Đang tải... (xem toàn văn)
Qua việc áp dụng tính chất chia hết của một tổng để giải bài tập học sinh sÏ n¾m kiÕn thøc mét c¸ch ch¾c ch¾n, rÌn luyÖn cho häc sinh kh¶ n¨ng t duy toán một cách logic, có căn cứ, đồng[r]
(1)o¸n häc lµ ch×a kho¸ cña ngµnh khoa häc M«n to¸n lµ mét m«n T khoa học tự nhiên không thể thiếu đời sống người Với mét x· héi mµ khoa häc kü thuËt ngµy cµng ph¸t triÓn nh hiÖn th× môn toán lại càng đóng vai trò quan trọng việc nghiên cứu khoa học Qua việc học toán, đặc biệt là qua hoạt động giải bài tập toán giúp học sinh hồi tưởng, nhớ lại, biết lựa chọn, kết hợp, vận dụng các kiến thức đã học cách thích hợp Qua đó rèn trí thông minh sáng tạo, tính tích cực hoạt động nhằm phát triển lực trí tuệ cho học sinh Qua thùc tÕ gi¶ng d¹y m«n To¸n líp t«i thÊy r»ng tÝnh chÊt chia hÕt tổng (một hiệu, tích ) cung cấp lượng kiến thức nhỏ lại ứng dụng rộng rãi để giải nhiều bài tập Chính vì tôi đã viết sáng kiến kinh ngiệm “áp dụng tính chất chia hÕt cña mét tæng vµo gi¶i to¸n c¬ së lý luËn vµ thùc tiÔn Tính chất chia hết tổng học bài 10 chương I số học lớp Đây là sở lý luận để giải thích các dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, Nó còn vận dụng để giải lượng lớn các bài tập liên quan đến chia hết Để giải các bài tập này người học sinh phải nắm và vận dụng kiến thức cách linh hoạt, uyển chuyển, qua đó mà học sinh có khả phát triển tư duy, đặc biệt là tư sáng tạo TÝnh chÊt chia hÕt cña mét tæng kh«ng chØ ®îc øng dông tËp hîp sè tù nhiªn mµ cßn ®îc më rb éng tËp hîp sè nguyªn V× vËy muèn n¾m ch¾c ®îc tÝnh chÊt nµy tËp hîp sè tù nhiªn häc sinh cã thÓ vËn dụng để giải nhiều bài tập trương trình THCS Lop6.net (2) Qua tham khảo số tài liệu tôi đã cố gắng hệ thống lại số dạng bài tập liên quan đến tính chất chia hết tổng (một hiệu ) Ngoài mở rộng tích chương I số học lớp Mỗi dạng bài tập có ví dụ minh hoạ và ví dụ kèm theo.Tuy nhiên việc mắc phải sai sãt lµ ®iÒu kh«ng tr¸nh khái thùc tr¹ng viÖc häc to¸n cña häc sinh líp Häc sinh khèi lµ mét khèi míi b¾t ®Çu c¸ch häc míi cña cÊp THCS C¸c em ®ang quen víi tÝnh to¸n c¸c sè tù nhiªn vµ c¸c dÊu c¸c phÐp to¸n cô thÓ N¨ng lùc t logic cña c¸c em cha ph¸t triÓn cao Do vËy viÖc áp lý thuyết để làm bài tập toán các em là điều khó Hầu hết có các học sinh khá, giỏi có thể tự làm đúng hướng yêu cầu bài to¸n Cßn hÇu hÕt c¸c häc sinh kh¸c lóng tóng kh«ng biÕt c¸ch lµm vµ thùc hiÖn phÐp to¸n nh thÕ nµo PhÇn kiÕn thøc tÝnh chÊt chia hÕt cña mét tæng lµ mét phÇn kiÕn thøc rÊt quan träng líp nãi riªng vµ bËc trung häc c¬ së nãi chung Nhng nhiÒu c¸c em thuéc lý thuyÕt to¸n nhng l¹i cha biÕt ¸p dông vµo bµi tập cụ thể nào, các em chưa biết tư để từ kiến thức tổng quát vào bài tập cụ thể Do giáo viên cần hướng dẫn để các em hiểu và áp dụng tính chất đã học vào làm bài tập cụ thể Mặt khác tính tự giác học tập học sinh lớp chưa cao, vì cần cho các em áp dụng kiến thức đã học vào các bài tập cụ thể hướng dẫn giáo viên để các em có thể hiểu và nắm kiến thức học cách có hệ thống để giúp các em học tốt các năm học sau i kiÕn thøc c¬ b¶n §Þnh nghÜa: Lop6.net (3) - Cho hai số tự nhiên a và b, đó b 0, có số tự nhiên x cho b.x = a th× ta nãi a chia hÕt cho b vµ ta cã phÐp chia hÕt a : b = x TÝnh chÊt chia hÕt cña tæng vµ hiÖu: a )a m; b m (a b) m a m; b m (a b) m b)a m; b m (a b) m a m; b m (a b) m c)(a b) m; a m b m (a b) m; b m a m TÝnh chÊt chia hÕt cña mét tÝch: a NÕu mét thõa sè cña tÝch chia hÕt cho m th× tÝch chia hÕt cho m b NÕu a chia hÕt cho m, b chia hÕt cho n th× a.b chia hÕt cho m.n a m a.b m.n b n c ) a b a n b n ii c¸c d¹ng bµi tËp D¹NG 1: Bµi tËp tr¾c nghiÖm nh»m cñng cè lÝ thuyÕt Bµi tËp 1: §iÒn dÊu '' X '' vµo « thÝch hîp c¸c c©u sau: C¢U a) NÕu mçi sè h¹ng cña tæng chia hÕt cho th× tæng chia hÕt cho b) NÕu mçi sè h¹ng cña tæng kh«ng chia hÕt cho th× tæng kh«ng chia hÕt cho c) NÕu tæng cña hai sè chia hÕt cho vµ mét §óng sai Lop6.net (4) hai số đó chia hết cho thì số còn lại chia hÕt cho d) NÕu hiÖu cña hai sè chia hÕt cho vµ mét hai số đó chia hết cho thì số còn lại chia hÕt cho Bài tập 2: Khoanh tròn trước câu trả lời đúng 1) XÐt biÓu thøc 864 + 14 a) Gi¸ trÞ cña biÓu thøc chia hÕt cho b) Gi¸ trÞ cña biÓu thøc chia hÕt cho c) Gi¸ trÞ cña biÓu thøc chia hÕt cho d) Gi¸ trÞ cña biÓu thøc chia hÕt cho 2) NÕu a chia hÕt cho vµ b chia hÕt cho th× (a + b) chia hÕt cho? a) 2, 3, b) 3, c) 6, d) 6, 18 3) NÕu a chia hÕt cho b, b chia hÕt cho c th×: a) a = c b) a chia hÕt cho c c) kh«ng kÕt luËn ®îc g× d) a kh«ng chia hÕt cho c D¹NG : Kh«ng tÝnh to¸n , xÐt xem mét tæng (hiÖu) cã chia hÕt cho mét sè hay kh«ng ? Bµi tËp 1: ¸p dông tÝnh chÊt chia hÕt xÐt xem mçi tæng (hiÖu) sau cã chia hÕt cho kh«ng? a) 48 + 56 + 112 b) 160 – 47 Gi¶i ¸p dông tÝnh chÊt chia hÕt cña mét tæng (hiÖu) ta cã: 488 56 8 (48 56 112) 8 112 8 160 8 (160 47) 8 47 8 Bµi tËp 2: Kh«ng thùc hiÖn phÐp tÝnh h·y chøng tá r»ng: Lop6.net (5) a) 34.1991 chia hÕt cho 17 b) 2004 2007 chia hÕt cho c) 1245 2002 chia hÕt cho15 d) 1540 2005 chia hÕt cho 14 Hướng dẫn: Ta cã tÝnh chÊt sau: a c; a, b, c N (c 0) a.b c ChØ cÇn cã mét thõa sè tÝch chia hÕt cho mét sè th× c¶ tÝch chia hết cho số đó Bµi tËp 3: Tæng (hiÖu) sau cã chia hÕt cho kh«ng? a) 1.2.3.4.5.6 + 42 b) 1.2.3.4.5.6 - 32 Hướng dẫn: * Nhận xét tích 1.2.3.4.5.6 có chứa thừa số đó tích này chia hết cho Từ đó xét thừa số còn lại xem có chia hết cho không? Dẫn đến cách giải tương tự bài tập Bµi tËp 4: Tæng (hiÖu) sau lµ sè nguyªn tè hay hîp sè: a) 3.4.5 + 6.7 b) 7.9.11.13 – 2.3.4.7 c) 3.5.7 + 11.13.17 d) 164354 + 67541 *NhËn xÐt: §Ó chøng tá mét tæng (hiÖu) lµ hîp sè ta chØ cÇn chØ r»ng tổng (hiệu) đó chia hết cho số khác và chính nó Gi¶i: 3.4.5 3 a) (3.4.5 6.7 ) 5.6 Mµ tæng nµy lín h¬n nªn suy tæng nµy lµ hîp sè Gîi ý: b) HiÖu chia hÕt cho vµ hiÖu lín h¬n c) TÝch 3.5.7 lµ mét sè lÎ, tÝch 11.13.17 lµ mét sè lÎ, mµ tæng hai sè lÎ lµ mét sè ch½n nªn suy tæng chia hÕt cho vµ tæng lín h¬n d) Tæng nµy cã ch÷ sè tËn cïng lµ VËy nã chia hÕt cho vµ nã lín h¬n Bµi tËp 5: Chøng tá r»ng: (49.a ) 7; a N Gi¶i: Ta cã: 49.a 7, a N (49.a ) 7; a N 7 Lop6.net (6) D¹ng 3: T×m sè x (hoÆc t×m ch÷ sè x) Bài tập 1: Cho tổng A = (12 + 14 + 16 + x) với x thuộc N Tìm x để: a) A chia hÕt cho b) A kh«ng chia hÕt cho *Nhận xét: số hạng đầu tiên tổng A chia hết cho Muốn tổng A chia hÕt cho th× x ph¶i lµ mét sè chia hÕt cho Muèn tæng A kh«ng chia hÕt cho th× x ph¶i lµ mét sè kh«ng chia hÕt cho Bài tập 2: Tìm chữ số x để: (3x 12) *Nhận xét: Hiệu trên phải chia hết cho mà 12 đã chia hết cho Vậy 3x 3 Từ đó dựa vào dấu hiệu chia hết cho để tìm chữ số x *Gi¶i: Ta cã: (3 x 12) 3 3x 3 12 (3 x 4) (7 x) 3 x 2,5,8 0 x9 Bµi tËp 3: T×m sè tù nhiªn x tho¶ m·n: 21 13.( x 2) biÕt 32 x 49 Gi¶i Ta cã: 21 13.( x 2) 7 13.( x 2) 21 13 ( x 2) x 35;42;49 32 x 49 34 x 51 x VËy: 33; 40; 47 x 33;40;47 Bµi tËp 4: T×m sè tù nhiªn x cho : ( x 260) (148 x) Lop6.net (7) Hướng dẫn (148 x) (148 x) (148 x) ( x 26) (148 x) ( x 26) (148 x) 174 (148 x) x 148 Từ đó ta tìm x Bµi tËp 5: T×m sè tù nhiªn x cho : (2 x 7) (3x 1) Hướng dẫn: Ta thấy ( x 2) ( x 2) 2.( x 2) ( x 2) (2 x 4) ( x 2) (2 x 7) (2 x 4) ( x 2) (2 x 7) ( x 2) 3 ( x 2) Từ đó ta tìm x Bµi tËp 6: T×m sè tù nhiªn x cho : (5 x 7) (3x 1) Hướng dẫn Muốn biến đổi các hệ số x số bị chia và số chia giống ta cần t×m béi chung nhá nhÊt cña hai hÖ sè Ta cã: (3x 1)(3x 1) 5.(3x 1)(3x 1) (15 x 5)(3x 1)(*) (5 x 7)(3x 1) 3.(5 x 7)(3x 1) (15 x 21)(3x 1)(**) Tõ (*) vµ (**) suy (15x 21) (15x 5) (3x 1) 16 (3x 1) Từ đó ta tìm x Bài tập tương tự Bài tập 7: Tìm các số tự nhiên x để Lop6.net (8) a )( x 4) 4; ( x 0) c)( x 2) 4 ( x 2) d )( x 15) 42 ( x 15) b) ( x 1) ( x 1); ( x 1) 2 Mét sè bµi tËp n©ng cao Bµi tËp 1: T×m sè tù nhiªn n cho: (18n + 3) Gi¶i C¸ch1: 18n 3 14n 4n 3 14n n 3 4n 4n 4.( n 1) C¸ch 2: V× (4,7) =1 nªn (n - 1) chia hÕt cho VËy n = 7k +1 (k thuéc N) 18n 3 18n 21 18n 18 18.( n 1) V× (18,7) =1 nªn (n-1) chia hÕt cho VËy n = 7k +1 (k thuéc N) * NhËn xÐt: ViÖc thªm bít c¸c béi cña hai c¸ch gi¶i trªn nh»m ®i đến biểu thức chia hết cho mà đó các hệ số n là Bµi tËp 2: Cho biÕt (a + 4b) chia hÕt cho 13, ( a; b thuéc N) Chøng minh r»ng (10a + b) chia hÕt cho 13 Gi¶i §Æt : a + 4b = x 10a + b = y Ta biÕt x chia hÕt cho 13 cÇn chøng minh y chia hÕt cho 13 C¸ch 1: XÐt biÓu thøc 10x – y = 10 ( a + 4b ) – ( 10a + b ) = Lop6.net (9) VËy 10a + 40b – 10a – b = 39b 10 x y 13 Do x 13 10 x 13 y 13 Hay 10 a b 13 C¸ch 2: XÐt biÓu thøc 4y – x = ( 10a + b ) – ( a + 4b ) = 40a + 4b – a – 4b = 39a VËy x y 13 Do x 13 y 13 Hay 10 a b 13 C¸ch 3: XÐt biÓu thøc 3x + y = ( a + 4b ) + ( 10a + 4b ) = 3a + 12b +10a + 4b = 13a + 13b Suy 13 x y 13 C¸ch 4: Do x 13 x 13 y 13 Hay 10 a b 13 XÐt biÓu thøc x + 9y = a + 4b + ( 10a + b ) = a + 4b + 90a + 9b = 91a + 13b Suy x y 13 Do x 13 y 13 Ta co ( ; 13 ) y 13 Hay 10 a b 13 * Nhận xét: Trong các cách giải trên ta đã đưa các biểu thức mà sau rút gọn có số hạng chia hết cho 13 Khi đó số hạng thứ hai (nếu có) còng lµ béi cña 13 HÖ sè cña a ë x lµ 1, hÖ sè cña a ë y lµ 10 nªn xÐt Lop6.net (10) biÓu thøc (10x – y) nh»m khö a tøc lµ lµm cho hÖ sè cña a b»ng XÐt biÓu thøc (3x – y) nh»m t¹o hÖ sè cña a b»ng 13 HÖ sè cña b ë x lµ 4, hÖ sè cña b ë y lµ Nªn xÐt biÓu thøc (4x – y) nh»m khö b XÐt biÓu thøc (x + 9y) nh»m t¹o hÖ sè cña b b»ng 13 Bµi tËp 3: T×m sè tù nhiªn nhá nhÊt chia cho d 1, chia cho d Gi¶i Gäi n lµ sè chia cho d vµ chia cho d C¸ch 1: V× n kh«ng chia hÕt cho 35 nªn n cã d¹ng 35k + r (k, n lµ sè tù nhiên, r < 35 ) Trong đó r chia cho dư 1, r chia cho dư Số nhỏ 35 chia cho dư là 5, 12, 19, 26, 33 đó có 26 chia cho dư VËy r = 26 Sè nhá nhÊt cã d¹ng 35k + 26 lµ 26 C¸ch 2: Ta cã C¸ch 3: n n 10 n n n 14 n Sè nhá nhÊt tho¶ m·n hai ®iÒu kiÖn trªn lµ sè 26 n = 5x + = 7y + suy 5x = 5y + 2y + suy ( y + ) chia hÕt cho suy y + chia hÕt cho Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña y b»ng suy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña n b»ng 7.3 + = 26 Bµi tËp 4: T×m sè tù nhiªn n cã bèn ch÷ sè cho chia n cho 131 th× d 112, chia n cho 132 th× d 98 Gi¶i C¸ch 1: Ta cã 131x + 112 = 132y + 98 suy 131x = 131y + y – 14 suy y – 14 chia hÕt cho 131 suy y = 131k + 14 (k thuéc N ) suy n = 132 (131k + 14 ) + 98 suy n = 132 131k + 1946 Do n cã bèn ch÷ sè nªn k b»ng VËy n = 1946 C¸ch 2: Tõ 131x = 131y + y – 14 suy 131 ( x – y ) = y – 14 NÕu x > y th× y – 14 131 suy y 145 Suy n cã nhiÒu h¬n bèn ch÷ sè Vậy x = y đó y = 14 ; n = 1946 C¸ch 3: Ta cã n = 131x + 112 nªn 132n = 131.132x + 14784 (1) mµ n = 132y + 98 nªn 10 Lop6.net (11) 131n = 131.132y + 12838 (2) Tõ (1) vµ (2) suy 132n – 131n = 131.132 ( x – y ) + 1946 Hay n = 131.132 (x – y ) + 1946 V× n cã bèn ch÷ sè nªn n = 1946 Bµi tËp 5: a) Chøng tá r»ng hiÖu sau kh«ng chia hÕt cho ( 10k + 8k + 6k ) – ( 9k + 7k + 5k ) ( k N* ) b) Chøng tá r»ng tæng sau chia hÕt cho 2001k + 2002k + 2003k ( k N* ) c) XÐt xem hiÖu sau cã chia hÕt cho 10 kh«ng ? 200012010 - 19172000 Hướng dẫn k k k a) 10 , , lµ nh÷ng sè ch½n nªn ( 10k + 8k + 6k ) lµ sè ch½n chia hÕt cho ; 9k, 7k, 5k lµ nh÷ng sè lÎ nªn ( 9k + 7k + 5k ) lµ sè lÎ kh«ng chia hÕt cho VËy ( 10k + 8k + 6k ) – ( 9k + 7k + 5k ) kh«ng chia hÕt cho b)2001k lµ sè lÎ; 2003k lµ sè lÎ nªn 2001k + 2003k lµ sè ch½n chia hÕt cho 2002k lµ sè ch½n nªn chia hÕt cho VËy 2001k + 2002k + 2003k chia hÕt cho c) 20012010 cã ch÷ sè tËn cïng lµ 19172000 = (19174 )500 còng cã ch÷ sè tËn cïng lµ Vậy 200012010 - 19172000 có chữ số tận cùng là đó 200012010 - 19172000 chia hÕt cho 10 * Trên đây là số bài tập tiêu biểu tôi đã lựa chọn và phân dạng cụ thể Qua việc áp dụng tính chất chia hết tổng để giải bài tập học sinh sÏ n¾m kiÕn thøc mét c¸ch ch¾c ch¾n, rÌn luyÖn cho häc sinh kh¶ n¨ng t toán cách logic, có cứ, đồng thời gây hứng thú học tập , thúc ®Èy kh¶ n¨ng t×m tßi s¸ng t¹o cña häc sinh m«n to¸n nãi riªng vµ c¸c m«n häc kh¸c nãi chung §ång thêi gióp c¸c em biÕt c¸ch xö lý mét c¸ch linh hoạt, tối ưu các tình thực tế đời sống hàng ngày iii c¸c biÖn ph¸p thùc hiÖn Do yêu cầu phương pháp dạy học có thay đổi so với phương pháp cũ, phải đảm bảo tính chủ đạo thày, chủ động trò đồng thời kÝch thÝch høng thó häc tËp ë løa tuæi häc sinh líp §Ó ¸p dông tèt tÝnh chÊt chia hÕt cña mét tæng vµo lµm bµi tËp cÇn sö dông hîp lý tÊt c¶ c¸c 11 Lop6.net (12) phương pháp dạy học : Đặt vấn đề, đàm thoại, gợi mở, trực quan … để học sinh tiÕp thu kiÕn thøc mét c¸ch tèt nhÊt BiÖn ph¸p chñ yÕu lµ cho c¸c em lµm bµi tËp giê lý thuyÕt, giê luỵện tập với các dạng bài tập cụ thể đa dạng từ dễ đến khó có hướng dẫn gợi mở giấo viên Có thể tổ chức thi làm bài nhanh các tổ để kích thích tính tích cực, ganh đua học tập Đồng thời cần có biện pháp để kiểm tra sát việc học bài và làm bài học sinh để đảm bảo chất lượng học tập trung i tãm t¾t qu¸ tr×nh thùc hiÖn s¸ng kiÕn kinh nghiÖm vµ kết đạt Xuất phát từ nhiệm vụ chính người giáo viên với mục đích cuối cùng là nâng cao chất lượng giáo dục mặt Bản thân tôi là giáo viªn trÎ kinh nghiÖm còng cha ®îc nhiÒu song qua qu¸ tr×nh d¹y häc cña thân, qua đồng nghiệp và qua bạn bè, qua việc tìm hiểu tham khảo sách tôi đã cố gắng lựa chọn các bài tập tiêu biểu để áp dụng, qua đó gióp häc sinh n¾m tr¾c kiÕn thøc, s©u kiÕn thøc h¬n Trong s¸ch gi¸o khoa to¸n tËp sau tiÕt lý thuyÕt kh«ng cã tiÕt luyÖn tËp vÒ tÝnh chÊt chia hÕt cña mét tæng nªn viÖc vËn dông lý thuyÕt vµo lµm bµi tËp cßn h¹n chÕ, cha ®îc më réng n©ng cao, thËm chÝ cã nh÷ng häc sinh chØ dõng l¹i ë mÆt lý thuyÕt cßn viÖc vËn dông lµ rÊt khã kh¨n Do n¨ng lùc t cña c¸c em cßn h¹n chÕ vËy viÖc chuyÓn tõ lý thuyÕt sang lµm bµi tËp lµ mét viÖc rÊt khã kh¨n II Bµi häc kinh nghiÖm: TÝnh chÊt chia hÕt cña mét tæng thuéc mét phÇn phÐp chia hÕt ë líp 6, lµ mét néi dung qua träng bëi kiÕn thøc nµy cã liªn quan chÆt chÏ, nã lµ tiền đề cho học sinh học tốt các kiến thức sau và đặc biệt ứng dụng 12 Lop6.net (13) nó nhiều Do vậy, trước hết chúng ta cần cho học sinh nắm thật vững định nghĩa phép chia hết, tính chất chia hết tổng, hiệu và tÝch §Ó häc sinh n¾m v÷ng vµ høng thó häc tËp, chóng ta cÇn chän läc hÖ thống bài tập theo mức độ tăng dần từ dễ đến khó Cần rèn luyện nhiều c¸ch lËp luËn vµ tr×nh bµy cña häc sinh v× ®©y lµ häc sinh ®Çu cÊp Víi mçi d¹ng kh«ng cã quy t¾c tæng qu¸t, song sau gi¶i gi¸o viên nên đặc điểm, hướng giải nào đó để gặp bài tương tự, học sinh có thể tự liên hệ 13 Lop6.net (14)