TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN MOON.VN CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ

Tìm diểm M thuộc đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến tại M với đồ thị đi qua Tìm diểm M thuộc đồ thị hàm số C sao cho tiếp tuyến tại M với đồ thị cắt các trục tọa độ Ox, Oy tại A, B sao ch

Trang 1

LTĐH MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hàm số và các bài toán liên quan – www.moon.vn

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95

DẠNG 1 TIẾP TUYẾN TẠI MỘT ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ HÀM SỐ

+ Phương trình tiếp tuyến ∆ là: y = f′(x o).(x – x o) + y o

Dạng toán trọng tâm cần lưu ý :

+ Tiếp tuyến tại điểm M thuộc đồ thị hàm phân thức y ax b

cx d

+

=+ cắt các trục tọa độ Ox, Oy tại các điểm A, B thỏa

nhất, hoặc bằng một hằng số cho trước

Ví dụ 1 Cho hàm số y= +x3 x2+2x+2 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại

a) giao điểm của đồ thị và Ox

b) điểm uốn của đồ thị

Ví dụ 2 Cho hàm số y=x3+3x2 + +x 1 Tìm diểm M thuộc đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến tại M với đồ thị đi qua

Tìm diểm M thuộc đồ thị hàm số (C) sao cho tiếp tuyến tại M với đồ thị cắt các trục tọa độ Ox, Oy tại A, B sao cho OA

= 3OB, với O là gốc tọa độ

Bài 1 Cho hàm số y=2x3− +x2 6x−3 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại giao điểm của đồ thị và Ox

Tài liệu bài giảng:

01 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ – P1

Thầy Đặng Việt Hùng

Trang 2

+

=

−

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A

và B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 50

+

=

−

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A

và B sao cho OB = 5OA (với O là gốc toạ độ)

Đ/s: y= − +5x 17;y= − −5x 3

Bài 5 Cho hàm số

1

x y x

=+

Tìm điểm M thuộc đồ thị sao cho khoảng cách từ điểm ( 1;1) E − đến tiếp tuyến tại M với đồ thị bằng 2

Đ/s: M(0;0),M( 2; 2).− −

Bài 6 Cho hàm số 2

1

x y x

−

=+

Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị sao cho khoảng cách từ điểm 1 1;

Đ/s: y=7x+11

Bài 8 Cho hàm số 2 5

2

x y x

+

=

− (1)

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân

biệt A và B sao cho OA = 9OB (với O là gốc toạ độ)

Ví dụ 9 Cho hm số 3

1

x y x

−

=+ (C)

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến cắt trục Ox tại A, cắt trục Oy tại B sao cho OA = 4OB

Ví dụ 10 Cho hàm số 2

2 3

x y x

+

=+ (1)

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm

phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O.

Trang 3

DẠNG 1 TIẾP TUYẾN TẠI MỘT ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ HÀM SỐ (tiếp theo)

+ Phương trình tiếp tuyến ∆ là: y = f′(x o).(x – x o) + y o

Dạng toán trọng tâm cần lưu ý :

Tiếp tuyến tại điểm M thuộc đồ thị hàm phân thức y ax b

cx d

+

=+ cắt các tiệm cận tại A, B Khi đó ta có các tính chất sau:

+ M là trung điểm của AB

+ Diện tích tam giác IAB luôn không đổi, với I là giao điêm của hai tiệm cận

+ Chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất

+ Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác IAB dạt gái trị lớn nhất

Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số Tiếp tuyến với đồ thị tại M cắt các tiệm cận tại A, B

a) Chứng minh rằng M là trung điểm của AB

b) Chứng minh rằng diện tích tam giác IAB không đổi, với I là tâm đối xứng của đồ thị (I là giao của hai tiệm cận)

Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số Tiếp tuyến với đồ thị tại M cắt các tiệm cận tại A, B Tìm điểm M đề chu vi

tam giác IAB nhỏ nhất, với I là tâm đối xứng của đồ thị hàm số

Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số Tiếp tuyến với đồ thị tại M cắt các tiệm cận tại A, B Tìm điểm M đề đường

tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất, với I là tâm đối xứng của đồ thị hàm số

Đ/s: M(3;3),M(1;1)

Hướng dẫn: Tam giác IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có đường kính là AB, suy ra diện tích

đường tròn ngoại tiếp là

2 2

4

AB

S= R = , từ đó bài toán quy về tìm M để độ dài AB ngắn nhất

Trang 4

Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số Tiếp tuyến với đồ thị tại M cắt các tiệm cận tại A, B Viết phương trình tiếp

tuyến tại M đề bán kính đường trỏn ngội tiếp tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất

Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số Tiếp tuyến với đồ thị tại M cắt các tiệm cận tại A, B Viết phương trình tiếp

tuyến tại M biết chu vi tam giác IAB bằng 2(2+ 2)

Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số Tiếp tuyến với đồ thị tại M cắt các trục tọa độ tại A, B Tìm tọa độ điểm M

biết OB = 3OA, với O là gốc tọa độ

Trang 5

DẠNG 2 TIẾP TUYẾN BIẾT HỆ SỐ GÓC

Hệ số góc của một đường thẳng là tang (tan) của góc hợp bởi đường thẳng đó và chiều dương trục Ox

Kí hiệu k = tanα

Nếu đường thẳng d hợp với trục Ox (không nói rõ chiều dương của trục Ox) thì k = ± tanα

Đường thẳng d đi qua hai điểm M, N thì hệ số góc của đường d được tính bởi = −

Đường thẳng d đi qua điểm M(x1 ; y1) và có hệ số góc k thì có phương trình d y: =k x( −x1)+y 1

Trong trường hợp tổng quát, đường thẳng d có hệ số góc k thì luôn viết ở dạng d: y = kx + m.

Cho hai đường thẳng 1 1 1

::

a) tại điểm có hoành độ x = –3 song song với đường thẳng d : 5x – y + 3 = 0

b) tại điểm có hoành độ x = 1 vuông góc với đường thẳng d’ : x – 2y + 3 = 0

Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(1 ; 2) và có hệ số góc k Tìm k để d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao

cho tiếp tuyến với đồ thị tại B, C vuông góc với nhau

Ví dụ 6: Cho hàm số y= −x3 3x2+ +x 3. Một đường thẳng d đi qua A(2 ; 1) và có hệ số góc k

Tìm k để đường thẳng d và đồ thị hàm số đã cho

Trang 6

a) cắt nhau tại duy nhất một điểm

b) cắt nhau tại ba điểm phân biệt

c) cắt nhau tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương

Hướng dẫn giải :

Đường thẳng d qua A(2 ; 1) và có hệ số góc k nên có dạng d : y = k(x − 2) + 1

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị : x3−3x2+ + =x 3 k x( − + ⇔2) 1 x3−3x2+ + =x 2 k x( −2)

k thì hai đồ thị đã cho cắt nhau tại duy nhất một điểm

b) Hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm phân biệt khi (1) có hai nghiệm phân biệt và khác 2

Điều đó xảy ra khi

thì hai đồ thị đã cho cắt nhau tại ba điểm phân biệt

c) Do nghiệm x = 2 > 0 nên để ba giao điểm có hoành đô dương thì (1) phải có hai nghiệm dương phân biệt và khác 2

Gọi hai nghiệm đó là x1 ; x2 Khi đó ta có 1 2

a) Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại điểm uốn song song với đường thẳng ∆: 4x + y + 1= 0

b) Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại điểm x = −2 vuông góc với đường thẳng ∆′: 2x + 3y + 2= 0

m m thì tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị song song với đường thẳng ∆

b) Tiếp tuyến tại x = −2 có hệ số góc là k tt =y′( )− =2 24 12+ m+ =m 13m+24

Trang 7

a) Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có hoành độ x = 1 song song với đường (d): y = 2x – 1

b) Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có hoành độ x = 0 vuông góc với đường (d): 4x – 3y = 0

Bài 2 đồ thị hàm số y = –x4 + 2mx2 – 2m + 1

Tìm m để các tiếp tuyến với đồ thị tại A(1; 0), B(–1; 0) vuông góc với nhau

Bài 3 Cho hàm số y=x3+3x2+ +x 2, có đồ thị là (C) và một đường thẳng d đi qua A(−1; 3) có hệ số góc k

a) Tìm k để đường thẳng d cắt (C) tại ba điểm phân biệt cùng có hoành độ âm

b) Tìm k để d cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho tiếp tuyến với (C) tại hai điểm B, C vuông góc với nhau

Trang 8

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ

Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 1

DẠNG 2 TIẾP TUYẾN BIẾT HỆ SỐ GÓC (tiếp theo)

x có đồ thị là (C) Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của (C) Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng IM

x có đồ thị là (C)

Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị sao cho tiếp tuyến cắt Ox, Oy tại các điểm A, B với AB= 2OA

Đ/s: d: x + y – 8 = 0

Ví dụ 3: Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + 1 có đồ thị là (C m ); (m là tham số)

Xác định m để (C m ) cắt đường thẳng: y = 1 tại ba điểm phân biệt C(0;1), D, E sao cho các tiếp tuyến của (C m ) tại D và

E vuông góc với nhau

x có đồ thị là (C) Chứng minh rằng đường thẳng d: y = x + m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B với mọi giá trị của m Gọi k1 ; k2 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại A, B Tìm k để tổng k1+k 2

x có đồ thị là (C) Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của đồ thị (C)

Tìm điểm M trên đồ thị sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại M vuông góc với đường thẳng IM

Bài 2: Cho hàm số 2 1 ( )

, 1

−

=+

x

x Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến của (C) tại M với đường thẳng đi qua M và giao điểm hai đường tiệm cận có

tích hệ số góc bằng −9

Bài 3: Cho hàm số y= − +x3 2x2−3. Một đường thẳng d đi qua M(1 ; −2) và có hệ số góc k

a) Tìm k để đường thẳng d và đồ thị hàm số đã cho cắt nhau tại ba điểm phân biệt M(1 ; −2) ; A và B

b) Tim k để tiếp tuyến của đồ thị tại hai điểm A, B vuông góc với nhau

Bài 4: Cho hàm số y=x3– 3x+1 có đồ thị là (C) và đường thẳng d: y = mx + m + 3

Xác định m để d cắt (C) tại M(−2; 3), N, P sao cho các tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau

Bài 5: Cho hàm số y=x3– 3x2+4 có đồ thị là (C) và đường thẳng d đi qua A(2; 0) có hệ số góc k

Xác định k để d cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho tiếp tuyến của (C) tại B và C vuông góc với nhau

Bài 6: Cho hàm số 2 3 ( 1) 2 (3 2) 5

y x m x m x có đồ thị (C m), m là tham số

Tìm m để trên (C m) có hai điểm phân biệt M x1( ;1 y1), M2(x2; y2) thỏa mãn x x1 2 >0 và tiếp tuyến của (C m) tại mỗi

điểm đó vuông góc với đường thẳng d x: −3y+ =1 0

Bài 7: Cho hàm số y=x3+ −(1 2 )m x2+ −(2 m x) + +m 2 (1) với m là tham số

Trang 9

Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x + y + 7 = 0 góc α, biết cos α 1

x y

x có đồ thị là (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành tại A, cắt trục tung tại B sao cho OA = 4OB

Bài 9: Cho hàm số y= f x( )=x3+6x2+9x+3 (C)

Tìm tất cả các giá trị k, để tồn tại 2 tiếp tuyến với (C) phân biệt và có cùng hệ số góc k, đồng thời đường thẳng đi qua

các tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó cắt các trục Ox, Oy tương ứng tại A và B sao cho OA=2011.OB

x có đồ thị là (C) Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của đồ thị (C)

Tìm điểm M trên đồ thị sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại M vuông góc với đường thẳng IM

21

, từ đó đường x = 2 là tiệm cận đứng và y = 1 là tiệm cận ngang

Điểm I là giao của hai tiệm cận nên I(2 ; 1)

Tiếp tuyến tại M có hệ số góc là ( ) 2

3( 2)

Bài 2: Cho hàm số 2 1 ( )

, 1

−

=+

x

x Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến của (C) tại M với đường thẳng đi qua M và giao điểm hai đường tiệm cận có

Trang 10

Đường thẳng IM có hệ số góc là

( )2

3.1

M I IM

Vậy có 2 điểm M thỏa mãn đề bài là M(0; −3), M(−2; 5)

Bài 3: Cho hàm số y= − +x3 2x2−3. Một đường thẳng d đi qua M(1 ; −2) và có hệ số góc k

a) Tìm k để đường thẳng d và đồ thị hàm số đã cho cắt nhau tại ba điểm phân biệt M(1 ; −2) ; A và B

b) Tim k để tiếp tuyến của đồ thị tại hai điểm A, B vuông góc với nhau

a) Đường thẳng d qua M(1 ; −2) và có hệ số góc k nên có dạng d : y = k(x − 1) − 2

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị : − +x3 2x2− =3 k x( − − ⇔ − +1) 2 x3 2x2− =1 k x( −1)

thì hai đồ thị đã cho cắt nhau tại ba điểm phân biệt, trong đó có điểm M(1 ; −2)

b) Gọi A(x1; y1), B(x2; y2) ⇒ x1 ; x2 là hai nghiệm của g(x) = 0, theo định lí Vi-ét ta có 1 2

1 2

11

Phương trình trên vô nghiệm, vậy không có giá trị k nào thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài 4: Cho hàm số y=x3– 3x+1 có đồ thị là (C) và đường thẳng d: y = mx + m + 3

Xác định m để d cắt (C) tại M(−2; 3), N, P sao cho các tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau

Tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau khi 1 2 2

3 2 23

Trang 11

Bài 5: Cho hàm số y=x3– 3x2+4 có đồ thị là (C) và đường thẳng d đi qua A(2; 0) có hệ số góc k

Xác định k để d cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho tiếp tuyến của (C) tại B và C vuông góc với nhau

Tìm m để trên (C m) có hai điểm phân biệt M x1( ;1 y1), M2(x2; y2) thỏa mãn x x1 2 >0 và tiếp tuyến của (C m) tại mỗi

điểm đó vuông góc với đường thẳng d x: −3y+ =1 0

Bài 7: Cho hàm số y=x3+ −(1 2 )m x2+ −(2 m x) + +m 2 (1) với m là tham số

Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x + y + 7 = 0 góc α, biết cos α 1

00

Trang 12

x y

x có đồ thị là (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành tại A, cắt trục tung tại B sao cho OA = 4OB

+ với x = 3 ⇒ y = 0, tiếp tuyến có phương trình 1( 3)

Trang 13

DẠNG 3 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐI QUA MỘT ĐIÊM CHO TRƯỚC

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C) Điểm A(x A ; y A) không thuộc đồ thị

Viết viết các phương trình tiếp tuyến kẻ từ A đến đồ thị ta thực hiện như sau :

+ Gọi d là đường thẳng đi qua A và có hệ số góc k →d y: =k x( −x A)+y A

+ Đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi hệ sau có nghiệm : ( ) ( )

+ Ta giải hệ phương trình trên bằng cách thế (2) lên (1) Giải (1) được x rồi thay lại vào (2) tìm k, từ đó ta được phương

trình dường d chính là tiếp tuyến cần tìm

Ví dụ 1. Cho hàm số y=x3− −x 6

Viết phương trình tiếp tuyến biêt tiêp tuyến

a) tiếp tuyến song song với đường thẳng d: 2x – y + 1 = 0

b) tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d’: 4x – y + 2 = 0

c) biết tiếp tuyến đi qua A(2; 0) đến đồ thị hàm số

Ví dụ 2. Cho hàm số y= − +x3 9x

Viết phương trình tiếp tuyến biêt tiêp tuyến

b) tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: 3x + 23y + 2 = 0

c) biết tiếp tuyến đi qua A(3; 0) đến đồ thị hàm số

Ví dụ 3. Cho hàm số y= − +x3 9x

Viết phương trình tiếp tuyến biêt tiêp tuyến kẻ từ O(0; 0) đến đồ thị hàm số

Ví dụ 4. CMR không có tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số

1

=+

x y

x đi qua giao điểm I của 2 đường tiệm cận

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1 Viết phương trình tiếp tuyến trong các trường hợp sau:

a) Biết tiếp tuyến đi qua 2; 1

Bài 3 Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ điểmA(0; 1− ) đến đồ thị hàm số y=x3+x2− +x 2

Đ/s: y=4x−1

Bài 4 Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ điểm A(1; 4) đến đồ thị hàm số y=2x3−x2+3x+1

Đ/s: y=3x+1

Bài 5 Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ điểm A(3; 4) đến đồ thị hàm số y= − +x3 2x+5

Trang 14

x y x

Đ/s: y= − +x 4

Hướng dẫn giải:

Bài 1 Viết phương trình tiếp tuyến trong các trường hợp sau:

a) Biết tiếp tuyến đi qua  

Gọi d là đường thẳng qua A(0; 4) và có hệ số góc k →d y: = +kx 4

Để d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( 2)2 4 2

04

x y x

Gọi d là đường thẳng qua A(1; −2) và có hệ số góc k →d y: =k x( − −1) 2

Trang 15

Để d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2

x thì hệ sau có nghiệm:

( ) ( )2 ( )

2( 1) 2, 1

2 1

5, 2

k x

Thay (2) lên (1) ta được

2 2

Trang 16

02 BÀI TOÁN BIỆN LUẬN SỐ TIẾP TUYẾN

Ví dụ 1: Cho hàm số y=3x x− 3 (C)

Tìm trên đường thẳng (d): y= −x các điểm M mà từ đó kẻ được đúng 2 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C)

Gọi M m m( ;− ∈) d PT đường thẳng ∆ qua M có dạng: y=k x m( − )−m

∆ là tiếp tuyến của (C) ⇔ hệ PT sau có nghiệm: x x k x m m

3 2

2( )

Gọi M m( ;4)∈d PT đường thẳng ∆ qua M có dạng: y=k x m( − ) 4+

∆ là tiếp tuyến của (C) ⇔ hệ PT sau có nghiệm: x x k x m

YCBT ⇔ (3) có đúng 2 nghiệm phân biệt

+ TH1: (4) có 2 nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm bằng –1 ⇔ m= −1

+ TH2: (4) có nghiệm kép khác –1 ⇔ m 2 m

23

Trang 17

Do đó (*) có đúng 2 nghiệm phân biệt ⇔ B Ox A Ox m

m

4310981

Gọi M m( ;2) ( )∈ d PT đường thẳng ∆ đi qua điểm M có dạng : y=k x m( − ) 2+

∆ là tiếp tuyến của (C) ⇔ hệ PT sau có nghiệm x x k x m

Từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C)⇔ hệ (*) có 3 nghiệm x phân biệt

32

Ta có y=x4−2x2+1 PT đường thẳng d đi qua A a( ;0) và có hệ số góc k : y=k x a( − )

d là tiếp tuyến của (C) ⇔ hệ phương trình sau có nghiệm: x x k x a I

+ Từ hệ (A), chỉ cho ta một tiếp tuyến duy nhất là d1:y=0

+ Vậy để từ A kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt với (C) thì điều kiện cần và đủ là hệ (B) phải có 2 nghiệm

phân biệt ( ; )x k với x≠ ±1, tức là phương trình (1) phải có 2 nghiệm phân biệt khác ±1 ⇔

+

=

− (C)

Cho điểm A(0; )a Tìm a để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị (C) sao cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm về

2 phía của trục hoành

Phương trình đường thẳng d đi qua A(0; )a và có hệ số góc k: y=kx a+

d là tiếp tuyến của (C) ⇔ Hệ PT

x

kx a x

k

213( 1)

Trang 18

Gọi M(0; )y o là điểm cần tìm PT đường thẳng qua M có dạng: y=kx y+ o (d)

(d) là tiếp tuyến của (C)

2

2 2

Gọi M m m( ;2 + ∈1) d PT đường thẳng ∆ qua M có dạng: y=k x m( − ) 2+ m+1

PT hoành độ giao điểm của ∆ và (C): k x m m x

Trang 19

II MỘT SỐ CÁC TÍNH CHẤT CỰC TRỊ THƯỜNG GẶP

Phương pháp chung :

+ Tìm điều kiện tồn tại cực đại, cực tiểu

+ Giải điều kiện về tính chất K nào đó mà đề bài yêu cầu

+ Kết hợp nghiệm, kết luận về giá trị của tham số cần tìm

Dạng 6 Một số ứng dụng cơ bản của phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu

Phương pháp:

+ Tìm đk để hàm số có cực đại, cực tiểu

+ Viết được phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu (chú ý cách chứng minh nhanh) Giả sử

đường thẳng viết được có dạng ∆:y=ax b Ta có một số trường hợp thường gặp +

∆ song song với đường thẳng d : y = Ax + B khi  =

∆ vuông góc với đường thẳng d : y = Ax + B khi a A= −1

∆ tạo với đường thẳng d : y = Ax + B một góc φ nào đó thì

.cos φ

Trang 20

Trang 21

II MỘT SỐ CÁC TÍNH CHẤT CỰC TRỊ THƯỜNG GẶP

Phương pháp chung :

+ Tìm điều kiện tồn tại cực đại, cực tiểu

+ Giải điều kiện về tính chất K nào đó mà đề bài yêu cầu

+ Kết hợp nghiệm, kết luận về giá trị của tham số cần tìm

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm này cắt các trục tọa độ tạo thành một

tam giác cân

Trang 22

Trang 23

Trang 24

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hàm số

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95

III ĐIỂM UỐN, TÍNH LỒI LÕM

Quy tắc xét tính lồi lõm, tìm điểm uốn:

Tính đạo hàm ' y rồi tính tiếp '' y

Giải phương trình '' y =0, từ đó tìm được tọa độ điểm uốn

Xét dấu của '' y để kết luận:

Bài 1: Tìm m để tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị hàm số

a) y = x3 + 3x2 – mx + 2 song song với đường thẳng d: y = 3x – 5

b) y = x3 + 3mx2 – 2mx + 3 vuông góc với đường thẳng ∆: y = x – 3

a) y = x3 – 3mx2 + 9x + 1 có điểm uốn thuộc đường thẳng d: y = x + 1

b) y = 3x3 – 9x2 + 6x + m – 2 có điểm uốn nằm trên trục hoành

c) y = x3– 3mx2 + (3 + 2m2)x + m2 + 3 có điểm uốn cách đều hai trục tọa độ Ox, Oy

IV TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1) Nhắc lại một số giới hạn quan trọng

lim

1lim

x

x x

x

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ - P2

Trang 25

+

=+ −

a) Ta có

2 3

2 5

2lim

4 5

1; 52

Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là số nghiệm khác 2 của phương trình x2 + 3x + m = 0

Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng khi x2 + 3x + m = 0 vô nghiệm 0 9 4 0 9

4

⇔ ∆ < ⇔ − m< ⇔ >m

Đồ thị hàm số có một tiệm cận khi phương trình x2 + 3x + m = 0 có nghiệm kép khác 2, hoặc có hai nghiệm phân

biệt, trong đó một nghiệm x = 2

Điều đó xảy ra khi

2

9

94

x a

3) Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Định nghĩa: Đường thẳng y = b được gọi là tiệm cận ngang (TCN) của đồ thị y = f(x) khi lim ( )

Trang 26

Đồ thị hàm phân thức chỉ có tiệm cận ngang khi bậc của tử số không lớn hơn bậc của mẫu số Thông thường, với

hàm phân thức ta thường chia cả tử và mẫu số cho lũy thừa mũ cao nhất của x để tìm tiệm cận ngang

Chú ý: Với các giới hạn mà hàm số có chứa căn thì chúng ta thực hiện theo quy tắc sau:

−

=+

x y

1

+

=+

x y x

3 2

11

2

1 11

33

Trang 27

Khi x→+∞ thì |x| = x nên ta được

11

Cách tìm tiệm cân xiên:

Đồ thị hàm phân thức chỉ có tiệm cận xiên khi bậc của tử số phải lớn hơn bậc của mẫu số một bậc

Cách 1:

x

f x a

y x

+ +

=+

a)

2

1.2

Trang 28

Đồ thị có tiệm cận xiên khi m≠0

Với m≠0 thì tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là y = 2x + m – 2, (d)

m m

a) tiệm cận xiên của đồ thị vuông góc với đường thẳng y = 3x – 5

b) tiệm cận xiên của đồ thị cách gốc tọa độ O một khoảng bằng 1

y x

=

14

y x

x y

x

−

=+ f)

2

21

x y x

=

2 2

3 41

y x

=+

=+ − 6)

2 2

5 31

x y

2 2

4

=+

x y x

12)

2

1

x y

=+ +

+

=+ d)

3 2

1

3 2

mx y

−

=

− +

Trang 29

a) Tìm m để đồ thị có tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đi qua điểm A(1; 1)

b) Tìm m để giao của hai tiệm cận thuộc (P): y=x2+3

Bài 6: Tìm m để tiệm cận xiên đồ thị hàm số

+

=

− Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng, tiệm cận ngang và các tiệm cận cùng với

hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng 8

Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận xiên ∆ biết ∆ tiếp xúc với đường tròn tâm I(1; 2), bán kính R= 2

Bài 9: Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đồ thị của các hàm số sau đến hai tiệm cận

y x

+ −

=

−

Trang 30

4 2 2

Số giao điểm của hai đồ thị là số nghiệm của phương trình (1)

Do (1) là phương trình bậc ba nên có tối đa ba nghiệm, khi đó số giao điểm tối đa của hai đồ thị là 3

Hai đồ thị cắt nhau tại 1 điểm khi (1) chỉ có một nghiệm

Điều đó xảy ra khi (2) vô nghiệm, hoặc có nghiệm kép x = 2

Từ đó ta có điều kiện tương ứng

vn b

x a

Hai đồ thị cắt nhau tại 2 điểm khi (1) có hai nghiệm phân biệt

Điều đó xảy ra khi (2) có nghiệm kép khác x = 2, hoặc có hai nghiệm phân biệt và trong đó một nghiệm là x = 2

Ta có điều kiện

( )

0

02

x a m

m

Hai đồ thị cắt nhau tại 3 điểm khi (1) có ba nghiệm phân biệt

Điều đó xảy ra khi (2) có hai nghiệm phân biệt và đều khác 2

+ Hai đồ thị cắt nhau tại một điểm khi m < 0

+ Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm khi m = 0 hoặc m = 9

+ Hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm phân biệt khi m > 0 và m ≠ 9

03 LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ TƯƠNG GIAO

Trang 31

Số giao điểm của hai đồ thị là số nghiệm khác −2 của phương trình (1)

Do (1) là phương trình bậc hai nên có tối đa hai nghiệm, khi đó số giao điểm tối đa của hai đồ thị là 2

Hai đồ thị không cắt nhau khi (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép x = −2

Ta có

2 2

42

m b

x a

m

vn m

+ Hai đồ thị không cắt nhau khi 6−2 6< < +m 6 2 6

+ Hai đồ thị cắt nhau tại một điểm khi m= ±6 2 6

+ Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi 6 2 6

Số giao điểm của hai đồ thị là số nghiệm của phương trình (1)

Do (1) là phương trình bậc bốn nên có tối đa bốn nghiệm, khi đó số giao điểm tối đa của hai đồ thị là 4

Đặt t=x2,(t≥ 0) →h t( )= +t2 mt+ −1 2m=0, 2( )

Hai đồ thị không cắt nhau khi (1) vô nghiệm, điều đó xảy ra khi (2) vô nghiệm, hoặc có nghiệm kép âm, hoặc có hai

nghiệm âm phân biệt

Trang 32

Từ đó ta được kiện 1 2 0 1

2

Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm khi phương trình (1) có hai nghiệm, điều đó xảy ra khi (2) có nghiệm kép dương,

hoặc có hai nghiệm trái dấu

+ (2) có nghiệm kép dương khi

Hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm khi (1) có ba nghiệm, điều đó xảy ra khi (2) có một nghiệm t = 0 và một nghiệm t > 0

Điều đó xẩy ra khi ( )

1 2

1

.2

Vậy không có giá trị nào của m để hai đồ thị cắt nhau tại 3 điểm

Hai đồ thị cắt nhau tại bốn điểm khi (1) có bốn nghiệm, điều đó xảy ra khi (2) có hai nghiệm phân biệt, và hai

nghiệm đều dương

Điều đó xẩy ra khi

+ Hai đồ thị cắt nhau tại bốn điểm phân biệt khi m< − −4 2 5

Ví dụ 2: Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị

Trang 33

Ví dụ 4: Biện luận số giao điểm của hai đồ thị

211

Trang 34

03 BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM TRÊN ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Kiến thức cơ bản:

1) Khoảng cách giữa hai điểm A, B: AB = (x B−x A)2+(y B−y A)2

2) Khoảng cách từ điểm M x y( ; )0 0 đến đường thẳng ∆: ax by c+ + =0: d M d ax by c

Đặc biệt: + A, B đối xứng nhau qua trục Ox ⇔ B A

33

1 2

33

Trang 35

Vậy hai điểm thuộc đồ thị (C) và đối xứng qua Oy là: M 16 N 16

Gọi M x y( 1 1; ) (;N x y2 2; ) thuộc (C) là hai điểm đối xứng qua đường thẳng d

I là trung điểm của AB nên I x1 x2;y1 y2

Gọi A, B là các giao điểm của (C) với trục Ox Chứng minh rằng trên đồ thị (C) tồn tại hai điểm cùng nhìn

đoạn AB dưới một góc vuông

Dựa vào BBT ta suy ra (*) luôn có 2 nghiệm khác 1 và –5

Vậy luôn tồn tại 2 điểm thuộc (C) cùng nhìn đoạn AB dưới một góc vuông

Ví dụ 5: Cho hàm số y=x4−2x2+1

Tìm toạ độ hai điểm P, Q thuộc (C) sao cho đường thẳng PQ song song với trục hoành và khoảng cách từ

điểm cực đại của (C) đến đường thẳng PQ bằng 8

Trang 36

Điểm cực đại của (C) là A(0;1) PT đường thẳng PQ có dạng: y=m m( ≥0)

Vì d A PQ( , ) 8= nên m=9 Khi đó hoành độ các điểm P, Q là nghiệm của phương trình:

x4−2x2− = ⇔ = ±8 0 x 2

Vậy: P( 2;9), (2;9)− Q hoặc P(2;9), ( 2;9)Q −

Ví dụ 6: Cho hàm số y=x4+mx2− −m 1 (Cm)

Chứng minh rằng khi m thay đổi thì (C m ) luôn luôn đi qua hai điểm cố định A, B Tìm m để các tiếp tuyến

tại A và B vuông góc với nhau

Hai điểm cố định A(1; 0), B(–1; 0) Ta có: y′ =4x3+2mx

Các tiếp tuyến tại A và B vuông góc với nhau ⇔ y′(1) ( 1)y′ − = −1 ⇔ (4 2 )+ m 2 =1 ⇔ m 3 m 5

PT đường trung trực đọan AB: y=x

Những điểm thuộc đồ thị cách đều A và B có hoành độ là nghiệm của PT:

1( 2)

42

0 0

01

1

21

Tìm tọa độ điểm M ∈ (C) sao cho khoảng cách từ điểm I( 1; 2)− tới tiếp tuyến của (C) tại M là lớn nhất

Trang 37

(d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B ⇔ ∆=m2−8m−32 0> (2)

Khi đó A x( ;21 x1+m B x), ( ;22 x2+m) với x x1, 2 là các nghiệm của (1)

Trung điểm của AB là I x1 x2;x1 x2 m

Ta có: AB=AC BAC; =900⇒CAK BAH+ =900 =CAK ACK+ ⇒BAH=ACK

c c

b

2

1 1

−

=+

Tìm trên hai nhánh của đồ thị (C) hai điểm A và B sao cho AB ngắn nhất

Trang 38

Trang 39

DẠNG 1 BIỆN LUẬN VỀ SỐ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Hàm số có một cực trị khi y′ chỉ đổi dấu một lần, tức là 0

+ Hàm số có ba cực trị khi 3 0 0

11

m m

Trang 40

+ Với điều kiện (*) ta có 2

3

0

22

Do hàm chẵn với x nên các điểm B, C có y B = y C

Nhận xét : A ∈ Oy, B ; C đối xứng nhau qua Oy nên tam giác ABC luôn là tam giác cân tại A

Ta xét một số tính chất cơ bản thường gặp của hàm số :

Tính chất 1: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân

Do tam giác ABC đã cân tại A nên chỉ có thể vuông cân tại đỉnh A

Khi đo ta có điều kiện AB AC =0, 1( )

quả cuối cùng của bài toán

Ngoài ra ta cũng có thể dùng điều kiện Pitago cho tam giác cân

ABC : AB2+AC2 =BC2⇔2AB2 =BC 2

Tính chất 2: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác đều

Tam giác ABC đều khi 2 2 ( )

Giá trị m tìm được kết hợp với điều kiện tồn tại ở (*) cho ta kết

quả cuối cùng của bài toán

Tính chất 3: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có một góc bằng 120 0

Tam giác ABC cân tại A nên BAC=1200 Gọi H là trung điểm của BC⇒H(0;y B)

Tính chất 4: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích S = S o cho trước

Gọi H là trung điểm của BC⇒H(0;y B) Khi đó 1 2 2 2 ( )

Tính chất 5: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp R cho trước

Sử dụng công thức diện tích tam giác

2

.1

Giải phương trình trên ta được giá trị của m, đối chiếu với (*) cho ta kết luận cuối cùng

Tính chất 6: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có trọng tâm G(0; α) cho trước

Định dạng
Số trang	90
Dung lượng	4,29 MB