Phát hiện, sửa chữa các sai lầm và xây dựng hệ thống công thức để giúp học sinh giải nhanh các bài tập trắc nghiệm phần cực trị của hàm số

1 MỤC LỤC Nội dung Trang Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước nghiên cứu 2.3 Các giải pháp để giải vấn đề 2.3.1 Phát sửa chữa sai lầm thường gặp học sinh giải toán cực trị hàm số 2.3.2 Xây dựng hệ thống công thức giúp học sinh giải nhanh tập trắc nghiệm 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 14 Kiến nghị kết luận 15 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Chủ đề cực trị hàm số chương trình lớp 12 nội dung quan trọng khó học sinh; nói nội dung sử dụng khai thác để giải toán cho nhiều phần khác chuyên đề hàm số Từ năm 2017 kỳ thi THPT Quốc gia mơn Tốn chuyển sang hình thức thi trắc nghiệm khách quan với thời gian 90 phút mà học sinh phải giải 50 câu hỏi Vì vậy, học sinh phải có kiến thức tốt có phương pháp giải nhanh để lựa chọn đáp án xác; đặc biệt thi trắc nghiệm có lựa chọn người đề ln tìm cách đưa phương án nhiễu tốt nhất, việc phát sai lầm có biện pháp sửa chữa sai lầm cho học sinh yêu cầu cấp thiết để giúp học sinh hoàn thành tốt thi Đây năm Bộ Giáo dục Đào tạo tổ chức thi mơn Tốn hình thức trắc nghiệm khách quan Vì tài liệu, viết giúp học sinh giải nhanh toán phần cực trị, khó khăn sai lầm học sinh giải toán trắc nghiệm phần cực trị chưa có Từ lý tơi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm là: “Phát hiện, sửa chữa sai lầm xây dựng cơng thức giúp học sinh giải nhanh tốn phần cực trị hàm số” 1.2 Mục đích nghiên cứu Xây dựng công thức phát hiện, sửa chữa sai lầm cho học sinh để học sinh hoàn thành thi trắc nghiệm khách quan mơn Tốn đạt kết cao 1.3 Đối tượng nghiên cứu Xây dựng cơng thức tính nhanh tốn cực trị hàm số, đồng thời sai lầm cách khắc phục sai lầm học sinh việc giải toán cực trị hàm số 1.4 Phương pháp nghiên cứu Xây dựng sở lý thuyết xây dựng cơng thức tính nhanh giúp học sinh có lựa chọn xác câu hỏi trắc nghiệm khách quan 3 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm + Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: Định lý 1: Giả sử hàm f liên tục khoảng (a; b) chứa điểm x có đạo hàm (a; x0) (x0; b) Khi a) Nếu f '(x) < với x ∈ (a; x ) f '(x) > với x ∈ (x ;b) hàm f đạt cực tiểu x0 b) Nếu f '(x) > với x ∈ (a; x ) f '(x) < với x ∈ (x ;b) hàm f đạt cực đại x0 [1] Quy tắc 1: Bước 1: Tìm f '(x) Bước 2: Tìm điểm x i ( i = 1,2, ) mà đạo hàm hàm số khơng hàm số liên tục khơng có đạo hàm Bước 3: Xét dấu f '(x) Nếu f '(x) đổi dấu x qua điểm xi hàm số đạt cực trị xi [1] Định lý 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp (a; b) chứa điểm x 0, f '(x ) = f có đạo hàm cấp khác điểm x0 a) Nếu f "( x ) < x0 điểm cực đại hàm số b) Nếu f "( x ) > x0 điểm cực tiểu hàm số [1] 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Năm 2017 Bộ Giáo dục Đào tạo tổ chức kỳ thi THPT Quốc gia cho mơn Tốn thi hình thức trắc nghiệm khách quan, câu có phương án trả lời có tổng số 50 câu buộc học sinh phải giải 90 phút Như vậy, thời gian bình quân để giải câu 1,8 phút; câu hỏi phương án có độ nhiễu cao dễ làm cho học sinh có lựa chọn sai lầm Các khó khăn học sinh học phần cực trị hàm số: - Sử dụng dấu hiệu I tìm cực trị học sinh thường không để ý đến điểm mà đạo hàm khơng tồn tại; - Đọc số điểm cực trị cho biết đồ thị đạo hàm cịn dễ sai lầm để ý đến số nghiệm đạo hàm mà không xét đến việc đổi dấu đạo hàm; - Sử dụng dấu hiệu II học sinh thường cho điệu kiện cần đủ dẫn đến lựa chọn kết sai; - Thời gian giải toán trắc nghiệm khoảng phút Nhưng giải theo phương pháp thơng thường học sinh cần phải 10 phút Như học sinh khơng hồn thành thi 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Phát sửa chữa sai lầm thường gặp học sinh giải toán cực trị hàm số 2.3.1.1 Áp dụng Quy tắc 1: Bước 1: Tìm f '(x) Bước 2: Tìm điểm x i ( i = 1,2, ) mà đạo hàm hàm số khơng hàm số liên tục khơng có đạo hàm Bước 3: Xét dấu f '(x) Nếu f '(x) đổi dấu x qua điểm xi hàm số đạt cực trị xi [1] + Học sinh quan tâm đến nghiệm đạo hàm bậc y ' mà học sinh không để ý đến việc đổi dấu đạo hàm, điều thể qua ví dụ minh họa sau: Câu 1: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = ( x + 1) ( x − ) ( x + 3) Tìm số điểm cực trị hàm số f ( x ) A B C D Câu 2: Tìm m để hàm số y = x3 − 3(m+ 1)x2 + 9x + m− có cực đại, cực tiều [2] ( A −∞; −1− 3 ∪  −1+ 3;+∞ (   C −∞; −4 ∪ 2; +∞ ) ) B (−∞;−1− 3) ∪ (−1+ 3;+∞) ; D (−∞; −4) ∪ (2;+∞) ; Đối với câu 1) học sinh thấy f '( x) = có nghiệm nên chọn đáp án C, hàm số có cực trị; học sinh sai lầm chỗ qua điểm x = -1 đạo hàm khơng đổi dấu x = - khơng phải cực trị hàm số Đáp án A, hàm số có cực trị Qua ví dụ giáo viên dạy phải ý cho học sinh đọc số cực trị hàm số biết đạo hàm để khắc phục sai lầm Đối với câu số 2) học sinh có sai lầm là: hàm số có cực trị f '( x) = có nghiệm Vì học sinh đưa điều kiện ∆ ' = 9(m+ 1)2 − 3.9 ≥ 0nên học sinh hầu hết chọn đáp án A Học sinh quên tam thức bậc có nghiệm kép dấu khơng thay đổi qua nghiệm kép Đáp án toán đáp án B, điều kiện là: ∆ ' = 9(m+ 1)2 − 3.9 > ⇔ m∈ (−∞;−1− 3) ∪ (−1+ 3;+∞) + Học sinh để ý cực trị hàm số đạt điểm mà f '( x) = mà không để ý đến điểm mà f '( x) khơng xác định Câu 3: Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục ¡ có bảng biến thiên là: Xét khẳng định sau: a) Hàm số có cực trị b) Cực tiểu hàm số −1 c) Hàm số đạt cực đại x = 2017 d) Điểm cực tiểu đồ thị hàm số x = 2016 Số khẳng định là: A B C D Câu 4: Số cực trị hàm số y = x − x bằng: A B C D Câu 5: Số cực trị hàm số y = ( x − 1) x bằng: A B C D Đối với câu 3) Nhiều học sinh nghĩ x = 2017 đạo hàm không xác định nên hàm số khơng đạt cực trị Vì vậy, học sinh cho khẳng định c) sai đồng thời cho khẳng định a) Ở khẳng định b) d) nhiều học sinh cho em nhầm khái niệm điểm cực trị hàm số với điểm cực trị đồ thị hàm số; điểm cực trị hàm số giá trị cực trị hàm số Câu hỏi sau thầy giáo chữa cho học sinh chốt lại chọn đáp án A, tức có khẳng định c)  x − 2x Khi x ∈ ( −∞;0] ∪ [ 2; +∞ ) Câu 4: Ta có: y = x − 2x =  2x − x Khi x ∈ ( 0;2 ) 2x − Khi x < 0, x > y' = Khi  2 − 2x Khi x ∈ ( 0;2 ) Từ y ' = ⇔ x = qua x = đạo hàm đổi dấu từ + sang – nên học sinh kết luận hàm số có điểm cực đại x = Trong trường hợp học sinh thường không để ý x =0 x = hàm số khơng có đạo hàm qua điểm đạo hàm đổi dấu học sinh khẳng định hàm số có cực trị khơng phải cực trị dẫn đến chọn đáp án sai Câu 5: Ta có y ' = 5x − 2 ; y' = ⇔ x = 3 x đạo hàm đổi dấu từ - sang + nên hàm số có cực tiểu kết luận hàm số có cực trị mà học sinh không quan tâm đến điểm x = đạo hàm không xác định qua x = đạo hàm đổi dấu Từ học sinh thấy qua x = Trong trường hợp giáo viên phải giải thích cho học sinh rõ cách lập bảng biên thiên nhấn mạnh lại dấu hiệu tìm điểm cực trị hàm số để sửa chữa sai lầm cho học sinh Trong dạy giáo viên cần làm rõ cho học sinh thấy quan tâm điểm đạo hàm đổi dấu cịn có điểm thuộc tập xác định hàm số đạo hàm khơng xác định qua đạo hàm đổi dấu cực trị hàm số 2.3.1.2 Sai lầm học sinh sử dụng dấu hiệu tìm cực trị Khi sử dụng quy tắc II để xác định cực trị hàm số em quên điều kiện đủ điều kiện cần đủ Quy tắc:  f ′ ( x0 ) = ⇒ x0 điểm cực tiểu; Ÿ  ′′  f ( x0 ) >  f ′ ( x0 ) = ⇒ x0 điểm cực đại [1] Ÿ  ′′  f ( x0 ) < Điều ngược lại nói chung khơng (!) Câu 6: Cho hàm số y = f ( x ) = mx Tìm tất giá trị tham số m để hàm số đạt cực đại x = ? A m = 0; B m > D m ∈ ∅ C m < Một số học sinh trình bày sau: +) Ta có: f ′ ( x ) = 4mx f ′′ ( x ) = 12mx  f ′ ( ) =  4m.0 = +) Điều kiện để hàm số đạt cực đại x = là:  f ′′ < ⇔ 12m.0 < hệ vô  ( )  nghiệm Vậy không tồn giá trị m để hàm số đạt cực đại x = chọn đáp án D Phân tích: Chẳng hạn, với m = −1 , hàm số có dạng y = f ( x ) = − x Ta có: y′ = f ′ ( x ) = −4 x = ⇔ x = Bảng biến thiên: Suy hàm số đạt cực đại x = Vậy lời giải sai đâu ?  f ′ ( x0 ) = Nhớ rằng, x0 thỏa mãn  f ′′ x < ⇒ x0 điểm cực đại hàm số,  ( ) điều ngược lại chưa Vì x0 điểm cực đại f ′′ ( x0 ) = Lí điều kiện f ′′ ( x0 ) < điều kiện đủ để hàm số g ( x ) = f ′ ( x ) nghịch biến lân cận ( x0 − h; x0 + h ) , h > , đó:   f ′ ( x ) > f ′ ( x0 ) = 0, ∀x ∈ ( x0 − h; x0 ) ⇒ x0 điểm cực đại hàm số    f ′ ( x ) < f ′ ( x0 ) = 0, ∀x ∈ ( x0 ; x0 + h ) Lời giải là: +) Ta có: f ′ ( x ) = 4mx +) Nếu m = f ′ ( x ) = Khi hàm số cho hàm y = f ( x ) = nên không cực trị +) Nếu m ≠ f ′ ( x ) = 4mx = ⇔ x = v Với m > ta có bảng biến thiên: v Với m < ta có bảng biến thiên: +) Vậy với m < hàm số đạt cực đại x = 2.3.2 Xây dựng hệ thống công thức giúp học sinh giải nhanh tập trắc nghiệm 2.3.2.1 Hàm số bậc 3: y = f (x) = ax + bx + cx + d ( a ≠ ) + Đạo hàm: y′ = f ′ ( x ) = 3ax + 2bx + c ; Đặt: ∆ = b2 − 3ac + Điều kiện tồn cực trị: y = f (x) có cực trị ⇔ y = f (x) có cực đại cực tiểu ⇔ f ′ ( x ) = có nghiệm phân biệt ⇔ ∆ >0 (1) + Kỹ tính nhanh cực trị: Khi f ′ ( x ) = có nghiệm phân biệt x1 , x với x = −b ± ∆ hàm số đạt cực trị x1, x2 Theo định nghĩa ta 1,2 3a có cực trị hàm số là:  −b − ∆   −b + ∆  y = f ( x1 ) = f  ÷; y = f ( x2 ) = f  ÷ 3a 3a     Trong trường hợp x1, x2 số vô tỉ chứa tham số giá trị cực trị f ( x1 ), f ( x ) tính theo định nghĩa phức tạp so với cách tính theo thuật toán sau đây: Bước 1: Thực phép chia f (x) cho f ′ (x) ta có: f ( x ) = x + b f ′ ( x ) + c − b x + d − bc 9a 3a 9a hay f ( x ) = f ′ ( x ) q ( x ) + r ( x ) với bậc r ( x ) =  y = f ( x ) = r ( x ) = c − b x + d − bc 1  f ′ ( x1 ) =  3a 9a nên Bước 2: Do    f ′ ( x ) =  y = f ( x ) = r ( x ) = c − b x + d − bc 2  3a 9a Kết luận: Đối với hàm số tổng quát : y = f (x) = ax + bx + cx + d ( a ≠ ) có ∆ > đường thẳng qua cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số có phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( 9a c  1 -2 ∆ x +  ÷ b d 9a  là: y = ) ) (2) Sau số ví dụ minh họa áp dụng công thức (1) (2): Câu 7: Tìm m để hàm số y = x + mx + ( 2m + 3) x + 3m + có cực đại cực tiểu: A ( −∞; −1] ∪ [ 3; +∞ ) ; B m < 1; C m > - 3; D ( −∞; −1) ∪ ( 3; +∞ ) 2 Học sinh giải: ∆1 = b − 3ac = m −  m < −1 ( 2m + ) = m − 2m − > ⇔  m > Từ học sinh chọn đáp án D Câu 8: Tìm m để đồ thị hàm số y = x + x + mx + có đường thẳng qua CĐ, CT vng góc với d: y = 9x −7 [3] 10 A m = − B m = C m = − D m = Học sinh giải: ∆1 = b − 3ac = − 3m > ⇔ m < ; hệ số góc đường thẳng qua điểm cực trị k = − ( − 3m ) ∆1 =− Từ k.9 = -1 rút kết m = 9a Chọn đáp án B Câu 9: Cho hàm số y = x3 - 3x2 + Tích giá trị cực đại cực tiểu đồ thị hàm số bằng: A - B -3 C D 3±3 Học sinh giải: ∆1 = b − 3ac = − = > x1,2 = −b ± b − 3ac = Nên 3a tích giá trị cực trị là: -3 đáp án B Câu 10: Tìm m để khoảng cách từ gốc O(0; 0) đến đường thẳng qua điểm 37 cực trị đồ thị hàm số y = x − x − ( m + ) x + m − 37 A.m ∈∅ ; B m = − 153 ; 44 C m = 0; D m = − 153 m = 44 + Điều kiện để hàm số có cực trị: ∆1 = b − 3ac = + .3 ( m + ) = m + > ⇔ m > −3 + Phương trình đường thẳng qua cực trị: y= 9a c  −3m − 1 − ∆ x + = − m + x + ( )  ÷ b d −1 m − 9a  y = −2 ( m + 3) x − 2m − ⇔ ( m + 3) x + y + 2m + = (d) + Khoảng cách từ O đến d là: m = d ( O;d ) = = ⇔ 44m + 153m = ⇔   m = − 153 (L) 37 ( m + 3) +  44 2m + Vậy m = thỏa mãn yêu cầu Chọn đáp án C 2.3.2.2 Hàm số trùng phương: y = ax + bx + c ( a ≠ ) ¡ 11 Ta có y′ = 4ax + 2bx = x ( 2ax + b ) x = x = ⇔ Suy y ′ = ⇔  ; x = − b ax + b =  2a  Đặt: ∆ = b − 4ac + Hàm số y = ax + bx + c có ba điểm cực trị y′ = có ba nghiệm phân biệt ⇔ − b < ⇔ ab < 2a + Hàm số y = ax + bx + c có điểm cực trị ⇔ − (3) b ≥ ⇔ ab ≥ (với a ≠ ) 2a x =  Với điều kiện (4) ta có y′ = ⇔  b Suy đồ thị hàm số có ba điểm x=± −  2a  cực trị C ( 0; c ) , A  − −   b ∆ b ∆  ∆   ; − ÷ B  − ; - ÷, H  0; - ÷ Vì điểm A 2a a  2a 4a  4a    B đối xứng qua trục tung nên ∆ABC cân C + Ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh tam giác vuông Tam giác ABC tam giác vuông ·ACB = 900 hay tam giác ABC vng cân C Khi AB = BC ⇔ b3 + 8a = 12 Đồ thị hàm số y = ax + bx + c có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh  ab < tam giác vuông  b + 8a = (4) + Ta có tam giác ABC tam giác ⇔ CH = 3HB ⇔ b3 + 24a = Đồ thị hàm số y = ax + bx + c có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh  ab < tam giác  b + 24a = (5) + Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh tam giác cân có góc α = 1200 · + Ta có ∆ ABC có ·ACB = 1200 ⇔ BCH = 600 ⇔ BH = 3CH ⇔ 3b + 8a = Đồ thị hàm số y = ax + bx + c có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh  ab < tam giác có góc α = 1200 ⇔  3b + 8a = (6) + Ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh tam giác tính diện tích tam giác Ta có: CH = − b2 b2 2b b b5 = = − S = BC AH ; ABC = − 4a a a 4a 32a (7) + Ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh tam giác tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Từ tam giác vng AHC, ta có sin ·ACH = Áp dụng định lý sin vào CH CH = AC BC tam giác b3 − 8a CB BC b − 8ab a 2R = = = × Suy R = · 8ab CH 16a b sin CAB ABC ta (8) 13 Một số ví dụ minh họa áp dụng công thức từ (3) đến (8) 2 Bài 11: Tìm m để hàm số y = − x + ( m + ) x + m − 5m có cực trị [4] A m < B m > -2 C m < D m > Áp dụng (3) ta có: ab < ⇔ −2 ( m + ) < ⇔ m > −2 Chọn B 2 Bài 12: Tìm m để đồ thị hàm số: y = x − ( m + 1) x + m có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác vuông [3] A -1 B C - D Học sinh giải: Áp dụng cơng thức (4) ta có: Đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác −  m > −1  ab <  ( m + 1) < ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ m = Chọn đáp án B vuông    3 m + = b + a = ( ) − m + + =  )   (  Bài 13: Tìm m để đồ thị hàm số y = x − 2mx − có ba điểm cực trị lập thành tam giác có bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác đạt giá trị nhỏ [3] A B C D −2m <  ab < m >    3 b − 8a ⇔  −2m ) − ⇔  Áp dụng công thức (8) ta có:  ( m3 + R = R = R =    8ab ( −2m ) 2m    1  1 1  1 3 R =  m2 + ÷ =  m2 + + ≥ m = = ÷ 2 m 2 2m 2m  2m m 4 Vậy Mi n R = ⇔ m = 1 ⇔ m3 = ⇔ m = Chọn D 2m 2 Bài 14: Tìm m để đồ thị hàm số y = x + ( m − ) x + m − 5m + có điểm cực đại điểm cực tiểu lập thành tam giác [3] 14 A B C − 3 D + 3 2 ( m − ) <  m <  ab < ⇔ ⇔   3 ( m − ) = −3 b + 24a = 8 ( m − ) + 24 = Áp dụng (5) ta có: m < ⇔ ⇔ m = − 3 Chọn đáp án C m = − 3 Bài 15: Tìm m để đồ thị hàm số y = − x + 2mx + có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác có góc 1200 [4] A B 3 C − 3 D + 3  ab <  −2m < ⇔ m = ⇔ Chọn B  3 3 3b + 8a =  24m − = Áp dụng (6) ta có: ⇔  Bài 16: Tìm m để đồ thị hàm số y = x − 2mx + m + có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác có diện tích 32 A B C D  −2m < ab <  m >   ⇔ ⇔ Áp dụng (7) ta có:    b ( −2m ) 32 = m S = − 32 = − 3 32a  32.1   m > m > ⇔ ⇔ ⇔ m = Chọn đáp án A  5  m = 32 32 = m 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 2.4.1 Đối với đồng nghiệp - Giúp đồng nghiệp quan tâm, khăc sâu sửa chữa sai lầm thường gặp cho học sinh q trình dạy ơn thi THPT Quốc gia phần cực trị hàm số thuộc chương trình lớp 12 15 - Giúp đồng nghiệp sử dụng kết (công thức xây dựng) để kiểm tra nhanh kết trình dạy học hướng dẫn học sinh giải nhanh thi THPT Quốc gia 2.4.2 Đối với học sinh - Giúp học sinh khắc phục sai lầm giải tốn phần cực trị ơn thi THPT Quốc gia - Giúp học sinh nắm cơng thức tính nhanh để tìm đáp án phù hợp thi THPT Quốc gia năm 2017 Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận: Trong nhiều năm dạy học mình, đặc biệt năm học 2016 – 2017 tác giả có ơn thi THPT Quốc gia rút số kinh nghiệm việc dạy ôn thi phần cực trị hàm số Qua viết tác giả đưa số vấn đề sau: - Đưa sai lầm thường gặp cách sửa chữa sai lầm cho học sinh giải toán cực trị hàm số - Xây dựng công thức để giúp học sinh giải nhanh toán cực trị đề thi THPT Quốc gia: Công thức điều kiện có cực trị hàm số bậc 3, trùng phương; Phương trình đường thẳng qua cực trị đồ thị hàm số bậc dạng định thức biệt thức ∆ theo hệ số hàm số; công thức điểm cực trị hàm số trùng phương (3 điểm cực trị lập thành tam giác vuông, đều, công thức diện tích, bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ) Đây dạng tốn điển hình thi THPT Quốc gia 3.2 Kiến nghị: Đây nội dung hay quan trọng q trình ơn thi mơn Tốn Vì tác giả xin đề nghị thầy, cô em học sinh nghiên cứu đọc áp dụng trình dạy – học đồng thời tiếp tục bổ sung để đề tài hồn thiện q trình sử dụng Đặc biệt cần xây dựng hệ thống tập trắc nghiệm để học sinh luyện tập củng cố Tĩnh Gia, ngày 18 tháng năm 2017 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Tơi xin cam đoan tồn nội dung đề tài ĐƠN VỊ thân nghiên cứu thực hiện, không chép nội dung NGƯỜI VIẾT SKKN 16 Nguyễn Văn Hữu TÀI LIỆU THAM KHẢO Đoàn Quỳnh – Nguyễn Huy Đoan, Sách giải tích 12 nâng cao, Nxb giáo dục Việt Nam tái lần thứ Nguyễn Huy Đoan, Sách tập giải tích 12 nâng cao, Nxb giáo dục Việt Nam tái lần thứ Nguyễn Văn Nho, Bộ đề luyên thi thử đại học mơn Tốn, Nxb đại học quốc gia Hà Nội tái lần thứ Trần Thành Minh, Giải toán đại số giải tích 11 dùng cho học sinh lớp chuyên, Nxb giáo dục tái lần thứ 12  ... kinh nghiệm là: ? ?Phát hiện, sửa chữa sai lầm xây dựng công thức giúp học sinh giải nhanh toán phần cực trị hàm số? ?? 1.2 Mục đích nghiên cứu Xây dựng cơng thức phát hiện, sửa chữa sai lầm cho học sinh. .. viên dạy phải ý cho học sinh đọc số cực trị hàm số biết đạo hàm để khắc phục sai lầm Đối với câu số 2) học sinh có sai lầm là: hàm số có cực trị f ''( x) = có nghiệm Vì học sinh đưa điều kiện ∆... chữa sai lầm cho học sinh giải toán cực trị hàm số - Xây dựng công thức để giúp học sinh giải nhanh toán cực trị đề thi THPT Quốc gia: Cơng thức điều kiện có cực trị hàm số bậc 3, trùng phương;