DẤU CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC III.. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA NHỮNG GÓC ĐẶC BIỆT IV.. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA NHỮNG GÓC LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT V.. CÁC ĐẲNG THỨC CƠ BẢN TRONG TAM GIÁC... Chứng minh
Trang 1MỤC LỤC
MỤC LỤC 1
LƯỢNG GIÁC 2
HÀM MŨ VÀ HÀM LOGARIT 39
CÁC BÀI TOÁN VỀ GIẢI VÀ BIỆN LUẬN 57
CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐIỀU KIỆN NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH 60
CÁC BÀI TOÁN ĐIỀU KIỆN NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH 64
GIỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ 67
Trang 2LƯỢNG GIÁC
A - CÁC VẤN ĐỀ VỀ LÍ THUYẾT.
I ĐỊNH NGHĨA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1 Đường tròn lượng giác.
2 Cung lượng giác và góc lượng giác.
3 Định nghĩa các hàm số lượng giác.
II DẤU CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
III HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA NHỮNG GÓC ĐẶC BIỆT
IV HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA NHỮNG GÓC LIÊN QUAN
ĐẶC BIỆT
V MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
VI CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LỰONG GIÁC
3 Công thức biến đổi tích thành tổng.
4 Công thức biến đổi tổng thành tích.
VII ĐỊNH LÍ HÀM SỐ SIN VÀ COSIN
VIII CÁC CÔNG THỨC TRONG TAM GIÁC
Trang 3B BÀI TẬP.
DẠNG 1 CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN VỀ BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC.
1 Tính hàm số lượng giác của cung a sau.
1) sina = 53 với 0 < a < 2π 2) tga = - 2 với 2π < a < π
3) cosa =
5
1 với -
1
2 - cos2x 2) tg2x - sin2x = tg2xsin2x
3)
x tg
x
g
cot
x sin
x
cos
2 2
2 2
−
−
= sin2xcos2x 4)
x tg 1
) 1 x cos
1 )(
x g cot 1 (
2 2 2
+
− +
= 1
5) cosx + cos(2π/3 - x) + cos(2π/3 - x) = 0
6) sin(a + b)sin(a - b) = sin2a -sin2b = cos2b - cos2a
7) 1tg tga 2atgtg2bb
2 2
−
−
= tg(a +b)tg(a - b)
8) cos3xsinx - sin3xcosx = 41 sin4x 9) coscosxx+−sinsinxx = cos12x - tg2x
10) sinsin22xx+−22sinsinxx = -tg2
2 x
11) sin3xcos3x + sin3xcos3x =
4
3sin4x
12) sinx - sin2x +sin3x = 4cos
2
x 3cosxsin
2 x
13) sinx +2sin3x + sin5x = 4sin3xcos2x
14) sin x2(1coscosx2x)cos x
2 4
2) sin(x - π/2) + cos(x - π) - 5sin(112π + x)
3) cos(π/2 + a) + cos(2π - a) + sin(π - a) + cos(π + a)
4) 2cosa - 3cos(π + a) - 5sin(π/2 - a) + cotg(
2
3 π - a)
Trang 45) cos(π - a) - 2sin(3π/2 + a) + tg(32π- a ) + cotg(2π - a)
4 Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào a.
1) A = cos4a + cos2asin2a +sin2a
2) B = cos4a - sin4a + 2sin2a
3) C = 2(sin6a + cos6a) - 3(sin4a + cos4a)
4) D = 11+−cotcotgaga - tga2−1
5) E = sin 4 a + 4 cos 2 a + cos 4 a + 4 sin 2 a
6) F = cos2a + sin(300 + a)sin(300- a)
7) G = sin6a + cos6a + 3sin2acos2a
8) H =
1 a cos a
sin
1 a cos a
sin
6 6
4 4
− +
− +
9) m là mọt số cho trước, chứng minh rằng nếu:
1) Tính sin3a -cos3a biết sina -cosa = m
2) Biết sina + cosa = m hãy tính theo m giá trị của biểu thức:
A =
2
a tg 2
a g cot
a 2 cos 1
− +
3) Biết cos(cos(aa−+bb)) = qp Tính tga.tgb
4) Biết sina + sinb = 2sin(a + b) với (a + b) ≠k2π tính tg2a tg2b
6 Tính giá trị các biểu thức mà không tra bảng.
1) A = cos200cos400cos600cos800
2) B = cos7π.cos47π.cos57π
3) C = sin60.sin420.sin660.sin780
4) Với a ≠kπ chứng minh rằng:
cosa.cos2a.cos4a cos2na =
a sin 2
a 2 sin
1 n
1 n
Trang 56) Tính: F = sin18π.sin183π.sin185π.sin187π sin189π
7) A = sin370.cos530 + sin1270.cos3970
8) A = tg1100 + cotg200
9) Tính sin150 và cos150
10) Tính tgx.tgy biết :cos(cos(xx−+yy)) = 12
7 Chú ý các công thức sau:
1) 4sinx.sin(π3 - x)sin( 3π + x) = sin3x
2) 4cosx.cos(π3 - x)cos(π3 + x) = cos3x
3) tgx.tg(π3 - x)tg( 3π + x) = tg3x
4) cosa.cos2a.cos4a cos2na =
a sin 2
a 2 sin
1 n
1 n
+ +
5) để tính S = cosa - cos(a + x) + cos(a +2x) + +(-1)n cos(a +nx).thì nhân 2 vế với 2cos
2
x nếu cos
cos
15 sin 15
cos
75 cos 75
sin
+
3 1
2 Rút gọn các biểu thức sau:
a) A = sin3x.sin3x + cos3x.cos3x
b) B = 1+sincosxx[1 +
x sin
) x cos 1 (
Trang 6h) H = cos27π + cos47π + cos67π
i) I = sinπ5 + sin235π + sin6π + cos135π
k) K = cos 5π + cos25π + cos35π + cos45π
a 2 sin
1 n
1 n
+ +
5 Tính: A = cos20o.cos40o.cos60o
6 Tính: A = sin6o.sin42o.sin66o.sin78o
7 Tính: A = cos7π cos47π cos57π
8 Tính: cos65π cos265π cos465π cos865π cos1665π cos3265π
9.Tính: sin18π sin183π sin185π sin187π sin189π
10 Tính: cos15π cos152π cos153π cos154π cos157π
11 Tính: sin5o sin15o sin25o sin85o
12 Tính: 96 3.sin48π.cos48π cos
24
π cos
12
π cosπ6
13 Tính: 16.sin10o.sin30o.sin50o.sin70o
14 Tính: sin10o.sin20o.sin30o sin80o
15 Tính: cos9o cos27o cos45o cos63o cos81o cos99o cos117o
cos135o cos153o cos171o
16 Tính: A = cos 5π + cos25π
B = cosπ5 + cos35π
17 Chứng minh rằng :
a) 4.cosx.cos(π3 - x).cos( 3π + x) = cos3x
b) 4.sinx.sin( 3π - x).sin( π3 + x) = sin3x
c) tgx.tg( π3 - x).tg( π3 + x) = tg3x
Áp dụng tính: A = sin20o.sin40o.sin80o
B = cos10o.cos20o.cos30o cos80o
C = tg20o.tg40o.tg60o.tg80o
18 Chứng minh rằng :
Trang 7a) sin6x + cos6x = 85 + 8
3cos2xb) tgx = 1−sincos2x2x
1 8
b) sin8x + cos8x = cos x
16
1 x 4 cos 16
7 64
21 Tính: cos(27π) + cos(47π) + cos(67π)
22 Tính cos( 5π) + cos(25π) + cos(35π) + cos(45π)
23 Cho: sin2a + sin2b = 2sin2(a + b)
Tính: tga.tgb
75 cos 75 sin
75 cos 75 sin
+
3 1
Trang 8DẠNG 2 CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC.
c B sin
b A
sin
R 4
abc C sin ab 2
1 h a
a + +
r: bán kính đường tròn nội tiếp
ra: bán kính đường tròn ngoại tiếp góc A
+ Định lý hàm tang:
2
b a tg
) 2
b a ( tg b a
b a
+
−
= +
−
) 2
c b ( tg
) 2
c b ( tg c b
c b
+
−
= +
−
) 2
c a ( tg
) 2
c a ( tg c a
c a
+
−
= +
2
B = (p - c)tg
2 C
2
C 2
B 2
cos
sin sin a
2
C 2
A 2
cos
sin sin b
2
A 2
B 2
cos
sin sin c
ra = p.tg
2
A = p.tg
2
B = p.tg
2
C
2
C 2
B 2
cos
cos cos a
= B
2
C 2
A 2
cos
cos cos b
= C
2
A 2
B 2
cos
cos cos c
+ Đường trung tuyến :
Trang 9ma2 =
4
a 2
c
b 2 2 2
− +
mb2 =
4
b 2
a
b 2 2 2
− +
+ Đường phân giác:
la =
c b 2
A cos bc 2
+
lb =
c a 2
B cos ac 2
+
la =
b a 2
C cos ab 2
+
+ Mở rộng định lí hàm sin và cosin:
CotgA =
s 4
a c
b 2 + 2 − 2
CotgB =
s 4
b c
a 2 + 2 − 2
CotgC =
s 4
c b
a2+ 2 − 2
II CÁC ĐẲNG THỨC CƠ BẢN TRONG TAM GIÁC.
1 sinA + sinB + sinC = 4cos
2
A cos2
B cos2
C
2 sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC.
3 sin3A + sin3B + sin3C = -4cos32A cos32B cos32C
4 sin4A + sin4B + sin4C = -4sin2A.sin2B.sin2C.
5 cosA + cosB + cosC = 1+ 4sin
2
A.4sin2
B.4sin2
C
6 cos2A + cos2B + cos2C = -1 -4cosA.cosB.cosC.
7 cos3A + cos3B + cos3C = 1 - 4sin
2
A 3 sin2
B 3 sin2
C 3
8 cos4A + cos4B + cos4C = -1 + 4cos2A.cos2B.cos2C.
B + tg2
B tg2
C + tg2
C tg2
A = 1
13 cotg
2
A + cotg
2
B + cotg
2
C = cotg
2
A cotg
2
B cotg
2 C
Trang 1014 cos2A + cos2B + cos2C = 1 - 2cosA.cosB.cosC.
15 cos22A + cos22B + cos22C = 1 + 2cos2A.cos2B.cos2C
17 la =
c b 2
A cos bc 2
2
) a p (
p c
18 r = p.tg
2
A tg2
B tg2
C =
2
A cos
2
C sin 2
B sin a
19 R =
2
C cos 2
B cos 2
A cos 4
B cos2
C
a p
2
C cos 2
B cos
2
A sin p
) a p (
2
B + +cos
2
C
)
III CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC.
1 Chứng minh rằng diện tích tam giác có thể tính theo các công
B.tg2
C = 2R2.sinA.sinB.sinC
2 Chứng minh các đẳng thức sau:
a) a.sin(B - C) + b.sin(C - A) + c.sin(A - B) = 0
b) (b - c)cotgA2 +(c - a)cotgB2 + (a - b)cotgC2 = 0
c) (b2 - c2)cotgA + (c2 - a2)cotgB + (a2 - b2)cotgC = 0
d) 2p = (a + b)cosC + (a + c)cosB + (a + b)cosC
e) sinB2−C = ba−ccosA2
f) cosB−C = b+csinA
Trang 11g) b.cosB + c.cosC = a.cos(B - C).
h) cosA + cosB = 2a +c bsin2
2
C.i) 1r =
a h
1 +
b h
1 +
c h
1
3 Tam giác ABC có 2a = b + c chứng minh rằng:
a) 2sinA = sinB + sinC
4 Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC R, r là bán kính
đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp của tam giác Chứng minh rằng:a) r = 4R.cos
2
A cos2
B cos2
C.b) IA.IB.IC = 4Rr2
c) cosA + cosB + cosC = 1 +
R r
A cos
+
b
l 2
B cos
c
l 2
C cos
= 1a + b1 + 1c
8 Chứng minh rằng các trung tuyến Â' và BB' vuông góc với nhau
khi: cotgC = 2(cotgA + cotgB)
≠ 1 chứng minh rằng : 2cotgA = cotgB + cotgC
10 Cho tam giác ABC và AM là trung tuyến gọi α = AMB
Chứng minh rằng:
a) cotgα = b24−sc2
b) cotgα = cotgC - cotgB
c) cotgα = 22sinsin(BBsin−cC)
11 Chứng minh rằng bc là nghiệm của phương trình:
(1 + x2 -2xcosA)(b2 - bc) = a2(1 - x)
12 Tam giác có 3 cạnh lần lượt là: (x2 +2); (x2 - 2x +2);
(x2 + 2x + 2) Với giá trị nào của x(dương) thì tam giác đó tồn tại
13 Cho ma = c Chứng minh rằng:
a) bcosC = 3cosB
b) tgB = 3tgC
c) sinA = 2sin(B - C)
Trang 1214 Gọi H là trực tâm tam giác ABC H chia đường cao xuất phất từ
A theo tỉ số k cho trước Chứng minh rằng :
C = 3
16 Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện: tgA.tgB = 6; tgCtgA=3
Chứng tỏ rằng: tgA, tgB, tgC theo thứ tự đó lập 1 cấp số cộng
17 Tam giác ABC có cotg
2
A, cotg
2
B, cotg
2
C theo thứ tự lập một cấp số cộng Chứng minh rằng : a, b, c theo thứ tự cũng lập một cấp
số cộng
18 Tam giác ABC có: cotgA, cotgB, cotgC hteo thứ tự lập một cấp
số cộng Chứng minh rằng a2, b2, c2 theo thứ tự đó cũng lập một cấp số cộng
19 Cho tam giác ABC thỏa mãn: 2tgA = tgB + tgC Chứng minh
rằng :
a) tgB.tgC = 3
b) cos(B- C) = 2cosA
IV - NHẬN DẠNG TAM GIÁC CÂN.
A Chứng minh rằng tam giác cân khi và chỉ khi:
cos
B sin A
+ +
2
1 B sin A
sin
B cos A
2 2
2 2
+
= +
B cos 2
sin
B cos
1
−
+
= +
9 a2sin2B +b2sin2A=c2cotg
2 C
10 a.sin(B - C)+b.sin(C - A) = 0
Trang 1311 sin
2
A cos 2
B sin 2
B cos 2
12 ĐHSP BẮC NINH -B -99
a = 2b.cosC Chứng minh ∆ ABC cân tại A
B.Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu :
C sin
B sin
) C B cos(
1 2 b
) c b
V NHẬN DẠNG TAM GIÁC VUÔNG.
A Chứng minh điều kiện cần và đủ để tam giác vuông là:
1 cos2a + cos2B + cos2C = -1
2 tg2A + tg2B + tg2C = 0
3 sinA + sinB + sinC = 1 + cosA + cosB + cosC
B Chứng minh tam giác vuông khi:
1 cosbB +coscC =sinBa.sinC
a gA cot A
Trang 14sin
) C B cos(
=
− +
−
A cos B
sin
B cos A
sin
= +
a c 2
1 B
cos
1
C sin B
sin
= +
+
14 1 + cotg(450 - B) = 1−cot2 gA
15 sin4C + 2sin4A + 2sin4B = 2sin2C(sin2A + sin2B)
Trang 1516 3(cosB + 2sinC) + 4(sinB + 2cosC) = 15
17 (ĐHCĐ - 99)
cos2A + cos2B + cos2C + 1 = 0
C Tam giác ABC có đặc điểm gì khi thỏa mãn các điều kiện sau.
1 sin3A + sin3B + sin3C = 0
2 sin4A + sin4B + sin4C = 0
3 sin5A + sin5B + sin5C + sin2A + sin2B = 4sinA.sinB
1 c
9 sin2A + sin2B + sin2C ≤ 2
10 cos2A + cos2B + cos2C ≤ 1
11 Chứng minh nếu trong tam giác ABC có:
Trang 16C thì tg
2
B tg2
C = 2
1
và ngược lại
12 Chứng minh rằng nếu a = 2c thì a2 = bc + c2
13 Trong tam giác ABC có đường cao CB cắt đường cao AD tại
trung điểm H của AD Chứng minh rằng tgB.tgC = 2
14 Cho tam giác ABC vuông tại A cạnh huyền có độ dài bằng a.
Chứng minh rằng: sin
2
B.sin2
C = lb c2
a 4
l
15 Cho tam giác vuông ABC tại A Gọi I là góc giữa đường cao và
đường trung tuyến ứng với cạnh huyền Chứng minh rằng:
tg
2
I = tg
Cho A, B, C là 3 góc nhọn của một tam giác Chứng minh rằng
điều kiện cần và đủ để tam giác ABC đều là có hệ thức
(cot gA cot gB cot gC ) 3
C sin
1 B sin
1 a
sin
Trang 17Cho tam giác ABC với 3 góc đều nhọn Chứng minh rằng:
(sinA)2sinB + (sinB)2sinC + (sinC)2sinA > 2
Bất đẳng thức trên có đúng không nếu tam giác ABC vuông, vì sao?
VI BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC.
) x ( ) x ( 1 + 2 ≤ + ∀x, y ∈ R
+ tính chất hàm lõm: )
2
y x ( 2
) x ( ) x
2 1 < sinA2 + sinB2 + sinC2 ≤ 23
3 1 < cosA + cosB + cosC ≤ 23
Trang 184 Sin2A + Sin2B + Sin2C ≥
4 9
5 2 < cos2
2
A + cos2
2
B + cos2
2
B + sin2
2
C < 1
7 sin
2
A
sin2
B sin2
B cos2
1
+
2
C sin
1
≥ 6
14 sin2.sinA+Asin.sinBB+.sinsinCC ≤ 313
15 (1 + sin1A) + (1 + sin1B) + (1 + sin1C ) ≥ 5 +
9 3 26
Trang 1916 (1 + sin1A).(1 + sin1B).(1 + sin1C).(1 + cos1A)(1 + cos1B)(1
2
C ≥ 1
19 tgA + tgB + tgC ≥ 3 3 Với ∆ABC nhọn
B tg2
C ≥ 3 3 1
22 cos3A + cos3A + cos3A ≤ 94 + 41 (cos3A + cos3B + cos3C)
23 36r2≤ ab + bc + ca ≤ 9R2
24 (a + b + c)(ha + hb + hc) ≥ 18S
25 ha + hb + hc ≥ 9r (1r =
a h
1 +
b h
1 +
c h
Trang 2029 a(b - c)2 + b(c - a)2 + c(a - b)2 + 4abc ≥ a3 + b3 + c3
bc +
b l
1 +
c r
1 ≥ 33
2 abc ) c b a (
R 4
+ +
B + tg2
C + cotg
2
A + cotg
2
B + cotg
2
C ≥ 4 3
35 a2 + b2 + c2 ≥ 4S 3
36 a2b2 + b2c2 + c2a2 ≥ 16S2
Chứng minh ∆ABC đều khi thỏa mãn các điều kiện sau:
1 R = 2r
2 S = 32 R2(sin3A + sin3B + sin3C)
3 aacossinAB++bbcossinCB++ccsin.cosAC = 92Rp
Trang 21a
a a c
b
a c
b
.4
2 3 3
B
sin
c b a
c b a
a
3 3 3 2
c b a
a
4
1 C cos B
cos
3 3 3 2
7 A, B, C là nghiệm của phương trình: tgx - tg 2x =
3
3 2
8 2(acosA + bcosB + c.cosC) = a + b + c
9 sinA + sinB + sinC = sin2A + sin2B + sin2C.
10 cosA + cosB + cos2C + cos2A + cos2b + cos2C = 0
11 cotg2A + cotg2B + cotg2C = 1
12 acosA+ab+cosb+Bc+c.cosC =
2 1
Trang 2213 cossinAA++sincosBB++sincosCC = 3.cotgA.cotgB.cotgC Với ∆ABC nhọn
≥
+
C cos 2 B cos A
cos
C sin 2 B sin A
sin
15 3tg2A + tg2B + tg2C = tg2A tg2B tg2C
16
A sin
1
2 +
B sin
1
2 +
C sin
1
2 =
2
C sin 2
B sin 2
A sin 2
1
17 cotg
2
A + cotg
2
B + cotg
2
C = tgA + tgB + tgC
18 Cho tam giác ABC có các góc thỏa mãn:
cotgA2 + cotgB2 cotgC2 = 9
Chứng minh tam giấc ABC là tam giác đều
19 (ĐH Dược - 99)
Cho tam giác ABC thỏa mãn: a.cosA ab.cosb Bc c.cosC =21
+ +
+ +
(A, B, C là các góc của tam giác a = BC, b = CA, c = AB) Chứng minh tamgiác ABC là tam giác đều
Trang 23Chứng minh để tam giác đều, điều kiện cần và đủ là:
p + R = (2 + 3 3).r
21 (ĐH Thủy Lợi - 99)
Cho tam giác ABC thỏa mãn:
2cosA.sinB.sinC + 3(sinA + cosB + cosC) =
4 17
Hỏi tam giác ABC là tam giác gì? Chứng minh
22 (ĐHNT - 99)
Các góc của tam giác ABC thỏa mãn:
cotgA + cotgB + cotgC = tgA2 + tgB2 + tgC2
Chứng minh tam giác ABC đều
23 (HVKKTMM - 99)
Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có 3 góc thỏa mãn điều kiện:
sinA + sinB + sinC =sin2A + sin2B + sin2C
thì tam giác ABC là tam giác đều
24 (Sỹ Quan - 99)
Trang 24Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thỏa mãn điều kiện:
3 3 3 a 3
c b a
c b a
1 2
B sin
1 2
A sin
1 C cos
1 B cos
1 A
cos
1
+ +
= +
+
Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều
26 (CĐSP Bắc Ninh - 99)
Chứng minh nếu tam giác ABC thỏa mãn điều kiện:
sin2A + sin2B + sin2C thì tam giác ABC đều
27 ĐHSPHN - A - 01
Cho tam giác ABC có các góc A, B, C thỏa mãn:
C cos B cos A cos 2
1 C
2 sin
1 B 2 sin
1 A
2
sin
1
2 2
Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều
28 ĐHSPHN - B - 01
Trang 25Tính các góc của tam giác ABC nếu các góc A, B, C của tam giác đó
thỏa mãn hệ thức: cos2A + 3(cos2B + cos2C) +25 = 0
29 ĐHSP VINH - D - 01
Cho tam giác ABC thỏa mãn: sin(A + B).cos(A - B) = 2sinA.sinB
Chứng minh rằng tam giác ABC vuông
30 ĐHBK - A - 01
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn bán kính bằng 1 Gọi
ma, mb, mc lần lượt là độ dài các đường trung tuyến kẻ từ các đỉnh
A, B, C của tam giác ABC Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều khi và chỉ khi:
3 m
C sin m
B sin m
A
sin
c b
a
= +
1 x sin 7 )(
Trang 26DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC.
I CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC.
1 Phương trình lượng giác cơ bản.
a) sinx = m
+) Nếu m >1 hoặc m < -1 thì phương trình vô nghiệm
+) Nếu -1 ≤ m ≤ 1 đặt m = sinα khi đó phương trình đã cho có hai
+) Nếu m >1 hoặc m < -1 thì phương trình vô nghiệm
+) Nếu -1 ≤ m ≤ 1 đặt m = cosα khi đó phương trình đã cho có hai
b) Phương pháp giải: Sử dụng khai triển hàm bậc nhất của sin, cos
để đưa phương trình về dạng: Asin(x + ϕ) = c ⇔sin(x + ϕ) = Ac c) Điều kiện có nghiệm: -1 ≤ c ≤ 1 ⇔ c ≤ 1 ⇔A2 ≥ c2 hay
Trang 27a2 + b2 ≥ c2.
3) Giải phương trình lượng giác bằng phương pháp đặt ẩn phụ.
a) Phương trình đưa về sin
b) Phương trình đưa về cos
c) Phương trình có thể đưa về tg
+) Phương trình có thể khai triển theo tg góc chia đôi
+) Phương trình đẳng cấp với sin và cos
d) Phương trình đối xứng với sin và cosin
e) Phương trình đối xứng với tg và cotg
` f) Phương pháp đặt ẩn phụ trong góc
4) Giải phương trình lượng giác bằng phương pháp đánh giá.
5) Giải phương trình lượng giác bằng phương pháp đại số.
5 3cotg2x + 2 2sin2x = (2 + 3 2)cosx
6 sin2x + 2sinxcosx + 2cos2x = 21
7 sinxcossx - 2(sinx + cosx) = -1
8 sin2x(sinx + cosx) = ± 2
9 sin2x + 4(cosx - sinx) = 4
4 x ( tg ).
π +
π
−
+
= 4 1
4
3 π +
2
x)
18 sin2x + sin22x = 1
19 sin2x + sin22x + sin23x = 23
Trang 2820 sin2x + sin22x + sin23x + sin24x = 2
21 cos2x + cos22x =
2 1
22 cosx + cos2x + cos3x = 1
23 cos2x + cos22x + cos23x = 1
24 cos2x + cos22x + cos23x + cos24x =
2 3
25 sinx.cos2x = sin2x.cos3x
-2
1sin5x
26 sinx(1 + cosx) = 1 + cosx + cos2x
40 sin3x.sin3x + cos3x.cos3x = cos34x
41 sin3x.cos3x + cos3x.cos3x = a.(a =
-4
3, 8
3 1 tgx 1
tgx 1 ).
3 1
3 1 1 ( x
− +
− +
− +
Trang 2948 sin2x - 4 3 sinx.cosx + 5cos2x = 5.
2
1 ) x cos x (sin 2
1 x cos x sin
3 x
(
g
cot
x cos x
− π π
54 cos2x + tg2x = 1.
55 9cos2x +
x cos
4
2 = - 2(3cosx - cos2x) + 15
56 sin2x +
x cos
4
2 = - (sinx + )
x sin
61 sin2x + sin22x + sin23x = 2
62 sin2x + sin22x + sin23x +sin24x =
2
5
63 cos2x + cos22x = a (a = 0, 1, 2)
64 cos2x + cos22x + cos23x = a (a =
2
3, 3)
65 cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 2
66 2.sin3x + cos22x = sinx
74 cos2x + cosx.cosy + cos2y = 0
75 2 2.(sinx +cosx)cosy = 3 +cos2y
Trang 3078 cos23x +
4
1cos2x = cos3x.cos4x
79 2cos3x + cos2x + sin2x = 0
80 cos3x + sin3x = sinx - cosx
83 tg2x = 11+−sincosxx
84 cos x = -sin3x
85 cosx = cos2 4
x 3
86 cos2x = 2 - cos
4
x 3
88 (ĐHQG-D 99): sin x − cos x + sin x + cos x = 2
1 x cos x cos
94 (ĐH MỞ -99): sin3x = 3sin - 2sin2x
95 (ĐH DƯỢC -99): sin24x - cos26x = sin(10,5π + 10x)
96 (ĐHTCKT -99): πsin x = cox
97 (ĐHCĐ -99): 1+ sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0
98 (HVKTQS -99): ) 2sin3x - sinx = 2cos3x - cosx + cos2x
99 (ĐHY - HN -99): ) sinx - 4sin3x + cosx = 0
100.(HVBCVT -99): sin x−π4 =sin x.sinx+π4
Trang 31105 (ĐHTS - 99): (sinx +cosx)3 - 4sinx = 0
107 (ĐHNT - A - 99): sin3x.cos3x + sin3x.cos3x = sin34x
108 (ĐHNN - B - 99): cos6x + sin6x = cos22x + 161
109 (ĐHNN - A - 99): 2sin3x - cos2x + cosx = 0
110 (ĐH LUẬT - HN - 99): 4(sin3x - cos2x) = 5(sinx - 1).
111 (HVKTMM - 99): sin8x + cos8x =1732
112 (ĐH MỎ - 99): tgx.sin2x - 2sin2x = 3(cos2x + sinx.cosx)
113 (ĐHAN - 99): cotg2 x= tg2 x+ 2tg2 x+1
114 (ĐHQG B - 99): sin6x + cos6x = 2(sin8x + cos8x)
115 ĐHQGHN - A - 01: 2sin2x-cos2x = 7sinx + 2cosx - 4
116 ĐHQGHN - D - 01: sin3x = cosx.cos2x.(tg2x + tg2x)
117 ĐHSP - D - 01: tgx + 2c0tg2x = sin2x.
118 ĐHNN - 01: cos3x.cos3x - sin3x.sin3x = cos34x +
4 1
119 ĐHBK - A - 01: sin2x + 2tgx = 3.
Trang 32120 ĐH Mỏ - 01: ( 1 cot g x cot gx ) 0
x sin
2 x cos
sin(
2
1 ) 2
x 10
3 sin( π− = π +
122 ĐHNNI - B: sin2x - cos2x = 3sinx +cosx - 2
123 ĐH Dược - 01: tg 2 x cot g 2 x cot g x = tg 2 x − cot g 2 x + cot g x
124 ĐHKTẾ - 01: 3 + 4 6 − ( 16 3 − 8 2 ) cos x = 4 cos x − 3
125 ĐHTCKT - 01: sin 2 x + sin 2 x − 3 cos 2 x = 0
x sin
x sin 4 + 4 = −
128 ĐH HÀNG HẢI - 01:
) x sin 1 ( 2 2 x sin 4 ) 4 x 2 cos(
129 ĐHAN - D - 01: sin2x = 2cos2x = 1 + sinx - 4cosx
130 HVKTQS - 01: 3 cot g 2 x + 2 2 sin 2 x = ( 2 + 3 2 ) cos x
131 HV QUÂN Y - 01: 3sinx + 2cosx = 2+ 3tgx
) x 3 cos(
x sin 4 3 ) 8 x ( cos 2 ) 8 x cos(
) 8
Trang 332) Tính giá trị biểu thức: P = sin 2 50 o + sin 2 70 o − cos 50 o cos 70 o
135 ĐHQGHN - A - 01 Chứng minh rằng :
2
1 3 24
cos 21 cos 15 cos 4 18 cos 12
136 TSĐH - B - 2002
x cos x sin x cos x
sin2 − 2 = 2 − 2
137 TSĐH - A - 2002 Tìm nghiệm thuộc (0, 2π) của phương trình:
3 x cos x
sin 2 1
x sin x cos x
138 TSĐH - A - 2003
x sin 2
1 x sin tgx 1
x cos 1 gx
DẠNG 4: BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
I - CÁC DẠNG BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC.
1) Dạng cơ bản:
a) sinx < m(1)
• Nếu m > 1 bất phương trình nhận mọi x là nghiệm
• nếu m ≤ -1 bất phương trình vô nghiệm
• Nếu -1 < m ≤ 1 đặt m = sinα ( - 2π < α≤ 2π) nghiệm (1) là:
− π − α + 2 π < x < α + 2 π
Trang 34b) sinx > m
• Nếu m < -1 nghiệm là mọi x
• nếu m ≥ 1 bất phương trình vô nghiệm
• Nếu -1 ≤ m < 1 đặt đặt m = sinα ( -π2 < α≤ 2π) nghiệm (1) là: α + 2 π < x < π − α + 2 π
c) cosx < m , cosx > m, cosx ≤ m, cosx ≥m
14) sinxsin x ≤ 12
15) sinsinxx−+coscosxx >0
16) sin+ x−2 − <0
Trang 3526) cos2x + cos22x + cos23x ≤ 1
27) 2cos2x + sin2x.cosx + sĩncos2x > 2(sĩn + cosx)
28) 4(sin4x +cos4x) > 2sĩn.cosx + 3
3
1 x g cot
; 2
1 x 2 cos
; 2
3
1
30) sinx > sin3x; cos2x < 41
31) sinsin xx+−coscos22xx−+11 ≤ 0
32) 1 coscosx2x >11−−2coscosxx
+
33) sinx + cosx > 1
34) sin2x.sin3x -cos2x.cos3x > sin10x
35) sinx + cosx > cosπ6
