phân dạng một số bài toán hàm số ôn thi tốt nghiệp

Phân dng mt s bài toán v hàm s đ ôn thi tt nghip – Ngô Th Lan - THPT s 4 Vn Bàn 1 Mc lc Trang Phn m đu 2 I/ Lí do chn đ tài – mc đích nghiên cu. 2 II/ i tng, phm vi nghiên cu ca đ tài. 3 Phn ni dung 4 I/ Tình trng vn đ hin ti. 4 II/ Ni dung ca gii pháp. 4 1. C s lý lun 2. Phân dng bài, phng pháp gii và bài tp vn dng. 5-14 * Loi 1. Vit phng trình tip tuyn vi đ th hàm s 5-6 * Loi 2. Bài toán v tính đn điu ca hàm s 7 * Loi 3. Bài toán v cc tr ca hàm s 8-9 * Loi 4. Bài toán v s tng giao gia hai đ th hàm s 10 * Loi 5. Bài toán v ng dng ca tích phân 11 * Loi 6. Gii phng trình, bt phng trình, chng minh đng thc liên quan đn đo hàm 12 * Loi 7. Bài toán tìm GTLN-GTNN ca hàm s trên [a;b] 13-14 III/ Kim nghim 14 Phn kt lun 14 Danh mc tài liu tham kho 15 Phân dng mt s bài toán v hàm s đ ôn thi tt nghip – Ngô Th Lan - THPT s 4 Vn Bàn 2 PHN M U I/ Lý do chn đ tài- Mc đích nghiên cu 1. Lí do chn đ tài Trng THPT s 4 Vn Bàn đc thành lp vào nm 2007, trng đang bc sang tui th 4, hin đang đc đóng nh trên đa bàn ca trng THCS khánh h vi mt không gian ht sc khiêm tn vi 13 lp trong đó có 4 lp 12, vi đi ng giáo viên rt tr. Nm 2009-2010 là nm đu tiên trng có hc sinh khi 12 tham gia thi tt nghip, điu đó đng ngha vi vic đi ng giáo viên ca trng nói chung, ca nhóm toán nói riêng ln đu tiên đc tip cn ôn thi tt nghip. Vi kt qu thi tt nghip môn toán rt thp so vi mt bng chung ca tnh (38,01%) điu đó đã làm cho bn thân tôi trn tr: Làm th nào đ môn toán s đt đc kt qu cao hn trong k thi tt nghip nm nay và trong các nm khác? iu đu tiên mà tôi bn khon nht là bn thân tôi và các thy cô trong nhóm toán ca trng đã xây dng cho hc sinh ca mình mt đ cng nh vy đã hp lý cha, có d hc không….? Trc mt thc trng nh vy, tôi đã mnh dn chn đ tài: ''Phân dng mt s bài toán v hàm s đ ôn thi tt nghip''. Tôi hy vng qua đ tài này s giúp cho các em hc sinh khi 12 nm đc các dng bài c bn v hàm s và bit vn dng phng pháp gii tt nht đ ly đc đim . Mt khác tôi hy vng s nhn đc nhiu s góp ý quý báu t nhng đng nghip có nhiu kinh nghim đ bn thân tôi và nhóm toán ca nhà trng có mt hng đi đúng đn cho nhng nm tip theo. 2. Mc đích nghiên cu. Xut phát t tình hình thc t ti nhà trng, do điu kin thi gian không cho phép, do kh nng nghiên cu còn hn hp, chuyên đ sáng kin kinh nghim này ch nhm ti hai mc đích c bn: + Giúp cho hc sinh 12 ôn thi tt nghip nm đc các dng bài c bn v hàm s Phân dng mt s bài toán v hàm s đ ôn thi tt nghip – Ngô Th Lan - THPT s 4 Vn Bàn 3 + Giúp hc sinh nm đc các phng pháp gii d nht đ ly đc đim. II/ i tng , phm vi nghiên cu. 1. i tng nghiên cu. Xut phát t lý do và mc đích nghiên cu trên, chuyên đ sáng kin kinh nghim này hng ti nhng đi tng nghiên cu sau: - Thc trng cht lng hc sinh thi gian trc khi thc hin đ tài. - Các gii pháp đa ra nhm nâng cao kt qu hc tp, thi c ca hc sinh. - Kt qu đt đc sau khi thc hin đ tài. 2. Phm vi nghiên cu. Xut phát t nhng vn đ trên, chuyên đ sáng kin kinh nghim này t gii hn trong phm vi nghiên cu: Phân dng mt s bài toán v hàm s đ ôn thi tt nghip. Chuyên đ gm nhng ni dung chính sau: Phn m đu I/ Lí do chn đ tài – mc đích nghiên cu. II/ i tng, phm vi nghiên cu ca đ tài. Phn ni dung I/ Thc trng chung II/ Ni dung ca gii pháp. 1. C s lý lun 2. Phân dng bài, phng pháp gii và bài tp vn dng. * Loi 1. Vit phng trình tip tuyn vi đ th hàm s * Loi 2. Bài toán v tính đn điu ca hàm s * Loi 3. Bài toán v cc tr ca hàm s * Loi 4. Bài toán v s tng giao gia hai đ th hàm s * Loi 5. Bài toán v ng dng ca tích phân Phân dng mt s bài toán v hàm s đ ôn thi tt nghip – Ngô Th Lan - THPT s 4 Vn Bàn 4 * Loi 6. Gii phng trình, bt phng trình, chng minh đng thc liên quan đn đo hàm * Loi 7. Bài toán tìm GTLN-GTNN ca hàm s trên [a;b] III/ Kim nghim VI/ Bài hc kinh nghim PHN NI DUNG I/ Tình trng vn đ hin ti Trng THPT s 4 huyn Vn Bàn thành lp ngày 12/7/2007 theo quyt đnh s 1604/Q-UBND ca UBND tnh Lào Cai. Trng đóng ti trung tâm xã Khánh Yên H, phc v nhu cu hc tp cho con em nhân dân 5 xã phía đông nam huyn Vn Bàn. Tuy nhiên, đn ngày 4/9/2007, trng mi chính thc đc công b thành lp. ây là mt trong nhng đn v trng hc non tr. Trong 5 xã thuc vùng tuyn ca nhà trng thì có 4 xã thuc d án 135. ó là nhng xã đc bit khó khn, mc sng và thu nhp ca nhân dân rt thp, có nhiu h thuc din đói nghèo, thng xuyên cn đn s cu tr ca nhà nc. Trng có 13 lp hc. Tt c đu là nhà tm (Nhà g, lp prô ximng) giá lnh v mùa đông, nóng bc v mùa hè. Tp th s phm giáo viên còn quá tr, nhit tình song li thiu kinh nghim ging dy và qun lí, giáo dc hc sinh. a s các em hc sinh đu có ý thc hc tp song ý chí vt khó, khc phc khó khn tr ngi trong hc tp cha cao, d b hoàn cnh khách quan tác đng. Nhiu hc sinh b rng kin thc t nhng lp di, thiu hiu bit v xã hi . II/ Ni dung ca gii pháp 1. C s lý lun Phân dng mt s bài toán v hàm s đ ôn thi tt nghip – Ngô Th Lan - THPT s 4 Vn Bàn 5 Xut phát t thc trng ti đa phng: Hoàn cnh mi thành lp ca nhà trng, mc sng và trình đ nhn thc ca nhân dân, thc trng ý thc, hc lc ca hc sinh trong thi đim hin ti. T thc trng ca nhà trng: i ng cán b giáo viên tr, tha nhit tình song li thiu kinh nghim trong ôn luyn cho hc sinh thi tt nghip. Tôi đã mnh dn đa ra đ tài nhm góp phn nâng cao t l b môn trong k thi tt nghip. 2. Phân dng bài, phng pháp gii và bài tp vn dng. */ Loi 1: Vit phng trình tip tuyn vi đ th hàm s a. Kin thc liên quan Phng trình tip tuyn vi đ th (C) ca hàm s y= f(x) ti M(x 0 ;y 0 ): Y =f’(x 0 )(x-x 0 )+y 0 (1) vi y 0 =f(x 0 ) M(x 0 ;y 0 ) ∈ (C): Ta đ tip đim f '(x o ): H s góc ca tip tuyn x o : Hoành đ tip đim y o : Tung đ tip đim. b. Dng bài 1.1. Dng 1: Lp phng trình tip tuyn vi đ th (C) ca hàm s y=f(x) ti : im M(x o ;y 0 ) im M có tung đ y o im M có hoành đ x o PP: + Xác đnh y o (hoc x o ) t phng trình: y o =f(x o ). + Tính y' ⇒ H s góc f'(x o ) + Thay x o , y o , f'(x o ) vào PTTT ( 1 ) PP: + Tính y' ⇒ H s góc f'(x o ) + Thay x o , y o , f'(x o ) vào PTTT (1) Phân dng mt s bài toán v hàm s đ ôn thi tt nghip – Ngô Th Lan - THPT s 4 Vn Bàn 6 1.2. Dng 2. Lp phng trình tip tuyn bit h s góc: Bit h s góc k Bit tip tuyn song song T y=ax+b Xác đnh h s góc k=a Xác đnh h s góc k= 1 a PP: + Tính y' + Gi s M(x 0 ; y 0 ) là tip đim, khi đó hoành đ x 0 là nghim ca phng trình f’(x 0 )=k + Gii phng trình tìm đc x 0 (Bài toán có dng 1.1 Bit TT vuông góc vi T y=ax+b (Lu ý: HS khá có th gii thiu cách 2 s dng h điu kin). c. Bài tp vn dng Bài 1. (TN 2007) Cho hàm s y=x 3 -3x+2. Vit phng trình tip tuyn ti đim A(2;4). Gii + x 0 =2, y 0 =4 + f’(x)=3x 2 -3 → f’(x 0 )=f’(2)=9. + Phng trình tip tuyn là: y=9(x-2)+4 hay y=9x-14 Bài 2. (TN 2004-PB) Cho y= x 3 -6x 2 +9x. Vit phng trình tip tuyn ti đim có hoành đ là nghim ca phng trình y’’=0. Gii + y’=3x 2 -12x, y’’=6x-12 Hoành đ tip tuyn tha mãn PT: 6x 0 -12=0 → x 0 =2, y 0 =f(x 0 )=4 + H s góc ca tip tuyn: f’(x 0 )=-12 PTTT: y=-12(x-2)+4 hay y= -12x+28 Bài 3. (TN 2008) Cho y=x 4 -2x 2 . Vit phng trình tip tuyn ca đ th hàm s ti đim có hoành đ x=-2. Phân dng mt s bài toán v hàm s đ ôn thi tt nghip – Ngô Th Lan - THPT s 4 Vn Bàn 7 Gii + x 0 =-2 → y 0 =8 + f’(x)=4x 3 -4x f’(x → 0 )=-24 PTTT: y=-24x-48 Bài 4. Lp phng trình tip tuyn vi đ th hàm s y= 1 1 x x + − ti giao đim ca đ th hàm s vi trc oy. Bài 5. (TN 2009) Cho y= 2 12 − + x x , vit phng trình tip tuyn vi đ th hàm s, bit h s góc ca tip tuyn bng -5. Gii + H s góc ca tip tuyn k=-5 + y’= () 2 2 5 − − x + Gi M(x 0 ; y 0 ) là tip đim, khi đó hoành đ x 0 là nghim ca phng trình f’(x 0 )=-5 Hay () 2 0 2 5 − − x =-5 → x 0 =3 và x 0 =1 + Vi x 0 =3 y → 0 =7, PTTT: y=-5x+23 + Vi x 0 =1, y → 0 =-3, PTTT: y=-5x+2 2. Loi 2. Bài toán v tính đn điu ca hàm s ( Ch xét bài toán liên quan ti hàm bc ba và hàm bc nht/ bc nht) a. Kin thc liên quan Du ca tam thc bc hai b. Dng bài Tìm tham s đ hàm s luôn đng bin( nghch bin) trên tp xác đnh. Phng pháp: + TX + Tính y’ +  hàm s luôn đng bin (nghch bin) trên TX thì y’ 0 TX(y’ ≤0 TX) (Lu ý: du = ch xy ra ti hu hn giá tr x). ≥ ∈∀x ∈∀x + Gii bt phng trình trên. + KL c. Bài tp vn dng Bài 1. Tìm m đ hàm s y= 3 3 x -(m+1)x 2 +4x-5 luôn đng bin trên tp xác đnh. Gii TX: D=R Phân dng mt s bài toán v hàm s đ ôn thi tt nghip – Ngô Th Lan - THPT s 4 Vn Bàn 8 Y’= x 2 -2(m-1)x+4.  hàm s luôn đng bin trên R thì y’≥0 R. Hay x ∈∀x 2 -2(m-1)x+4 ≥ 0 R ∈∀x → ⎩ ⎨ ⎧ > ≤Δ 0 0 a ⎩ ⎨ ⎧ ∀>= ≤≤− ↔ ma m 01 31 KL: -1 3≤≤ m Bài 2. Cho y= 1+ − x mx , tìm m đ hàm s luôn nghch bin trên hai khong xác đnh. Gii TX: D=R\{-1} Y’= () 2 1 1 + + x m  hàm s luôn nghch bin trên hai khong xác đnh thì y’<0 D. ∈∀x Hay () 2 1 1 + + x m <0 D 1+m<0 m<-1 ∈∀x → → KL: m<-1 3. Loi 3. Bài toán v cc tr ca hàm s (Ch xét vi hàm s b3, trùng phng) a. Kin thc liên quan + Hàm s y=f(x) có n cc tr trên D khi và ch khi y’=0 có n nghim phân bit trên D. + Hàm s bc ba có hai cc tr hoc không có cc tr + Hàm trùng phng có 3 cc tr hoc có mt cc tr. b. Dng bài 3.1. Dng 1. Tìm tham s đ hàm s có cc tr Phng pháp: + TX + Tính y’ Phân dng mt s bài toán v hàm s đ ôn thi tt nghip – Ngô Th Lan - THPT s 4 Vn Bàn 9 + Hàm s y=f(x) có n cc tr trên D khi và ch khi y’=0 có n nghim phân bit trên D. 3.2. Tìm tham s đ hàm s y=f(x) đt cc tr ti đim x 0 : Phng pháp: Cách 1: + TX + Tính y' + Hàm s đt cc tr ti x o thì y'(x o )=0 Tìm đc tham s ( gi s tham s là m) ⇒ + Thay m vào y' và lp bng du y' ( đ chng t y' đi du qua x 0 ). Cách 2: Dành cho hc sinh khá Hàm s đt cc tr ti x 0 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≠ = ↔ 0)( 0)( 0 '' 0 ' xy xy 3.3. Dng: Tìm tham s đ hàm s đt cc đi (cc tiu ) ti x 0 . Phng pháp: Cách 1. + TX + Tính ý + Hàm s đt cc đi (cc tiu) ti x o thì y'(x o ) =0 Tìm đc tham s m ⇒ + Thay tham s m vào y' và lp bng du y' . Kt lun y' đi du t + sang – ( y' đi du t - sang dng) Cách 2: Dành cho hc sinh khá + iu kin đ hàm s đt cc đi (cc tiu) ti x 0 : ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < = 0)( 0)( 0 '' 0 ' xy xy ( ) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > = 0)( 0)( 0 '' 0 ' xy xy c. Bài tp vn dng Phân dng mt s bài toán v hàm s đ ôn thi tt nghip – Ngô Th Lan - THPT s 4 Vn Bàn 10 Bài 1. Tìm m đ hàm s sau có cc tr y= 1)2( 3 2 3 −++− xmmx x Gii TX: D=R Y’=x 2 -2mx+m+2  hàm s cc tr thì y’=0 có hai nghim phân bit Hay >0 m ' Δ ↔ 2 -m-2>0 → m<-1 hoc m>2 Bài 2. Cho hàm s y= -x 3 -(2m-1)x 2 +(m-5)x+1. Tìm m đ hàm s đt cc tr ti đim x=1 Gii TX: D=R Y’=-3x 2 -2(2m-1)x+m-5 Y’’=-6x-4m+2  hàm s đt cc tr ti x=1 ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ ≠ = 0)1('' 0)1(' y y 360 44 0 m m − −= ⎧ ⇔ ⎨ − −≠ ⎩⎩ ⎨ ⎧ −≠ −= → 1 2 m m KL: m=-2 Bài 3. Tìm m đ hàm s y=x 3 -3mx 2 +(m-1)x+2 đt cc tiu ti x=2 Gii TX: D=R Y’=3x 2 -6mx+m-1 Y’’=6x-6m  hàm s đt cc tiu ti x=2 ⇔ '(2) 0 11 11 0 ''(2) 0 12 6 0 ym ym = −+= ⎧⎧ ⇔ ⎨⎨ >−> ⎩⎩ ⎩ ⎨ ⎧ < = → 2 1 m m KL: m=1 Bài 4. Cho y= x 4 +(m-1)x 2 -1. Tìm m đ hàm s có cc đi, cc tiu. Gii [...].. .Phân d ng m t s bài toán v hàm s ôn thi t t nghi p – Ngô Th Lan - THPT s 4 V n Bàn TX : D=R Y'=4x3+2x(m-1) hàm s có c c i, c c ti u y'=0 có 3 nghi m thu c R 3 Hay 4x +2x(m-1) =0 (*)có 3 nghi m thu c R 2x(2x2+m-1)=0 x 0 g ( x) 2 x 2 m 1 0 (*) có 3 nghi m phân bi t thì g(x)=0 có hai nghi m phân bi t khác 0 K 0 g (0) 0 KL: m . toán v cc tr ca hàm s * Loi 4. Bài toán v s tng giao gia hai đ th hàm s * Loi 5. Bài toán v ng dng ca tích phân Phân dng mt s bài toán v hàm s đ ôn thi tt nghip –. hai mc đích c bn: + Giúp cho hc sinh 12 ôn thi tt nghip nm đc các dng bài c bn v hàm s Phân dng mt s bài toán v hàm s đ ôn thi tt nghip – Ngô Th Lan - THPT s 4 Vn. trên. + KL c. Bài tp vn dng Bài 1. Tìm m đ hàm s y= 3 3 x -(m+1)x 2 +4x-5 luôn đng bin trên tp xác đnh. Gii TX: D=R Phân dng mt s bài toán v hàm s đ ôn thi tt nghip