hướng dẫn học sinh giải quyết một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị nhằm nâng cao kết quả học tập môn toán của học sinh

HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI QUYẾT MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ NHẰM NÂNG CAO KẾT QUẢ HỌC TẬP MƠN TỐN CỦA HỌC SINH PHẦN I MỞ ĐẦU Tốn học mơn khoa học bản, có liên quan đến nhiều ngành, nhiều lĩnh vực khác Các thành tựu tốn học ln góp phần to lớn vào việc cải tạo tự nhiên, đem lại lợi ích phục vụ cho sống lồi người ngày tốt đẹp Dạy tốn học nhằm trang bị cho học sinh hệ thống tri thức khoa học phổ thông tạo điều kiện cho em hình thành phát triển phẩm chất, lực trí tuệ, đồng thời trang bị cho em hệ thống tri thức đảm bảo đủ để nghiên cứu khám phá giới xung quanh, góp phần cải tạo giới, cải tạo thiên nhiên mang lại sống ấm no hạnh phúc cho người Trong chương trình tốn bậc trung học sở, hai chủ đề lớn môn đại số "Số" "Hàm số" Khái niệm "Hàm số" xuyên suốt chương trình mơn đại số phổ thơng, lớp kiến thức trọng tâm môn đại số Với khái niệm hàm bậc nhất, bậc hai dạng đồ thị tương ứng, phần hàm số phân lượng thời gian không nhiều Tuy tập hàm số thật nhiều dạng thiếu kỳ kiểm tra, kỳ thi Khái niệm hàm số khái niệm trừu tượng mà thời gian luyện tập lại không nhiều, nên kết học sinh không cao Qua thực tế giảng dạy nhiều năm bậc THCS tìm hiểu tâm lý đối tượng học sinh thấy tập đồ thị hàm số học sinh cịn lúng túng tơi định tiến hành nghiên cứu: "HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI QUYẾT MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ NHẰM NÂNG CAO KẾT QUẢ HỌC TẬP MÔN TỐN CỦA HỌC SINH" Trong đề tài tơi cố gắng làm sáng tỏ khái niệm hàm số, đồ thị đưa số dạng tập hàm số tập có liên quan Bằng cách xếp dạng toán, phương pháp truyền thụ phù hợp với đối tượng học sinh, phát huy tính tích cực học sinh, ý sửa sai cho em, giúp học sinh hiểu phần tập có thuật giải rõ ràng, xác, có nhiều nội dung ứng dụng phong phú Hàm số coi công cụ giải số tốn khác tìm cực trị, giải phương trình, giải bất phương trình, sau nội dung đề tài PHẦN II NỘI DUNG ĐỀ TÀI Chương I: Lý thuyết Để làm tốt tập hàm số đồ thị trước hết học sinh cần nắm vững khái niệm hàm số I Khái niệm hàm số: Khái niệm hàm số định nghĩa theo quan điểm đại " Hàm số ánh xạ từ tập hợp số đến tập hợp số" Trước tiên ta làm quen với ánh xạ: Ánh xạ: a Định nghĩa: Cho tập hợp X ≠ φ Y ≠ φ : f ánh xạ từ tập hợp X đến tập hợp Y quy tắc cho tương ứng phần tử x ∈ X với y ∈ Y Kí hiệu: f: X Y x a y = f(x) Ta gọi X tập nguồn ánh xạ f Y tập đích ánh xạ f Phần tử y = f(x) ∈ Y gọi ảnh x qua ánh xạ f b Các loại ánh xạ: * Đơn ánh Ánh xạ: f: X Y x a y = f(x) Ánh xạ f đơn ánh ⇔ ∀ x1, x2 ∈ X: x1 ≠ x2 f(x1) ≠ f(x2) Hoặc ⇔ ∀ x1, x2 ∈ X: x1 ≠ x2 f(x1) = f(x2) x1= x2 Ví dụ: f: R R x a y = f(x) = 3x * Toàn ánh: Ánh xạ f: X Y x a y = f(x) Ánh xạ f toàn ánh ⇔ ∀ y∈ Y ∃ x ∈ X: (x) = y Hoặc f tồn ánh ⇔ phương trình f(x) = y ln có nghiệm với y ∈ y cho trước Ví dụ: f: R R x a y = f(x) = 2x Là tồn ánh phương trình 2x = y ln có nghiệm x = * Song ánh: Ánh xạ f: X y với y xác định Y x a y = f(x) Ánh xạ f song ánh ⇔ f đơn ánh f toàn ánh Hàm số: a Theo quan điểm đại, định nghĩa hàm số dựa khái niệm tập hợp ánh xạ: Hàm số ánh xạ từ tập hợp số X đến tập hợp số Y Trong chương trình sách giáo khoa trung học sở (1991 - 2001) Khái niệm hàm số trình bày sách giáo khoa lớp (được nhắc lại sách giáo khoa lớp 9) sau: Một hàm số f từ tập hợp số X đến tập hợp số Y quy tắc cho tương ứng giá trị x ∈ X giá trị y ∈ Y mà kí hiệu y = f(x) Người ta viết: f: X Y x a y = f(x) X tập xác định, x ∈ X biến số, y = f(x) giá trị hàm số f x Trong chương trình sách giáo khoa (2001) định nghĩa khái niệm hàm số toán nêu rõ thuộc tính này: " Giả sử x y hai đại lượng biến thiên nhận giá trị số Nếu thay đổi phụ thuộc vào x cho: Với giá trị x ta xác định giá trị tương ứng y y gọi hàm số x x gọi biến số" * Chú ý: Như hàm số dù định nghĩa cách có thuộc tính chất: + X Y hai tập hợp số + Sự tương ứng: ứng với số x ∈ X xác định số y ∈ Y + Biến thiên: x y đại lượng nhận giá trị biến đổi + Phụ thuộc: x đại lượng biến thiên độc lập y đại lượng biến thiên phụ thuộc b Đồ thị hàm số: (Dựa khái niệm tập hợp) + Đồ thị hàm số y = f(x) tập hợp điểm mặt phẳng toạ độ có toạ độ (x;f(x)) với x ∈ X + Chú ý: - Mỗi hàm số có đồ thị xác định ngược lại - Điểm M(xM;yM) ∈ đồ thị hàm số y = f(x) ⇔ yM= f(xM) c Cách cho hàm số: Với định nghĩa hàm số, đồ thị hàm số ta thấy hàm số cho cách: + Cách 1: Cho quy tắc tương ứng thể công thức y = f(x) + Cách 2: Cho quan hệ tương ứng thể bảng giá trị + Cách 3: Cho đồ thị hàm số II Các hàm số chương trình THCS: Hàm số bậc nhất: a Định nghĩa: Hàm số bậc hàm số cho công thức y = ax + b, a,b số xác định a ≠ 0, x ∈ R b Tính chất: + Tập xác định: R + Tính biến thiên: a > hàm số đồng biến R a < hàm số nghịch biến R c Đồ thị: + Đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0, x ∈ R) đường thẳng qua điểm A(0;b) điểm a b B( − ; 0) + Khi b = đồ thị hàm số y = ax đường thẳng qua gốc toạ độ điểm E(1;a) Hàm số bậc hai a Định nghĩa: Hàm số bậc hai hàm số cho công thức y = ax2+ bx + c với a,b,c số (a ≠ 0, x ∈ R) b Tính chất: - Tập xác định: R - Tính biến thiên: b b ; + ∞ ) nghịch biến (- ∞ ; − ) 2a 2a b b a < Hàm số nghịch biến ( − ; + ∞ ) đồng biến (- ∞ ; − ) 2a 2a a > Hàm số đồng biến ( − c Đồ thị: Đồ thị hàm số y = ax2+ bx + c (a ≠ 0, x ∈ R) Parabol (P) có đỉnh D( − b ∆ b ; - ) nhận đường thẳng x = − trục đối xứng 2a 4a 2a Chương I: Lý thuyết DẠNG I: TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ Định nghĩa: Tập xác định hàm số y = f(x) tập giá trị x để biểu thức f(x) có nghĩa Vì vậy: - Nếu f(x) đa thức hàm số có tập xác định x ∈ R - Nếu f(x) có dạng phân thức hàm số có tập xác định: {x ∈ R/ mẫu thức ≠ 0} - Nếu f(x) có dạng thức hàm số có tập xác định: {x ∈ R/ biểu thức ≥ 0} Ví dụ: + Ví dụ 1: Hàm số y = 5x- 70 có TXĐ: R + Ví dụ 2: Hàm số y = x2 + có TXĐ: {x ∈ R/ x ≠ 0} x 1  + Ví dụ 3: Hàm số y = x + có TXĐ: x ∈ R x ≥ −   4 Bài tập: Tìm tập xác định hàm số: a y = x – x +2 b y = x + 2x + − x-3 x+3 c y = x − + − x DẠNG II: TÌM TẬP GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ Tập giá trị hàm số: f: X Y x a y = f(x) tập giá trị y ∈ Y cho phương trình f(x) = y có nghiệm x ∈ X Cách giải: + Cách 1: Có thể dựa vào tính chất thứ tự Q để đánh giá giá trị y + Cách 2: Tìm điều kiện để phương trình f(x) = y có nghiệm tập xác định Ví dụ: * Ví dụ 1: Tìm miền giá trị hàm số y = 2x – với x ∈ [-1; 1] Giải Ta có x ≥ -1 ⇒ 2x ≥ -2 ⇒ 2x – ≥ -7 ⇒ y ≥ -7 x ≤ ⇒ 2x ≤ ⇒ 2x-5 ≤ -3 ⇒ y ≤ -3 Vậy miền giá trị hàm số y = 2x – với x ∈ [-1; 1] y ∈ [-7; -3] * Ví dụ 2: Tìm miền giá trị hàm số y = x − + − x Giải x − + − x ≥ x − + − x =1 ⇒ y ≥ Vậy miền giá trị hàm số y = x − + − x với x ∈ R y ∈ R, y ≥ * Ví dụ 3: Tìm miền giá trị hàm số y = x2- 2x + với x ∈ [2;3] Giải: Hàm số y = x2+ 2x + có a = > nên đồng biến với x ≥ Vậy với x ∈ [2;3] ta có y(2) ≤ y(3) ⇒ ≤ y ≤ Vậy miền giá trị hàm số y = x2+ 2x + với x ∈ [2;3] [3;6] *Ví dụ 4: Tìm miền giá trị hàm số y = x2- x + Giải: TXĐ hàm số R Xét phương trình x2- x +3 = y ⇒ ( x -2)2= y + Phương trình có nghiệm y + ≥ ⇔ y ≥ -1 Ứng dụng: * Ứng dụng 1: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn y = 6x – x2 – Giải: Ta có y = 2x – x2- = -(x2- 2x + 1) – = -(x – 1)2- ≤ - dấu = xảy x = Vậy giá trị lớn hàm số Max y = -3 x = Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn hàm số y = x2 + x + (1) x2 + x + Giải: Hàm số có tập xác định: R x2 + x + = (x + 7 ) + ≥ 4 x2 + x + Giả sử y giá trị hàm số ⇒ phương trình = y có nghiệm x +x+2 ⇔ (y -1)x + (y - 1)x + 2y – = (2) có nghiệm +Xét y = phương trình (2) vơ nghiệm +Xét y ≠ phương trình (2) có nghiệm ⇔ ∆ ≥ ⇔ (y -1)2- 4(y – 1)(2y - 6) ≥ ⇔ (y - 1)(23 – 7y) ≥ 23 ⇔ 1< y ≤ 23 Vậy giá trị hàm số 1< y ≤ 23 + Với y = ta có x = − hàm số có giá trị lớn 23 Max y = x = − + Chú ý: ví dụ dạng: x2 + x + nhận giá trị nguyên y =1 + 2 x +x+2 x +x+2 Khi học sinh hay chọn cách giải: nên y ∈ Z ⇔ x + x + nhận giá trị Tìm x ∈ R để hàm số y = ước nguyên Sai lầm lời giải chỗ x ∈ R nên x2 + x + nhận giá trị khơng ngun Vì lời giải làm nghiệm toán + Cách giải từ việc có miền giá trị 1< y ≤ 23 ta y ∈ Z ⇔ y = y=3 x2 + x + Giải phương trình =2 ⇔ x2 + x + = ⇔ x = 1; x = -2 x +x+2 x2 + x + =3 ⇔ 2x2 + 2x = ⇔ x = 0; x = -1 x +x+2 Vậy x ∈ {-2; -1; 0; 1} y ∈ Z * Ứng dụng 2: Giải phương trình f(x) = g(x) (1) Nhiều phương trình phức tạp giải đơn giản cách vào miền giá trị hai hàm số y = f(x) y = g(x) tập xác định D chung chúng:  f ( x) ≥ m  f ( x) ≥ m với ∀ x ∈ D f(x) = g(x) ⇔  (2)  g ( x) ≥ m  g ( x) ≥ m Nếu ∃ x0 ∈ D thoả mãn (2) x0 nghiệm phương trình (1) Nếu  Ví dụ 1: Giải phương trình 6x – x2 – 2= x − + x − + x − + x − 13 (1) +Tập xác định: R +Ta có VT = 6x – x2 – = – (x - 3)2 ≤ dấu xảy x = VP = x − + x − + x − + x − 13 ≥ dấu xảy ≤x ≤ 13 6x - x − =  + Vậy phương trình (1) ⇔   x − + x − + x − + x − 13 =  ⇔x=3 Kết luận phương trình (1) có nghiệm x = Ví dụ 2: Giải phương trình – 16x4+ 72x3 – 81x2 + 28 = 16(x – x − ) = (3) 7  9 2 Ta có VT = – 16x + 72x – 81x + 28 - 16  −  x −  x  ≤ 28 4 4     Dấu xảy x = x = Đặt x − = t ≥ ⇒ x = t2 + ta có VP = 16(t2 – t + 2)    = 16  t −  +  ≥ 28 4     Dấu xảy t = 1 ⇔ x = +2 ⇔ x = 4 VT = 28 ⇔ x= VP = 28 Vậy phương trình (3) ⇔  Kết luận nghiệm phương trình x = 4 Bài tập: Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ (nếu có) hàm số y = x 2- 3x + đoạn: a [-3;1] b [0;2]  a2 b2   a b  +  − 8 +  a  b a b  Bài 2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức A =   x + y = a + Bài 3: Gọi x,y nghiệm hệ phương trình  2  x + y = 2a + Tìm a để x, y có giá trị lớn Bài 4: Giải phương trình a 3x + x + + x + 10 x + 14 = − x − x b x − + − x = x − x + 11 DẠNG III: XÁC ĐỊNH CƠNG THỨC HÀM SỐ Khi biết tính chất đồ thị hàm số Ta biết hàm số đồ thị có tương ứng 1- nên ta xác định công thức hàm số biết tính chất đồ thị tương ứng a Xác định hàm số bậc y = ax + b biết đồ thị đường thẳng d có tính chất: Đi qua điểm A(x1;y1) điểm B(x2;y2) Giải: Vì A(x1;y1) ∈ d nên ax1 + b = y1 B(x2;y2) ∈ d nên ax2 + b = y2 ax + b = y1 giải hệ phương trình ta có a,b ax + b = y Ta có hệ phương trình  Kết luận cơng thức hàm số * Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị đường thẳng d qua điểm A(1;1) điểm B(-1;2) Giải: Vì A(1;1) ∈ d nên a.1 + b = B(-1;2) ∈ d nên a(-1) + b =  a = - a + b =  ⇔ Ta có hệ phương trình:  − a + b = b =   Kết luận hàm số cần tìm y = − x + b Đồ thị qua điểm A(x1;y1) song song với đường thẳng d' có phương trình y = a1x + b1 (a ≠ 0) Giải: Vì A(x1;y1) ∈ d nên ax1 + b = y1 Vì d song song với d' nên a = a1 ⇒ b = y1 – ax1 Kết luận hàm số cần tìm y = a1x + y1 – ax1 Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị qua điểm A(1; với đường thẳng d' có phương trình y = 2x - ) song song 2 Giải: Vì A(1; 1 ) ∈ d nên a + b = 2 10 Nhận xét: Đồ thị hàm số Parabol(P) có đỉnh D(2; -1) đối xứng qua đường thẳng x = 2, bề lõm quay lên *Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số y = 2x - x + Ta khử dấu giá trị tuyệt đối cách xét khoảng giá trị biến x víi x ≥ 3x víi x < y = 2x - x =  + Bảng giá trị: x 1 y 3 + Đồ thị: -1 x -1 -3 Đồ thị hàm số y = 2x - x có dạng hình *Ví dụ 3: Vẽ đồ thị hàm số y = x2 +2 x +2 - x + 2x + nÕu x ≥  Ta có: y =  - x - 2x + nÕu x ≤  Nên đồ thị hàm số hai nhánh Parabol y = -x2 + 2x + x ≥ y = -x2 - 2x + x ≤ -3 -2 -1 y x Nhận xét: Đồ thị hàm số y = x2 +2 x +2 nhận trục tung làm trục đối xứng Ứng dụng: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số Nhận xét: Điểm thấp (cao nhất) đồ thị điểm có tung độ nhỏ (lớn nhất), hàm số nhận giá trị nhỏ (lớn nhất) Vì tìm giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm số ta vẽ đồ thị hàm số tìm điểm cao (thấp nhất) đồ thị *Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ hàm số y = x − + x − Giải: 17 Ta có y = 2x − (x > 2)  (1 ≤ x ≤ 2) 1 - 2x + ( x < 1)  Đồ thị hàm số gồm phần đường thẳng y = 2x – (x > 2) y = 2x + (x < 1) đoạn y = (1 ≤x ≤2) Nên đồ thị hàm số hai nhánh Parabol y = x2 +2 x+2 với x ≥ y = -x +2 x+2 với x < Vậy giá trị lớn hàm số Max y = x = x = -1 *Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn hàm số y = -x2 -2 x − +1 - x - 2x + (x ≥ 1)  Giải: Ta có y =  - x + 2x + ( x < 1)  Nên đồ thị hàm số hai nhánh Parabol y = -x2 -2 x+3 với x ≥ y = -x2 +2 x+1 với x < y -1 3/2 -1 x -2 -9/4 -3 -4 -5 Vậy giá trị lớn hàm số Max y = x = Bài tập Bài 1: Cho hàm số y = x − x + + x + x + +ax a Xác định a để hàm số đồng biến b Xác định a để đồ thị hàm số qua điểm B(1;6) Vẽ đồ thị hàm số với a vừa tìm Bài 2: Vẽ đồ thị hàm số y = x − 4x + + x + 6x + − x + 2x + 18 Bài 3: Trong mặt phẳng toạ độ x0y vẽ tập hợp điểm M(x;y) mà toạ độ (x;y) thoả mãn x − + y − =1 DẠNG V: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA CÁC ĐỒ THỊ Cơ sở lí thuyết: +Điểm M(xM;yM) ∈ đồ thị hàm số y = f(x) ⇔ yM = f(xM) + Vị trí tương đối đồ thị hàm số y = f(x) y = g(x) phụ thuộc vào số điểm chung hai đồ thị Giả sử M(xM;yM) điểm chung đồ thị hàm số y = f(x) y=g(x) ⇒ M ∈ đồ thị hàm số y = f(x) M ∈ đồ thị hàm số y = g(x) ⇒ yM= f(xM) yM= g(xM) ⇒ (xM;yM) nghiệm hệ phương trình y = f(x)  y = g(x) ⇒ Vậy vị trí tương đối đồ thị hàm số y = f(x) y=g(x) phụ thuộc vào số y = f(x) y = g(x) nghiệm phương trình  Cách giải: a Bài tốn xác định vị trí tương đối đồ thị hàm số y = f(x) y=g(x), (f(x) g(x) có bậc ≤2) + Toạ độ điểm chung (nếu có) đồ thị hàm số nghiệm hệ y = f(x) (1)  y = g(x) (2) + Phương trình hồnh độ: f(x) = g(x) (3) + Số nghiệm phương trình (3) quy định vị trí tương đối đồ thị hàm số y = f(x) y=g(x), (f(x) g(x) có bậc ≤2) Hai đồ thị cắt ⇔ phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt Hai đồ thị tiếp xúc ⇔ phương trình (3) có nghiệm kép Hai đồ thị khơng cắt ⇔ phương trình (3) vơ nghiệm * Để biện luận vị trí tương đối đồ thị ta biện luận số nghiệm phương trình (3) * Để xác định toạ độ điểm chung đồ thị ta giải phương trình (3) tìm hồnh độ x = x0, dựa vào phương trình (1) (2) để xác định tung độ tương ứng y = y0 KẾT LUẬN CHUNG 19 Chú ý: Vị trí tương đối hai đường thẳng d: y = ax + b d1: y = (2m – 3)x + + d song song với d1 ⇔ a = a1; b ≠ b1 + d cắt d1 ⇔ a ≠ a1 + Đặc biệt d vng góc với d1 ⇔ aa1= -1 + d trùng với d1 ⇔ a = a1; b = b1 Ví dụ: Ví dụ 1: Cho đường thẳng d: y = m(x + 2) d1: y = (2m – 3)x + a Biện luận theo m vị trí tương đối hai đường thẳng Giải: m = 2m - ⇔ 2m ≠  + d//d1 ⇔  m = ⇔m=3  m ≠1  + d cắt d1 ⇔ m ≠ 2m – ⇔ m ≠ + Không có giá trị m để d trùng với d1 b Tìm giá trị m để hai đường thẳng vng góc Xác định toạ độ điểm chung cho trường hợp Giải: + d vng góc với d1 ⇔ m(2m – 3) = -1 ⇔ 2m2 – 3m + = ⇔ m = m = + Với m = ta có d: y = x + d1: y = -x + vng góc với y = x + y = -x + Toạ độ điểm chung d d1 nghiệm hệ  ⇔ y =  y = Vậy với m = hai đường thẳng vng góc với A(0;2) + Với m = 1 ta có d: y = x + d1: y = -2x + vng góc với 2   y = y = x +1   ⇔  Toạ độ điểm chung d d1 nghiệm hệ  y = y = -2x +    Vậy với m = 2 6 hai đường thẳng vng góc với tạo B  ;  5 5 Ví dụ 2: 20 Biện luận theo m vị trí tương đối đồ thị hàm số y = x - 4x + m (P) y = 2x + (d) Trong trường hợp tiếp xúc, tìm toạ độ điểm tiếp xúc Giải:  y = x - 4x + m (1) Toạ độ điểm chung (P) (d) nghiệm hệ  (2)  y = 2x + Phương trình toạ độ x2 - 4x + m = 2x + ⇔ x2 - 6x + m – = (3) + (P) cắt (d) hai điểm phân biệt ⇔ phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ = – m + > ⇔ m < 10 + (P) tiếp xúc với (d) ⇔ phương trình (3) có nghiệm kép ⇔ ∆= – m + = ⇔ m = 10 Với m = 10 phương trình (3) trở thành x - 6x + = ⇔ x = thay vào (2) ta có y =7 Vậy với m = 10 (P) (d) tiếp xúc với điểm A(3;7) + (P) không giao với (d) ⇔ phương trình (3) vơ nghiệm ⇔ ∆= – m + < Ví dụ 3: Tìm m để đồ thị hàm số y = x2 – 4x – (P) y = mx2 + (m + 2)x + 8(P' ) có khơng q điểm chung Giải: + Toạ độ điểm chung (nếu có) đồ thị hàm số nghiệm hệ:  (1)  y = x - 4x +   y = mx + (m + 2)x + (2)  + Phương trình hồnh độ x2 – 4x – = mx2 + (m + 2)x + ⇔ (m – 1)x2 + (m + 6)x + 16 = (3) + (P) (P') có khơng q điểm chung ⇔ phương trình (3) có khơng q nghiệm - Xét m = 1, phương trình (3) có dạng 7x + 16 = ⇔ x = - 16 nghiệm Vậy với m = (P) (P' ) cắt tai điểm - Xét m ≠ (P) (P' ) có khơng q điểm chung ⇔ ∆ ≤ ⇔ (m+6)2 – 64(m – 1) ≤ ⇔ m2 – 52m + 100 ≤ 21 ⇔ 26 – 576 ≤m ≤ 26 + 576 m ≠1 Vậy (P) (P' ) có khơng q điểm chung ⇔ 26 - 576 ≤m ≤ 26 + 576 ứng dụng: Biện luận số nghiệm phương trình f(x) = g(x) * Cơ sở lí thuyết: + Giả sử phương trình (1) có nghiệm x=x giá trị tương ứng vế f(x0) = g(x0) = y0 + Nên đồ thị hàm số y = f(x) y = g(x) có điểm chung (x0;y0) Do đồ thị y = f(x) y = g(x) mặt phẳng toạ độ số điểm chung chúng số nghiệm phương trình (1) * Cách giải tốn: + Biện luận số nghiệm phương trình f(x) = g(x) (1) phương pháp đồ thị + Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) (C) y = g(x) (C' ) mặt phẳng toạ độ + Biện luận số nghiệm chung (C) (C' ) ⇒ số nghiệm phương trình * Ví dụ: Ví dụ 1: Biện luận theo m số nghiệm phương trình x − + x − y = m mặt phẳng toạ độ y 1 x + Theo đồ thị ta có: m1 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt Ví dụ 2: Với giá trị a, phương trình sau có nghiệm x − a +1= x + (1) Giải: Phương trình (1) ⇔ x − a = x + -1 22  a  2 x − a  x ≥     Xét hai hàm số y = x − a =  − x + a  x ≤ a     2    x + a ( x ≥ −3) − x − 4( x ≤ −3) y= x + -1=  Ví dụ 3: Tìm tất giá trị thực k để phương trình: (x-1)2 = x − k có bốn nghiệm phân biệt Giải: Ta có (x-1) = x − k ⇔ x − k = ( x - 1) 2 ⇔ x-k = ± ( x - 1)  - x + 4x - = 2k  ⇔  x - = 2k  (1) (2) y y=2k -2 -1 x -1 Ta sử dụng phương pháp tương giao đồ thị để giải phương trình a Ta xét hai hàm số y = -x2+4x-1 y=2k Vẽ đồ thị hai hàm số toạ độ y = -x2+4x-1 Parabol(P1) có giao với trục tung (0;-1) nhận S(2;3) đỉnh y=2k đường thẳng (d) song song với 0x b Xét hàm số y=x2+1 y=2k Vẽ đồ thị hàm số hệ trục toạ độ y=x2+1 Parabol(P2) có đỉnh S'(0;1) 23 y=2k đường thẳng song song với trục 0x Khi phương trình (x-1)2=2 x − k có nghiệm phân biệt ⇔ (d) cắt (P1) (P2) 1 1 < 2k < 