Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 37 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
37
Dung lượng
2,7 MB
Nội dung
TÍNHĐƠN ĐIỆU CỦAHÀM SỐ Vấn đề 1: Xét tínhđơn điệu hàm số y x4 x3 2x x2 y x2 x2 x y 2 x x y x 1 y x ( x 1) ( x 0) y x 4x 3 2x y x7 x 3x y 2x x 1 y 2 x x y 16 x x 16 x x4 y x4 8x2 2x y x 9 x2 2x y x 1 x 5x y x2 y 25 x y x x3 x y x x x 12 x 1 y x y 3x x 1 y x2 x x2 x x 1 x 8x y x5 y 2 x x 1 2 x 3x y 2x 1 y y x2 x y x2 y 2x x2 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC HÀM SỐ TÍNHĐƠNĐIỆU,CỰCTRỊCỦA Vấn đề 2: Xác định tham số m đểhàm số đồng biến (nghịch biến) I Cơ sở lý thuyết Cho hàm số y f ( x) xác định có đạo hàm D D�khi f '( x ) 0, x ( a, b) * Hàm số đồng biến (a, b) ̳̳ D�khi f '( x ) 0, x ( a, b) * Hàm số nghịch biến (a, b) ̳̣ 2 Xét tam thức bậc hai f ( x) ax bx c , a �0 a0 � * ax bx c �0 � � �0 � a0 � * ax bx c �0 � � �0 � II Bài tập áp dụng A – HÀM ĐA THỨC Cho hàm số y x3 3( m 1) x 3m( m 2) x Tìm m đểhàm số a Đồng biến R b Nghịch biến R Lời giải: y ' x 6( m 1) x 3m( m 2) TXĐ: D = R a Hàm số đồng biến R y ' �0, x a30 � �� ' 6m �0 � b Hàm số nghịch biến R y ' �0, x a 3 � �� (vô nghiem) ' 6m �0 � Vậy: Khơng có giá trịđểhàm số nghịch biến R m ̳ Cho hàm số y x (m x) m Tìm m đểhàm số nghịch biến R Lời giải: TXĐ: D = R y ' x mx m Hàm số cho nghịch biến R y ' �0, x � x mx m �0, x a 1 � �� m �0 � �m0 Vậy: Với m = u cầu tốn thỏa Cho hàm số y x x (m 1) x m Tìm m đểhàm số đồng biến R Lời giải: TXĐ: D = R y ' 3x x m Hàm số đồng biến R y ' �0, x BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC HÀM SỐ TÍNHĐƠNĐIỆU,CỰCTRỊCỦA � x x m �0, x a 30 � �� ' 3m �0 � ۳ m 7 Vậy: Với m � u cầu tốn thỏa Cho hàm số y x (m x) mx Tìm m đểhàm số ln nghịch biến Lời giải: TXĐ: D = R y ' 3x 2mx m Hàm số nghịch biến R y ' �0, x � 3 x 2mx m �0, x a 3 � �� m 3m �0 � �0 m ̳ Vậy: Với �m �3 điều kiện tốn thỏa Cho hàm số y x 3mx 3(2m 1) x Tìm m đểhàm số đồng biến R Lời giải: TXĐ: D = R y ' 3x 6mx 3(2m 1) Hàm số đồng biến R y ' �0, x � x 6mx 3(2m 1) �0, x a 1 � �� ' m 2m �0 � � m 1 Vậy: Với m = điều kiện tốn thỏa Cho hàm số y x (m 1) x (m 3) x Tìm m đểhàm số ln ln giảm y ' x 2( m 1) x m Lời giải: TXĐ: D = R Hàm số luôn giảm y ' �0, x � x 2(m 1) x m �0, x a 1 � �� (vô nghiem) ' m m � � Vậy: Khơng có giá trị m thỏa yêu cầu toán Cho hàm số y x mx 3x Tìm m đểhàm số ln đồng biến Lời giải: TXĐ: D = R y ' 3x 2mx Hàm số đồng biến R y ' �0, x BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC HÀM SỐ TÍNHĐƠNĐIỆU,CỰCTRỊCỦA � x 2mx �0, x a 30 � �� ' m �0 � � 3 �m �3 Vậy: Với 3 �m �3 điều kiện tốn thỏa Cho hàm số y x (m 1) x 2(m 1) x Tìm m đểhàm số ln tăng R Lời giải: TXĐ: D = R y ' x 2(m 1) x 2(m 1) Hàm số tăng R y ' �0, x � x 2(m 1) x 2(m 1) �0, x a 1 � �� ' (m 1)( m 3) �0 � �1 m ̳ Vậy: Với �m �3 điều kiện tốn thỏa 3 Cho hàm số y x (sin m cos m) x x sin 2m Tìm m đểhàm số đồng biến R Lời giải: TXĐ: D = R y ' x (sin m cos m) x sin 2m Hàm số đồng biến R y ' �0, x � x (sin m cos m) x sin 2m �0, x a 1 � �� 2sin m �0 � � 2sin m �0 � k 2 �2m � k 2 6 � k �m � k 12 12 Cho hàm số y x mx x Tìm m đểhàm số đồng biến R Lời giải: TXĐ: D = R y ' 3x 2mx Hàm số đồng biến R y ' �0, x � x 2mx �0, x a 30 � �� ' m �0 � � �m � BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC HÀM SỐ TÍNHĐƠNĐIỆU,CỰCTRỊCỦA Vậy: Với �m � điều kiện tốn thỏa Cho hàm số y mx3 (2m 1) x (m 2) x Tìm m đểhàm số ln đồng biến Lời giải: TXĐ: D =R y ' 3mx 2(2m 1) x m Trường hợp 1: m � y ' x � m = không thỏa yêu càu toán Trường hợp 2: m �0 Hàm số đồng biến R y ' �0, x a 3m � �� ' (2m 1) 3m( m 2) �0 � m0 � ��2 m 2m �0 � m0 � �� (vô nghiem) m 1 � Vậy: Khơng có giá trị m thỏa u cầu toán m 1 x mx (3m 2) x ln đồng biến Tìm m đểhàm số y Lời giải: TXĐ: D = R y ' ( m 1) x 2mx 3m Trường hợp 1: m � m � y ' x � m = khơng thỏa u cầu tốn m Trường hợp 2: m �۹ Hàm số đồng biến y ' �0, x � (m 1) x 2mx 3m �0, x m 1 � �� ' 2m2 5m �0 � ۳ m Vậy: Với m �2 u cầu tốn thỏa Cho hàm số y mx mx x Tìm m đểhàm số cho nghịch biến Lời giải: TXĐ: D = R y ' mx 2mx Trường hợp 1: m � y ' 1 � m = thỏa yêu cầu toán Trường hợp 2: m �0 Hàm số cho nghịch biến R y ' �0, x BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC HÀM SỐ TÍNHĐƠNĐIỆU,CỰCTRỊCỦA � mx 2mx �0, x a m � �� ' m m �0 � m0 � �� (vô nghiem) �m �1 � Vậy: Với m = u cầu tốn thỏa 1 m x 2(2 m) x 2(2 m) x luôn giảm Định m đểhàm số y Lời giải TXĐ: D = R y ' (1 m) x 4(2 m) x 2m 1 y '�۳ x x Trường hợp 1: m � nên m = khơng thỏa u cầu tốn Trường hợp 2: m �1 a 1 m m 1 � � �� m Hàm số giảm � 2 �m �3 ' 2m 10m 12 �0 � � Cho hàm số y m2 x (m 2) x (m 8) x m Tìm m để dồ thị hàm số nghịch biến R Lời giải: TXĐ: D = R y ' (m 2) x 2(m 2) x m Trường hợp 1: m � m 2 � y ' 10 � m = -2 thỏa yêu cầu toán Trường hợp 2: m �2 Hàm số nghịch biến R y ' �0, x � (m 2) x 2(m 2) x m �0, x a m20 � �� ' (m 2) ( m 2)( m 8) �0 � � m 2 KL: Với m < - u cầu tốn thỏa Cho hàm số y (m 1) x (m 1) x 3x Tìm m đểhàm số đồng biến R Lời giải: TXĐ: D = R y ' ( m 1) x 2(m 1) x Trường hợp 1: m � m �1 * m � y ' x � m = khơng thỏa u cầu tốn * m 1 � y ' � m = - thỏa yêu cầu toán Trường hợp 2: m �۹� m Hàm số đồng biến R y ' �0, x BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC HÀM SỐ TÍNHĐƠNĐIỆU,CỰCTRỊCỦA � (m 1) x 2(m 1) x �0 � m2 �� 2m 2m �0 � � m 1 �m Vậy: Với m �1 �m tốn thỏa Cho hàm số y (m 3) x x mx Tìm m đểhàm số: a Đồng biến R b Nghịch biến R Lời giải: TXĐ: D = R y ' (m 3) x x m Trường hợp 1: m � m 3 � y ' 4 x � m = -3 khơng thỏa u cầu tốn Trường hợp 2: m �3 a Hàm số đồng biến y ' �0, x � (m 3) x x m �0, x a m3 � �� m 3m �0 � ۳ m b Hàm số nghịch biến y ' �0, x � (m 3) x x m �0, x a m3 � �� m 3m �0 � m 4 Cho hàm số y mx (m 1) x 3(m 2) x Xác định giá trị m đểhàm số cho nghịch 3 biến R Lời giải: TXĐ: D = R y ' mx 2(m 1) x 3( m 2) Trường hợp 1: m � y ' x � m = không thỏa yêu cầu toán Trường hợp 2: m �0 Hàm số nghịch biến R y ' �0, x � mx 2(m 1) x 3(m 2) �0, x am0 � �� 2m 4m �0 � m 2 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC HÀM SỐ Cho hàm số y TÍNHĐƠNĐIỆU,CỰCTRỊCỦA m 2m x3 mx x Xác định m đểhàm số sau đồng biến R Lời giải: TXĐ: D = R 2 Ta có: y ' m 2m x 2mx Xét trường hợp: m0 � * m 2m � � m 2 � + m = � y ' �0, x nên m = thỏa yêu cầu toán � y '4� x x + m = - �� nên m = -2 khơng thỏa điều kiện tốn m �0 � * m 2m �0 � � m �2 � a0 � � m 2m �ڳ � Hàm số đồng biến R � � � m 4m �0 y ' � � m m Vậy với m ڳ4� m điều kiện tốn thỏa Cho hàm số y (m 5m) x 6mx x Tìm m đểhàm số đồng biến R Lời giải TXĐ: D = R y ' 3(m 5m) x 12mx Trường hợp 1: m 5m � m 0, m 5 + m � y ' � m = thỏa yêu cầu toán + m 5 � y ' 60 x � m = - khơng thỏa u cầu tốn Trường hợp 2: m 5m �0 Hàm số đồng biến R y ' �0, x � 3(m 5m) x 12mx �0, x a m 5m � �� ' 2m 10m �0 � � m �5 Vậy: Với �m �5 u cầu tốn thỏa B – HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ Tìm m đểhàm số y mx đồng biến x m3 Lời giải: TXĐ: D R \ m m 3m ( x m 3) Hàm số đồng biến y ' �0, x �3 m y' BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC HÀM SỐ TÍNHĐƠNĐIỆU,CỰCTRỊCỦA � m 3m �0 ̳ ̳̳ڳm m x2 m2 x m Cho hàm số y Tìm m đểhàm số đồng biến khoảng xác định x 1 Lời giải: TXĐ: D R \ 1 x2 x m2 m y' ( x 1) Hàm số đồng biến tập xác định y ' �0, x �1 � x x m m �0, x �1 a 1 � � �� m m �0 � ( 1) 2(1) m m �0 � � m 13 13 �m 2 2 Cho hàm số y x Xác định m đểhàm số đồng biến khoảng xác định xm Lời giải: TXĐ: D R \ m m y' ( x m) Hàm số đồng biến khoảng xác định y ' �0, x �m � m �0 m mx (m 2) x m 2m Xác định m đểhàm số nghịch biến x 1 khoảng xác định Lời giải: TXĐ: D R \ 1 Cho hàm số y mx 2mx m 3m y' ( x 1) Trường hợp 1: m � y ' � chưa xác định tínhđơn điệu hàm số nên m=0 khơng thỏa yêu cầu toán Trường hợp 2: m �0 Hàm số nghịch biến khoảng xác định y ' �0, x �1 10 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC HÀM SỐ TÍNHĐƠNĐIỆU,CỰCTRỊCỦA Trừ hai vế hệ cho ta phương trình x 10 x y 10 y 1 0, t �(3;10) Xét hàm số f (t ) t 10 t � f '(t ) t 10 t � f(t) hàm số đồng biến (-3; 10) x 10 x y 10 y � f ( x) f ( y ) � x y Ta hệ phương trình sau �x y �x y �x y �x � �� �� �� � �x �y � x 10 x � x 10 y Kết luận: x = y = nghiệm hệ phương trình � �x x y y Giải hệ phương trình � � y x3 � Lời giải Điều kiện xác định hệ phương trình x �0, y �0 1 Xét hàm số f (t ) t � f '(t ) 0, t �0 t t � f(t) hàm số đồng biến R \ 0 Mặt khác: x 1 y � f ( x) f ( y) � x y x y �x y �x y �x y � � �3 �� Ta hệ phương trình sau � 1 � y x �x x � �x 1, x � 1 � Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm x y 1, x y Vấn đề 6: Ứng dụng tínhđơn điệu để biện luận số nghiệm phương trình, bất phương trình 0;1 � Tìm m để phương trình m( x x 1) x(2 x) �0 có nghiệm x �� � � Lời giải: m( x x 1) x(2 x) �0 � m( x x 1) ( x x) �0 x 1 � x 1 Đặt t x x �0 � t ' x 2x 0;1 � Vẽ bảng biến thiên suy x �� � �� t � 1; 2 t2 (*) � m t��� 1 t 2 t m t 1 m t 1 2 t 2 t 2t ,1 �t �2 � f '(t ) 0,1 �t �2 Xét f (t ) t 1 t 1 (*) � f(t) hàm số đồng biến 23 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC HÀM SỐ TÍNHĐƠNĐIỆU,CỰCTRỊCỦA Bất phương trình thỏa m �min f ( x) f (1) 1�x �2 Tìm m để phương trình sau có nghiệm x( x 1) 4( x 1) x m x 1 Lời giải: x Điều kiện phương trình x �ڳ Với điều kiện (*) � x( x 1) x( x 1) m (*) (**) Đặt t x( x 1) , t �0 Phương trình (**) trở thành t 4t m có nghiệm t �0 Điều kiện thỏa m �4 Tìm m để phương trình ( x 2)(4 x) x x m có nghiệm Lời giải Điều kiện xác định phương trình 2 �x �4 Đặt t ( x 2)(4 x) (0 �t �3) � x x t Phương trình trở thành 2t t m � g (t ) t 2t m Phương trình có nghiệm g (t ) �m �m ax g (t ) 0;3 Ta có: g '(t ) 2t g '(t ) � t Vẽ bảng biến thiên ta có g (t ) � ���� m � max g� (t) 0;3 0;3 g (1) m 0;3 g (3) m CỰCTRỊCỦAHÀM SỐ §1 Các phương pháp tìm cựctrị A Tóm tắt lý thuyết Khái niệm cựctrịhàm số Cho f : D � � x0 �D a) x0 gọi điểm cực đại f tồn khoảng a; b cho � �x0 � a; b �D � �f x f x0 x � a; b \ x0 b) x0 gọi điểm cực tiểu f tồn khoảng a; b cho � �x0 � a; b �D � �f x f x0 x � a; b \ x0 c) Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cựctrị Bảng sau tóm tắt khái niệm sử dụng phần này: x0 f x0 x0 ; f x0 24 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC HÀM SỐ TÍNHĐƠNĐIỆU,CỰCTRỊCỦA Điểm cực đại f Giá trịcực đại (cực đại) f Điểm cực đại đồ thị hàm số f Điểm cực tiểu f Giá trịcực tiểu (cực tiểu) f Điểm cực tiểu đồ thị hàm số f Điểm cựctrị f Cựctrị f Điểm cựctrị đồ thị hàm số f Điều kiện cần đểhàm số đạt cựctrị Giả sử hàm f có đạo hàm x0 Khi đó: f đạt cựctrị x0 f ' x0 Điều kiện đủ đểhàm số đạt cựctrị a) Quy tắc Nếu f ' x đổi dấu từ dương sang âm x qua x0 f đạt cực đại x0 ; Nếu f ' x đổi dấu từ âm sang dương x qua x0 f đạt cực tiểu x0 b) Quy tắc 2: � �f ' x0 � f đạt cực đại x0 ; � �f " x0 � �f ' x0 � f đạt cực tiểu x0 � �f " x0 B Một số ví dụ Ví dụ [SGKNC] Sử dụng quy tắc tìm cựctrịhàm số y x x 3x 3 Giải Hàm số có TXĐ �, y ' x x , y ' � x 1 x Bảng biến thiên: Kết luận: Hàm số đạt cực đại x 1 , giá trịcực đại tương ứng y 1 ; hàm số đạt cực tiểu x , giá trịcực tiểu tương ứng 23 y 3 Ví dụ [SGKNC] Sử dụng quy tắc tìm cựctrịhàm số y x x Giải Hàm số có TXĐ � Ta có y x x 2 � y ' 2 x2 x x x x ( x �0 ) x x Ta thấy với x �0 , dấu y ' dấu tam thức bậc hai x x Nên ta có bảng biến thiên hàm số sau: 25 BÀI GIẢNG ƠN THI VÀO ĐẠI HỌC HÀM SỐ TÍNHĐƠNĐIỆU,CỰCTRỊCỦA Kết luận: hàm số đạt cực đại x 1 , giá trịcực đại tương ứng y 1 ; hàm số đạt cực tiểu x , giá trịcực tiểu tương ứng y Ví dụ [SGKNC] Sử dụng quy tắc tìm cựctrịhàm số y x x 3x 3 Giải TXĐ � y ' x x , y ' � x 1 x y " 2x , +) y " 1 4 � hàm số đạt cực đại x 1 , giá trịcực đại tương ứng y 1 ; +) y " 3 � hàm số đạt cực tiểu x , giá trịcực tiểu tương ứng 23 y 3 Ví dụ [SGKNC] Sử dụng quy tắc tìm cựctrịhàm số y x sin x Giải TXĐ � y ' cos x , y ' � cos 2x � x � 2k � x � k ( k �� ) y " 4sin x , � � � � � +) y � � k � 4sin � 2k � � hàm số đạt cực tiểu điểm �6 � �3 � � � x k , giá trịcực tiểu tương ứng y � k � 6 k 2 �6 � � � � � � 2k � 2 � hàm số đạt cực đại điểm +) y � � k � 4sin � �6 � �3 � � � k , giá trịcực tiểu tương ứng y � k � k �6 � Ví dụ [SGK] Tìm a , b , c cho hàm số y ax bx cx d đạt cực tiểu điểm x , x y đạt cực đại x , f 1 26 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC HÀM SỐ TÍNHĐƠNĐIỆU,CỰCTRỊCỦA Giải Ta có y ' 3ax 2bx c Từ giả thiết suy �y ' c0 � � � �y �d � � � � 3a 2b c �y ' 1 � �y � �a b c d � Khi y 2 x3 3x , y ' 6 x x , y " 12 x Ta �a 2 � b3 � � c0 � � �d có y " � hàm số đạt cực tiểu x , y " 1 6 � hàm số đạt cực đại x (thỏa mãn) Vậy a 2 , b , c 0, d C Bài tập Bài Tìm cựctrịhàm số 1) y x x 12 x ; 2) y 5 x 3x x ; 3) y 3x x3 24 x 48 x ; 4) y x ; x2 x x 24 ; x2 x 6) y ; x 4 5) y 7) y x x ; 8) y x x ; 9) y sin x cos x ; 10) y 2sin x cos x Bài Tìm a , b , c đểhàm số y x ax bx c đạt cực tiểu x , y 1 3 đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ q Bài Tìm p , q cho hàm số y x p đạt cực đại điểm x 2 y 2 2 x 1 D Đáp số Bài Error: Reference source not found Hàm số đạt cực đại điểm x , y 1 đạt cực tiểu điểm x , y ; Error: Reference source not found Hàm số nghịch biến � nên khơng có cực trị; Error: Reference source not found Hàm số đạt cực tiểu x 2 , y 2 115 x , y 13 , đạt cực đại điểm x , y 1 20 ; Error: Reference source not found Hàm số đạt cực đại điểm x 1 , y 1 7 đạt cực tiểu điểm x , y ; Error: Reference source not found Hàm số đạt cực tiểu điểm x , y 1 đạt cực đại điểm x , y ; Error: Reference source not found Hàm số 27 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC HÀM SỐ TÍNHĐƠNĐIỆU,CỰCTRỊCỦA 1 đạt cực đại điểm x , y ; Error: 4 Reference source not found Hàm số đạt cực tiểu điểm x , y 1 đạt cực đại đạt cực tiểu điểm x 2 , y 2 điểm x , y Error: Reference source not found Hàm số đạt cực tiểu x 2 , 1 y 2 , đạt cực đại điểm x , y ; Error: Reference source not found Hàm 4 số đạt cực tiểu điểm x 2k , y 2k x 2k , y 2k 5 � 5 � � 2k � ; Error: Reference Hàm số đạt cực đại điểm x � 2k , y � � � � � source not found Hàm số đạt cực tiểu điểm x 2k , y � 2k � �2 � � � 2k � 3 Hàm số đạt cực đại điểm x 2k , x k , y � �2 � 5 � � �5 � y � 2k � 2k , y � 2k � Bài a , b 9 , c Bài x �6 � �6 � p q 1 28 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC HÀM SỐ TÍNHĐƠNĐIỆU,CỰCTRỊCỦA §2 Cựctrịhàm bậc ba A Tóm tắt lý thuyết Xét hàm y ax bx cx d Điều kiện có cựctrị C ( a �0 ) Hàm số có cựctrị � hàm số có hai cựctrị � C có cựctrị � C có hai điểm cựctrị � y ' có hai nghiệm phân biệt f khơng có cựctrị � ' �0 Quy tắc tínhcựctrị phương trình đường thẳng qua điểm cựctrị đồ thị hàm số Giả sử hàm số có cực trị, thực phép chia đa thức y cho y 'để có: y p x y ' ax b Từ suy ra: x0 điểm cựctrịhàm số � y ' x0 � y x0 ax0 b : y ax b đường thẳng qua tất điểm cựctrị C B Một số ví dụ Ví dụ Tìm m đểhàm số y m x 3x mx có cực đại, cực tiểu Giải Ta có y ' m x x m y có cực đại, cực tiểu trước hết m �0 � m �2 (1) Khi y ' tam thức bậc hai có ' 3 m 2m 3 y có cực đại, cực tiểu Kết hợp với 1 m � 3; 2 � 2;1 2 (2) ' � m m � 3 m ta có giá trị m thỏa mãn u cầu tốn Ví dụ [ĐHD12] Tìm m đểhàm số y x mx 3m 1 x có hai điểm cựctrị x , 3 x2 cho x1 x2 x1 x2 Giải Ta có y ' x 2mx 3m 1 x mx 3m 1 , t x x mx 3m tam thức bậc hai có 13m Do hàm số có hai điểm cựctrị y ' có hai nghiệm phân biệt � t x có hai nghiệm phân biệt 29 BÀI GIẢNG ƠN THI VÀO ĐẠI HỌC HÀM SỐ TÍNHĐƠNĐIỆU,CỰCTRỊCỦA � 13 m � 13 � � 0 � (1) � 13 m � 13 � �x1 x2 m x1 , x2 nghiệm t x nên theo định lý Vi-ét, ta có � �x1 x2 3m Do m0 � � 2 x1 x2 x1 x2 � 3m m � 3m 2m � � m � Đối chiếu với điều kiện (1), ta thấy m thỏa mãn yêu cầu tốn 3 2 Ví dụ [ĐHB07] Tìm m đểhàm số y x x m 1 x 3m có cực đại, cực tiểu điểm cựctrị đồ thị hàm số cách gốc tọa độ O Giải Ta có y ' 3x x m 1 3 x x m 1 , t x x x m tam thức bậc hai có ' m Do đó: y có cực đại cực tiểu � y ' có hai nghiệm phân biệt � t x có hai nghiệm phân biệt � ' � m �0 (1) Khi y ' có nghiệm là: �m � tọa độ điểm cựctrị đồ thị hàm số A m; 2 2m3 B m; 2 2m3 Ta có uuu r 2 OA m; 2 2m3 � OA2 m m3 ; uuur 2 OB m; 2 2m3 � OB m m3 A B cách gốc tọa độ 2 2 OA OB � OA2 OB � m m3 m m3 m0 � � � 4m 16m � � m� � Đối chiếu với điều kiện (1), ta thấy m � thỏa mãn yêu cầu toán m Ví dụ [ĐHB12] Tìm để đồ thị hàm số y x 3mx 3m3 có hai điểm cựctrị A B cho tam giác OAB có diện tích 48 Giải Ta có x0 � y ' 3x 6mx x x 2m , y ' � � x 2m � Đồ thị hàm số có hai điểm cựctrị 2m �0 � m �0 (1) 3 Khi đó, điểm cựctrị đồ thị hàm số A 0;3m , B 2m; m Ta có: 30 BÀI GIẢNG ƠN THI VÀO ĐẠI HỌC HÀM SỐ TÍNHĐƠNĐIỆU,CỰCTRỊCỦA uuu r OA 0;3m3 � OA m3 (2) Ta thấy A �Oy � OA �Oy � d B, OA d B, Oy m (3) � OA � d B; OA 3m Do đó: SOAB 48 � 3m 48 � m �2 (thỏa mãn (1)) Ví dụ Xác định tọa độ điểm cựctrị viết phương trình đường thẳng qua điểm cực Từ (2) (3) suy SOAB trị đồ thị hàm số y x3 3x x C Giải Ta có y ' 3x x x x Vì t x x x có ' nên t x có hai nghiệm phân biệt, suy y ' có hai nghiệm phân biệt Do C có hai điểm cựctrị Ta thấy nghiệm y ' x1 x2 y ' đổi dấu từ dương sang âm x qua x1 nên x1 điểm cực đại, y ' đổi dấu từ âm sang dương x qua x1 nên x1 điểm cực đại Thực phép chia y cho t x ta y x 1 t x x Suy ra: y x1 6 x1 (vì t x1 ) � y x1 6 � tọa độ điểm cực đại C 3;6 Tương tự, tọa độ điểm cực tiểu C 3; 6 Ta thấy tọa độ điểm cựctrị C thỏa mãn phương trình y 6 x nên phương trình đường thẳng qua điểm cựctrị đồ thị hàm số y 6 x Nhận xét Trong ví dụ thay chia y cho y ' , ta thực phép chia y cho t x đơn giản mà đạt mục đích phương pháp Sở dĩ làm y ' t x có tập nghiệm Ví dụ [ĐHA02] Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cựctrị đồ thị hàm số y x3 3mx m x m3 m2 Giải Ta có y ' 3x 6mx m 3 x 2mx m 1 2 Tam thức bậc hai t x x 2mx m có ' nên t x có hai nghiệm phân biệt đổi dấu tiên tiếp x qua hai nghiệm Do hàm cho có cực đại, cực tiểu Thực phép chia y cho t x ta có y m x t x x m m Giả sử x0 điểm cựctrịhàm số, ta có y x0 m x0 t x0 x0 m m x0 m m (do t x0 ) Vậy phương trình đường thẳng qua điểm cựctrị đồ thị hàm số y x m m Nhận xét Trong ví dụ này, ta tính tọa độ điểm cựctrị cách dể dàng Do đó, áp dụng phương trình đường 31 BÀI GIẢNG ƠN THI VÀO ĐẠI HỌC HÀM SỐ TÍNHĐƠNĐIỆU,CỰCTRỊCỦA C Bài tập Bài Cho y mx 3mx m 1 x Tìm m đểhàm số có cựctrị điểm cựctrị âm Bài Cho y x3 mx 12 x 13 Cm 1) Chứng tỏ với m , Cm có điểm cực đại, cực tiểu Gọi x1 , x2 hoành độ 2 điểm cựctrị Cm , tìm giá trị nhỏ biểu thức S x1 x2 x1 1 x2 1 2) Tìm m để điểm cực đại, cực tiểu Cm cách trục tung 2 Bài Cho y x x m 1 x 3m Cm 1) Tìm m đểhàm số có giá trịcực đại giá trịcực tiểu trái dấu 2) Tìm m để Cm có điểm cựctrị khoảng cách chúng Bài Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số 1) y x3 x x ; 2) y x x x ; 3) y x x 10 x Bài Tìm m đểhàm số sau có cực đại, cực tiểu viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số 2 1) y x 3mx m 1 x m ; 2 2) y x m 1 x 2m 3m x m m 1 Bài Tìm m để đồ thị hàm số 1) y x m 1 x m x có điểm cực đại, cực tiểu nằm đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu song song với đường thẳng y 4 x ; 2) y x m 1 x 6m 2m x có điểm cực đại, cực tiểu nằm đường thẳng y 4 x ; 3) y x mx x có điểm cực đại, cực tiểu đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu vng góc với đường thẳng y x ; 2 4) y x 3mx m x m m có điểm cực đại cực tiểu cho điểm cực đại cực tiểu điểm M 1;0 thẳng hang; 5) y x3 x m x m có điểm cực đại cực tiểu đối xứng qua đường thẳng x ; 2 6) y x m 1 x mx có điểm cực đại cực tiểu đối xứng qua đường thẳng 72 x 12 y 35 y 32 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC HÀM SỐ TÍNHĐƠNĐIỆU,CỰCTRỊCỦA D Đáp số 19 m Bài A , đạt � m ; m Bài m 1 � 4 2 m ; m �1 Bài Error: Reference source not found y x ; Error: Reference source 3 89 68 29 not found y x ; Error: Reference source not found y x Bài Error: 18 9 Reference source not found Hàm số có cực đại, cực tiểu m , phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số y 2 x m Error: Reference source not found Bài 3 � 3 Hàm số có cực đại, cực tiểu � m , phương trình đường thẳng qua m 2 2� 8 �2 m 2m �x m3 m m điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số y � 3� 3 3 �3 Bài m ; m ; m �3 10 ; m 1 � m ; m ; vơ nghiệm 33 BÀI GIẢNG ƠN THI VÀO ĐẠI HỌC TRỊCỦAHÀM SỐ TÍNHĐƠNĐIỆU,CỰC §3 Cựctrịhàm bậc bốn trùng phương A Tóm tắt lý thuyết b � � f ' x 4ax 2bx 4ax �x � Xét hàm f x ax bx c ( a �0 ) Ta có a � � 14 243 t x Trường hợp 1: ab �0 Khi t x vơ nghiệm có nghiệm x � f ' x có nghiệm x f ' x đổi dấu lần x qua � f có cựctrị Trường hợp 2: ab Khi t x có hai nghiệm phân biệt khác � f ' x có ba nghiệm f ' x đổi dấu liên tiếp x qua ba nghiệm � f ba cựctrị Một số kết cụ thể: f có cựctrị � ab �0 ; f có ba cựctrị � ab ; �a f có cựctrịcựctrịcực tiểu � � ; b �0 � �a f có cựctrịcựctrịcực đại � � ; b �0 � �a f có hai cực tiểu cực đại � � ; b0 � �a f có cực tiểu hai cực đại � � b0 � B Một số ví dụ 2 Ví dụ [ĐHB02] Tìm m đểhàm số y mx m x 10 có điểm cựctrị Giải Đểhàm số có ba điểm cựctrị trước hết hàm số phải hàm bậc , tức m �0 Ta có y ' 4mx m x 4mx x m2 m9 43 t x Hàm số có điểm cựctrị y ' có nghiệm phân biệt � t x có nghiệm phân biệt khác � m2 0 2m 34 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TRỊCỦAHÀM SỐ TÍNHĐƠNĐIỆU,CỰC 0m3 � � m m2 9 � � m 3 � Ví dụ Tìm m đểhàm số y m 1 x mx có cực tiểu mà khơng có cực đại Giải Ta xét hai trường hợp sau đây: � hàm số có cực tiểu ( x ) mà khơng có cực đại � m 1 thỏa mãn yêu cầu toán m � m 1 Khi y x m �0 � m �1 Khi hàm số cho hàm bậc có �2 m � y ' m 1 x 2mx m 1 x � x � � m 1 � Hàm số có cực tiểu mà khơng có cực đại � y ' có nghiệm đổi dấu từ � m 1 � � 1 m âm sang dương x qua nghiệm � � m �2 m 1 �0 � Kết hợp giá trị m tìm được, ta có 1 �m Ví dụ [ĐHB11] Cho hàm số y x m 1 x m Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cựctrị A , B , C cho OA BC ; O gốc tọa độ, A điểm cựctrị thuộc trục tung, B C hai điểm cựctrị lại Giải Ta có y ' x m 1 x x � x m 1 � � 44 43� t x Hàm số có điểm cựctrị y ' có nghiệm phân biệt � t x có nghiệm phân biệt khác � m � m 1 * Khi đó, ta có �A 0; m �x � � � y ' � �x m � �B m 1; m m , � � �x m � C m 1; m m � (vai trò B , C tốn nên cung giả sử B m 1; m m , C m 1; m m ) Ta có uuur uuu r OA 0; m � OA m ; BC m 1;0 � BC m Do 35 BÀI GIẢNG ƠN THI VÀO ĐẠI HỌC TRỊCỦAHÀM SỐ TÍNHĐƠNĐIỆU,CỰC OA BC � m m � m 4m ( ' ) � m � (thỏa mãn * ) Vậy m � 2 Ví dụ [ĐHA12] Tìm m để đồ thị hàm số y x m 1 x m có ba điểm cựctrị tạo thành ba đỉnh tam giác vng Giải Ta có y ' x m 1 x x � x m 1 � � 44 43� t x Đồ thị hàm số có điểm cựctrị y ' có nghiệm phân biệt � t x có nghiệm phân biệt khác � m � m 1 * Khi đó, ta có �x � y ' � �x m � �x m Suy điểm cựctrị đồ thị hàm số A 0; m , B m 1; 2m , C m 1; 2m Ta thấy A �Oy , B C đối xứng qua Oy nên tam giác ABC cân A Do tam giác vng A Ta có uuu r uuur uuu r uuur 2 AB m 1; m 1 , AC m 1; m 1 � AB AC m 1 m 1 Tam giác ABC vuông uuuruuur AB AC � m 1 m 1 � m 1 � m 1 � 1� � m 1 m 1 � � � � � � , kết hợp với điều kiện * ta có m m 1 m0 � � C Bài tập Bài Tìm m đểhàm số y x m 1 x 2m có cựctrị Bài Cho hàm số y x – 2mx 2m m4 ( m tham số) Tìm m để 1) Đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu lập thành tam giác vuông 2) Đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu lập thành tam giác 3) Đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu lập thành tam giác có diện tích 2012 đơn vị diện tích 36 BÀI GIẢNG ƠN THI VÀO ĐẠI HỌC TRỊCỦAHÀM SỐ TÍNHĐƠNĐIỆU,CỰC Bài [DHA04] Cho hàm số y x 2m x Tìm m đểhàm số có cực đại cực tiểu, đồng thời điểm cực đại cực tiểu C lập thành tam giác vuông cân Bài Cho hàm số y x 3m 1 x 2m Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu A , B , C cho ba điểm với D 7;3 thuộc đường tròn D Đáp số 18 Bài m �1 Bài m ;2 m ;3 �503 � Bài m �1 Bài m � � �4 � 37 ... ĐIỆU, CỰC TRỊ CỦA §2 Cực trị hàm bậc ba A Tóm tắt lý thuyết Xét hàm y ax bx cx d Điều kiện có cực trị C ( a �0 ) Hàm số có cực trị � hàm số có hai cực trị � C có cực trị � C... số f Điểm cực tiểu f Giá trị cực tiểu (cực tiểu) f Điểm cực tiểu đồ thị hàm số f Điểm cực trị f Cực trị f Điểm cực trị đồ thị hàm số f Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị Giả sử hàm f có đạo hàm... có hai điểm cực trị � y ' có hai nghiệm phân biệt f khơng có cực trị � ' �0 Quy tắc tính cực trị phương trình đường thẳng qua điểm cực trị đồ thị hàm số Giả sử hàm số có cực trị, thực phép