Một số tài liệu giảng dạy rất hay ngày trước như "Các bài giảng luyện thi môn Toán", "Bộ đề thi tuyển sinh" chỉ còn lại một ít giá trị thực tiễn của nó.. Chắt lọc những tài liệunày, bám
Trang 2Lời nói đầu
Trong những năm gần đây, đề thi đại học đã trở nên cơ bản hơn trước rất nhiều , khôngcòn tính đánh đố cũng như bắt học sinh phải nhớ nhiều những mẹo rất lặt vặt Một
số tài liệu giảng dạy rất hay ngày trước như "Các bài giảng luyện thi môn Toán", "Bộ
đề thi tuyển sinh" chỉ còn lại một ít giá trị thực tiễn của nó Chắt lọc những tài liệunày, bám sát những đề thi tuyển sinh những năm gần đây (Từ năm 2002-2010) cộng vớinhững kinh nghiệm trong thực tiễn giảng dạy luyện thi của mình (có tham khảo một sốbài giảng ở những trang web dạy học) tôi biên soạn tài liệu này mục đích chính để mìnhgiảng dạy một cách bài bản
Tôi nghĩ rằng tài liệu này sẽ có ích đối với những người dạy toán, cũng như những bạnngấp nghé cổng trường Đại học
Tài liệu này gồm 12 chuyên đề (vẫn còn thiếu)
1 Phương trình đại số
2 Phương trình lượng giác
3 Phương trình chứa căn và dấu giá trị tuyệt đối
Chúc các bạn thành công trong kỳ thi đại học sắp tới!
Nam Định, ngày 20 tháng 06 năm 2010
Tác giả
Đỗ Minh Tuân
www.VNMATH.com
Trang 3T h.
in h
T uâ
n
Mục lục
1.1 Lý thuyết về đa thức 8
1.1.1 Phân tích đa thức thành nhân tử 8
1.1.2 Tính giá trị một đa thức, phân thức tại điểm lẻ 9
1.2 Phương trình bậc nhất 9
1.2.1 Phương pháp giải 9
1.2.2 Các ví dụ 9
1.3 Phương trình bậc hai 10
1.3.1 Phương pháp giải 10
1.4 Phương trình bậc 3 14
1.4.1 Tính chất của đa thức 14
1.4.2 Đa thức bậc 3 14
1.4.3 Các ví dụ 15
1.5 Phương trình bậc 4 16
1.5.1 Dạng tổng quát 16
1.5.2 Các dạng của phương trình bậc 4 17
1.5.3 Các ví dụ 18
1.6 Dấu của đa thức 20
1.6.1 Đa thức bậc 1 - bậc 2 20
1.6.2 Đa thức - Phân thức tổng quát 24
1.6.3 Giải hệ bất phương trình 26
1.7 Bài tập 27
2 Phương trình lượng giác 32 2.1 Các kiến thức cơ bản 32
2.1.1 Công thức liên hệ giữa các hàm lượng giác 32
2.1.2 Các công thức của các góc liên hệ với α 32
2.1.3 Bảng dấu của các hàm lượng giác 33
2.1.4 Bảng các giá trị lượng giác 33
2.1.5 Công thức lượng giác của tổng, hiệu 33
2.1.6 Công thức cộng lượng giác 34
2.1.7 Công thức biến đổi tích thành tổng 34
2.1.8 Công thức góc nhân đôi, nhân ba - Công thức hạ bậc 34
2.1.9 Công thức tính sin x, cos x, tan x, cot x theo t = tan x 2 35
2.1.10 Bài tập 35
www.VNMATH.com
Trang 4T h.
in h
T uâ
n
2.2 Các phương trình lượng giác cơ bản 36
2.2.1 Phương trình sin x = m 36
2.2.2 Phương trình cos x = m 36
2.2.3 Phương trình tan x = m, cot x = m 36
2.2.4 Các ví dụ 37
2.2.5 Bài tập 38
2.3 Các phương trình lượng giác khác 39
2.3.1 Phương trình a sin x + b cos x = c 39
2.3.2 Phương trình đẳng cấp chứa sin và cos 40
2.3.3 Đại số hóa phương trình lượng giác 41
2.3.4 Phương trình đối xứng sin, cos 41
2.3.5 Phân tích thành nhân tử 42
2.3.6 Sử dụng bất đẳng thức 43
2.3.7 Loại nghiệm không thích hợp 44
2.3.8 Bài tập 44
3 Phương trình chứa căn và dấu giá trị tuyệt đối 49 3.1 Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 49
3.1.1 Kiến thức cần nhớ 49
3.1.2 Các dạng bài tập 49
3.1.3 Các ví dụ 50
3.2 Phương trình chứa căn thức 51
3.2.1 Các dạng bài tập 51
3.2.2 Các ví dụ 52
3.3 Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 53
3.3.1 Dạng cơ bản 53
3.3.2 Các ví dụ 53
3.4 Bất phương trình chứa căn thức 53
3.4.1 Dạng cơ bản 53
3.4.2 Các ví dụ 54
3.5 Bài tập 55
4 Hệ phương trình đại số 59 4.1 Hệ phương trình bậc nhất 59
4.1.1 Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn 59
4.1.2 Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn 60
4.1.3 Hệ phương trình bậc nhất bốn ẩn 60
4.2 Hệ phương trình bậc nhất - bậc hai: 61
4.3 Hệ phương trình đẳng cấp bậc 2: 62
4.3.1 Phương trình đẳng cấp bậc 2 62
4.3.2 Hệ phương trình đẳng cấp bậc 2 63
4.4 Hệ đối xứng 65
4.4.1 Hệ đối xứng loại I: 65
4.4.2 Hệ đối xứng loại II: 66
4.5 Hệ phương trình tổng quát 69
4.6 Bài tập 71
www.VNMATH.com
Trang 5T h.
in h
T uâ
n
5.1 Khái quát chung 77
5.2 Kiến thức cơ bản 77
5.2.1 Quy tắc cộng - nhân 77
5.2.2 Tổ hợp - chỉnh hợp - hoán vị 78
5.2.3 Công thức nhị thức Newton 79
5.3 Các ví dụ 79
5.4 Bài tập 82
6 Hình phẳng tọa độ 85 6.1 Véc tơ, điểm, đường thẳng 85
6.1.1 Kiến thức cơ bản 85
6.1.2 Dạng bài 86
6.2 Đường tròn 91
6.2.1 Kiến thức cơ bản 91
6.2.2 Các dạng bài 93
6.3 Ba đường Conic 100
6.3.1 Kiến thức chung về 3 đường Conic 100
6.3.2 Elip 101
6.3.3 Hyperbol 107
6.3.4 Parabol 111
6.4 Bài tập 114
7 Giới hạn 126 7.1 Giới hạn dãy số 126
7.1.1 Các tính chất cơ bản của giới hạn 126
7.1.2 Các ví dụ 127
7.2 Giới hạn hàm số 128
7.2.1 Giới hạn cơ bản 128
7.2.2 Phương pháp tính giới hạn 129
7.2.3 Các ví dụ 129
7.3 Bài tập 132
8 Bất đẳng thức 135 8.1 Các bất đẳng thức cơ bản 135
8.2 Bất đẳng thức Cauchy 138
8.2.1 Tìm min tổng, max của tích 138
8.2.2 Bất đẳng thức đối xứng 140
8.2.3 Cực trị có điều kiện 144
8.3 Bất đẳng thức Bunhiacopxki 147
8.4 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz 148
8.5 Bài tập 150
9 Hàm số và đồ thị 153 9.1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 153
9.1.1 Kiến thức cần nhớ 153
9.1.2 Các bước khảo sát hàm số 156
www.VNMATH.com
Trang 6T h.
in h
T uâ
n
9.1.3 Hàm đa thức 156
9.1.4 Hàm phân thức 158
9.2 Cực trị và tiệm cận của hàm số 159
9.2.1 Quy tắc tìm cực đại và cực tiểu của hàm số 159
9.2.2 Cực trị hàm số 160
9.2.3 Các bài toán tiệm cận 163
9.2.4 Củng cố kiến thức 166
9.3 Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 168
9.3.1 Kiến thức cơ bản 168
9.3.2 Các bài toán đơn thuần 169
9.3.3 Bài toán giá trị lớn nhất, nhỏ nhất chứa tham số 171
9.3.4 Phương pháp miền giá trị của hàm số 173
9.3.5 Phương pháp chiều biến thiên 175
9.3.6 Củng cố kiến thức 177
9.4 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị 178
9.4.1 Kiến thức cần nhớ 178
9.4.2 Tiếp tuyến với đường cong tại điểm M 178
9.4.3 Tiếp tuyến với đường cong đi qua điểm M 179
9.4.4 Lớp các bài toán về sự tiếp xúc rất đa dạng 180
9.4.5 Củng cố kiến thức 181
9.5 Xác định điểm thỏa mãn điều kiện cho trước 182
9.5.1 Kiến thức cơ bản 182
9.5.2 Tìm điểm không thuộc mọi đường cong trong họ y = f(x, m) 184
9.6 Sự tương giao 186
9.6.1 Kiến thức cơ bản 186
9.6.2 Sự tương giao của hàm đa thức với trục Ox 187
9.6.3 Sự tương giao của hàm phân thức 189
9.6.4 Củng cố kiến thức 191
9.7 Sự tiếp xúc của 2 đường cong 193
9.7.1 Kiến thức cơ bản 193
9.7.2 Các ví dụ 193
9.7.3 Củng cố 196
9.8 Biện luận số nghiệm bằng đồ thị 197
9.8.1 Kiến thức cơ bản 197
9.8.2 Các ví dụ 198
9.9 Bài tập 201
10 Hình không gian tọa độ 208 10.1 Kiến thức cơ bản 208
10.1.1 Véctơ và phép toán véctơ trong không gian 208
10.1.2 Mặt phẳng trong không gian 209
10.1.3 Đường thẳng trong không gian 210
10.1.4 Vị trí tương đối 211
10.1.5 Chùm mặt phẳng 211
10.1.6 Góc 212
10.1.7 Khoảng cách 212
10.1.8 Diện tích, thể tích 213
www.VNMATH.com
Trang 7T h.
in h
T uâ
n
10.1.9 Một số dạng toán về mặt phẳng và đường thẳng 214
10.1.10 Mặt cầu 216
10.2 Véc tơ, điểm 217
10.3 Phương trình mặt phẳng 221
10.4 Phương trình đường thẳng 224
11 Tích phân 226 11.1 Vi phân 226
11.1.1 Định nghĩa 226
11.1.2 Các tính chất 226
11.1.3 Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp thường gặp 226
11.2 Nguyên hàm và tích phân bất định 227
11.2.1 Định nghĩa 227
11.2.2 Các tính chất 227
11.2.3 Bảng nguyên hàm các hàm số sơ cấp thường gặp 228
11.3 Các phương pháp tính tích phân 229
11.3.1 Phép đổi biến số 229
11.3.2 Tích phân từng phần 231
11.3.3 Tích phân hàm phân thức 232
11.4 Tích phân xác định 234
11.5 Ứng dụng của tích phân 235
11.5.1 Tính diện tích 235
11.5.2 Tính thể tích vật thể tròn xoay 236
11.6 Bài tập 237
12 Số phức 259 12.1 Kiến thức cơ bản 259
12.1.1 Các kiến thức chung 259
12.1.2 Các phép toán trên số phức 259
12.2 Các dạng bài tập 260
12.2.1 Thực hiện các phép toán 260
12.2.2 Khai căn bậc 2 260
12.2.3 Giải phương trình đại số và các vấn đề liên quan 262
12.2.4 Biểu diễn số phức trên mặt phẳng 263
12.2.5 Chứng minh đẳng thức tổ hợp 263
12.3 Bài tập 263
www.VNMATH.com
Trang 81.1.1 Phân tích đa thức thành nhân tử
+) Nếu P (x) là một đa thức bậc 2 có 2 nghiệm x1, x2 thì P (x) = a.(x − x1).(x2) (a là
hệ số bậc cao nhất của P (x))
+) Tổng quát: Nếu P (x) là một đa thức bậc n có đủ n nghiệm x1, x2,· · · , xn thì
P (x) = a(x− x1)(x− x2)· · · (x − xn)+) Một đa thức P (x) bất kỳ bao giờ cũng phân tích thành tích những đa thức bậc nhất
và đa thức bậc 2 (vô nghiệm)
Ví dụ 1.1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
2
!2
(x− 2)
www.VNMATH.com
Trang 91.1.2 Tính giá trị một đa thức, phân thức tại điểm lẻ
Cách làm: Nhập hàm, sử dụng tính năng CALC của máy 570ES
Ví dụ 1.2: Tính giá trị biểu thức:
a) y = x3− 3x2− x − 1 tại x = 1 −√3 và x = 1 +√
3b) y = x
√273
x = 3−√2⇒ y = 43− 31
√273
1.2 Phương trình bậc nhất
1.2.1 Phương pháp giải
☞ Dạng của phương trình: ax + b = 0
☞ Cách giải:
➤ Với a = 0, b = 0: Phương trình nghiệm đúng ∀x ∈ R
➤ Với a = 0, b 6= 0: Phương trình vô nghiệm
➤ Với a 6= 0 Phương trình có nghiệm duy nhất x = −b
Trang 101.3 Phương trình bậc hai Chương 1 Phương trình đại số
Ví dụ 1.4: Tìm điểm cố định của họ đường thẳng:(dm) : y = (m− 2)x + 2m − 3Giải: Gọi (x0, y0) là điểm cố định của (dm)
➢ Nếu a 6= 0: ∆ = b2− 4ac hoặc ∆′ = b′2− ac
+) Nếu ∆ < 0: Phương trình vô nghiệm
+) Nếu ∆ = 0: Phương trình có nghiệm kép x1 = x2 =−2ab =−b
′
a+) Nếu ∆ > 0: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
☞ Phân tích một tam thức bậc 2 thành nhân tử
Giả sử f(x) = ax2 + bx + c có 2 nghiệm x1, x2 thì f(x) = a(x − x1)(x− x2)
Ví dụ: f(x) = 2x2− 5x + 2 có 2 nghiệm x1 = 2, x2 = 1
2nên f(x) = 2(x − 2)(x −1
Trang 11☞ Dấu của nghiệm:
➢ Pt có 2 nghiệm phân biệt dương ⇔
➢ Pt có 2 nghiệm trái dấu: P < 0
➢ Pt có nghiệm dương tương đương với phương trình có 2 nghiệm dương hoặc
có 2 nghiệm trái dấu ⇔
max(x1, x2) > 0
−b −√∆2a Nếu a < 0Hoặc ta có thể xét 2 trường hợp:
- Phương trình có 2 nghiệm dương (không cần phân biệt) hoặc có một nghiệmbằng không, một nghiệm dương ⇔
- Phương trình có 2 nghiệm trái dấu ⇔ P < 0
➢ Phương trình có nghiệm âm ta làm tương tự như trên:
−b +√∆2a Nếu a < 0
www.VNMATH.com
Trang 12Ví dụ 1.5: Giải các phương trình sau:
a) x2− 5x + 4 = 0
b) x2− 2x − 3 = 0
Giải: a) a + b + c = 0 ⇒ phương trình có nghiệm x1 = 1, x = c
a= 4b) a − b + c = 0 ⇒ phương trình có 2 nghiệm x1 =−1, x = −ac= 3
Ví dụ 1.6: Giải và biện luận phương trình sau: (m − 1) x2− (2m + 1) x + m − 5 = 0.Giải: +) TH 1: Nếu m − 1 = 0 ⇔ m = 1 thay vào phương trình ta có:
a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m
c) Lập phương trình bậc 2 nhận 2x1+ x2 là nghiệm
Giải: a) ∆ = (m − 1)2
− 4 (2m − 5) = m2− 2m + 1 − 8m + 20 = m2− 10m + 21.Phương trình có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > 0 ⇔ m2− 10m + 21 > 0 ⇔
m > 7
m < 3
www.VNMATH.com
Trang 132 Tìm m để phương trình có 2 nghiệm dương.
3 Tìm m để phương trình có nghiệm dương
4 Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn x1 < 1 < x2
5 Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thỏa x1 ≤ x2 < 2
Trang 141.4 Phương trình bậc 3 Chương 1 Phương trình đại số
e) Phương trình có nghiệm thỏa mãn x1 ≤ x2 < 2 ⇔
∆≥ 0a.f (2) > 0S/2 < 2
❶ Định lý Berzout: Cho P (x) là một đa thức bất kỳ Khi đó với mọi x0, đa thức
P (x) chia đa thức x− x0 có số dư là P (x0)
❷ Hệ quả: Nếu x0 thỏa mãn P (x0) = 0 thì P (x) x − x0
❸ Lược đồ Hoocne: Giả sử P (x) = anxn+ an−1xn−1+· · · + a1x + a0
➢ Nhẩm nghiệm : Sử dụng máy tính để nhẩm một nghiệm x0 nào đó
➢ Dùng lược đồ Hooc-ne để phân tích đa thức trên thành nhân tử :
Trang 151.4 Phương trình bậc 3 Chương 1 Phương trình đại số
☞ Định lý Viet đảo: Giả sử x, y, z là 3 số thỏa mãn
Khi đó x, y, z là 3 nghiệm của phương trình : X3− mX2+ nX− p = 0
⇔
x =−1
2x2− 3x + 4 = 0Phương trình vô nghiệm ⇔ x = −1.
b) Dùng máy tính ta nhẩm được nghiệm x = 1
1 0 −4 3
1 1 1 −3 0Phương trình ⇔ (x − 1) (x2 + x− 3) = 0
Ta có f(−2).f(−1) < 0 nên tồn tại x1 ∈ (−2; −1) sao cho f(x1) = 0
f (−1).f(1) < 0 nên tồn tại x2 ∈ (−1; 1) sao cho f(x2) = 0
f (1).f (3) < 0 nên tồn tại x3 ∈ (1; 3) sao cho f(x3) = 0
Do đó ta được f(x1) = f (x2) = f (x3) = 0 và x1 < x2 < x3 nên phương trình
f (x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt
www.VNMATH.com
Trang 16!+ 3 −5
2
!
= 578
x + y + z = 2(x + y + z)2− 2 (xy + yz + zx) = 6(x3+ y3+ z3 − 3xyz) + 3xyz = 8
Từ đó ta có x, y, z là 3 nghiệm của phương trình:
Trang 17➢ Tuy nhiên một số trường hợp cách giải trên trở nên vô hiệu hoặc quá phứctạp không cần thiết, những trường hợp đó có cách giải riêng biệt.
❶ Phương trình trùng phương : ax4+ bx2 + c = 0
Cách giải: đặt t = x2 ≥ 0 Phương trình trở thành : at2 + bt + c = 0
❷ Phân tích thành nhân tử:
Cách giải: Biết được một nghiệm, hoặc dùng cách nhóm, sử dụng hằng đẳng thức
để phân tích thành nhân tử, quy về phương trình bậc thấp hơn
❸ Phương trình đối xứng: ax4+ bx3+ cx2+ dx + e = 0 thỏa mãn
db
!2
= eaCách giải: Xét x = 0 thay vào phương trình xem có thỏa mãn không?
Với x 6= 0 Chia cả 2 vế của phương trình cho x2 ta được:
bx
!+ c = 0
!+ bt + c = 0Giải phương trình bậc 2 ẩn t Sau đó thay vào (∗) để tìm x
❹ Phương trình dạng (x + a) (x + b) (x + c) (x + d) = e sao cho a + b = c + d.Cách giải: Phương trình ⇔ (x2+ (a + b) x + ab) (x2+ (c + d) x + cd) = e
Đặt t = x2 + (a + b) x = x2+ (c + d) x (∗)
Thay vào phương trình ta được:
(t + ab) (t + cd) = eGiải phương trình bậc 2 ẩn t sau đó thay vào (∗) để tìm x
www.VNMATH.com
Trang 181.5 Phương trình bậc 4 Chương 1 Phương trình đại số
❺ Phương trình dạng (x + a) (x + b) (x + c) (x + d) = ex2 sao cho ab = cd
Cách giải: giống cách giải phương trình đối xứng
Nếu x = 0: ta được abcd = 0
Nếu x 6= 0: Phương trình ⇔ (x2+ (a + b) x + ab) (x2+ (c + d) x + cd) = ex2
⇔ x +ab
x + a + b
! x +cd
⇔ t = 32⇔ x2 = 3
2⇔ x = ±
√62
Ví dụ 1.13: Giải các phương trình sau:
Tiếp tục ta nhẩm được 1 nghiệm là x = −1
2 Theo lược đồ Hooc - ne ta có:
Trang 19Giải: a) Với x = 0, phương trình trở thành 2 = 0 (vô lý) Vậy x 6= 0.
Chia cả 2 vế phương trình cho x2 ta được
x2+ 4x− 1 + 8x+ 4
x2 = 0⇔ x2 + 4
x2
!+ 4 x + 2
⇔ t2+ 4t− 5 = 0 ⇔
t = 1
t =−5+) Với t = 1: x + 2
x= 1 ⇔ x2− x + 2 = 0 vô nghiệm+) Với t = −5: x + 2
x=−5 ⇔ x2+ 5x + 2 = 0⇔ x = −5 ±
√172b) x = 0 không là nghiệm của phương trình nên chia cả 2 vế của phương trình cho
x= 1⇔ x2− x − 1 = 0 ⇔ x = 1±
√52
www.VNMATH.com
Trang 20x=−8 ⇔ x2+ 8x− 6 = 0 ⇔ x = −4 ±√22+) Với t = 2: x − 6
∆ = b2− 4ac Ta có các trường hợp sau:
+) ∆ < 0: Dấu của đa thức là:
x −∞ + ∞
P (x) +sign(a)
www.VNMATH.com
Trang 211.6 Dấu của đa thức Chương 1 Phương trình đại số
+) ∆ = 0: Dấu của đa thức là:
P (x) +sign(a) 0 −sign(a) 0 +sign(a)
☛ Chú ý: Nếu P (x) là một đa thức bậc 2 ta luôn có:
Trang 22☞ Chú ý: Trong một bài toán thông thường không ai lại hỏi trực tiếp dấu của một
đa thức mà thường hỏi các câu hỏi về giải bất phương trình Chúng ta cần xét dấucủa các đa thức tương ứng từ đó tìm thấy được tập nghiệm của bất phương trình.Chẳng hạn:
✍ −2x + 3 > 0 thì tập nghiệm S = −∞;3
2
!
)
✍ 4x2− 12x + 9 ≥ 0 thì S = R
✍ 4x2− 12x + 9 < 0 thì S = ∅
✍ 4x2− 12x + 9 ≤ 0 thì S =
(32)
Trang 23⇔ 1 ≤ m ≤ 3Kết luận: 1 ≤ m ≤ 3 thỏa mãn điều kiện bài toán.
Trang 24⇔ 1 < m < 3Kết luận: 1 < m < 3 thỏa mãn điều kiện bài toán.
1.6.2 Đa thức - Phân thức tổng quát
Ví dụ 1.19: Xét dấu của biểu thức sau:
a) f(x) = (x + 1)
2
.(x− 2)3 (2x− 1)(x2+ 2x + 2)7(2x + 1)5(1− 4x) (−x2+ 4x− 5)3
+) 2x + 1 = 0 ⇔ x = −1
2
www.VNMATH.com
Trang 25Do đó dấu của f(x) là dấu của g(x) với:
có tập nghiệm là: S = −∞; −1
2
#
∪ 14;12
#
∪ [2; +∞)+) (x + 1)
2
.(x− 2)3 (2x− 1)(x2+ 2x + 2)7(2x + 1)5(1− 4x) (−x2+ 4x− 5)3 > 0
!
∪ (2; +∞)+) (x + 1)
2
.(x− 2)3 (2x− 1)(x2+ 2x + 2)7(2x + 1)5(1− 4x) (−x2+ 4x− 5)3 ≤ 0
có tập nghiệm là: S = −1
2;
14
có tập nghiệm là: S = −1
2;
14
Trang 26☞ Lấy hợp: chỉ cần thuộc một trong 2 (hay nhiều) tập hợp Biểu diễn từng tập trêntrục số: xóa những phần không thuộc tập đó Hợp của n tập hợp là những tậpkhông bị xóa không quá n − 1 lần.
☞ Học sinh thường gặp khó khăn khi lấy hợp 2 tập hợp, thường chỉ làm tốt với trườnghợp lấy giao
Ví dụ 1.20: Tính tập hợp X trong các trường hợp sau:
Trang 27b) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất.
Bài 1.3: Biện luận số nghiệm của phương trình sau theo m:
x3 − m (x + 2) + x2+ 4 = 0Bài 1.4: Giải và biện luận phương trình sau theo m:
c) Tìm phương trình với hệ số nguyên nhận x1+ 1
a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt
b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: F = x1x2+ 2x1+ 2x2
Bài 1.8: Tìm m để phương trình : x2− (2m + 1)x + m2+ 1 = 0 có 2 nghiệm x1, x2 thỏamãn x1 = 2x2
Bài 1.9: Tìm m để phương trình x2− mx + 3m − 8 = 0
www.VNMATH.com
Trang 281.7 Bài tập Chương 1 Phương trình đại số
a) Có 2 nghiệm phân biệt
6 Bài 1.12: Giải các phương trình sau:
Trang 29c) x = − 1 ±
√5
2 , x = 3±
√13
2 d) x = − 1 ±
√29
2
e) x = 3, x = −2, x = − 7 ±
√732f) x = 1 ±√7
g) x = 2, x = −1
Bài 1.13: Cho bất phương trình: (m + 1)x + m + 2 > 0
a) Giải và biện luận bất phương trình
b) Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x ≥ 2
Bài 1.14: Tìm a để hệ bất phương trình sau vô nghiệm:
x2+ 7x− 8 < 0
a2x + 1 > 3 + (3a− 2) xBài 1.15: Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x:
c) x ∈ [−5; 1]
Bài 1.17: Tìm a để biểu thức p(a + 1) x2− 2 (a − 1) x + 3a − 3 có nghĩa với mọi x
www.VNMATH.com
Trang 301.7 Bài tập Chương 1 Phương trình đại số
Bài 1.18: Giải và biện luận bất phương trình sau theo tham số m:
∪ 1; 1 +√6h) x ∈ (−√3;√
3)i) x ∈ (−∞; −1) ∪
Trang 314 ;
− 1 +√174
Trang 32cos2α= 1 + tan
2α1
sin2α= 1 + cot
2αtan α cot α = 1
Trang 332− α) = cot α cot(π
2− α) = tan α
2.1.3 Bảng dấu của các hàm lượng giác
I II III IVcos α + − − +sin α + + − −tan α + − + −cot α + − + −
2.1.4 Bảng các giá trị lượng giác
00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800
0 π6
π4
π3
π2
2π3
3π4
5π
6 πcos α 1
√32
√22
1
2 0 −1
2 −
√2
2 −
√3
2 −1
sin α 0 1
2
√22
√3
2 1
√32
√22
2.1.5 Công thức lượng giác của tổng, hiệu
cos(a± b) = cos a cos b ∓ sin a sin bsin(a± b) = sin a cos b ± cos a sin btan(a± b) = tan a± tan b
1∓ tan a tan bcot(a± b) = cot a cot bcot b ∓ 1
± cot a
www.VNMATH.com
Trang 342.1 Các kiến thức cơ bản Chương 2 Phương trình lượng giác
2.1.6 Công thức cộng lượng giác
cos a + cos b = 2 cosa + b
2 cos
a− b2cos a− cos b = −2 sina + b
2 sin
a− b2sin a + sin b = 2 sina + b
2 cos
a− b2sin a− sin b = 2 cosa + b
2 sin
a− b2tan a± tan b = sin(a± b)
cos a cos bcot a± cot b = sin(bsin a sin b± a)
Hệ quả:
tan a + cot a = 2
sin 2atan a− cot a = −2 cot 2asin a + cos a =√
2.1.8 Công thức góc nhân đôi, nhân ba - Công thức hạ bậc
cos 2x = cos2x− sin2x = 2 cos2x− 1 = 1 − 2 sin2xsin 2x = 2 sin x cos x
tan 2x = 2 tan x
1− tan2xcot 2x = cot
2x− 1
2 cot xcos2x = 1 + cos 2x
2
www.VNMATH.com
Trang 351− 3 tan2xcot 3x = 3 cot x− cot3x
Bài 2.1: Cho α là góc sao cho sin α = −1
3, với α thuộc góc phần tư thứ III
a) Tính tan α, cos α, cot α
c) C = cos 20+ cos 40+· · · + cos 1800
Bài 2.3: Tính giá trị biểu thức:
Trang 362.2 Các phương trình lượng giác cơ bản Chương 2 Phương trình lượng giác
2.2 Các phương trình lượng giác cơ bản
2.2.1 Phương trình sin x = m
☞ Điều kiện có nghiệm: −1 ≤ m ≤ 1
☞ Nghiệm của phương trình là :
x = arcsin m + k2π
x = π− arcsin m + k2π (k ∈ Z)Chú ý : các giá trị đặc biệt của m là m = 0, ±1, ±1
2, ±
√2
2 , ±
√32
☞ Điều kiện có nghiệm: −1 ≤ m ≤ 1
☞ Nghiệm của phương trình là : x = arccos m + k2π
2.2.3 Phương trình tan x = m, cot x = m
☞ Điều kiện có nghiệm ∀m ∈ R
☞ Nghiệm tan x = m ⇔ x = arctan m + kπ
Trang 37x =−2π
9 + k
2π3(k ∈ Z)
c) tan x + 2
cot x=−3
d) sin 2x − cos x + 2 sin x − 1 = 0
e) sin 2x −√3 cos x− 2 sin x +√3 = 0
www.VNMATH.com
Trang 383cot 2x = 2
2c) sin 2x = sin(x
2+ 1)Bài 2.6: Giải các phương trình sau:
a) cos 2x = sin 5x
b) sinx
2=− cos 4x
c) cos(π sin x) = cos(3π sin x)
d) 2 sin x cos x = cos x − 2 sin x + 1
Bài 2.7: Giải các phương trình sau:
www.VNMATH.com
Trang 392.3 Các phương trình lượng giác khác Chương 2 Phương trình lượng giác
2.3 Các phương trình lượng giác khác
2.3.1 Phương trình a sin x + b cos x = c
Ta có a sin x + b cos x = c ⇔ √ a
a2+ b2sin x + √ b
a2+ b2cos x = √ c
a2+ b2.Gọi α là góc sao cho
Khi đó phương trình tương đương với:
cos α sin x + sin α cos x = √ c
a2+ b2 ⇔ sin(x + α) = √ c
a2+ b2
☛ Điều kiện có nghiệm:
c
√
a2+ b2
