CHUYÊN ĐỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ HAY CHỌN LỌC

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Vấn đề 1: Xét tính đơn điệu hàm số 16 y = x − x3 + x + y = 16 x + x − x − x x−2 y= y = x + 8x + x+2 2x x −x+2 y= y= x −9 2− x x x2 − 2x + y= y= x +1 x +1 x − 5x + y = x ( x − 1) ( x > 0) y= x−2 y= x − 4x + y = 25 − x − 2x y= y = x + x3 − x + x+7 x − 3x + y= y = x − x + x + 12 2x + x −1 x +1 y = −2 x + x + y= x Vấn đề 2: Xác định tham số m để hàm số đồng biến (nghịch biến) I Cơ sở lý thuyết Cho hàm số y = f ( x) xác định có đạo hàm D * Hàm số đồng biến (a, b) ⊂ D f '( x ) ≥ 0, ∀x ∈ (a, b) * Hàm số nghịch biến (a, b) ⊂ D f '( x ) ≤ 0, ∀x ∈ (a, b) Xét tam thức bậc hai f ( x) = ax + bx + c , a ≠ a > * ax + bx + c ≥ ⇔  ∆ ≤ a < * ax + bx + c ≤ ⇔  ∆ ≤ II Bài tập áp dụng A – HÀM ĐA THỨC Cho hàm số y = x − 3( m − 1) x + 3m(m − 2) x + Tìm m để hàm số a Đồng biến R b Nghịch biến R Lời giải: y ' = 3x − 6(m − 1) x + 3m(m − 2) TXĐ: D = R a Hàm số đồng biến R y ' ≥ 0, ∀x y= 3x x +1 y = x2 + 2x + − x2 − x + x +1 x − 8x + y= x−5 y = −2 x + x +1 2 x + 3x y= 2x +1 y= y = x2 − 2x + y = − x2 y = 2x − x2 a = > ⇔ ∆ ' = 6m + ≤ ⇔m≤− b Hàm số nghịch biến R y ' ≤ 0, ∀x a = < ⇔ (vô nghiem)  ∆ ' = 6m + ≤ Vậy: Khơng có giá trị để hàm số nghịch biến R Cho hàm số y = x (m − x) − m Tìm m để hàm số nghịch biến R Lời giải: TXĐ: D = R y ' = − x + mx − m Hàm số cho nghịch biến R y ' ≤ 0, ∀x ⇔ − x + mx − m ≤ 0, ∀x  a = −1 < ⇔ ∆ = m ≤ ⇔m=0 Vậy: Với m = u cầu tốn thỏa Cho hàm số y = x − x + (m − 1) x + m + Tìm m để hàm số đồng biến R Lời giải: TXĐ: D = R y ' = 3x − x + m − Hàm số đồng biến R y ' ≥ 0, ∀x ⇔ x − x + m − ≥ 0, ∀x a = > ⇔ ∆ ' = −3m + ≤ ⇔m≥ Vậy: Với m ≥ yêu cầu toán thỏa Cho hàm số y = x (m − x) − mx + Tìm m để hàm số nghịch biến Lời giải: TXĐ: D = R y ' = −3 x + 2mx − m Hàm số nghịch biến R y ' ≤ 0, ∀x ⇔ −3 x + 2mx − m ≤ 0, ∀x  a = −3 < ⇔ ∆ = m − 3m ≤ ⇔0≤m≤3 Vậy: Với ≤ m ≤ điều kiện toán thỏa Cho hàm số y = x − 3mx + 3(2m − 1) x + Tìm m để hàm số đồng biến R Lời giải: TXĐ: D = R y ' = 3x − 6mx + 3(2m − 1) Hàm số đồng biến R y ' ≥ 0, ∀x ⇔ x − 6mx + 3(2m − 1) ≥ 0, ∀x a = > ⇔  ∆ ' = m − 2m + ≥ ⇔ m =1 Vậy: Với m = điều kiện tốn thỏa Cho hàm số y = − x + (m − 1) x + (m + 3) x + Tìm m để hàm số ln ln giảm y ' = − x + 2( m − 1) x + m + Lời giải: TXĐ: D = R Hàm số luôn giảm y ' ≤ 0, ∀x ⇔ − x + 2(m − 1) x + m + ≤ 0, ∀x  a = −1 < ⇔ (vô nghiem) ∆ ' = m − m + ≤ Vậy: Khơng có giá trị m thỏa u cầu tốn Cho hàm số y = x − mx + 3x − Tìm m để hàm số đồng biến Lời giải: TXĐ: D = R y ' = 3x − 2mx + Hàm số đồng biến R y ' ≥ 0, ∀x ⇔ x − 2mx + ≥ 0, ∀x a = > ⇔ ∆ ' = m − ≤ ⇔ −3 ≤ m ≤ Vậy: Với −3 ≤ m ≤ điều kiện toán thỏa Cho hàm số y = x − (m − 1) x + 2(m − 1) x − Tìm m để hàm số tăng R Lời giải: TXĐ: D = R y ' = x − 2(m − 1) x + 2(m − 1) Hàm số tăng R y ' ≥ 0, ∀x ⇔ x − 2(m − 1) x + 2(m − 1) ≥ 0, ∀x a = > ⇔ ∆ ' = (m − 1)(m − 3) ≤ ⇔1≤ m ≤ Vậy: Với ≤ m ≤ điều kiện tốn thỏa 3 Cho hàm số y = x − (sin m + cos m) x + x sin 2m Tìm m để hàm số đồng biến R Lời giải: TXĐ: D = R y ' = x − (sin m + cos m) x + sin 2m Hàm số đồng biến R y ' ≥ 0, ∀x ⇔ x − (sin m + cos m) x + sin 2m ≥ 0, ∀x a = > ⇔ ∆ = − 2sin m ≤ ⇔ − 2sin m ≤ π π ⇔ − + k 2π ≤ 2m ≤ + k 2π 6 π π ⇔ − + kπ ≤ m ≤ + k π 12 12 Cho hàm số y = x + mx + x + Tìm m để hàm số đồng biến R Lời giải: TXĐ: D = R y ' = 3x + 2mx + Hàm số đồng biến R y ' ≥ 0, ∀x ⇔ x + 2mx + ≥ 0, ∀x a = > ⇔ ∆ ' = m − ≤ ⇔− 6≤m≤ Vậy: Với − ≤ m ≤ điều kiện toán thỏa Cho hàm số y = mx − (2m − 1) x + (m − 2) x − Tìm m để hàm số ln đồng biến Lời giải: TXĐ: D =R y ' = 3mx − 2(2m − 1) x + m − Trường hợp 1: m = ⇒ y ' = x − ⇒ m = không thỏa yêu càu toán Trường hợp 2: m ≠ Hàm số đồng biến R y ' ≥ 0, ∀x a = 3m > ⇔ ∆ ' = (2m − 1) − 3m( m − 2) ≤ m > ⇔  m + 2m + ≤ m > ⇔ (vơ nghiem)  m = −1 Vậy: Khơng có giá trị m thỏa yêu cầu toán m −1 x + mx + (3m − 2) x đồng biến Lời giải: TXĐ: D = R y ' = (m − 1) x + 2mx + 3m − Trường hợp 1: m − = ⇔ m = ⇒ y ' = x + ⇒ m = không thỏa yêu cầu toán Trường hợp 2: m − ≠ ⇔ m ≠ Hàm số đồng biến y ' ≥ 0, ∀x Tìm m để hàm số y = ⇔ (m − 1) x + 2mx + 3m − ≥ 0, ∀x m − > ⇔  ∆ ' = −2 m + 5m − ≤ ⇔m≥2 Vậy: Với m ≥ u cầu tốn thỏa Cho hàm số y = mx + mx − x Tìm m để hàm số cho nghịch biến Lời giải: TXĐ: D = R y ' = − mx + 2mx − Trường hợp 1: m = ⇒ y ' = −1 < ⇒ m = thỏa yêu cầu toán Trường hợp 2: m ≠ Hàm số cho nghịch biến R y ' ≤ 0, ∀x ⇔ −mx + 2mx − ≤ 0, ∀x a = −m < ⇔ ∆ ' = m − m ≤ m > ⇔ (vô nghiem) 0 ≤ m ≤ Vậy: Với m = yêu cầu toán thỏa 1− m x − 2(2 − m) x + 2(2 − m) x + luôn giảm Định m để hàm số y = Lời giải TXĐ: D = R y ' = (1 − m) x − 4(2 − m) x + − 2m Trường hợp 1: m = ⇒ y ' = −4 x + ≤ ⇔ x ≥ nên m = không thỏa yêu cầu toán Trường hợp 2: m ≠ a = − m < m > ⇔ ⇔2≤m≤3 Hàm số giảm  2 ≤ m ≤  ∆ ' = 2m − 10m + 12 ≤ Cho hàm số y = R Lời giải: m+2 x − (m + 2) x + (m − 8) x + m − Tìm m để dồ thị hàm số nghịch biến TXĐ: D = R y ' = (m + 2) x − 2(m + 2) x + m − Trường hợp 1: m + = ⇔ m = −2 ⇒ y ' = −10 ⇒ m = -2 thỏa yêu cầu toán Trường hợp 2: m ≠ −2 Hàm số nghịch biến R y ' ≤ 0, ∀x ⇔ (m + 2) x − 2(m + 2) x + m − ≤ 0, ∀x a = m + < ⇔ ∆ ' = (m + 2) − (m + 2)(m − 8) ≤ ⇔ m < −2 KL: Với m < - u cầu tốn thỏa Cho hàm số y = (m − 1) x + (m + 1) x + x + Tìm m để hàm số đồng biến R Lời giải: TXĐ: D = R y ' = (m − 1) x + 2(m + 1) x + Trường hợp 1: m − = ⇔ m = ±1 * m = ⇒ y ' = x + ⇒ m = khơng thỏa u cầu tốn * m = −1 ⇒ y ' = > ⇒ m = - thỏa yêu cầu toán Trường hợp 2: m − ≠ ⇔ m ≠ ±1 Hàm số đồng biến R y ' ≥ 0, ∀x ⇔ (m − 1) x + 2( m + 1) x + ≥ m − > ⇔ ∆ = −2m + 2m + ≤ ⇔ m < −1 ∨ m > Vậy: Với m ≤ −1 ∨ m > tốn thỏa Cho hàm số y = (m + 3) x − x + mx Tìm m để hàm số: a Đồng biến R b Nghịch biến R Lời giải: TXĐ: D = R y ' = (m + 3) x − x + m Trường hợp 1: m + = ⇔ m = −3 ⇒ y ' = −4 x − ⇒ m = -3 không thỏa yêu cầu toán Trường hợp 2: m ≠ −3 a Hàm số đồng biến y ' ≥ 0, ∀x ⇔ (m + 3) x − x + m ≥ 0, ∀x a = m + > ⇔ ∆ = − m − 3m + ≤ ⇔ m ≥1 b Hàm số nghịch biến y ' ≤ 0, ∀x ⇔ (m + 3) x − x + m ≤ 0, ∀x a = m + < ⇔ ∆ = − m − 3m + ≤ ⇔ m ≤ −4 Cho hàm số y = mx − (m − 1) x + 3(m − 2) x + Xác định giá trị m để hàm số cho nghịch 3 biến R Lời giải: TXĐ: D = R y ' = mx − 2(m − 1) x + 3(m − 2) Trường hợp 1: m = ⇒ y ' = x − ⇒ m = khơng thỏa u cầu tốn Trường hợp 2: m ≠ Hàm số nghịch biến R y ' ≤ 0, ∀x ⇔ mx − 2(m − 1) x + 3(m − 2) ≤ 0, ∀x a = m < ⇔  ∆ = −2 m + m + ≤ ⇔m≤ 2− Cho hàm số y = ( m + 2m ) x3 + mx + x + Xác định m để hàm số sau đồng biến R Lời giải: TXĐ: D = R 2 Ta có: y ' = ( m + 2m ) x + 2mx + Xét trường hợp: m = * m + 2m = ⇔   m = −2 + m = ⇒ y ' ≥ 0, ∀x nên m = thỏa yêu cầu toán + m = - ⇒ y ' = −4 x + ≥ ⇔ x ≤ nên m = -2 không thỏa điều kiện toán m ≠ * m + 2m ≠ ⇔   m ≠ −2 m + 2m > a > ⇔ ⇔ m ≤ −4 ∨ m ≥ Hàm số đồng biến R  ∆ y ' ≤ − m − 4m ≤ Vậy với m ≤ −4 ∨ m ≥ điều kiện tốn thỏa Cho hàm số y = (m + 5m) x + 6mx + x − Tìm m để hàm số đồng biến R Lời giải TXĐ: D = R y ' = 3(m + 5m) x + 12mx + Trường hợp 1: m + 5m = ⇔ m = 0, m = −5 + m = ⇒ y ' = > ⇒ m = thỏa yêu cầu toán + m = −5 ⇒ y ' = −60 x + ⇒ m = - khơng thỏa u cầu tốn Trường hợp 2: m + 5m ≠ Hàm số đồng biến R y ' ≥ 0, ∀x ⇔ 3(m + 5m) x + 12mx + ≥ 0, ∀x a = m + 5m > ⇔ ∆ ' = 2m − 10m ≤ ⇔0  ⇔ ∆ = − m2 − m + ≤ ( −1) + 2(−1) + m + m − ≠  ⇔m< + 13 − 13 ∨m> −2 −2 Cho hàm số y = x Xác định m để hàm số đồng biến khoảng xác định x−m Lời giải: TXĐ: D = R \ { m} −m y'= ( x − m) Hàm số đồng biến khoảng xác định y ' ≥ 0, ∀x ≠ m ⇔ −m ≥ ⇔m≤0 mx − ( m + 2) x + m − 2m + Cho hàm số y = Xác định m để hàm số nghịch biến x −1 khoảng xác định Lời giải: TXĐ: D = R \ { 1} mx + 2mx − m + 3m ( x − 1) Trường hợp 1: m = ⇒ y ' = ⇒ chưa xác định tính đơn điệu hàm số nên m=0 khơng thỏa u cầu tốn Trường hợp 2: m ≠ Hàm số nghịch biến khoảng xác định y ' ≤ 0, ∀x ≠ ⇔ mx + 2mx − m + 3m ≤ 0, ∀x ≠ y'= a = m <  ⇔ ∆ ' = m3 − 2m ≤ m12 + 2m.1 − m + 3m ≠  m <  ⇔ m − ≤ m ≠ 0, m ≠  ⇔m 0, ∀x ≠ −1 ⇒ m = - thỏa yêu cầu toán Trường hợp 1: m = −1 ⇒ y ' = ( x + 1) Trường hợp 2: m ≠ −1 y'= Hàm số đồng biến R y ' ≥ 0, ∀x ≠ m ⇔ (m + 1) x − 2( m2 + m) x + m3 + m + ≥ 0, ∀x ≠ m a = m + >  ⇔  ∆ = −2 m − ≤ ( m + 1)m − 2(m + m).m + m3 + m + ≠   m > −1  ⇔ m ≥ −1 2 ≠  ⇔ m > −1 C – BÀI TẬP NÂNG CAO Cơ sở lý thuyết: f ( x) Giả sử tồn mx∈ax K f ( x) < g (m), ∀x ∈ K ⇔ max f ( x) < g (m) x∈K f ( x) ≤ g (m), ∀x ∈ K ⇔ max f ( x) ≤ g (m) x∈K f ( x) Giả sử tồn x∈K f ( x) > g (m), ∀x ∈ K ⇔ f ( x ) > g (m) x∈K f ( x) ≥ g (m), ∀x ∈ K ⇔ f ( x) ≥ g (m) x∈K Định m để hàm số y = mx − (m − 1) x + 3(m − 2) x + đồng biến khoảng (2; +∞) 3 Lời giải: TXĐ: D = R y ' = mx − 2(m − 1) x + 3(m − 2) Điều kiện toán thỏa y ' ≥ 0, ∀x > ⇔ mx − 2(m − 1) x + 3(m − 2) ≥ 0, ∀x > −2 x + ⇔m≥ , ∀x > x − 2x + −2 x + x − 12 x + ⇒ g '( x) = Xét hàm số g ( x) = x − 2x + ( x − x + 3) x = + g '( x) = ⇔   x = − Bảng xét dấu −∞ x 3− g’(x) + g(x) - 3+ +∞ + Vậy bất phương trình có nghiệm −1 ≤ x < + 17 Vấn đề 5: Ứng dụng tính đơn điệu để giải hệ phương trình  x + x = ( y + 2) y + Giải hệ phương trình  2  x + y = Lời giải: (1) ⇔ x + x = ( y + 2) y + ⇔ x + x = ( y + 1)3 + y + ⇔ f ( x) = f ( y + 1), f (t ) = t + t ⇔x= y +1 y = ⇒ x =1 y + vào (2) ta có: y + + y + = ⇔   y = −1 ⇒ x = Vậy hệ có nghiệm (1; 0) (0; -1)  x − y = y − 3x (1) Giải hệ phương trình  2  2x − y = Lời giải (1) ⇔ x + 3x = y + y Xét f (t ) = t + 3t ⇒ f '(t ) = 3t + > ⇒ f(t) hàm số đồng biến R Mặt khác: x + 3x = y + y ⇔ f ( x ) = f ( y ) ⇒ x = y x = y x = y ⇔ Ta hệ phương trình sau:  2  x = ±2 2 x − y = Hệ phương trình cho có nghiệm (2; 2) (-2; -2)  x + + 10 − y = Giải hệ phương trình   y + + 10 − x = Lời giải Điều kiện xác định hệ phương trình −3 ≤ x, y ≤ 10 Nhận thấy x = -3, y = 10 khơng nghiệm hệ phương trình Trừ hai vế hệ cho ta phương trình x + − 10 − x = y + − 10 − y 1 + > 0, ∀t ∈ (−3;10) Xét hàm số f (t ) = t + − 10 − t ⇒ f '(t ) = t + 10 − t ⇒ f(t) hàm số đồng biến (-3; 10) x + − 10 − x = y + − 10 − y ⇔ f ( x) = f ( y ) ⇒ x = y Ta hệ phương trình sau  x = y  x = y x = y x = ⇔ ⇔ ⇔   x + + 10 − x =  x + + 10 − y = x = y =1 Thay x = Kết luận: x = y = nghiệm hệ phương trình  x − x = y − y Giải hệ phương trình  2 y = x3 +  Lời giải Điều kiện xác định hệ phương trình x ≠ 0, y ≠ 1 Xét hàm số f (t ) = t − ⇒ f '(t ) = + > 0, ∀t ≠ t t ⇒ f(t) hàm số đồng biến R \ { 0} Mặt khác: x − 1 = y − ⇔ f ( x) = f ( y ) ⇒ x = y x y x = y x = y x = y  ⇔ ⇔ Ta hệ phương trình sau  −1 ± 2 y = x +  x − x + =  x = 1, x =  −1 ± Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm x = y = 1, x = y = Vấn đề 6: Ứng dụng tính đơn điệu để biện luận số nghiệm phương trình, bất phương trình Tìm m để phương trình m( x − x + + 1) + x(2 − x) ≤ có nghiệm x ∈  0;1 +  Lời giải: m( x − x + + 1) + x(2 − x) ≤ ⇔ m( x − x + + 1) − ( x − x) ≤ x −1 = ⇔ x =1 Đặt t = x − x + ≥ ⇒ t ' = x2 − 2x + Vẽ bảng biến thiên suy x ∈  0;1 +  ⇒ t ∈ [ 1; 2] t2 − (*) ⇒ m ( t + 1) − t + ≤ ⇔ t − m ( t + 1) − ≥ ⇔ m ≤ t +1 2 t −2 t + 2t + ,1 ≤ t ≤ ⇒ f '(t ) = > 0,1 ≤ t ≤ Xét f (t ) = t +1 ( t + 1) (*) ⇒ f(t) hàm số đồng biến Bất phương trình thỏa m ≤ f ( x) = f (1) = − 1≤ x ≤ Tìm m để phương trình sau có nghiệm x( x − 1) + 4( x − 1) x =m x −1 Lời giải: Điều kiện phương trình x ≤ ∨ x ≥ Với điều kiện (*) ⇔ x( x − 1) + x( x − 1) = m Đặt t = x( x − 1) , t ≥ Phương trình (**) trở thành t + 4t − m = có nghiệm t ≥ (**) (*) Điều kiện thỏa m ≥ −4 Tìm m để phương trình ( x + 2)(4 − x) + x = x − m có nghiệm Lời giải Điều kiện xác định phương trình −2 ≤ x ≤ Đặt t = ( x + 2)(4 − x) (0 ≤ t ≤ 3) ⇔ − x + x = t − Phương trình trở thành 2t = t − − m ⇔ g (t ) = t − 2t − = m Phương trình có nghiệm g (t ) ≤ m ≤ m ax g (t ) [ 0;3] [ 0;3] Ta có: g '(t ) = 2t − g '(t ) = ⇔ t = Vẽ bảng biến thiên ta có g (t ) ≤ m ≤ m ax g (t ) ⇔ g (1) ≤ m ≤ g (3) ⇔ −9 ≤ m ≤ −5 [ 0;3] [ 0;3] CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ §1 Các phương pháp tìm cực trị A Tóm tắt lý thuyết Khái niệm cực trị hàm số Cho f : D → ¡ x0 ∈ D a) x0 gọi điểm cực đại f tồn khoảng ( a; b ) cho  x0 ∈ ( a; b ) ⊂ D   f ( x ) < f ( x0 ) ∀x ∈ ( a; b ) \ { x0 } b) x0 gọi điểm cực tiểu f tồn khoảng ( a; b ) cho  x0 ∈ ( a; b ) ⊂ D   f ( x ) > f ( x0 ) ∀x ∈ ( a; b ) \ { x0 } c) Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị Bảng sau tóm tắt khái niệm sử dụng phần này: x0 f ( x0 ) ( x0 ; f ( x0 ) ) Điểm cực đại f Giá trị cực đại (cực đại) f Điểm cực đại đồ thị hàm số f Điểm cực tiểu f Giá trị cực tiểu (cực tiểu) f Điểm cực tiểu đồ thị hàm số f Điểm cực trị f Cực trị f Điểm cực trị đồ thị hàm số f Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị Giả sử hàm f có đạo hàm x0 Khi đó: f đạt cực trị x0 f ' ( x0 ) = Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị a) Quy tắc • Nếu f ' ( x ) đổi dấu từ dương sang âm x qua x0 f đạt cực đại x0 ; • Nếu f ' ( x ) đổi dấu từ âm sang dương x qua x0 f đạt cực tiểu x0 b) Quy tắc 2: •  f ' ( x0 ) = ⇒ f đạt cực đại x0 ;  f " x < ( )  •  f ' ( x0 ) = ⇒ f đạt cực tiểu x0   f " ( x0 ) > B Một số ví dụ Ví dụ [SGKNC] Sử dụng quy tắc tìm cực trị hàm số y = x − x − x + 3 Giải Hàm số có TXĐ = ¡ , y ' = x − x − , y ' = ⇔ x = −1 x = Bảng biến thiên: Kết luận: Hàm số đạt cực đại x = −1 , giá trị cực đại tương ứng y ( −1) = ; hàm số đạt cực tiểu x = , giá trị cực tiểu tương ứng 23 y ( 3) = − Ví dụ [SGKNC] Sử dụng quy tắc tìm cực trị hàm số y = x ( x + ) Giải Hàm số có TXĐ = ¡ Ta có ( x2 + x ) x ( x ≠ ) y = x ( x + 2) ⇒ y ' = ( x + 2) + x = x x Ta thấy với x ≠ , dấu y ' dấu tam thức bậc hai x + x Nên ta có bảng biến thiên hàm số sau: Kết luận: hàm số đạt cực đại x = −1 , giá trị cực đại tương ứng y ( −1) = ; hàm số đạt cực tiểu x = , giá trị cực tiểu tương ứng y ( ) = Ví dụ [SGKNC] Sử dụng quy tắc tìm cực trị hàm số y = x − x − x + 3 Giải TXĐ = ¡ • y ' = x − x − , y ' = ⇔ x = −1 x = • y " = 2x − , +) y " ( −1) = −4 < ⇒ hàm số đạt cực đại x = −1 , giá trị cực đại tương ứng y ( −1) = ; +) y " ( 3) = > ⇒ hàm số đạt cực tiểu x = , giá trị cực tiểu tương ứng 23 y ( 3) = − Ví dụ [SGKNC] Sử dụng quy tắc tìm cực trị hàm số y = x − sin x + Giải TXĐ = ¡ • y ' = − cos x , y ' = ⇔ cos 2x = ⇔ 2x = ± π π + kπ ⇔ x = ± + kπ ( k  ) y " = 4sin x , π  π  +) y ′′  + kπ ÷ = 4sin  + 2kπ ÷ = > ⇒ hàm số đạt cực tiểu điểm 6  3  π π  x = + kπ , giá trị cực tiểu tương ứng y  + kπ ÷ = π6 + kπ − +2 6   π   π  +) y ′′  − + kπ ÷ = 4sin  − + 2kπ ÷ = −2 < ⇒ hàm số đạt cực đại điểm     x= π π  π  + kπ , giá trị cực tiểu tương ứng y  − + kπ ÷ = − + kπ − + 6   Ví dụ [SGK] Tìm a , b , c cho hàm số y = ax + bx + cx + d đạt cực tiểu điểm x = , y ( ) = đạt cực đại x = , f ( 1) = Giải Ta có y ' = 3ax + 2bx + c Từ giả thiết suy  y ' ( 0) = c =  d =  y ( 0) =  ⇔  ⇔   y ' ( 1) = 3a + 2b + c = y =1  a + b + c + d =  ( ) Khi y = −2 x + 3x , y ' = −6 x + x , y " = −12 x + Ta  a = −2 b =   c =  d = có y " ( ) = > ⇒ hàm số đạt cực tiểu x = , y " ( 1) = −6 < ⇒ hàm số đạt cực đại x = (thỏa mãn) Vậy a = −2 , b = , c = 0, d = C Bài tập Bài Tìm cực trị hàm số 1) y = x − x + 12 x + ; 2) y = −5 x + 3x − x + ; 3) y = 3x − x − 24 x + 48 x − ; ; x−2 x + x − 24 5) y = ; x2 − x 6) y = ; x +4 4) y = x − + 7) y = x − x ; 8) y = x − x + ; 9) y = sin x − cos x ; 10) y = 2sin x + cos x Bài Tìm a , b , c để hàm số y = x + ax + bx + c đạt cực tiểu x = , y ( 1) = −3 đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ q Bài Tìm p , q cho hàm số y = x + p + đạt cực đại điểm x = −2 y ( −2 ) = −2 x +1 D Đáp số Bài Error: Reference source not found Hàm số đạt cực đại điểm x = , y ( 1) = đạt cực tiểu điểm x = , y ( ) = ; Error: Reference source not found Hàm số nghịch biến ¡ nên khơng có cực trị; Error: Reference source not found Hàm số đạt cực tiểu x = −2 , y ( −2 ) = −115 x = , y ( ) = 13 , đạt cực đại điểm x = , y ( 1) = 20 ; Error: Reference source not found Hàm số đạt cực đại điểm x = −1 , y ( −1) = −7 đạt cực tiểu điểm x = , y ( ) = ; Error: Reference source not found Hàm số đạt cực tiểu điểm x = , y ( 1) = đạt cực đại điểm x = , y ( ) = ; Error: Reference source not found Hàm số 1 đạt cực tiểu điểm x = −2 , y ( −2 ) = − đạt cực đại điểm x = , y ( ) = ; Error: 4 Reference source not found Hàm số đạt cực tiểu điểm x = , y ( 1) = đạt cực đại điểm x = , y ( ) = Error: Reference source not found Hàm số đạt cực tiểu x = −2 , 1 y ( −2 ) = − , đạt cực đại điểm x = , y ( ) = ; Error: Reference source not found Hàm 4 số đạt cực tiểu điểm x = 2kπ , y ( 2kπ ) = + x = π + 2kπ , y ( π + 2kπ ) = − 5π  5π  + 2kπ ÷ = − ; Error: Reference + kπ , y  ±   π π  source not found Hàm số đạt cực tiểu điểm x = + 2kπ , y  + 2kπ ÷ = 2  π π  π  x = − + 2kπ , y  − + 2kπ ÷ = −3 Hàm số đạt cực đại điểm x = + 2kπ ,   5π π   5π  y  + kπ ÷ = + 2kπ ÷ = Bài a = , b = −9 , c = Bài + 2k π , y  x = 6    p = q =1 Hàm số đạt cực đại điểm x = ± §2 Cực trị hàm bậc ba A Tóm tắt lý thuyết Xét hàm y = ax + bx + cx + d Điều kiện có cực trị • ( C) ( a ≠ ) Hàm số có cực trị ⇔ hàm số có hai cực trị ⇔ ( C ) có cực trị ⇔ ( C ) có hai điểm cực trị ⇔ y ' có hai nghiệm phân biệt • f khơng có cực trị ⇔ ∆ ' ≤ Quy tắc tính cực trị phương trình đường thẳng qua điểm cực trị đồ thị hàm số Giả sử hàm số có cực trị, thực phép chia đa thức y cho y ' để có: y = p ( x ) y '+ ax + b Từ suy ra: • x0 điểm cực trị hàm số ⇒ y ' ( x0 ) = ⇒ y ( x0 ) = ax0 + b • ∆ : y = ax + b đường thẳng qua tất điểm cực trị ( C ) B Một số ví dụ Ví dụ Tìm m để hàm số y = ( m + ) x + x + mx − có cực đại, cực tiểu Giải Ta có y ' = ( m + ) x + x + m y có cực đại, cực tiểu trước hết m + ≠ ⇔ m ≠ −2 (1) Khi y ' tam thức bậc hai có ∆ ' = −3 ( m + 2m − 3) y có cực đại, cực tiểu Kết hợp với ( 1) m ∈ ( −3; −2 ) ∪ ( −2;1) ( 2) (2) ∆ ' > ⇔ m + m − < ⇔ −3 < m < ta có giá trị m thỏa mãn yêu cầu tốn Ví dụ [ĐHD12] Tìm m để hàm số y = x − mx − ( 3m − 1) x + có hai điểm cực trị x , 3 x2 cho x1 x2 + ( x1 + x2 ) = Giải Ta có y ' = x − 2mx − ( 3m − 1) = ( x − mx − 3m + 1) , t ( x ) = x − mx − 3m + tam thức bậc hai có ∆ = 13m − Do hàm số có hai điểm cực trị y ' có hai nghiệm phân biệt ⇔ t ( x ) có hai nghiệm phân biệt  13 m > 13 ⇔ ∆>0 ⇔  (1)  13 m < − 13   x1 + x2 = m x1 , x2 nghiệm t ( x ) nên theo định lý Vi-ét, ta có   x1 x2 = −3m + Do m = 2 x1 x2 + ( x1 + x2 ) = ⇔ −3m + 2m + = ⇔ −3m + 2m = ⇔  m =  Đối chiếu với điều kiện (1), ta thấy m = thỏa mãn yêu cầu toán 3 2 Ví dụ [ĐHB07] Tìm m để hàm số y = − x + x + ( m − 1) x − 3m − có cực đại, cực tiểu điểm cực trị đồ thị hàm số cách gốc tọa độ O Giải Ta có y ' = −3 x + x + ( m − 1) = −3 ( x − x − m + 1) , t ( x ) = x − x − m + tam thức bậc hai có ∆ ' = m Do đó: y có cực đại cực tiểu ⇔ y ' có hai nghiệm phân biệt ⇔ t ( x ) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ ' > ⇔ m ≠ (1) Khi y ' có nghiệm là: ± m ⇒ tọa độ điểm cực trị đồ thị hàm số A ( − m; −2 − 2m3 ) B ( + m; −2 + 2m3 ) Ta có uuu r 2 OA ( − m; −2 − 2m3 ) ⇒ OA2 = ( − m ) + ( + m3 ) ; uuur 2 OB ( + m; −2 + 2m3 ) ⇒ OB = ( + m ) + ( − m3 ) A B cách gốc tọa độ 2 2 OA = OB ⇔ OA2 = OB ⇔ ( − m ) + ( + m3 ) = ( + m ) + ( − m3 ) m = ⇔ −4m + 16m = ⇔  m = ±  Đối chiếu với điều kiện (1), ta thấy m = ± thỏa mãn yêu cầu toán m Ví dụ [ĐHB12] Tìm để đồ thị hàm số y = x3 − 3mx + 3m3 có hai điểm cực trị A B cho tam giác OAB có diện tích 48 Giải Ta có x = y ' = 3x − 6mx = x ( x − 2m ) , y ' = ⇔   x = 2m Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị 2m ≠ ⇔ m ≠ (1) 3 Khi đó, điểm cực trị đồ thị hàm số A ( 0;3m ) , B ( 2m; −m ) Ta có: • uuu r OA ( 0;3m3 ) ⇒ OA = m3 (2) • Ta thấy A ∈ Oy ⇒ OA ≡ Oy ⇒ d ( B, OA ) = d ( B, Oy ) = m (3) ×OA ×d ( B; OA ) = 3m Do đó: SOAB = 48 ⇔ 3m = 48 ⇔ m = ±2 (thỏa mãn (1)) Ví dụ Xác định tọa độ điểm cực trị viết phương trình đường thẳng qua điểm cực Từ (2) (3) suy SOAB = trị đồ thị hàm số y = x − x − x + ( C ) Giải Ta có y ' = 3x − x − = ( x − x − ) Vì t ( x ) = x − x − có ∆ ' = > nên t ( x ) có hai nghiệm phân biệt, suy y ' có hai nghiệm phân biệt Do ( C ) có hai điểm cực trị Ta thấy nghiệm y ' x1 = − < x2 = + y ' đổi dấu từ dương sang âm x qua x1 nên x1 điểm cực đại, y ' đổi dấu từ âm sang dương x qua x1 nên x1 điểm cực đại Thực phép chia y cho t ( x ) ta y = ( x + 1) t ( x ) − x + Suy ra: ( ) y ( x1 ) = −6 x1 + (vì t ( x1 ) = ) ⇒ y ( x1 ) = −6 − + = ( ) ⇒ tọa độ điểm cực đại ( C ) − 3;6 ( ) Tương tự, tọa độ điểm cực tiểu ( C ) + 3; −6 Ta thấy tọa độ điểm cực trị ( C ) thỏa mãn phương trình y = −6 x + nên phương trình đường thẳng qua điểm cực trị đồ thị hàm số y = −6 x + Nhận xét Trong ví dụ thay chia y cho y ' , ta thực phép chia y cho t ( x ) đơn giản mà đạt mục đích phương pháp Sở dĩ làm y ' t ( x ) có tập nghiệm Ví dụ [ĐHA02] Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = − x + 3mx + ( − m2 ) x + m3 − m Giải Ta có y ' = −3 x + 6mx + ( − m ) = −3 ( x − 2mx + m − 1) 2 Tam thức bậc hai t ( x ) = x − 2mx + m − có ∆ ' = > nên t ( x ) có hai nghiệm phân biệt đổi dấu tiên tiếp x qua hai nghiệm Do hàm cho có cực đại, cực tiểu Thực phép chia y cho t ( x ) ta có y = ( m − x ) t ( x ) + x − m + m Giả sử x0 điểm cực trị hàm số, ta có y ( x0 ) = ( m − x0 ) t ( x0 ) + x0 − m + m = x0 − m + m (do t ( x0 ) = ) Vậy phương trình đường thẳng qua điểm cực trị đồ thị hàm số y = x − m + m Nhận xét Trong ví dụ này, ta tính tọa độ điểm cực trị cách dể dàng Do đó, áp dụng phương trình đường C Bài tập Bài Cho y = mx + 3mx − ( m − 1) x − Tìm m để hàm số có cực trị điểm cực trị âm Bài Cho y = x + mx − 12 x − 13 ( Cm ) 1) Chứng tỏ với m , ( Cm ) ln có điểm cực đại, cực tiểu Gọi x1 , x2 hoành độ 2 điểm cực trị ( Cm ) , tìm giá trị nhỏ biểu thức S = x1 + x2 − ( x1 + 1) ( x2 + 1) 2) Tìm m để điểm cực đại, cực tiểu ( Cm ) cách trục tung 2 Bài Cho y = − x + x + ( m − 1) x − 3m − ( Cm ) 1) Tìm m để hàm số có giá trị cực đại giá trị cực tiểu trái dấu 2) Tìm m để ( Cm ) có điểm cực trị khoảng cách chúng Bài Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số 1) y = − x + x − x + ; 2) y = x − x − x + ; 3) y = x + x − 10 x + + Bài Tìm m để hàm số sau có cực đại, cực tiểu viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số 2 1) y = x − 3mx + ( m − 1) x − m ; 2 2) y = x − ( m − 1) x + ( 2m − 3m + ) x − m ( m − 1) Bài Tìm m để đồ thị hàm số 1) y = x + ( m − 1) x + ( m − ) x − có điểm cực đại, cực tiểu nằm đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu song song với đường thẳng y = −4 x − ; 2) y = x + ( m − 1) x + 6m ( − 2m ) x có điểm cực đại, cực tiểu nằm đường thẳng y = −4 x ; 3) y = x + mx + x + có điểm cực đại, cực tiểu đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu vng góc với đường thẳng y = 3x − ; 2 4) y = − x + 3mx + ( − m ) x + m − m có điểm cực đại cực tiểu cho điểm cực đại cực tiểu điểm M ( 1;0 ) thẳng hang; 5) y = x − x + m x + m có điểm cực đại cực tiểu đối xứng qua đường thẳng x− ; 2 6) y = x − ( m + 1) x + mx có điểm cực đại cực tiểu đối xứng qua đường thẳng 72 x − 12 y − 35 = y= D Đáp số 19 < m < Bài A = , đạt ⇔ m = − ; m = Bài m < −1 ∨ 4 2 m > ; m = ±1 Bài Error: Reference source not found y = x + ; Error: Reference source 3 89 68 29 not found y = − x + ; Error: Reference source not found y = − x + + Bài Error: 18 9 Reference source not found Hàm số có cực đại, cực tiểu ∀m , phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số y = −2 x − m Error: Reference source not found Bài 3− ∨ 3+ Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ m < , phương trình đường thẳng qua m> 2 2 8  2 điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số y =  − m + 2m − ÷x + m − m + m − 3 3 3  Bài m = ; m = ; m = ±3 10 ; m = −1 ∨ m = ; m = ; vơ nghiệm §3 Cực trị hàm bậc bốn trùng phương A Tóm tắt lý thuyết b   f ' ( x ) = 4ax + 2bx = 4ax  x + ÷ Xét hàm f ( x ) = ax + bx + c ( a ≠ ) Ta có a  14 243 t( x) Trường hợp 1: ab ≥ Khi t ( x ) vơ nghiệm có nghiệm x = ⇒ f ' ( x ) có nghiệm x = f ' ( x ) đổi dấu lần x qua ⇒ f có cực trị Trường hợp 2: ab < Khi t ( x ) có hai nghiệm phân biệt khác ⇒ f ' ( x ) có ba nghiệm f ' ( x ) đổi dấu liên tiếp x qua ba nghiệm ⇒ f ba cực trị Một số kết cụ thể: • f có cực trị ⇔ ab ≥ ; • f có ba cực trị ⇔ ab < ; • a > f có cực trị cực trị cực tiểu ⇔  ; b ≥ • a < f có cực trị cực trị cực đại ⇔  ; b ≤ • a > f có hai cực tiểu cực đại ⇔  ; b < • a < f có cực tiểu hai cực đại ⇔  b > B Một số ví dụ 2 Ví dụ [ĐHB02] Tìm m để hàm số y = mx + ( m − ) x + 10 có điểm cực trị Giải Để hàm số có ba điểm cực trị trước hết hàm số phải hàm bậc , tức m ≠ Ta có y ' = 4mx + ( m − ) x = 4mx x + m2 m−9 43 ( ) t( x) Hàm số có điểm cực trị y ' có nghiệm phân biệt ⇔ t ( x ) có nghiệm phân biệt khác ⇔ m2 −  ⇔ −1 < m < âm sang dương x qua nghiệm ⇔  m  ( m + 1) ≤  m Kết hợp giá trị tìm được, ta có −1 ≤ m < Ví dụ [ĐHB11] Cho hàm số y = x − ( m + 1) x + m Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị A , B , C cho OA = BC ; O gốc tọa độ, A điểm cực trị thuộc trục tung, B C hai điểm cực trị lại Giải Ta có y ' = x − ( m + 1) x = x  x − ( m + 1)  44 43 t( x) Hàm số có điểm cực trị y ' có nghiệm phân biệt ⇔ t ( x ) có nghiệm phân biệt khác ⇔ m + > ⇔ m > −1 ( *) Khi đó, ta có  A 0; m ) x =  (   y ' = ⇔  x = − m + ⇒  B − m + 1; − m − m − ,   x = m +1 C m + 1; −m − m −  (vai trò B , C toán nên cung giả sử B m + 1; −m − m − , C − m + 1; −m − m − ) ( ( ( Ta có ) ) ( ) ) uuur uuu r OA ( 0; m ) ⇒ OA = m ; BC m + 1;0 ⇒ BC = m + ( ) Do OA = BC ⇔ m = m + ⇔ m − 4m − = ( ∆ ' = ) ⇔ m = ± (thỏa mãn ( *) ) Vậy m = ± 2 Ví dụ [ĐHA12] Tìm m để đồ thị hàm số y = x − ( m + 1) x + m có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác vng Giải Ta có y ' = x − ( m + 1) x = x  x − ( m + 1)  44 43 t( x) Đồ thị hàm số có điểm cực trị y ' có nghiệm phân biệt ⇔ t ( x ) có nghiệm phân biệt khác ⇔ m + > ⇔ m > −1 ( *) Khi đó, ta có x =  y ' = ⇔ x = − m +1  x = m +1 Suy điểm cực trị đồ thị hàm số A ( 0; m ) , B − m + 1; −2m − , C m + 1; −2m − ( ) ( ) Ta thấy A ∈ Oy , B C đối xứng qua Oy nên tam giác ABC cân A Do tam giác vng A Ta có uuur uuur uuur uuur 2 AB − m + 1; − ( m + 1) , AC m + 1; − ( m + 1) ⇒ AB AC = ( m + 1) − ( m + 1) ( ) ( Tam giác ABC vuông uuuruuur AB AC = ⇔ ( m + 1) − ( m + 1) = ⇔ ) ( m + 1) ( m + 1) − 1 =  m + =  m = −1 ⇔  ⇔  , kết hợp với điều kiện ( *) ta có m = m + = m = C Bài tập Bài Tìm m để hàm số y = x − ( m − 1) x + − 2m có cực trị Bài Cho hàm số y = x – 2mx + 2m + m ( m tham số) Tìm m để 1) Đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu lập thành tam giác vuông 2) Đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu lập thành tam giác 3) Đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu lập thành tam giác có diện tích 2012 đơn vị diện tích Bài [DHA04] Cho hàm số y = x − 2m x + Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu, đồng thời điểm cực đại cực tiểu ( C ) lập thành tam giác vuông cân Bài Cho hàm số y = x − ( 3m − 1) x + 2m + Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu A , B , C cho ba điểm với D ( 7;3) thuộc đường tròn D Đáp số Bài m ≤ Bài m = 18 ;2 m= ;3  503  Bài m = ±1 Bài m =  ÷   ... Điểm cực đại f Giá trị cực đại (cực đại) f Điểm cực đại đồ thị hàm số f Điểm cực tiểu f Giá trị cực tiểu (cực tiểu) f Điểm cực tiểu đồ thị hàm số f Điểm cực trị f Cực trị f Điểm cực trị đồ thị hàm. .. Tóm tắt lý thuyết Xét hàm y = ax + bx + cx + d Điều kiện có cực trị • ( C) ( a ≠ ) Hàm số có cực trị ⇔ hàm số có hai cực trị ⇔ ( C ) có cực trị ⇔ ( C ) có hai điểm cực trị ⇔ y ' có hai nghiệm... thiên hàm số sau: Kết luận: hàm số đạt cực đại x = −1 , giá trị cực đại tương ứng y ( −1) = ; hàm số đạt cực tiểu x = , giá trị cực tiểu tương ứng y ( ) = Ví dụ [SGKNC] Sử dụng quy tắc tìm cực trị