Một số bài toán về đô thị và ứng dụng

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH TRẦN VĂN THƢƠNG MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH TRẦN VĂN THƢƠNG MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ MÃ SỐ: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGUYỄN THÀNH QUANG NGHỆ AN – 2012 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU CHƢƠNG MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ 1.1 Các khái niệm 1.2 Bậc đỉnh đồ thị 1.3 Xích, chu trình, đường vịng 13 1.4 Đồ thị liên thông 17 1.5 Sắc số đồ thị màu 20 CHƢƠNG 27 THUẬT TỐN TƠ MÀU ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG 2.1 Thuật tốn tơ màu đồ thị ứng dụng xếp lịch thi học phần đào 27 tạo theo hệ thống tín 2.2 Một số tốn tơ màu đồ thị chọn từ đề thi vơ địch tốn quốc gia quốc tế KẾT LUẬN 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO 50 49 MỞ ĐẦU Tổ hợp ngành toán học rời rạc nghiên cứu cấu hình kết hợp phần tử tập hữu hạn phần tử Các cấu hình phép liệt kê, hốn vị, chỉnh hợp, tổ hợp phần tử tập hợp Tổ hợp có liên quan đến nhiều lĩnh vực khác toán học như: đại số, lý thuyết xác suất, lý thuyết ergod (ergodic theory) hình học, ngành ứng dụng khoa học máy tính vật lý thống kê Các tốn tổ hợp bao gồm: Bài toán rời rạc đại số tổ hợp; Bài tốn hình học tổ hợp; Bài tốn tơ màu; Bài tốn trị chơi; Bài toán đồ thị Lý thuyết đồ thị ngành khoa học phát triển từ lâu lại có nhiều ứng dụng đại Một đồ thị tập hợp đỉnh đường nối đỉnh gọi cạnh (cung) Tô màu đồ thị phép gán màu cho đỉnh cho khơng có hai đỉnh kề gán màu Bài toán xếp lịch thi mơ hình hóa thành tốn tơ màu đồ thị sau: lập đồ thị có đỉnh môn thi, hai môn thi kề có sinh viên thi hai mơn Thời điểm thi môn biểu thị màu khác Với lý trình bày trên, lựa chọn đề tài luận văn thạc sĩ toán học “Một số toán đồ thị ứng dụng” nhằm tìm hiểu năm toán Tổ hợp toán học Luận văn đề cập đến nội dung sau: Giới thiệu khái niệm kết sở lý thuyết đồ thị; Giải số tốn đồ thị chọn từ đề thi vơ địch toán quốc gia, quốc tế; Thuật toán giải số tốn tơ màu đồ thị bước đầu tìm hiểu ứng dụng xếp lịch thi học phần đào tạo theo hệ thống tín Tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy giáo hướng dẫn khoa học - PGS.TS Nguyễn Thành Quang - tận tình hướng dẫn, bảo, giúp đỡ để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin cảm ơn thầy cô giáo chuyên ngành Đại số Lý thuyết số, khoa Tốn học, phịng Đào tạo Sau đại học Trường Đại học Vinh giảng dạy hướng dẫn cho học tập nghiên cứu để hoàn thành luận văn Tác giả xin cảm ơn Trường Đại học Đồng Tháp giúp đỡ, tạo điều kiện tổ chức thuận lợi cho học viên học tập nghiên cứu chương trình đào tạo sau đại học liên kết hai trường Xin cảm ơn quan cơng tác, gia đình, bạn hữu quan tâm giúp đỡ suốt thời gian học tập vừa qua Tuy cố gắng trình học tập, nghiên cứu viết luận văn, song chắn cịn có nhiều thiếu sót, mong góp ý, bảo thầy cô bạn đồng nghiệp Nghệ An, tháng 10 năm 2012 Tác giả CHƢƠNG MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ 1.1 Các khái niệm 1.1.1 Định nghĩa đồ thị Tập hợp X   đối tượng E cặp thứ tự không thứ tự phần tử X gọi đồ thị, đồng thời ký hiệu G  X , E  (hoặc G = (X, E) G(X)) Các phần tử X gọi đỉnh Cặp đỉnh không thứ tự gọi cạnh, cặp đỉnh có thứ tự gọi cạnh có hướng hay cung Đồ thị chứa cạnh gọi đồ thị vơ hướng, cịn đồ thị chứa cung gọi đồ thị có hướng Nếu đồ thị chứa cạnh lẫn cung, gọi đồ thị hỗn hợp hay đồ thị hỗn tạp Một cặp đỉnh nối với hai nhiều hai cạnh (hai nhiều hai cung hướng) Các cạnh (cung) gọi cạnh (cung) bội Một cung (hay cạnh) bắt đầu kết thúc đỉnh Cung hay cạnh loại gọi khuyên hay nút Cặp đỉnh x, y nối với cạnh (cung) a, x, y gọi đỉnh hay hai đầu cạnh (cung) a a gọi cạnh (cung) thuộc đỉnh x, đỉnh y Nếu cung b xuất phát từ đỉnh u vào đỉnh v, u gọi đỉnh đầu, v gọi đỉnh cuối cung b Cặp đỉnh x, y gọi hai đỉnh kề nhau, x  y hai đầu cạnh hay cung Đối với đỉnh x dùng D(x) để tập đỉnh, mà đỉnh nối với x cạnh, D+(x) để tập đỉnh, mà đỉnh từ x có cung tới; D-(x) để tập đỉnh, mà đỉnh có cung tới x Hai cạnh (cung) a, b gọi kề nhau, nếu: 1) Chúng khác 2) Chúng có đỉnh chung (nếu a, b cung, khơng phụ thuộc vào đỉnh chung đỉnh đầu hay đỉnh cuối cung a, đỉnh đầu hay đỉnh cuối cung b) Ví dụ 1.1.1 Cho đồ thị hỗn hợp có khuyên G(X, E) với tập đỉnh: X  x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7  , Tập cạnh cung: E   x1 , x2 ; x2 , x3 ; x4 , x6 ; x5 , x6 ; x3 , x3 ; x1 , x6 ; x5 , x5  = a1 a2 a3 a4 a5 b1 b2  Trong đó: a1 , a2 , a3 , a4 , a5 cạnh; b1 , b2 cung Cung b1 có x1 đỉnh đầu, x6 đỉnh cuối 1.1.2 Các cách biểu diễn đồ thị 1.1.2.1 Biểu diễn hình học Giả sử có đồ thị G(X, E) Biểu diễn đỉnh: Lấy điểm mặt phẳng hay không gian tương ứng với phần tử thuộc tập X dùng ký hiệu phần tử để ghi điểm tương ứng Biểu diễn cạnh: Nếu cạnh a với hai đỉnh đầu x, y biểu diễn đoạn thẳng hay đoạn cong nối hai điểm x, y không qua điểm tương ứng trung gian khác Biểu diễn cung: Nếu cung a có đỉnh đầu x, đỉnh cuối y, biểu diễn đoạn thẳng đoạn cong định hướng từ x sang y khơng qua điểm tương ứng trung gian khác Hình nhận gọi dạng biểu diễn hình học đồ thị G(X, E) Đôi người ta gọi dạng biểu diễn hình học đồ thị Ví dụ 1.1.2 Dạng biểu diễn hình học đồ thị G(X, E) cho ví dụ 1.1.1 là: x1 a1 x2 b2 a5 a2 b1 x5 x3 a4 x6 a3 Hình 1.1.1 1.1.2.2 Biểu diễn ma trận liên thuộc x4 x7 Giả sử đồ thị G(X, E) gồm n đỉnh, m cạnh cung X   x1 , x2 , , xn  E  e1 , e2 , , em  Ma trận liên thuộc đồ thị G ma trận A gồm n hàng tương ứng với n đỉnh m cột tương ứng với m cạnh cung Ma trận A   , a j  ,1  i  n;1  j  m có 1, 1,   1, , j    0, 2,   2, Nếu xi đỉnh đầu cung ej Nếu xi đỉnh cuối cung ej Nếu xi đầu cạnh ej Nếu xi không thuộc cạnh (cung) ej Nếu xi đỉnh, mà cung ej đồng thời khuyên xuất phát từ Nếu xi đỉnh, mà cạnh ej đồng thời khuyên thuộc Ví dụ 1.1.3 Đồ thị hỗn hợp có khun ví dụ 1.1.1 có ma trận A thuộc dạng sau:  a1  1 1  A 0  0 0   a a a a b1 b  0 0 -1  0 0   0 0  0 0   0 0 +2  1 +1   0 0 0  x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 1.1.2.3 Biểu diễn ma trận kề Giả sử đồ thị G(X, E) gồm n đỉnh, X  x1 , x2 , , xn  Ma trận kề đồ thị G ma trận vng A cấp n có hàng cột tương ứng với đỉnh đồ thị A   aij  ,1  i, j  n với 1, Nếu xi sang xj có cung  aij   1, Nếu xi , xj nối cạnh  0, Trong trường hợp lại  Nhận xét: Ma trận kề đồ thị ma trận vng có phần tử là + Trong trường hợp đồ thị vô hướng, ma trận kề đối xứng qua đường chéo thứ 1.1.3 Một số dạng đồ thị đặc biệt Trong trường hợp không cần phân biệt cạnh cung ta quy ước dùng cạnh thay cho cung Đồ thị G(X, E) khơng có khun cặp đỉnh nối với không cạnh gọi đồ thị đơn hay đơn đồ thị thông thường gọi đồ thị Đồ thị G(X, E) khơng có khun có cặp đỉnh nối với từ hai cạnh trở lên gọi đa đồ thị Đồ thị vơ hướng (có hướng) G(X, E) gọi đồ thị - đầy đủ, cặp đỉnh nối với cạnh (một cung với chiều tùy ý) Đồ thị vơ hướng (có hướng) G(X, E) gọi đồ thị k - đầy đủ, cặp đỉnh nối với k cạnh (k cung với chiều tùy ý) Đồ thị (đa đồ thị) G(X, E) gọi đồ thị (đa đồ thị) hai mảng, tập đỉnh X phân thành hai tập rời X1, X2  X1  X  X , X1  X   cạnh có đầu thuộc X1, cịn đầu thuộc X2 Khi G(X, E) ký hiệu G(X1, X2, E) Đồ thị (đa đồ thị) G(X, E) gọi đồ thị (đa đồ thị) phẳng, có dạng biểu diễn hình học trải mặt phẳng đó, mà cạnh đồ thị cắt đỉnh Đồ thị (đa đồ thị) G(X, E) gọi hữu hạn, số đỉnh hữu hạn, tức X có lực lượng hữu hạn Đồ thị (đa đồ thị) có tập đỉnh vơ hạn, gọi đồ thị (đa đồ thị) vô hạn Đồ thị (đa đồ thị) với số cạnh thuộc đỉnh hữu hạn gọi đồ thị (đa đồ thị) hữu hạn địa phương 10 Hiển nhiên rằng, đồ thị hay đa đồ thị hữu hạn, hữu hạn địa phương Trong phần tiếp theo, khơng có ý thêm, đồ thị, đa đồ thị xét hữu hạn Cho Y  X , Y  ; H  E, F  E   YxY  V   XxX  / E Đồ thị G1(Y, F) gọi đồ thị con, G2(X, H) đồ thị phận đồ thị G(X, E) Đồ thị G’(X, V) gọi đồ thị bù đồ thị G(X, E) Đồ thị có hướng G(X, E) gọi đồ thị đối xứng, x, y  X  x, y   E   y, x   E  Trong đồ thị đối xứng tùy ý hai đỉnh kề x, y luôn nối hai cung ngược chiều Để đơn giản, trường hợp người ta quy ước thay hai cung nói cạnh nối x y Đồ thị có hướng G(X, E) gọi đồ thị phản đối xứng, x, y  X  x, y   E   y, x   E  39 chọn dãy cạnh khép kín Với cách tơ màu này, rõ ràng hai đỉnh kề tùy ý có màu khác ▄ Bài toán Cho đồ thị G, ta gọi  G = {k: tô G k màu},  G = max {bậc đỉnh G} (a) Chứng minh với đồ thị liên thơng đơn G, ta có G  G  (b) Một đồ thị gọi đỉnh có bậc Chứng minh G đồ thị liên thơng đơn khơng ta có G  G Lời giải (a) Ta chứng minh tồn cách tô  G  1 màu cho đồ thị đơn G (không cần phải liên thông) Ta chứng minh điều quy nạp theo số n đỉnh đồ thị G Khi n  G  , rõ ràng tô  G  1 màu Giả sử phát biểu cho số nguyên dương k  G  , nghĩa là, đồ thị đơn G có k đỉnh tơ  G  1 màu Bây giờ, ta xét đồ thị G với k + đỉnh Ta chọn đỉnh v tùy ý dời khỏi đồ thị (cùng lúc, xóa tất cạnh nối với đỉnh v) Lúc đó, ta đồ thị G’ gồm k đỉnh Theo giả thiết, đồ thị G’ tơ  G '  1 màu, đó, tơ  G  1 màu (vì ta có G '  G ) Lúc này, ta lại đặt đỉnh v trở lại đồ thị Đỉnh kề với nhiều  G đỉnh chắn có màu thích hợp để tơ cho v Như thế, tơ  G  1 màu cho đồ thị G Theo nguyên lý quy nạp, tồn cách tô  G  1 màu cho đồ thị đơn G Từ đó, G  G  (b) Với kí hiệu giống câu (a), ta tiến hành chứng minh quy nạp theo n Với n  G  , đồ thị khơng đều, ta chọn từ đồ thị đỉnh v, với degv <  G (kí hiệu degv bậc v), trước hết tô màu tùy ý cho 40 đỉnh khác (dĩ nhiên đỉnh kề phải tô màu khác nhau) Khi đó, phải có màu chưa dùng tới, ta dùng màu để tô cho đỉnh v để đồ thị có  G màu Bây giờ, ta xét đồ thị G với k + đỉnh Do G đồ thị đơn không đều, ta chọn từ đồ thị đỉnh v, với degv <  G Dời đỉnh khỏi đồ thị, ta đồ thị gồm k đỉnh G’ Theo giả thiết, đồ thị G’ tơ G ' màu Vì tơ  G màu Tiếp theo, ta lại đặt đỉnh v trở lại đồ thị Đỉnh kề với nhiều G  đỉnh chắn có màu thích hợp để tơ cho v Như thế, tơ  G màu cho đồ thị G Theo nguyên lý quy nạp, tồn cách tô  G màu cho đồ thị đơn không G Suy G  G ▄ Bài toán Tìm số n bé nhất, n > 4, cho với n điểm, tạo đồ thị thỏa mãn tính chất: khơng có tam giác đồ thị với cặp hai điểm không nối với (khơng tạo thành cạnh), có hai điểm mà điểm nối với hai điểm Lời giải Gọi X đỉnh đồ thị thỏa mãn đề Giả sử X có bậc m, nghĩa X nối với m điểm A1 , A2 , Am Suy khơng thể có hai điểm Ai, Aj nối với (vì có ta tam giác XAiAj) * Nếu m = đồ thị có hai điểm X A1 mà khơng thể có thêm điểm Thật vậy, giả sử có thêm điểm Y Khi đó, Y khơng nối với X, nên theo giả thiết đề bài, có hai điểm mà điểm nối với X Y Tuy nhiên, có điểm nối với X (do m = 1), điều mâu thuẫn Vậy m = n = 2, khơng thỏa mãn điều kiện n > * Giả sử m > Với cặp Ai, Aj, chắn có điểm Bij (khác điểm X) nối hai điểm Ai Aj Bij nối thêm với điểm Ak khác nữa, ngược lại ta có đến ba điểm mà điểm nối với X Bij (giả thiết nói có hai điểm) Sau cùng, Ai khơng thể nối với điểm ngoại trừ hai điểm X Bij, vì, nối 41 thêm với B, B khơng nối với Aj khác (ngược lại, B Bij) Khi đó, có điểm, Ai, nối X B, mâu thuẫn Bây giờ, điểm đồ thị nối với X, nối với điểm có nối với X (do X khơng nối với Y có điểm Z nối X Y) Suy đồ thị gồm X, điểm Ai Bij Do n   m  m  m  1 Rõ ràng Ai có bậc m (nó nối với X m – điểm Bịj) Do X điểm tùy ý nên ta chứng minh hai đỉnh kề (tức nối với nhau) có bậc Suy tất đỉnh có bậc m Nếu m = 2, ta có n = không thỏa mãn (n > 4) Nếu m = 3, suy n = Nhưng B12 nối với B23 B13 (nếu ngược lại có tam giác đồ thị), B12 có bậc 2, mâu thuẫn Vậy n = 7, đồ thị thỏa mãn yêu cầu đề Nếu m = n = 11 Nhưng B12 lại nối với B23 B24 (nếu ngược lại, ta có tam giác đỉnh A2) Nó nối với B14 hay B13 (nếu ngược lại, ta có tam giác đỉnh A1) Suy có Bij mà B12 nối B34, B12 có bậc bé 4, mâu thuẫn Vậy m  Khi m = 5, ta có n = 16 Ta chứng minh đồ thị thỏa mãn đề Ta có Bhi nối Bjk số h, i, j, k khác đơi Rõ ràng khơng có tam giác tạo thành Bây giờ, xét cặp điểm không nối với Trường hợp 1: X, Bij Chỉ có hai điểm nối với hai Ai Aj Trường hợp 2: Ai, Aj Chỉ có hai điểm nối với hai X Bij Trường hợp 3: Ai, Bjk (các số i, j, k khác đôi một) Gọi u, v hai số khác Khi Biu Biv hai điểm mà điểm nối với Ai, Bjk Trường hợp 4: Bij Bik Cũng xét số u, v (khác với i, j, k) Chỉ có hai điểm Bij B ik mà điểm nối với Ai Buv ▄ 42 Bài toán Cho G đồ thị liên thông gồm k cạnh Chứng minh đánh số cạnh tất số 1, 2, 3, …, k cho đỉnh thuộc hai cạnh đồ thị, ta có ước số chung lớn số nguyên viết cạnh đỉnh Lời giải Cách 1: Ta bắt đầu đỉnh v0 Hãy tưởng tượng ta dọc theo cạnh phân biệt đồ thị, vừa vừa đánh số chúng ta đếm: 1, 2, 3,…, ta khơng thể xa muốn thêm phải dùng lại cạnh qua Nếu có cạnh khơng đánh số cạnh phải có đỉnh ta qua, G liên thơng Hãy khởi đầu từ đỉnh này, ta tiếp tục dọc theo cạnh chưa dùng tới, đánh số lại nơi ta qua, tiếp tục lần ta xa Quá trình lặp lại lúc tất cạnh đánh số Bây giờ, ta chứng minh việc đánh số thỏa mãn điều kiện đề bài: đỉnh thuộc hai cạnh đồ thị, ta có ước số chung lớn số nguyên viết cạnh đỉnh Thật vậy, gọi v đỉnh (v thuộc hai cạnh đồ thị) Nếu v = v0, tức v đỉnh xuất phát, cạnh chứa đỉnh v đánh số 1, đó, hiển nhiên ta có ước số chung lớn số nguyên viết cạnh đỉnh v Nếu v  v0 , giả sử lần ta đánh số v đường vào lúc cuối cạnh đánh số r Vào lúc đó, có nhiều cạnh chưa sử dụng đỉnh v, cạnh đánh số r + Do đó, ước số chung lớn số nguyên viết cạnh đỉnh v 1, cạnh có chứa r r + Suy điều phải chứng minh ▄ Cách 2: Xét dạng đường dài (gọi tắt chu trình) qua cạnh Nếu số cạnh đồ thị k = tốn có lời giải đơn giản 43 Xét k  Khi tồn chu trình qua hai cạnh Ta đánh số cạnh chu trình theo thứ tự 1, 2,…, m (m số cạnh chu trình) Bỏ cạnh chu trình khỏi đồ thị G, ta có đồ thị G’1 Bỏ tất đỉnh khơng liên thuộc G’1, ta có đồ thị G1 Nếu G1 có chu trình chứa hai cạnh ta đánh số cạnh số chu trình bởi: m + 1, m + 2,…, m + m1 theo thứ tự đường (m1 số cạnh chu trình G1) Lại loại bỏ tất cạnh chu trình khỏi G1 ta đồ thị G2 Tiếp tục xây dựng chu trình G2 theo cách Tiếp tục vậy, sau hữu hạn bước (do G có hữu hạn cạnh) ta thu tập hợp rỗng (đồ thị không đỉnh, không cạnh) thu đồ thị gồm chu trình cạnh Trường hợp đầu đánh số xong Đối với trường hợp thứ hai, việc điền số lại cách tùy ý Bây ta chứng minh cách đánh số thỏa mãn điều kiện toán Xét đỉnh B tùy ý đồ thị G mà B có hai cạnh Theo cách xây dựng B phải thuộc chu trình khơng thể điểm đầu hay điểm cuối chu trình Theo cách đánh số B có hai cạnh điền hai số tự nhiên liên tiếp nên suy ước chung lớn tập hợp số viết cạnh đỉnh B 1, ta có điều phải chứng minh ▄ Bài toán 10 Ta gọi hội – S tập hợp S người cho cặp hai người họ có quen Trong buổi tiệc, hai hội – có chung người, khơng có hội – buổi tiệc Chứng minh buổi tiệc có hai người (hoặc hơn) mà họ rời khơng cịn lại hội – Lời giải Để thuận tiện ta sử dụng ngôn ngữ Lý thuyết đồ thị Mỗi người buổi tiệc biểu thị đỉnh, có cạnh nối hai đỉnh hai người tương ứng quen Một hội – m tương ứng với tập hợp m đỉnh mà cặp đỉnh nối với cạnh (đồ thị đầy đủ) Nói cách khác, tồn hội có nghĩa cho trước đồ thị, đồ thị chứa đồ thị đầy đủ Km làm đồ thị 44 Nói riêng, hội – tương ứng với tam giác (K3) Ta muốn chứng minh rằng, cho trước đồ thị G, cho hai tam giác giác có đỉnh chung khơng tồn K5, lúc đó, tồn hai đỉnh hay mà bỏ chúng khơng cịn tam giác Gọi G đồ thị Kết rõ ràng G có khơng q tam giác Thật vậy, đồ thị lúc phải có dạng (a) (b) hình vẽ trình bày đây: p u s r x q t y v Hình b Hình a Giả định (a) xảy ra, gọi T1 = {p, q, r} T2 = {r, s, t} Nếu bỏ r hủy tam giác, xong Trường hợp ngược lại có tam giác thứ ba T3 không bị phá hủy bỏ r, tam giác phải có chung đỉnh với tam giác T1 T2 Rõ ràng tam giác đưa tình (b) với x = r u  T1 , v  T2 Như thế, ta xét trường hợp (b) Giả v định (b) xảy ra, gọi T1 = {u, v, x} T2  u, v, y Nếu loại bỏ u v phá hủy tam giác, xong Trường hợp ngược lại, với z u, v, x, y , phải có tam giác T3 = {x, y, z} u x y z Nói riêng, xy cạnh Bây giờ, G chứa đồ thị hình (c) Hình c Ta cần chứng minh việc loại bỏ x y hủy tam giác Giả sử điều ngược lại xảy Khi đó, tồn tam giác T cách biệt với {x, y} Do T có chung đỉnh với {x, y, z} nên T chứa z Tương tự, T chứa u có 45 chung đỉnh với {x, y, u} T chứa v có chung đỉnh với  x, y, v Do T = {z, u, v}, điều xảy G khơng chứa K5 Như ln có hai đỉnh mà bỏ phá hủy tam giác ▄ Bài tốn 11 Hãy xác định số nguyên bé k để tồn đồ thị 25 đỉnh thỏa mãn điều kiện: đỉnh kề với k đỉnh khác, với hai đỉnh không kề nhau, tồn đỉnh thứ ba kề với hai đỉnh Lời giải Ta liệt kê tất đỉnh đồ thị theo kiểu sau: chọn đỉnh v, đỉnh lại bao gồm: đỉnh kề với v; đỉnh không kề với v Theo đề bài, ta suy tổng số đỉnh là: + k + k(k – 1), k   25 , hay k  Với k = 5, khơng thỏa mãn u cầu tốn Với k = 6, tồn đồ thị 25 đỉnh thỏa mãn điều kiện: đỉnh kề với k đỉnh khác, với hai đỉnh không kề nhau, tồn đỉnh thứ ba kề với hai đỉnh ▄ Bài tốn 12 Có 20 đội bóng thi đấu với nhau, đội phải đấu trận với đội khác Chứng minh vào lúc có hai đội đấu số trận Lời giải Bài toán chuyển qua đồ thị sau: Cho tương ứng đội bóng với đỉnh đồ thị Khi hai đội đấu với ta nói hai đỉnh cạnh Bởi bậc đỉnh số trận mà đội tương ứng thi đấu Đến đây, toán phát biểu dạng đồ thị Cho đồ thị gồm 20 đỉnh, có đồng thời đỉnh bậc (chẳng hạn đỉnh A) đỉnh bậc 19 (chẳn hạn đỉnh B) Nếu đỉnh B có bậc 19 B đầu mút 19 cạnh nối B với 19 đỉnh lại, có A, A đỉnh có bậc khác Ngược lại A có bậc bậc B có nhiều 18 Có hai mươi đỉnh, mà đỉnh có 19 bậc (từ đến 18 từ đến 19) Vì theo nguyên tắc Dirichlet phải có hai đỉnh bậc 46 Từ cách chứng minh ta thấy lúc có hai đội bóng số 20 đội bóng đấu số trận ▄ Bài tốn 13 Có 20 đội bóng thi đấu với nhau, đội phải đấu trận với đội khác Có lúc, người ta nhận thấy có đội đấu số trận Chứng minh có đội chưa thi đấu trận nào, có đội thi đấu với tất đội lại Lời giải Ta chuyển toán đồ thị sau: Cho đồ thị gồm 20 đỉnh Chứng minh đồ thị có đỉnh bậc, đồ thị có đỉnh bậc có đỉnh bậc 19 Trước hết, đồ thị có hai đỉnh bậc bậc khơng thể mà 19 Thật vậy, đồ thị có hai đỉnh bậc (các đỉnh khác có bậc đơi khác nhau), loại bỏ hai đỉnh cô lập ta đồ thị G’ có 18 đỉnh với bậc đơi khác nhau, điều trái với kết “bài 12” nêu Cịn đồ thị có hai đỉnh bậc 19 đồ thị bù G” G có hai đỉnh bậc đỉnh khác có bậc đôi khác nhau, điều xảy ra, lý luận Như vậy, đồ thị có hai đỉnh bậc k, với k  k  19 Suy đồ thị có đỉnh bậc đỉnh bậc 19 (nếu khơng đồ thị phải có hai đỉnh có bậc k '  k ,1  k  18 trái với giả thiết) ▄ Bài toán 14 Chứng minh rằng: Trong n – giác lồi G, không tồn tập U chứa n cạnh hay đường chéo, cho đoạn U có điểm chung Lời giải Giả sử G chọn tập U gồm k cạnh hay đường chéo, cho hai đoạn chúng có điểm chung Ta cần chứng minh k  n Coi đỉnh G đỉnh đồ thị Hai đỉnh kề nhau, chúng đầu mút đoạn thuộc U Ta nói đỉnh x có bậc i x kề với i đỉnh khác Ký hiệu mi số đỉnh bậc i (i = 1, 2, …) Ta có n  m0  m1  m2  nên m1  m2   n (1) 47 Xét đỉnh x bậc i >2 D(x) gồm đỉnh x1 , x2 , , xi Khơng giảm tính tổng qt, coi  x, x1  ;  x, xi  cạnh đồ thị tương ứng với cạnh hay đường chéo ngồi G i cạnh nói Khi đỉnh xj, với  j  i , có bậc (vì cạnh hay đường chéo  x , y j Với y khác x, khơng có điểm chung với hai cạnh  x, x1  ;  x, xi  , nghĩa  x j , y  không thuộc U) Do đỉnh bậc i > kề với i – đỉnh bậc 1, suy mi đỉnh bậc i (i = 3, 4, …) kề với khơng (i – 2)mi đỉnh bậc Mặt khác, x y hai đỉnh khác nhau, khơng thể kề với đỉnh bậc 1, nghĩa đỉnh bậc kề với đỉnh bậc i đôi khác Ta có bất đẳng thức sau: m1  m3  2m4  3m5  (2) Mỗi cạnh gồm hai đầu mút, nên k cạnh thuộc U có 2k đầu mút, đỉnh bậc i kề với i đỉnh 2k đỉnh nên ta có: 2k  m1  2m2  3m3  (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: 2k  m1  2m2  3m3    m1  m2  m3     m3  2m4  3m5     m1  2m2  2m3    m1   m1  m2  m3    2n Do đó: k  n Ta có điều phải chứng minh ▄ Bài toán 15 Tại đỉnh đồ thị liên thông ta viết số thực cho số viết đỉnh trung bình cộng số viết đỉnh kề với đỉnh Chứng minh tất số viết Lời giải Để thuận tiện, ta ký hiệu số ghi đỉnh x x Giả sử a số nhỏ số viết tất đỉnh b số viết đỉnh b bất kỳ, ta chứng minh a = b Vì đồ thị liên thông nên tồn đường  a, a1 , a2 , , ak  Nếu a nối với m đỉnh x, y, …, z thì: a x  y   z m Song a  x; y; ; z , nên a  x  y   z Điều có nghĩa a  a1 48 Cho a1 đóng vai trị a (điều hồn tồn a1 = a nên số nhỏ số viết) a1  a2 , , cuối có kết a  a1  a2   ak  b ▄ Bài toán 16 Mười bảy nhà bác học viết thư cho Mỗi người viết thư cho tất người khác Các thư trao đổi đề tài Từng cặp nhà bác học viết thư trao đổi đề tài Chứng minh có nhà bác học viết thư cho trao đổi vấn đề Lời giải 1) Xây dựng đồ thị mô tả quan hệ sau: a) Đỉnh: Lấy 17 điểm mặt phẳng không gian tương ứng với 17 nhà bác học Dùng tên nhà bác học để ghi điểm tương ứng b) Cạnh: Dùng - Cạnh đỏ để nối hai đỉnh tương ứng với Hai nhà bác học trao đổi vấn đề thứ - Cạnh xanh đề nối hai đỉnh tương ứng với Hai nhà bác học trao đổi vấn đề thứ hai - Cạnh vàng đề nối hai đỉnh tương ứng với Hai nhà bác học trao đổi vấn đề thứ ba Khi đó, đồ thị G mơ tả toàn quan hệ điều kiện cho toán 2) Suy đáp án Theo mệnh đề 1.5.3.1, đồ thị G ln có tam giác màu Nếu tam giác này: - Màu đỏ, ba nhà bác học tương ứng trao đổi vấn đề thứ - Màu xanh, ba nhà bác học tương ứng trao đổi vấn đề thứ hai - Màu vàng, ba nhà bác học tương ứng trao đổi vấn đề thứ ba Bài toán chứng minh ▄ Bài toán 17 Cho số nguyên dương tùy ý, mà số có số có ước chung số nguyên tố Chứng minh ghi số lên đường tròn, để số đứng số mà có ước chung 49 Lời giải 1) Xây dựng đồ thị mô tả quan hệ a) Đỉnh: Lấy điểm mặt phẳng, khơng có điểm thẳng hàng tương ứng với số nguyên dương Dùng số để ghi điểm tương ứng b) Cạnh: Dùng - Cạnh đỏ để nối hai đỉnh tương ứng với hai số có ước chung - Cạnh xanh để nối hai đỉnh tương ứng với hai số nguyên tố Khi đó, đồ thị G mơ tả tồn quan hệ điều kiện cho toán trên, nên G khơng có tam giác màu 2) Theo mệnh đề 1.5.3.2, với n = đồ thị G đa giác cạnh với cạnh màu đỏ đường chéo màu xanh ngược lại Khi dựa theo đường gấp khúc khép kín màu đỏ mà xếp số tương ứng lên đường trịn số đứng hai số mà có ước chung Bài tốn chứng minh ▄ Bài toán 18 Chứng minh người tùy ý, mà ba người có hai người quen nhau, ln tìm người quen (từng cặp quen nhau) Lời giải 1) Xây dựng đồ thị mô tả quan hệ a) Đỉnh: Lấy điểm tương ứng với người tùy ý chọn Dùng tên họ để ghi điểm tương ứng b) Cạnh: Dùng - Cạnh đỏ để nối hai đỉnh tương ứng với hai người quen - Canh xanh để nối hai đỉnh tương ứng với hai người không quen Đồ thị G nhận mơ tả tồn quan hệ cho toán thỏa mãn điều kiện mệnh đề 1.5.3.3 2) Suy đáp án Theo mệnh đề 1.5.3.3 đồ thị G có tam giác xanh có tứ giác với cạnh đường chéo đỏ Nhưng theo điều kiện đặt tốn cách tơ màu cạnh tam giác đồ thị G 50 có cạnh đỏ Bởi vậy, đồ thị G có tứ giác với cạnh đường chéo màu đỏ, nên suy khẳng định toán ▄ Bài toán 19 Để mừng người đoạt giải kỳ thi Toán Quốc tế lần thứ 48, gia đình dự định mời bạn đến dự tiệc Trong số khách mời: a) Người vợ muốn có người đôi quen b) Người chồng lại muốn có người đơi chưa quen Hỏi họ phải mời người bạn, để mong muốn chồng vợ thỏa mãn Lời giải Đồ thị đầy đủ gồm đỉnh với hai màu cạnh: xanh, đỏ ln ln có tam giác xanh tứ giác với cạnh đường chéo màu đỏ Nhưng số lượng đỉnh cịn 8, tồn đồ thị đầy đủ với hai màu cạnh: xanh (nét đứt biểu quen nhau), đỏ (nét liền biểu không quen nhau), mà khơng có tam giác xanh khơng có tứ giác với cạnh đường chéo màu đỏ Bởi vậy, để thỏa mãn yêu cầu vợ: số khách mời có ba người quen đơi (tương ứng với ba đỉnh tam giác xanh), thỏa mãn yêu cầu người chồng: số khách mời có người mà cặp khơng quen (tương ứng với đỉnh tứ giác mà cạnh đường chéo màu đỏ), số khách mời tối thiểu phải tương ứng với số đỉnh đồ thị đầy đủ gồm đỉnh, tức để thỏa mãn yêu cầu vợ chồng phải mời khách ▄ 51 52 KẾT LUẬN Lý thuyết đồ thị ngành khoa học phát triển từ lâu lại có nhiều ứng dụng thời Một đồ thị tập hợp đỉnh đường nối đỉnh gọi cạnh (cung) Tô màu đồ thị phép gán màu cho đỉnh cho khơng có hai đỉnh kề gán màu Luận văn đề cập đến nội dung sau: Giới thiệu khái niệm kết sở lý thuyết đồ thị; Giải chi tiết số tốn đồ thị chọn từ đề thi vơ địch toán quốc gia, quốc tế Thuật toán giải số tốn tơ màu đồ thị bước đầu tìm hiểu ứng dụng xếp lịch thi học phần đào tạo theo hệ thống tín Qua nội dung luận văn, ta thấy tốn tơ màu đồ thị có nhiều ý nghĩa khơng tốn học mà nhiều ứng dụng thực tế 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Lê Hải Châu, Lê Hải Khơi (1997), 199 tốn chọn lọc tổ hợp, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội [2] Nguyễn Quý Dy, Nguyễn Văn Nho, Vũ Dương Thụy (2005), Tuyển tập 200 thi vơ địch tốn, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội [3] Phạm Huy Điển (2002), Tính tốn, lập trình giảng dạy tốn học Maple, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [4] Phan Huy Khải (2006), Các chuyên đề số học bồi dưỡng học sinh giỏi toán trung học, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội [5] Hà Huy Khoái, Phạm Huy Điển (2003), Số học thuật toán, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [6] Nguyễn Văn Mậu, Trần Nam Dũng, Vũ Đình Hịa, Đặng Huy Ruận, Đặng Hùng Thắng (2008), Chuyên đề chọn lọc tổ hợp toán rời rạc, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội [7] Đàm Văn Nhỉ, Lưu Bá Thắng, Nguyễn Việt Hải (2006), Số học, Nhà xuất Hải Phòng [8] Đặng Huy Ruận (2001), Lý thuyết đồ thị ứng dụng, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [9] Nghiêm Văn Hưng, Trần Quốc Chiến (2008), Thuật tốn tơ màu đồ thị ứng dụng xếp lịch thi, Tuyển tập báo cáo Hội nghị khoa học Đại học Đà Nẵng TIẾNG ANH [10] D M Burton (2002), Elementary Number Theory, Tata McGraw-Hill Company, New Delhi [11] S G Telang (2001), Number Theory, Tata McGraw-Hill Company Limited, New Delhi ...2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH TRẦN VĂN THƢƠNG MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ MÃ SỐ: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƢỜI HƢỚNG... văn thạc sĩ toán học ? ?Một số toán đồ thị ứng dụng? ?? nhằm tìm hiểu năm tốn Tổ hợp toán học Luận văn đề cập đến nội dung sau: Giới thiệu khái niệm kết sở lý thuyết đồ thị; Giải số toán đồ thị chọn... Khi dựa theo đường gấp khúc khép kín màu đỏ mà xếp số tương ứng lên đường trịn số ? ?ứng hai số mà có ước chung Bài toán chứng minh ▄ Bài toán 18 Chứng minh người tùy ý, mà ba người có hai người quen