Qua việc học toán, đặc biệt là qua hoạt động giải bài tập toán giúp học sinh hồi tưởng, nhớ lại, biết lựa chọn, kết hợp, vận dụng các kiến thức đã học một cách thích hợp.. Qua thực tế gi
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN KHOÁI CHÂU
TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ VIỆT HÒA
*******************************************
SÁNG KIẾN KINH NHGIỆM
ÁP DỤNG TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA MỘT TỔNG TRONG CHƯƠNG I SỐ HỌC LỚP 6 VÀO VIỆC GIẢI MỘT SỐ BÀI
TẬP
Người thực hiện: Đỗ Thị Thu Hiền Chức vụ: Tổ trưởng
Đơn vị công tác: Trường THCS Việt Hòa
Trang 2LỜI MỞ ĐẦU
Toán học là chìa khoá của ngành khoa học Môn toán là một môn khoa học tự nhiên không thể thiếu trong đời sống con người Với một
xã hội mà khoa học kỹ thuật ngày càng phát triển như hiện nay thì môn toán lại càng đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu khoa học
Qua việc học toán, đặc biệt là qua hoạt động giải bài tập toán giúp học sinh hồi tưởng, nhớ lại, biết lựa chọn, kết hợp, vận dụng các kiến thức đã học một cách thích hợp Qua đó rèn trí thông minh sáng tạo, tính tích cực hoạt động nhằm phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh Qua thực tế giảng dạy môn Toán lớp 6 tôi thấy rằng tính chất chia hết của một tổng (một hiệu, một tích ) tuy chỉ cung cấp một lượng kiến thức nhỏ nhưng lại được ứng dụng rộng rãi để giải quyết nhiều bài tập Chính vì thế tôi đã viết ''SKKN'' áp dụng tính chất chia hết của một tổng trong chương I số học lớp 6 vào việc giải toán "
Việt Hòa, ngày 20/01/2010
Trang 3
PHẦN MỘT
i CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
Tính chất chia hết của một tổng được học ở bài 10 chương I số học lớp 6
Đây là cơ sở lý luận để giải thích được các dấu hiệu chia hết cho 2,
3, 5, 9 Nó còn được vận dụng để giải quyết một lượng lớn các bài tập liên quan đến chia hết
Để giải quyết các bài tập này người học sinh phải nắm chắc và vận dụng kiến thức một cách linh hoạt, uyển chuyển, qua đó mà học sinh
có khả năng phát triển tư duy, đặc biệt là tư duy sáng tạo
Tính chất chia hết của một tổng không chỉ được ứng dụng trong tập hợp số tự nhiên mà còn được mở rộng trong tập hợp số nguyên Vì vậy muốn nắm chắc được tính chất này trong tập hợp số tự nhiên học sinh
có thể vận dụng để giải quyết rất nhiều bài tập trong trương trình THCS
Qua tham khảo một số tài liệu tôi đã cố gắng hệ thống lại một số dạng bài tập liên quan đến tính chất chia hết của một tổng ( một hiệu ) Ngoài ra mở rộng đối với một tích trong chương I số học lớp 6 Mỗi dạng bài tập đều có ví dụ minh hoạ và ví dụ kèm theo
Tuy nhiên việc mắc phải những sai sót là điều không tránh khỏi Tôi rất mong được sự góp ý, bổ sung của các thầy cô, của các đồng nghiệp và bạn đọc để SKKN của tôi được hoàn thiện hơn
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Trang 4ii THỰC TRẠNG VIỆC HỌC TOÁN CỦA HỌC SINH LỚP 6
Học sinh khối 6 là một khối mới bắt đầu cách học mới của cấp THCS Các em đang quen với tính toán các số tự nhiên và các dấu các phép toán cụ thể Năng lực tư duy logic của các em chưa phát triển cao Do vậy việc áp lý thuyết để làm bài tập toán đối với các em là một điều khó Hầu hết chỉ có các học sinh khá, giỏi mới có thể tự làm đúng hướng yêu cầu của bài toán Còn hầu hết các học sinh khác lúng túng không biết cách làm và thực hiện phép toán như thế nào
Phần kiến thức tính chất chia hết của một tổng là một phần kiến thức rất quan trọng trong lớp 6 nói riêng và bậc trung học cơ sở nói chung Nhưng nhiều khi các em thuộc lý thuyết toán nhưng lại chưa biết áp dụng vào bài tập cụ thể như thế nào, các em chưa biết tư duy để
đi từ kiến thức tổng quát vào bài tập cụ thể Do vậy giáo viên cần hướng dẫn để các em hiểu và áp dụng được tính chất đã học vào làm bài tập cụ thể
Mặt khác tính tự giác học tập đối với học sinh lớp 6 chưa cao, vì vậy cần cho các em áp dụng kiến thức đã học vào các bài tập cụ thể dưới sự hướng dẫn của giáo viên để các em có thể hiểu và nắm chắc kiến thức được học một cách có hệ thống để giúp các em học tốt trong các năm học sau
Trang 5PHẦN HAI : NỘI DUNG
I.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.
QUAN HỆ CHIA HẾT :
Số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên b khác 0 nếu có số tự nhiên k sao cho a = kb
2.
TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA TỔNG VÀ HIỆU:
3.
TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA TÍCH:
a) Nếu một thừa số của tích chia hết cho m thì tích chia hết cho m b) Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho n thì a.b chia hết cho m.n
II CÁC DẠNG BÀI TẬP.
DẠNG 1: Bài tập trắc nghiệm nhằm củng cố lí thuyết.
Bài tập 1: Điền dấu '' X '' vào ô thích hợp trong các câu sau:
CÂU Đúng sai
m a m b m b a
m b m a m b a c
m b a m b m a
m b a m b m a b
m b a m b m a
m b a m b m a a
; ) (
; ) )(
) (
;
) (
; )
) (
;
) (
; )
n m b a n
b m a
n
n b
a
b
a
c)
Trang 6a) Nếu mỗi số hạng của tổng chia hết cho 6 thì
tổng chia hết cho 6
b) Nếu mỗi số hạng của tổng không chia hết
cho 6 thì tổng không chia hết cho 6
c) Nếu tổng của hai số chia hết cho 5 và một
trong hai số đó chia hết cho 5 thì số còn lại chia
hết cho 5
d) Nếu hiệu của hai số chia hết cho 7 và một
trong hai số đó chia hết cho 7 thì số còn lại chia
hết cho 7
Bài tập 2: Khoanh tròn trước câu trả lời đúng
1) Xét biểu thức 864 + 14
a) Giá trị của biểu thức chia hết cho 2 b) Giá trị của biểu thức chia hết cho 3 c) Giá trị của biểu thức chia hết cho 6 d) Giá trị của biểu thức chia hết cho 7 2) Nếu a chia hết cho 6 và b chia hết cho 8 thì (a + b) chia hết cho?
a) 2, 3, 6 b) 3, 6 c) 6, 9 d) 6, 18 3) Nếu a chia hết cho b, b chia hết cho c thì:
a) a = c
b) a chia hết cho c
c) không kết luận được gì
d) a không chia hết cho c
DẠNG 2 : Không tính toán , xét xem một tổng (hiệu) có chia hết cho
một số hay không ?
Bài tập 1: Áp dụng tính chất chia hết xét xem mỗi tổng (hiệu) sau có chia hết cho 8 không?
a) 48 + 56 + 112 b) 160 – 47
Giải
Áp dụng tính chất chia hết của một tổng (hiệu) ta có:
8 ) 112 56
48 ( 8
112 8 56 8 48
a
Trang 7Bài tập 2: Không thực hiện phép tính hãy chứng tỏ rằng:
a) 34.1991 chia hết cho 17
b) 2004 2007 chia hết cho 9
c) 1245 2002 chia hết cho15
d) 1540 2005 chia hết cho 14
Hướng dẫn:
Ta có tính chất sau:
Chỉ cần có một thừa số trong tích chia hết cho một số thì cả tích chia hết cho số đó
Bài tập 3: Tổng (hiệu) sau có chia hết cho 5 không?
a) 1.2.3.4.5.6 + 42 b) 1.2.3.4.5.6 - 32 Hướng dẫn:
* Nhận xét rằng tích 1.2.3.4.5.6 có chứa thừa số 5 do đó tích này chia hết cho 5 Từ đó xét thừa số còn lại xem có chia hết cho 5 không? Dẫn đến cách giải tương tự như bài tập 1
Bài tập 4: Tổng (hiệu) sau là số nguyên tố hay hợp số:
a) 3.4.5 + 6.7 b) 7.9.11.13 – 2.3.4.7 c) 3.5.7 + 11.13.17 d) 164354 + 67541
*Nhận xét: Để chứng tỏ một tổng (hiệu) là hợp số ta chỉ cần chỉ ra rằng tổng (hiệu) đó chia hết cho một số khác 1 và chính nó
Giải:
Mà tổng này lớn hơn 3 nên suy ra tổng này là hợp số
Gợi ý:
b) Hiệu chia hết cho 7 và hiệu lớn hơn 7
8 ) 47 160 ( 8
47 8 160
b
c b a c
N c b a c
a ; , , ( 0 )
3 ) 6.7 3.4.5
( 3
6
.
5
3 5
.
4
.
3
a
Trang 8c) Tích 3.5.7 là một số lẻ, tích 11.13.17 là một số lẻ,
mà tổng hai số lẻ là một số chẵn nên suy ra tổng chia hết cho 2 và tổng lớn hơn 2
d) Tổng này có chữ số tận cùng là 5 Vậy nó chia hết cho 5 và nó lớn hơn 5
Bài tập 5: Chứng tỏ rằng:
Giải:
Ta có:
DẠNG 3: Tìm số x (hoặc tìm chữ số x)
Bài tập 1: Cho tổng A = (12 + 14 + 16 + x) với x thuộc N Tìm x để:
a) A chia hết cho 2 b) A không chia hết cho 2
*Nhận xét: 3 số hạng đầu tiên trong tổng A đều chia hết cho 2 Muốn tổng A chia hết cho 2 thì x phải là một số chia hết cho 2 Muốn tổng A không chia hết cho 2 thì x phải là một số không chia hết cho 2
Bài tập 2: Tìm chữ số x để:
*Nhận xét: Hiệu trên phải chia hết cho 3 mà 12 đã chia hết cho 3 Vậy
Từ đó dựa vào dấu hiệu chia hết cho 3 để tìm chữ số x
*Giải: Ta có:
Bài tập 3: Tìm số tự nhiên x thoả mãn:
Giải:
Ta có:
Vậy
Bài tập 4: Tìm số tự nhiên x sao cho :
N a
a 7 ) 7 ;
49
N a a
N a a
; 7 ) 7 49 ( 7
7
, 7
3 ) 12 4 3 ( x
3 4 3
x
3 4 3 3
12
3 ) 12 4 3 (
x
2 , 5 , 8 9
0
3 ) 7 ( 3 ) 4 3
(
x x
x
49 32
7 ) 2 (
13 21
x
7 21
7 ) 2 (
13 21
x x
35 ; 42 ; 49 2
51 2 34 49 32
7 ) 2 ( 7 13
x x
x
x
33 ; 40 ; 47
x
Trang 9Giải:
Ta thấy
Ta có bảng sau:
x+1 1 3 9
x 0 2 8 Vì
*Nhận xét: Ta nhận thấy rằng quan hệ của số x trong các biểu thức
(x - 8) và (x + 1) giống nhau vì vậy ta áp dụng tính chất chia hết của
một hiệu x sẽ bị khử chỉ còn lại hằng số 9, từ đó tìm được x Với
những bài tập mà hệ số của x ở số bị chia và số chia không giống nhau
ta phải tìm cách biến đổi để các hệ số giống nhau sau đó tuỳ các
trường hợp mà áp dụng tính chất chia hết của một tổng hoặc một hiệu
Bài tập 5: Tìm số tự nhiên x sao cho :
Hướng dẫn
Từ đó ta tìm được x
Bài tập 6: Tìm số tự nhiên x sao cho :
Hướng dẫn
Ta thấy
Từ đó ta tìm được x
Bài tập 7: Tìm số tự nhiên x sao cho :
Hướng dẫn
Muốn biến đổi các hệ số của x ở số bị chia và số chia giống nhau ta
cần tìm bội chung nhỏ nhất của hai hệ số
Ta có:
Từ (*) và (**) suy ra
1 , 3 , 9 )
9 ( )
1 (
) 1 (
9
) 1 (
) 8 1
(
) 1 (
) 8 (
) 1 (
) 1 (
) 8
(
) 1 (
) 1
(
U x
x
x x
x
x x
x x
x
x x
8
x
) 148 ( ) 260 (x x
148 0
) 148
( 174
) 148
( ) 26 (
) 148
( )
148 ( )
2 6 (
) 148
( ) 148
(
x
x
x x
x x
x
x x
) 1 3 ( ) 7 2 ( x x
) 2 (
3
) 2 (
) 4 2
( ) 7 2
( ) 2 (
) 7 2
(
) 2 (
) 4 2
(
) 2 (
) 2 (
2 )
2 (
) 2 (
x
x x
x x
x
x x
x x
x x
) 1 3 ( ) 7 5 ( x x
)(**) 1 3 ( ) 21 15 ( ) 1 3 ( ) 7 5 (
3 ) 1 3 ( ) 7 5 (
)(*) 1 3 ( ) 5 15 ( ) 1 3 ( ) 1 3 (
5 ) 1 3 ( ) 1 3 (
x x
x x
x x
x x
x x
x x
Trang 10Từ đú ta tỡm được x.
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài tập 8: Tìm các số tự nhiên x để
MỘT SỐ BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài tập 1: Tỡm số tự nhiờn n sao cho: (18n + 3) chia hết cho 7
Giải
Cỏch1:
Vỡ (4,7) =1 nờn (n - 1) chia hết cho 7
Vậy n = 7k +1 (k thuộc N)
Cỏch 2:
Vỡ (18,7) =1 nờn (n-1) chia hết cho 7
Vậy n = 7k +1 (k thuộc N)
* Nhận xột: Việc thờm bớt cỏc bội của 7 trong hai cỏch giải trờn nhằm
đi đến một biểu thức chia hết cho 7 mà ở đú cỏc hệ số của n là 1 Bài tập 2: Cho biết (a + 4b) chia hết cho 13, ( a; b thuộc N) Chứng minh rằng (10a + b) chia hết cho 13
Giải
Đặt : a + 4b = x
10a + b = y
Ta biết x chia hết cho 13 cần chứng minh y chia hết cho 13
+ Cỏch 1: Xột biểu thức
10x – y = 10 ( a + 4b ) – ( 10a + b ) = 10a + 40b – 10a – b = 39b
Vậy
)
) 2 ( 4 ) 2 ( )
) 1 ( );
1 ( 7 ) 1 ( )
) 0 (
; 4 ) 4 )(
2 2 2
x x
d
x x
c
x x
x b
x x
a
7 ) 1 (
4
7 4 4
7 7 3 4
7 3 4
7 14
7 3 4 14 7 3 18
n n n n n n n
7 ) 1 (
18
7 18 18
7 21 3 18
7 3 18
n n n n
13 10
13 13
10 13
13 10
b a Hay
y x
x Do
y x
Trang 11+ Cách 2 : Xét biểu thức
4y – x = 4 ( 10a + b ) – ( a + 4b ) = 40a + 4b – a – 4b = 39a
Vậy
+ Cách 3 : Xét biểu thức
3x + y = 3 ( a + 4b ) + ( 10a + 4b ) = 3a + 12b +10a + 4b = 13a + 13b Suy ra
+ Cách 4: Xét biểu thức
x + 9y = a + 4b + 9 ( 10a + b ) =
a + 4b + 90a + 9b = 91a + 13b Suy ra
* Nhận xét: Trong các cách giải trên ta đã đưa ra các biểu thức mà sau khi rút gọn có một số hạng chia hết cho 13 Khi đó số hạng thứ hai
(nếu có) cũng là bội của 13 Hệ số của a ở x là 1, hệ số của a ở y là
10 nên xét biểu thức (10x – y) nhằm khử a tức là làm cho hệ số của a bằng 0 Xét biểu thức (3x – y) nhằm tạo ra hệ số của a bằng 13
Hệ số của b ở x là 4, hệ số của b ở y là 1 Nên xét biểu thức (4x – y) nhằm khử b Xét biểu thức (x + 9y) nhằm tạo ra hệ số của b bằng 13
Bài tập 3: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khi chia cho 5 dư 1, chia cho 7 dư 5
Giải Gọi n là số chia cho 5 dư 1 và chia cho 7 dư 5
+ Cách 1: Vì n không chia hết cho 35 nên n có dạng 35k + r (k, n là số
tự nhiên, r < 35 ) Trong đó r chia cho 5 dư 1, r chia cho 7 dư 5 Số nhỏ
13 10
13 4 13
13 4
b a Hay
y x
Do y x
13 10
13 13
3 13
13 13
b a Hay
y x
x Do y x
13 10
13 1
) 13
; 9 (
13 9 13
13 9
b a Hay
y co
Ta
y x
Do
y x
Trang 12hơn 35 chia cho 7 dư 5 là 5, 12, 19, 26, 33 trong đó chỉ có 26 chia cho
5 dư 1 Vậy r = 26 Số nhỏ nhất có dạng 35k + 26 là 26
+ Cách 2: Ta có
Số nhỏ nhất thoả mãn hai điều kiện trên là số 26
+ Cách 3:
n = 5x + 1 = 7y + 5 suy ra 5x = 5y + 2y + 4 suy ra
2 ( y + 2 ) chia hết cho 5 suy ra y + 2 chia hết cho 5 Giá trị nhỏ nhất của y bằng 3 suy ra giá trị nhỏ nhất của n bằng 7.3 + 5 = 26
Bài tập 4: Tìm số tự nhiên n có bốn chữ số sao cho khi chia n cho
131 thì dư 112, chia n cho 132 thì dư 98
Giải + Cách 1: Ta có
131x + 112 = 132y + 98 suy ra 131x = 131y + y – 14 suy ra
y – 14 chia hết cho 131 suy ra
y = 131k + 14 (k thuộc N ) suy ra
n = 132 (131k + 14 ) + 98 suy ra
n = 132 131k + 1946
Do n có bốn chữ số nên k bằng 0 Vậy n = 1946
+ Cách 2: Từ 131x = 131y + y – 14 suy ra
131 ( x – y ) = y – 14 Nếu x > y thì y – 14 131 suy ra y 145
Suy ra n có nhiều hơn bốn cchwx số Vậy x = y do đó y = 14 ; n = 1946 + Cách 3: Ta có n = 131x + 112 nên
132n = 131.132x + 14784 (1)
mà n = 132y + 98 nên 131n = 131.132y + 12838 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 132n – 131n = 131.132 ( x – y ) + 1946 Hay n = 131.132 (x – y ) + 1946
Vì n có bốn chữ số nên n = 1946
7 9 7
14 5 7
5
5 9 5
10 1 5
1
n n
n
n n
n
Trang 13Bài tập 5:
a) Chứng tỏ rằng hiệu sau không chia hết cho 2
( 10k + 8k + 6k ) – ( 9k + 7k + 5k ) ( k N* )
b) Chứng tỏ rằng tổng sau chia hết cho 2
2001k + 2002k + 2003k ( k N* )
c) Xét xem hiệu sau có chia hết cho 10 không ?
200012010 - 19172000
Hướng dẫn a) 10k, 8k, 6k là những số chẵn nên ( 10k + 8k + 6k ) là số chẵn chia hết cho 2 ; 9k, 7k, 5k là những số lẻ nên ( 9k + 7k + 5k ) là số lẻ không chia hết cho 2
Vậy ( 10k + 8k + 6k ) – ( 9k + 7k + 5k ) không chia hết cho 2
b)2001k là số lẻ; 2003k là số lẻ nên 2001k + 2003k là số chẵn chia hết cho 2
2002k là số chẵn nên chia hết cho 2 Vậy
2001k + 2002k + 2003k chia hết cho 2
c) 20012010 có chữ số tận cùng là 1
19172000 = (19174 )500 cũng có chữ số tận cùng là 1
Vậy 200012010 - 19172000 có chữ số tận cùng là 0 do đó
200012010 - 19172000 chia hết cho 10
* Trên đây là một số bài tập tiêu biểu tôi đã lựa chọn và phân dạng cụ thể Qua việc áp dụng tính chất chia hết của một tổng để giải bài tập học sinh sẽ nắm kiến thức một cách chắc chắn, rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy toán một cách logic, có căn cứ, đồng thời gây hứng thú học tập , thúc đẩy khả năng tìm tòi sáng tạo của học sinh trong môn toán nói riêng và các môn học khác nói chung Đồng thời giúp các em biết cách xử lý một cách linh hoạt, tối ưu các tình huống trong thực tế đời sống hàng ngày
iii. THỰC NGIỆM DẠY HỌC
TIẾT LUYỆN TẬP
- Học sinh vận dụng thành thạo các tính chất chia hết của một tổng một hiệu
- Học sinh nhận biết thành thạo một tổng của hai hay nhiều số, một hiệu của hai số có chia hết hay không chia hết cho một số mà không cần tính giá trị của biểu thức