Phương pháp sử dụng biểu diễn tích phân để giải một số bài toán biên và ứng dụng trong một số bài toán kỹ thuật

Phương pháp sử dụng biểu diễn tích phân để giải một số bài toán biên và ứng dụng trong một số bài toán kỹ thuật Phương pháp sử dụng biểu diễn tích phân để giải một số bài toán biên và ứng dụng trong một số bài toán kỹ thuật luận văn tốt nghiệp thạc sĩ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI - - - - - - - - - - -o0o- - - - - - - - - - - VŨ THỊ CHI PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BIỂU DIỄN TÍCH PHÂN ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN VÀ ỨNG DỤNG TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN KĨ THUẬT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHUYÊN NGÀNH: TOÁN TIN Hà Nội - 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI - - - - - - - - - - -o0o- - - - - - - - - - - VŨ THỊ CHI PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BIỂU DIỄN TÍCH PHÂN ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN VÀ ỨNG DỤNG TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN KĨ THUẬT Chuyên ngành: Tốn Tin LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGÀNH: TỐN TIN NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS VŨ THỊ NGỌC HÀ Hà Nội - 2013 Mục lục Danh mục ký hiệu iii Lời nói đầu 1 Phương pháp phức giải tốn Dirichlet cho phương trình vi phân 1.1 Cơng thức tích phân Cauchy – Pompieu bậc giải toán biên Dirichlet cấp 1.1.1 Cơng thức tích phân Cauchy - Pompieu bậc 1.1.2 Bài toán biên Dirichlet cho phương trình vi phân cấp 1.2 11 Cơng thức tích phân Cauchy – Pompieu bậc cao để giải toán biên Dirichlet cấp cao 17 1.2.1 Cơng thức tích phân Cauchy - Pompieu bậc hai 17 1.2.2 Bài tốn biên Dirichlet cho phương trình vi phân cấp hai 22 1.2.3 Cơng thức tích phân Cauchy - Pompieu bậc n 25 1.2.4 Bài tốn biên Dirichlet cho phương trình vi phân cấp n i 25 Mở rộng sang giải tích quaternion 27 2.1 Mơ hình tốn dòng chảy chất lỏng 27 2.2 Đại số Quaternion thực 31 2.2.1 Cơng thức tích phân Cauchy - Pompieu 39 2.2.2 Công thức Plemelj - Sokhotzki 49 2.2.3 Phép phân tích trực giao 52 2.2.4 Ứng dụng giải toán Dirichlet 54 2.3 Bài toán Stokes 55 2.4 Phương trình Galpern - Sobolev 60 Kết luận 64 Tài liệu tham khảo 66 ii Danh mục ký hiệu C tập số phức H Quaternion trường số thực C k (Ω, H) không gian hàm khả vi đến cấp k Ω C (k,ε) (Ω, H) không gian hàm liên tục Hăolder s m cựng vi cỏc o hm riờng đến cấp k Lp (Ω, H) khơng gian hàm khả tích bậc p Ω Wpk (Ω, H) không gian hàm khả vi theo nghĩa suy rộng thuộc vào Lp (Ω, H) Wpk (Ω, H) không gian hàm thuộc không gian Wpk (Ω, H) bị triệt tiêu biên Γ Wpk,loc (Ω, H) f, f ∈ Wpk (Ω, H) , compact K ⊂ Ω iii Lời nói đầu Như ta biết toán tử Cauchy - Pompieu ∂z ∂z¯ xuất phương trình vật lý tốn Với W (z) = u (x, y) − iv (x, y) nghiệm hệ Cauchy - Riemann ∂W = 0, ∂ z¯ ∂ ∂ z¯ ∂ ∂ = 12 ( ∂x + i ∂y ), ∂ ∂z (1) ∂ ∂ = 12 ( ∂x − i ∂y ) sử dụng Phương trình vi phân ∂ 2u ∂ 2u ∆u = ∇ u = + , ∂x ∂y gọi phương trình Laplace Phương trình xuất toán lượng, chẳng hạn lượng khí hay trường điện từ, trường lực hấp dẫn Đặc biệt toán tử Laplace xuất trạng thái dừng ổn định (the steady - state) phương trình truyền nhiệt Lý đơn giản trạng thái dừng ổn định nghiệm phương trình truyền nhiệt độc lập với biến thời gian t, nên ∂u ∂t = phương trình truyền nhiệt trình Laplace ∇2 u (x, y) = ∂u ∂t = k∇2 u trở thành phương Đối với phương trình (1), hai nghiệm độc lập tuyến tính phương trình ∂ ln |z| = , ∂z z ∂ ln |z| i W2 = 2i = , ∂z z W1 = gọi hạt nhân tích phân Cauchy Trường hợp phương trình Cauchy - Riemann khơng đồng viết dạng ∂W = f, ∂ z¯ chúng dẫn đến cơng thức biểu diễn tích phân Cauchy - Pompieu Với ứng dụng tích phân Cauchy Cauchy - Pompieu phương pháp phức phát triển mạnh mẽ Bạn đọc xem xét Begehr [2], Dzhuraev [4] Vekua [15] cho nhiều ứng dụng việc giải phương trình vi phân phương pháp phức Từ biểu diễn tích phân Cauchy - Pompieu với ý tưởng sử dụng phương pháp lặp dẫn đến công thức Cauchy - Pompieu bậc hai, biểu diễn Cauchy - Pompieu bậc n - tổng quát Kết phương pháp lặp nghiệm cho toán tử bậc cao với cách sử dụng định nghĩa tốn tử tích phân Pompieu bậc cao Tuy nhiên Dzhuraev Vekua dùng phương pháp phức giải vấn đề chứa phương trình Laplace mà khơng có điều kiện ban đầu, thực tế gặp phải toán giải phương trình Laplace ∇u (x, y) = miền D nằm mặt phẳng phức với điều kiện u (x, y) = f (x, y) với (x, y) thuộc biên miền D Bài toán xác định hàm điều hòa với điều kiện biên cho ta biết gọi toán Dirichlet Tuy nhiên, vấn đề gặp phải toán Dirichlet khó khăn tăng theo mức độ phức tạp biên miền D Chính vậy, chương sử dụng phương pháp phức để giải tốn Dirichlet cho phương trình vi phân cấp phương trình vi phân cấp hai, sau phương trình vi phân tổng quát cấp n cách dùng biểu diễn tích phân Cauchy - Pompieu bậc một, bậc hai bậc n Tuy nhiên, lựa chọn giải toán Dirichlet cho miền D đĩa đơn vị Lý đơn giản sau xây dựng ánh xạ bảo giác đĩa đơn vị miền D để giải tốn Dirichlet với miền có biên phức tạp Chương xây dựng công thức tích phân Cauchy - Pompieu giải tích Quaternion dẫn đến định nghĩa tốn tử tích phân Teodorescu phép phân tích trực giao khơng gian L2 (Ω, H) Sử dụng phương pháp phức giải tốn Dirichlet cho phương trình vi phân cấp hai toán tử Dirac D Ý tưởng sử dụng xun suốt q trình giải tìm cơng thức biểu diễn nghiệm sử dụng công thức biểu diễn tích phân Cauchy-Pompeiu tính chất tốn tử tích phân Teodorescu với phép phân tích trực giao không gian L2 (Ω, H) Tuy nhiên giải tốn dịng chảy chất lỏng Stokes phụ thuộc vào thời gian cho trường hợp hệ số Reynolds thấp chúng tơi phải rời rạc hóa khoảng thời gian hữu hạn để đưa toán Stokes trạng thái dừng Khi tốn biên giải phương pháp phức hay gọi áp dụng lý thuyết hypercomplex vào toán Stokes thành cơng sau chúng tơi đánh giá tính ổn định nghiệm phương trình sai phân Những kết mà đạt nhờ có hướng dẫn tận tình TS Vũ Thị Ngọc Hà suốt thời gian qua Tôi xin trân trọng cảm ơn cô tận tâm hướng dẫn trình tìm hiểu, lựa chọn, thực đề tài này; định hướng rèn luyện tác phong nghiên cứu khoa học Tơi xin trân trọng cảm ơn động viên, giúp đỡ thầy giáo viện Tốn ứng dụng Tin học có ý kiến đóng góp q báu cho tơi hồn thiện luận văn Vì thời gian có hạn trình độ cịn hạn chế, luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, tơi mong nhận ý kiến đóng góp cảm thơng từ phía độc giả Hà Nội, ngày 29 tháng 05 năm 2013 Học viên Vũ Thị Chi Chương Phương pháp phức giải tốn Dirichlet cho phương trình vi phân Trong chương này, chúng tơi trình bày phương pháp phức với ý tưởng sử dụng biểu diễn tích phân Cauchy – Pompieu để giải toán Dirichlet cho phương trình vi phân cấp tổng qt lên cấp cao 1.1 Cơng thức tích phân Cauchy – Pompieu bậc giải toán biên Dirichlet cấp Định lý cơng thức tích phân Cauchy – Pompieu chìa khóa để giải tốn biên Dirichlet đĩa đơn vị Vậy nội dung phần định lý tích phân Cauchy - Pompieu chứng minh cách chi tiết Vì ý tưởng chứng minh định lý tích phân Cauchy - Pompieu xuyên suốt luận văn chứng minh định lý Cauchy - Pompieu cho phương trình vi phân tổng quát cấn n mặt phẳng phức hay định lý Cauchy - Pompieu giải tích quaternion Hệ 2.4 Tích hai phép chiếu trực giao Pia · Qia 1, tức Pia · Qia = Chứng minh Với u không gian L2 (Ω) với định nghĩa chuẩn định nghĩa 2.6 có biểu diễn u = v − h, với v ∈ ker Dia ∩ L2 (Ω) h ∈ D−ia W21 (Ω) ∩ L2 (Ω) ta có u, u ReC u, u v CH u CH = v, v − h, h , = ReC v, v −ReC h, h ≥ h CH có nghĩa u CH ≥ Với v = Pia u h = Qia u ta có điều phải chứng minh 2.2.4 Ứng dụng giải toán Dirichlet Định lý 2.10 Cho f ∈ W2k (Ω) Bài toán giá trị biên DDu = f Ω u = Γ, có nghiệm u = TΩ QTΩ f ∈ W2k+2,loc (Ω) Chứng minh Sử dụng tính chất ánh xạ TΩ có TΩ f ∈ W2k+1 (Ω) Vì Q = I − P imP = kerD ⊂ C∞ (Ω) thu QTΩ f ∈ W2k+1,loc (Ω) Khi u ∈ W2k+2,loc (Ω) trΓ TΩ QTΩ f = 0, mà DTΩ = I DQ = D nên u = TΩ QTΩ f ∈ W2k+2,loc (Ω) Điều phải chứng minh 54 Định lý 2.11 Cho g ∈ k+ 23 W2 (k ≥ 0) Bài toán giá trị biên (Ω) , DDu = Ω u = g Γ, có nghiệm u = FI g + TΩ PDh ∈ W2k+2,loc (Ω) , với h ∈ W2k+2 (Ω) - mở rộng g Chứng minh Hàm g ∈ W2k+2 (Ω) - mở rộng h (h không nhất), với trΓ h = g Đặt u = v + h thu DDv = −DDh Ω, v = Γ Áp dụng định lý 2.10 có biểu diễn v = −TΩ QTΩ DDh Sử dụng cơng thức Cauchy - Pompieu ta có v = −TΩ QDh + TΩ QFΓ Dh = −TΩ QDh = −h + FΓ g + TΩ PDh, hay u = v + h = FΓ g + TΩ PDh 2.3 Bài toán Stokes Đầu tiên, viết lại toán (2.1) - (2.4) giải tích quaternion Ta có 1 f ∂t u + DDu + Dp = Ω ν η η ScDu = Ω u = g Γ u (x, 0) = u0 Ω 55 (2.7) (2.8) (2.9) (2.10) Cho T > 0, toán (2.7) - (2.10) xét khoảng thời gian [0, T ] Chia đoạn [0, T ] thành n phần nhau, T = nτ , τ gọi độ rộng mắt lưới phép chia Chúng ta viết tắt : uk := u (kτ, ·) pk := p (kτ, ·), (0 ≤ k ≤ n) Ta xấp xỉ đạo hàm ∂u (kτ, ·) /∂t vi phân uk+1 − uk , τ (k = 0, 1, , n − 1) Thay vào phương trình (2.7) ta có ρ uk+1 − uk f + DDuk+1 + Dpk+1 = {kτ, k = 0, 1, , n − 1} × Ω, η τ η η p phải xấp xỉ vi phân trước Hay f ρ ρ uk+1 + DDuk+1 + Dpk+1 = + uk , τη η η ητ Đặt a := ρ ητ , (k = 0, 1, , n − 1) có biểu diễn f (D + ia) (D − ia) uk+1 + Dpk+1 = + a2 uk η η Áp dụng biến đổi Teodorescu T±ai tác động từ bên trái uk+1 = − T−ai Tai Dpk+1 + T−ai Tai η f + a2 uk η + T−ai φ+ + φ− , (2.11) φ± ∈ ker (D ± ia) Từ công thức Cauchy - Pompieu suy rộng ta có T±ia (D ± ia) u + F±ia u = u Ω, tính chất tích phân Cauchy cho thấy F±ia T±ia = Ω Với uk+1 |Γ = g, rút gọn φ− = F−ia g có tr − T−ia Tia Dpk+1 + T−ia Tia η f + a2 uk η 56 + T−ia φ+ = QΓ.−ia g Chúng ta tham khảo [13] cho toán tử k+1/2 trΓ T±ia F∓ia : im PΓ.ia ∩ W2 k+1/2 (Γ) → im QΓ.−ia ∩ W2 (Γ) đẳng cấu, PΓ.ia QΓ.−ia phép chiếu Plemelj suy rộng Vì Fia φ+ = φ+ , có T−ia Tia Dpk+1 − T−ia Tia η + (trΓ T−ia Fia )−1 QΓ.−ia g trΓ φ+ = (trΓ T−ia Fia )−1 f + a2 uk η Do φ+ = Fia (trΓ T−ia Fia )−1 T−ia Tia Dpk+1 − T−ia Tia η f + a2 uk η + QΓ.−ia g Thay φ+ vào (2.11) ta có uk+1 = − T−ia Tia Dpk+1 − Fia (trΓ T−ia Fia )−1 T−ia Tia Dpk+1 η f + T−ia Tia + a2 uk − Fia (trΓ T−ia Fia )−1 T−ia Tia η + T−ia Fia (trΓ T−ia Fia )−1 QΓ.−ia g + F−ia g f + a2 uk η Khi f uk+1 = − T−ia Qia Tia Dpk+1 + T−ia Qia Tia + a2 uk η η −1 + T−ia Fia (trΓ T−ia Fia ) QΓ.−ia g + F−ia g, (2.12) sử dụng công thức biểu diễn Qia := I−Fia (trΓ T−ia Fia )−1 T−ia với phép chiếu trực giao lên không gian Hilbert (D − ia) W21 (Ω) L2 (Ω) Toán tử Pia = Fia (trΓ T−ia Fia )−1 T−ia biến đổi phép chiếu Bergman từ giải tích phức chiều Nếu giả thiết g = Γ, từ (2.12) ta có uk+1 = − T−ia Qia Tia Dpk+1 + T−ia Qia Tia η 57 f + a2 uk , η mà Tia Dpk+1 = Tia (D + ia) pk+1 − iaTia pk+1 = pk+1 − Fia pk+1 − iaTia pk+1 nên Qia Tia Dpk+1 = Qia (pk+1 − iaTia pk+1 ) , (Fia pk+1 ∈ imPia ) Khi uk+1 = − T−ia Qia (pk+1 − iaTia pk+1 ) + T−ia Qia Tia η f + a2 uk η Bây giờ, thay p˜ := p − iaTia p, ta có biểu diễn cuối uk+1 = − T−ia Qia p˜k+1 + T−ia Qia Tia η f + a2 uk η (2.13) Cơng thức có cấu trúc tương tự biểu diễn (2.5) xuất từ phương trình trạng thái ổn định Stokes Chúng ta thay −∆ (D − ia) (D + ia) sử dụng dạng song tuyến tính Chú ý định nghĩa p˜ hàm ý (D + ia) p˜ = Dp Bây nghiên cứu sai số phương pháp rời rạc hóa nghiệm theo biến thời gian Để chứng minh, ta giả sử phương trình Yukawa giải xác Trong ứng dụng tốn phải xấp xỉ Đơn giản, giả thiết nghiệm (u, p) đủ mịn ta chứng minh cách sử dụng lớp Taylor (xem [7]) Trước tiên chứng minh xấp xỉ (sai số làm tròn) toán tử vi phân hữu hạn Ký hiệu Lu (x, t) = ρ ∂u (x, t) + DDu (x, t) + Dp (x, t) , η ∂t η Lτ u (x, t) = ρ (u (x, t + τ ) − u (x, t))+DDu (x, t + τ )+ Dp (x, t + τ ) , ητ η với (x, t) ∈ {kτ, k = 0, , n − 1} × Ω, phải ước lượng vi phân |Luk − Lτ uk |, uk vị trí cho nghiệm xác u (x, kτ ) (2.7)(2.10) 58 ρ ρ ∂uk (uk+1 − uk ) + DDuk+1 + Dpk+1 − − DDuk − Dpk ητ η η ∂t η ρ ∂uk τ ∂u (x, kτ + θτ ) ρ ∂uk ρ uk + τ = + u − − k ητ ∂t ∂t2 ητ η ∂t ρ ∂uk+1 ρ ∂uk + + (fk+1 − fk ) − η η ∂t η ∂t τ ρ ∂u (x, kτ + θτ ) ρ ∂u (x, kτ + θ1 τ ) ≤ max + max τ Ω Ω 2η ∂t2 η ∂t2 ∂u (x, kτ + θ2 τ ) + max τ Ω η ∂t ∂u x, k + θ¯ τ ρ τ ∂u (x, (k + θ2 ) τ ) ≤ · τ max + max Ω η Ω ∂t2 η ∂t |Lτ uk − Luk | = ≤ Ck (u, f ) τ Chúng ta xét tốn giá trị biên tuyến tính Vì vậy, đủ để chứng minh tính ổn định tốn phương trình sai phân hữu hạn để có kết hội tụ mong muốn Sử dụng công thức biểu diễn (2.13) với nghiệm toán rời rạc tìm cách ước lượng cho đơn giản Từ (2.13) có D−ia uk+1 + Qia p˜k+1 = Qia Tia η f + a2 uk , η hai số hạng bên trái trực giao với dạng song tuyến tính ·, · có Qia p˜k+1 ≤ Qia Tia η Khi đó, từ (2.13) ta có uk+1 ≤ T−ia QTia f + a2 uk η f + a2 uk η Điều có nghĩa hàm u ổn định với hàm f phải điều kiện ban đầu u0 Tất chuẩn hiểu chuẩn L2 nêu 59 Đánh giá sai số nghiệm phương trình sai phân kết thúc điều phải chứng minh 2.4 Phương trình Galpern - Sobolev Cho Ω miền bị chặn với biên đủ trơn Γ biến thời gian t ∈ [0, T ], với f : Ω × [0, T ] − Rn u : Ω × [0, T ] → Rn Chúng ta xét phương trình vi phân ∂t (u − η∆u) + ν∆u = f Ω × (0, T ] , với điều kiện biên u (x, t) = g (x, t) , x ∈ Γ, điều kiện giá trị ban đầu u (x, 0) = u0 , phương pháp rời rạc hóa biến thời gian cho hàm ẩn uk = u (·, kτ ) Đặt τ = T /n - biến thời gian t [0, T ] có uk+1 − η∆uk+1 uk η∆uk − νDDuk+1 = fk + − , τ τ τ k = 0, 1, 2, , dẫn đến uk+1 + (η − ντ ) DDuk+1 = τ fk + uk − η∆uk , fk := τ (k+1)τ f (x, t) dt kτ 60 Đặt η − ντ = √ β := α, α ta có (DD + α) uk+1 = ατ fk + αuk − αη∆uk Sử dụng việc phân tích tốn tử (∆ + α) sau (DD + α) = (D − iβ) (D + iβ) , áp dụng phần cho phương trình sai phân ta có uk+1 = αT−iβ Qiβ Tiβ (τ fk + uk + ηDDuk ) + F−iβ gk − T−iβ Piβ D−iβ Hk , (k = 0, , n − 1), gk = g (x, kτ ) liệu Dirichlet biên theo biến thời gian kτ , Hk hàm nhị phân mũ đủ trơn Nên ta có T−iβ Piβ D−iβ Hk1 − Hk2 = 0, D−iβ Hk1 − Hk2 thuộc vào ảnh phép chiếu Qiβ Với Sη = I − η∆, Riβ = T−iβ Qiβ Tiβ Hk = F−iβ gk − T−iβ Piβ D−iβ Hk , thu uk+1 = ατ Riβ fk + Hk + αRiβ Sη uk = ατ Riβ fk + (αRiβ Sη ) (ατ Riβ ) fk−1 + αRiβ Sη Hk−1 + Hk + (αRiβ Sη )2 uk−1 = ατ Riβ fk + (αRiβ Sη ) (ατ Riβ ) fk−1 + (αRiβ Sη )2 (ατ Riβ ) fk−2 + Hk + (αRiβ Sη ) Hk−1 + (αRiβ Sη )2 Hk−2 + (αRiβ Sη )3 uk−2 k k−1 = (αRiβ Sη ) (αRiβ Sη )l (ατ Riβ fk−l + Hk−l ) u0 + l=0 Đây công thức biểu diễn xấp xỉ nghiệm thời điểm t = (k + 1) τ 61 (2.14) Hàm Hk nghiệm phương trình (D + iβ) (D − iβ) vk = Ω, với giá trị biên không vk (x) = gk (x) Γ Tương tự chứng minh tính ổn định nghiệm tốn Stokes tính bị chặn tốn tử tích phân T±iβ ta chứng minh tính ổn định nghiệm tương ứng giá trị biên điều kiện biên Xét Riβ Sη = T−iβ Qiβ Tiβ (I − η∆) bị chặn không gian Sobolev, T−iβ Qiβ Tiβ I tốn tử trơn khơng gian Sobolev Vì vậy, ta chủ yếu xét toán tử T−iβ Qiβ Tiβ ∆ Áp dụng công thức Cauchy - Pompieu với D = Diβ − iβI ta có Tiβ D = I − Fiβ − iβTiβ , Tiβ DD = D − Fiβ D − iβTiβ D = D − Fiβ D − iβI + (iβ)2 Tiβ + iβFiβ , tức Qiβ Tiβ DD = Qiβ D−iβ − β Qiβ Tiβ Khi T−iβ Qiβ Tiβ DD = I−Fiβ −T−iβ Fiβ (trT−iβ Fiβ )−1 tr (I − F−iβ )−β T−iβ Qiβ Tiβ Bây nhận thấy khơng gian Sobolev tốn tử T−iβ Qiβ Tiβ DD có cấu trúc I − Fiβ - toán tử compact Để chứng minh sai số xấp xỉ giả sử nghiệm đủ trơn sử dụng khai triển Taylor Chứng minh tương tự chứng minh toán Stokes 62 Trong trường hợp hàm f bên phải phụ thuộc vào hàm tìm kiếm u, tức f = f (x, t, u) với fk := h (k+1)h f (x, t, uk−1 )dt, kh giả sử f (x, t, u) ≤ M f (x, t, u) ≤ M u Để chứng minh tính ổn định ta sử dụng (2.14) chứng minh tương tự Vậy với ý tưởng dùng phương pháp phức dựa công thức biểu diễn tích phân Cauchy- Pompeiu, chúng tơi nghiên cứu lý thuyết hàm hypercomplex để áp dụng vào giải tốn Dirichlet cho phương trình tốn tử Dirac Mạnh mẽ chúng tơi rời rạc hóa khoảng thời gian hữu hạn để đưa tốn dịng chảy chất lỏng Stokes trạng thái dừng, để toán biên giải lý thuyết hypercomplex vào tốn Stokes thành cơng sau chúng tơi đánh giá tính ổn định nghiệm phương trình sai phân 63 Kết luận Số phức phát vào kỉ 18 mở rộng tự nhiên trường số thực để phục vụ cho việc giải phương trình bậc hai khơng có nghiệm thực Việc hình thành, xây dựng phát triển số phức giai đoạn đầu gắn liền với tên tuổi nhà toán học tiếng Euler, Gauss, Riemann Sự phát triển số phức nhanh chóng vượt khỏi ứng dụng thơng thường việc giải phương trình đa thức Người ta nhận nhiều tốn kĩ thuật nghiên cứu giải phương pháp lý thuyết hàm biến phức Trong luận văn sử dụng biểu diễn tích phân Cauchy - Pompieu để giải tốn biên Dirichlet cho phương trình Cauchy - Riemann đĩa đơn vị Sử dụng ý tưởng phương pháp lặp chúng tơi giải tốn Dirichlet cho phương trình Poisson, phương trình Bitsadze tổng quát lên cấp n Chương mở rộng sang giải tích khơng giới hạn Quaternion dùng biểu diễn tích phân Cauchy - Pompieu để giải toán Dirichlet cho phương trình Laplace kết quan trọng giải 64 tốn dịng chảy chất lỏng Stokes phương pháp rời rạc hóa thời gian Ý tưởng sử dụng phương pháp phức nhiều vấn đề mở mở hướng giải hệ phương trình Maxell trường điện từ nhiễu hệ số α, phương pháp xây dựng công thức biểu diễn tích phân Cauchy - Pompieu với tốn tử Helmholtz ∆ + α2 mang đến lý thuyết lớp hàm meta-hypercomplex , xem [9], [10], [11] Và điều quan trọng toán ứng dụng viết mơ hình hóa hồn hảo ngơn ngữ giải tích Quaternion Nên phương pháp phức phương pháp tiếp cận giải có hiệu cho toán kĩ thuật 65 Tài liệu tham khảo [1] H Bahman, K Gă urlebeck, M Shapiro, W Sprăossing, On a modified Teodorescu transform 2001; 12(3): 213-226 [2] H Begehr, Integral representation in complex, hypercomplex and Clifford analysis, Lecture Notes, Minicorsi, Padova, 2000, 53-77, Integral Transf, Special Functions 13 (2002) [3] H Begehr, Some boundary value problems for bi - bianalytic functions, Complex analysis, Diff Equa and Related Topics, Pro ISAAC Comf on Analysis, Yerevan, 2002 [4] A Dzhuraev, Methods of singular integral equations, Longman, Harlow, 1992 [5] K Gă urlebeck, Hypercomplex factorization of the Helmholtz equation, Zcitschrift fur Analysis und thre Anwendungen 1986, 5, 125-131 [6] K Gă urlebeck & W Sprăossing, Quaternionic Analysis and Boundary Value Problems, Birkhauser Verlag, Basel, 1990 [7] K Gă urlebeck & W Sprăossing, Quaternionic and Clifford Calculus for Physicists and Engineers, Wiley, Chichester, 1997 66 [8] K Gă urlebeck, K Habetha and W Sprăossing, Representation theory for classes of initial value problems with quaternionic analysis, 2002, 25, 1371-1382 [9] Vu Thi Ngoc Ha, Helmholtz operator in quaternionic analysis, Ph.D thesic, Freie University, Berlin 2005 [10] Vu Thi Ngoc Ha, Higher order Teodorescu operators and Vu Thi Ngoc Ha, Cauchy - Pompieu type formulas related to polynomical operators in quaternionic analysis, ZAA, Vol 24, 2005, No 4, 815 839 [11] Vu Thi Ngoc Ha, Heinrich Begher, Zhang Zhongxiang, Polyharmonic Dirichlet Problems, Proceeding of the Steklov Institute of Mathematics, Vol 255, 13 - 34, August 2006 [12] RE Showalter, Partial Differential Equations of Sobolev-Galpern Type, Pacific Journal of Mathematics, 1969;31:787-793 [13] W Sprăossing, On decomposition of the Clifford valued Hilbert Space anh their application to boundary value problems, Advances in Applied Clifford Algebras 1995:52:167-185 [14] GN Watson, A Treatise on the Theory of Bessel Functions, Cambridge University Press, Cambridge, 1995 [15] U Wimmer Orthogonal Decomposition of the space L2 (Ω) Proceeding of the 19th Summer School Applications of the Mathematics in Engineering, Vana, August-2 September TU Sofia 1993:203-210 67 [16] I N Vekua, Generalized analytic functions, Pergamon Press, Oxford, 1962 68 ... DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI - - - - - - - - - - -o0o- - - - - - - - - - - VŨ THỊ CHI PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BIỂU DIỄN TÍCH PHÂN ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN VÀ ỨNG DỤNG TRONG MỘT... tưởng sử dụng phương pháp lặp, đưa cơng thức tích phân Cauchy - Pompieu cho toán tử vi phân cấp n Sử dụng phương pháp phức ứng dụng để dùng cơng thức tích phân Cauchy - Pompieu xem xét giải tốn... Chương Phương pháp phức giải toán Dirichlet cho phương trình vi phân Trong chương này, chúng tơi trình bày phương pháp phức với ý tưởng sử dụng biểu diễn tích phân Cauchy – Pompieu để giải tốn