sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số

SỬ DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤTCỦA HÀM SỐ I.. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Ta thường gặp hai dạng bài toán sau: Bài toán 1.. Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng a;b r

SỬ DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT

CỦA HÀM SỐ

I TÓM TẮT LÍ THUYẾT

Cho hàm số xác định trên D

+Nếu ( ) : ( ),

f x M x D

≤ ∀ ∈



 thì max ( )x D f x M

+Nếu ( ) : ( ),

f x m x D

x D f x m

≥ ∀ ∈



 thì min ( )x D f x m

II PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Ta thường gặp hai dạng bài toán sau:

Bài toán 1 Cho hàm số y=f(x) liên tục trên khoảng (a;b) (a có thể là -∞, b có thể là

+∞) Hãy tìm max ( )( ; )a b f x và min ( )( ; )a b f x (nếu chúng tồn tại)

Cách giải Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng (a;b) rồi dựa vào đó mà kết

luận Nếu trên khoảng (a;b) có một cực trị duy nhất là cực đại (hoặc cực tiểu), thì giá trị cực đại đó là giá trị lớn nhất(giá trị cực tiểu đó là giá trị nhỏ nhất) của hàm số đã cho trên khoảng (a;b)

Bài toán 2 Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và chỉ có một số hữu hạn

điểm tới hạn trên đoạn đó Hãi tìm max ( )[ ; ]a b f x và min ( )[ ; ]a b f x

Cách giải 1 Để giải bài toán này , ta có thể áp dụng cách giải của bài toán trên, tức

là lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn [a;b] rồi dựa vào đó mà kết luận

Cách giải 2.Ta có quy tắc sau đây:

1) Tìm các điểm tới hạn x 1 , x 2 , …., x n của f(x) trên đoạn [a;b].

2) Tính f(a), f(x 1 ), f(x 2 ), …, f(x n ), f(b).

3) max ( ) max[ ; ] { ( ), ( ) ( )1 , 2 , , ( )}

a b f x = f a f x f x f b ;

[ ; ]

min ( ) min , , , ,

a b f x = f a f x f x f b

III BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1

Tìm GTLN, GTNN của hàm số : (Bài tập 3a trang 66 Sgk)

y x= − 3 3x2 − 9x+ 35 trên đoạn [-4;4]

Bài làm

Ta có: y, = 3x2 − 6x− 9 , , 2 1

3

x

x

= −



= ⇔ − − = ⇔  =

Cả hai giá trị này đều thuộc đoạn [-4;4]

f(-4)=-41, f(-1)= 40, f(3)= 8, f(4)=15

Vậy max ( ) 40[ 4;4]− f x = và [ 4;4]min ( )− f x = −41

Bài 2

Tìm GTLN, GTNN của hàm số : (Bài tập 3d trang 66 Sgk)

y= sin 2x x− trên đoạn ;

2 2

π π

− 

Bài làm

Ta có: y, = 2cos 2x− 1

,

2 2 1 6 0 2cos 2 1 0 cos 2 2 2 2 6 x k y x x x l π π π π  = +  = ⇔ − = ⇔ = ⇔   = − +  Trên đoạn ; 2 2 π π −      phương trình trên có nghiệm là 2x = ± 3 π 6 x π ⇔ = ± 3 3 , , , 2 2 2 2 6 2 6 6 2 6 f −π =π f   π = −π f −π = − +π f   π = −π  ÷  ÷  ÷  ÷         Vậy max y = 2 π , min y = 2 π Bài 3 Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số(Bài tập 3b trang 66 Sgk) y= x2 − + 3x 2 trên đoạn [-10;10] Bài làm Ta có [ ] [ ]

[ ] 2 2 3 2, 10;1 2;10 3 2, 1; 2 x x x y x x x  − + ∈ − ∪  = − + − ∈ 

[ ] [ ] [ ] , 2 3, 10;1 2;10 2 3, 1;2 x x y x x  − ∈ − ∪  = − + ∈  Bảng biến thiên x -10 1 3

2 2 10

, y - + 0 - +

y(x) 132 1

4 72

0 0

Nhìn vào bảng biến thiên suy ra miền giá trị của y là [0;132]

max ( ) 132[ ; ]a b f x = , min ( ) 0[ ; ]a b f x =

Bài 4

Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số

f x( ) = + 1 2cosx + + 1 2sinx

Bài làm

Ta có f2 ( )x = + 6 4(cosx+ sin ) 2 1 2(cosx + + x+ sin ) 2sin 2x + x

Đặt t=sinx + cosx (t ≤ 2) ⇒ = +t2 1 sin 2x Khi đó :

( )

2 ( ) 2( 2 2 2 1 2 3)

f x =g t = t + − + +t t với t ≤ 2 Ta có

2(2t2 + + 4t 2) với 2; 1 3 1 3; 2

g(t) =

− 4t2 + 8 với 1 3; 1 3

t − − − + 

,

( )

t t

g t

t t

− − − +



Bảng biến thiên:

t

− 2 1 3

2

− − 0 1 3

2

− +

2

( )

,

g x - + 0 - +

g(x)

4 2 3 −

Nhìn vào bảng biến thiên suy ra miền giá trị của g(t) là 4 2 3; 4( 2 1)− + 2 

Do f(x)≥0 nên minf x = 4 2 3 = 3 1( ) − − ; max f x =4( 2 1)( ) + 2

Bài 5.

Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình

2

12

12x 6mx m 4 0

m

Tìm m sao cho 3 3

x +x

a) Đạt GTNN b) Đạt GTLN

Bài làm:

Để phương trình có nghiệm ⇔ ∆ ≥ ⇔ ≤, 0 4 m2 ≤12⇔ ∈ −m  2 3; 2− ∪  2; 2 3 

Theo định lí Vi- et thì 1 2

2

m

12

m

3

2 2

m

m

2

4( 2 1) +

4 2 3 +

8

2

4( 2 1) −

,

2

2 2

m

= + > ∀ ≠ .

Bảng biến thiên :

m -∞ − 2 3 -2 0 2 2 3 +∞

,

F + +

F

1

4

Do đó F lớn nhất = 3 3

4

F nhỏ nhất = 3 3

4

−

Bài 6

Tìm GTLN và GTNN của hàm số :

1 sin64 cos64

1 sin cos

y

=

Bài làm

Ta có :

2

2

3

2 sin 2

4 1

2 sin 2

2

x y

x

−

=

−

Đặt X = sin 2 , 2 x X∈[ ]0;1 ta có ( )

3

4

2 2

y F X

X

−

Suy ra ( )

,

2

8

0, 0;1

X

−

− nên F(X) nghịch biến trên đoạn [0;1] Do đó

GTLN của F(X) = F(0)=1, GTLN của F(X) = F(1)= 5

6

Bài 7

Cho phương trình : 2x2 + 2(m+ 1)x m+ 2 + 4m+ = 3 0

Gọi x1, x2 là các nghiệm Tìm GTLN của A= x x1 2 − 2(x1 +x2 )

Bài làm:

Để phương trình có nghiệm ⇔ ∆ ≥ ⇔ 0 m2 + 6m+ ≤ ⇔ − ≤ ≤ − 5 0 5 m 1

Theo định lí Vi – et ta có 1 2 ( 1 , ) 1 2 2 4 3

2

x + = −x m+ x x = + +

3 3 4

4

3 3 4

( ) ( )

2

A= + + + m+ = m + m+ = − m + m+ trên đoạn [-5;-1]

Do đó A, = − −m 4 trên đoạn [-5;-1] Bảng biến thiên

m -5 -4 -1

,

A + 0

-A 9

2

4 0

Vậy GTLN của A bằng 9

2

Ta còn gặp bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm hai biến sô

Bài 8

Cho x2 +y2 = 1 Tìm max, min của 2( 22)

xy y S

xy x

+

=

Bài làm

S

Nếu y=0 thì S=0

Nếu y≠0 thì chia cả tử và mẫu của S cho y2, ta có

( )

x

S

t t

 + 

+ +

  + +

 ÷

 

với t x

y

=

,

2 3 6 1 (3 2 1)

t t S

t t

=

S = ⇔ =t − − t =− +

Mặt khác ( )

2

x

t

t t

→∞

+ +

Bảng biến thiên:

t -∞ t1 t2 +∞

,

S 0 + 0

-S 0 2+2 6

2 6

2

−

0

Nhìn vào bảng biến thiên suy ra: min 2 6

2

max

2

S = +

Bài 9

Tìm giá trị nhỏ nhất của

F

= + − + ÷+ +

  Với a,b≠0

Bài làm

Đặt X a b

b a

= + Thì X ≥ ∀ 2, a b, ≠ 0 Khi đó

F = X − − − X − + =X X − X + +X

F = X − x+ , F,, = 12X2 − 10

Suy ra:

X≥2 ⇒F,, > ⇒ 0 F X, ( ) ≥F, ( ) 2 = 13 0 >

X≤-2⇒F,, > ⇒ 0 F X, ( ) ≥F, ( ) − = − 2 11

Bảng biến thiên

X -∞ -2 2 +∞

,

F - +

F

+∞ +∞

-2 2 Giá trị nhỏ nhất của F = -2

Bài 10

Cho x,y≥0 và x+y = 1 Tìm GTLN, GTNN của

S x1 y1

Bài làm

Từ giả thiết suy ra 0 1

4

xy

≤ ≤

Ta có

1

x y x y

S

xy x y

+ + +

=

+ + +

( )2

1

x y xy

xy x y

=

+ + +

= 2 22−+xy xy

Đặt xy = t (0 1

4

t

≤ ≤ ), suy ra 2 2

2

t S

t

−

= + ( )

,

2

6

2

t

−

thiên

Nhìn vào bảng biến thiên ta suy ra: GTLN của S bằng 1; GTNN của S bằng 2

3

Bài 11

x ≥ 0

Cho hai số thực x, y thoã mãn : y ≥ 1

x+y = 3

Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức : P = x3 + 2y2 +3x2 + 4xy - 5x

Bài làm

x ≥ 0

x + y = 3 => y = 3 - x Ta có => 0 ≤ x ≤ 2

y ≥ 1

P = x3 + x2 – 5x + 2(y2 +2xy + x2) = x3 + x2 – 5x + 2(x + y)2 = x3 + x2 – 5x + 18

Xét f(x) = x3 + x2 – 5x + 18 ; ∀ ∈x [0;2]

f’(x) = 3x2 + 2x – 5 ; f’(x) = 0 <=>

1 5 3

x x

=





 = −



; 5

3

x= − loại

Ta có f(0) = 18 ; f(1) = 15 ; f(2) = 20

Vậy GTLN của P bằng 20 ; GTNN của P bằng 15

Bài tập tự giải:

Bài 1.Với giá trị nào của m thì hàm số:

y= x2 − 5x+ + 4 mx có GTNN lớn hơn 1?

Bài 2.Tìm p,q để giá trị lớn nhất của hàm số

y= x2 +px q+

trên đoạn [-1;1] là bé nhất

Bài 3 Cho x, y > 0 và x + y =1

Tìm GTNN của S 1x 1y

Bài 4 Giả sử 2

2

1 0

x px

p

+ + = có nghiệm x1 , x2 Tìm p ≠ 0 sao cho S = x14 + x24 nhỏ nhất