu đen, phần cịn lại hình chữ nhật khơng thể phủ đầy quân cờ domino Bây giờ, ta chứng minh hủy hai ô khác (một ô màu trắng mmột ô màu đen), phần cịn lại hình chữ nhật phủ đầy quân cờ domino 46 Vì mn số chẵn nên mn  2t , với t  Ta chứng minh quy nạp theo t Mệnh đề hiển nhiên với trường hợp t  Giả sử t0  mệnh đề với t mà  t  t0 Xét trường hợp mn   t0  1 Kí hiệu T1 hình chữ nhật bao gồm hai hàng đầu hình chữ nhật xét, kí hiệu T2 hình chữ nhật bao gồm hàng lại Nếu hai ô bị hủy thuộc hình chữ nhật T1 thuộc T2 , phần cịn lại hình chữ nhật phủ đầy quân cờ domino, theo giả thiết quy nạp Giả sử ô bị hủy thuộc T1 , ô bị hủy thuộc T2 Ta đặt vào hình chữ nhật quân cờ domino cho ô quân cờ nằm T1 cịn nằm T2 Ngồi ra, bị hủy thuộc T1 quân cờ phủ thuộc T1 hai ô có màu khác Từ đó, bị hủy thuộc T2 ô quân cờ phủ thuộc T2 hai có màu khác Theo giả thiết quy nạp, phần lại T1 phần cịn T2 phủ qn cờ domino  mn  Cuối cùng, có tất S0 S1    cách chọn ô trắng ô đen   m2n2 Do đó, trường hợp ta có F  m, n   ▄ Bài 23 Cho bảng vuông cỡ  có bốn vng bốn góc bảng bị xóa a) Hỏi số bé ô vuông cần tô màu đen ta thấy hình chữ thập (gồm vng khơng màu - xem hình) bảng vng cho ? b) Chứng minh ta viết số nguyên lên ô bảng theo cách tổng số nguyên hình chữ thập số âm, cịn tổng tất nguyên toàn bảng số dương Lời giải Ta kí hiệu vng nằm hàng thứ i cột j ô  i, j  Để ý hình chữ thập xác định cách ô nằm 47 Ta kí hiệu Cij hình chữ thập có tâm  i, j  , với  i, j  Số tất hình chữ thập bảng cho 25 a) Các ô vuông nằm biên bảng vuông, tức ô 1, i  , i,1 ,  7, i  , i,7  , i  2, ,6, ô thuộc hình chữ thập Các ô  2, 2 ,  2,6 ,  6,  ,  6,6  , ô thuộc hình chữ thập Mỗi  2, i  , i,2 ,  6, i  , i,6 , i  3,4,5 thuộc hình chữ thập Cuối  i, j  ,  i, j  , thuộc hình chữ thập Nếu khơng muốn thấy tồn khơng màu hình chữ thập C22 , hình phải có chứa tơ màu, nghĩa có ô 1, 2 ,  2,1 ,  2,  ,  2,3 , 3,  phải tơ màu Lí luận tương tự, ô  2,7  , 1,6 ,  2,6  ,  2,5 , 3,6  phải tơ màu; tiếp theo, ô  7, 2 ,  6,1 ,  6, 2 ,  5, 2 ,  6,3 phải tơ màu, sau cùng,  6,7  ,  7,6 ,  6,6  ,  6,5 , 5,6  phải tô màu Bất ô ô kể thuộc nhiều bốn hình chữ thập Gọi x số ô tô màu số ô  i, j  ,3  i, j  Số hình chữ thập có chứa ô tô màu không lớn   5x , suy ra: 16  5x  25 1 Do đó, x  , nên số ô phải tô màu bé Giả sử số ô phải tô màu Khi x  Ngồi ra, theo 1 , tồn nhiều hình chữ thập chứa nhiều tơ màu Nếu có hai ô vuông có cạnh chung có đỉnh chung tơ màu, dễ dàng kiểm tra có hai hình chữ thập mà hình có hai ô tô màu Do vậy, ô vuông  4,4  ,  3,3 ,  3,5 ,  5,3 , 5,5 phải ô không tơ Khơng tính tổng qt, giả sử hai tô màu ô  4,3 ô  4,5 Nhưng đó, hình chữ thập C34 C54 không chứa ô 48 tô màu Như vậy, số ô phải tô màu bé Để chứng tỏ số cần tìm, ta xét cách tơ màu sau: tơ ô  2,5 , 3,2 , 3,3 ,  4,6 , 5,4 ,  6,2 ,  6,5 ,và dễ thấy cách tô màu thỏa mãn đề ▄ b) Ta viết số 5 vào ô tơ màu nói câu a), viết số vào cịn lại Vì hình chữ thập có chứa tơ màu nên tổng số hình chữ thập khơng lớn      1  Tổng số viết bảng ô vuông là: 7. 5   45  .1   Câu b) chứng minh ▄ Bài 24 Các cạnh đường chéo n – giác X tô k màu cho: (i) Với màu a hai đỉnh A, B X đoạn AB tô màu a; phải tồn đỉnh C cho AC BC tô màu a; (ii) Ba cạnh tam giác có ba đỉnh ba đỉnh nằm số đỉnh X tô nhiều hai màu Chứng minh k  Lời giải Giả sử ngược lại k  , nghĩa cạnh đường chéo n – giác X tơ ba màu a, b, c cho điều kiện  i   ii  đề thỏa mãn Ta dẫn điều mâu thuẫn xây dựng tập vô hạn tập X Giả sử Z  X A1 đỉnh cho A1Z tô màu a Từ  i  suy tồn tai đỉnh B1 cho B1Z B1 A1 có màu b Tương tự, tồn đỉnh C1 cho C1Z C1B1 có màu c Xét tam giác C1 A1Z C1 A1B1 , dùng điều kiện  ii  , suy C1 A1 có màu c Gọi A2  X đỉnh cho A2C1 A2 Z có màu a 49 Dễ thấy A2 không trùng A1 cạnh A2 A1 , A2 B1 có màu a Bây ta tiến hành quy nạp Giả sử đỉnh A2 , B2 , C2 , , Ak 1, Bk 1, Ck 1 đỉnh cho cạnh Ai Aj , Ai B j , AC i j có màu a, cạnh Ci Aj , Ci B j , CiC j có màu c   j  i  k  Chọn đỉnh Ak cho Ak Ck 1 Ak Z có màu a Khi đó, xét cặp tam giác ZAk B j Ck 1 Ak B j  j  k  ZAk C j B j 1 Ak C j  j   k  , Ak Aj B j Ak Aj B j , ta thấy đoạn Ak B j , Ak C j Ak C j có màu a Các đỉnh Bk Ck xây dựng theo cách tương tự Suy điều phải chứng minh ▄ Bài 25 Tô màu đỉnh đa giác 12 cạnh hai màu khác Hãy tìm số tất cách tơ màu cho khơng có đa giác có đỉnh màu Lời giải Để cho gọn, ta nói đa giác có màu để thay cho: đa giác có tất đỉnh màu Gọi hai màu xanh, A1 A12 đỏ Hiển nhiên cần quan B2 B1 A11 B12 A2 B3 A3 tâm đến tam giác B11 hình vng Các đỉnh đa giác 12 cạnh tạo thành tam giác ba hình vng Dễ dàng lí luận để thấy có tất 64  1296 cách tơ màu cho khơng có tam giác màu B4 A4 A10 B10 A9 B5 B9 B6 B7 B8 A6 A8 A7 A5 Trong số 1296 cách tơ trên, có 50 cách tơ để hình vng màu Để có hình vng màu, ta có  34  162 cách, chẳng hạn, hình vng có màu đỏ hai đỉnh tam giác không màu phải là: đỏ – xanh, xanh – đỏ xanh – xanh (đỉnh thứ ba tam giác khơng màu đỉnh hình vng màu xét) Để có hai hình vng mà hình màu (hoặc hai hình chung màu, hai hình có màu khác nhau) ta có số cách   24  34 Để có ba hình vng màu (chỉ cần xét ba hình vng với hình màu ba khơng màu), có tất cách Vậy số cách tô màu để khơng có đa giác màu là:   1296   162    34    1296   162   34   906 ▄ Bài 26 Cho số nguyên lẻ n  số nguyên m, với m  n2  n  Cho dãy đa giác p1 , p2 , , pm xác định sau: (i) P1 đa giác n đỉnh (ii) Với k  1, Pk đa giác mà đỉnh trung điểm cạnh đa giác Pk 1 Hãy xác định (và chứng minh) số màu lớn dùng để tơ tất đỉnh đa giác cho với cách tơ số màu đó, ln tìm đỉnh A, B, C, D có màu chúng tạo thành hình thang cân (có thể suy biến thành đỉnh nằm đường thẳng), bốn đỉnh khơng nằm đường thẳng qua tâm P1 Lời giải Ta chứng minh số lớn màu n 1 Gọi V1 , ,Vn đỉnh P1 , đó, theo thứ tự, số Vi đánh số tăng dần theo chiều kim đồng hồ Vi lấy theo modulo n *Trước tiên, ta chứng minh số màu phải bé n Gọi O tâm chung đa 51 giác Vì n lẻ nên đỉnh nằm đường thẳng VAi Giả sử số màu n '  n, gọi c1 , , cn n màu số n ' màu đỉnh nằm đường thẳng OVi tơ màu ci Khi đó, đỉnh có màu nằm đường thẳng ngang qua tâm Pi , đó, khơng thể tìm đỉnh thỏa mãn đề *Tiếp theo, ta chứng minh với n 1 màu cách tơ màu ta tìm đỉnh thỏa mãn điều kiện đề Qua đỉnh Vi , ta vẽ n đường thẳng: đường thẳng d1 tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp P1 V1 ; đường thẳng di tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp Pi Vi , với i,  i  n Bất đường thẳng m chứa cạnh đường chéo VV P1 phải song song với đường i j thẳng này, cụ thể, đường thẳng di  j 1 Giả sử có cạnh đường chéo P2 nối trung điểm W1 trung điểm W2 VjVj 1 Lúc đó, VV song / / Vi 1Vj Ta có WW VV i j 1 i i 1 song cách hai đường thẳng Do đó, WW song song với n đường thẳng di Tương tự, cạnh đường chéo đa giác Pj song song với n đường thẳng di Trong đa giác Pj , có n đỉnh, sơn n 1 màu, nên có hai đỉnh cạnh đường chéo màu, ta tạm gọi đoạn thẳng màu Khi j chạy từ đến m, ta có m đoạn thẳng màu thế, với m  n2  n   n  n  1 Theo nguyên tắc Dirichlet, n đường thẳng di phải song song với đoạn thẳng màu đó, mà đoạn thẳng thuộc Pj Lại theo nguyên tắc Dirichlet, có hai số đoạn thẳng màu, ta gọi AB CD, phải có màu Suy tồn tại, hình thang cân ABCD, hình thang cân ABDC mà đỉnh màu Vì m đa giác nội 52 tiếp đường trịn đồng tâm AB, CD đường kính nên suy bốn điểm A, B, C, D nằm đường thẳng qua tâm P1 ▄ Bài 27 Trong mặt phẳng, cho hai đa giác n cạnh S T nhau, với n  , cho chúng giao phần giao  S  T  đa giác 2n đỉnh Các cạnh S tơ màu đỏ, cịn cạnh T tô màu xanh Chứng minh tổng độ dài cạnh màu xanh đa giác  S  T  tổng độ dài cạnh màu đỏ Lời giải Trước tiên, ta có nhận xét đa giác S  T có 2n cạnh cạnh S  T có màu thay đổi liên tiếp, nghĩa S  T khơng có hai cạnh kề màu Gọi đỉnh màu đỏ S R1 , R2 , , Rn đỉnh màu xanh T B1 , B2 , , Bn là: Ta đặt S T cho đỉnh xếp theo thứ tự vòng quanh chiều kim đồng hồ sau: B1 , R1 , B2 , R2 , , Bn , Rn Mỗi đỉnh với cạnh đối tạo thành tam giác, tất tam giác đồng dạng Với i 1,2, , n, ta gọi độ dài cạnh tam giác xác định đỉnh Bi bi , ci , di theo chiều kim đồng hồ, đó, bi cạnh đối diện đỉnh Bi ta có: bi ci di    pi b1 c1 d1 Cũng vậy, theo chiều kim đồng hồ, ta gọi độ dài cạnh tam giác xác định đỉnh Ri ri , si , ti , với ri cạnh đối diện đỉnh Ri ta có: ri si ti    qi b1 c1 d1 Khi đó, ta cần chứng minh rằng: b1  b2   bn  r1  r2   rn Hay b1  p1  p2   pn   b1  q1  q2   qn  , p1  , nghĩa phải chứng 53 minh p  q , với p  p1  p2   pn , q  q1  q2   qn Bây giờ, dễ thấy chu vi đa giác T (có cạnh tô màu xanh) là: n c i 1 i  di  ri   pc1  pd1  qb1 Tương tự, chu vi đa giác S (có cạnh tô màu đỏ) là: n b  s i 1 i i  ti   pb1  qc1  qd1 Biết S T nhau, ta có: pc1  pd  qb1  pb1  qc1  qd  p c1  d  b1   q c1  d  b1  Theo bất đẳng thức tam giác, c1  d1  b1  nên đẳng thức sau cho ta p  q , điều phải chứng minh ▄ B1 c1 d1 b1 t1 R1 r1 s1 c2 b2 B2 d2 r2 t2 s2 R2 Bài 29 Trong hệ thống xe điện ngầm, có n đường mặt đất (với n  , giả sử đường đường thẳng) Tại trạm, có nhiều ba đường gặp Với hai đường bất kì, tồn đường thứ ba cho từ đường đến đường thứ ba Chứng minh số trạm xe điện ngầm  n  5 Lời giải Để ý có có hai trạm đường xe điện ngầm Đầu tiên, ta xét trường hợp đường có ba trạm Ta tính cặp đường – trạm (con đường qua trạm) theo hai cách sau: Số đường n, 54 đường ngang qua ba trạm, có 3n cặp Mặt khác, trạm có khơng q ba đường ngang qua, điều có nghĩa số đường nhiều ba lần số trạm Suy số trạm bé n, mà  n  5  n nên trường hợp phát biểu đề toán L Bây giờ, giả sử có đường L có hai trạm qua Có nhiều bốn đường khác qua hai trạm L; ta gọi đường đường “gần”, đường cịn lại, tối thiểu n  , gọi đường “xa” Tô màu xanh trạm đường gần, trạm lại tơ màu đỏ (trên hình vẽ, màu đỏ màu đậm) Gọi g r tương ứng số trạm xanh đỏ Mỗi đường xa chứa hai trạm Có tối đa hai đường xa qua trạm màu xanh bất kì, có nhiều ba đường ngang qua trạm tùy ý Từ đó:  n  5  g  3r Với đường xa, có đường nối với L Do đó, đường xa phải qua trạm màu xanh Vì có tối đa hai đường xa qua trạm màu xanh tùy ý nên: Từ bất đẳng thức ta có: n   2g 55 gr  1 1  g  3r      n  5   n  5   n  5 6 Như vậy, có  n  5 trạm ▄ 56 KẾT LUẬN Nội dung luận văn sâu tìm hiểu “Một số tốn tơ màu ứng dụng” với có nội dung sau đây: - Hệ thống lại số kiến thức tốn tổ hợp - Trình bày ứng dụng nguyên lí cực hạn, nguyên lý Dirchlet vào giải tốn hình học tổ hợp, có tốn tơ màu - Tìm tịi ví dụ tập để minh họa cho phương pháp vận dụng vào việc giải tốn tơ màu - Tuyển chọn tốn tơ màu chọn từ đề thi Vơ địch Tốn quốc tế (IMO) Vơ địch Tốn quốc gia (VMO) 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Lê Hải Châu, Lê Hải Khơi (1997), 199 tốn chọn lọc tổ hợp, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội [2] Nguyễn Quý Dy, Nguyễn Văn Nho, Vũ Dương Thụy (2005), Tuyển tập 200 thi vơ địch tốn, Nhà xuất Giáo dục Hà Nội [3] Phan Huy Điển (2002), Tính tốn, lập trình giảng dạy tốn học Maple, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [4] Phan Huy Khải (2006), Các chuyên đề Số học bồi dưỡng học sinh giỏi toán trung học, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội [5] Hà Huy Khoái, Phạm Huy Điển (2003), Số học thuật toán, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [6] Nguyễn Văn Mậu, Trần Nam Dũng, Vũ Đình Hịa, Đặng Huy Ruận, Đặng Hùng Thắng (2008), Chuyên đề chọn lọc tổ hợp toán rời rạc, Nhà xuất Giáo dục Hà Nội [7] Đàm Văn Nhỉ, Lưu Bá Thắng, Nguyễn Việt Hải (2006), Số học, Nhà xuất Đại học Sư phạm Hà Nội [8] Đặng Huy Ruận (2001), Lý thuyết đồ thị ứng dụng, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội TIẾNG ANH [9] D M Burton (2002), Elementary Number Theory, Tata McGraw-Hill Company Limited, New Delhi [10] 58 S G Telang (2001), Number Theory, Tata McGraw-Hill Company Limited, New Delhi ... AN - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN VĂN NGỢI MỘT SỐ BÀI TỐN TƠ MÀU VÀ ỨNG DỤNG CHUN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ MÃ SỐ: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƢỜI HƢỚNG... vậy, số ô phải tô màu bé Để chứng tỏ số cần tìm, ta xét cách tô màu sau: tô ô  2,5 , 3,2 , 3,3 ,  4,6 , 5,4 ,  6,2 ,  6,5 ,và dễ thấy cách tô màu thỏa mãn đề ▄ b) Ta viết số 5 vào... thành ngành toán học phát triển mạnh mẽ, có nhiều ứng dụng lĩnh vực tốn học, tin học… Các toán tổ hợp bao gồm: Bài toán rời rạc đại số tổ hợp; Bài tốn tơ màu; Bài tốn trị chơi; Bài toán đồ thị