Thông tin tài liệu
CỘNG HÒA Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc MÔ TẢ SÁNG KIẾN Mã số:…………………………… Tên sáng kiến: GIÚP HỌC SINH NÂNG CAO KỸ NĂNG GIẢI TỐT MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ (Nguyễn Hữu Thi, Nguyễn Hữu Thái, Nguyễn Thị Hồng Châu, Trịnh Thị Bé Hai,Nguyễn Văn Tâm, @THPT Ngô Văn Cấn) Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Chương trình Tốn THPT khối 12 Mơ tả chất sáng kiến 3.1.Tình trạng giải pháp biết Như biết toán liên quan đến khảo sát hàm số tốn khơng thể thiếu kì thi quan trọng học sinh khối 12: thi HKI, thi TN THPT Quốc gia Trong thường gặp nhiều tốn “Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu có cực trị khoảng K” Khi giải tốn đưa đến vấn đề “Tìm điều kiện để y < (y > 0) K phương trình y= có nghiệm K” Đây thực chất vấn đề so sánh nghiệm phương trình bậc hai với số thực Nếu theo chương trình sách giáo khoa cũ lớp 10 học sinh vận dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai hệ để giải tốn Tuy nhiên có nhiều toán đưa đến việc phải xét nhiều trường hợp lời giải dài dòng phức tạp Hơn nữa, theo chương trình sách giáo khoa Bộ giáo dục phát hành phần kiến thức liên quan đến định lí đảo hệ giảm tải Do gặp phải vấn đề “Làm để giải toán cách hiệu mà cần vận dụng kiến thức học chương trình sách giáo khoa hành” Với suy nghĩ nhằm giúp em hiểu dạng vận dụng tốt việc giải toán thuộc lĩnh vực tạo hứng thú việc học tập mơn tốn học sinh, đồng thời nâng cao chất lượng giảng dạy nên tơi tìm hiểu, tổng hợp thực nhiều năm qua thấy có hiệu cao Hơm viết đề tài để trao đổi với đồng nghiệp, rút thêm kinh nghiệm cho thân Đề tài:“GIÚP HỌC SINH NÂNG CAO KỸ NĂNG GIẢI TỐT MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ” 3.2 Nội dung giải pháp đề nghị công nhận sáng kiến 3.2.1 Mục đích giải pháp - Sáng kiến nhằm mục đích chia đồng nghiệp số kinh nghiệm giúp học sinh khối 12 vận dụng kiến thức giải tốt số toán tính đơn điệu, cực trị hàm số - Sáng kiến đưa số dạng toán tính đơn điệu, cực trị hàm số mức độ vận dụng chương trình Tốn lớp 12 để có giải pháp phương hướng giải tốn hiệu hơn, góp phần nâng cao chất lượng học tập học sinh - Vấn đề phần kiến thức nặng cho đối tượng học sinh khơng giỏi Thậm chí học sinh giỏi phải lúng túng gặp tốn Vì cần phải có giải pháp để giúp em học sinh khối 12 nắm vững phần kiến thức quan trọng 3.2.2 Điểm giải pháp Qua trình nghiên cứu tìm giải pháp giúp học sinh nâng cao kỹ giải tốt số tốn tính đơn điệu, cực trị hàm số có điểm sau: + Các toán tổng hợp lại hệ thống thành dạng giải theo cách nhanh, gọn, đơn giản hóa vấn đề + Các tốn nội dung hồn tồn khơng sử dụng định lý đảo dấu tam thức bậc hai (nội dung giảm tải) + Các dạng tập thực từ đơn giản đến nâng cao Phần lớn thực giải phương pháp tự luận, có kết hợp máy tính bỏ túi Lúc đầu học sinh thấy khó khăn, nhiên hiểu rõ bước giải học sinh thấy dễ thực thích rèn luyện kỹ nội dung Khi áp dụng phương pháp giải vào tập tự luận trả lời câu hỏi trắc nghiệm khách quan học sinh phấn khởi, vui vẻ, hứng thú làm tự tin PHẦN NỘI DUNG Kiến thức cần nhớ 1.1 Phương trình bậc hai a) Định nghĩa Phương trình bậc hai ẩn x ( x �R ) phương trình có dạng: ax bx c a �0 1 b)Cách giải Tính b 4ac + Nếu phương trình (1) vơ nghiệm + Nếu phương trình (1) có nghiệm kép x1 x2 + Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 b 2a b b , x2 2a 2a c)Định lý Vi-et – Dấu nghiệm + Định lý: Nếu phương trình bậc hai ẩn x �R : ax bx c 1 có hai nghiệm x1 , x2 S x1 x2 b c , P x1.x2 a a + Dấu nghiệm: * Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu � P �0 � �P * Phương trình (1) có hai nghiệm dấu � � �0 � � * Phương trình (1) có hai nghiệm dương � �P �S � �0 � � * Phương trình (1) có hai nghiệm âm � �P �S � a �0 1.2.Điều kiện cần đủ để hàm số đơn điệu Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm K + Điều kiện cần đủ để hàm số y = f(x) đồng biến K f '( x) �0, x �K đồng thời f '( x) xảy số hữu hạn điểm thuộc K + Điều kiện cần đủ để hàm số y = f(x) nghịch biến K f '( x ) �0, x �K đồng thời f '( x) xảy số hữu hạn điểm thuộc K 1.3 Điều kiện cần đủ để hàm số có cực trị * Định lí 1: Giả sử hàm số y = f(x) đạt cực trị x0 , f(x) có đạo hàm x0 f '( x0 ) * Định lí 2: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục khoảng (a;b) chứa x0 có đạo hàm khoảng (a;x0) (x0;b) : + Nếu f '( x) 0, x �( a; x0 ) f '( x) 0, x �( x0 ; b) hàm số đạt cực tiểu x0 + Nếu f '( x) 0, x �(a; x0 ) f '( x) 0, x �( x0 ; b) hàm số đạt cực đại x0 Phương pháp giải ví dụ áp dụng * Bài toán 1: Cho hàm số: y = ax3 + bx2 + cx + d (1) (a �0) Tìm điều kiện để hàm số (1): a) Đồng biến (�; ) b) Đồng biến ( ; �) c) Đồng biến ( ; ) Lời giải thực Lời giải đề nghị Txđ: D = R Txđ: D = R y ' f ( x) 3ax 2bx c a) Hàm số (1) đồng biến khoảng (�; ) ۳� f (x� ) 0, x ( ; ) � a0 � � � �0 � � � a0 � �� � 0 � � � � �f ( ) �0 � � � �S 2 � y ' f ( x) 3ax 2bx c TH1: Nếu bpt: f ( x) �۳ h ( m) g ( x) (*) a)Hàm số(1) đồng biến khoảng (�; ) ۳� h( m � ) g ( x), x ( ; ) ۳ h ( m) Max g ( x) ( �; ] b)Hàm số (1) đồng biến khoảng ( ; �) ۳� h( m � ) g ( x), x ( ; ) ۳ h( m ) Max g ( x ) [ ;�) c) Hàm số (1) đồng biến khoảng ( ; ) ۳� h(m) g ( x), x ( ; ) ۳ h ( m) Max g ( x) [ ; ] b) Hàm số (1) đồng biến TH2: Nếu bpt: f ( x) �0 không đưa khoảng ( ; �) dạng (*) ta đặt : t = x - ۳� f (x� ) 0, x ( ; ) Khi ta có: y ' g (t ) 3at 2(3a b)t 3a 2b c � a0 � � � a) Hàm số (1) đồng biến khoảng �0 � � (�; ) � a0 � �� � 0 � � � � �f ( ) �0 � � � �S 2 � c) Hàm số(1) đồng biến khoảng ( ; ) ۳� f ( x) 0, x ( ; ) � � a0 � � � � �0 � � a0 � � � � �f ( ) �� � � � � � S 2 �� � �� �� � �f ( ) �0 �� � �� �S � �� � 0 � � � a0 � � � � �f ( ) �0 � �f ( ) �0 � � � ۳ g (t ) 0, t � a0 � � � �0 � � � a0 � �� � 0 � � � � �S � � � �P �0 � b)Hàm số (1) đồng biến khoảng ( ; �) ۳ g (t ) 0, t � a0 � � � �0 � � � a0 � �� � 0 � � � �S � � � � �P �0 � * Ví dụ 1: Cho hàm số : y = m 1 x3 2m 1 x 2m 1 x (1) (m �1) Tìm giá trị tham số m để hàm số: a) Đồng biến khoảng (�; 1) b) Đồng biến khoảng (1; �) c) Đồng biến khoảng (1;1) Lời giải thực Lời giải đề nghị Txđ: D = R Txđ: D = R y ' f ( x) y ' f ( x) (m 1) x 2(2m 1) x 3(2m 1) Ta f ( x) (m 1) x 2(2m 1) x 3(2m 1) có: y ' �۳ a) Hàm số (1) đồng biến � (m 1) x 2(2m 1) x 3(2m 1) �0 khoảng (�; 1) x2 2x ۳ m ۳� f (x� ) 0, x ( ; 1) x2 4x � a0 � x2 x g ( x ) Đặt : � � ' � x x � � x 18 � a0 � � g '( x ) 2 �� � ( x x 6) ' � � � a) Hàm số(1) đồng biến khoảng � �f (1) �0 � (�; 1) ۳� y ' � 0, x (1; ) � S 2( 1) � � � ۳� m � g (x ), x ( ; 1) � m 1 � ۳ m Max g ( x) ( �; 1] � � m m � � � Xét : y g ( x ) , x �( �; 1] � m 1 � Ta có bảng biến thiên: � � � �2m m � � � � x -1 � 11m �0 � g’(x � � m � ) 0 � �m � g(x) � + 11 m� � -1 �� ۳ m 11 �4 �m Từ bảng biến thiên ta : m � � 11 11 4 Kết luận : m � hàm số (1) Kết luận : m � hàm số (1) đồng biến 11 11 ( � ; 1) ( đồng biến khoảng khoảng �; 1) b) Hàm số đồng biến khoảng b) Hàm số đồng biến khoảng (1; �) (1; �) ۳� f (x� ) 0, x (1; ) � a0 � � � ' �0 � � � a0 � �� � ' � � � � �f (1) �0 � � � �S 2.1 � [1;�) Xét : y g ( x) , x �[1; �) Ta có bảng biến thiên: � m 1 � � � 2m m �0 � � � m 1 � � � �� 2 m m � � � � 3m �0 � � �m � 0 � �m � � m� � �� � �m � ۳� y ' � 0, x (1; ) ۳ � m � g ( x), x (1; ) ۳ m Max g ( x ) x g’(x ) g(x) - � + -1 -4 Từ bảng biến thiên ta : m �0 Kết luận : m �0 hàm số (1) đồng biến khoảng (1; �) ۳ m Kết luận : m �0 hàm số (1) đồng biến khoảng (1; �) c) Hàm số đồng biến khoảng c) Hàm số đồng biến khoảng (1;1) (1;1) ۳� f (x) 0, x ( 1;1) ۳� y ' 0, x ( 1;1) ۳� m g ( x), x ( 1;1) ۳ m Max g ( x ) [ 1;1] Xét : y g ( x) , x �[1;1] Ta có bảng biến thiên: x g’(x ) g(x) -1 + 0 11 - � � a0 � � � � ' �0 � � a0 � � � � �f (1) �0 �� � � � � � S 2( 1) �� � �� �� � �f (1) �0 �� � � �� S 2.1 � �� � ' � � � a0 � � � � �f (1) �0 � �f (1) �0 � � � Từ bảng biến thiên ta : m � khoảng (1;1) Kết luận : m � hàm số (1) đồng biến � �m � � � � 2m m �0 � � � 2m m � � � � 3m � � � � � � � �m � � � �m � �� � � � ۳ m �� 11 m � � � �� � � � �m � 0 � � � � �m � � � � m 1 � � � m 1 � � � � 3m �0 � � � 11m �0 � � Kết luận : m� 2 hàm số (1) đồng biến khoảng (1;1) *Bài toán 2: Cho hàm số : y = ax3 + bx2 + cx + d (1) (a �0) a)Tìm điều kiện để hàm số (1) nghịch biến (�; ) b)Tìm điều kiện để hàm số (1) nghịch biến ( ; �) c)Tìm điều kiện để hàm số (1) nghịch biến ( ; ) Lời giải thực Lời giải đề nghị Txđ: D = R Txđ: D = R y ' f ( x) 3ax 2bx c a)Hàm số (1) nghịch biến khoảng (�; ) ۣ ۣ �f(� x) 0, x ( ; ) � a0 � � � �0 � � � a0 � �� � 0 � � � � f ( ) �0 � � � � �S 2 � b) Hàm số (1) nghịch biến khoảng ( ; �) ۣ ۣ �f(� x) 0, x ( ; ) � a0 � � � �0 � � � a0 � �� � 0 � � � � f ( ) �0 � � � � �S 2 � c) Hàm số(1) nghịch biến khoảng ( ; ) ۣۣ �f ( x) 0, x ( ; ) y ' f ( x) 3ax 2bx c TH1: Nếu bpt: f ( x) �0 g ( x) h(m) (*) a)Hàm số(1) nghịch biến khoảng (�; ) ۳� h( m � ) g ( x), x ( ; ) ۳ h ( m) Max g ( x) ( �; ] b)Hàm số (1) nghịch biến khoảng ( ; �) ۳� h( m � ) g ( x), x ( ; ) ۳ h ( m) Max g ( x) [ ;�) c) Hàm số (1) nghịch biến khoảng ( ; ) ۳� h(m) g ( x), x ( ; ) ۳ h ( m) Max g ( x) [ ; ] TH2: Nếu bpt: f ( x) �0 không đưa dạng (*) ta đặt : t = x - Khi ta có: y ' g (t ) 3at 2(3a b)t 3a 2b c a)Hàm số(1) nghịch biến khoảng (�; ) g (t ) � � a0 � � � � �0 � � a0 � � � � �f ( ) �� � � � � � S 2 �� � �� �� � �f ( ) �0 �� � � �� S 2 � �� � 0 � � � a0 � � � � �f ( ) �0 � �f ( ) �0 � � � 0, t � a0 � � � �0 � � � a0 � �� � 0 � � � � �S � � � �P �0 � b)Hàm số (1) nghịch biến khoảng ( ; �) g (t ) 0, t � a0 � � � �0 � � � a0 � �� � 0 � � � � �S � � � �P �0 � *Ví dụ 2: Cho hàm số : y = m 1 x m 1 x x (1) (m ��1) Tìm giá trị tham số m để hàm số (1): a) Nghịch biến khoảng (�; 2) b) Nghịch biến khoảng (2; �) Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị Txđ : D = R Txđ : D = R y’ = f(x) = (m 1) x 2( m 1) x y’ = f(x) = (m 1) x 2( m 1) x a)Hàm số (1) nghịch biến Đặt t = x – ta : y’ = g(t) = khoảng (�; 2) ۣۣ �f(� x) 0, x ( � a0 � � � ' �0 � � � a0 � �� � ' � � � � f (2) �0 � � � � �S 2.2 � ; 2) (m 1)t (4m2 2m 6) t 4m2 4m 10 a)Hàm số (1) nghịch biến khoảng (�; 2) Txđ : D = R y' 2x 4x m f ( x) ( x 1) ( x 1) 2 a)Hàm số (2) đồng biến (�; 1) ۳� y ' � 0, x ( ; 1) ۳ f ( x) 0, x 1 � a0 � � � ' �0 � � � a0 � �� � ' � � � � �f (1) �0 � � � �S 2( 1) � m �1 � � �� m 1 ۣ m � � � m �0 � � Kết luận: Vậy m �9 hàm số (2) đồng biến (�; 1) Txđ : D = R b)Hàm số (2) đồng biến (2; �) ۳� y ' � 0, x (2; ۳ f ( x) 0, x ) � a0 � � � ' �0 � � m �1 � � a0 � � �� �� m 1 ۣ m � � ' � � � � m �0 � � � � f (2) � � � � � �S 2.2 � Kết luận: Vậy m �3 hàm số (2) đồng biến (2; �) c)Hàm số (2) đồng biến (1; 2) ۳� y ' 0, x (1; 2) ۳� f ( x) 0, x (1; 2) 2x2 x m f ( x) ( x 1) ( x 1) �0 m x2 4x Ta có: f ( x) g ( x) x x Đặt : � g '( x) x a)Hàm số (2) đồng biến (�; 1) ۳� y ' � 0, x ( ; 1) m Min g ( x) y' ( �; 1] Ta có bảng biến thiên hàm số: g ( x), x �( �; 1] � x g’(x ) -1 - g(x) � ' �0 m �1 � � � � ' m 1 � � � � � � m � Kết luận: Vậy hàm số (2) đồng �� �� m �0 ��f (1) � � �� �� (�; 1) � � biến �� �� � � �� �� �S 2.1 �0 � � �� f (2) �0 ��3 m �0 � � b)Hàm số (2) đồng biến (2; �) � � �� �� � � � � � � S 2.2 ۳� y ' � 0, x (2; ) � � �� �� � � m Min g ( x) m [2; �) Kết luận: Vậy m �1 hàm số (2) Ta có bảng biến thiên hàm số: đồng biến (1; 2) g ( x), x �[2; �) � x g’(x ) g(x) + � Kết luận: Vậy m �3 hàm số (2) đồng biến (2; �) c) Hàm số (2) đồng biến (1; 2) ۳� y ' 0, x (1; 2) m Min g ( x) [1;2] Ta có bảng biến thiên hàm số: *Bài toán 4: Cho hàm số : y ax bx c (2), (a, d �0) dx e a)Tìm điều kiện để hàm số (2) nghịch biến (�; ) b)Tìm điều kiện để hàm số (2) nghịch biến ( ; �) c)Tìm điều kiện để hàm số (2) nghịch biến ( ; ) Lời giải thực Lời giải đề nghị �e � �d adx 2aex be dc Txđ: D R \ � � y' dx e �e � �d adx 2aex be dc Txđ: D R \ � � f ( x) dx e y' dx e f ( x) dx e a)Hàm số (2) nghịch biến khoảng (�; ) ۣ ۣ �y' �0, x ( ; ) g ( x) h(m) (*) TH1: Nếu: f ( x) �۳ a)Hàm số(2) nghịch biến khoảng (�; ) �e � � � �d � �f ( x) �0, x ( I ) �e � � � �d � �g ( x) �h( m), x �e � � � �d h(m) �Min g ( x) � ( �; ] � � �ad � � � �0 � � �ad (I ) � � � � � � � �f ( ) �0 � � � �S 2 � b)Hàm số(2) nghịch biến khoảng ( ; �) �e �e � � � � � �d � �d h(m) �Min g ( x ) � � �g ( x) �h( m), x [ ;�) � c) Hàm số (2) nghịch biến khoảng ( ; ) �e � � ; � �d � �g ( x) �h(m), x �( ; ) b)Hàm số (2) nghịch biến khoảng ( ; �) ۣ ۣ �y' �0, x ( ; ) �e � � ; � �d h(m) �Min g ( x ) � [ ; ] � TH2: Nếu bpt: f ( x) �0 không đưa dạng (i) ta đặt : t = x - Khi bpt: f ( x) �0 trở thành : g (t ) �0 , �e � � � �d � �f ( x) �0, x ( I ) � ad � � � �0 � � � ad � ( II ) � � � 0 � � � � �f ( ) �0 � � � �S 2 � với: c) Hàm số (2) nghịch biến khoảng ( ; ) ۣ ۣ�y ' 0, x ( ; ) b)Hàm số(2) nghịch biến khoảng ( ; �) �e � �( ; ) � �d � �f ( x ) �0, x �( ; ) ( III ) g (t ) adt 2a (d e)t ad 2ae be dc a )Hàm số(2) nghịch biến khoảng (�; ) � a0 � � � �0 � � �e � a0 � � � � �d (**) � � � 0 � � � �g (t ) �0, t (**) � � �S � � � �P �0 � �e � � � �d � �g (t ) �0, t (***) � a0 � � � �0 � � � a0 � (***) � � � 0 � � � � �S � � � �P �0 � � � ad � � � � �0 � � ad � � � � �f ( ) �� � � � � � S 2 �� � (III) � � �� � �f ( ) �0 �� � � �� S 2 � �� � 0 � � � ad � � � � �f ( ) �0 � �f ( ) �0 � � � *Ví dụ 4: Cho hàm số: y x 2mx 3m2 (2) 2m x a)Tìm giá trị tham số m để hàm số (2) nghịch biến (�;1) b)Tìm giá trị tham số m để hàm số (2) nghịch biến (1; �) Lời giải thực Lời giải đề nghị Txđ : D = R\{2m} Txđ : D = R\{2m} y' x 4mx m f ( x) ( x 2m ) ( x 2m) a) Hàm số (2) nghịch biến (�;1) ۣ ۣ �y' �0, x ( ;1) 2m � �� �f ( x ) �0, x ( I ) ' � � � ' (I ) � � � � �f (1) �0 � �S 2.1 � � m0 � � m �0 m0 � � �� � � � � m 4m �0 m �2 � � � � 4m � � � y' x 4mx m2 f ( x) ( x 2m) ( x 2m ) Đặt : t = x-1 Khi bpt: f ( x) �0 trở thành : g (t ) t 2(1 2m)t m 4m �0 a) Hàm số (2) nghịch biến (�;1) ۣ ۣ �y' �0, x ( ;1) 2m � �� �g (t ) �0, t (*) m0 � ' � � � � ' m �0 � (*) � � �� � � � � 4m �S � � � �P �0 � m 4m �0 � � � � � m0 � �� m �2 � Kết luận: Với m �2 hàm số (2) Kết luận: Với m �2 hàm số nghịch biến (�;1) (2) nghịch biến (�;1) b)Hàm số (2) nghịch biến (1; �) ۣ ۣ �y' �0, x (1; ) 2m � �� �f ( x ) �0, x ( II ) ' � � ' � ( II ) � � � � �f (1) �0 � �S 2.1 � � m0 � � m �0 � �� � m 2 � m 4m �0 � � � 4m � � � b)Hàm số (2) nghịch biến (1; �) ۣ ۣ �y' �0, x (1; ) 2m � �� �g (t ) �0, t (**) ' � � � ' (**) � � � � �S � �P �0 � � m0 � � � m �0 �� m 2 � � 4m � � � m 4m �0 � � � Kết luận: Với m �2 hàm số Kết luận: Với m �2 hàm số (2) (2) nghịch biến (1; �) nghịch biến (1; �) *Bài toán 5: Cho hàm số : y = ax3 + bx2 + cx + d (1) (a �0) Tìm điều kiện để hàm số (1) : a) Có cực trị (�; ) b) Có cực trị ( ; �) c) Có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn : x1 x2 d) Có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn : x1 x2 e) Có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn : x1 x2 Lời giải thực Lời giải đề nghị Txđ: D = R Txđ: D = R y ' f ( x) 3ax 2bx c a)Hàm số(1) có cực trị khoảng (�; ) � f ( x ) có nghiệm khoảng (�; ) y ' f ( x) 3ax 2bx c dạng (i) ta đặt : t = x - : y ' g (t ) 3at 2(3a b)t 3a 2b c a)Hàm số(1) có cực trị khoảng (�; ) af ( ) � � ' �0 � �� � � af ( ) �0 � � �S 2 � � � f ( x ) có nghiệm khoảng (�; ) � g (t ) có nghiệm: t < b) Hàm số(1) có cực trị khoảng ( ; �) � f ( x ) có nghiệm khoảng ( ; �) af ( ) � b) Hàm số(1) có cực trị khoảng ( ; �) � f ( x ) có nghiệm khoảng ( ; �) � g (t ) có nghiệm: t > � ' �0 � �� � � af ( ) �0 � � �S 2 � � P0 � � ' �0 � �� � � �S � �P �0 � � P0 � � ' �0 � �� � � �S � �P �0 � � c) Hàm số(1) có hai cực trị x1, x2 thỏa c) Hàm số(1) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn: x1 x2 mãn: x1 x2 � f ( x ) có hai nghiệm x1, x2 thỏa � g (t ) có hai nghiệm t1,t2 mãn: x1 x2 � af ( ) thỏa mãn : t1 t2 � P0 d) Hàm số (1) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn: x1 x2 � f ( x ) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1 x2 ' � � �� af ( ) �S 2 � d) Hàm số(1) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn: x1 x2 � g (t ) có hai nghiệm t1,t2 thỏa mãn : t1 t2 ' � � � �S �P � e) Hàm số (1) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn: x1 x2 � f ( x ) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1 x2 ' � � �� af ( ) �S 2 � e) Hàm số (1) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn: x1 x2 � g (t ) có hai nghiệm t1,t2 thỏa mãn : t1 t2 ' � � � �S �P � x mx (m2 m 1) x (1) Tìm điều kiện để hàm số (1): a) Có cực trị (�;1) b) Có cực trị (1; �) c) Có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn : x1 x2 d) Có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn : x1 x2 e) Có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn : x1 x2 Lời giải thực Lời giải đề nghị Txđ: D = R Txđ: D = R 2 y’ = f(x) = x 2mx m m y’ = f(x) = x 2mx m2 m a)Hàm số(1) có cực trị khoảng Đặt t x � x t ta : *Ví dụ 5: Cho hàm số : y = (�;1) y ' g (t ) t m t m 3m � f ( x) có nghiệm khoảng a)Hàm số(1) có cực trị khoảng (�;1) (�;1) � m m � f ( x ) có nghiệm khoảng af (1) � � � (�;1) m �0 ' �0 � � � �� �� � � � g (t ) có nghiệm: t < � af (1) �0 m 3m �0 � � � � � m 3m �S 2.1 P0 � � m � � � � � � � ' �0 � m �0 � � � 1 m � � �� � �2m � �S � � � �P �0 � � m 3m �0 � � � � Kết luận: Với m hàm số �1 m (1) có cực trị khoảng (�;1) Kết luận: Với m hàm số (1) có cực trị khoảng (�;1) b)Hàm số(1) có cực trị khoảng b)Hàm số(1) có cực trị khoảng (1; �) � f ( x) có nghiệm khoảng (1; �) (1; �) � f ( x ) có nghiệm khoảng (1; �) � g (t ) có nghiệm: t > � m 3m af (1) � � � � m 3m P0 � m � ' � � � � � � �� �� � �2 ' �0 � m �0 � � af (1) �0 m 3m �0 � � � � � �� � 1 m � � � � � �S 2.1 S � m � � m � � � � � � � �P �0 � � � m 3m �0 � � � � 1 m Kết luận: Với m hàm số(1) Kết luận: Với m hàm số(1) có cực trị khoảng (1; �) có cực trị khoảng (1; �) c)Hàm số(1) có hai cực trị x1, x2 thỏa c) Hàm số(1) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn: x1 x2 mãn: x1 x2 � f ( x) có hai nghiệm x1, x2 � g (t ) có hai nghiệm t1,t2 thỏa mãn: x1 x2 thỏa mãn : t1 t2 � af (1) � m 3m �1 m Kết luận: Với m hàm số(1) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn : x1 x2 d) Hàm số (1) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn: x1 x2 � f ( x) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1 x2 ' � � �� af (1) �S 2.1 � m 1 � �2 �� m 3m � m �� � 2m � Kết luận: Khơng có giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán e) Hàm số (1) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn: x1 x2 � f ( x) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1 x2 � P � m 3m � 1 m Kết luận: Với m hàm số(1) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn : x1 x2 d) Hàm số(1) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn : x1 x2 � g (t ) có hai nghiệm t1,t2 thỏa mãn : t1 t2 ' � � � �S �P � m 1 � �2 �� m 3m � m �� � 2m � Kết luận: Khơng có giá trị m thỏa mãn u cầu tốn e) Hàm số(1) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn: x1 x2 � g (t ) có hai nghiệm t1,t2 thỏa mãn: t1 t m 1 � �2 �� m 3m � m � 2m � ' � � �� af (1) �S 2.1 � ' � � � �S �P � m 1 � �2 �� m 3m � m � 2m � Kết luận: Với m hàm số (1) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn : x1 x2 Kết luận: Với m hàm số (1) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn : x1 x2 ax bx c *Bài toán 6: Cho hàm số : y (2), (a, d �0) dx e Tìm điều kiện để hàm số (2): a) Có cực trị (�; ) b) Có cực trị ( ; �) c) Có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn : x1 x2 d) Có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn : x1 x2 Lời giải thực Lời giải đề nghị �e � �d adx 2aex be dc Txđ: D R \ � � y' dx e �e � �d adx 2aex be dc Txđ: D R \ � � f ( x) dx e y' dx e f ( x) dx e a)Hàm số (2) có cực trị ta đặt : t = x - g (t ) khoảng (�; ) khi: y' Khi : Phương trình f ( x) có nghiệm dt d e , với : khoảng (�; ) (I) g (t ) adt 2a(d e)t ad 2ae be dc e f ( ) �0 a) Hàm số (2) có cực trị khoảng d (�; ) : af ( ) � Phương trình g (t ) có nghiệm t < (*) � ' �0 � af ( ) �0 � � �S 2 � � (I) � � � � e ) �0 d P0 � � � ' �0 (*) � � � � �S � �P �0 � � g ( b)Hàm số(2) có cực trị khoảng b)Hàm số (2) có cực trị khoảng ( ; �) khi: ( ; �) : phương trình f ( x) có nghiệm phương trình g (t ) có nghiệm t > (**) e khoảng ( ; �) (II) và g ( ) �0 e d f ( ) �0 d af ( ) � � ' �0 � ( II ) � � � � af ( ) �0 � � �S 2 � � P0 � � ' �0 � (**) � � � � �S � �P �0 � � c)Hàm số(2) có hai cực trị x1, x2 thỏa c) Hàm số(2) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn: x1 x2 khi: mãn: x1 x2 khi: phương trình g (t ) có hai nghiệm t1,t2 f ( x ) phương trình có hai nghiệm thỏa mãn : t1 t2 (***) x1, x2 thỏa mãn : x1 x2 e g ( ) �0 e d (III) f ( ) �0 (***) � P d (III) � af ( ) d)Hàm số(2) có hai cực trị x1, x2 d) Hàm số(2) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn: x x x1 x2 khi: thỏa mãn: khi: phương trình g (t ) có hai nghiệm t1,t2 f ( x ) phương trình có hai nghiệm thỏa mãn : t1 t2 (1*) x1, x2 thỏa mãn : x1 x2 (IV) e g ( ) �0 e d f ( ) �0 d ' � � (IV) � �af ( ) �S 2 � ' � � (1*) � �S �P � x 2mx 3m *Ví dụ 6: Cho hàm số: y (2) x 2m Tìm điều kiện để hàm số (2) : a) Có cực trị (�;1) b) Có cực trị (1; �) c) Có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn : x1 x2 d) Có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn : x1 x2 Lời giải thực Lời giải đề nghị Txđ : D = R\{2m} Txđ : D = R\{2m} y' x 4mx m f ( x) ( x m) ( x 2m ) y' x 4mx m ( x m) a)Hàm số (2) có cực trị khoảng (�;1) khi: phương trình f ( x) có nghiệm khoảng (�;1) (I) f (2m) �0 (I’) Đặt : t = x-1 af (1) � � ' �0 � � (I) � � � af (1) �0 � � �S 2.1 � � (�;1) phương trình: g (t ) � m 4m � � 3m �0 � �� �2 m 4m �0 � � � �4m � � g (t ) với: (t 2m) g (t ) t 2(1 2m)t m 4m �0 Khi đó: y ' a)Hàm số (2) có cực trị khoảng có nghiệm t < (*) g (2m 1) �0 (1*) P0 � � � ' �0 (*) � � � � �S � �P �0 � � � 2 m 2 �� m �2 � � m 2 3m (I’) ��۹ m � m 2 hàm m �0 � Kết luận: Với � � m 4m � 2 m 2 � � � � m � � �� m �2 � � 4m � � � � m 4m �0 � m � � 3m m (1*) ��۹ m 2 � hàm số (2) có m �0 số (2) có cực trị khoảng � (�;1) cực trị khoảng (�;1) b)Hàm số (2) có cực trị khoảng (1; �) khi: phương trình f ( x) có nghiệm khoảng (1; �) (I) f (2m) �0 (I’) af (1) � � ' �0 � (I) � � � � af (1) �0 � � �S 2.1 � � � m 4m � � 3m �0 � �� �2 m 4m �0 � � � �4m � � � 2 m 2 �� � m 2 m �2 � 3m m (I’) ��۹ Kết luận: Với � b )Hàm số (2) có cực trị khoảng (1; �) phương trình : g (t ) có nghiệm t > (**) g (2m 1) �0 (2*) � m 4m P0 � � � ' �0 � 3m �0 � � � (**) � � �� � � 4m �S � � � �P �0 � � m 4m �0 � � � � � 2 m 2 �� � m 2 m �2 � 3m m (2*) ��۹ Kết luận: Với m hàm số (2) có cực trị khoảng (1; �) Kết luận: Với m hàm số (2) có cực trị khoảng (1; �) c)Hàm số(2) có hai cực trị x1, x2 thỏa c) Hàm số(2) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn: x1 x2 : mãn: x1 x2 : phương trình g (t ) có hai nghiệm t1,t2 phương trình f ( x) có hai nghiệm thỏa mãn : t1 t2 (***) x1, x2 thỏa mãn : x1 x2 (III) f (2m) �0 (I’) (III) � af (1) � 2 m 2 (I’) ۹ m g (2m 1) �0 (3*) (***) � P � 2 m 2 (3*) ۹ m Kết luận: Với m hàm số (2) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn: x1 x2 d)Hàm số(2) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn: x1 x2 khi:phương trình f ( x) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1 x2 (IV) f (2m) �0 (I’) Kết luận :Với m hàm số (2) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn: x1 x2 ' � � (IV) � �af (1) �S 2.1 � ' � � (****) � �S �P � � 3m �2 �� m 4m � m � 4m � (I’) ۹ m � 3m � �� 4m � m 2 � m 4m � (4*) ۹ m d) Hàm số(2) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn: x1 x2 khi: phương trình g (t ) có hai nghiệm t1,t2 thỏa mãn : t1 t2 (****) g (2m 1) �0 (4*) m 2 � �m hàm số (2) có hàm số Kết luận: Với � m � � �m �0 (2) có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn : hai cực trị x1, x2 thỏa mãn : x1 x2 x1 x2 Kết luận: Với � 3.3 Khả áp dụng giải pháp: Khả áp dụng giải pháp học sinh THPT khối 12 Đối tượng nghiên cứu đề tài học sinh lớp 12C1, 12C2, 12C3, 12C9 3.4 Hiệu quả, lợi ích thu dự kiến thu áp dụng giải pháp: Khi áp dụng chuyên đề vào giảng dạy học sinh mơn Tốn trường THPT, tơi nhận thấy em học sinh hứng thú với môn học, nhiều em cảm thấy bất ngờ mà số tốn tưởng chừng khơng thể giải khơng có cơng cụ định lý đảo dấu tam thức bậc hai hệ quả, lại giải cách đơn giản, dễ hiểu cách ứng dụng đạo hàm định lý quen thuộc định lý Vi-et Chính em nhận thấy với toán ta chịu tìm tòi sáng tạo phát nhiều điều bổ ích nên hứng thú với mơn học Do năm học tơi nhận thấy chất lượng mơn tốn nói riêng, kết học tập em học sinh nói chung nâng lên rõ rệt, có nhiều em đầu năm học sinh yếu cuối năm vươn lên để trở thành học sinh trung bình, giỏi Trong kỳ thi quan trọng có nhiều em đạt điểm cao góp phần nâng cao chất lượng giáo dục nhà trường Cụ thể: Qua trình nghiên cứu, kết đạt tốt Trong năm học 2017 – 2018(đã áp dụng giải pháp này), kết lớp 12C1, 12C2, 12C3, 12C9 cao hơn, chất lượng nâng lên cao, số lượng học sinh đạt giỏi Cụ thể kết kiểm tra định kỳ chương Giải tích 12: Thời Tổng Giỏi lượng 45 phút 45 phút 45 phút 45 phút số 43 43 41 41 (%) 15(34.88%) 13(30.23%) 12(29.27%) 13(31.71%) Khá Tb (%) (%) 17(39.53%) 11(25.59%) 20(46.51%) 10(23.26%) 21(51.22%) 8(19.51%) 16(39.02%) 12(29.27%) Yếu Kém (%) 0 0 (%) 0 0 3.5 Tài liệu kèm theo gồm: khơng có Bến Tre, ngày 20 tháng năm 2018 ... chia đồng nghiệp số kinh nghiệm giúp học sinh khối 12 vận dụng kiến thức giải tốt số tốn tính đơn điệu, cực trị hàm số - Sáng kiến đưa số dạng tốn tính đơn điệu, cực trị hàm số mức độ vận dụng... giải pháp để giúp em học sinh khối 12 nắm vững phần kiến thức quan trọng 3.2.2 Điểm giải pháp Qua trình nghiên cứu tìm giải pháp giúp học sinh nâng cao kỹ giải tốt số tốn tính đơn điệu, cực trị. .. Đề tài:“GIÚP HỌC SINH NÂNG CAO KỸ NĂNG GIẢI TỐT MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ” 3.2 Nội dung giải pháp đề nghị cơng nhận sáng kiến 3.2.1 Mục đích giải pháp - Sáng kiến
Ngày đăng: 10/10/2019, 17:07
Xem thêm: Giúp học sinh nâng cao kỹ năng giải một số bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số
