Sáng kiến kinh nghiệm giải bài toán về góc va đường thẳng

I Thông tin chung sáng kiến Tên sáng kiến: “Phân loại giải số toán góc khoảng cách hình học khơng gian” Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục đào tạo Tác giả: Lê Thúy Hòa Sinh ngày 28 tháng năm 1965 Chức vụ, đơn vị công tác: Tổ trưởng tổ Toán- Tin- Thể dục trường THPT Dân Tộc Nội Trú Tỉnh Lạng Sơn Điện thoại di động: 0915 705 575 Đồng tác giả: Khơng có Chủ đầu tư tạo sáng kiến: Không Đơn vị áp dụng sáng kiến lần đầu: Trường THPT Dân tộc nội trú Tỉnh Lạng Sơn Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến - Giáo viên Toán THPT - Đối tượng học sinh: Lớp 11, 12 THPT Thời gian áp dụng sáng kiến: Năm học 2016-2017 II Tình trạng giải pháp biết Trong chương trình THPT, tốn góc khoảng cách tốn khơng dễ em học sinh Để giải loại tốn này, khơng em phải nắm lý thuyết xác định góc hai đường thẳng, gócgiữa đường thẳng mặt phẳng, góc hai mặt phẳng, khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, đến mặt phẳng, khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau…mà em phải có khả tư tốt Phải biết khai thác nhuần nhuyễn vấn đề biết để áp dụng giải vấn đề chưa biết.Nếu em không học vấn đề cách em khó giải dạng toán Thực tế giảng dạy năm qua giáo viên chưa hệ thống cách đầy đủ phương pháp giải dạng toán này, chưa khai thác triệt để cách giải khác tốn Vì học sinh lúng túng việc tìm đường lối để giải tốn Các vấn đề nghiên cứu sau giúp cho học sinh nắm dạng tốn tính góc khoảng cách.Nhận dạng nhanh dạng tốn, từ định hướng cách giải tự tin gặp phải toán dạng tương tự.Nhằm giúp em thấy tốn hình học lý thú nhẹ nhàng bao tốn khác Từ tạo động lực học tập để em giành kết cao trông kỳ thi tới III Mô tả chất sáng kiến 3.1 Tính mới, tính sáng tạo Một số tốn góc khoảng cách phân loại trình bày cách hệ thống, khoa học từ dễ đến khó Được phân dạng cách tương đối đầy đủ trình bày hai phương pháp giải khác nhau, phương pháp tổng hợp phương pháp đưa hệ trục tọa độ Nhằm giúp cho học sinh có nhìn sâu sắc tồn diện loại tốn Từ khơi dậy niềm đam mê môn học, rèn luyện cho học sinh tính tự tin, chủ động, sáng tạo Tạo hứng thú học tập em, giúp em tiếp thu giải tốt dạng toán 3.2 Khả áp dụng giải pháp Sáng kiến kinh nghiệm nghiên cứu áp dụng cho việc giảng dạy học tập mơn hình học cho học sinh lớp 11, 12, học sinh ôn thi THPTQG, ôn thi học sinh giỏi cấp tỉnh tất trường Trung học phổ thơng tồn tỉnh 3.3 Nội dung giải pháp đề nghị công nhận sáng kiến 3.3.1 Mục đích giải pháp Nhằm giúp cho học sinh tiếp thu cách có hệ thống tốn liên quan đến góc, khoảng cách vận dụng giải toán dạng 3.3.2 Phân loại giải số tốn góc khoảng cách * Tóm tắt lý thuyết Vấn đề 1: Góc 1.Góc hai đường thẳng Định nghĩa: Góc hai đường thẳng a b khơng gian góc hai đường thẳng a’ b’ qua điểm song song với a b a b a' O b' Chú ý: + Để xác định góc hai đường thẳng a b ta lấy điểm O thuộc hai đường thẳng vẽ đường thẳng qua O song song với hai đường thẳng lại +Nếu a song song với b a trùng với b góc a b 00 +Nếu a⟘b góc a b 900 + Gọi góc a b thi 00900 Góc đường thẳng mặt phẳng Định nghĩa: Cho đường thẳng d mặt phẳng (P) Trường hợp đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (P) ta nói góc đường thẳng d mặt phẳng (P) 900 Trường hợp đường thẳng d khơng vng góc với mặt phẳng (P) góc d hình chiếu d’ mặt phẳng (P) gọi góc đường thẳng d mặt phẳng (P) d A P d' O H Chú ý: + Nếu d nằm mặt phẳng (P) d//(P) góc d mặt phẳng (P) 00 + Nếu d ⟘(P) góc giũa d mặt phẳng (P) 900 + Gọi góc d (P) ta có 00900 Góc hai mặt phẳng Định nghĩa: Góc hai mặt phẳnglà góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng * Cách xác định góc hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng (P) (Q) + Nếu (P) //(Q) (P) trùng với (Q) = 00 + Giả sử (P) cắt (Q) theo giao tuyến d - Từ điểm I d dựng (R) ⟘d - Gọi a = (P)(R), b = (P)(R) - = a b R P Q * Chú ý: + Nếu (P) ⟘(Q) = 900 + Gọi góc (P) (Q) ta có 00900 Vấn đề Khoảng cách Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Cho điểm M đường thẳng a Gọi H hình chiếu vng góc M đường thẳng a, ta có MH = d(M,a) M a H Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Cho điểm M mặt phẳng (P) Gọi H hình chiếu vng góc M mặt phẳng (P), ta có MH = d(M,(P)) M H P Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Cho đường thẳng a mặt phẳng (P) M điểm đường thẳng a, ta có d(a,(P) = d(M,(P) M a H P Khoảng cách hai mặt phẳng song song Cho hai mặt phẳng song song (P) (Q) M điểm mặt phẳng (P), ta có d((P),(Q)) = d(M,(Q)) M P H Q Khoảng cách hai đường thẳng chéo Cho hai đường thẳng chéo a b, để tìm khoảng cách hai đường thẳng a b ta sử dụng phương pháp sau a) Nếu MN đoạn vng góc chung đường thẳng a đường thẳng b d(a,b) = MN M a N b b) Gọi (P) mặt phẳng chứa đường thẳng b (P) song song với a, ta có d(a,b) = d(a,(P)) M a H b Q c) Gọi (P) (Q) hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng a,b song song với nhau, ta có d(a,b) = d((P),(Q)) M a P H Q b Ta nhận thấy để tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng, khoảng cách từ đường thẳng tới mặt phẳng song song, khoảng cách hai mặt phẳng song song, khoảng cách hai đường thẳng chéo quy việc tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng Để tính khoảng cách từ điểm M tới mặt phẳng (P) ta sử dụng phương pháp sau + Nếu M d(M,(P)) =0 + Nếu Mkhơng nằm mặt phẳng (P) ta Phương pháp 1: +Dựng mặt phẳng (Q) chứa M (Q) ⟘(P) + Tìm giao tuyến (P) (Q) + Dựng MH ⟘ + MH = d(M,(P)) M a Q P H Phương pháp 2: Nếu MN//(P) d(M,(P) = d(N,(P) M N K H P Phương pháp 3: Nếu M,N,O thẳng hàng = ( Nếu biết d(N,(P) ta dễ dàng tính d(M,(P)) N M M K P O H K O H P N P hương pháp 4: Phương pháp thể tích Để tích khoảng cách phương pháp ta thường dựa vào công thức sau: h= Ở V,h,S thể tích,chiều cao diện tích đáy hình chóp đó( h= hình lăng trụ) Phương pháp áp dụng trường hợp sau: Giả sử ta quy tốn tìm chiều cao hình chóp (hay hình lăng trụ) Dĩ nhiên chiều cao thường khơng xác định được, khơng tính trực tiếp Tuy nhiên khối đa diện lại dễ dàng tính thể tích diện tích đáy Như chiều cao xác định dễ dàng công thức Phương pháp 5: Phương pháp sử dụng hệ trục tọa độ không gian Để sử dụng phương pháp ta cần nhớ số kiến thức sau a.Cho véc tơ , , ⟘ = phương [, ] = , , đồng phẳng [, ] = b Diện tích tam giác ABC là: SABC = c Thể tích khối tứ diện ABCD là: VABCD = c Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ là: VABCD.A’B’C’D’ = d Cho hai đường thẳng d d’ có véc tơ phương ’ Gọi góc d d’, ta có cos = e Cho hai mặt phẳng (P) (Q) có véc tơ pháp tuyến ’ Gọi góc (P) (Q), ta có cos = f Cho mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến và đường thẳng d có vtcp Gọi góc (P) d, ta có sin = g Cho điểm M( mặt phẳng (P): Ax+By +Cz + D = ( A +B2 +C2 0), ta có d(M, (P) = h Cho điểm M đường thẳng d qua điểm N có véc tơ phương , ta có d(M,d) = i Cho hai đường thẳng chéo và’ Biết đường thẳng qua điểm M có véc tơ phương , đường thẳng ’ qua điểm M’ có véc tơ phương , ta có d(,’) = * Bài tập Dạng 1: Hình chóp có cạnh bên vng góc với đáy Bài tập1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SA = a SA vng góc với mặt phẳng đáy Mặt phẳng (SBC) hợp với mặt phẳng đáy góc 600 a) Tính góc hợp đường thẳng SC với mặt phẳng (SAB) b) Tính góc hợp mặt phẳng (SBD) mặt phẳng (ABCD) c) Gọi O giao điểm AC BD, tính khoảng cách từ điểm O tới mặt phẳng (SBC) d) Gọi H trung điểm SD, tính khoảng cách từ H tới mặt phẳng (SBC) e) Tính khoảng cách hai đưởng thẳng BD SC Giải: Phương pháp 1: Sử dụng phương pháp tổng hợp S H K M A D O B C Ta có (SBC)(ABCD) = BC Vì ABCD hình vng => BCAB Vì SAmp(ABCD) => BC Từ => BC⟘(SAB) => = = = 600 a) Tính góc hợp SC với mặt phẳng (SAB) Vì BC⟘(SAB) =>SB hình chiếu vng góc SC mặt phẳng (SAB) => = = Tam giác SAB vuông A => AB = SA cot600 = a, SB = 2a Tam giác SBC vuông B => tan = = => = arctan hay = arctan b) Tính góc hợp mặt phẳng (SBD) mặt phẳng (ABCD) Ta có (SBD)(ABCD) = BD Vì ABCD hình vng => BDAC Vì SAmp(ABCD) => BD Từ => BD⟘(SAC) => = = Tam giác SAO vuông O => tan = = => = arctan hay = arctan c) Gọi O giao điểm AC BD, tính khoảng cách từ điểm O tới mặt phẳng (SBC) Vì A,O C thẳng hàng => = = => d(O,(SBC) = d(A,(SBC) Vì BC(SBC) => (SAB) ⟘(SBC) Dựng AK ⟘SB => AK⟘(SBC) => AK = d(A,(SBC) Tam giác AKB vuông K => AK = AB.sin600 = Vậy d(O,(SBC) = d) Gọi H trung điểm SD, tính khoảng cách từ H tới mặt phẳng (SBC) Vì OH//SB => OH //(SBC) => d(H,(SBC) = d(O,(SBC) = e)Tính khoảng cách BD SC Vì ABCD hình vng => BDAC Vì SAmp(ABCD) => BD Từ => BD⟘(SAC) Dựng OM ⟘SC Vì BD⟘(SAC) => OM⟘DB Vậy OM đoạn vng góc chung BD SC hay OM = d(BD,SC) Tam giác SAC vuông A => SC = => = => OM = SA = Phương pháp 2: Sử dụng phương pháp tọa độ (Mục tiêu phương pháp giúp em làm quen với phương pháp tọa độ, phương pháp thường kết hợp với phương pháp tổng hợp dùng để tính góc, khoảng cách) z S H M A D y O B C x Ta có (SBC)(ABCD) = BC Vì ABCD hình vng => BCAB Vì SAmp(ABCD) => BC Từ => BC⟘(SAB) => = = = 600 Tam giác SAB vuông A => AB = SA cot600 = a Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho A(0;0;0), S(0;0;a), B( a;0;0), D(0;a;0) Khi C(a;a;0) a) Mặt phẳng (SAB) có vtpt = ( 0;a;0) Đường thẳng SC có vtcp = ( a;a; a) Gọi góc (SAB) SC, ta có sin = = Vậy = arcsin b) Mặt phẳng( ABCD) có vtpt = ( 0;0; a) Mặt phẳng (SBD) có VTPT = ( Gọi góc mp(SBD) mp(ABCD), ta có cos = = Vậy = arccos c) O( ;, mp(SBC) có phương trình +z - a = d(O, (SBC) = = 10 Vì B,H,D thẳng hàng BD = HD => d(B, (SCD) = d(H,(SCD)) Vì (SCD) ⟘(SHC) nên dựng HI⟘SC => HI⟘(SCD) => HI = d(H,(SCD)) Tam giác SHC vuông H nên ta có = => HI = Vậy d(B, (SCD) = Phương pháp 2: Sử dụng phương pháp tọa độ z S B C y H O D A x Vì SH⟘(ABCD) => HO hình chiếu góc SO mp(ABCD) => = = = 600 Vì = 600 => tam giác ABC tam giác cạnh a => AC =a, BO = , BD =a, HB= , HD = , HO = SH = H trọng tâm tam giác ABC Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho H(0;0;0), S(0;0;), C(0; ;0), Khi D(;0), B(;0) a) Tính góc hợp mặt phẳng (SCD ) mặt phẳng (ABCD) Mặt phẳng( SCD) có vtpt = (0;;2) Mặt phẳng (ABCD) có vtpt = (0;; 1) Gọi góc mp(SAB) mp(SBC), ta có cos = = Vậy = arccos b) Tính khoảng cách từ điểm B tới mặt phẳng (SCD) Mặt phẳng (SCD) có phương trình là: y + 2z –a = d(B,(SCD) = Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, mặt bên SAD tam giác vng S, hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng (ABCD) điểm H thuộc cạnh AD cho HA = 3HD Gọi M t điểm thuộc 33 AB cho MB =4MA Biết AD =4a đường thẳng SC tạo với đáy góc 300 a) Tính góc mặt phẳng (SDC) mặt phẳng (SBC) b) Tính khoảng cách từ điểm M tới mặt phẳng (SCB) Giải: Phương pháp 1: Sử dụng phương pháp tổng hợp S I E D C K H A M B F Vì SH⟘(ABCD) => HC hình chiếu góc SC mp(ABCD) => = = = 300 Vì AD =4a, HA = 3HD => HA = 3a, HD = a Tam giác SAD vuông S => SH2 = AH.HD = 3a2 => SH = a Tam giác SHC vuông H => HC = SH.cot300 = 3a Tam giác HDC vuông D => DC = 2a ABCD hình chữ nhật => DC⟘AD SH⟘(ABCD) => SH⟘DC Từ => DC⟘(SAD) => DC⟘SD a) Tính góc mặt phẳng (SDC) mặt phẳng (SBC) Trong mặt phẳng (SDC) dựng DE⟘SC Trong mặt phẳng ( SBC) dựng EF⟘SC Từ => SC⟘(DEF) == Tam giác SDC vng D có DC= 2a, SD = 2a, SC = 2a => DE = EC = Dựng HKBC = HK//BC HK = DC= 2a Tam giác SHK vng H có SK2 = SH2 + HK2 = 11a2 => HK = a Vì BC⟘HK, BC⟘SH => BC⟘(SHK) => BC⟘SK Tam giác SKC vuông K => sin = = => cos = 34 Tam giác FEC vuông E => FC = =8a => EF = Tam giác DCE vuông C => DF2 = DC2 + CF2 = 72a2 => DF = 6a Áp dụng định lý cosin vào tam giác DEF ta có DF2 = DE2 + EF2 – 2DE.FE =>cos = Vậy = arccos b) Tính khoảng cách từ điểm M tới mặt phẳng (SCB) Vì A,M,B thẳng hàng MB =4MA => d(M,(SBC)) = d(A,(SBC)) Vì AH//BC=> AH//(SBC) => d(A,(SBC)) = d(H,(SBC)) Vì BC⟘(SHK) =>(SBC)⟘(SHK) Dựng HI⟘SK => HI⟘(SBC) => HI=d(H,(SBC)) Tam giác SHK vuông H nên ta có = => HI = Vậy d(M, (SCB)) = Phương pháp 2: Sử dụng phương pháp tọa độ z S D C K H A M y B x Vì SH⟘(ABCD) => HC hình chiếu góc SC mp(ABCD) => = = = 300 Vì Tam giác SAD vng S => SH2 = AH.HD = 3a2 => SH = a Tam giác SHC vuông H => HC = SH.cot300 = 3a Tam giác HDC vuông D => DC = 2a ABCD hình chữ nhật => DC⟘AD SH⟘(ABCD) => SH⟘DC Từ => DC⟘(SAD) => DC⟘SD 35 Dựng HKBC = HK//BC HK = DC= 2a Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho H(0;0;0), S(0;0;), K( 0;,0), A(3a;0;0) Khi D(;0), B(;0),C(-a;;0), M(3a;;0) a) Tính góc hợp mặt phẳng (SDC) mặt phẳng (SBC) Mặt phẳng( SBC) có vtpt = (0;;2) Mặt phẳng (SCD) có vtpt = (-;; 1) Gọi góc mp(SBC) mp(SDC), ta có cos = = Vậy = arccos b) Tính khoảng cách từ điểm M tới mặt phẳng (SCB) Mặt phẳng (SBC) có phương trình là: y + –2a = d(M,(SCB)) = Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB=a, SA=SB=SC=BC =2a a) Tính góc đường thẳng SD mặt phẳng (SAB) b) Tính khoảng hai đường thẳng AC SD Giải: Phương pháp 1: Sử dụng phương pháp tổng hợp S I F K B M H C O A D E Gọi O hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABCD) Vì SA=SB=SC => OA= OB =OC => O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Vì tam giác ABC vuông B => O trung điểm AC => O= ACBD Dựng OH⟘AB, OK⟘SH, DI//OK (I BK) Vì OK(SAB) => DI⟘(SAB) => SI hình chiếu vng góc SD mặt phẳng (SAB) => = = OK đường trung bình tam giác IBD => DI = 2KO Tam giác SBO vuông O => SO2 = SB2 –BO2 = 4a2 - a2 =a2 36 Tam giác SHO vuông O => = => HI = => DI = Tam giác SID vuông I => sin = = Vậy = arcsin b) Tính khoảng hai đường thẳng AC SD Dựng d qua D d//AC=> AC//(d,SD) =>d(AC,SD) = d(AC,(d,SD)) =d(O,(d,SD)) Dựng OE⟘d, OF⟘SE => FO⟘(d,SD) => OF = d(O,(d,SD)) = d(AC,SD) Dựng DM⟘AC => DM = Vì AC//d => DM = OE= Tam giác SOE vuông O nên ta có = => OF = z S C B O A H y D x Phương pháp 2: Sử dụng phương pháp tọa độ Gọi O hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABCD) Vì SA=SB=SC => OA= OB =OC => O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Vì tam giác ABC vng B => O trung điểm AC => O= ACBD Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho O(0;0;0), S(0;0;, H( 0;,0) Khi D(;0), B(;0),C(-;;0), A(;- a,0) a) Tính góc hợp đường thẳng SD mặt phẳng (SBA) Mặt phẳng( SAB) có vtpt = (;; 2) Đường thẳng SD có vtcp = (; ) Gọi góc mp(SAB) đường thẳng SC, ta có sin = = Vậy = arcsin b) Tính khoảng cách hai đường thẳng AC SD = (;;0),= (; ), = (-a;2a; 0) [= (;2a2) d(ABSD) = = Dạng 5:Lăng trụ đứng lăng trụ 37 Bài tập 1: Cho hình hộp đứng ABCD A’B’C’D’ có cạnh AB= AD= a, AA’ = góc =600 Gọi M.N trung điểm cạnh A’D’ A’B’ a) Chứng minh AC’⟘(BDMN) b) Tính góc mặt phẳng (BDMN) với mặt phẳng đáy Giải: Sử dụng phương pháp tổng hợp A' N K M B' O' D' C' I A B H O C D Gọi O’ = A’C’ B’D’, O =AC BD, I = AC’ OO’, K = MN A’C’, H hình chiếu vng góc K AC a) Tam giác DAB cạnh a => AO = => A’O’OA hình vng => AI⟘OK hay AC’ ⟘KO Mà AC’ ⟘BD( BD⟘(ACC’A’)) => AC’⟘(MNBD) b) (MNBD)(ABCD) = DB, DB⟘(ACC’A’) => = = Tam giác KHO vng H có KH = , HO = => tan = = arctan2 Bài tập 2: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh đáy a, chiều cao 2a a) Tính khoảng cách hai đường thẳng AB’ BC b) Tính góc đường thẳng B’C với mặt phẳng (ABB’A’) Giải: Phương pháp 1: Sử dụng phương pháp tổng hợp 38 C' A' M B' A C H B a) Vì BC//B’C’ => BC//(AB’C’)=> d(BC,AB’)= d(BC,(AB’C’)) = d(C, (AB’C’)) Ta có VCAB’C’ = VABC.A’B’C’ = Gọi M trung điểm B’C’ Tam giác AB’C’ cân A => AM⟘B’C’ AM = SAB’C’ = AM.B’C’ = VCAB’C’ = SAB’C’ d(C,(AB’C’)) => = ’ d(C,(AB’C’)) Vậy d(BC,AB’) = d(C,(AB’C’)) = b) Dựng CH ⟘AB Vì (ABB’A’) ⟘(ABC) =>CH⟘ (ABB’A’) =>B’H hình chiếu vng góc B’C mp (ABB’A’) => = = Tam giác CHB’ vuông H có CH = HB’ = => tan = => = arc Phương pháp 2: Sử dụng phương pháp tọa độ z A' C, B' C A y B x Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho A(0;0;0), A’(0;0;, C( 0;,0) Khi B(0), C’(;;2a), B’(;,2a) a) Tính khoảng cách hai đường thẳng AB’ BC = (;,2a),= (, = (0;a; 0) [= () 39 d(ABSD) = = b) Tính góc đường thẳng B’C với mặt phẳng (ABB’A’) Mặt phẳng (ABB’A’) có vtpt = (;; 0) Đường thẳng B’C có vtcp = (;-4) Gọi góc đường thẳng B’C với mặt phẳng (ABB’A’) ta có sin = = Vậy = arcsin Bài tập 3: Cho lăng trụ đứng ABC A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng A, AB = a, BC = 2a, mặt bên ACC’A’ hình vuông Gọi M, N, P trung điểm AC, CC’, A’B’ H hình chiếu vng góc A BC Tính thể tích khối chóp A’ HMN khoảng cách hai đường thẳng MP HN Giải: Phương pháp 1: Sử dụng phương pháp tổng hợp A' C' A' C' P P B' B' N N M K M A C A H C I H E B B * Tính thể tích khối chóp A’.MHN Tam giác ABC vng A => AC = a AH = CH = Dựng HKAC =>HK ⟘(ACC’A’) HK = ACC’A’ hình vng =>AA’ = a SA’MN = SACC’A’ – SA’AM – SA’C’N – SMCN = VA’MHN = VH.A’MN = HK.SA’MN = (đvtt) * Tính khoảng cách hai đường thẳng MP HN Gọi I giao điểm AH với ME Dựng ME//BC => EP//BB’ => (MEP) //(BCC’B’) =>d(MP,HN) = d((MEP), (BCC’B’)) = HI = Phương pháp 2: Sử dụng phương pháp tọa độ 40 z A' C' P B' N M C A y H B x Tam giác ABC vuông A => AC = a AH = CH = Vì ACC’A’ hình vng => A’A = a Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho A(0;0;0), A’(0;0;, C( 0;,0), B(0) Khi C’(0; a; a), B’( a; ; a), M(0; ;0), N( 0; a ) P(;; a), H(;0) * Tính thể tích khối chóp A’.MHN = (;- a),= (, = (;- a) [= () VA’MHN = = (đvtt) * Tính khoảng cách hai đường thẳng AB’ BC = (;),= (, = (;; -) [= () d(ABSD) = = Dạng 6: Lăng trụ xiên Bài tập 1: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng A, AB=a, = 300 Cạnh bên có độ dài 2a Hình chiếu vng góc đỉnh A’ lên mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh BC a) Tính khoảng cách hai đường thẳng AA’ B’C’ b) Tính cơsin góc hai đường thẳng AA’ B’C’ Giải: Phương pháp 1: Sử dụng phương pháp tổng hợp 41 A' C' B' I d M C A H B a) Gọi H trung điểm BC Theo giả thiết ta có A’H⟘(ABC) Dựng qua A đường thẳng d song song với BC => (BCC’B’) //(AA’,d) => d(B’C’,AA’) = d(B’C’, (AA’,d)) =d((BCC’B’) ,AA’,d)) = d(H, ( AA’,d)) Dựng HM⟘d Vì A’H⟘(ABC) =>A’H⟘d => d⟘(A’HM) => (A’HM)⟘(AA’,d) Dựng HI⟘A’M => HI⟘( AA’,d) => HI = d(H,( AA’,d)) = d(B’C’,A’A) Tam giác ABC vng A có AB=a, = 300 => AC = a, BC=2a, HM =d(A,BC) = , AH =a Tam giác A’HA vng H có A’A =2a, AH =a =>A’H = a Tam giác A’HM vuông H =>A’M = , HI = Vậy d(B’C’,A’A) = b) Vì d//BC => d//B’C’ => ) = ) = ) Tam giác A’MA vuông M =>AM = , cos = = Vậy cos) = = Phương pháp 2: Sử dụng phương pháp tọa độ z A' C' B' y C A H x B Gọi H trung điểm BC Theo giả thiết ta có A’H⟘(ABC) 42 Tam giác ABC vng A có AB=a, = 300 => AC = a, BC=2a Tam giác A’HA vng H có A’A =2a, AH =a =>A’H = a Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho H(0;0;0), A’(0;0;,B(a;0;0), Khi C(;;0), B’(;,a C’(;,aA(;,0) a) Tính khoảng cách hai đường thẳng AA’ B’C’ = (;,- a),= (, = (;; 0) [= () d(A’AB’C’) = = Vậy d(B’C’,A’A) = b) Tính góc đường thẳng B’C’ với đường thẳng A’A Đường thẳng A’A có vtcp = (;; ) Đường thẳng B’C’ có vtcp = (;0) Gọi góc đường thẳng B’C’ với đường thẳng A’A ta có cos = = Vậy cos= Bài tập 2: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ đáy ABC tam giác cạnh a,góc hai mặt phẳng (A’BC) (ABC) 600 A’A =A’B = A’C a) Tính khoảng cách hai đường thẳng AA’ B’C’ b) Tính góc hai mặt phẳng (A’BC) (BCC’B’) Giải: Phương pháp 1: Sử dụng phương pháp tổng hợp A' C' B' N K C A H M B Gọi M, N trung điểm BC B’C’ H trọng tâm tam giácABC Vì A’A = A’B = A’C => A’H ⟘(ABC) a) Vì A’A//B’B => A’A//(BC’C’B’) => d(A’A,B’C’) = d(A’A, (BCC’B’) = d(A’, (BCC’B’) 43 Vì tam giác ABC => BC⟘AM Vì A’H ⟘(ABC) => BC⟘(A’AM) => (BCC’B’)⟘(A’AM) Từ =>dựng A’K⟘MN A’K⟘(BCC’B’) =>A’K = d (A’A,B’C’) Tam giác ABC cạnh a => AM =, AH = , HM= Vì BC⟘(A’AM) => = = 600 Tam giác A’HM vuông H => A’H = HM tan 600 = A’M = Tam giác A’HA vuông H => A’A = SA’AMN = A’H.AM= A’K.MN => A’K = Vậy d(A’A,B’C’) = b) Vì BC⟘(A’AM) => = = Tam giác A’MK vuông K => sin = Vậy = arc Phương pháp 2: Sử dụng phương pháp tọa độ z A' C' B' C A H M y B x Gọi M trung điểm BC, H trọng tâm tam giácABC Vì A’A = A’B = A’C => A’H ⟘(ABC) Tam giác ABC cạnh a => AM =, AH = , HM= Vì BC⟘(A’AM) => = = 600 Tam giác A’HM vuông H => A’H = HM tan 600 = Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho H(0;0;0), A’(0;0;,M(0;;0), Khi B(;;0), C(;;0), B’(; C’(;A(;,0) a) Tính khoảng cách hai đường thẳng AA’ B’C’ = (;),= (, = (;; 0) [= () d(A’AB’C’) = = Vậy d(B’C’,A’A) = 44 b) Tính góc hai mặt phẳng (A’BC) (BCC’B’) Mặt phẳng (A’BC) có vtcp = (0;; ) Mặt phẳng (BCC’B’) có vtpt = (0;2) Gọi góc hai mặt phẳng (A’BC) (BCC’B’) ta có cos = = Vậy cos= Bài tập 3: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng cân B, AC =2a Hình chiếu vng góc A’ mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh AC, đường thẳng A’B tạo với mặt phẳng (ABC) góc 45 Chứng minh A’B vng góc với B’C Giải: Phương pháp 1: Sử dụng phương pháp tổng hợp A' C' B' I A H C B Gọi H trung điểm AC Theo giả thiết ta có A’H ⟘(ABC) => HB hình chiếu vng góc A’B mp(ABC) => = = 450 Gọi I giao điểm A’B AB’, ta có I trung điểm A’B AB’ => HI⟘A’B Mặt khác HI đường trung bình tam giác AB’C nên HI//B’C Do A’B⟘B’C Cách giải ngắn gọn thực tế nhiều em lại không phát giải phương pháp tọa độ toán dường nhẹ nhàng Phương pháp 2: Sử dụng phương pháp tọa độ 45 z A' C' B' A H C y B x Gọi H trung điểm AC Theo giả thiết ta có A’H ⟘(ABC) => HB hình chiếu vng góc A’B mp(ABC) => = = 450 Tam giác ABC vuông cân B => BH = HA’ =a Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho H(0;0;0), A’(0;0;,B(a;;0),C(0;a;0) Khi A(;;0), B’(; = (a;),= ( Ta có = => A’B⟘B’C Bài tập vận dụng Bài tập 1: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA, M trung điểm AE, N trung điểm BC.Chứng minh MN vng góc với BD Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 2a, SA=a, SB = a Mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M,N trung điểm AB,BC Tính cosin góc hai đường thẳng SM, DN Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB =a, AD = a, SA = a SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M N trung điểm AD SC Chứng minh (SAC) (SMN) hai mặt phẳng vuông góc với 46 Bài tập 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi M,N,P trung điểm B’B, CD, A’D’ Tính góc giũa hai đường thẳng MP C’N Bài tập 5: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng cân B, AC =2a Hình chiếu vng góc A’ mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh AC, đường thẳng A’B tạo với mặt phẳng (ABC) góc 45 Chứng minh A’B vng góc với B’C 3.4 Hiệu thu áp dụng giải pháp Kinh nghiệm giúp cho giáo viên chủ động giảng dạy cách có hệ thống dạng tốn góc khoảng cách, đồng thời giúp cho học sinh phát triển tư rèn luyện kỹ giải tốn Qua q trình thực theo kinh nghiệm tơi thấy chất lượng học tập mơn hình học tăng lên rõ rệt Kết làm kiểm tra học sinh lớp 12 năm học 2015-2016 học sinh lớp 12 năm học 2016- 2017 thể thông qua bảng sau: Năm học 2015-2016 2016-2017 Tổng số Điểm Điểm từ 5-7 60 chiếm 3,3% 31 chiếm 51,7% 69 23 chiếm 33,3% 32 chiếm 46,4% Điểm 27 chiếm 45% 14 chiếm 20,3% Điều chứng tỏ em có tiến nhận thức kỹ vận dụng phương pháp giải tốn nói Bài tập hình khơng nỗi ám ánh em mà nguồn cảm hứng để em tìm tòi, khám phá 47 ... 00900 Góc đường thẳng mặt phẳng Định nghĩa: Cho đường thẳng d mặt phẳng (P) Trường hợp đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (P) ta nói góc đường thẳng d mặt phẳng (P) 900 Trường hợp đường thẳng. .. góc hai đường thẳng a b ta lấy điểm O thuộc hai đường thẳng vẽ đường thẳng qua O song song với hai đường thẳng lại +Nếu a song song với b a trùng với b góc a b 00 +Nếu a⟘b góc a b 900 + Gọi góc. .. dạng 3.3.2 Phân loại giải số toán góc khoảng cách * Tóm tắt lý thuyết Vấn đề 1: Góc 1 .Góc hai đường thẳng Định nghĩa: Góc hai đường thẳng a b khơng gian góc hai đường thẳng a’ b’ qua điểm song song