Một số sai lầm phổ biến khi giải bài toán tính đơn điệu, cực trị của hàm số và hướng khắc phục

MỤC LỤC Nội dung MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.5 Nội dung điểm sáng kiến NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận 2.2.Thực trạng vấn đề 2.3 Giải pháp cụ thể 2.3.1 Các tốn tính đơn điệu hàm số 2.3.2 Các toán cực trị hàm số 2.3.3 Bài tập tự luyện 2.3.4 Các tập trắc nghiệm rèn luyện kĩ 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận 3.2 Kiến nghị TÀI LIỆU THAM KHẢO Trang 2 3 3 5 10 16 17 19 19 19 20 21 1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Dạy Tốn trường phổ thơng dạy hoạt động tốn học Đối với học sinh xem giải tốn phương tiện chủ yếu hoạt động toán học Các tốn phương tiện hiệu khơng thay việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo Hoạt động giải toán điều kiện để thực tốt mục đích khác dạy học tốn Do tổ chức tốt việc dạy giải Tốn có vai trò định đến chất lượng dạy học tốn Thực tiễn cho thấy chất lượng dạy học toán trường phổ thơng có lúc, có chỗ chưa mong muốn, biểu qua lực giải Toán học sinh hạn chế học sinh mắc nhiều sai lầm Một nguyên nhân quan trọng giáo viên chưa ý cách mức tới việc phát sai lầm uốn nắn, sửa chữa sai lầm thường gặp cho học sinh học Tốn Chính mà học sinh nhiều sai lầm nối tiếp sai lầm Với xu đổi phương pháp giáo dục giáo dục, trình dạy học để thu hiệu cao đòi hỏi người thầy phải nghiên cứu tìm hiểu kỹ chương trình, đối tượng học sinh; đưa phương pháp phù hợp với kiến thức, với đối tượng học sinh cần truyền thụ Ý thức điều đó, tơi ln tích cực học tập; khơng ngừng nâng cao lực chuyên môn; đổi phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo học sinh; bồi dưỡng khả tự học, sáng tạo; khả vận dụng kiến thức vào thực tế; đem lại say mê, hứng thú học tập cho em Trong kỳ thi THPT Quốc gia khai thác tốn tính đơn điệu, cực trị chương “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số” thiếu, học sinh THPT việc khai thác theo hướng trắc nghiệm vấn đề rộng khó cần đến áp dụng linh hoạt định nghĩa, tính chất, khả phát nhanh kiến thức số kỹ khác Trong thực tế nhiều học sinh nặng nề, máy móc bước giải, cơng phu nặng tính hàn lâm theo hướng tự luận trước Vì trình giải vấn đề học sinh thường mắc phải sai lầm đẫn đến chọn kết sai Qua thực tế giảng dạy nhiều năm trường THPT nhiều năm nghiên cứu sai lầm học sinh nhiều chuyên đề Toán học khác giai đoạn ngành Giáo dục đường “Đổi tồn diện giáo dục phổ thơng” đổi thi đánh kỳ thi THPT Quốc gia nhận thấy rõ yếu điểm học sinh Vì vậy, tơi mạnh dạn đề xuất sáng kiến kinh nghiệm với đề tài: “Một số sai lầm phổ biến giải tốn tính đơn điệu, cực trị hàm số hướng khắc phục” 1.2 Mục đích nghiên cứu Các tốn liên quan đến tính đơn điệu, cực trị hàm số toán khai thác kiến thức từ sách giáo khoa theo hướng nắm kiến thức, áp dụng chất Toán, phát nhanh vấn đề Đây hướng khai thác Trong đề thi THPT Quốc Gia đề thi minh họa năm trước khai thác mức độ sâu, rộng có câu mức độ vận dụng cao Vì đề tài “Một số sai lầm phổ biến giải tốn tính đơn điệu, cực trị hàm số hướng khắc phục” cần thiết để ôn tập cho học sinh Mục đích: Xây dựng dạng - nhận dạng - nêu dạng tổng quát (nếu có) rèn luyện kĩ phát sai lầm, giải đúng, giải nhanh toán đề thi 1.3 Đối tượng nghiên cứu +) Học sinh lớp 12A2, 12A3 năm học 2017-2018 trường THPT Yên Định +) Học sinh lớp 12A2 năm học 2018-2019 trường THPT Yên Định 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phối hợp nhiều phương pháp chủ yếu là: Phương pháp nghiên cứu xây dựng bám vào sở lí thuyết: Dựa sở kiến thức sách giáo khoa, đề thi THPT Quốc Gia đề minh họa năm trước đây; đọc tài liệu tham khảo có liên quan đến đề tài, rèn luyện kĩ phân tích, nhận dạng, phát nhanh áp dụng lí thuyết vào tốn cụ thể Phương pháp xác định, phân tích số sai lầm đưa hướng khắc phục theo nhóm nội dung kiến thức: Trong q trình nghiên cứu sáng kiến phân định rõ theo nhóm nội dung kiến thức Dựa ví dụ cụ thể để sai lầm thường gặp, phân tích sai lầm, đưa hướng khắc phục sai lầm Phương pháp thực hành: Ra tập tự luyện cho nhóm nội dung kiến thức; Soạn thiết kế đề thi trắc nghiệm theo hướng rèn luyện, phát triển lực học sinh lớp 12A2, 12A3 năm học 2017-2018 lớp12A2 năm học 2018-2019 1.5 Nội dung điểm sáng kiến Chỉ số sai lầm liên quan đến tính đơn điệu, cực trị hàm số, phân tích nguyên nhân sai lầm, đưa hướng khắc phục sai lầm Đặc biệt số dạng tốn có khái qt hóa vấn đề, nêu hướng sử lý nhanh phù hợp với kỳ thi theo hướng trắc nghiệm kỳ thi THPTQG mà nội dung tài liệu đề cập cách có hệ thống hạn chế NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận Dựa vào khai thác toán kỳ thi THPT Quốc gia năm Dựa vào kiến thức tính đơn điệu, cực trị hàm số chương “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số” sách giáo khoa Đại số giải tích lớp 12 nâng cao 2.1.1 Tính đơn điệu hàm số 1) Định nghĩa Giả sử K khoảng f hàm số xác định K +) Hàm số f gọi đồng biến K ∀x1 , x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2); +) Hàm số f gọi nghịch biến K ∀x1 , x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2) 2) Định lý Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng I a) Nếu f '( x) > với x thuộc I hàm số đồng biến I b) Nếu f '( x) < với x thuộc I hàm số nghịch biến I c) Nếu f '( x) = với x thuộc I hàm số không đổi I 3) Định lý (mở rộng định lý trên) Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng I (I khoảng, đoạn, nửa ' ' khoảng) Nếu f ( x) ≥ 0, ∀x ∈ I (hoặc f ( x) ≤ 0, ∀x ∈ I ) f’(x) = xảy số hữu hạn điểm I hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) I 2.1.2 Cực trị hàm số 1) Định nghĩa Cho hàm số f xác định tập D x0 ∈ D +) x0 gọi điểm cực đại hàm số f tồn khoảng ( a; b )  x0 ∈ ( a; b ) ⊂ D cho:   f ( x ) < f ( x0 ) ∀x ∈ ( a; b ) \ { x0 } +) x0 gọi điểm cực tiểu hàm số f tồn khoảng ( a; b )  x0 ∈ ( a; b ) ⊂ D cho:   f ( x ) > f ( x0 ) ∀x ∈ ( a; b ) \ { x0 } +) Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị +) Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung cực trị Bảng sau tóm tắt khái niệm sử dụng phần này: x0 f ( x0 ) ( x0 ; f ( x0 ) ) Điểm cực đại f ( x) Điểm cực tiểu f ( x) Điểm cực trị f ( x) Giá trị cực đại (cực đại) Điểm cực đại đồ thị hàm f ( x) số f ( x) Giá trị cực tiểu (cực tiểu) Điểm cực tiểu đồ thị hàm f ( x) số f ( x) Cực trị f ( x) Điểm cực trị đồ thị hàm số f ( x) 2) Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị Giả sử hàm f ( x) đạt cực trị x0 Khi đó, f ( x) có đạo hàm x0 f ' ( x0 ) = * Chú ý Hàm số đạt cực trị điểm mà đạo hàm hàm số hàm số khơng có đạo hàm 3) Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị a) Quy tắc 1: +) Nếu f ' ( x ) đổi dấu từ dương sang âm x qua x0 (theo chiều tăng) f ( x) đạt cực đại x0 ; +) Nếu f ' ( x ) đổi dấu từ âm sang dương x qua x0 (theo chiều tăng) f ( x) đạt cực tiểu x0 b) Quy tắc 2: Giả sử hàm số có đạo hàm cấp hai (a; b) chứa x0  f ' ( x0 ) = x0 điểm cực đại hàm số f ( x) ;  f " ( x0 ) < +) Nếu   f ' ( x0 ) = x0 điểm cực tiểu hàm số f ( x)  f " ( x0 ) > +) Nếu  * Chú ý Mệnh đề đảo mệnh đề chưa hẳn 2.2 Thực trạng vấn đề Hình thức thi trắc nghiệm mơn Tốn với việc khai thác tốn tính đơn điệu, cực trị học sinh mắc nhiều sai lầm không nắm vững kiến thức bản, chất kiến thức toán khơng vận dụng nên máy móc, lúng túng chọn đáp án Khi gặp toán mức độ đơn học sinh giải Khi tốn mức độ khai thác sâu hơn, rơng học sinh lúng túng khơng có định hướng chọn đáp án, giải toán cách chủ động Từ thực tế đề thi THPT Quốc Gia đề minh họa năm, trình giảng dạy học sinh tơi nhận thấy em gặp nhiều khó khăn việc chọn, nhận dạng, phương pháp giải kĩ giải Vì tơi xây dựng đề tài để ôn luyện cho học sinh thi THPT Quốc Gia 2.3 Giải pháp cụ thể Sau sáng kiến xin đưa số ví dụ cụ thể có sai lầm, bình luận nguyên nhân sai lầm thường xẩy đưa hướng khắc phục cho số sai lầm đó: 2.3.1 Các tốn tính đơn điệu hàm số 3x + Ví dụ Xét tính đơn điệu hàm số y = x −1 Lời giải sai +) Tập xác định hàm số D = ¡ \ { 1} −4 +) Ta có y’ = , ∀x ∈ D ( x − 1) +) Bảng biến thiên: + Vậy hàm số nghịch biến ( −∞; 1) ∪ ( 1; + ∞ ) Nguyên nhân sai lầm: - Máy móc khơng nắm rõ khái niệm dẫn tới bước kết luận sai - Chẳng hạn lấy x1 = - 2∈ D x2 = ∈ D x1 < x2 nhiên f(- 2) = > f(2) = − , mâu thuẩn với định nghĩa Lời giải đúng: +) Tập xác định hàm số D = ¡ \ { 1} −4 +) Ta có y’ = , ∀x ∈ D ( x − 1) +) Bảng biến thiên: + Vậy hàm số nghịch biến ( −∞; 1) ( 1; + ∞ ) Ví dụ Xét tính đơn điêu hàm số y = x + x Lời giải sai: x2 − ’ +) Ta có y = x2 +) y’ = ⇔ x − = ⇔ x = ± Xét dấu y’ suy kết quả: Hàm số đồng biến khoảng ( −∞; − ) ( 2; + ∞ ) , nghịch biến khoảng ( − 2; ) Nguyên nhân sai lầm: - Lời giải không tập xác định hàm số dẫn tới bước kết luận sai - Lẽ phải có tập xác định hàm số ¡ \ { 0} Lời giải đúng: +) Tập xác định hàm số ¡ \ { 0} +) Xét dấu y’ suy kết quả: Hàm số đồng biến khoảng ( −∞; − ) ( 2; + ∞ ) , nghịch biến khoảng ( − 2; ) ( 0; ) Ví dụ Xét tính đơn điệu hàm số y = x3 – 2x2 + x – 3 Lời giải sai +) Ta có y’ = (2x – 1)2 > 0, x ≠ 1  1  +) Hàm số đồng biến khoảng  −∞; ÷  ; + ∞ ÷ 2  2  Nguyên nhân sai lầm: - Máy móc vận dụng định lý điều kiện đủ tính đơn điệu không dẫn tới sai bước kết luận - Lưu ý phải vận dụng định lý mở rộng: ' Nếu f ( x) ≥ 0, ∀x ∈ I f’(x) = xảy số hữu hạn điểm I hàm số đồng biến I Lời giải đúng: +) Ta có y’ = (2x – 1)2 ≥ 0, y’ = x = 1  1  +) Hàm số đồng biến nửa khoảng  −∞;   ; + ∞ ÷ 2  2  Ví dụ Xét tính đơn điệu hàm số f(x) = x – + − x Lời giải sai +) Tập xác định hàm số D = [ −2; 2] x ' +) Ta có f ( x) = − − x2 x ' = ⇔ − x2 = x ⇔ x = ± Cho f ( x ) = ⇔ − −x +) Bảng biến thiên: 00 +) Vậy hàm số đồng biến khoảng ( ) khoảng −2; − ( ) (− 2; ) nghịch biến 2; Nguyên nhân sai lầm: - Sai lầm việc xác định sai điểm tới hạn dẫn tới sai bảng biến thiên Chẳng hạn − điểm tới hạn hàm số Mặt khác hàm số không xác định x = ± Lời giải đúng: +) Tập xác định hàm số D = [ −2; 2] x ' +) Ta có f ( x) = − − x2 Đạo hàm không xác định x = ± ' Cho f ( x ) = ⇔ − x ≥ = ⇔ − x2 = x ⇔  ⇒x= 2 −x − x = x  x +) Bảng biến thiên: x -2 y′ + 2 − 2 −1 y -3 ) +) Vậy hàm số đồng biến nửa khoảng  −2; nghịch biến nửa khoảng 2;  Ví dụ Tìm m để hàm số y = x3 – mx2 + (m + 2)x + đồng biến ¡ Lời giải sai: Hàm số đồng biến ¡ ⇔ y’ > 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ x2 – 2mx + m + > 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ ∆' < ⇔ m2 – m - > ⇔ - < m < Nguyên nhân sai lầm: - Điều kiện f’(x) > 0, ∀x ∈ (a; b) điều kiện đủ để hàm số đồng biến (a; b), điều kiện cần Dẫn tới lập điều kiện toán sai - Lưu ý phải vận dụng định lý mở rộng: Nếu f(x) xác định (a; b), f’(x) ≥ ∀x ∈ (a; b) f’(x) triệt tiêu hữu hạn điểm (a; b) f(x) đồng biến (a; b) Chẳng hạn hàm số y = x3 đồng biến ¡ Tuy nhiên f’(x) ≥ 0, ∀x ∈ ¡ đẳng thức xảy x = Lời giải đúng: Hàm số đồng biến ¡ ⇔ y’ ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ x2 – 2mx + m + ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ ∆' ≤ ⇔ m2 – m - ≥ ⇔ - ≤ m ≤ x−3 Ví dụ Tìm m để hàm số y = đồng biến ( −∞; 1) x−m Lời giải sai Hàm số đồng biến ( − ∞; 1) ⇔ y’ ≥ 0, ∀x ∈ ( −∞; 1) −m+3 ⇔ ≥ 0, ∀x ∈ ( −∞; 1) ( x − m) ( ⇔ - m + ≥ ⇔ m ≥ Nguyên nhân sai lầm: - Sai lầm xác định: Hàm số đồng biến ( −∞; 1) −m+3 ⇔ ≥ 0, ∀x ∈ ( −∞; 1) ( x − m) ⇔ - m + ≥ - Lưu ý lẽ phải kèm theo yêu cầu (x – m)2 ≠ 0, ∀x ' +) Ta có f ( x) =  −2, x < +) Hàm số khơng có đạo hàm x = +) Vậy hàm số khơng có cực trị Ngun nhân sai lầm: - Sai lầm hiểu sai ý sau định lý điều kiện cần: Hàm số đạt cực trị điểm mà đạo hàm hàm số hàm số khơng có đạo hàm - Với x = đạo hàm khơng xác định Từ vội vàng khẳng định hàm số khơng có cực trị x = Lời giải đúng: +) Tập xác định D = ¡ 2, x > ' +) Ta có f ( x) =  −2, x < +) Bảng biến thiên −∞ +∞ x − y' + +∞ +∞ y +) Vậy hàm số đạt cực tiểu x = Ví dụ 10 Tìm cực trị (nếu có) hàm số y = x − x Lời giải sai: +) Tập xác định D = ¡ 4 ' ' +) Ta có f ( x) = − Cho f ( x) = ⇔ − = ⇔ x = 64 x x −∞ x 64 − y' + +∞ y +∞ +∞ CT +) Vậy hàm số đạt cực tiểu x = 64 Nguyên nhân sai lầm: 11 Sai lầm do: Hiểu sai quy tắc Không để ý tới điều kiện xác định đạo hàm Dẩn tới sai điểm tới hạn (Xét dấu sai) Lời giải đúng: +) Tập xác định D = ¡ ' +) Ta có f ( x) = − , ( x ≠ 0) x ' Cho f ( x) = ⇔ − = ⇔ x = 64 x +) Bảng biến thiên −∞ +∞ x 64 − y' + + +∞ y −∞ - 32 +) Vậy hàm số đạt cực đại x = đạt cực tiểu x = 64 Ví dụ 11 Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = f(x) = x + mx đạt cực tiểu x = 0? Lời giải sai: +) Tập xác định D = ¡ +) Ta có f’(x) = 4x3 + m f”(x) = 12x2 +) Hàm số đạt cực tiểu x =  f ' (0) = 4.0 + m = ⇔ , vo nghiem  '' 12.0 < f (0) >   +) Vậy hàm số khơng có cực tiểu x = Nguyên nhân sai lầm: - Sai lầm thừa nhận mệnh đề: “Hàm số có điểm cực tiểu x = x  f ' ( x0 ) = đúng”  f " ( x0 ) >  - Định lý không sử dụng” khi” mà sử dụng “nếu … thì” Tức mệnh đề với chiều thuận, ngược lại khơng khẳng định Lời giải đúng: +) Ta có f’(x) = 4mx3 ' +) Hàm số đạt cực tiểu x = ⇒ f (0) = ⇒ m = +) Với m = ta có bảng biến thiên sau: x y' −∞ − 0 +∞ + 12 y +) Vậy với m = thị hàm số đạt cực tiểu x = Ví dụ 12 Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = f(x) = mx đạt cực đại x = 0? Lời giải sai: +) Ta có f’(x) = 4mx3 f”(x) = 12mx2 +) Điều kiện cần đủ để hàm số đạt cực đại x = là:  f ' (0) = 4m.0 = ⇔ , vo nghiem  '' 12 m < f (0) <   +) Vậy hàm số không đạt cực đại x = Nguyên nhân sai lầm: - Sai lầm thừa nhận mệnh đề: “Hàm số có điểm cực đại x = x0  f ' ( x0 ) = đúng” f " x <  ( )  - Định lý không sử dụng” khi” mà sử dụng “nếu … thì” Tức mệnh đề với chiều thuận, ngược lại không khẳng định Chẳng hạn với m = - hàm số y = f(x) = - x Hàm số đạt cực đại x = Lời giải đúng: +) Ta có f’(x) = 4mx3 +) Nếu m = f’(x) = Khi hàm cho hàm nên khơng có cực trị +) Nếu m > f’(x) = 4mx3 = ⇔ x = Ta có bảng biến thiên: −∞ +∞ x y' + +∞ +∞ y +) Nếu m < f (x) = 4mx = ⇔ x = Ta có bảng biến thiên: −∞ +∞ x − y' + y ’ −∞ −∞ +) Vậy m < hàm số đạt cực đại x = Ví dụ 13 Tìm tất giá trị m để hàm số y = f(x) = x + mx3 + đạt cực tiểu x = 0? Lời giải sai: +) Tập xác định D = ¡ +) Ta có f’(x) = 4x3 + 3mx2 f”(x) = 12x2 + 6mx 13 +) Điều kiện cần đủ để hàm số đạt cực tiểu x = là:  f ' (0) = 4.03 + 3m.02 = ⇔ , vo nghiem  ''  f (0) > 12.0 + 6m.0 > +) Vậy không tồn giá trị m để hàm số đạt cực tiểu x = Nguyên nhân sai lầm: - Sai lầm thừa nhận mệnh đề: “Hàm số có điểm cực tiểu x = x  f ' ( x0 ) = đúng”  f " ( x0 ) >  - Định lý không sử dụng” khi” mà sử dụng “nếu … thì” Tức mệnh đề với chiều thuận, ngược lại khơng khẳng định Chẳng hạn với m = hàm số y = f(x) = x + Khi hàm số đạt cực tiểu x = Lời giải đúng: +) Tập xác định D = ¡ x = +) Ta có f’(x) = 4x3 + 3mx2 Cho f’(x) = ⇔ x (4 x + 3m) = ⇔   x = − 3m  Với m = ta có bảng biến thiên −∞ +∞ x y' + +∞ +∞ y Với m < ta có bảng biến thên x −∞ y' y +∞ - - −3m +∞ + +∞ CT Với m > ta có bảng biến thiên x −3m −∞ y' + +∞ y +∞ 0 + +∞ CT +) Vậy với m = hàm số đạt cực tiểu x = Ví dụ 14 Tìm giá trị m để hàm số y = x − (5 − 2m) x + − m có cực trị Lời giải sai: 14 - Ta có y’ = 4x3 – 2(5 – 2m)x x = y’ = ⇔ x(2x2 – + 2m) = ⇔   x − + 2m = 0,(1) - Nhận thấy y’ = ln có nghiệm cố định x = nên hàm số có cực trị phương trình (1) vơ nghiệm ⇔ − 2m < ⇔ m > Nguyên nhân sai lầm: - Sai lầm chưa hiểu rõ chất quy tắc Đó hàm số có cực trị x y’ = có nghiệm đổi dấu qua x0 - Từ quy tắc suy để thỏa mãn u cầu tốn phương trình phải có nghiệm kép vô nghiệm Lời giải đúng: - Ta có y’ = 4x3 – 2(5 – 2m)x x = y’ = ⇔ x(2x2 – + 2m) = ⇔   x − + 2m = 0,(1) - Nhận thấy y’ = ln có nghiệm cố định x = nên hàm số có cực trị Phương trình (1) có nghiệm kép vô nghiêm ⇔ − ( − m ) ≥ ⇔ −5 + m ≥ ⇔ m ≥ * Khái quát vấn đề (Chọn nhanh đáp án theo định hướng đề thi trắc nghiệm) 1) Đối với hàm số y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) +) Dấu hiệu nhận biết đồ thị hàm số cho có cực trị là: ab < +) Dấu hiệu nhận biết đồ thị hàm số cho có cực trị là: ab ≥ +) Dấu hiệu nhận biết đồ thị hàm số cho có cực trị mà gồm cực a < đại cực tiểu là:  b >  +) Dấu hiệu nhận biết đồ thị hàm số cho có cực trị mà gồm cực a > đại cực tiểu là:  b < a > +) Dấu hiệu nhận biết đồ thị hàm số cho có cực tiểu là:  b ≥ a < +) Dấu hiệu nhận biết đồ thị hàm số cho có cực đại là:  b ≤  2) Điều kiện để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d , (a ≠ 0) có cực trị Phương pháp: Chỉ ra: y ' = 3ax2 + 2bx + c = có nghiệm phân biệt ⇔ ∆y ' > 15 + Điều kiện để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d , (a ≠ 0) có cực trị thỏa mãn tính chất K Phương pháp: Trước hết, ra: y ' = 3ax2 + 2bx + c = có nghiệm phân biệt ⇔ ∆y ' > Sau đó, giải điều kiện K, đối chiếu với ∆y ' > kết luận 2.3.3 Bài tập tự luyện Bài Xét biến thiên hàm số y = x − x + x − 2x − Bài Xét tính đơn điệu hàm số y = x+2 25 − x Bài Tìm giá trị m để hàm số y = x − mx + x − đồng biến ¡ mx + Bài Tìm m để hàm số y = đồng biến khoảng xác định 2x + m Bài Tìm m để hàm số y = −x3 + 3x2 + 3mx − nghịch biến R Bài Xét tính đơn điệu hàm số y = Bài Cho hàm số y = − x − mx + (4m + 9) x + với m tham số Có giá trị nguyên m để hàm số nghịch biến khoảng (−∞; +∞) ? Bài Cho hàm số y = x – 3mx2 + 3(m2 – 1)x + m Tìm m để hàm số đạt cực tiểu x = Bài Cho hàm số f (x) = x3 − 3x2 + mx − 1.Gọi x1;x2 hai điểm cực trị hàm số Tìm m để x12 + x22 = Bài 10 Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = ( m − 1) x − ( m − 3) x + khơng có cực đại Bài 11 Cho hàm số y = −x4 + 2mx2 − 2m + Với giá trị m hàm số có điểm cực trị Bài 12 Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = x − 3mx + 4m3 có hai điểm cực trị A B cho tam giác OAB có diện tích với O gốc tọa độ Bài 13 Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số y = x4 + 2mx2 + có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân Bài 14 Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = x − 2mx có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích nhỏ Bài 15 Cho hàm số y = − x + (m + 2) x + với m tham số thực Tìm tất giá trị m để hàm số có điểm cực trị 16 2.3.4 Các tập trắc nghiệm rèn luyện kĩ Sau sáng kiến xin giới thiệu đề kiểm tra áp dụng nội dung sáng kiến để rèn luyện kĩ dạng trắc nghiệm: Câu Tập giá trị m để hàm số y = mx + mx + ( m − 1) x − đồng biến ¡ là:   A  0;   2 3    C 0;   2   D ( −∞;0 ) ∪  ; +∞ ÷ B  ; +∞ ÷ 2  2  Câu Tìm m để hàm số y = mx3 − x + 3x + m − đồng biến khoảng ( −3;0 ) ? B m ≥ A m = C m ≥ − D m ≥ 2 Câu Giá trị m để hàm số y = x − 3x + ( m − 1) x đặt cực tiểu x = là: A m = −1 B m = ±1 C m ≠ ±1 D m = Câu Cho hàm số f ( x ) xác định, liên tục ¡ có bảng biến thiên sau: Phát biểu sau đúng? A Hàm số có giá trị nhỏ giá trị lớn B Giá trị cực đại hàm số C Hàm số đạt cực tiểu x = đạt cực đại x = D Hàm số có cực trị Câu Điểm cực đại đồ thị hàm số y = x − 3x + ?     A  3; − ÷ B ( 0; ) C  − 3; − ÷ D ( 2;0 ) 2 2   2 Câu Cho hàm số y = mx + ( m − ) x + 10 Tìm m để hàm số có điểm cực trị  m < −1 A  0 < m <  m < −3 B  0 < m < m < C   −1 < m < m < D  1 < m < 3 Câu Cho hàm số y = x3 − mx − x + m + Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A ( x A ; y A ) , B ( xB ; yB ) thỏa mãn xA2 + xB2 = A m = ±3 B m = C m = D m = ±1 17 Câu Cho hàm số y = x − x − Các khoảng đồng biến hàm số là: A ( −2;0 ) ( 0; ) B ( −∞; −2 ) ( 2; +∞ ) C ( −∞; −2 ) ( 0; ) D ( −2;0 ) ( 2; +∞ ) Câu Tìm tất giá trị m để hàm số : y = ( m + 1) x − x−m khoảng xác định: A −2 ≤ m ≤ B −2 < m <  m ≥1 đồng biến  m >1 C  D   m ≤ −2  m < −2 Câu 10 Tìm tất giá trị m để hàm số: y = x + ( m − 1) x + ( m − ) x + nghịch biến khoảng có độ dài lớn A m < m > B m > C m < D m = Câu 11 Hàm số sau hàm số nghịch biến ¡ ? A y = x3 − 3x + B y = −2 x3 + x − x + C y = − x + x − D y = x+3 x +1 Câu 12 Cho hàm số y = x − 2mx + Xác định m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lập thành tam giác vuông cân A m = B m = C m = ∨ m = D Đáp số khác Câu 13 Đồ thị hàm số sau có điểm cực trị: A y = x + x + B y = − x − x − C y = x + x − D y = x − x − Câu 14 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm ( a, b ) , f ' ( x ) > 0∀x ∈ ( a, b ) Khẳng định sau khẳng định ? A ∀x1 , x2 ∈ ( a, b ) : x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) B ∀x1 , x2 ∈ ( a, b ) : x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) ≥ f ( x2 ) C ∀x1 , x2 ∈ ( a, b ) : x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) D ∀x1 , x2 ∈ ( a, b ) : x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) Câu 15 Đồ thị hàm số y = x3 − 3mx + m + khơng có cực trị A m ≠ B m>0 C m