Hướng dẫn học sinh vận dụng tính chất nguyên hàm tích phân để giải một số phương trình chứa f(x) f(x) trong đề thi TH

MỤC LỤC Phần mở Trang đầu 1.1 Lý chọn đề tài…………………………………… 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4.Phương pháp nghiên cứu Nội dung 2.1 Cơ sở lí luận skkn 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà 19 trường………………………… Kết luận, kiến 20 nghị 3.1 Kết luận 20 20 3.2 Kiến nghị MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Với xu đổi phương pháp giáo dục giáo dục, trình dạy học để thu hiệu cao đòi hỏi người thầy phải nghiên cứu tìm hiểu kỹ chương trình, đối tượng học sinh; đưa phương pháp phù hợp với kiến thức, với đối tượng học sinh cần truyền thụ Ý thức điều đó, tơi ln tích cực học tập; không ngừng nâng cao lực chuyên môn; đổi phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo học sinh; bồi dưỡng khả tự học, sáng tạo; khả vận dụng kiến thức vào thực tế; đem lại say mê, hứng thú học tập cho em Trong giảng dạy, nghiên cứu, trao đổi với đồng nghiệp, tìm tịi phương pháp phù hợp nhằm giúp học sinh thích nghi tốt với thay đổi hình thức thi THPT Quốc Gia Đặc biệt năm học 2016 - 2017 (Kỳ thi THPT Quốc Gia năm 2017), mơn Tốn áp dụng hình thức thi trắc nghiệm Đây thử thách hội không với giáo viên mà với học sinh giảng dạy học tập tầm phát triển nhiều học sinh lo lắng Việc chuyển từ thi tự luận sang trắc nghiệm đồng nghĩa với việc thay đổi cách học, cách làm quen thuộc em Do hình thức thi trắc nghiệm mơn Tốn câu hỏi rộng nên việc tìm tịi tài liệu dạy học mơn Tốn theo hình thức thi trắc nghiệm nhiệm vụ quan trọng hoạt động chuyên môn Trong chuyên đề ôn luyện thi THPT Quốc Gia có nhiều chuyên đề hay áp dụng như: Các toán vận dụng Toán học vào thực tế; Bài tốn cực trị hình học; …Tuy nhiên, chun đề tích phân khai thác câu vận dụng với hàm tổng quát chưa cụ thể học sinh khó Vì để xây dựng hướng tiếp cận rõ ràng , quen nhìn nhận học sinh sử dụng tính chất tích phân để tính tích phân hàm số chưa xác định biểu thức (dạng chống bấm máy tính) Trong khn khổ đề tài Vì tơi lựa chọn đề tài“ Hướng dẫn học sinh vận dụng tính chất Nguyên hàm Tích phân giải số phương trình chứa đề thi THPT Quốc Gia.” 1.2 Mục đích nghiên cứu f ( x ) ;f' ( x ) 22 f ( x ) ; f '( x ) Phương trình chứa dạng tốn khai thác không nhiều sách giáo khoa Nhưng đề thi THPTQG lại dạng nội dung Nguyên hàm – Tích phân theo hướng chống bấm máy tính áp dụng chất Toán Đây hướng khai thác với học sinh nên tài liệu dạy học; Trong đề thi THPTQG, hay đề thi thử trường toàn quốc lại khai thác với câu mức độ vận dụng, chí vận dụng cao Mục đích: Xây dựng dạng - nhận dạng - nêu dạng tổng quát (nếu có) f ( x ) ;f' ( x ) rèn luyện kĩ giải dạng toán “ Giải phương trình chứa ” Qua học sinh định hướng giải được, giải đúng,giải nhanh dạng toán liên quan đề thi 1.3 Đối tượng nghiên cứu +) Lớp 12A5;12A6 năm học 2018-2019 trường THPT Đông Sơn 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phối hợp nhiều phương pháp chủ yếu phương pháp: Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lí thuyết : Dựa sở kiến thức sách giáo khoa, đề thi THPT Quốc Gia , đề minh họa , đề thi thử trường THPT làm tài liệu tham khảo có liên quan đến đề tài, rèn luyện kĩ phân tích, nhận dạng áp dụng lí thuyết vào toán cụ thể Phương pháp thực hành: Soạn thiết kế chuyên đề theo phương pháp định hướng lực, tiến hành thực nghiệm lớp 12A5 lớp12A6 năm học 2018-2019 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm *.Theo luật giáo dục Việt Nam có viết: “ Phương pháp giáo dục phổ thơng cần phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo học sinh, phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh ” 2.1.1.Dựa vào kiến thức nguyên hàm sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao + Định nghĩa nguyên hàm ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C ⇔ F '( x ) = f ( x ) + Tính chất chât nguyên hàm ∫ f ' ( x ) dx = f ( x ) + C 2.1.2 Dựa vào kiến thức tích phân sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao + Cơng thức định nghĩa tích phân: Cho hàm số f liên tục K a,b hai số thuộc K Nếu F nguyên hàm f K thì: 3 33 b ∫ f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a ) a + Các tính chất tích phân Các hàm số f, g liên tục K a,b,c ba số thuộc K Khi ta có: a ∫ f ( x ) dx = a) a ; b a a b ∫ f ( x ) dx = −∫ f ( x ) ; b) b c c a b a ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx; c) b b b a a a ∫  f ( x ) + g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x )dx; d) b b a a ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx e) với b b b a a a k ∈¡ ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt = = ∫ f ( u ) du f) 2.2 Thực trạng vấn đề Hình thức thi trắc nghiệm mơn Tốn với tính tích phân hàm số cụ thể học sinh bấm máy tính để chọn đáp án, chất kiến thức tốn khơng áp dụng Chính giáo dục đào tạo xây dựng đề thi trọng nhiều dạng toán học sinh phải vận dụng chất kiến thức Toán vào thi f ( x ) ; f '( x ) Ban đầu gặp dạng toán chứa mức độ sách giáo khoa Giải Tích 12 học sinh suy luận Khi tốn mức độ yêu cầu vận dụng học sinh lúng túng khơng có định hướng giải tốn cách chủ động Đề thi THPT Quốc Gia đề minh họa, đề thi thử có câu chứa f ( x ) ; f '( x ) mức độ vận dụng chí mức độ vận dụng cao Trong q trình giảng dạy học sinh tơi nhận thấy em cịn gặp nhiều khó khăn cách nhận dạng, phương pháp giải kĩ giải Vì xây dựng đề tài 4 44 “Hướng dẫn học sinh vận dụng tính chất Nguyên hàm Tích phân giải f ( x ) ;f' ( x ) số phương trình chứa đề thi THPT Quốc Gia ” 2.3 Giải pháp cụ thể f ( x) Bài toán xây dựng : Cho hàm số xác định liên tục khoảng K cho f ( x ) f '( x ) f ( x) trước , thỏa mãn liên hệ cho trước Tìm tính chất Phương pháp: + Vận dụng cơng thức đạo hàm phép tốn đạo hàm đưa phương trình  g ( x, f ( x ) ) ′ = h ( x ) , ( *) f ( x ) ; f '( x ) h( x) chứa dạng , xác định + Lấy ngun hàm tích phân phương trình (*) b ∫ g '( x ) dx = g ( x ) + C ∫ g '( x ) dx = g ( x ) a b a + Vận dụng tính chất , g ( x) f ( x) Cho Tìm tính chất , biết Bài tốn f ' ( x ) = g ( x ) , ( 1) Đây toán ban đầu quen thuộc với học sinh, câu hỏi nhận biết hay thơng hiểu, nhưnglại tốn sở toán sau Để giải toán học sinh cần nhớ khái niệm nguyên hàm thực Phương pháp: + Lấy nguyên hàm vế (1) ta có ∫ f ' ( x ) dx = ∫ g ( x ) dx ⇔ f ( x ) = ∫ g ( x ) dx + Dựa vào điều kiện cho tìm số C phù hợp Ví dụ 1: [MH-THPTQG2018] 1  ¡ \  f ' x = ( ) f ( x) 2 2x − Cho hàm số xác định liên tục thỏa mãn f ( ) = 1; f ( 1) = f ( −1) + f ( 3) Tính giá trị biểu thức + ln15 + ln15 + ln15 ln15 A B C D 5 55 Lời giải : f ( x ) = ∫ f ' ( x ) dx = ∫ Ta có dx = ln ( x − ) + C 2x − f ( ) = 1; f ( 1) =  ln ( x − 1) x > f ( x) =  ln ( − x ) x <  2 , nên Theo giả thiết S = f ( 3) + f ( −1) = + ln15 Do Chọn đáp án A Ví dụ 2: [ Thi thử THPTQG trường Lương Thế Vinh 2019] Hai người A B cách 180m đoạn đường thẳng chuyển động thẳng theo hướng với vận tốc biến thiên theo thời gian, A chuyện động với vận tốc v1 ( t ) = 6t + ( m / s ) , B chuyển động với vận tốc v2 ( t ) = 2at − ( m / s ) (a số), t (giây) khoảng thời gian từ lúc A, B bắt đầu chuyển động Biết lúc đầu A đuổi theo B sau 10 (giây) đuổi kịp Hỏi sau 20 giây, A cách B mét? A 320 (m) B 720 (m) C 360 (m) D 380 (m) Đây toán hay gặp liên quan đến chuyển động, yêu cầu học sinh nhớ ứng dụng học đạo hàm Lời giải: v ( t ) = s '( t ) s1 ' ( t ) = 6t − 5; s2 ' ( t ) = 2at + Ta có nên theo Quãng đường người A 10 giây kể từ bắt đầu chuyển động 10 ∫ ( 6t + 5) dt = 350m Quãng đường người B 10 giây kể từ bắt đầu chuyển động 10 ∫ ( 2at − 3) dt = ( a.t − 3t ) 10 = 100a − 30 66 Vì sau 10 giây người A đuổi kịp người B người A lúc ban đầu cách người B 10a − 30 + 180 = 350 ⇔ a = 180m nên ta có phương trình suy v2 ( t ) = 4t − 3( m / s ) Quãng đường người A 20 giây kể từ bắt đầu chuyển động 20 ∫ ( 6t + 5) dt = 1300m Quãng đường người B 20 giây kể từ bắt đầu chuyển động 20 ∫ ( 4t − 3) dt = 740m Khoảng cách hai người A người B sau 20 giây 1300 − 180 − 740 = 380 ( m ) Chọn đáp án D Bài tập áp dụng: f ( x) f ′( x ) = 2x + ¡ f ( 1) = Bài 1: Cho hàm số xác định thỏa mãn f ( x) = S = log x1 + log x2 x1 x2 Phương trình có hai nghiệm , Tính tổng S =1 S =2 S =0 S =4 A B C D f ′ ( x ) = e x + e− x − f ( x) ¡ Bài 2: Cho hàm số xác định thỏa mãn ,  1 f  ln ÷ = f ( 0) = S = f ( − ln16 ) + f ( ln )  4 Giá trị biểu thức S= A 31 S= B S= C D f ( 0) f ( 2) = 10 m/s Bài 3: [MH- THPTQG2017] Một ô tô chạy với tốc độ người lái đạp phanh ; từ thời điểm đó, tơ chuyển động chậm dần với v ( t ) = −5t + 10 ( m/s ) t , khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, ô tô di chuyển mét? 7 77 0, m A 2m B 10 m C f ( x) Bài tốn Tìm hàm số g ( x) có cơng thức xác định biết 20 m D f ′ ( x ) f n ( x ) = g ( x ) , n ∈ ¢, n ≠ ( 2) với Khi gặp phương trình (2) đặt câu hỏi cho học sinh gợi nhớ cơng thức đạo hàm nào? Từ liệu có đưa Bài tốn hay khơng? xây dụng phương pháp thực Phương pháp:  f n ( x ) ′ = g ( x ) n + Biến đổi phương trình (2) dạng 1 ′ n n ∫  f ( x )  dx = n ∫ g ( x ) ⇒ f ( x ) = n ∫ g ( x ) + Lấy nguyên hàm vế ta có f ( x) f ( ) = 68 ¡ Ví dụ 3: Cho hàm số xác định liên tục Biết f ( x ) f ′ ( x ) = 12 x + 13 f ( x) = Khi phương trình có nghiệm? A B C Lời giải : f ( x ) f ′ ( x ) = 12 x + 13 ⇒  f ( x )  ' = ( 12 x + 13) D ⇒ ∫  f ( x )  ' dx = ∫ ( 12 x + 13) dx ⇒ f ( x ) = ( x + 13 x ) + C f ( ) = 68 ⇒ C = 68 f ( x ) = 42 x + 91x + 68 Suy ra: f ( x ) = ⇔ f ( x ) = 2187 ⇒ 42 x + 91x + 68 = 2187 Từ ⇔ 42 x + 91x − 2019 = ( *) ( *) ac < nghiệm trái dầu Chọn đáp án A f ( x) f ( x) ≠ x∈¡ ¡ Ví dụ 4:Cho hàm số liên tục với Phương trình có 88 f ( 1) = f ′ ( x ) = ( x + 1) f ( x ) giản tổng sau a + b = −1 A Lời giải : Ta a b ( a ∈ ¢, b ∈ ¥ ) −1 Cho f ( 1) + f ( ) + + f ( 2019 ) B a ∈ ( −2018;2018 ) C phân thức tối Mệnh đề đúng? a < −1 b D b − a = 4039  ′ f ′( x ) ⇔ = ( x + 1) ⇔   = − ( x + 1) f ( x) f x ( ) f ′ ( x ) = ( x + 1) f ( x )   có  ′ ⇒ ∫ = − ( x + x ) + C  dx = − ∫ ( x + 1) dx ⇒ f ( x)  f ( x)  f ( 1) = − Mà Mặt khác nên C =0 ⇒ f ( x) = − 1 = − x + x x +1 x  1  1 1 1 1  f ( 1) + f ( ) + f ( 3) + + f ( 2019 ) =  − ÷+  − ÷+  − ÷+ +  − ÷   3   3  2019 2020  ⇔ f ( 1) + f ( ) + + f ( 2019 ) = −1 + b − a = 4039 Khi Bài tập áp dụng Bài 4: Cho hàm số −2019 = 2020 2020 ⇒ a = −2019; b = 2020 Chọn đáp án D f ( x) f ( 1) = Biết f x = − ( ) 2018 x f ( x ) f ′ ( x ) = x.e e Khi phương trình có nghiệm? A xác định liên tục ¡ B C D 99 Bài 5: Cho hàm số y = f ( x) ¡ thỏa mãn đồng thời f ( 0) = f ′ ( x ) = −e x f ( x ) ∀x ∈ ¡ f ( x ) > ∀x ∈ ¡ điều kiện , ; , Tính f ( ln ) giá trị 2 f ( ln ) = f ( ln ) = − f ( ln ) = f ( ln ) = 9 3 A xác định liên tục B C f ( x) D [ 0;1] Bài 6: Cho hàm số có đạo hàm liên tục đoạn đồng thời thỏa f ′′ ( x ) +  f ′ ( x ) − x  = f ′( 0) = T = f ( 1) − f ( ) mãn Tính T = + 9ln T = + 9ln T =9 T = − 9ln 2 A B C D ¡ \ { 0} y = f ( x) Bài 7: Cho hàm số xác định liên tục thỏa mãn 2 x f ( x ) + ( x − 1) f ( x ) = xf ′ ( x ) − ∀x ∈ ¡ \ { 0} f ( 1) = −2 với ∫ f ( x ) dx Tính A 1 − − ln 2 B − − ln 2 −1 − C ln 2 D ln − − 2 f ( x) Bài 8:[THPTQG-2017] Cho hàm số thỏa mãn f ′ ( x ) = x  f ( x )  f ( 1) x∈¡ với Giá trị 35 19 − − − 36 36 A B C Bài tốn Tìm 10 f ( x) biết f ( x ) ; f '( x ) f ( 2) = − − D 15 thỏa mãn phương trình 10 1010 Học sinh lo sợ phương trình cho có đạo hàm cấp Hãy cho học sinh quan sát kỹ để có phép tương ứng đạo hàm cấp hai đạo hàm cấp f '( x ) hàm , đưa dạng cần tìm toán trở nên dễ dàng Lời giải: ( f ′ ( x ) ) + f ( x ) f ′′ ( x ) = 15x + 12 x ∀x ∈ ¡ Ta có: , ⇔  f ′ ( x ) f ( x ) ′ = 15 x + 12 x ∀x ∈ ¡ ⇔ f ′ ( x ) f ( x ) = 3x + x + C1 , f ′ ( x ) f ( x ) = 3x + x + f ( 0) = f ′( 0) = C1 = Do nên ta có Do đó: 1 ′ ⇔  f ( x ) ÷ = 3x5 + x + ⇔ f ( x ) = x + x + x + C2 2  Mà f ( 0) = C2 = nên ta có Do f ( 1) = Vậy Chọn đáp án D f ( x ) = x + x3 + x + Trong hàm , có hàm số đặc biệt mà đạo hàm hay ex ngun hàm khơng thay đổi , đáy hàm Tận dụng thú vị ta xây ex dụng thêm số toán liên quan mà ta nhân thêm để đạo hàm tích bất ngờ thơng qua Bài tốn 3.1, Bài toán 3.2, Bài toán 3.3 f ( x) f ( x ) ; f '( x ) Bài toán 3.1: Tìm hàm số biết thỏa mãn phương trình f ( x ) + f ' ( x ) = h ( x ) , ( 3.1) Phương pháp : ex + Biến đổi phương trình (3.1) dạng Bài toán cách nhân vế với + Ta có ( 3.1) ⇔ e x f ( x ) + e x f ' ( x ) = e x h ( x ) ⇔ e x f ( x ) ′ = e x h ( x ) ′ ∫ e f ( x )  dx = ∫ e h ( x ) dx ⇒.e f ( x ) = ∫ e h ( x ) dx x x x x + Lấy nguyên hàm ta có Ví dụ 7:[THPT Thăng Long-Hà Nội 2018] f ( x) f ( x ) + f ' ( x ) = sin x f ( ) = ¡ Cho hàm số liên tục thỏa mãn 12 12 1212 eπ f ( π ) Tính eπ − A Lời giải : B eπ + C eπ + D π +1 f ( x ) + f ' ( x ) = sin x ⇔ e x f ( x ) + e x f ' ( x ) = e x sin x ⇔ e x f ( x ) ′ = e x sin x ex eπ + π ⇒ e f ( x ) = ∫ e sin xdx ⇒ e f ( x ) = ( sin x − cos x ) + C ⇒ e f ( π ) = 2 x x x Chọn đáp án B Ví dụ 8: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm cấp 2, liên tục ¡ thỏa mãn f ( 0) = f '( 0) = f ( x ) + f ' ( x ) + f "( x ) = x + x , ∀x ∈ ¡ ∫ f ( x ) dx Tính 107 21 107 12 107 21 107 12 − − + + 12 e 12 e 12 e 12 e A B C D Đây tốn nhìn lạ mắt Ta để ý đến dạo hàm cấp có biểu f' ( x ) thức hẳn có biểu thức chứa đạo hàm lên Do biểu thức liên quan đến tổng nên ta nghĩ tới đạo hàm tổng tích Vì ta đưa biểu thức tổng quen thuộc Bài toán Lời giải: f ( x ) + f ' ( x ) + f "( x ) = f ( x ) + f ' ( x ) + f ' ( x ) + f " ( x ) = g ( x ) + g ' ( x ) Ta có g ( x ) = f ( x ) + f '( x ) ⇒ g ( ) = Với g ( x ) + g '( x ) = x + x ⇔ e x g ( x ) + e x g '( x ) = e x ( x3 + 2x ) Xét phương trình ⇔ e x g ( x ) ′ = e x ( x + x ) ⇒ e x g ( x ) = ∫ e x ( x + x ) dx Suy e x g ( x ) = e x ( x3 − x + x − ) + C g ( ) = ⇒ C = Ta có , mà 13 13 1313 ⇒ e x g ( x ) = e x ( x3 − x + x − ) + ⇔ e x ( f ( x ) + f ' ( x ) ) = e x ( x3 − x + x − ) + ⇒ e x f ( x ) ′ = e x ( x − x + x − ) + ⇒ e x f ( x ) = ∫ e x ( x3 − x + x − ) +  dx e x f ( x ) = e x ( x − x + 10 x − 12 ) + x + C Ta lại có f ( ) = ⇒ C = 13 ⇒ e x f ( x ) = e x ( x − x + 10 x − 12 ) + x + 13 ⇒ ∫ f ( x ) dx = 107 21 − 12 e Chọn đáp án A Bài tốn 3.2 Tìm hàm số f ( x ) − f ' ( x ) = h ( x ) , ( 3.2 ) f ( x) biết f ( x ) ; f '( x ) thỏa mãn phương trình Phương pháp : + Biến đổi phương trình (3.2) dạng Bài toán cách nhân vế với + Ta có e− x ( 3.2 ) ⇔ e− x f ( x ) − e− x f ' ( x ) = e− x h ( x ) ⇔ e − x f ( x ) ′ = e − x h ( x ) ∫ e −x f ( x ) ′ dx = ∫ e − x h ( x ) dx ⇒.e − x f ( x ) = ∫ e − x h ( x ) dx ngun hàm ta có Ví dụ 9: [Thi thử trường chuyên Lê Khiết - Quảng Ngãi 2018] f ( x) f ' ( x ) = f ( x ) + x e x + 1, ∀x ∈ ¡ ¡ Cho hàm số liên tục thỏa mãn f ( 3) f ( 1) = −1 Tính 28e 26e3 −1 −1 3 9e − 3e − A B C D Lời giải: ( 14 ) ⇔ f ' ( x ) − f ( x ) = x e x + ⇔ e − x f ' ( x ) − e − x f ( x ) = x + e − x + Lấy x3 ′ −x −x −x −x ⇒ e f ( x )  = x + e ⇒ e f ( x ) = ∫ ( x + e ) dx ⇒ e f ( x ) = − e− x + C −x Mà 14 −1 x3 26e3 −x −x f ( 1) = −1 ⇒ C = ⇒ e f ( x ) = − e − ⇒ f ( 3) = −1 3 3 14 1414 Chọn đáp án D f ( x ) ;f' ( x ) Trong toán 3.1 hay toán 3.2 ta xét hệ số đặc biệt hay -1 Câu hỏi đặt thay đổi hệ số khác có hay khơng? Dẫn dắt đến Bài tốn 3.3 tổng quát f ( x) f ( x ) ; f '( x ) Bài tốn 3.3: Tìm hàm số biết thỏa mãn phương trình af ( x ) + f ' ( x ) = h ( x ) , ( 3.3 ) Phương pháp : e ax + Biến đổi phương trình (3.3) dạng Bài toán cách nhân vế với ( 3.3) ⇔ eax f ( x ) + e ax f ' ( x ) = e ax h ( x ) ⇔ e ax f ( x ) ′ = e ax h ( x ) + Ta có + Lấy nguyên hàm hai vế ta có ′ ∫ e f ( x )  dx = ∫ e h ( x ) dx ⇒.e f ( x ) = ∫ e h ( x ) dx ax ax Ví dụ 10: Cho f ( 0) = ax f ( x) ax ¡ hàm số liên tục thỏa mãn f ( x ) + f '( x ) = x ∫ f ( x ) dx Tính e2 − 2e A Lời giải : B e2 − e2 C e2 + 2e D e2 + e2 f ( x ) + f ' ( x ) = x ⇔ 2e x f ( x ) + e x f ' ( x ) = e x x ⇔ e x f ( x ) ′ = xe x xe x e x ⇒ e f ( x ) = ∫ xe dx ⇒ e f ( x ) = − +C 2x 2x 2x Mà 1 x 1  e2 − x f ( ) = ⇒ C = ⇒ f ( x ) = − + x ⇒ ∫ f ( x ) dx = ∫  − + x ÷dx = 4 e e  2e 0 Chọn đáp án C Bài tập áp dụng 15 15 1515 Bài 9: Cho hàm số f ( e) có giá trị A e B Bài 10: Cho hàm số f ( x) f ( x ) + xf ' ( x ) = thỏa mãn ln ( 2e + 1) f ( x) 2x + x2 f ( 1) = C.1 D f ( x ) + f '( x ) = thỏa mãn e +1 ex 2x f ( 0) = Khi 2e + e2 ∫ f ( x ) dx Tính e A B ln ( e + 1) C.1 D e + 3e − 2e f ( x ) + xf ( x ) f ' ( x ) = f ( x) Bài 11:Cho hàm số thỏa mãn 1 f ( x ) dx f ( 1) = ∫ Tính A e ln +1 B ( ) +1 y = f ( x) f ′( x ) C.1 D x ;; f ( x ) > x2 + 1 +1 [ 0;+∞ ) Bài 12: Cho hàm số có liên tục nửa khoảng −2 x f ( x ) + f ′ ( x ) = + 3.e mãn Khi đó: 1 1 e3 f ( 1) − f ( ) = − e3 f ( 1) − f ( ) = − e2 + 2 e2 + A B e f ( 1) − f ( ) C Bài tốn Tìm (e = f ( x) + 3) e + − D thỏa e3 f ( 1) − f ( ) = ( e + 3) e + − f ( x ) ; f '( x ) , f ( x ) ≠ biết thỏa mãn phương trình g '( x ) f ( x ) − f '( x ) g ( x ) = f ( x ) h ( x ) , ( 4) g ( x) ,h( x) , hàm số 16 16 1616 xác định Khi gặp phương trình (4) học sinh gợi nhớ cơng thức đạo hàm thương Dẫn dắt dạng Bài toán 1cơ bản, để tự tìm phương pháp giải Phương pháp : +Biến đổi phương trình (4) dạng  g ( x ) ′ g '( x ) f ( x ) − f '( x ) g ( x ) = h( x) ⇔  ( 4) ⇔  = h( x) f ( x)  f ( x)  g ( x) = h ( x ) dx f ( x) ∫ + Lấy nguyên hàm vế ta có y = f ( x) [ 1;2] Ví dụ 11: Cho hàm số có đạo hàm liên tục thỏa mãn f ( 1) = f ( 2) f ( x ) = xf ′ ( x ) − x − 3x Tính A B 20 C 10 D 15 g ( x) Hướng dẫn học sinh cách tìm hàm quan sát biểu thức trước f ( x ) ;f' ( x ) g ( x) = x x từ nhận xét mẫu số , biến đổi theo toán dạngđạo hàm thương hai hàm số Lời giải : x ∈ [ 1;2] Do nên xf ′ ( x ) − f ( x )  f ( x ) ′ f ( x ) = xf ′ ( x ) − x − x ⇔ = 2x + ⇔  ÷ = 2x + x2 x   ⇔ Do f ( x) x = x + 3x + C f ( 1) = C = ⇒ f ( x ) = x + 3x nên f ( ) = 20 Vậy Chọn đáp án B 17 17 1717 f ′ ( ) = 0; f ( ) = y = f ( x ) ∀x ≥ Ví dụ 12: Cho hàm số , , thỏa mãn f ′′ ( x ) f ( x ) −  f ′ ( x )  + xf ( x ) = f ( 1) Tính 3 A B C D Bài tốn nhìn giống dạng việc xuất hệ f ( x ) ;( f' ( x ) ) số hàm đạo hàm cấp làm cho học sinh thấy lạ mắt, hướng dẫn học sinh nhận định số lũy thừa đạo f ( x) hàm xuống định hướng tìm hàm mẫu số Lời giải: f ′′ ( x ) f ( x ) −  f ′ ( x )  ⇔ = −x f ′′ ( x ) f ( x ) −  f ′ ( x )  + xf ( x ) = f ( x) Ta có:  f ′ ( x ) ′ f ′( x) f ′( 0) x2 02 ⇒ = − x ⇒ = − + C ⇒ = − +C  2 f x ( ) f x f ( ) ( )   ⇒C =0 f ′( x ) x =− f ( x) Do ⇒∫ f ′( x ) 1  x3  1 x2 ⇒ − = − ⇒ − + = − d x = − d x  ÷ ∫0 f ( x)   f ( 1) f ( ) f ( x) ⇒ f ( 1) = Chọn đáp án C Bài tập áp dụng: f ( x) x ∈ ( 0; +∞ ) Bài 13: Cho hàm số liên tục có đạo hàm đồng thời 3π f ( x ) = x ( sin x + f ' ( x ) ) + cos x thỏa mãn điều kiện: f (π) Khi nằm khoảng nào? 18 ∫ f ( x ) sin xdx = −4 π 18 1818 A ( 6;7 ) B ( 5;6 ) C ( 10;11) y = f ( x) D ( 11;12 ) ¡ Bài 14: Cho hàm số có đạo hàm cấp liên tục thỏa mãn f ( x ) > 0, ∀ x ∈¡ , f ( ) = f ′ ( ) = 1, xy + y ′2 = yy ′′, ∀ x ∈ ¡ Mệnh đề sau đúng? 1 3 < ln f ( 1) < < ln f ( 1) < < ln f ( 1) < < ln f ( 1) < 2 2 A B C D f ( 0) = y = f ( x) ¡ Bài 15: Cho hàm số Có đạo hàm liên tục Biết x f ( 1) + f ( −1) f ( x ) − f ′ ( x ) = f ( x ) e ∀x ∈ ¡ , Tính 2e e2 + e2 + 2e A B C D Bài toán 5: Tìm f ( x) biết f ( x ) ; f '( x ) , f ( x ) > thỏa mãn phương trình f ' ( x ) g ( x ) + f ( x ) h ( x ) = 0, ( ) g ( x) , h( x) , hàm số xác định Khi gặp phương trình (5) điều đặc biệt có chứa hàm bậc hai, học sinh gợi nhớ công thức đạo hàmcủa hàm thức Dẫn dắt dạng Bài toán bản, để tự tìm phương pháp giải Phương pháp : +B iến đổi phương trình (4) ta có ( 4) ⇔ f ' ( x ) g ( x ) = f ( x) h ( x) ⇔ f ( x) = + Lấy 19 nguyên hàm ta có f '( x ) f ( x) = −h ( x ) 2g ( x) ⇒ ( f ( x) ) ′ = 2−gh (( xx)) −h ( x ) dx ∫ g ( x) 19 1919 Ví dụ 13: Cho hàm số  π 0;  f ( x) liên tục, không âm đoạn , thỏa mãn  π ∀x ∈ 0;  f ( x ) f ′ ( x ) = cos x + f ( x ) f ( 0) =  2 , Tìm giá trị nhỏ m giá trị lớn π π   ;  f ( x) M hàm số đoạn 5 21 m= m= m= m= M =2 2 M =3 M= M =2 A , B , C , D , Khi quan sát toán ta thường quan tâm đến biểu thức dấu bậc hai đạo hàm nào, nhìn đạo hàm f ( x ) f' ( x ) dấu thức có biểu thức từ ta có cách giải tốn Lời giải : f ( x ) f ′ ( x ) = cos x + f ( x ) Từ giả thiết ⇒ f ( x) f ′( x) 1+ f ( x) = cos x ⇒ ( 1+ f ( x) ) ′ = cos x ⇒ ∫ ( 1+ f ( x) ) ′ dx = sin x + C + f ( x ) = sin x + C Suy f ( 0) = ⇒ C = Do + f ( x ) = sin x + ⇒ f ( x ) = sin x + 4sin x + Vậy ⇒ f ( x ) = sin x + 4sin x + Ta có t = −2 , hàm số π π ≤ x ≤ ⇒ ≤ sin x ≤ 2 f ( x) , xét hàm số liên tục,  π f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ 0;   2 g ( t ) = t + 4t + có hồnh độ đỉnh loại   21 max g ( t ) = g ( 1) = g ( t ) = g  ÷ = 1  1  2  ;1  ;1     Suy , Chọn đáp án A 20 20 2020 Ví dụ 14: Cho hàm số y = f ( x) ( 0;+∞ ) y = f ( x) đồng biến ; liên tục,  f ' ( x )  = ( x + 1) f ( x ) ( 0;+∞ ) nhận giá trị dương thỏa mãn f ( 3) = Mệnh đề đúng? 2413 < f ( ) < 2414 2400 < f ( ) < 2403 A B 2 2408 < f ( ) < 2409 2404 < f ( 8) < 2405 C D Lời giải: y = f ( x) f ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ( 0; +∞ ) ( 0;+∞ ) Hàm số đồng biến nên suy y = f ( x) ( 0; +∞ ) Mặt khác liên tục, nhận giá trị dương nên  f ′ ( x )  = ( x + 1) f ( x ) ⇒ f ′ ( x ) = ( x + 1) f ( x ) ∀x ∈ ( 0; +∞ ) , ( x + 1) f ′( x ) ′ ⇒ = ( x + 1) ⇒ f ( x ) = f ( x) ∀x ∈ ( 0; +∞ ) , ; ′ ( x + 1) + C ⇒ ∫ f ( x ) dx = ∫ ( x + 1) dx ⇒ f ( x ) = ; 1  C = −2 ⇒ f ( x ) =  ( x + 1) − ÷ f ( 3) = 3  Từ suy 1  ⇒ f ( ) =  ( + 1) − ÷ = ( − ) = 49 ⇒ f ( ) = 492 = 2401 3  ( ( ) ) Chọn đáp án B Bài tập áp dụng: Bài 16: Cho hàm số f ( x) f ( x ) > −1 f ( ) = liên tục, , thỏa mãn f ′( x ) x2 + = 2x f ( x ) + 21 f Tính ( 3) 21 21 21 A B C D f ( x) f '( x) = x f ( x ) + f ( x) Bài 17: Cho không âm thỏa mãn điều kiện f (0) = y = f ( x) [ 1;3] Tổng giá trị lớn nhỏ hàm số 11 + 3 11 + 20 + 22 B C D A f ( x) [ 1;4] Bài 18: Cho xác định, có đạo hàm, liên tục đồng biến thỏa x + xf ( x ) =  f ′ ( x )  , ∀x ∈ [ 1;4] , f ( 1) = f ( 4) mãn Giá trị bằng: 391 361 381 371 18 18 18 18 A B C D f ( x) f ( x ) ; f '( x ) Bài tốn 6: Tìm hàm số biết thỏa mãn phương trình g ( x ) f ( x ) + h ( x ) f ' ( x ) = 0, (f ( x ) ≠ 0;h ( x ) ≠ 0) ( ) Phương pháp : ( 6) ⇔ + Biến đổi phương trình (6) dạng f '( x ) ∫ f ( x) f '( x) f ( x) dx = − ∫ g ( x) h( x) =− g ( x) h( x) dx ⇒ ln f ( x ) = − ∫ g ( x) h( x) dx + Lấy nguyên hàm vế ta có f ( 0) = f ( x) ¡ Ví dụ 15: Giả sử hàm số liên tục, dương ; thỏa mãn f ′( x ) x = T = f 2 − f ( 1) f ( x) x +1 T +1 Khi hiệu có giá trị 2 −1 2 2− A B C D Lời giải : d ( f ( x ) ) d ( x + 1) f ′( x ) x ∫ f ( x ) dx = ∫ x + dx ⇔ ∫ f ( x ) = ∫ x + Ta có ( 22 ) 22 2222 Vậy ln ( f ( x ) ) = ln ( x + 1) + C f ( 0) = ⇔ C = f ( x ) = x2 + , mà Do f 2 = 3; f ( 1) = 2 ⇒ f 2 − f ( 1) = − 2 ⇒ T + = ( ) Nên Chọn đáp án A Ví dụ 16: Cho hàm số ( f ( x) ) ¡ f ( x) > có đạo hàm liên tục thỏa mãn , f '( x ) = − 2x f x f = ( ) ( ) ∀x ∈ ¡ m Biết Tìm giá trị thực tham số f ( x) = m để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt m>e < m ≤1 0