hướng dẫn học sinh giải quyết một số dạng bài tập về hàm số và đồ thị nhằm nâng cao kết quả học tập môn toán của học sinh

HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI QUYẾT MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ NHẰM NÂNG CAO KẾT QUẢ HỌC TẬP MÔN TOÁN CỦA HỌC SINH... Trong chương trình toán bậc trung học cơ sở, hai chủ đề lớn c

HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI QUYẾT MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ NHẰM NÂNG CAO KẾT QUẢ HỌC TẬP MÔN TOÁN CỦA HỌC SINH

PHẦN I MỞ ĐẦU

Toán học là môn khoa học cơ bản, có liên quan đến nhiều ngành, nhiều lĩnhvực khác nhau Các thành tựu của toán học luôn góp phần to lớn vào việc cải tạo tựnhiên, đem lại lợi ích phục vụ cho cuộc sống của loài người ngày một tốt đẹp hơn

Dạy toán học nhằm trang bị cho học sinh một hệ thống tri thức khoa họcphổ thông cơ bản tạo điều kiện cho các em được hình thành và phát triển các phẩm chất,năng lực trí tuệ, đồng thời trang bị cho các em hệ thống tri thức đảm bảo đủ để nghiêncứu và khám phá thế giới xung quanh, góp phần cải tạo thế giới, cải tạo thiên nhiênmang lại cuộc sống ấm no hạnh phúc cho mọi người

Trong chương trình toán bậc trung học cơ sở, hai chủ đề lớn của môn đại số là

"Số" và "Hàm số" Khái niệm "Hàm số" xuyên suốt chương trình môn đại số ở phổthông, bắt đầu từ lớp 7 và nó là kiến thức trọng tâm của môn đại số Với các khái niệmhàm bậc nhất, bậc hai và các dạng đồ thị tương ứng, phần hàm số được phân lượng thờigian không nhiều Tuy vậy bài tập về hàm số thì thật là nhiều dạng và không thể thiếutrong các kỳ kiểm tra, kỳ thi Khái niệm hàm số là khái niệm trừu tượng mà thời gianluyện tập lại không nhiều, nên kết quả của học sinh không cao

Qua thực tế giảng dạy nhiều năm ở bậc THCS và tìm hiểu tâm lý của đốitượng học sinh tôi thấy các bài tập về đồ thị và hàm số học sinh còn rất lúng túng chính

vì vậy tôi đã quyết định tiến hành nghiên cứu: " HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI QUYẾT MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ NHẰM NÂNG CAO KẾT QUẢ HỌC TẬP MÔN TOÁN CỦA HỌC SINH"

Trong đề tài này tôi cố gắng làm sáng tỏ khái niệm hàm số, đồ thị và đưa ramột số dạng bài tập về hàm số và các bài tập có liên quan

Bằng cách sắp xếp các dạng toán, phương pháp truyền thụ phù hợp với đốitượng học sinh, phát huy tính tích cực của học sinh, chú ý sửa sai cho các em,

tôi đã giúp học sinh hiểu đây là phần bài tập có thuật giải rõ ràng, chính xác, cónhiều nội dung ứng dụng phong phú Hàm số còn được coi là công cụ giải quyết một sốbài toán khác như tìm cực trị, giải phương trình, giải bất phương trình, sau đây là nộidung đề tài

PHẦN II NỘI DUNG ĐỀ TÀI Chương I: Lý thuyết cơ bản

Để làm tốt các bài tập về hàm số và đồ thị trước hết chúng ta và học sinhcần nắm vững khái niệm hàm số

Kí hiệu: f: X Y

x a y = f(x)

Ta gọi X là tập nguồn của ánh xạ f

Y là tập đích của ánh xạ fPhần tử y = f(x) Y gọi là ảnh của x qua ánh xạ f

b Các loại ánh xạ:

* Đơn ánh

Ánh xạ: f: X Y

x a y = f(x)Ánh xạ f là đơn ánh  x1, x2 X: x1  x2 thì f(x1) f(x2)

x a y = f(x) Ánh xạ f là song ánh  f là đơn ánh và f là toàn ánh

Một hàm số f đi từ tập hợp số X đến tập hợp số Y là một quy tắc cho tươngứng mỗi giá trị x  X một và chỉ một giá trị y Y mà kí hiệu là y = f(x)

Người ta viết: f: X Y

x a y = f(x)

X là tập xác định, x X là biến số, y = f(x) là giá trị của hàm số f tại x.Trong chương trình sách giáo khoa mới (2001) định nghĩa khái niệm hàm số ở toán 7 đãnêu rõ những thuộc tính này: " Giả sử x và y là hai đại lượng biến thiên và nhận các giátrị số Nếu thay đổi phụ thuộc vào x sao cho: Với mỗi giá trị của x ta xác định được chỉmột giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x gọi là biến số"

* Chú ý: Như vậy hàm số dù được định nghĩa bằng cách nào cũng đều có thuộc

tính bản chất:

+ X và Y là hai tập hợp số

+ Sự tương ứng: ứng với mỗi số x  X đều xác định duy nhất một số y  Y

+ Biến thiên: x và y là các đại lượng nhận giá trị biến đổi

+ Phụ thuộc: x là đại lượng biến thiên độc lập còn y là đại lượng biến thiên phụthuộc

b Đồ thị hàm số: (Dựa trên khái niệm tập hợp)

+ Đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp các điểm của mặt phẳng toạ độ có toạ độ(x;f(x)) với x  X

II Các hàm số trong chương trình THCS:

 là trục đối xứng

Chương I: Lý thuyết cơ bản

Vậy miền giá trị của hàm số y = 2x – 5 với x [-1; 1] là y [-7; -3]

* Ví dụ 2: Tìm miền giá trị của hàm số y = x 6  7  x

Giải

x x

x

Vậy miền giá trị của hàm số y = x 6  7  x với x R là y R, y 1

* Ví dụ 3: Tìm miền giá trị của hàm số y = x2- 2x + 3 với x [2;3]

Giải:

Hàm số y = x2+ 2x + 3 có a = 1 > 0 nên đồng biến với x 1Vậy với x [2;3] ta có y(2)  y(3)  3 y 6

Vậy miền giá trị của hàm số y = x2+ 2x + 3 với x [2;3] là [3;6]

*Ví dụ 4: Tìm miền giá trị của hàm số y = x2- 4x + 3

= -(x – 1)2- 3  - 3 dấu = xảy ra khi và chỉ khi x = 1

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là Max y = -3 tại x = 1

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y =

2 x x

x 2 2

Giả sử y là một giá trị của hàm số  phương trình

2 x x

x 2 2

 (y - 1)(23 – 7y)  0

 1< y 

7 23

Vậy giá trị của hàm số là 1< y 

7 23

x 2 2

4 2

x 2 2

x 2 2

m x f

) (

) (

m x f

) (

) (

(2)Nếu x0  D thoả mãn (2) thì x0 là nghiệm của phương trình (1)

Ví dụ 1: Giải phương trình 6x – x2 – 2= x 1  x 2  2x 3  4x 13 (1)+Tập xác định: R

+Ta có VT = 6x – x2 – 2 = 7 – (x - 3)2 7 dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x =3

VP = x 1  x 2  2x 3  4x 13  7 dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

7 2 x - 6x 2

x x

x x

9 4

28 VT

VP  x =

4 9

Kết luận nghiệm của phương trình là x =

4 9

a a

b b

a

8 2

2 2 2

Bài 3: Gọi x,y là nghiệm của hệ phương trình

1 a y x

2 2

1 1

ax

y b ax

y b

giải hệ phương trình ta có a,bKết luận công thức hàm số

* Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị là đường thẳng d đi qua điểmA(1;1) và điểm B(-1;2)

b a

1 - a

b

Kết luận hàm số cần tìm là y =

2

3 2

Vì d song song với d' nên a = 2  b =

1 -

 b = y1+

1 a

1

x1

Kết luận hàm số cần tìm là y = x

1 a

1 -

+ y1 +

1 a

Vì d tiếp xúc với Parabol (P): y = a'x2 + b'x + c' nên phương trình hoành độ giao

điểm: ax + b = a'x2 + b'x + c' có nghiệm kép

 a'x2 + (b' – a)x + c' – b = 0 có nghiệm kép

 =(b' - a)2- 4a'(c' – b) = 0 (2)Giải hai hệ phương trình (1) và (2) để tìm a và b Kết luận công thức hàm số

Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị là đường thẳng d đi qua điểm

A(-1;2) và tiếp xúc với Parabol

d đi qua điểm A(-1;2) d nên –a + b = 2 (1)

Vì d tiếp xúc với Parabol (P): y = x2 + 1 nên phương trình hoành độ giao điểm: ax+ b = x2 + 1 có nghiệm kép

 x2 – ax + 1 – b = 0 có nghiệm kép

 = (b' - a)2 – 4a'(c' – b) = 0 (2)

2 a

-2 b a

2

a

a b

2 2

a

a b

0

a b

Kết luận công thức hàm số

Ví dụ: Xác định hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c có đồ thị là Pharabol (P) đi qua 3

điểm phân biệt A(-1;0), B(0;3), C(1;0)

0

c b a c

c b a

c b a

Ví dụ: Xác định hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c có đồ thị là Parabol (P) đi qua điểm

A(-1;2) và có đỉnh là D(1;2)

Giải:

Vì A(-1;2) (P) nên a+b+c = 2 (1)

Vì (P) có toạ độ đỉnh D(1;-2) nên  1

2a

b -

(2)

2 4

4 2

4

1 2

2

2

a

ac b

a b

c b a

0 2

2

2 ac a b

b a

c b a

c b a

Ví dụ: Xác định hàm số bậc hai y =ax2 + bx + c có đồ thị là Parabol (P) nhận

D(1;1) là đỉnh và tiếp xúc với đường thẳng d: y = 2x – 2

Giải:

Vì (P) có toạ độ đỉnh D(1;1) nên  1

2a

b -

4

1 2

0 ) 2 ( 4 ) 2 (

2

2

a

ac b

a

b

c ac b

0 2

0 4 4 8 4

2

2

a ac b

b a

b a ac b

0 4 12

0 2

2 ac a b

b a

b a

c b a

Vậy hàm số cần tìm có công thức y = x2 - 2x + 2

3 Bài tập:

Bài 1: Cho đường thẳng d có phương trình y = -2x – 1

a Viết phương trình đường thẳng song song vớ d và đi qua gốc toạ độ.

b Viết phương trình đường thẳng vuông góc với đường thẳng d và đi qua điểmN(-1;5)

Bài 2: Xác định a,b,c để Parabol (P): y = ax2 + bx + c đi qua O(0;0) và có đỉnh làD(1;-1)

Bài 3: Cho Parabol (P): Y = ax2 + bx + 1 (a 

2

1

)

a Xác định a,b để đỉnh Parabol(P) nằm trên đường thẳng d: y = 2x + 1

b Với a, b vừa tìm được vẽ Parabol(P) và đường thẳng d trên cùng một mặtphẳng toạ độ

4 Xác định công thức hàm số khi biết phương trình hàm

Thay vào công thức ban đầu ta có f(t) = (

1 - t

1

)2 – 1  f(t) = 2

1) - (t

t) - t(2

Vì tương ứng hàm số không phụ thuộc vào kí hiệu nên coi f(x) = 2

1) - (x

x) - x(2

+Với x = 0 thay vào công thức vừa tìm được ta có f(0) = 0Vậy hàm số cần tìm là f(x) = 2

1) - (x

x) - x(2

Ví dụ 2: Tìm biểu thức f(x) của hàm số biết f(x) + 2f(

1 f x

1 x

1

1 2f x

1 f

1 ) ( 2 1

1 2 ) (

x x f x f

x x f x f

2 1

2 4

1 2 ) (

x x f x f

x x f x f



2

4 3

2 ) (

x

x x

8x - 4

) 4 (



 x x

2 5x - 4 - 10x

và f(2) = -1Bài 2: Xác định biểu thức f(x) và g(x) biết

x g x

x f

x x

g x

f

1 2

2 1 2 2 ) 1 2 (

g x x

f

x x

g x

f

2

2 2 3 2 1

3 1 6 ) 1 3 (

b

4

; 2

+ Trục đối xứng: x =

2a

b



+ Bề lõm quay lên trên khi a > 0; Bề lõm quay xuống dưới khi a < 0

d Đồ thị hàm giá trị tuyệt đối y

0 x víi x

-1 0 1 2 3 4 X -1

y

2 1

-1 0 1 2 3 4 x -1

3 2 1

Đồ thị hàm số thuộc hai tia phân giáccủa góc vuông I và II (hình1d)

2 x 1 víi 1

1 x 0 víi 0

0 x 1 - víi 1 -

f Nhận xét:

* Đồ thị hàm số y = f(x) và y = f(-x) đối xứng nhau qua trục tung

*Hàm số y = f( x) có f(x) = f(-x) với mọi x nên có đồ thị nhận trục tung làm trụcđối xứng Vì vậy khi vẽ chỉ cần:

+ Vẽ đồ thị y = f(x) với x 0+ Lấy đối xứng phần vừa vẽ qua trục tung

* y =x không phải là hàm số nên ta không yêu cầu học sinh vẽ đồ thị hàm số mà chỉcần vẽ đường biểu diễn mói quan hệ

2 Ví dụ:

*Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số y = x2 – 4x +3

+ TXĐ: x  R+ Tính biến thiên: Hàm số đồng biến với x > 2

Nghịch biến với x < 2

Có giá trị nhỏ nhất là y = -1 khi x = 2+ B ng giá tr : ảng giá trị: ị: y

4

-1 0 1 x -1

Nhận xét: Đồ thị hàm số là Parabol(P) có đỉnh D(2; -1) đối xứng qua đường

thẳng x = 2, bề lõm quay lên trên

0x víix

+ B ng giá tr : ảng giá trị: ị:

1

3

0x nÕu22xx

-2 2

Nên đồ thị hàm số là hai nhánh Parabol y

y = -x2 + 2x + 2 nếu x 0

y = -x2 - 2x + 2 nếu x  0

-3 -2 -1 0 1 2 3 x

Nhận xét: Đồ thị hàm số y = x2 +2 x +2 nhận trục tung làm trục đối xứng

3 Ứng dụng: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

Nhận xét: Điểm thấp nhất (cao nhất) trên đồ thị là điểm có tung độ nhỏ nhất (lớn

nhất), tại đó hàm số nhận giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) Vì vậy khi tìm giá trị lớn nhất (nhỏnhất) của hàm số ta có thể vẽ đồ thị hàm số rồi tìm điểm cao nhất (thấp nhất) của đồ thị

*Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x 1  x 2

Giải:

2)x(1 1

2)(x 32x

Đồ thị hàm số gồm các phần đường thẳng y = 2x – 3 (x > 2)

y = 2x + 3 (x < 1) và đoạn y = 1 (1 x 2)Nên đồ thị hàm số là hai nhánh Parabol y = x2 +2 x+2 với x  0 và

y = -x2 +2 x+2 với x < 0Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là Max y = 3 khi x = 1 hoặc x = -1

-1)(x 32x-x-

2 2

Nên đồ thị hàm số là hai nhánh Parabol y = -x2 -2 x+3 với x  1 và

y = -x2 +2 x+1 với x < 1 y

-1 0 1 3/2 2 x -1

-2 -9/4

Bài 3: Trong mặt phẳng toạ độ x0y vẽ tập hợp các điểm M(x;y) mà toạ độ (x;y)

thoả mãn x 1+ y 2=1

DẠNG V: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA CÁC ĐỒ THỊ

Cơ sở lí thuyết:

+Điểm M(xM;yM) đồ thị hàm số y = f(x)  yM = f(xM) + Vị trí tương đối giữa đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) phụ thuộc vào sốđiểm chung của hai đồ thị

Giả sử M(xM;yM) là một điểm chung của đồ thị các hàm số y = f(x) và y=g(x)

f(x)y

 Vậy vị trí tương đối giữa đồ thị hàm số y = f(x) và y=g(x) phụ thuộc vào số

nghiệm của phương trình

f(x)y

y

(1) f(x)

y

+ Phương trình hoành độ: f(x) = g(x) (3)

+ Số nghiệm của phương trình (3) quy định vị trí tương đối giữa đồ thị hàm số

y = f(x) và y=g(x), (f(x) và g(x) có bậc 2)

Hai đồ thị cắt nhau  phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt

Hai đồ thị tiếp xúc  phương trình (3) có nghiệm kép

Hai đồ thị không cắt nhau  phương trình (3) vô nghiệm

* Để biện luận vị trí tương đối giữa các đồ thị ta biện luận số nghiệm củaphương trình (3)

* Để xác định toạ độ điểm chung giữa các đồ thị ta giải phương trình (3) tìmhoành độ x = x0, dựa vào phương trình (1) hoặc (2) để xác định tung độ tương ứng y =

y0

KẾT LUẬN CHUNG

3m

 m = 3

+ d cắt d1  m 2m – 3  m  3

+ Không có giá trị nào của m để d trùng với d1

b Tìm các giá trị của m để hai đường thẳng vuông góc Xác định toạ độ điểmchung cho từng trường hợp

Giải:

+ d vuông góc với d1  m(2m – 3) = -1

 2m2 – 3m + 1 = 0  m = 1 hoặc m =

2 1

+ Với m = 1 ta có d: y = x + 2 và d1: y = -x + 2 vuông góc với nhau

Toạ độ điểm chung của d và d1 là nghiệm của hệ

2xy

2y

Vậy với m = 1 hai đường thẳng vuông góc với nhau tại A(0;2)

x + 1 và d1: y = -2x + 2 vuông góc với nhau

Toạ độ điểm chung của d và d1 là nghiệm của hệ

6 y

6

; 5 2

Ví dụ 2:

Biện luận theo m vị trí tương đối của đồ thị các hàm số y = x2 - 4x + m (P) và y

= 2x + 1 (d) Trong trường hợp tiếp xúc, tìm toạ độ điểm tiếp xúc

y

(1) m4x - x

Với m = 10 phương trình (3) trở thành x2 - 6x + 9 = 0  x = 3 thay vào (2) ta có y

= 7

Vậy với m = 10 thì (P) và (d) tiếp xúc với nhau tại điểm A(3;7)

+ (P) không giao nhau với (d)  phương trình (3) vô nghiệm

y

(1) 84x - x

y

2 2

+ Phương trình hoành độ x2 – 4x – 8 = mx2 + (m + 2)x + 8

 (m – 1)x2 + (m + 6)x + 16 = 0 (3)+ (P) và (P') có không quá một điểm chung  phương trình (3) có không quámột nghiệm

- Xét m = 1, phương trình (3) có dạng 7x + 16 = 0  x = -

7

16

là nghiệm duynhất

Vậy với m = 1 (P) và (P' ) cắt nhau tai một điểm

- Xét m  1 (P) và (P' ) có không quá một điểm chung    0

 (m+6)2 – 64(m – 1)  0

 m2 – 52m + 100  0

 26 – 576 m  26 + 576 m 1Vậy (P) và (P' ) có không quá một điểm chung 26 - 576 m  26 + 576

+ Nên đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) có điểm chung (x0;y0)

Do đó nếu các đồ thị y = f(x) và y = g(x) trên cùng một mặt phẳng toạ độ thì sốđiểm chung của chúng đúng bằng số nghiệm của phương trình (1)

* Cách giải bài toán:

+ Biện luận số nghiệm của phương trình f(x) = g(x) (1) bằng phương pháp đồ thị+ Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) (C) và y = g(x) (C' )

+ Theo đồ thị ta có:

m<1 phương trình (1) vô nghiệmm=1 phương trình (1) cs vô số nghiệm: 1 x 2m>1 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

Ví dụ 2: Với giá trị nào của a, phương trình sau có nghiệm duy nhất 2x  a

+1= x 3 (1)

Giải:

Phương trình (1)  2x  a = x 3 -1

-2 -1 0 1 2 3 4 -1

2 2

a x a x

a x a x

3

x x

x a x

x 2  x-k =  

2

1 -

x

-(1) 2k 1

4xx

2 2

y 5

Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một toạ độ

y = -x2+4x-1 là Parabol(P1) có giao với trục tung là (0;-1) nhận S(2;3) là

y=2k là đường thẳng song song với trục 0xKhi đó phương trình (x-1)2=2 x  k có 4 nghiệm phân biệt  (d) cắt (P1) và (P2) tại 4

điểm phân biệt 

3 2 1

3 2

1

k k

0b1a

- b

0a

Vậy đường thẳng y=-1 luôn tiếp xúc với (P): y =mx2-2mx+(m-1) m 0

Bài 3: Cho Parabol(P) y= x5+5x-5 Gọi (d) là đường thẳng đi qua A(3;2) và hệ

+ Hàm số y=f(x) (có phụ thuộc vào tham số m) luôn đi qua điểm M (x0;y0) 

c b a

Giải hệ điều kiện (2) tìm x0;y0

+ (Thử lại) kết luận điểm cố định

0 3 2 0 0

0

y x

0

0

y x

Vậy đường thẳng đi qua điểm M(

2

7

; 2

0 2 0

0 0

0 0

0 0

y x

y x

y x

1 0

0

y x

 Vậy đường thẳng đi qua điểm M(-1; 1) với m

3 2

0 2

0 4

0 0

2 0 0

2 0

2 0

y x

x

x x

2 0

0

y x

Vậy (P) đi qua điểm M(2; 15) với mọi m

Bài tậpBài 1: Tìm điểm cố định mà mỗi đường thẳng đi qua với mọi giá trị của tham số

a (d): y = (2m +1)x – 3m + 2

b (b): (a-1)x + (2a+1)y = 3

c (a): (2m+1)x + (3m-1)y = 4Bài 2: Tìm m để các đường thẳng đồng quy

(d1): 2x –3y = -1(d2): (m-1)y = (m+1)x –2(d3): (2m+1)x +(3m-1)y = 4

DẠNG VII: QUỸ TÍCH ĐẠI SỐ

* Cơ sở lý thuyết:

+ Điểm M(xM; yM) có toạ độ thoả mãn yM =f(xM) thì M thuộc đồ thị hàm số

y = f(x)

+ Hàm số và đồ thị của nó tương ứng là 1-1

1 Cách giải bài toán:

Tìm tập hợp điểm M(xM; yM) biết toạ độ xM; yM phụ thuộc vào tham số m

Giải:

+ Biểu diễn toạ độ của M theo tham số

+ Từ biểu thức xM; yM khử tham số m, biểu diễn yM= f(xM)

+ Kết luận tập hợp điểm M là đồ thị hàm số y = f(x)