Rèn luyện kĩ năng vận dụng tính chất chia hết của một tổng vào giải toán cho học sinh lớp 6

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ PHỊNG GD & ĐT THÀNH PHỐ THANH HOÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KĨ NĂNG VẬN DỤNG TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA MỘT TỔNG VÀO GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH LỚP Người thực : Nguyễn Thị Nghiêm Chức vụ : Phó Hiệu trưởng Đơn vị cơng tác : Trường THCS Trần Mai Ninh SKKN thuộc mơn: Tốn THANH HĨA NĂM 2018 MỤC LỤC Nội dung MỤC LỤC PHẦN 1: MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.5 Những điểm SKKN PHẦN 2: NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Giải pháp sử dụng để giải vấn đề Rèn luyện kĩ vận dụng tính chất chia hết tổng Rèn luyện kĩ suy luận chứng minh Rèn kĩ biến đổi, tính tốn 2.4 Hiệu SKKN hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường PHẦN 3: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ TÀI LIỆU THAM KHẢO Danh mục đề tài SKKN đánh giá Trang 2 2 3 3 15 16 18 19 PHẦN 1: MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Toán học ngành khoa học giữ vai trò vơ quan trọng đời sống, kinh tế, xã hội, Đặc biệt toán học sở, phương tiện để nghiên cứu ngành khoa học khác Có thể nói tốn học chìa khố, mở đường để nghiên cứu lĩnh vực khoa học phục vụ cho đời sống người Trong tốn học có nhiều mơn, mơn có hay, thú vị khó Ở cấp trung học sở học sinh học nghiên cứu số môn như: Số học, đại số hình học Riêng mơn số học: trước toán số học, đặc biệt toán chia hết học sinh thường lúng túng phải đâu theo hướng Do lập luận tốn chứng minh em thường dài dòng, rời rạc, thiếu cứ, khơng đảm bảo tính khoa học lơgic Trong kiến thức phép chia hết nội dung quan trọng chương trình tốn lớp Kiến thức lồng ghép xun suốt chương trình tốn trung học sở Sách giáo khoa chưa đưa phương pháp chứng minh tốn chia hết, khơng chia hết, mà học sinh nhiều lúng túng gặp dạng toán Vậy phải dạy để học sinh nắm kiến thức cách có hệ thống mà phải vận dụng vào giải tập nâng cao,phát triển để có hứng thú, say mê học tập câu hỏi mà thầy cô ln đặt cho Bản thân tơi năm học nhà trường phân cơng giảng dạy Tốn Qua giảng dạy rút vài kinh nghiệm nhỏ dạy phần chia hết, đề tài xin đưa nội dung nhỏ : "Rèn luyện kĩ vận dụng tính chất chia hết tổng vào giải tốn cho học sinh lớp 6" 1.2 Mục đích nghiên cứu Trong khuôn khổ đề tài này, trình bày vài kinh nghiệm giúp học sinh lớp “Rèn luyện kỹ vận dụng tính chất chia hết tổng vào giải toán” Cụ thể : - Các phương pháp thường dùng giải toán phép chia hết - Rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức : Tính chất chia hết tổng, quan hệ chia hết, dấu hiệu chia hết để giải toán chia hết - Củng cố hướng dẫn học sinh làm tập 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Đề tài nghiên cứu qua tiết dạy “Phép chia hết” SGK Toán tập 1, qua định hướng đổi phương pháp dạy Toán - Đối tượng khảo sát : Học sinh lớp 6A - trường THCS Trần Mai Ninh 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu tài liệu - Phương pháp điều tra - Phương pháp thực hành - Đúc rút phần kinh nghiện qua đồng nghiệp thân dạy phần phép chia hết 1.5 Những điểm SKKN Đưa số tập dạng nâng cao thường gặp đề thi HSG có vận dụng tính chất chia hết tổng để giải quyết, qua học sinh thấy ứng dụng tính chất tập thật phong phú không đơn điệu, giúp học sinh có niềm say mê với mơn Toán PHẦN 2: NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm - Mục tiêu bậc học phổ thông ngày hình thành phát triển tảng tư người thời đại bao gồm nhiều nhóm có: nhóm kiến thức kĩ , nhóm kỹ tư Để đào tạo lớp người Đảng ta tiếp tục khẳng định: “ Phải đổi giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ chiều, rèn luyện thành nề nếp tư sáng tạo người học, bước áp dụng phương pháp tiên tiến, phương tiện dạy học đại vào trình dạy học, dành thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh” - Hiện việc đổi phương pháp dạy học, rèn luyện tư sáng tạo cho người học vấn đề mà thân người thầy hướng tới cốt lõi đổi dạy học là: “ Hướng tới hoạt động học tập chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động” 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.2.1 Đối với học sinh: Trường THCS Trần Mai Ninh đa số em nắm kiến thức khả suy luận tốt, chăm chỉ, làm hết tập cô giao Song em làm cách định lượng, chưa biết phát triển toán, chưa có thói quen tìm tòi cách giải, khả tự học, tự nghiên cứu chưa cao Do việc giải toán loại đề xuất giải toán tổng quát theo hướng khác gặp nhiều khó khăn, chưa tìm thấy sau tốn khơng lời giải mà ẩn chứa nhiều điều bất ngờ, thú vị Khảo sát thực tiễn đề tài: * Số liệu thống kê: Khi chưa áp dụng đề tài, tơi tập vận dụng tính chất chia hết tổng, qua khảo sát 45 học sinh lớp 6A trường THCS Trần Mai Ninh nhận kết sau: Sĩ số HS Trên 80% Từ 65% Từ 50% Dưới Năm học lớp đến 80% đến 64% 50% 2016 - 2017 45 12 18 * Nguyên nhân: Học sinh không giải giải sai do: - Chưa biết cách áp dụng kiến thức học vào giải tốn có liên quan - Các em học sinh đầu cấp nên khả phân tích, tìm lời giải,cách tổng qt hóa, tự hoc, tự nghiên cứu,…còn hạn chế - Kĩ giải tốn chưa có thuật giải non 2.2.2 Đối với giáo viên * Thuận lợi: - Hầu hết thầy có trình độ, đào tạo bản, tâm huyết với nghề cầu tiến bộ, cơng tác trường có bề dày dạy học - Nhà trường có sở vật chất tốt phòng học có máy chiếu, giáo viên soạn giáo án điện tử thành thạo, vận dụng tốt công nghệ thông tin dạy - Các tổ, nhóm chun mơn hoạt động tích cực, thường xuyên dự giờ, trao đổi, góp ý rút kinh nghiệm để nâng cao nghiệp vụ * Khó khăn: - Các tập vận dụng tính chất chia hết tổng khơng có phương pháp giải chung cho tất dạng - Mức độ rèn luyện phát triển tư logic dạng toán liên quan đến vấn đề khác nhau, chủ yếu dựa vào kinh nghiệm người giáo viên Đòi hỏi người giáo viên phải có kiến thức, có tổng hợp, có liên hệ vấn đề, có thời gian, có tâm huyết có tinh thần học hỏi cao đáp ứng chun mơn cơng việc giảng dạy 2.3 Giải pháp sử dụng để giải vấn đề A Việc học sinh cần phải nắm vững kiến thức phần chia hết: Phải hiểu phép chia hết, tính chất chia hết tổng, dấu hiệu chia hết, tính chất quan hệ chia hết phương pháp thường dùng để giải toán chia hết Định nghĩa: Cho hai số tự nhiên a b, b ≠ 0, có số tự nhiên q cho b q = a ta nói a chia hết cho b ta có phép chia a:b = q Tính chất chia hết tổng : 2.1 Tính chất Nếu tất số hạng tổng chia hết cho số tổng chia hết cho số a Mm, b Mm, c Mm ⇒ (a + b + c) Mm 2.2 Tính chất Nếu có số hạng tổng khơng chia hết cho số, số hạng khác tổng chia hết cho số tổng khơng chia hết cho số aM m, b Mm, c m ⇒ (a + b + c) m Các dấu hiệu chia hết: 3.1 Dấu hiệu chia hết cho Một số chia hết cho chữ số tận số số chẵn 3.2 Dấu hiệu chia hết cho (hoặc 9) Một số chia hết cho (hoặc 9) tổng chữ số số chia hết cho (hoặc 9) Chú ý: Một số chia cho (hoặc 9) dư tổng chữ số chia cho (hoặc 9) dư nhiêu ngược lại 3Dấu hiệu chia hết cho Một số chia hết cho chữ số tận số 3.4 Dấu hiệu chia hết cho (hoặc 25) Một số chia hết cho (hoặc 25) hai chữ số tận số chia hết cho 25 3.5 Dấu hiệu chia hết cho (hoặc 125) Một số chia hết cho (hoặc 125) ba chữ số tận số chia hết cho (hoặc 125) 3.6 Dấu hiệu chia hết cho 11 Một số chia hết cho 11 hiệu tổng chữ số hàng lẻ tổng chữ số hàng chẵn chia hết cho 11 Tính chất quan hệ chia hết: + chia hết cho b với b số tự nhiên khác + a chia hết cho a với a số tự nhiên khác + Nếu a chia hết cho b b chia hết cho a a = b + Nếu a chia hết cho b b chia hết cho c a chia hết cho c + Nếu a chia hết cho b a chia hết cho c mà (b, c) = a chia hết cho (b.c) + Nếu a.b chia hết cho c (b,c) = a chia hết cho c + Nếu a chia hết cho m k a chia hết cho m với k số tự nhiên + Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho m (a ± b) chia hết cho m + Nếu a chia hết cho m, b không chia hết cho m (a ± b) khơng chia hết cho m + Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho n (a.b) chia hết cho (m.n) + Nếu (a b) chia hết cho m m số nguyên tố a chia hết cho m b chia hết cho m + Nếu a chia hết cho m an chia hết cho m với n số tự nhiên + Nếu a chia hết cho b an chia hết cho bn với n số tự nhiên Một số phương pháp thường dùng để giải toán chia hết - Dựa vào định nghĩa phép chia hết - Dùng tính chất phép chia hết - Dùng định lí chia có dư -Dùng dấu hiệu chia hết có liên quan đến chữ số tận - Nguyên tắc Đirichlet B Khi học sinh nắm vững phần lý thuyết nêu trên, giáo viên đưa số dạng tốn vận dụng tính chất chia hết tổng theo mức độ tăng dần, từ dễ đến khó, khai thác, mở rộng tốn, tổng qt hóa (nếu có thể) nhằm nâng cao mức độ tư duy, sáng tạo, khả phát vấn đề học sinh Trong trình giảng dạy phần giáo viên cần lưu ý rèn luyện số kĩ sau : - Kĩ vận dụng tính chất chia hết tổng - Kĩ suy luận, chứng minh, khái quát hoá - Kĩ biến đổi, tính tốn Rèn luyện kĩ vận dụng tính chất chia hết tổng : Để học sinh nắm chắc, vận dụng thành thạo tính chất chia hết tổng trình giảng dạy tơi thường đưa dạng tập có liên quan đến số, chữ số sai lầm học sinh thường mắc phải, cách sửa sai * Ví dụ 1: Khơng tính tổng, xét xem tổng sau tổng chia hết cho ? a 1008 + 2007 + 351 b 549 + 1071 + 190 c 810 + 24 + Giải : a Ta có 1008 M9, 2007 M9, 351 M9 (Dấu hiệu chia hết cho 9) ⇒ (1008 + 2007 + 351) M9 (Tính chất 1) b Ta có 549 M9, 1071 M9, 190 (Dấu hiệu chia hết cho 9) ⇒ (549 + 1071 + 190) (Tính chất 2) c Ở câu học sinh thường hay vội vàng khẳng định tổng cho không chia hết cho tổng có số hạng 24 không chia hết cho Đến giáo viên khắc sâu cho học sinh , tổng có từ hai số hạng trở lên không chia hết cho số, trước hết tính tổng số xét đến chia hết tổng cho Ta có 810 + 24 + = 810 + 27 Vì 810 M 9, 27 M (Dấu hiệu chia hết cho 9) ⇒ (810 + 27) M9 (Tính chất 1) Vậy (810 + 24 + 3) M * Ví dụ : Cho A = 125 + 2000 + x (x ∈ N) Tìm x để : a A M5 b A Giải : Ta có 125 M5; 2000 M5 (Dấu hiệu chia hết cho 5) a A M5 x M5 (Tính chất 1) b A x (Tính chất 2) * Ví dụ 3: Cho B = 102 + 568 + m + 2004 + n (m, n ∈ N) a Với điều kiện m, n B M2 b Với điều kiện m, n B Giải : Ta có 102 M 2, 568 M 2, 2004 M (Dấu hiệu chia hết cho 2) a B M2 (m + n) M2 (Tính chất 1) ⇒ m n tính chẵn, lẻ b B (m + n) (Tính chất 2) ⇒ m n khơng tính chẵn, lẻ Sau vận dụng thành thạo tính chất chia hết tổng để nhận tổng cho có chia hết hay không cho số , giáo viên cho học sinh làm số dạng tập đơn giản có sử dụng tính chất để em khơng thấy đơn điệu * Ví dụ : Tổng (hiệu) sau số nguyên tố hay hợp số ? a A = 2004 127 11 + 207 747 134 987 569 b B = 11 137 989 - Ở câu a giáo viên yêu cầu học sinh nêu cách giải, đến có học sinh thực phép tính trước , sau kiểm tra số ước số vừa tìm được; có học sinh sử dụng dấu hiệu chia hết cho 3, tính chất chia hết tổng để khẳng định tổng cho chia hết cho 3;… Qua giáo viên chốt lại: Việc phân tích tốn để tìm hướng giải hoạt động quan trọng giải tốn, định thành cơng hay khơng thành cơng việc giải tốn Ở tập sử dụng tính chất chia hết tổng tốn giải cách nhẹ nhàng Tương tự học sinh giải câu b cách dễ dàng Giải : a Vì 2004 127 11 M ; 207 747 134 987 569 M3 nên (2004 127 11 + 207 747 134 987 569) M3 (Tính chất 1) Do A số tự nhiên lớn có ba ước ; ; ⇒A hợp số b Vì 11 137 989 M ; M nên (8 11 137 989 - 7) M2 (Tính chất 1) Do B số tự nhiên lớn có ba ước ; ; ⇒ B hợp số Rèn luyện kĩ suy luận chứng minh Việc rèn luyện kĩ suy luận chứng minh có tầm quan trọng đặc biệt học sinh cần có kĩ khơng giải tốn chứng minh mà giải số có liên quan đến tính tốn, đến cách phân tích để tìm lời giải cho toán, … Do dạy phần nên rèn luyện cho học sinh kĩ suy luận chứng minh theo hướng: - Tăng cường tiến hành hoạt động nhận dạng trình bày tính chất chia hết tổng - Hướng dẫn học sinh suy luận theo quy tắc suy diễn quy tắc quy nạp - Tích cực rèn luyện cho học sinh kĩ suy luận ngược suy luận xuôi (quy tắc suy luận theo phương pháp phân tích lên phương pháp tổng hợp) - Hướng dẫn học sinh khái quát hoá tốn có điều kiện Dưới số ví dụ minh hoạ cho vấn đề nêu trên: * Ví dụ 5: Khi số tự nhiên chia cho 24 dư 16 Hỏi số có chia hết cho khơng ? Cho 12 khơng ? Vì ? Trước toán giáo viên hướng dẫn học sinh suy nghĩ: Có dấu hiệu chia hết cho khơng? Dựa vào dấu hiệu có khẳng định số cho có chia hết cho khơng ? Có dấu hiệu chia hết cho 12 khơng? Làm để nhận số cho có chia hết cho 12 hay khơng? Từ đặt học sinh vào tình có vấn đề, giáo viên hướng dẫn học sinh dựa vào kiến thức phép chia có dư viết a = 24 k + 16 (k ∈ N), đến dựa vào tính chất chia hết tổng học sinh nhận a chia hết cho 8, a khơng chia hết cho 12 Giải Gọi số a (a ∈ N) Vì a chia cho 24 dư 16 nên a = 24 k + 16 (k ∈ N) - Ta có 24k M 16 M ⇒ (24k + 16) M8 (Tính chất 1) Do a M8 - Ta có 24k M 12 16 12 ⇒ (24k + 16) 12 (Tính chất 2) Do a 12 * Ví dụ : Chứng tỏ : a Trong hai số tự nhiên liên tiếp, ln có số chia hết cho b Trong ba số tự nhiên liên tiếp, có số chia hết cho Giải a Gọi hai số tự nhiên liên tiếp a a + (a ∈ N) - Nếu a M tốn giải - Nếu a a = 2k + (k ∈ N) ⇒ a + = 2k + + = 2k + Vì 2k M 2;2M nên (2k + 2) M (Tính chất 1) ⇒a + M Vậy hai số tự nhiên liên tiếp, ln có số chia hết cho b Gọi ba số tự nhiên liên tiếp a, a + 1, a + (a ∈ N) - Nếu a M tốn giải - Nếu a a = 3k + a = 3k + (k ∈ N) +) Với a = 3k + a + = 3k + + = 3k + Vì 3k M 3, M nên (3k + 3) M (Tính chất 1) ⇒a + M +) Với a = 3k + a + = 3k + + = 3k + Vì 3k M 3, M nên (3k + 3) M (Tính chất 1) ⇒a + M Vậy ba số tự nhiên liên tiếp, có số chia hết cho * Ví dụ : Chứng minh hai số chẵn liên tiếp có số chia hết cho Giải Gọi hai số chẵn liên tiếp 2n, 2n + (n ∈ N) - Nếu n chẵn n = 2k (k ∈ N) Ta có 2n = 2k = 4k M4 2n +2 = 2k + = 4k + Vì 4k M ; nên (4k + 2) (Tính chất 2) ⇒ 2n + - Nếu n lẻ n = 2k + (k ∈ N) Ta có 2n = (2k + 1) = 4k + (Tính chất 2) 2n + = (2k + 1) + = 4k + Vì 4k M 4;4M nên (4k + 4) M (Tính chất 1) ⇒ 2n + : Vậy hai số chẵn liên tiếp có số chia hết cho Giáo viên hướng dẫn học sinh rút nhận xét: Trong n số tự nhiên liên tiếp ln có số chia hết cho n Do tích n số tự nhiên liên tiếp chia hết cho n Phương pháp dùng định lí chia có dư thường sử dụng chứng minh biểu thức có chứa biến chia hết cho số tự nhiên có chữ số Khi chứng minh biểu thức chia hết cho số tự nhiên lớn 10 ta không sử dụng phương pháp phải xét nhiều trường hợp Như gặp toán chứng minh tổng, hiệu tích chia hết cho số mà tổng, hiệu, tích phân tích thành tổng số hạng, tích thừa số, ta thường sử dụng tính chất phép chia hết *Ví dụ 8: Chứng minh tổng ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho Giải Gọi ba số tự nhiên liên tiếp a, a + 1, a + (a ∈ N) Tổng ba số tự nhiên liên tiếp : a + a +1 + a + = (a + a + a) + (1 + 2) = a + Vì 3a M 3;3M nên (3a + 3) M (Tính chất 1) Vậy tổng ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho Từ tập này, giáo viên đặt học sinh vào tình có vấn đề: Có phải tổng n số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho n hay khơng ? Qua gợi trí tò mò, đưa học sinh vào vấn đề cần phải giải Sau giáo viên gợi ý cho học sinh: Để trả lời câu hỏi trên, em làm tập sau: * Ví dụ 9: Tổng số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho hay không ? Giải Gọi số tự nhiên liên tiếp a, a+1 (a∈N) Tổng số tự nhiên liên tiếp là: a + a + = (a + a) + = 2a + Vì 2a M ; nên (2a +1) (Tính chất 2) ⇒ Tổng số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho Giáo viên chốt lại: Tổng n số tự nhiên liên tiếp chưa chia hết cho n Tích n số tự nhiên liên tiếp chia hết cho n Rèn kĩ biến đổi, tính tốn : Trong q trình giải tốn học sinh có đến kết xác ngắn gọn hay khơng, điều phụ thuộc vào kĩ biến đổi tính tốn Một số em thường không thiết lập mối quan hệ đại lượng với vận dụng lí thuyết chưa khéo Do dạy phần giáo viên yêu cầu học sinh phải vận dụng phối hợp kiến thức phần chia hết, biết phân tích đề, tìm kiến thức cần thiết cho tập, dựa vào yếu tố đầu cho để biến đổi cho hợp lí Dưới số ví dụ minh hoạ cho vấn đề nêu * Ví dụ 10: Chứng minh : a ( ab + ba ) M 11 b ( ab – ba ) M với a > b Ở tập học sinh có nhiều hướng suy nghĩ : Dựa vào định nghĩa, dấu hiệu chia hết cho 11( cho 9), sử dụng tính chất chia hết tổng,… Nhưng hướng chưa vận dụng cho toán Do giáo viên phân tích để học sinh thấy phải biến đổi số cho theo cấu tạo số, từ đưa dạng tốn quen thuộc 10 a Ta có ab + ba = 10a + b + 10b + a = (10a + a) + (b + 10b) = 11a + 11b Vì 11a M11, 11b M11 nên (11a + 11b) M11 (Tính chất 1) Do ( ab + ba ) M11 b Ta có ab – ba = (10a + b) – (10b + a) = 10a+b - 10b - a = 9a - 9b Vì 9a M 9, 9b M nên 9a – 9b M (Tính chất 1) Do ( ab - ba ) M9 Sau phân tích, hướng dẫn học sinh làm xong tập giáo viên cho học sinh làm tiếp số tập (ví dụ 11 đến ví dụ 15) cần phân tích cho học sinh rút nhận xét khác giống tập với tập ví dụ 9: Đó tập có số điều kiện ràng buộc cho trước, từ học sinh ln có ý thức biến đổi biểu thức theo điều kiện *Ví dụ 11 : Chứng minh : Nếu ( ab + cd ) M11 abcd M11 Giải Ta có : abcd = 100 ab + cd = 99 ab + ab + cd = 99 ab + ( ab + ab ) Vì 99 ab M 11 ; ( ab + cd ) M 11 nên [ 99 ab + ( ab + cd ) ] M 11 (Tính chất 1) Do abcd : 11 * Ví dụ 12 : Chứng minh abc chia hết cho 37 cab chia hết cho 37 bca chia hết cho 37 Giải Ta có: bca = 100b + 10c + a =1000a + 100b + 10c – 999a = 10 abc – 999a Vì abc M 37 (Theo ra) nên 10 abc M37 999 M 37 nên 999a M37 ⇒ (10 abc – 999a) M 37 (Tính chất 1) ⇒ bca chia hết cho 37 Mặt khác : 37 abc + bca + cab = 37 (a + b + c) M Mà abc M 37 (Theo ra), bca M37 (Chứng minh trên) ⇒ cab M37 Nhận xét: Qua ta rút tổng số dạng abc + cab + bca  37 * Ví dụ 13: Hai số có ba chữ số khơng chia hết cho 37 tổng chúng chia hết cho 37 Chứng minh số có chữ số tạo thành số viết liền chia hết cho 37 Giải: Giả sử hai số cho abc def Ta có: abcdef = 1000 abc + def = 999 abc + ( abc + def ) Vì 999 abc M 37 ; ( abc + def ) M 37 nên 999 abc + ( abc + def ) M37 ⇒ abcdef M37 * Ví dụ 14 : Tổng chữ số số có chữ số Chứng minh số chia hết cho chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị Giải Gọi số có chữ số cần tìm abc (a, b, c ∈ N, a ≠ 0, ≤ a, b, c ≤ 9) 11 Theo ta có : a + b + c = a) Ta phải chứng minh: Nếu a + b + c = 7, abc M b = c Thật : abc = (100a + 10b + c) M7 ⇒ (98a + 2a + 7b + 3b + c) M7 ⇒ [ 98 a + 7b + (a + b + c) + (b - c) ] M7 (1) Vì 98 M nên 98a M 7 M7 nên 7b M7 (2) (a + b + c) M nên (a + b + c) M7 Từ (1) ; (2) ⇒ b – c M7 Mặt khác a + b + c = (Theo ra), a ∈ N * ; b, c chữ số ⇒b – c = ⇒ b = c b) Ta phải chứng minh a + b + c = 7, b = c abc M7 Theo chứng minh có : abc = 98 a + 7b + (a + b + c) + (b - c) Ta có a + b + c = M ⇒ 2(a + b + c) M7 b = c ⇒ b – c = M7 Mà 98 a M ; 7b M (chứng minh trên) ⇒ [ 98 a + 7b + (a + b + c) + (b - c) ] M (Tính chất 1) ⇒ abc M7 * Ví dụ 15: Chứng minh (6x + 11y) M 31 (x + 7y) M 31 với số tự nhiên x, y Giải Vì (6x + 11y) M 31 (Theo ra) ; 31y M 31 nên (6x + 11y + 31y) M31 (Tính chất 1) ⇒ (6x + 42y) M31 ⇒ 6(x + 7y) M31 Mà (6 ; 31) = ⇒ (x + 7y) M31 Qua tập vừa giáo viên cần lưu ý học sinh: Bài tốn có đến kết xác ngắn gọn hay khơng, điều phụ thuộc nhiều vào kĩ biến đổi tính tốn Do đứng trước tốn chia hết em cần phải đọc kĩ đề bài, phân tích tốn, xét xem liên quan đến kiến thức nào, tập tương tự học , từ quy tốn lạ tốn quen thuộc * Ví dụ 16 : Tìm số tự nhiên n cho : a) (2n + 4) M (n + 1) b) 3n M (n - 2) Giải a) Ta có: 2n + = ( 2n + 2) + = (n + 1) + Vì (2n + 4) M (n + 1) nên (n + 1) + M (n + 1) Mà (n + 1) M (n + 1) ⇒2 M (n + 1) (Suy từ tính chất 1) ⇒ n + ∈ Ư (2) Mà n∈ N nên n + ≥ Do ta có bảng sau: n+1 n 12 Vậy n ∈ { ; } c) Ta có 3n = 3n - + = (n – 2) + Vì 3n M (n - 2) nên (n – 2) + M(n – 2) Mà (n – 2) M(n – 2) ⇒6 M (n – 2) ⇒ n - ∈ Ư (6) Từ tìm n ∈ { 0; 1; ; ; ; } * Ví dụ 17 : Tìm số tự nhiên ước chung 2n – ; 9n + với n ∈ N * Việc tìm tập hợp ước chung hai hay nhiều số cho trước học sinh khơng khó, việc tìm ước chung tập em tương đối khó Do giáo viên hướng dẫn học sinh tìm lời giải theo hướng phân tích lên Giải Gọi ƯC (2n – ; 9n + 4) d ( d ≥ 1) Ta có (2n – 1) Md ; (9n + 4) Md ⇒ 2(9n + 4) - 9(2n – 1) Md (Tính chất 1) ⇒ 18n + – 18n + Md ⇒ 17 Md ⇒ d ∈ Ư (17) ⇒ d ∈ { ; 17 } Vậy ƯC (2n – ; 9n + 4) = { ; 17 } * Ví dụ 18: Chứng minh với số tự nhiên n (3n + 1, 4n + 1) = Trước giải tập giáo viên yêu cầu học sinh nhắc lại :Thế hai số nguyên tố ? Từ học sinh phát tập tương tự tập vừa làm tự giải tập cách nhẹ nhàng Giải Gọi d ƯCLN (3n + 1, 4n + 1)  3n + Md  4.(3n + 1) Md ⇒  ⇒   4n + Md  3.(4n + ) Md ⇒ (12n + - 12n - 3) Md (Tính chất 1) ⇒1M d ⇒ d = ⇒ (3n + 1, 4n + 1) = * Ví dụ 19: Tìm số tự nhiên n để Giải n + 17 số tự nhiên n+2 n + 17 số tự nhiên (n + 17) M (n + 2) n+2 Mà (n + 2) M(n + 2) ⇒ [ (n + 17) - (n + 2) ] M (n + 2) (Tính chất 1) ⇒ 15 M(n + 2) Để ⇒ (n + 2) ∈ Ư(15) = { ; ; ; 15 } ⇒ n ∈ { ; ; 13} Vậy với n ∈ { ; ; 13} n + 17 số tự nhiên n+2 13 * Ví dụ 20: Cho A = 11a + 2b; B = 18a + 5b với a, b ∈ N Chứng minh A chia hết cho 19 B chia hết cho 19 Giải Ta có: 5A – 2B = 5(11a + 2b) - 2(18a + 5b) = 55a + 10b - 36a - 10b = (55a - 36b) + (10b - 10b) = 19a M19 Do 5A – 2B M19 (Chứng minh trên) (1) A M19 (Giả thiết) ⇒ 5A M19 (2) Từ (1), (2) ⇒ 2B M19 mà (2, 19) = ⇒ B chia hết cho 19 * Ví dụ 21 : Cho A = + 22 + 23 + … +260 Chứng minh A chia hết cho 7, cho 15 Giải Số số hạng tổng : 60 – + = 60 (số hạng) - Nhóm số liên tiếp thành nhóm, ta 20 nhóm : Khi A = (2 + 22 + 23) + (24 + 25 + 26) + … + (258 + 259 + 260) = 2.(1 + + 4) + 24.(1 + + 4) + … + 258.(1 +2 + 4) = 2.7 + 24.7 + … + 258.7 Vì 2.7 M ; 24.7 M ; … ; 258.7 M 58 Nên (2 + + … + 7) M7 (Tính chất 1) ⇒A M7 - Nhóm số liên tiếp thành nhóm, ta 15 nhóm : Khi A = (2 + 22 + 23 + 24) + … + (257 + 258 + 259 + 260) = 2.(1 + + + 8) + … + 257.(1+ + + 8) = 2.15 + 25 15 + … + 257 15 Vì 15 M 15 ; 25 15 M 15 ; … ; 257 15 M 15 57 Nên (2.15 + 15 + … + 15) M 15 ⇒A M 15 Vậy A chia hết cho 7; A chia hết cho 15 * Ví dụ 22: Một số chia cho dư 4, chia cho dư 6, chia cho 11 dư Tìm số dư phép chia số cho 462 Bài tập tổng hợp nhiều kiến thức, học sinh thường đâu? Trình bày lời giải nào? Do giáo viên cần hướng dẫn học sinh tìm hiểu kĩ đề bài, kiến thức có liên quan Để tìm số dư r phép chia số tự nhiên a cho số tự nhiên b khác ta tìm cách biểu diễn a = bq + r ≤ b < r Ta có 462 = 11 6, 7, 11 đôi nguyên tố Số cho không chia hết cho 6; 7; 11 phải xét xem số cho cộng với số để chia hết cho 6; 7;11 Từ học sinh suy nghĩ để tìm lời giải Giải Gọi số a (a ∈ N) Vì số chia cho dư nên a = 6k + (k ∈ N) ⇒ a + = 6k + + = 6k + 12 14 Vì 6k M6 ; 12 M6 nên (6k + 12) M6 (Tính chất 1) ⇒ a + M6 Chứng minh tương tự ta có : (a + 8) M ; (a + 8) M 11 ⇒ (a + 8) M BCNN (6, 7, 11) Vì 6; 7; 11 đơi nguyên tố nên BCNN (6, 7, 11) = 11 = 462 ⇒ (a + 8) M462 ⇒ a chia 462 dư 462 - = 454 Ví dụ 23: Phải viết thêm vào bên phải số 579 ba chữ số để số chia hết cho 5; ; Giải Giả sử ba số viết thêm abc Ta có 579abc chia hết cho 5; 7; Vì ; ; đôi nguyên tố Nên 579abc chia hết cho 5.7.9 = 315 Mặt khác 579abc = 579000 + abc = (315 1838 + 30 + abc ) M315 Mà 315 1838 M315 ⇒ (30 + abc ) M315 (1) Lại có 30 ≤ 30 + abc ≤ 1029 (2) Từ (1) (2) ta có (30+ abc ) ∈ { 315; 630; 945 } ⇒ abc ∈ { 285; 600; 915 } Vậy số viết thêm vào 285 ; 600 ; 915 Ví dụ 24: Tìm hai số tự nhiên a b ta biết bốn mệnh đề: 1, a – b chia hết cho 2, a + 2b số nguyên tố 3, a = 4b – 4, a + chia hết cho b Trong bốn mệnh đề ấy, có mệnh đề mệnh đề sai Giải Mệnh đề (1) (2) a – b chia hết cho a + 2b = a – b+ 3b chia hết a + 2b số nguyên tố Mệnh đề (1) (2) a = 4b – a – b = 4b – – b = 3b – khơng chia hết cho Do mệnh đề sai mệnh đề (1), mệnh đề (2), (3), (4) Từ mệnh đề (3) mệnh đề (4) ta có a + = 4b – + 7= 4b + Mb Do b ∈ { 1; 2;3;6} Thử giá trị ta tìm cặp số (a, b) (3; 1), (7; 2), (11; 3) Ví dụ 25: Chứng minh x, y, z số nguyên thỏa mãn: 100x + 10y + z M21 x – 2y + 4z M21 Giải Ta có 100x + 10y + z M21 ⇒ 400x + 40y + 4z M21 ⇒ 399x + 42y + x – 2y + 4z M21 ⇒ 21 ( 19x – 2y) + x – 2y + 4z M21 Do x – 2y + 4z M21 ( 21 ( 19x – 2y) M21) Ví dụ 26: Cho số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn a2 + b2 = c2 + d2 Có thể khẳng định a + b + c + d hợp số hay không? 15 Giải Đặt M = a2 + b2 = c2 + d2 Vì a, b, c, d số nguyên dương nên M > Do a2 + b2 + c2 + d2 = 2M M2 Xét hiệu (a2 + b2 + c2 + d2 ) – (a + b + c + d) = a(a - 1) + b(b-1) + c(c-1) + d(d-1) M2 Do a + b + c + d M2 Lai có a + b + c + d số tự nhiên lớn Vậy a + b + c + d hợp số Ví dụ 27: Một số tự nhiên chia cho dư 4, chia cho dư 6, chia cho 11 dư Tìm số dư phép chia số cho 462 Giải Gọi số tự nhiên a ( a ∈ N) Vì a chia cho dư nên a = 6k + ( k ∈ N) Khi a + = 6k + + = 6k + 12 M6 (Vì 6k M6; 12 M6) Chứng minh tương tự a + M7; a + M11 Mà 6; 7; 11 đơi ngun tố Do a + M(6 11) ⇒ a + M462 Vậy a chia cho 462 dư 462 – = 454 Ví dụ 28: Tìm tất cặp số nguyên (x,y) cho 3x2 + 5y2 = 80 Giải Vì 3x2 + 5y2 = 80, 5y2 M5, 80 M5 nên 3x2 M5 Mà (3; 5) = Do x2 M5 ⇒ x M5 ( Vì số nguyên tố) ⇒ x = 5k ⇒ x2 = 25 k2 ( k ∈ Z) Ta 75k2 + 5y2 = 80 ⇒ 15k2 + y2 = 16 ⇒ k= ± Khi (x, y) ∈ { (5;1), ( 5; − 1) , ( −5;1) , ( −5; −1) } 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường * Các dạng toán chia hết thật phong phú đa dạng, khuôn khổ đề tài tơi trình bày số ví dụ vận dụng tính chất chia hết tổng để giải tốn chia hết Trong q trình giảng dạy nhận thấy: Về thực tế, vấn đề chưa đề cập nhiều sách giáo khoa mà thời gian 45 phút cho tiết học eo hẹp, việc đưa lượng kiến thức khó khăn Mặt khác thầy, hướng dẫn học sinh giải tập mức độ trung bình em chưa thể thấy "cái hay" dạng tốn này, đồng thời có em có cảm giác khó phức tạp, khơng phải mà khơng thực Qua ví dụ ta thấy, dạng tập có hướng giải khác nhau, cuối quy định nghĩa, dấu hiệu chia hết, tính chất chia hết tổng, tính chất quan hệ chia hết Chính vậy, việc nắm vững lí thuyết chia hết vấn đề then chốt giúp học sinh định hướng cách giải tập giúp học sinh có tư sáng tạo linh hoạt giải toán 16 * Kết quả: Với cách đặt vấn đề giải vấn đề trên, trình giảng dạy cho học sinh lớp 6A trường THCS Trần Mai Ninh thấy học sinh lĩnh hội kiến thức cách thoải mái, rõ ràng, có hệ thống, học sinh phân biệt nhận dạng tốn có liên quan đến tính chất chia hết tổng từ giải hầu hết tập phần này, xố cảm giác khó phức tạp ban đầu khơng có quy tắc giải tổng qt Qua đó, rèn luyện cho học sinh trí thơng minh, sáng tạo, phẩm chất trí tuệ khác học sinh thấy dạng toán thật phong phú không đơn điệu, giúp học sinh hứng thú học phần giải tốn chia hết nói riêng , học mơn tốn nói chung vận dụng tốt kiến thức giải toán Kết cụ thể: Với tập cô giáo đưa ra, học sinh say mê giải cách tự lập tự giác, sau tập học sinh không dừng lại việc tìm lời giải mà ln có ý thức xem xét tốn góc độ khác : cách giải hay khơng, có tương tự với dạng học, quy toán lạ toán quen thuộc, Kĩ giải toán chia hết học sinh có tiến rõ rệt, thể qua bảng số liệu sau: ( Tính theo số lượng tập giáo viên đưa ra) Sĩ số HS Trên 80% Từ 65% Từ 50% Dưới Năm học lớp đến 80% đến 64% 50% 2017 – 2018 45 15 18 10 (đã áp dụng) PHẦN 3: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Việc rèn luyện kĩ giải tốn thơng qua dạng tập nêu đề tài nhằm mục đích bồi dưỡng phát triển kĩ cho học sinh vừa bền vững, vừa sâu sắc, phát huy tối đa tham gia tích cực người học Học sinh có khả tự tìm kiến thức, tự tham gia các hoạt động để củng cố vững kiến thức, rèn luyện kĩ Đề tài tác động lớn đến việc phát triển tiềm lực trí tuệ, nâng cao lực tư độc lập khả tìm tòi, sáng tạo cho học sinh giỏi Tuy nhiên cần biết vận dụng kĩ cách hợp lí và biết kết hợp kiến thức toán học cho tập cụ thể đạt kết cao, để làm điều phải tốn khơng thời gian cho việc chuẩn bị nội dung phương pháp giảng dạy Về thực tế, vấn đề đề cập sách giáo khoa mà thời gian 45 phút cho tiết học eo hẹp, việc đưa lượng kiến thức khó khăn, khơng phải mà khơng thực được, ta khéo léo lồng vấn đề vào tiết dạy khố kết hợp với buổi ngoại khố, buổi ơn tập, buổi bồi dưỡng học sinh giỏi Tuy nhiên, để đạt kết mong muốn, đòi hỏi người giáo viên cần hệ thống, phân loại tập thành dạng nhằm mục đích bồi dưỡng phát triển kĩ cho học sinh vừa bền vững, vừa sâu sắc, phát huy tối đa tham gia tích cực người học Giáo viên xây dựng từ kiến thức cũ đến kiến thức mới, từ cụ thể đến tổng quát, từ đơn giản đến phức tạp, phù hợp với trình độ nhận thức chung học sinh 17 Người thầy cần trọng phát huy tính chủ động, tích cực sáng tạo học sinh từ giúp em có nhìn nhận bao qt, tồn diện định hướng giải tốn đắn Làm góp phần nâng cao chất lượng giáo dục nhà trường 3.2 Kiến nghị Qua trình giảng dạy, nghiên cứu tơi xin có số ý kiến đề xuất sau: - Đối với GV, phải nhiệt tình tâm huyết với nghề, phải ln có ý thức tự nghiên cứu, học hỏi tìm tòi nâng cao kiến thức, nghiệp vụ trình độ chun mơn, phải có nghiên cứu kiến thức bao qt chương trình khơng dừng nội dung kiến thức chương trình THCS - Những sáng kiến kinh nghiệm hay thành phố, Phòng Giáo dục nên tổ chức hội thảo cho giáo viên thành phố học tập áp dụng sáng kiến vào giảng dạy Trên tơi mạnh dạn giới thiệu bạn đồng nghiệp số kinh nghiệm thân Đề tài chắn khơng tránh khỏi thiếu sót, tơi mong góp ý bổ sung q thầy cơ, bạn để viết hoàn chỉnh hấp dẫn XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 20 tháng năm 2018 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người viết Nguyễn Thị Nghiêm 18 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo viên toán tập Toán nâng cao phát triển lớp - Vũ Hữu Bình 3.Tốn nâng cao chuyên đề toán - Vũ Dương Thụy, Nguyễn Ngọc Đạm Báo Toán tuổi thơ - NXBGD Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS - Số học: Nguyễn Đức Tấn Luyện tập toán - Nguyễn Bá Hòa 7.Tốn số học nâng cao - Nguyễn Vĩnh Cận 500 toán chọn lọc - Nguyễn Ngọc Đạm, Ngô Long Hậu 19 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Nguyễn Thị Nghiêm Chức vụ đơn vị cơng tác: Phó Hiệu trưởng - Trường THCS Trần Mai Ninh TT Tên đề tài SKKN Một số kinh nghiệm dạy phần giá trị tuyệt đối cho học sinh lớp Rèn luyện kỹ vận dụng tính chất chia hết tổng vào giải toán cho học sinh lớp Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp cách giải dạng tốn phương trình bậc cao ẩn thường gặp bậc THCS Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp cách giải dạng tốn phương trình bậc cao ẩn thường gặp bậc THCS Kết Cấp đánh đánh giá xếp loại giá xếp (Phòng, loại (A, Sở, Tỉnh ) B, C) - Phòng GD - Loại A - Sở GD - Loại B Năm học đánh giá xếp loại 2010 - 2011 - Phòng GD - Loại A - Sở GD - Loại C 2012 - 2013 - Phòng GD - Loại A - Sở GD - Loại C 2015 – 2016 Phòng GD 2016 – 2017 Loại A 20 ... b chia hết cho c a chia hết cho c + Nếu a chia hết cho b a chia hết cho c mà (b, c) = a chia hết cho (b.c) + Nếu a.b chia hết cho c (b,c) = a chia hết cho c + Nếu a chia hết cho m k a chia hết. .. SKKN Một số kinh nghiệm dạy phần giá trị tuyệt đối cho học sinh lớp Rèn luyện kỹ vận dụng tính chất chia hết tổng vào giải toán cho học sinh lớp Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp cách giải. .. tính chất chia hết tổng vào giải toán Cụ thể : - Các phương pháp thường dùng giải toán phép chia hết - Rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức : Tính chất chia hết tổng, quan hệ chia hết, dấu hiệu chia