Sáng kiến kinh nghiệm giải bài các toán về tính đơn điệu,cực trị của hàm số khi không sử dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai

Giải tốn tính đơn điệu, cực trị khơng sử dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO TỈNH PHÚ THỌ TRƯỜNG THPT THANH SƠN *O* SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIẢI BÀI CÁC TỐN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU,CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ KHI KHÔNG SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ ĐẢO DẤU TAM THỨC BẬC HAI GIÁO VIÊN : NGUYỄN VĂN KÔNG ĐƠN VỊ : TRƯỜNG THPT THANH SƠN NĂM HỌC : 2011 – 2012 -GV : Nguyễn Văn Kông – Trường THPT Thanh Sơn Giải tốn tính đơn điệu, cực trị khơng sử dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai MỞ ĐẦU 1/Đặt vấn đề Như biết toán liên quan đến khảo sát hàm số tốn khơng thể thiếu kì thi Tốt nghiệp THPT tuyển sinh đại học Trong thường gặp nhiều tốn “ Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu có cực trị khoảng K ” Khi giải toán đưa đến vấn đề “tìm điều kiện để y’0) K phương trình y’= có nghiệm K” Đây thực chất vấn đề so sánh nghiệm phương trình bậc hai với số thực α Nếu theo chương trình sách giáo khoa cũ lớp 10 học sinh vận dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai hệ để giải tốn Tuy nhiên có nhiều toán đưa đến việc phải xét nhiều trường hợp lời giải dài dịng phức tạp Hơn , theo chương trình sách giáo khoa Bộ giáo dục phát hành phần kiến thức liên quan đến định lí đảo hệ giảm tải Do gặp phải vấn đề “Làm để giải toán cách hiệu mà cần vận dụng kiến thức học trình sách giáo khoa hành” Với suy nghĩ nhằm giúp em tìm tịi, sáng tạo hứng thú việc học tập mơn tốn đồng thời nâng cao chất lượng giảng dạy nên viết đề tài sang kiến kinh nghiệm “ Giải tốn tính đơn điệu, cực trị hàm số không sử dụng định lý đảo dấu tam thức bậc hai” 2/Nội dung sáng kiến A.Mở đầu B.Đặt vấn đề I.Cơ sở lý thuyết – Ví dụ minh họa II.Bài tập thực hành C Kết học kinh nghiệm Thanh sơn, ngày 08 tháng 01 năm 2012 Người viết Nguyễn Văn Kông -GV : Nguyễn Văn Kông – Trường THPT Thanh Sơn Giải tốn tính đơn điệu, cực trị khơng sử dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM I.CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.Kiến thức cần nhớ i) Phương trình bậc hai a) Định nghĩa • Phương trình bậc hai ẩn x ( x ∈ R ) phương trình có dạng: ax + bx + c = ( 1) ( a ≠ ) b)Cách giải • Tính ∆ = b − 4ac  Nếu ∆ < phương trình (1) vơ nghiệm  Nếu ∆ = phương trình (1) có nghiệm kép x1 = x2 = −  Nếu ∆ > phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 = b 2a −b − ∆ −b + ∆ , x2 = 2a 2a c)Định lý Vi-et – Dấu nghiệm  Định lý: Nếu phương trình bậc hai ẩn x ∈ R : ax + bx + c = ( 1) ( a ≠ ) có hai nghiệm x1 , x2 S = x1 + x2 = −b c , P = x1.x2 = a a  Dấu nghiệm:  Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu ⇔ P < ∆ ≥ P >  Phương trình (1) có hai nghiệm dấu ⇔  ∆ ≥   Phương trình (1) có hai nghiệm dương ⇔  P > S >  ∆ ≥   Phương trình (1) có hai nghiệm âm ⇔  P > S <  -GV : Nguyễn Văn Kông – Trường THPT Thanh Sơn Giải tốn tính đơn điệu, cực trị khơng sử dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai ii)Điều kiện cần đủ để hàm số đơn điệu Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm K  Điều kiện cần đủ để hàm số y = f(x) đồng biến K f '( x ) ≥ 0, ∀x ∈ K đồng thời f '( x) = xảy số hữu hạn điểm thuộc K  Điều kiện cần đủ để hàm số y = f(x) nghịch biến K f '( x ) ≤ 0, ∀x ∈ K đồng thời f '( x) = xảy số hữu hạn điểm thuộc K iii) Điều kiện cần đủ để hàm số có cực trị • • Định lí 1: Giả sử hàm số y = f(x) đạt cực trị x0 , f có đạo hàm x0 f '( x0 ) = Định lí 2: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục khoảng (a;b) chứa x0 có đạo hàm khoảng (a;x0) (x0;b) klhi :  Nếu f '( x ) < 0, ∀x ∈ (a; x0 ) f '( x ) > 0, ∀x ∈ ( x0 ; b) hàm số đạt cực tiểu x0  Nếu f '( x ) > 0, ∀x ∈ (a; x0 ) f '( x ) < 0, ∀x ∈ ( x0 ; b) hàm số đạt cực đại x0 -GV : Nguyễn Văn Kông – Trường THPT Thanh Sơn Giải toán tính đơn điệu, cực trị khơng sử dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai Phương pháp giải toán *Bài toán 1: Cho hàm số : y = ax3 + bx2 + cx + d (1) (a ≠ 0) Tìm điều kiện để hàm số (1) : a) Đồng biến (−∞; α ) b) Đồng biến (α ; +∞) c) Đồng biến (α ; β ) Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị Txđ: D = R Txđ: D = R y ' = f ( x ) = 3ax + 2bx + c a)Hàm số (1) đồng biến khoảng (−∞; α ) ⇔ f ( x) ≥ 0, ∀x ∈ (−∞; α )  a >   ∆ ≤  a > ⇔  ∆ >   f (α ) ≥    S − 2α >  y ' = f ( x ) = 3ax + 2bx + c TH1: Nếu bpt: f ( x) ≥ ⇔ h(m) ≥ g ( x ) (i ) a)Hàm số(1) đồng biến khoảng (−∞; α ) ⇔ h(m) ≥ g ( x) , ∀x ∈ (−∞; α ) ⇔ h(m) ≥ Max g ( x) ( −∞ ;α ] b)Hàm số (1) đồng biến khoảng (α ; +∞) ⇔ h(m) ≥ g ( x) , ∀x ∈ (α ; +∞) ⇔ h(m) ≥ Max g ( x) [α ;+∞ ) c) Hàm số (1) đồng biến khoảng (α ; β ) ⇔ h(m) ≥ g ( x) , ∀x ∈ (α ; β ) ⇔ h(m) ≥ Max g ( x) [α ; β ] b) Hàm số (1) đồng biến khoảng (α ; +∞) ⇔ f ( x) ≥ 0, ∀x ∈ (α ; +∞)  a >   ∆ ≤  a > ⇔  ∆ >   f (α ) ≥    S − 2α <  c) Hàm số(1) đồng biến khoảng (α ; β ) ⇔ f ( x) ≥ 0, ∀x ∈ (α ; β ) TH2: Nếu bpt: f ( x) ≥ không đưa dạng (i) ta đặt : t = x - α Khi ta có: y ' = g (t ) = 3at + 2(3aα + b)t + 3aα + 2bα + c a)Hàm số (1) đồng biến khoảng (−∞; α ) ⇔ g (t ) ≥ 0, ∀t <  a >   ∆ ≤  a > ⇔  ∆ > S >   P ≥  b)Hàm số (1) đồng biến khoảng (α ; +∞) ⇔ g (t ) ≥ 0, ∀t > -GV : Nguyễn Văn Kông – Trường THPT Thanh Sơn Giải tốn tính đơn điệu, cực trị khơng sử dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai    a >  ∆ ≤    a >      f (α ) ≥      S − 2α <  ⇔   f (β ) ≥  S − 2β >    ∆ >   a <   f (α ) ≥   f (β ) ≥   a >   ∆ ≤  a > ⇔  ∆ > S <   P ≥  Nhận xét: Khi nhìn vào tốn nhiều người nghĩ đến việc sử dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai hệ Nhưng với cách làm ta hướng dẫn học sinh giải toán cách dễ dàng cách ứng dụng đạo hàm sử dụng định lý Viet, tránh sử dụng kiến thức giảm tải sách giáo khoa *Ví dụ 1: Cho hàm số : y = ( m + 1) x − ( 2m − 1) x + ( 2m − 1) x + (1) (m ≠ −1) Tìm giá trị m để hàm số: a) Đồng biến khoảng (−∞; −1) b) Đồng biến khoảng (1; +∞) c) Đồng biến khoảng (−1;1) Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị Txđ: D = R Txđ: D = R (m + 1) x − 2(2m − 1) x + 3(2m − 1) a)Hàm số (1) đồng biến khoảng (−∞; −1) ⇔ f ( x) ≥ 0, ∀x ∈ (−∞; −1) (m + 1) x − 2(2m − 1) x + 3(2m − 1) Ta có: y ' ≥ ⇔ f ( x) ≥ ⇔ (m + 1) x − 2(2 m − 1) x + 3(2m − 1) ≥ y ' = f ( x) = y ' = f ( x) = ⇔ m≥ − x2 − 2x + x2 − 4x + -GV : Nguyễn Văn Kông – Trường THPT Thanh Sơn Giải tốn tính đơn điệu, cực trị khơng sử dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai  a >   ∆ ' ≤  a > ⇔  ∆ ' >   f (−1) ≥    S − 2(−1) >   m + >    −2 m − m + ≤  m + >  ⇔   −2 m − m + >    11m − ≥  m >0    m + 1  m ≥ ⇔ ⇔ m≥ 11 4 ≤m< 11  Kết luận : m ≥ hàm số (1) đồng 11 biến khoảng (−∞; −1) b)Hàm số đồng biến khoảng (1; +∞) ⇔ f ( x) ≥ 0, ∀x ∈ (1; +∞)  a >   ∆ ' ≤  a > ⇔  ∆ ' >   f (1) ≥    S − 2.1 <  − x2 − x + x2 − 4x + 6 x − 18 ⇒ g '( x ) = ( x − x + 6) a)Hàm số(1) đồng biến khoảng (−∞; −1) ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ (1; +∞) Đặt : g ( x ) = ⇔ m ≥ g ( x), ∀x ∈ (−∞; −1) ⇔ m ≥ Max g ( x) ( −∞; −1] Xét : y = g ( x) , ∀x ∈ ( −∞; −1] Ta có bảng biến thiên: x g’(x ) g(x) −∞ -1 + 11 -1 Từ bảng biến thiên ta : m ≥ 11 hàm số (1) đồng 11 biến khoảng (−∞; −1) b)Hàm số đồng biến khoảng (1; +∞) ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ (1; +∞) ⇔ m ≥ g ( x), ∀x ∈ (1; +∞) ⇔ m ≥ Max g ( x) Kết luận : m ≥ [1; +∞ ) Xét : y = g ( x) , ∀x ∈ [1; +∞) Ta có bảng biến thiên: x g’(x ) g(x) - +∞ + -1 -4 -GV : Nguyễn Văn Kông – Trường THPT Thanh Sơn Giải tốn tính đơn điệu, cực trị khơng sử dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai  m + >    −2 m − m + ≤  m + >  ⇔   −2 m − m + >    3m ≥  m −      f (−1) ≥     S − 2(−1) <   ⇔      f (1) ≥     S − 2.1 >    ∆ ' >   a <   f (−1) ≥    f (1) ≥  biến khoảng (1; +∞) [ −1;1] Xét : y = g ( x) , ∀x ∈ [ −1;1] Ta có bảng biến thiên: x g’(x ) g(x) -1 + 0 - 11 Từ bảng biến thiên ta : m ≥ hàm số (1) đồng biến khoảng (−1;1) Kết luận : m ≥ -GV : Nguyễn Văn Kông – Trường THPT Thanh Sơn Giải toán tính đơn điệu, cực trị khơng sử dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai   m +1 >    −2 m − m + ≤     −2 m − m + >     3m ≥  m −  >0   m + ⇔  ⇔ m≥  11m − ≥   m <  m +   m + >    m + <  3m ≥    11m − ≥  hàm số (1) đồng biến khoảng (−1;1) Nhận xét: Với toán sử dụng định lý đảo dấu tam thức bậc hai ta phải sử dụng kiến thức giảm tải lời giải phức tạp, với cách giải ta có lời giải ngắn gọn dễ hiểu tạo nhiều hứng thú cho học sinh *Bài toán 2: Cho hàm số : y = ax3 + bx2 + cx + d (1) (a ≠ 0) a)Tìm điều kiện để hàm số (1) nghịch biến (−∞; α ) b)Tìm điều kiện để hàm số (1) nghịch biến (α ; +∞) c)Tìm điều kiện để hàm số (1) nghịch biến (α ; β ) Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị Kết luận : m ≥ Txđ: D = R Txđ: D = R y ' = f ( x ) = 3ax + 2bx + c a)Hàm số (1) nghịch biến khoảng (−∞; α ) ⇔ f ( x) ≤ 0, ∀x ∈ (−∞; α ) y ' = f ( x ) = 3ax + 2bx + c TH1: Nếu bpt: f ( x) ≤ ⇔ g ( x ) ≤ h( m) (i ) a)Hàm số(1) nghịch biến khoảng (−∞; α ) -GV : Nguyễn Văn Kông – Trường THPT Thanh Sơn Giải tốn tính đơn điệu, cực trị khơng sử dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai  a <   ∆ ≤  a < ⇔  ∆ >   f (α ) ≤    S − 2α >  b) Hàm số (1) nghịch biến khoảng (α ; +∞) ⇔ f ( x) ≤ 0, ∀x ∈ (α ; +∞)  a <   ∆ ≤  a < ⇔  ∆ >   f (α ) ≤    S − 2α <  c) Hàm số(1) nghịch biến khoảng (α ; β ) ⇔ f ( x) ≤ 0, ∀x ∈ (α ; β )    a <  ∆ ≤    a <      f (α ) ≤      S − 2α <  ⇔   f (β ) ≤  S − 2β >    ∆ >   a >   f (α ) ≤   f (β ) ≤  ⇔ h(m) ≥ g ( x) , ∀x ∈ (−∞; α ) ⇔ h(m) ≥ Max g ( x) ( −∞ ;α ] b)Hàm số (1) nghịch biến khoảng (α ; +∞) ⇔ h(m) ≥ g ( x) , ∀x ∈ (α ; +∞) ⇔ h(m) ≥ Max g ( x) [α ;+∞ ) c) Hàm số (1) nghịch biến khoảng (α ; β ) ⇔ h(m) ≥ g ( x) , ∀x ∈ (α ; β ) ⇔ h(m) ≥ Max g ( x) [α ; β ] TH2: Nếu bpt: f ( x) ≥ khơng đưa dạng (i) ta đặt : t = x - α Khi ta có: y ' = g (t ) = 3at + 2(3aα + b)t + 3aα + 2bα + c a)Hàm số(1) nghịch biến khoảng (−∞; α ) ⇔ g (t ) ≤ 0, ∀t <  a <   ∆ ≤  a < ⇔  ∆ > S >   P ≥  b)Hàm số (1) nghịch biến khoảng (α ; +∞) ⇔ g (t ) ≤ 0, ∀t >  a <   ∆ ≤  a < ⇔  ∆ > S <   P ≥  10 GV : Nguyễn Văn Kông – Trường THPT Thanh Sơn Giải tốn tính đơn điệu, cực trị khơng sử dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai ∆ ' =  ∆ ' > ( I ) ⇔    f (1) ≤    S − 2.1 >  m =  m ≠ m = ⇔  ⇔   − m + 4m − ≤ m ≥ +    4m − >  Kết luận: Với m ≥ + hàm số (2) nghịch biến (−∞;1) b)Hàm số (2) nghịch biến (1; +∞) ⇔ y ' ≤ 0, ∀x ∈ (1; +∞) ∆ ' =  ∆ ' > (i ) ⇔   S >   P ≥  m =  m ≠ m = ⇔  ⇔   4m − > m ≥ +    m − 4m + ≥  Kết luận: Với m ≥ + hàm số (2) nghịch biến (−∞;1) b)Hàm số (2) nghịch biến (1; +∞) ⇔ y ' ≤ 0, ∀x ∈ (1; +∞)  2m <  2m < ⇔ ⇔  f ( x ) ≤ 0, ∀x > ( II )  g (t ) ≤ 0, ∀t > (ii ) ∆ ' = ∆ ' =   ∆ ' >  ∆ ' > ( II ) ⇔  (ii ) ⇔     f (1) ≤ S <     S − 2.1 <  P ≥   m = m =   m ≠  m ≠ ⇔  ⇔  ⇔ m ≤ 2− ⇔ m ≤ 2−   4m − <  − m + 4m − ≤     4m − <   m − 4m + ≥   Kết luận: Với m ≤ − hàm số Kết luận: Với m ≤ − hàm số (2) (2) nghịch biến (1; +∞) nghịch biến (1; +∞) *Bài toán 5: Cho hàm số : y = ax3 + bx2 + cx + d (1) (a ≠ 0) Tìm điều kiện để hàm số (1) : a) Có cực trị (−∞; α ) b) Có cực trị (α ; +∞) c) Có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : x1 < α < x2 d) Có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : x1 < x2 < α e) Có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : α < x1 < x2 20 GV : Nguyễn Văn Kông – Trường THPT Thanh Sơn Giải tốn tính đơn điệu, cực trị khơng sử dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị Txđ: D = R Txđ: D = R y ' = f ( x ) = 3ax + 2bx + c a)Hàm số(1) có cực trị khoảng (−∞; α ) ⇔ f ( x ) = có nghiệm khoảng (−∞; α ) y ' = f ( x ) = 3ax + 2bx + c  af (α ) <  ∆ ' ≥ ⇔   af (α ) ≥    S − 2α <  b)Hàm số(1) có cực trị khoảng (α ; +∞) ⇔ f ( x ) = có nghiệm khoảng (α ; +∞) dạng (i) ta đặt : t = x - α : y ' = g (t ) = 3at + 2(3aα + b)t + 3aα + 2bα + c a)Hàm số(1) có cực trị khoảng (−∞; α ) ⇔ f ( x) = có nghiệm khoảng (−∞; α ) ⇔ g (t ) = có nghiệm: t < P <  ∆ ' ≥ ⇔  S <   P ≥  b)Hàm số(1) có cực trị khoảng (α ; +∞) ⇔ f ( x) = có nghiệm khoảng (α ; +∞) ⇔ g (t ) = có nghiệm: t > P <  ∆ ' ≥ ⇔  S >   P ≥   af (α ) <  ∆ ' ≥ ⇔   af (α ) ≥    S − 2α >  c)Hàm số(1) có hai cực trị x1, x2 thõa c) Hàm số(1) có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : x1 < α < x2 mãn : x1 < α < x2 ⇔ f ( x ) = có hai nghiệm x1, x2 ⇔ g (t ) = có hai nghiệm t1,t2 thõa mãn : x1 < α < x2 thõa mãn : t1 < < t ⇔ af (α ) < ⇔ P  ⇔ S < P >  e) Hàm số (1) có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : α < x1 < x2 ⇔ f ( x ) = có hai nghiệm x1, x2 thõa mãn : α < x1 < x2 ∆ ' >  ⇔ af (α ) >  S − 2α >  e) Hàm số (1) có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : α < x1 < x2 ⇔ g (t ) = có hai nghiệm t1,t2 thõa mãn : < t1 < t2 ∆ ' >  ⇔ S > P >  Nhận xét: Thoạt nhìn tốn thể rõ phải dùng kiến thức so sánh nghiệm tam thức bậc hai với số thực α Nhưng với cách làm ta đưa toán quen thuộc so sánh nghiệm với số Đây tốn tổng qt học sinh dùng cách để giải nhiều tốn tương tự mà khơng cần sử dụng kiến thức liên quan đến định lý đảo dấu tam thức bậc hai *Ví dụ 5: Cho hàm số : y = x − mx + (m − m + 1) x + (1) Tìm điều kiện để hàm số (1): a) Có cực trị (−∞;1) b) Có cực trị (1; +∞) c) Có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : x1 < < x2 d) Có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : x1 < x2 < e) Có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : < x1 < x2 22 GV : Nguyễn Văn Kông – Trường THPT Thanh Sơn Giải tốn tính đơn điệu, cực trị khơng sử dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai Lời giải thường gặp Txđ: D = R y’ = f(x) = x − 2mx + m − m + a)Hàm số(1) có cực trị khoảng (−∞;1) ⇔ f ( x ) = có nghiệm khoảng (−∞;1)  af (1) <  ∆ ' ≥ ⇔   af (1) ≥    S − 2.1 <   m − 3m + <   m − ≥ ⇔  ⇔1< m < m − 3m + ≥    2m − <  Kết luận: Với < m < hàm số(1) có cực trị khoảng (−∞;1) b)Hàm số(1) có cực trị khoảng (1; +∞) ⇔ f ( x ) = có nghiệm khoảng (1; +∞)  af (1) <  ∆ ' ≥ ⇔   af (1) ≥    S − 2.1 >   m − 3m + <   m − ≥ ⇔  ⇔1< m m − 3m + ≥    2m − >  Lời giải đề nghị Txđ: D = R y’ = f(x) = x − 2mx + m − m + • Đặt t = x − ⇒ x = t + ta : y ' = g (t ) = t + ( − m ) t + m − 3m + a)Hàm số(1) có cực trị khoảng (−∞;1) ⇔ f ( x ) = có nghiệm khoảng (−∞;1) ⇔ g (t ) = có nghiệm: t <  m − 3m + < P <   m − ≥ ∆ ' ≥ ⇔  ⇔   2m − < S <   P≥0  m − 3m + ≥    ⇔1< m < Kết luận: Với < m < hàm số(1) có cực trị khoảng (−∞;1) b)Hàm số(1) có cực trị khoảng (1; +∞) ⇔ f ( x ) = có nghiệm khoảng (1; +∞) ⇔ g (t ) = có nghiệm: t >  m − 3m + < P <    ∆ ' ≥ ⇔  m − ≥ ⇔    2m − > S >    m − 3m + ≥  P ≥   ⇔1< m Kết luận:Với m > hàm số(1) có cực trị khoảng (1; +∞) Kết luận:Với m > hàm số(1) có cực trị khoảng (1; +∞) 23 GV : Nguyễn Văn Kông – Trường THPT Thanh Sơn Giải tốn tính đơn điệu, cực trị khơng sử dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai c)Hàm số(1) có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : x1 < < x2 ⇔ f ( x ) = có hai nghiệm x1, x2 thõa mãn : x1 < < x2 ⇔ af (1) < ⇔ m − 3m + < ⇔1< m < Kết luận: Với < m < hàm số(1) có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : x1 < < x2 d) Hàm số (1) có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : x1 < x2 < ⇔ f ( x ) = có hai nghiệm x1, x2 thõa mãn : x1 < x2 < ∆ ' >  ⇔ af (1) >  S − 2.1 <  m − >  ⇔ m − 3m + > ⇔ m ∈ ∅  2m − <  c) Hàm số(1) có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : x1 < < x2 ⇔ g (t ) = có hai nghiệm t1,t2 thõa mãn : t1 < < t ⇔ P < ⇔ m − 3m + < ⇔1< m < Kết luận: Với < m < hàm số(1) có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : x1 < < x2 d) Hàm số(1) có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : x1 < x2 < ⇔ g (t ) = có hai nghiệm t1,t2 thõa mãn : t1 < t2 < ∆ ' >  ⇔ S < P >  m − >  ⇔ m − 3m + > ⇔ m ∈ ∅  2m − <  Kết luận: Khơng có giá trị m thõa mãn yêu cầu toán Kết luận: Khơng có giá trị m thõa mãn u cầu tốn e) Hàm số (1) có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : < x1 < x2 ⇔ f ( x ) = có hai nghiệm x1, x2 thõa mãn : < x1 < x2 ∆ ' >  ⇔ af (1) >  S − 2.1 >  e) Hàm số(1) có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : < x1 < x2 ⇔ g (t ) = có hai nghiệm t1,t2 thõa mãn : < t1 < t2 m − >  ⇔ m − 3m + > ⇔ m >  2m − >  ∆ ' >  ⇔ S > P >  m − >  ⇔ m − 3m + > ⇔ m >  2m − >  Kết luận: Với m > hàm số(1) Kết luận: Với m > hàm số(1) có hai cực có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : 24 GV : Nguyễn Văn Kông – Trường THPT Thanh Sơn Giải tốn tính đơn điệu, cực trị khơng sử dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai < x1 < x2 *Bài toán 6: Cho hàm số : y = Tìm điều kiện để hàm số (2): a.Có cực trị (−∞; α ) b.Có cực trị (α ; +∞) trị x1, x2 thõa mãn : < x1 < x2 ax + bx + c (2), (a, d ≠ 0) dx + e c.Có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : x1 < α < x2 d.Có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : x1 < x2 < α Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị  −e   −e  Txđ: D = R \   Txđ: D = R \   d  d  adx + 2aex + be − dc f ( x) adx + 2aex + be − dc f ( x) y'= = y'= = 2 2 ( dx + e ) ( dx + e ) ( dx + e ) ( dx + e ) a)Hàm số (2) có cực trị ta đặt : t = x - α (−∞; α ) : khoảng g (t ) y'= f ( x) = có nghiệm Khi : phương trình ( dt + dα + e ) , với : khoảng (−∞; α ) (I) g (t ) = adt + 2a (dα + e)t + adα + 2aeα + be − dc −e f ( )≠ a)Hàm số (2) có cực trị khoảng (−∞; α ) d :  af (α ) < phương trình g (t ) = có nghiệm t < (i)  ∆'≥  −e (I) ⇔   g ( − α ) ≠  af (α ) ≥ d  S − 2α < P <    ∆ ' ≥ (i ) ⇔   S <   P ≥  b)Hàm số(2) có cực trị khoảng (α ; +∞) : phương trình f ( x) = có nghiệm khoảng (α ; +∞) (II) −e f ( )≠ d b)Hàm số (2) có cực trị khoảng (α ; +∞) : phương trình g (t ) = có nghiệm t > (ii) g ( −e −α ) ≠ d 25 GV : Nguyễn Văn Kông – Trường THPT Thanh Sơn Giải tốn tính đơn điệu, cực trị khơng sử dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai  af (α ) <  ∆ ' ≥ ( II ) ⇔     af (α ) ≥    S − 2α >  c)Hàm số(2) có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : x1 < α < x2 : phương trình f ( x) = có hai nghiệm x1, x2 thõa mãn : x1 < α < x2 −e )≠ d (III) ⇔ af (α ) < (III) f ( d)Hàm số(2) có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : x1 < x2 < α : phương trình f ( x) = có hai nghiệm x1, x2 thõa mãn : x1 < x2 < α (IV) f ( −e )≠ d ∆ ' >  (IV) ⇔ af (α ) >  S − 2α <  P <  ∆ ' ≥ (ii ) ⇔   S >   P ≥  c) Hàm số(2) có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : x1 < α < x2 : phương trình g (t ) = có hai nghiệm t1,t2 thõa mãn : t1 < < t2 (iii) −e g ( − α ) ≠ d (iii) ⇔ P < d) Hàm số(2) có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : x1 < x2 < α : phương trình g (t ) = có hai nghiệm t1,t2 thõa mãn : t1 < t2 < (iv) −e g ( − α ) ≠ d ∆ ' >  (iv) ⇔  S < P >  x − 2mx + 3m *Ví dụ 6: Cho hàm số: y = (2) x − 2m Tìm điều kiện để hàm số (2) : a) Có cực trị (−∞;1) b) Có cực trị (1; +∞) c) Có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : x1 < < x2 d) Có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : x1 < x2 < Lời giải thường gặp Lời giải đề nghị 26 GV : Nguyễn Văn Kông – Trường THPT Thanh Sơn Giải tốn tính đơn điệu, cực trị khơng sử dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai Txđ : D = R\{2m} x − 4mx + m f ( x) y'= = ( x − m) ( x − 2m ) a)Hàm số (2) có cực trị khoảng (−∞;1) : phương trình f ( x) = có nghiệm khoảng (−∞;1) (I) f (2m) ≠ (I’)  af (1) <  ∆ ' ≥ (I) ⇔    af (1) ≥    S − 2.1 <   m − 4m + <   3m ≥ ⇔    m − 4m + ≥   4m − <  2 − < m < + ⇔ ⇔ m < 2+ m ≤ −  (I’) ⇔ −3m ≠ ⇔ m ≠ Txđ : D = R\{2m} x − 4mx + m y'= ( x − m) m < +  hàm số m ≠  (2) có cực trị khoảng (−∞;1) 2 − < m < + ⇔ ⇔ m < 2+ m ≤ −  (i’) ⇔ −3m ≠ ⇔ m ≠ Kết luận: Với  Đặt : t = x-1 g (t ) với: (t + − 2m) g (t ) = t + 2(1 − 2m)t + m − 4m + ≤ a)Hàm số (2) có cực trị khoảng (−∞;1) phương trình : g (t ) = có nghiệm t < (i) g (2m − 1) ≠ (i’) Khi đó: y ' = P <  ∆ ' ≥ (i ) ⇔   S <   P ≥   m − 4m + <   3m ≥ ⇔  4m − <    m − 4m + ≥  m < +  hàm số (2) m ≠  có cực trị khoảng (−∞;1) b)Hàm số (2) có cực trị khoảng (1; +∞) phương trình : g (t ) = có nghiệm t > (i) g (2m − 1) ≠ (i’) Kết luận: Với  b)Hàm số (2) có cực trị khoảng (1; +∞) : phương trình f ( x) = có nghiệm khoảng (1; +∞) (I) f (2m) ≠ (I’) 27 GV : Nguyễn Văn Kơng – Trường THPT Thanh Sơn Giải tốn tính đơn điệu, cực trị khơng sử dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai  af (1) <  ∆ ' ≥ (I) ⇔    af (1) ≥    S − 2.1 >  P <  ∆ ' ≥ (i ) ⇔   S >   P ≥   m − 4m + <   3m ≥ ⇔    m − 4m + ≥   4m − >  2 − < m < + ⇔ ⇔ m > 2− m ≥ +   m − 4m + <   3m ≥ ⇔  4m − >    m − 4m + ≥  (I’) ⇔ −3m ≠ ⇔ m ≠ Kết luận: Với m > − hàm số (2) có cực trị khoảng (1; +∞) 2 − < m < + ⇔ ⇔ m > 2− m ≥ +  (i’) ⇔ −3m ≠ ⇔ m ≠ Kết luận: Với m > − hàm số (2) có cực trị khoảng (1; +∞) c)Hàm số(2) có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : c) Hàm số(2) có hai cực trị x1, x2 thõa x1 < < x2 mãn : x1 < < x2 : : phương trình g (t ) = có hai nghiệm t1,t2 phương trình f ( x) = có hai nghiệm x1, thõa mãn : t1 < < t2 (iii) x2 thõa mãn : x1 < < x2 g (2m − 1) ≠ (i’) (III) f (2m) ≠ (I’) (iii) ⇔ P < (III) ⇔ af (1) < ⇔ 2− < m < 2+ ⇔ 2− < m < 2+ (i’) ⇔ m ≠ (I’) ⇔ m ≠ Kết luận :Với − < m < + Kết luận: Với − < m < + hàm số (2) có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : x1 < < x2 d)Hàm số(2) có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : x1 < x2 < : phương trình f ( x) = có hai nghiệm x1, x2 thõa mãn : x1 < x2 < (IV) f (2m) ≠ (I’) hàm số (2) có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : x1 < < x2 d) Hàm số(2) có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : x1 < x2 < : phương trình g (t ) = có hai nghiệm t1,t2 thõa mãn : t1 < t2 < (iv) g (2m − 1) ≠ (i’) 28 GV : Nguyễn Văn Kông – Trường THPT Thanh Sơn Giải tốn tính đơn điệu, cực trị khơng sử dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai ∆ ' >  (IV) ⇔ af (1) >  S − 2.1 <  ∆ ' >  (iv) ⇔  S < P >  3m >  ⇔  m − 4m + > ⇔ m < −  4m − <  (I’) ⇔ m ≠ 3m >  ⇔  4m − < ⇔ m < 2−  m − 4m + >  (i’) ⇔ m ≠ m < −  Kết luận: Với  hàm số (2) m ≠  có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : x1 < x2 < m < −  hàm số (2) m ≠  Kết luận: Với  có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : x1 < x2 < II BÀI TẬP THỰC HÀNH 2 Bài 1: Cho hàm số : y = ( m + ) x − ( m + ) x + ( m − ) x + m − (1) (m ≠ −1) Tìm giá trị m để hàm số: a) Đồng biến khoảng (−∞;1) b) Đồng biến khoảng (1; +∞) c) Đồng biến khoảng (1; 2) Bài 2: Cho hàm số : y = ( m − 1) x3 + ( m − 1) x − x + (1) (m ≠ ±1) Tìm giá trị m để hàm số (1): a) Nghịch biến khoảng (−∞;1) b) Nghịch biến khoảng (1; +∞) x + mx − m + Bài 3: Cho hàm số: y = (2) x −1 a)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến (−∞; −1) b)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến (2; +∞) c)Tìm điều kiện để hàm số (2) đồng biến (1; 2) x − 2mx + m Bài 4: Cho hàm số: y = (2) x+m a)Tìm điều kiện để hàm số (2) nghịch biến (−∞;1) b)Tìm điều kiện để hàm số (2) nghịch biến (1; +∞) 29 GV : Nguyễn Văn Kơng – Trường THPT Thanh Sơn Giải tốn tính đơn điệu, cực trị khơng sử dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai Bài 5: Cho hàm số : y = x3 + 3(m − 1) x + 6(m − 2) x − (1) Tìm điều kiện để hàm số (1): a) Có cực trị (−∞;1) b) Có cực trị (1; +∞) c) Có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : x1 < < x2 d) Có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : x1 < x2 < e) Có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : < x1 < x2 − x − 2mx + 3m − Bài : Cho hàm số: y = (2) x−m Tìm điều kiện để hàm số (2) : a) Có cực trị (−∞;1) b) Có cực trị (1; +∞) c) Có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : x1 < < x2 d) Có hai cực trị x1, x2 thõa mãn : x1 < x2 < 30 GV : Nguyễn Văn Kông – Trường THPT Thanh Sơn Giải tốn tính đơn điệu, cực trị khơng sử dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai KẾT QUẢ Khi áp dụng chuyên đề vào giảng dạy học sinh môn Toán trường THPT, nhận thấy em học sinh hứng thú với môn học, nhiều em cảm thấy bất ngờ mà số tốn tưởng chừng khơng thể giải khơng có cơng cụ định lý đảo dấu tam thức bậc hệ quả, lại giải cách đơn giản, dễ hiểu cách ứng dụng đạo hàm định lý quen thuộc định lý Vi-et Chính em nhận thấy với tốn ta chịu tìm tịi sang tạo phát nhiều điều bổ ích nên hứng thú với mơn học dó năm học nhận thấy chất lượng môn Toán nói riêng, kết học tập em học sinh nói chung nâng lên rõ rệt, có nhiều em đầu năm học học sinh yếu, TB cuối năm vươn lên để trở thành học sinh TB, gioûi, các ky thi tuyển sinh vào trường Đại học, Cao đẳng có nhiều em đạt điểm cao góp phần nâng cao chất lượng giáo dục nhà trường Khi tham gia ky thi học sinh giỏi cấp tỉnh có em đạt giải điều mà nhiều năm trước khơng đạt được, Cụ thể: 1) Kết học tập mơn: Năm học 2007-2008 2008-2009 2009-2010 Đầu năm học (%) Yếu TB Khá Giỏi 25 37 21 Cuối năm học (%) Yếu TB Khá Gioûi 2) Kết thi HSG cấp tỉnh: Kết thi HSG cấp tỉnh lớp 12 Năm học 2008 – 2009 2009 – 2010 2010 – 2011 Giải nhì Giải 0 0 0 Giải ba 0 01 Giải khuyến khích 01 31 GV : Nguyễn Văn Kông – Trường THPT Thanh Sơn Giải tốn tính đơn điệu, cực trị khơng sử dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai BÀI HỌC KINH NGHIỆM Đất nước ta bước đường xây dựng, phát triển giáo dục Đảng, Nhà nước coi quốc sách hàng đầu, để chấn hưng giáo dục nước nhà việc đổi phương pháp giảng dạy Bộ Giáo dục coi nhiệm vụ cấp thiết cần phải thực cách có hiệu Muốn làm tốt cơng việc người thầy phải phấn đấu tự học, tự rèn nhằm nâng cao nhận thức, nghiệp vụ chun mơn, từ tìm cho phương pháp giảng dạy đạt hiệu cao nhất, tạo hứng thú niềm tin học trò nhằm góp phần nâng cao chất lượng giáo dục Một cách để tạo chuyển biến tích cực cơng tác giảng dạy giáo viên viết chuyên đề, sáng kiến kinh nghiệm phục vụ cho việc dạy học Từ nhận thức đó, hàng năm chọn đề tài thiết thực phục vụ cho công tác giảng dạy để viết thành sáng kiến kinh nghiệm nhằm nâng cao lực chuyên môn, góp phần chia sẻ đồng nghiệp, em học sinh ý tưởng phục vụ cho việc dạy học tốt Thực tế qua trình giảng dạy nhận thấy đại đa số em học sinh ngại lúng túng gặp tốn có chứa tham số, bên cạnh việc sách giáo khoa lớp 10 giảm tải phần định lý đảo dấu tam thức bậc hệ quả, nên gặp dạng toán chuyên đề trình bày em cảm thấy lúng túng, em học sinh lớp 10, em học sinh lớp 12 trang bị cơng cụ đạo hàm thấy khó khăn Từ thực tế nhằm giúp em học sinh cảm thấy hứng thú học toán, biết cách vận dụng, khai thác số dạng tốn có chứa tham số, quy lạ quen nên viết sáng kiến kinh nghiệm: “ Ứng dụng định lý Vi-et giải số dạng tốn phương trình bậc – quy bậc 2” Rất mong góp ý quý thầy, cô Nhận xét xếp loại của tổ chuyên môn Tổ trưởng …………………………………………………………… …………………………………………………………… 32 GV : Nguyễn Văn Kông – Trường THPT Thanh Sơn Giải tốn tính đơn điệu, cực trị khơng sử dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… Nhận xét xếp loại của Hội đồng khoa học trường THPT Thanh Sơn Hội đồng xét duyệt SKKN …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… Nhận xét xếp loại của HĐKH Sở Giáo dục – Đào tạo tỉnh Phú Thọ Hội đồng xét duyệt SKKN …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… 33 GV : Nguyễn Văn Kông – Trường THPT Thanh Sơn Giải tốn tính đơn điệu, cực trị khơng sử dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai ………………………………………………………………… ………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… 34 GV : Nguyễn Văn Kông – Trường THPT Thanh Sơn ... sang kiến kinh nghiệm “ Giải tốn tính đơn điệu, cực trị hàm số không sử dụng định lý đảo dấu tam thức bậc hai? ?? 2/Nội dung sáng kiến A.Mở đầu B.Đặt vấn đề I.Cơ sở lý thuyết – Ví dụ minh họa II .Bài. .. tính đơn điệu, cực trị khơng sử dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM I.CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1 .Kiến thức cần nhớ i) Phương trình bậc hai a) Định nghĩa • Phương trình bậc. .. tốn tính đơn điệu, cực trị khơng sử dụng định lí đảo dấu tam thức bậc hai < x1 < x2 *Bài toán 6: Cho hàm số : y = Tìm điều kiện để hàm số (2): a.Có cực trị (−∞; α ) b.Có cực trị (α ; +∞) trị