thực hiện phân dạng bài tập về hàm số và đồ thị để giảng dạy toán 9 giúp học sinh giải nhanh các bài tập về hàm số và đồ thị

Với các khái niệm hàmbậc nhất, bậc hai và các dạng đồ thị tương ứng, phần hàm số được phân lượng thờigian không nhiều.. Qua thực tế giảng dạy nhiều năm ở bậc THCS và tìm hiểu tâm lý của

PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ

Toán học là môn khoa học cơ bản, có liên quan đến nhiều ngành, nhiều lĩnhvực khác nhau Các thành tựu của toán học luôn góp phần to lớn vào việc cải tạo tựnhiên, đem lại lợi ích phục vụ cho cuộc sống của loài người ngày một tốt đẹp hơn

Dạy toán học nhằm trang bị cho học sinh một hệ thống tri thức khoa học phổthông cơ bản tạo điều kiện cho các em được hình thành và phát triển các phẩm chất,năng lực trí tuệ, đồng thời trang bị cho các em hệ thống tri thức đảm bảo đủ đểnghiên cứu và khám phá thế giới xung quanh, góp phần cải tạo thế giới, cải tạo thiênnhiên mang lại cuộc sống ấm no hạnh phúc cho mọi người

Trong chương trình toán bậc trung học cơ sở, hai chủ đề lớn của môn đại số là "Số"

và "Hàm số" Khái niệm "Hàm số" xuyên suốt chương trình môn đại số ở phổ thông,bắt đầu từ lớp 7 và nó là kiến thức trọng tâm của môn đại số Với các khái niệm hàmbậc nhất, bậc hai và các dạng đồ thị tương ứng, phần hàm số được phân lượng thờigian không nhiều Tuy vậy bài tập về hàm số thì thật là nhiều dạng và không thểthiếu trong các kỳ kiểm tra, kỳ thi Khái niệm hàm số là khái niệm trừu tượng màthời gian luyện tập lại không nhiều, nên kết quả của học sinh không cao

Qua thực tế giảng dạy nhiều năm ở bậc THCS và tìm hiểu tâm lý của đốitượng học sinh tôi thấy các bài tập về đồ thị và hàm số học sinh còn rất lúng túng

chính vì vậy tôi đã quyết định tiến hành nghiên cứu: " Thực hiện phân dạng bài tập

về hàm số và đồ thị để giảng dạy toán 9 giúp học sinh giải nhanh các bài tập về hàm số và đồ thị".

Trong đề tài này tôi cố gắng làm sáng tỏ khái niệm hàm số, đồ thị và đưa ramột số dạng bài tập về hàm số và các bài tập có liên quan

Bằng cách sắp xếp các dạng toán, phương pháp truyền thụ phù hợp với đốitượng học sinh, phát huy tính tích cực của học sinh, chú ý sửa sai cho các em,

tôi đã giúp học sinh hiểu đây là phần bài tập có thuật giải rõ ràng, chính xác, cónhiều nội dung ứng dụng phong phú Hàm số còn được coi là công cụ giải quyết một

số bài toán khác như tìm cực trị, giải phương trình, giải bất phương trình, sau đây lànội dung đề tài

PHẦN IINỘI DUNG ĐỀ TÀI Chương I: lý thuyết cơ bản

Để làm tốt các bài tập về hàm số và đồ thị trước hết chúng ta và học sinh cần nắm vững khái niệm hàm số

Kí hiệu: f: X Y

x a y = f(x)

Ta gọi X là tập nguồn của ánh xạ f

Y là tập đích của ánh xạ fPhần tử y = f(x) Y gọi là ảnh của x qua ánh xạ f

b Các loại ánh xạ:

* Đơn ánh

Ánh xạ: f: X Y

x a y = f(x)Ánh xạ f là đơn ánh  x1, x2 X: x1  x2 thì f(x1) f(x2)

Hoặc f là toàn ánh  phương trình f(x) = y luôn có nghiệm với mỗi y y cho trước

2 Hàm số:

a Theo quan điểm hiện đại, định nghĩa hàm số dựa trên các khái niệm tập hợp

và ánh xạ: Hàm số là một ánh xạ từ tập hợp số X đến tập hợp số Y

Trong chương trình sách giáo khoa trung học cơ sở (1991 - 2001) Khái niệm hàm số được trình bày trong sách giáo khoa lớp 7 (được nhắc lại trong sách giáo khoa lớp 9) như sau:

Một hàm số f đi từ tập hợp số X đến tập hợp số Y là một quy tắc cho tương ứng mỗi giá trị x  X một và chỉ một giá trị y Y mà kí hiệu là y = f(x)

Người ta viết: f: X Y

x a y = f(x)

X là tập xác định, x X là biến số, y = f(x) là giá trị của hàm số f tại x Trong chương trình sách giáo khoa mới (2001) định nghĩa khái niệm hàm số ở toán 7 đã nêu rõ những thuộc tính này: " Giả sử x và y là hai đại lượng biến thiên và nhận các giá trị số Nếu thay đổi phụ thuộc vào x sao cho: Với mỗi giá trị của x ta xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x gọi là biến số"

* Chú ý: Như vậy hàm số dù được định nghĩa bằng cách nào cũng đều có

thuộc tính bản chất:

+ X và Y là hai tập hợp số

+ Sự tương ứng: ứng với mỗi số x  X đều xác định duy nhất một số y  Y

+ Biến thiên: x và y là các đại lượng nhận giá trị biến đổi

+ Phụ thuộc: x là đại lượng biến thiên độc lập còn y là đại lượng biến thiên phụ thuộc

b Đồ thị hàm số: (Dựa trên khái niệm tập hợp)

+ Đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp các điểm của mặt phẳng toạ độ có toạ

+ Cách 1: Cho quy tắc tương ứng thể hiện bởi công thức y = f(x)

+ Cách 2: Cho quan hệ tương ứng thể hiện bởi bảng giá trị

 là trục đối xứng

Chương I: lý thuyết cơ bản

* Ví dụ 2: Tìm miền giá trị của hàm số y = x 6  7  x

Giải

x x

x

Vậy miền giá trị của hàm số y = x 6  7  x với x R là y R, y 1

* Ví dụ 3: Tìm miền giá trị của hàm số y = x2- 2x + 3 với x [2;3]

Giải:

Hàm số y = x2+ 2x + 3 có a = 1 > 0 nên đồng biến với x 1

Vậy với x [2;3] ta có y(2)  y(3)  3 y 6

Vậy miền giá trị của hàm số y = x2+ 2x + 3 với x [2;3] là [3;6]

*Ví dụ 4: Tìm miền giá trị của hàm số y = x2- 4x + 3

x 2 2







x 6 (1)Giải:

Giả sử y là một giá trị của hàm số  phương trình

2 x x

x 2 2

Vậy giá trị của hàm số là 1< y 

7 23

x 2 2

4 2

Giải phương trình

2 x x

x 2 2

x 2 2

m x f

) (

) (

m x f

) (

) (

(2)Nếu x0  D thoả mãn (2) thì x0 là nghiệm của phương trình (1)

Ví dụ 1: Giải phương trình 6x – x2 – 2= x 1  x 2  2x 3  4x 13 (1)

+Tập xác định: R

+Ta có VT = 6x – x2 – 2 = 7 – (x - 3)2 7 dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 3

VP = x 1  x 2  2x 3  4x 13  7 dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2

7 2 x - 6x 2

x x

x x

9 4

28 VT

VP  x =

4 9

Kết luận nghiệm của phương trình là x =

4 9

a a

b b

a

8 2

2 2 2

Bài 3: Gọi x,y là nghiệm của hệ phương trình

1 a y x

2 2

2 y a x

1 1

ax

y b ax

y b

giải hệ phương trình ta có a,bKết luận công thức hàm số

* Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị là đường thẳng d đi qua điểm A(1;1) và điểm B(-1;2)

b a

1 - a

b

Kết luận hàm số cần tìm là y =

2

3 2

2 1

Vì d song song với d' nên a = 2  b =



c Đồ thị hàm số đi qua điểm A(x 1 ;y 1 ) và vuông góc với đường thẳng d' có

1 -

 b = y1+

1 a

1

x1

Kết luận hàm số cần tìm là y = x

1 a

1 -

+ y1 +

1 a

Vì d tiếp xúc với Parabol (P): y = a'x2 + b'x + c' nên phương trình hoành độ giao

điểm: ax + b = a'x2 + b'x + c' có nghiệm kép

 a'x2 + (b' – a)x + c' – b = 0 có nghiệm kép

 =(b' - a)2- 4a'(c' – b) = 0 (2)Giải hai hệ phương trình (1) và (2) để tìm a và b Kết luận công thức hàm số

Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị là đường thẳng d đi qua điểm

A(-1;2) và tiếp xúc với Parabol

d đi qua điểm A(-1;2) d nên –a + b = 2 (1)

Vì d tiếp xúc với Parabol (P): y = x2 + 1 nên phương trình hoành độ giao điểm: ax + b = x2 + 1 có nghiệm kép

2 a

2

2 a a

a b

2 2

a

a b

0

a b

Vậy hàm số cần tìm là y = -2x

2 Xác định hàm số bậc hai y = ax 2 + bx + c có đồ thị là Pharabol(P)

a Đi qua 3 điểm phân biệt A(x 1 ;y 1 ), B(x 2 ;y 2 ) , C(x 3 ;y 3 )

Giải:

Ví dụ: Xác định hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c có đồ thị là Pharabol (P) đi qua 3

điểm phân biệt A(-1;0), B(0;3), C(1;0)

0

c b a c

c b a

c b a

(2)

2 4

4

1 2

2

2

a

ac b

a b

c b a

0 2

2

2 ac a b

b a

c b a

c b a

Vậy hàm số cần tìm có công thức y = x2- 2x - 1

c (P) có toạ độ đỉnh D(x 0 , y 0 ) và tiếp xúc với đường thẳng d: y=a'x+b'

Ví dụ: Xác định hàm số bậc hai y =ax2 + bx + c có đồ thị là Parabol (P) nhận

D(1;1) là đỉnh và tiếp xúc với đường thẳng d: y = 2x – 2

Giải:

Vì (P) có toạ độ đỉnh D(1;1) nên  1

2a

b -

4

4 1

4

1

2

0 ) 2 ( 4

0 2

0 4 4 8 4

2 2

a ac b

b a

b a ac b

0 4 12

0 2

2

a ac b

b a

b a

c b a

Vậy hàm số cần tìm có công thức y = x2 - 2x + 2

3 Bài tập:

Bài 1: Cho đường thẳng d có phương trình y = -2x – 1

a Viết phương trình đường thẳng song song vớ d và đi qua gốc toạ độ

b Viết phương trình đường thẳng vuông góc với đường thẳng d và đi qua điểm 1;5)

N(-Bài 2: Xác định a,b,c để Parabol (P): y = ax2 + bx + c đi qua O(0;0) và có đỉnh là D(1;-1)

Bài 3: Cho Parabol (P): Y = ax2 + bx + 1 (a 

2

1

)

a Xác định a,b để đỉnh Parabol(P) nằm trên đường thẳng d: y = 2x + 1

b Với a, b vừa tìm được vẽ Parabol(P) và đường thẳng d trên cùng một mặt phẳng toạ độ

4 Xác định công thức hàm số khi biết phương trình hàm

Thay vào công thức ban đầu ta có f(t) = (

1 - t

1

)2 – 1  f(t) = 2

1) - (t

t) - t(2

Vì tương ứng hàm số không phụ thuộc vào kí hiệu nên coi f(x) = 2

1) - (x

x) - x(2

+Với x = 0 thay vào công thức vừa tìm được ta có f(0) = 0

Vậy hàm số cần tìm là f(x) = 2

1) - (x

x) - x(2

Ví dụ 2: Tìm biểu thức f(x) của hàm số biết f(x) + 2f(

1 f x

1

x 1

1 2f x

1 f

1 ) ( 2 1

1 2 )

(

x x f x

f

x x f x

2 1

2 4

1 2 ) (

x x f x f

x x f x f



2

4 3

2 ) (

x

x x

8x - 4

) 4 (



 x x

2 5x - 4 - 10x

và f(2) = -1Bài 2: Xác định biểu thức f(x) và g(x) biết

x g x

x f

x x

g x

f

1 2

2 1 2 2 ) 1 2 (

-1 0 1 2 3 4 X -1

y

2 1

g x x

f

x x

g x

f

2

2 2 3 2 1

3 1 6 ) 1 3 (

b

4

; 2

+ Trục đối xứng: x =

2a

b



+ Bề lõm quay lên trên khi a > 0; Bề lõm quay xuống dưới khi a < 0

d Đồ thị hàm giá trị tuyệt đối y

0 x víi x

Đồ thị hàm số thuộc hai tia phân giác

2

2 x 1 víi

1

1 x 0 víi

0

0 x 1 - víi

1

-f Nhận xét:

* Đồ thị hàm số y = f(x) và y = f(-x) đối xứng nhau qua trục tung

*Hàm số y = f( x) có f(x) = f(-x) với mọi x nên có đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng Vì vậy khi vẽ chỉ cần:

+ Vẽ đồ thị y = f(x) với x 0

-1 0 1 2 3 4 x -1

3 2 1

-1 0 1 x -1

+ Lấy đối xứng phần vừa vẽ qua trục tung

* y =x không phải là hàm số nên ta không yêu cầu học sinh vẽ đồ thị hàm số mà chỉ cần vẽ đường biểu diễn mói quan hệ

Nhận xét: Đồ thị hàm số là Parabol(P) có đỉnh D(2; -1) đối xứng qua đường

thẳng x = 2, bề lõm quay lên trên

0x víix

0x nÕu22xx

-2 2

Nên đồ thị hàm số là hai nhánh Parabol y

Nhận xét: Điểm thấp nhất (cao nhất) trên đồ thị là điểm có tung độ nhỏ nhất (lớn

nhất), tại đó hàm số nhận giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) Vì vậy khi tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số ta có thể vẽ đồ thị hàm số rồi tìm điểm cao nhất (thấp nhất) của đồ thị

2)x(1 1

2)(x 32x

Đồ thị hàm số gồm các phần đường thẳng y = 2x – 3 (x > 2)

y = 2x + 3 (x < 1) và đoạn y = 1 (1 x 2)Nên đồ thị hàm số là hai nhánh Parabol y = x2 +2 x+2 với x  0 và

y = -x2 +2 x+2 với x < 0Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là Max y = 3 khi x = 1 hoặc x = -1

-1)(x 32x-x-

2 2

Nên đồ thị hàm số là hai nhánh Parabol y = -x2 -2 x+3 với x  1 và

y = -x2 +2 x+1 với x < 1 y

 Vậy vị trí tương đối giữa đồ thị hàm số y = f(x) và y=g(x) phụ thuộc vào số

nghiệm của phương trình

f(x)y

1 Cách giải:

a Bài toán xác định vị trí tương đối giữa đồ thị hàm số y = f(x) và y=g(x), (f(x) và g(x) có bậc 2)

+ Toạ độ điểm chung (nếu có) của đồ thị hàm số là nghiệm của hệ

g(x)

y

(1)

Hai đồ thị cắt nhau  phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt

Hai đồ thị tiếp xúc  phương trình (3) có nghiệm kép

Hai đồ thị không cắt nhau  phương trình (3) vô nghiệm

* Để biện luận vị trí tương đối giữa các đồ thị ta biện luận số nghiệm của phương trình (3)

* Để xác định toạ độ điểm chung giữa các đồ thị ta giải phương trình (3) tìm hoành độ x = x0, dựa vào phương trình (1) hoặc (2) để xác định tung độ tương ứng

y = y0

KẾT LUẬN CHUNG

1 Chú ý:

Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng d: y = ax + b và d1: y = (2m – 3)x + 2

+ d song song với d1  a = a1; b  b1

3-2mm

3m

 m = 3

+ d cắt d1  m 2m – 3  m  3

+ Không có giá trị nào của m để d trùng với d1

b Tìm các giá trị của m để hai đường thẳng vuông góc Xác định toạ độ điểm chung cho từng trường hợp

Giải:

+ d vuông góc với d1  m(2m – 3) = -1

 2m2 – 3m + 1 = 0  m = 1 hoặc m =

2 1

+ Với m = 1 ta có d: y = x + 2 và d1: y = -x + 2 vuông góc với nhau

Toạ độ điểm chung của d và d1 là nghiệm của hệ

2xy

2y

Vậy với m = 1 hai đường thẳng vuông góc với nhau tại A(0;2)

x + 1 và d1: y = -2x + 2 vuông góc với nhau

Toạ độ điểm chung của d và d1 là nghiệm của hệ

6 y

6

; 5 2

Ví dụ 2:

Biện luận theo m vị trí tương đối của đồ thị các hàm số y = x2 - 4x + m (P) và y = 2x + 1 (d) Trong trường hợp tiếp xúc, tìm toạ độ điểm tiếp xúc

y

(1) m4x - x

Với m = 10 phương trình (3) trở thành x2 - 6x + 9 = 0  x = 3 thay vào (2) ta có y

= 7

Vậy với m = 10 thì (P) và (d) tiếp xúc với nhau tại điểm A(3;7)

+ (P) không giao nhau với (d)  phương trình (3) vô nghiệm

y

(1) 84x - x

y

2 2

+ Phương trình hoành độ x2 – 4x – 8 = mx2 + (m + 2)x + 8

 (m – 1)x2 + (m + 6)x + 16 = 0 (3)+ (P) và (P') có không quá một điểm chung  phương trình (3) có không quá mộtnghiệm

- Xét m = 1, phương trình (3) có dạng 7x + 16 = 0  x = -

7

16

là nghiệm duy nhất

Vậy với m = 1 (P) và (P' ) cắt nhau tai một điểm

- Xét m  1 (P) và (P' ) có không quá một điểm chung    0

 (m+6)2 – 64(m – 1)  0

 m2 – 52m + 100  0

 26 – 576 m  26 + 576 m 1Vậy (P) và (P' ) có không quá một điểm chung  26 - 576 m  26 + 576

3 ứng dụng:

Biện luận số nghiệm của phương trình f(x) = g(x)

* Cơ sở lí thuyết:

+ Giả sử phương trình (1) có nghiệm x=x0 khi đó giá trị tương ứng của các vế

là f(x0) = g(x0) = y0

+ Nên đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) có điểm chung (x0;y0)

Do đó nếu các đồ thị y = f(x) và y = g(x) trên cùng một mặt phẳng toạ độ thì số điểm chung của chúng đúng bằng số nghiệm của phương trình (1)

* Cách giải bài toán:

+ Biện luận số nghiệm của phương trình f(x) = g(x) (1) bằng phương pháp đồ thị+ Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) (C) và y = g(x) (C' )

+ Theo đồ thị ta có:

m<1 phương trình (1) vô nghiệm

m=1 phương trình (1) cs vô số nghiệm: 1 x 2

m>1 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

Ví dụ 2: Với giá trị nào của a, phương trình sau có nghiệm duy nhất 2x  a

2 2

a x a x

a x a x

3

x x

x a x

Ví dụ 3:

Tìm tất cả các giá trị thực của k để phương trình: (x-1)2 = 2 x  k có bốn nghiệm phân biệt

-2 -1 0 1 2 3 4 -1

Giải:

Ta có (x-1)2 = 2 x  k  x  k =  

2

1 -

x 2  x-k =  

2

1 -

x

-(1) 2k 1

4xx

2 2

y 5

Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một toạ độ

y = -x2+4x-1 là Parabol(P1) có giao với trục tung là (0;-1) nhận S(2;3) là đỉnh

y=2k là đường thẳng (d) song song với 0x

b Xét hàm số y=x2+1 và y=2k

Vẽ đồ thị hàm số trên cùng hệ trục toạ độ

y=x2+1 là Parabol(P2) có đỉnh là S'(0;1)

y=2k là đường thẳng song song với trục 0x

Khi đó phương trình (x-1)2=2 x  k có 4 nghiệm phân biệt (d) cắt (P1) và (P2) tại 4

điểm phân biệt 

3 2 1

3 2

1

k k

Bài 2: Chứng minh (P): y=mx2-2mx+(m-1) tiếp xúc với mọi đường thẳng cố định với mọi m  0

0b1a

- b

0a

Vậy đường thẳng y=-1 luôn tiếp xúc với (P): y =mx2-2mx+(m-1) m 0

Bài 3: Cho Parabol(P) y= x5+5x-5 Gọi (d) là đường thẳng đi qua A(3;2) và hệ

c b a

Giải hệ điều kiện (2) tìm x0;y0

+ (Thử lại) kết luận điểm cố định

2 Ví dụ:

Ví dụ 1: Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d): y=(2m+1)x-3m+2 đi qua với

0 3 2

0 0

0

y x

0

0

y x

Vậy đường thẳng đi qua điểm M(

2

7

; 2

0 2 0

0 0

1 0

0

y x

 Vậy đường thẳng đi qua điểm M(-1; 1) với m

3 2

0 2

0 4

0 0

x

x x

2 0

0

y x

Vậy (P) đi qua điểm M(2; 15) với mọi m

Bài tậpBài 1: Tìm điểm cố định mà mỗi đường thẳng đi qua với mọi giá trị của tham số

1 Cách giải bài toán:

Tìm tập hợp điểm M(xM; yM) biết toạ độ xM; yM phụ thuộc vào tham số m

Giải:

+ Biểu diễn toạ độ của M theo tham số

+ Từ biểu thức xM; yM khử tham số m, biểu diễn yM= f(xM)

+ Kết luận tập hợp điểm M là đồ thị hàm số y = f(x)

* Chú ý: Khi tham số m có điều kiện thì từ điều kiện của tham số chỉ ra điều kiện

của x để giới hạn quỹ tích

2 Ví dụ:

Ví dụ 1:

Tìm tập hợp giao điểm nếu có của hai đường thẳng

(d1): (m-1)x + 2y = 3(d2): mx + y = -4

mx

y x

3 2 ) 1 (

y mx

y x m

mx y

x m

11 (

m

m y

m

m y

m x

m y

m x