Phát hiện, sửa chữa các sai lầm và xây dựng hệ thống công thức để giúp học sinh giải nhanh các bài tập trắc nghiệm phần cực trị của hàm số

Phát hiện và sửa chữa các sai lầm thường gặp của học sinh khi giải bài toán về cực trị của hàm số.. Vì vậy, học sinh phải có kiến thức tốt và có phương pháp giải nhanh để lựa chọn đáp án

MỤC LỤC

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi nghiên cứu 3

2.3.1 Phát hiện và sửa chữa các sai lầm thường gặp của học sinh khi

giải bài toán về cực trị của hàm số

4

2.3.2 Xây dựng hệ thống công thức giúp học sinh giải nhanh các bài

tập trắc nghiệm

8

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Chủ đề cực trị của hàm số trong chương trình lớp 12 là nội dung quan trọng

và khó đối với học sinh; có thể nói đây là nội dung được sử dụng và khai thác để giải các bài toán cho nhiều phần khác trong chuyên đề của hàm số

Từ năm 2017 kỳ thi THPT Quốc gia đối với môn Toán chuyển sang hình thức thi trắc nghiệm khách quan với thời gian 90 phút mà học sinh phải giải quyết 50 câu hỏi Vì vậy, học sinh phải có kiến thức tốt và có phương pháp giải nhanh để lựa chọn đáp án chính xác; đặc biệt đối với bài thi trắc nghiệm có 4 lựa chọn thì người ra đề luôn tìm cách đưa ra phương án nhiễu tốt nhất, như vậy việc phát hiện các sai lầm và có biện pháp sửa chữa các sai lầm cho học sinh là một yêu cầu cấp thiết để giúp học sinh hoàn thành tốt bài thi

Đây là năm đầu tiên Bộ Giáo dục và Đào tạo tổ chức thi môn Toán dưới hình thức trắc nghiệm khách quan Vì vậy các tài liệu, các bài viết giúp học sinh giải quyết nhanh các bài toán về phần cực trị, cũng như chỉ ra các khó khăn và sai lầm của học sinh trong khi giải bài toán trắc nghiệm phần cực trị là chưa có

Từ những lý do trên tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm của mình là: “Phát hiện, sửa chữa các sai lầm và xây dựng các công thức giúp học sinh giải nhanh các bài toán phần cực trị hàm số”.

1.2 Mục đích nghiên cứu

Xây dựng các công thức và phát hiện, sửa chữa các sai lầm cho học sinh để học sinh hoàn thành bài thi trắc nghiệm khách quan môn Toán đạt kết quả cao

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Xây dựng công thức tính nhanh về các bài toán cực trị của hàm số, đồng thời chỉ ra các sai lầm và cách khắc phục sai lầm của học sinh trong việc giải toán về cực trị của hàm số

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Xây dựng cơ sở lý thuyết về xây dựng các công thức tính nhanh giúp học sinh

có lựa chọn chính xác câu hỏi trắc nghiệm khách quan

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm.

+ Điều kiện đủ để hàm số có cực trị:

Định lý 1: Giả sử hàm f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên (a; x0) và (x0; b) Khi đó

a) Nếu f '(x) 0 với mọi x (a;x ) 0 và f '(x) 0 với mọi x (x ;b) 0 thì hàm f đạt cực tiểu tại x0

b) Nếu f '(x) 0 với mọi x (a;x ) 0 và f '(x) 0 với mọi x (x ;b) 0 thì hàm f đạt cực đại tại x0 [1]

Quy tắc 1:

Bước 1: Tìm f '(x)

Bước 2: Tìm các điểm x i 1,2, i  mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng không hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm

Bước 3: Xét dấu f '(x) Nếu f '(x) đổi dấu khi x qua điểm xi thì hàm số đạt cực trị tại xi [1]

Định lý 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp 1 trên (a; b) chứa điểm x0,

0

f '(x ) 0 và f có đạo hàm cấp 2 khác 0 tại điểm x0

a) Nếu f " x 0 0 thì x0 là điểm cực đại của hàm số

b) Nếu f " x 0 0 thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số [1]

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Năm 2017 Bộ Giáo dục và Đào tạo tổ chức kỳ thi THPT Quốc gia cho môn Toán thi bằng hình thức trắc nghiệm khách quan, mỗi câu có 4 phương án trả lời

và có tổng số 50 câu buộc học sinh phải giải trong 90 phút Như vậy, thời gian bình quân để giải 1 câu bằng 1,8 phút; mỗi một câu hỏi giữa các phương án có độ nhiễu rất cao và dễ làm cho học sinh có những lựa chọn sai lầm

Các khó khăn của học sinh khi học phần cực trị của hàm số:

- Sử dụng dấu hiệu I về tìm cực trị học sinh thường không để ý đến các điểm

mà tại đó đạo hàm không tồn tại;

- Đọc số các điểm cực trị khi cho biết đồ thị hoặc đạo hàm còn dễ sai lầm vì chỉ để ý đến số nghiệm của đạo hàm mà không xét đến việc đổi dấu của đạo hàm;

- Sử dụng dấu hiệu II học sinh thường cho rằng đây là điệu kiện cần và đủ dẫn đến lựa chọn kết quả sai;

- Thời gian giải một bài toán trắc nghiệm khoảng 2 phút Nhưng nếu giải theo phương pháp thông thường học sinh cần phải ít nhất 10 phút Như vậy học sinh sẽ không hoàn thành được bài thi

2.3 Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề.

2.3.1 Phát hiện và sửa chữa các sai lầm thường gặp của học sinh khi giải bài toán về cực trị của hàm số.

2.3.1.1 Áp dụng Quy tắc 1:

Bước 1: Tìm f '(x)

Bước 2: Tìm các điểm x i 1,2, i  mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng không hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm

Bước 3: Xét dấu f '(x) Nếu f '(x) đổi dấu khi x qua điểm xi thì hàm số đạt cực trị tại xi [1]

+ Học sinh chỉ quan tâm đến nghiệm của đạo hàm bậc nhất y' mà học sinh không để ý đến việc đổi dấu của đạo hàm, điều này được thể hiện qua 2 ví dụ minh họa sau:

Câu 1: Cho hàm số f x  có đạo hàm f x'   x1 2 x 2 3 2x3 Tìm

số điểm cực trị của hàm số f x 

Câu 2: Tìm m để hàm số  y x3 3(m1)x29x m  2 có cực đại, cực tiều [2]

 

; 1 3 1 3; B ( ; 1    3) ( 1   3;);

C   ; 4 2; D ( ; 4) (2;    );

Đối với câu 1) học sinh thấy '( ) 0 f x  có 3 nghiệm nên chọn đáp án C, hàm

số có 3 cực trị; học sinh sai lầm ở chỗ qua điểm x = -1 đạo hàm không đổi dấu thì

x = - 1 không phải cực trị của hàm số Đáp án đúng là A, hàm số có 2 cực trị

Qua ví dụ này giáo viên khi dạy phải chú ý cho học sinh đọc số cực trị của hàm số khi biết đạo hàm để khắc phục sai lầm trên

Đối với câu số 2) học sinh có sai lầm là: hàm số có cực trị khi và chỉ khi

'( ) 0

f x  có nghiệm Vì vậy học sinh đưa ra điều kiện ' 9( m1)2 3.9 0nên

học sinh hầu hết chọn đáp án A Học sinh quên rằng khi tam thức bậc 2 có nghiệm

kép thì dấu của nó không thay đổi qua nghiệm kép Đáp án đúng của bài toán này

là đáp án B, điều kiện là:

 ' 9(m1)2  3.9 0  m ( ; 1     3) ( 1   3;)

+ Học sinh chỉ để ý cực trị của hàm số đạt tại các điểm mà '( ) 0 f x  mà không để ý đến các điểm mà tại đó '( ) f x không xác định

Câu 3: Cho hàm số yf x  xác định, liên tục

trên  và có bảng biến thiên là:

Xét các khẳng định sau:

a) Hàm số có đúng một cực trị b) Cực tiểu của hàm số bằng  1

c) Hàm số đạt cực đại tại x 2017

d) Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là x 2016

Số khẳng định đúng là: A 1 B 2 C 3 D 4

Câu 4: Số cực trị của hàm số y x2  2x bằng:

Câu 5: Số cực trị của hàm số yx 1 3 x2 bằng:

A 0 B 1 C 2 D 3

Đối với câu 3) Nhiều học sinh sẽ nghĩ rằng tại x = 2017 đạo hàm không xác định nên hàm số không đạt cực trị tại đó Vì vậy, học sinh sẽ cho rằng khẳng định

x

'

y y

  2016 2017

0 1



 



 0 1

x

'

y y

  2016 2017

0 1



 



 0 1

c) là sai và đồng thời cho rằng khẳng định a) là đúng Ở khẳng định b) và d) nhiều học sinh sẽ cho là đúng vì các em nhầm khái niệm giữa điểm cực trị của hàm số với điểm cực trị của đồ thị hàm số; điểm cực trị của hàm số và giá trị cực trị của hàm số Câu hỏi này sau khi thầy giáo chữa cho học sinh và chốt lại chọn đáp án

A, tức là chỉ có khẳng định c) là đúng

 

2 2

2

2x x Khi x 0;2





Khi đó

 

2x 2 Khi x 0, x 2 y'

2 2x Khi x 0;2







Từ đó y' 0  x1 và qua x = 1 đạo hàm đổi dấu từ + sang – nên học sinh chỉ kết luận hàm số có 1 điểm cực đại tại x = 1

Trong trường hợp này học sinh thường không để ý được tại x =0 và x = 2 hàm

số không có đạo hàm nhưng qua 2 điểm này đạo hàm đổi dấu vì vậy học sinh khẳng định hàm số chỉ có 1 cực trị chứ không phải 3 cực trị dẫn đến chọn đáp án sai

Câu 5: Ta có ' 5 3 2

3



 x y

x ;

2 ' 0

5

Từ đó học sinh thấy qua 2

5



x thì đạo hàm đổi dấu từ - sang + nên hàm số

chỉ có 1 cực tiểu và kết luận hàm số chỉ có 1 cực trị mà học sinh không quan tâm đến điểm x = 0 đạo hàm không xác định nhưng qua x = 0 đạo hàm cũng đổi dấu Trong trường hợp này giáo viên phải giải

thích cho học sinh rõ bằng cách lập bảng biên

thiên và nhấn mạnh lại dấu hiệu tìm điểm cực trị

của hàm số để sửa chữa các sai lầm cho học sinh

Trong khi dạy giáo viên cần làm rõ và chỉ

cho học sinh thấy và quan tâm ngoài các điểm tại đó đạo hàm bằng 0 và đổi dấu thì còn có những điểm thuộc tập xác định của hàm số nhưng tại đó đạo hàm không xác định và qua đó đạo hàm đổi dấu thì nó cũng là cực trị của hàm số

2.3.1.2 Sai lầm của học sinh khi sử dụng dấu hiệu 2 về tìm cực trị

Khi sử dụng quy tắc II để xác định cực trị của hàm số các em cũng quên rằng

đó chỉ là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần và đủ

Quy tắc:

Ÿ  

 

0

0 0

0 0

f x

x

f x







 là điểm cực tiểu; Ÿ  

 

0

0 0

0 0

f x

x

f x







 là điểm cực đại [1] Điều ngược lại nói chung là không đúng (!)

Câu 6: Cho hàm số yf x  mx4 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đạt cực đại tại x 0?

A m = 0; B m > 0 C m < 0 D m 

Một số học sinh trình bày như sau: +) Ta có: f x  4mx3và f x  12mx2

+) Điều kiện để hàm số đạt cực đại tại x = 0 là:  

 





nghiệm Vậy không tồn tại giá trị nào của m để hàm số đạt cực đại tại x 0 và

chọn đáp án D

Phân tích:

Chẳng hạn, với m 1, hàm số có dạng yf x  x4

Ta có: y f x   4x3  0 x 0

Bảng biến thiên:

Suy ra hàm số đạt cực đại tại x = 0

Vậy lời giải trên sai ở đâu ?

Nhớ rằng, nếu x0 thỏa mãn  

 

0

0 0

0 0

f x

x

f x







 là điểm cực đại của hàm số, còn điều ngược lại thì chưa chắc đúng

Vì nếu x0 là điểm cực đại thì vẫn có thể f x0  0

-+

Lí do là điều kiện f x0  0 chỉ là điều kiện đủ để hàm số g x  f x 

nghịch biến trong lân cận x0  h x; 0 h h,  0, khi đó:

0

f x f x x x h x

x

f x f x x x x h







Lời giải đúng là: +) Ta có: f x   4mx3

+) Nếu m 0 thì f x   0 Khi đó hàm số đã cho là hàm hằng yf x  0nên không cực trị

+) Nếu m 0 thì f x  4mx3   0 x 0

v Với m 0 ta có bảng biến thiên:

+

-v Với m 0 ta có bảng biến thiên:

-+

+) Vậy với m 0 thì hàm số đạt cực đại tại x 0

2.3.2 Xây dựng hệ thống công thức giúp học sinh giải nhanh các bài tập trắc nghiệm.

2.3.2.1 Hàm số bậc 3: y  f (x) ax3 bx2 cx d a  0

+ Đạo hàm: yf x  3ax2 2bx c ; Đặt:   1 b2  3ac

+ Điều kiện tồn tại cực trị: y  f (x) có cực trị  y  f (x) có cực đại và

cực tiểu  f x    0 có 2 nghiệm phân biệt   1 > 0 (1)

+ Kỹ năng tính nhanh cực trị: Khi đó f x    0 có 2 nghiệm phân biệt

1, 2

  

 b x

a và hàm số đạt cực trị tại x1, x2 Theo định nghĩa ta

có các cực trị của hàm số là:

Trong trường hợp x1, x2 là số vô tỉ hoặc chứa tham số thì các giá trị cực trị

( ), ( )

f x f x nếu tính theo định nghĩa sẽ phức tạp hơn so với cách tính theo thuật

toán sau đây:

Bước 1: Thực hiện phép chia f (x) cho f (x) ta có:

hay  f x f x q x    r x với bậc   r x   1

Bước 2: Do  

 

2

1

2 2

2

nên



Kết luận: Đối với hàm số tổng quát : y  f (x) ax3bx2 cx d a  0có

0

  thì đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số có phương trình

1

9a (2) Sau đây là một số ví dụ minh họa áp dụng công thức (1) và (2):

Câu 7: Tìm m để hàm số 1 3 2 2 3 3 1

3

y  x mx  m x m có cực đại và cực tiểu: A   ; 1  3; ; B m < 1; C m > - 3; D   ; 1  3;

1

1 1

3 3

 





m

Từ đó học sinh chọn đáp án D

Câu 8: Tìm m để đồ thị hàm số y x 3  x2 mx 3 có đường thẳng đi qua

CĐ, CT vuông góc với d: y  9x  7 [3]

6



m B 1

6



m C 1

3



m D 1

6



m

Học sinh giải: 2

1

1

3

 b  ac  m  m ; hệ số góc của đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là 2 1 2 1 3 





k

a Từ đó k.9 = -1 và rút ra kết quả 1

6



Chọn đáp án B

Câu 9: Cho hàm số y = x3 - 3x 2+ 1 Tích các giá trị cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số bằng: A - 6 B -3 C 0 D 3

Học sinh giải: 2

3

x   a    Nên tích các giá trị cực trị là: -3 đáp án B

Câu 10: Tìm m để khoảng cách từ gốc O(0; 0) đến đường thẳng đi qua 2 điểm

cực trị của đồ thị hàm số 1 3 2 3 2 3

9

y  x  x  m x m  bằng 9 37

37

A.m ; B m = 153

44

 ; C m = 0; D m = 153

44

 và m = 0 + Điều kiện để hàm số có cực trị:

2 1

1

9

 b  ac  m    m m 

+ Phương trình đường thẳng đi qua 2 cực trị:

1

1

9a

y2 m 3 x 2m 9    2 m 3 x y 2m 9 0     (d)

+ Khoảng cách từ O đến d là:

2 2

m 0

37





 

 Vậy m = 0 thỏa mãn yêu cầu Chọn đáp án C

2.3.2.2 Hàm số trùng phương: y ax 4 bx2 c a  0 trên .

Ta có y  4ax3  2bx  2 2x ax 2 b

Suy ra 2 2

0 0

0

2







 





x x

x

a

; Đặt:  b2  4ac

+ Hàm số y ax 4 bx2 c có ba điểm cực trị khi và chỉ khi y 0 có ba

2

ab

a (3)

+ Hàm số y ax 4 bx2 c có 1 điểm cực trị 0 0

2

ab

a (với a 0 )

Với điều kiện (4) ta có

0 0

2

x

x

a







  

  



Suy ra đồ thị hàm số có ba điểm

cực trị là C0; c , ;

b A



b B

-4



H

a Vì 2 điểm A

và B đối xứng nhau qua trục tung nên ABC cân tại C.

+ Ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông.

Tam giác ABC là tam giác vuông khi và chỉ khi ACB 90 0 hay tam giác

ABC vuông cân tại C Khi đó AB BC 2  b3  8a 0

Đồ thị hàm số y ax 4 bx2 c có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một

tam giác vuông khi và chỉ khi 3 0

ab







 (4)

+ Ta có tam giác ABC là tam giác đều  CH  3HB b3  24a 0

Đồ thị hàm số y ax 4 bx2 c có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác đều khi và chỉ khi 3 0

ab









(5)

+ Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh của một tam giác cân có một góc   120 0

+ Ta có ABC có ACB 120 0  BCH  60 0  BH  3CH  3b3  8a 0

Đồ thị hàm số y ax 4 bx2 c có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác có 1 góc   120 0 3 0





 



ab

b a (6)

+ Ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh của một tam giác và tính diện

tích tam giác đó.

Ta có:

CH

2

ABC

2

b b

5 3

32

b a

  (7)

+ Ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh của một tam giác và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Từ tam giác vuông AHC, ta có sin CH CH

ACH

Áp dụng định lý sin vào tam giác ABC ta được



4 8 2

16 sin



R

8

R

a b



 (8)

Một số ví dụ minh họa áp dụng công thức từ (3) đến (8)

Bài 11: Tìm m để hàm số yx4 2m 2x2m2 5m có 3 cực trị [4]

A m < 2 B m > -2 C m < 0 D m > 1

Áp dụng (3) ta có: ab < 0   2m 2  0  m  2 Chọn B

Bài 12: Tìm m để đồ thị hàm số: y x 4  2m 1 x2 m2 có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông [3]

A -1 B 0 C - 2 D 1

Học sinh giải: Áp dụng công thức (4) ta có:

Đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác

vuông 3 0





 



ab

 

 3

m m



 

1

m m

 



 



0

m

  Chọn đáp án B

Bài 13: Tìm m để đồ thị hàm số yx4  2mx2  3 có ba điểm cực trị lập thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đạt giá trị nhỏ nhất [3]

A 0 B 1 C 2 D 31

2

Áp dụng công thức (8) ta có: 3

0 8 8

ab

R

a b

















 

 

3

8 2

m m R

m









3

0 1 2

m m R

m













2

2

m

3

m

3

3

Bài 14: Tìm m để đồ thị hàm số y x 4 2m 2x2m2 5m 5 có các điểm cực đại và điểm cực tiểu lập thành một tam giác đều [3]

A 2 B 31

2 C 2  3 3 D 2  3 3