Qua việc học toán, đặc biệt là qua hoạt động giải bài tập toán giúp học sinh hồi tưởng, nhớ lại, biết lựa chọn, kết hợp, vận dụng các kiến thức đã học một cách thích hợp.. Qua thực tế gi
Trang 1PHẦN I MỞ ĐẦU
I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Toán học là chìa khoá của ngành khoa học Môn toán là một môn khoa học tự nhiên không thể thiếu trong đời sống con người Với một xã hội mà khoa học kỹ thuật ngày càng phát triển như hiện nay thì môn toán lại càng đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu khoa học
Qua việc học toán, đặc biệt là qua hoạt động giải bài tập toán giúp học sinh hồi tưởng, nhớ lại, biết lựa chọn, kết hợp, vận dụng các kiến thức đã học một cách thích hợp Qua đó rèn trí thông minh sáng tạo, tính tích cực hoạt động nhằm phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh
Qua thực tế giảng dạy môn Toán lớp 6 tôi thấy rằng tính chất chia hết của một tổng (một hiệu, một tích) tuy chỉ cung cấp một lượng kiến thức nhỏ nhưng lại được ứng dụng rộng rãi để giải quyết nhiều bài tập
Vì vậy, chọn đề tài “Hướng dẫn học sinh áp dụng tính chất chia hết của
một tổng vào giải toán nhằm nâng cao kết quả học tập môn toán của học sinh lớp 6"
II Mục tiêu nghiên cứu
Nghiên cứu mong muôn sẽ giúp học sinh khắc phục được những yếu điểm nêu về toán học từ đó đạt được kết quả cao khi giải bài toán nói riêng và đạt kết quả cao trong quá trình học tập nói chung
Ý nghĩa rất quan trọng mà đề tài đặt ra là: Tìm được một phương pháp tối
ưu nhất để trong quỹ thời gian cho phép hoàn thành được một hệ thống chương trình quy định và nâng cao thêm về mặt kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong việc giải các bài toán Từ đó phát huy, khơi dậy, sử dụng hiệu quả kiến thức vốn có của học sinh, gây hứng thú học tập cho các em
III Nhiệm vụ nghiên cứu.
Sáng kiến kinh nghiệm có nhiệm vụ giải đáp các câu hỏi khoa học sau đây:
- Kỹ năng là gì? Cơ chế hình thành kỹ năng là như thế nào?
Trang 2- Những tình huống điển hình nào thường gặp trong quá trình giải quyết
những vấn đề liên quan
- Trong quá trình giải quyết các vấn đề liên quan, học sinh thường gặp những
khó khăn và sai lầm nào?
- Những biện pháp sư phạm nào được sử dụng để rèn luyện cho học sinh
kỹ năng giải quyết các vấn đề liên quan?
- Kết quả của thực nghiệm sư phạm là như thế nào?
IV Đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu:
- Các dạng toán về áp dụng tính chất chia hết của một tổng và phương pháp giảng dạy toán về áp dụng tính chất chia hết của một tổng để giúp nâng cao hứng thú và kết quả học tập của học sinh
- Học sinh lớp trường THCS XXX
V Phương pháp nghiên cứu:
Trong quá trình nghiên cứu, sáng kiến kinh nghiệm sử dụng những phương pháp sau: Nghiên cứu lý luận, điều tra quan sát thực tiễn, thực nghiệm sư phạm Trên cơ sở phân tích kỹ nội dung chương trình của Bộ giáo dục và Đào tạo, phân tích kỹ đối tượng học sinh (đặc thù, trình độ tiếp thu…) Bước đầu mạnh dạn thay đổi ở từng tiết học, sau mỗi nội dung đều có kinh nghiệm về kết quả thu được (nhận thức của học sinh, hứng thú nghe giảng, kết quả kiểm tra,…) và
đi đến kết luận
Lựa chọn các ví dụ các bài tập cụ thể về áp dụng tính chất chia hết của một tổng có phân tích tỉ mỉ những sai lầm của học sinh vận dụng hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của học sinh để từ đó đưa ra lời giải đúng của bài toán
Trang 3PHẦN II NỘI DUNG
I CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
Tính chất chia hết của một tổng được học ở bài 10 chương I số học lớp 6 Đây là cơ sở lý luận để giải thích được các dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9
Nó còn được vận dụng để giải quyết một lượng lớn các bài tập liên quan đến chia hết
Để giải quyết các bài tập này người học sinh phải nắm chắc và vận dụng kiến thức một cách linh hoạt, uyển chuyển, qua đó mà học sinh có khả năng phát triển tư duy, đặc biệt là tư duy sáng tạo
Tính chất chia hết của một tổng không chỉ được ứng dụng trong tập hợp số
tự nhiên mà còn được mở rb ộng trong tập hợp số nguyên Vì vậy muốn nắm chắc được tính chất này trong tập hợp số tự nhiên học sinh có thể vận dụng để giải quyết rất nhiều bài tập trong trương trình THCS
Qua tham khảo một số tài liệu tôi đã cố gắng hệ thống lại một số dạng bài tập liên quan đến tính chất chia hết của một tổng (một hiệu ) Ngoài ra mở rộng đối với một tích trong chương I số học lớp 6 Mỗi dạng bài tập đều có ví dụ minh hoạ và ví dụ kèm theo.Tuy nhiên việc mắc phải những sai sót là điều không tránh khỏi
II THỰC TRẠNG VIỆC HỌC TOÁN CỦA HỌC SINH LỚP 6
Học sinh khối 6 là một khối mới bắt đầu cách học mới của cấp THCS Các
em đang quen với tính toán các số tự nhiên và các dấu các phép toán cụ thể Năng lực tư duy logic của các em chưa phát triển cao Do vậy việc áp lý thuyết
để làm bài tập toán đối với các em là một điều khó Hầu hết chỉ có các học sinh khá, giỏi mới có thể tự làm đúng hướng yêu cầu của bài toán Còn hầu hết các học sinh khác lúng túng không biết cách làm và thực hiện phép toán như thế nào
Phần kiến thức tính chất chia hết của một tổng là một phần kiến thức rất quan trọng trong lớp 6 nói riêng và bậc trung học cơ sở nói chung Nhưng nhiều
Trang 4khi các em thuộc lý thuyết toán nhưng lại chưa biết áp dụng vào bài tập cụ thể như thế nào, các em chưa biết tư duy để đi từ kiến thức tổng quát vào bài tập cụ thể Do vậy giáo viên cần hướng dẫn để các em hiểu và áp dụng được tính chất
đã học vào làm bài tập cụ thể
Mặt khác tính tự giác học tập đối với học sinh lớp 6 chưa cao, vì vậy cần cho các em áp dụng kiến thức đã học vào các bài tập cụ thể dưới sự hướng dẫn của giáo viên để các em có thể hiểu và nắm chắc kiến thức được học một cách có hệ thống để giúp các em học tốt trong các năm học sau
III KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 Định nghĩa:
- Cho hai số tự nhiên a và b, trong đó b 0, nếu có số tự nhiên x sao cho b.x =
a thì ta nói a chia hết cho b và ta có phép chia hết a : b = x
2 Tính chất chia hết của tổng và hiệu:
3 Tính chất chia hết của một tích:
a Nếu một thừa số của tích chia hết cho m thì tích chia hết cho m.
b Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho n thì a.b chia hết cho m.n
m a m
b m b a
m b m
a m b a c
m b a m
b m a
m b a m
b m a b
m b a m
b m a
m b a m
b m a a
; ) (
; ) )(
) (
;
) (
; )
) (
;
) (
; )
n m b
a n
b
m a
.
Trang 5IV CÁC DẠNG BÀI TẬP
DẠNG 1: Bài tập trắc nghiệm nhằm củng cố lí thuyết.
Bài tập 1: Điền dấu '' X '' vào ô thích hợp trong các câu sau:
CÂU ĐÚNG SAI a) Nếu mỗi số hạng của tổng chia hết cho 6 thì tổng
chia hết cho 6
b) Nếu mỗi số hạng của tổng không chia hết cho 6 thì
tổng không chia hết cho 6
c) Nếu tổng của hai số chia hết cho 5 và một trong hai
số đó chia hết cho 5 thì số còn lại chia hết cho 5
d) Nếu hiệu của hai số chia hết cho 7 và một trong hai
số đó chia hết cho 7 thì số còn lại chia hết cho 7
Bài tập 2: Khoanh tròn trước câu trả lời đúng
1) Xét biểu thức 864 + 14
a) Giá trị của biểu thức chia hết cho 2 b) Giá trị của biểu thức chia hết cho 3 c) Giá trị của biểu thức chia hết cho 6 d) Giá trị của biểu thức chia hết cho 7 2) Nếu a chia hết cho 6 và b chia hết cho 8 thì (a + b) chia hết cho?
a) 2, 3, 6
n
a b
a
Trang 6b) 3, 6 c) 6, 9 d) 6, 18 3) Nếu a chia hết cho b, b chia hết cho c thì:
a) a = c
b) a chia hết cho c
c) không kết luận được gì
d) a không chia hết cho c
DẠNG 2 : Không tính toán , xét xem một tổng (hiệu) có chia hết cho một số
hay không ?
Bài tập 1: Áp dụng tính chất chia hết xét xem mỗi tổng (hiệu) sau có chia hết
cho 8 không?
a) 48 + 56 + 112 b) 160 – 47
Giải
Áp dụng tính chất chia hết của một tổng (hiệu) ta có:
8 ) 112 56 48 ( 8 112
8
56
8
48
8 ) 47 160 ( 8
47
8
160
Bài tập 2: Không thực hiện phép tính hãy chứng tỏ rằng:
a) 34.1991 chia hết cho 17
Trang 7b) 2004 2007 chia hết cho 9.
c) 1245 2002 chia hết cho15
d) 1540 2005 chia hết cho 14
Hướng dẫn:
Ta có tính chất sau:
Chỉ cần có một thừa số trong tích chia hết cho một số thì cả tích chia hết cho
số đó
Bài tập 3: Tổng (hiệu) sau có chia hết cho 5 không?
a) 1.2.3.4.5.6 + 42 b) 1.2.3.4.5.6 - 32
Hướng dẫn :
* Nhận xét rằng tích 1.2.3.4.5.6 có chứa thừa số 5 do đó tích này chia hết cho 5 Từ đó xét thừa số còn lại xem có chia hết cho 5 không? Dẫn đến cách giải tương tự như bài tập 1
Bài tập 4: Tổng (hiệu) sau là số nguyên tố hay hợp số:
a) 3.4.5 + 6.7 b) 7.9.11.13 – 2.3.4.7 c) 3.5.7 + 11.13.17 d) 164354 + 67541
*Nhận xét: Để chứng tỏ một tổng (hiệu) là hợp số ta chỉ cần chỉ ra rằng tổng (hiệu) đó chia hết cho một số khác 1 và chính nó
Giải:
c b a c
N c b a c
a ; , , ( 0)
3 ) 6.7 3.4.5
( 3
6
5
3 5
4
3
a
Trang 8Mà tổng này lớn hơn 3 nên suy ra tổng này là hợp số
Gợi ý:
b) Hiệu chia hết cho 7 và hiệu lớn hơn 7
c) Tích 3.5.7 là một số lẻ, tích 11.13.17 là một số lẻ, mà tổng hai số lẻ là một số chẵn nên suy ra tổng chia hết cho 2 và tổng lớn hơn 2
d) Tổng này có chữ số tận cùng là 5 Vậy nó chia hết cho 5 và nó lớn hơn 5
Bài tập 5: Chứng tỏ rằng:
Giải:
Ta có:
DẠNG 3: Tìm số x (hoặc tìm chữ số x)
Bài tập 1 : Cho tổng A = (12 + 14 + 16 + x) với x thuộc N Tìm x để:
a) A chia hết cho 2 b) A không chia hết cho 2
*Nhận xét: 3 số hạng đầu tiên trong tổng A đều chia hết cho 2 Muốn tổng A
chia hết cho 2 thì x phải là một số chia hết cho 2 Muốn tổng A không chia hết cho 2 thì x phải là một số không chia hết cho 2
Bài tập 2: Tìm chữ số x để:
*Nhận xét: Hiệu trên phải chia hết cho 3 mà 12 đã chia hết cho 3 Vậy
Từ đó dựa vào dấu hiệu chia hết cho 3 để tìm chữ số x
*Giải: Ta có:
N a
a 7 ) 7;
49
N a a
N a a
; 7 ) 7 49 ( 7
7
, 7
3 ) 12 4 3 ( x
3 4 3
x
3 4 3 3
12
3 ) 12 4 3 (
x
x
Trang 9Bài tập 3: Tìm số tự nhiên x thoả mãn:
2113.(x2) biết 32 x49
Giải
Ta có:
Vậy: x 33 ; 40 ; 47
Bài tập 4: Tìm số tự nhiên x sao cho :
Hướng dẫn
Từ đó ta tìm được x
Bài tập 5: Tìm số tự nhiên x sao cho :
( 2 x 7 ) ( 3 x 1 )
Hướng dẫn: Ta thấy
33 ; 40 ; 47
x
) 148 ( ) 260 ( x x
148 0
) 148
(
174
) 148 ( ) 26 (
) 148 ( )
148 ( )
26
(
) 148 ( )
148
(
x
x
x x
x x
x
x x
) 2 ( ) 7 2 (
) 2 ( ) 4 2 (
) 2 ( ) 2 (
2 ) 2 ( ) 2 (
x x
x x
x
x x
x x
x x
7 ) 2 (
13 7
21
7 ) 2 (
13
21
x x
35 ; 42 ; 49
2 51
2 34
49 32
7 ) 2 ( 7
13
x x
x
Trang 10Từ đó ta tìm được x.
Bài tập 6: Tìm số tự nhiên x sao cho :
Hướng dẫn
Muốn biến đổi các hệ số của x ở số bị chia và số chia giống nhau ta cần tìm bội chung nhỏ nhất của hai hệ số
Ta có:
Từ (*) và (**) suy ra
Từ đó ta tìm được x
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài tập 7: Tìm các số tự nhiên x để
MỘT SỐ BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài tập 1: Tìm số tự nhiên n sao cho: (18n + 3) 7
Giải
) 1 3 ( ) 7 5
)(**) 1 3 ( ) 21 15
( ) 1 3 ( ) 7 5 (
3 ) 1 3 ( ) 7 5
(
)(*) 1 3 ( ) 5 15 ( ) 1 3 ( ) 1 3 (
5 ) 1 3 ( ) 1 3
(
x x
x x
x x
x x
x x
x x
) 1 3 (
16
) 1 3 ( ) 5 15 ( ) 21 15
(
x
x x
x
( 15) 42 ( 15) )
) 2 (
4 )
2 (
)
) 1 (
);
1 (
7 )
1 (
)
) 0 (
; 4 ) 4 )(
2 2 2
x x
d
x x
c
x x
x b
x x
a
Trang 11Vì (4,7) =1 nên (n - 1) chia hết cho 7
Vậy n = 7k +1 (k thuộc N)
Cách 2:
Vì (18,7) =1 nên (n-1) chia hết cho 7
Vậy n = 7k +1 (k thuộc N)
* Nhận xét: Việc thêm bớt các bội của 7 trong hai cách giải trên nhằm đi đến
một biểu thức chia hết cho 7 mà ở đó các hệ số của n là 1
Bài tập 2: Cho biết (a + 4b) chia hết cho 13, ( a; b thuộc N) Chứng minh rằng
(10a + b) chia hết cho 13
Giải
Đặt : a + 4b = x
10a + b = y
Ta biết x chia hết cho 13 cần chứng minh y chia hết cho 13
Cách 1: Xét biểu thức
10x – y = 10 ( a + 4b ) – ( 10a + b ) =
7 ) 1 (
4
7 4 4
7 7 3 4
7 3 4
7 14
7 3 4
14
7 3 18
n n n n n
n n
n
7 ) 1 (
18
7 18 18
7 21 3
18
7 3 18
n n n n
Trang 1210a + 40b – 10a – b = 39b Vậy
Cách 2: Xét biểu thức
4y – x = 4 ( 10a + b ) – ( a + 4b ) = 40a + 4b – a – 4b = 39a Vậy
Cách 3: Xét biểu thức
3x + y = 3 ( a + 4b ) + ( 10a + 4b ) = 3a + 12b +10a + 4b = 13a + 13b Suy ra
Cách 4: Xét biểu thức
x + 9y = a + 4b + 9 ( 10a + b ) =
a + 4b + 90a + 9b = 91a + 13b Suy ra
13 10
13 13
10 13
13 10
b a Hay
y x
x Do
y x
13 10
13 4
13
13 4
b a Hay
y x
Do
y x
13 10
13 13
3 13
13 13
b a Hay
y x
x Do
y x
13 1
) 13
; 9 (
13 9
13
13 9
y co
Ta
y x
Do
y x
Trang 13* Nhận xét: Trong các cách giải trên ta đã đưa ra các biểu thức mà sau khi rút
gọn có một số hạng chia hết cho 13 Khi đó số hạng thứ hai (nếu có) cũng là bội
của 13 Hệ số của a ở x là 1, hệ số của a ở y là 10 nên xét biểu thức (10x – y)
nhằm khử a tức là làm cho hệ số của a bằng 0 Xét biểu thức (3x – y) nhằm tạo ra hệ số của a bằng 13
Hệ số của b ở x là 4, hệ số của b ở y là 1 Nên xét biểu thức (4x – y) nhằm khử b Xét biểu thức (x + 9y) nhằm tạo ra hệ số của b bằng 13
Bài tập 3: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khi chia cho 5 dư 1, chia cho 7 dư 5.
Giải
Gọi n là số chia cho 5 dư 1 và chia cho 7 dư 5
Cách 1: Vì n không chia hết cho 35 nên n có dạng 35k + r (k, n là số tự nhiên, r
< 35 ) Trong đó r chia cho 5 dư 1, r chia cho 7 dư 5 Số nhỏ hơn 35 chia cho 7
dư 5 là 5, 12, 19, 26, 33 trong đó chỉ có 26 chia cho 5 dư 1 Vậy r = 26 Số nhỏ nhất có dạng 35k + 26 là 26
Cách 2: Ta có
Số nhỏ nhất thoả mãn hai điều kiện trên là số 26
Cách 3:
n = 5x + 1 = 7y + 5 suy ra 5x = 5y + 2y + 4 suy ra
2 ( y + 2 ) chia hết cho 5 suy ra y + 2 chia hết cho 5 Giá trị nhỏ nhất của y bằng 3 suy ra giá trị nhỏ nhất của n bằng 7.3 + 5 = 26
Bài tập 4: Tìm số tự nhiên n có bốn chữ số sao cho khi chia n cho 131 thì dư
112, chia n cho 132 thì dư 98
Giải
7 9 7
14 5 7
5
5 9 5
10 1 5
1
n n
n
n n
n
Trang 14Cách 1: Ta có
131x + 112 = 132y + 98 suy ra 131x = 131y + y – 14 suy ra
y – 14 chia hết cho 131 suy ra
y = 131k + 14 (k thuộc N ) suy ra
n = 132 (131k + 14 ) + 98 suy ra
n = 132 131k + 1946
Do n có bốn chữ số nên k bằng 0 Vậy n = 1946
Cách 2: Từ 131x = 131y + y – 14 suy ra
131 ( x – y ) = y – 14 Nếu x > y thì y – 14 131 suy ra y 145
Suy ra n có nhiều hơn bốn chữ số Vậy x = y do đó y = 14 ; n = 1946 Cách 3: Ta có n = 131x + 112 nên
132n = 131.132x + 14784 (1)
mà n = 132y + 98 nên 131n = 131.132y + 12838 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 132n – 131n = 131.132 ( x – y ) + 1946 Hay n = 131.132 (x – y ) + 1946
Vì n có bốn chữ số nên n = 1946
Bài tập 5:
a) Chứng tỏ rằng hiệu sau không chia hết cho 2
( 10k + 8k + 6k ) – ( 9k + 7k + 5k ) ( k N* )
Trang 15b) Chứng tỏ rằng tổng sau chia hết cho 2
2001k + 2002k + 2003k ( k N* )
c) Xét xem hiệu sau có chia hết cho 10 không ?
200012010 - 19172000
Hướng dẫn
a) 10k, 8k, 6k là những số chẵn nên ( 10k + 8k + 6k ) là số chẵn chia hết cho 2 ; 9k, 7k, 5k là những số lẻ nên ( 9k + 7k + 5k ) là số lẻ không chia hết cho 2
Vậy ( 10k + 8k + 6k ) – ( 9k + 7k + 5k ) không chia hết cho 2
b)2001k là số lẻ; 2003k là số lẻ nên 2001k + 2003k là số chẵn chia hết cho 2
2002k là số chẵn nên chia hết cho 2 Vậy
2001k + 2002k + 2003k chia hết cho 2
c) 20012010 có chữ số tận cùng là 1
19172000 = (19174 )500 cũng có chữ số tận cùng là 1
Vậy 200012010 - 19172000 có chữ số tận cùng là 0 do đó
200012010 - 19172000 chia hết cho 10
* Trên đây là một số bài tập tiêu biểu tôi đã lựa chọn và phân dạng cụ thể Qua việc áp dụng tính chất chia hết của một tổng để giải bài tập học sinh sẽ nắm kiến thức một cách chắc chắn, rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy toán một cách logic, có căn cứ, đồng thời gây hứng thú học tập , thúc đẩy khả năng tìm tòi sáng tạo của học sinh trong môn toán nói riêng và các môn học khác nói chung Đồng thời giúp các em biết cách xử lý một cách linh hoạt, tối ưu các tình huống trong thực tế đời sống hàng ngày
IV CÁC BIỆN PHÁP THỰC HIỆN
Do yêu cầu của phương pháp dạy học mới có sự thay đổi so với phương pháp cũ, phải đảm bảo tính chủ đạo của thày, chủ động của trò đồng thời kích