dạy học hàm số - đại số với sự hỗ trợ của phần mền geometer’s sketchpad

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ –––––––––– HUỲNH HỮU ĐÀO VŨ DẠY HỌC HÀM SỐ - ĐẠI SỐ 10 VỚI SỰ HỖ TRỢ CỦA PHẦN MỀM GEOMETER’S SKETCHPAD Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MƠN TỐN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Cần Thơ, 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ –––––––––– HUỲNH HỮU ĐÀO VŨ DẠY HỌC HÀM SỐ - ĐẠI SỐ 10 VỚI SỰ HỖ TRỢ CỦA PHẦN MỀM GEOMETER’S SKETCHPAD Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MÔN TOÁN Mã số: 60.14.10 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học Ts CHU TRỌNG THANH Cần Thơ, 2012 - ii - Lời cam đoan Tơi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chƣa đƣợc công bố cơng trình khác Các số liệu trích dẫn q trình nghiên cứu điều đƣợc ghi rõ nguồn gốc Tác giả luận văn HUỲNH HỮU ĐÀO VŨ - iii - Lời cảm ơn Trong trình nghiên cứu viết luận văn tơi nhận đƣợc quan tâm, hƣớng dẫn, giúp đỡ nhiều tập thể, cá nhân ngồi trƣờng Tơi xin chân thành cảm ơn quan tâm dạy bảo Thầy Cô giáo trƣờng Đại học Cần Thơ, Ban giám hiệu Thầy Cô trƣờng THPT Mỹ Xuyên giúp đỡ tơi hồn thành luận văn tốt Đặc biệt xin đƣợc gởi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS TS Nguyễn Phú Lộc, TS Chu Trọng Thanh trực tiếp hƣớng dẫn, bảo tận tình để tơi hồn thành tốt luận văn Cuối cùng, tơi xin chân thành cảm ơn anh, chị, bạn bè gia đình tạo điều kiện khích lệ tơi hồn thành luận văn Tác giả luận văn HUỲNH HỮU ĐÀO VŨ - iv - Mục lục Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục iv Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt vii Danh mục bảng viii Danh mục hình x MỞ ĐẦU 1 Lịch sử vấn đề nghiên cứu Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Giả thuyết nghiên cứu Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu 7 Phƣơng pháp nghiên cứu Đóng góp luận văn Cấu trúc luận văn Chương CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Cơ sở lý luận 1.1.1 Cơ sở tâm lý học việc dạy học toán với hỗ trợ PMDH 1.1.2 Cơ sở giáo dục học việc dạy học toán với hỗ trợ PMDH 10 1.1.3 Đặc trƣng PPDH tích cực 11 1.1.4 Mục tiêu cần đạt dạy học hàm số trƣờng phổ thông 16 1.2 Cơ sở thực tiễn 20 1.2.1 Vai trò CNTT dạy học 20 1.2.2 Vai trò CNTT q trình dạy học tốn 25 1.2.3 Chức PMDH GSP tình dạy học tốn điển hình 28 -v- 1.2.4 Các định hƣớng đổi PPDH trƣờng phổ thông thực trạng dạy học hàm số - đại số 10 - trƣờng phổ thông 29 Kết luận chƣơng 35 Chương ỨNG DỤNG CỦA PHẦN MỀM GEOMETER’S SKETCHPAD TRONG DẠY HỌC CHƢƠNG HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI - ĐẠI SỐ 10 36 2.1 Giới thiệu phần mềm GSP tính khả dụng dạy học chƣơng Hàm số bậc bậc hai - Đại số 10 36 2.1.1 Tổng quan phần mềm 36 2.1.2 Các thao tác 44 2.1.2.4 Vẽ đồ thị hàm số 48 2.1.3 Các thủ thuật nâng cao 50 2.2 Sử dụng dạy học hàm số 56 2.2.1 Đồ thị hệ tọa độ 57 2.2.2 Khai thác đồ thị hàm số với hỗ trợ GSP 62 2.2.3 Ứng dụng GSP dạy học khái niệm hàm số 68 2.2.4 Ứng dụng GSP dạy học tính chất, định lý hàm số 79 2.2.5 Ứng dụng GSP dạy học kiến thức quy trình giải tập tốn học có liên quan đến hàm số 87 2.2.6 Ứng dụng GSP dạy học ôn tập chƣơng Hàm số bậc bậc hai 93 Kết luận chƣơng 98 Chương THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 99 3.1 Mục đích thực nghiệm 99 3.2 Nội dung thực nghiệm 99 3.2.1 Phân tích tiên nghiệm 99 3.2.2 Cơ sở xây dựng toán thực nghiệm .101 3.2.3 Nội dung toán thực nghiệm phân tích chi tiết tốn 103 3.3 Tổ chức thực nghiệm 109 - vi - 3.4 Kết thực nghiệm 110 3.4.1 Ghi nhận tổng quát 110 3.4.2 Phân tích chi tiết 112 Kết luận chƣơng .116 KẾT LUẬN 117 TÀI LIỆU THAM KHẢO 119 PHỤ LỤC 122 - vii - Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt Ký hiệu Diễn giải HS học sinh GV giáo viên CNTT công nghệ thông tin SGK sách giáo khoa PPDH phƣơng pháp dạy học PTDH phƣơng tiện dạy học PMDH phần mềm dạy học BGĐT giảng điện tử MTĐT Máy tính điện tử TN Thực nghiệm ĐC Đối chứng HĐ Hoạt động - viii - Danh mục bảng Bảng 1.1 So sánh đặc trƣng PPDH truyền thống với PPDH tích cực 14 Bảng 1.2 Nội dung điều chỉnh mơn tốn Lớp 30 Bảng 1.3 Nội dung điều chỉnh môn toán Lớp 30 Bảng 1.4 Nội dung điều chỉnh mơn tốn Lớp 10 31 Bảng 2.1 Hoạt động dạy học kiến tạo khái niệm hàm số 68 Bảng 2.2 70 Bảng 2.3 72 Bảng 2.4 Củng cố học 80 Bảng 2.5 Hoạt động dạy học kiến tạo tính chất hàm số 81 Bảng 2.6 89 Bảng 2.7 89 Bảng 2.8 Hoạt động dạy học kiến thức quy trình giải tập hàm số 92 Bảng 2.9 Hoạt động dạy học ôn tập 93 Bảng 3.1 Thống kê điểm pre-test 100 Bảng 3.2 Bảng phân bố tần suất học lực post-test 100 Bảng 3.3 Mục tiêu chƣơng trình 102 Bảng 3.4 Mức độ nhận thức 102 Bảng 3.5 103 Bảng 3.6 103 Bảng 3.7 103 Bảng 3.8 104 Bảng 3.9 104 Bảng 3.10 Các thang bậc nhận thức theo Bloom (cải tiến) .108 Bảng 3.11 Phân bố lớp thực nghiệm-đối chứng 109 Bảng 3.12 Thống kê điểm post - test 111 Bảng 3.13 Bảng phân bố tần suất học lực post-test 111 - ix - Bảng 3.14 Các thông số thống kê 112 Bảng 3.15 Z-Test: Two Sample for Means 113 Bảng 3.16 Bảng thống kê thái độ HS chƣơng trình thực nghiệm .114 - 134 - a.g  x   x2 b.h  x   x    x Hàm phút số cho nhiều cơng thức Một hàm số đƣợc cho Bảng hai, ba,… công thức Chẳng hạn, phấn cho hàm số 2 x  1khix  y  x khix  Hoạt động sgk: Tính giá trị hàm số x = -2 x = phút Tiếp cận khái niệm đồ thị hàm số Em hiểu đồ thị hàm File Đồ thị hàm số y = số? Một điểm thuộc đồ thị hàm số tạo vết f(x) xác định tập thị tọa độ có đặc điểm gì? hình D tập hợp tất thành điểm M(x;f(x)) đồ thị mặt phẳng tọa độ với x thuộc D Hoạt động sgk: dựa vào đồ thị hai hàm số f  x   x  g  x  x Đọc đồ a Tính f(-2); f(-1); f(0); f(2); g(thị 1); g(-2); g(0) b Tìm x cho f(x) = Tìm x cho f(x) = Củng phút cố H1: Điều kiện để y hàm số x gì? H2: Dùng ký hiệu tốn học điễn đạt khái niệm: tập xác định, tâp giá trị đồ thị hàm số Tiếp phút cận Dựa vào đồ thị hai hàm số File chuyển Các khái niệm: hàm số, tập xác định hàm số tập giá trị hàm số, đồ thị hàm số - 135 - khái f  x   x  g  x   x động niệm biến nhận xét thay đổi tƣơng ứng điểm thiên giá trị y giá trị x tăng dần đƣờng hàm số Với điều kiện hàm số Tổng quát [sgk, tr 36] y = f(x) gọi đồng biến (nghịch biến) tên khoảng (a;b) Khái phút quát hóa phƣơng pháp xét biến thiên hàm số khoảng (a;b) x1  x2  x2  x1  f  x1   f  x2   f  x2   f  x1   Bảng phấn Nếu x1 , x2   a; b  : x1  x2 f  x2   f  x1  0 x2  x1 f  x1   f  x2   f  x2   f  x1   hàm số đồng biến Nếu x1 , x2   a; b  : x1  x2 Kêt xét biến thiên đƣợc tổng kết bảng gọi bảng biến thiên f  x2   f  x1  0 x2  x1 hàm số ngịch biến Vận Xét biến thiên hàm số Bảng khoảng phút dung phấn phƣơng pháp a y  x b y  x  xét biến thiên Tiếp phút cận khái niệm hàm số chẵn, lẻ Từ đồ thị hai hàm số f  x   x2 g  x   x nhận xét giá trị y tƣơng ứng hai giá trị đối biến số x phút Hoạt động sgk: Xét tính chẵn, lẻ hàm số Hãy khái quát nhận xét thành đặc trung hàm số chẵn (lẻ) a y  3x  File Tổng quát [sgk, tr 38] tham chiếu tọa độ - 136 - 10 Hình Hãy nhận xét, lời giải chỗ chƣa chặt chẽ phút thành quy Cách khắc phục gì? trình xét tính chẵn, lẻ hàm số Sơ đồ xét tính chẵn, lẻ hàm số Tìm tập xác định D Nếu x  Dsaocho  x  D hàm số không chẵn không lẻ Nếu x  D  x  D sang bƣớc Nếu f  x  f  x  hàm số chẵn Nếu f   x    f  x  hàm số lẻ  f x  f  x   f x   f  x  Nếu  hàm số khơng chẵn không lẻ Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng Củng phút cố Xét tính chẵn, lẻ hàm số a y  x b y   x   Bài kiểm số Bài nhà Bài 1; trang 38, 3; 4c,4d trang 39 - 137 - Lớp: ……… Họ tên học sinh: ……………………………… BÀI KIỂM SỐ Câu Trong điểm sau, điểm thuộc đồ thị hàm số: y  f  x   2x  A(0;1); B(1;0); C(-2;-3); D(-3;19) Câu Tìm tập xác định hàm số a.y  x 1 b.y   x 1 x2 Câu Xét biến thiên hàm số y  2x khoảng  0; Câu Xét tính chẵn, lẻ hàm số y  x  x Câu Vẽ đồ thị hàm số a y  f  x   2x  b y  f  x   2x - 138 - PHỤ LỤC (Giáo án Hàm số y = ax + b kiểm số 2) Trƣờng THPT Mỹ Xuyên Tổ toán – tin học Giáo viên Huỳnh Hữu Đào Vũ Kế hoạch lên lớp HÀM SỐ y = ax + b I Mục tiêu học - Kiến thức: Qua học học sinh hiểu biến thiên đồ thị hàm số bậc nhất, cách vẽ đồ thị hàm số y  x , đồ thị hàm số y  ax  b ,  a  0 - Kỹ năng: Qua học học sinh thành thạo việc xác định chiều biến thiên vẽ đồ thị hàm số bậc nhất; vẽ đƣợc đồ thị hàm số y  x , đồ thị hàm số y  ax  b ,  a  0 biết tìm tọa độ giao điểm hai đƣờng thẳng có phƣơng trình cho trƣớc; khảo sát đƣợc biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho hàm số bậc khoảng khác - Vận dụng: Qua học học sinh vận dụng kiến thức hàm số bậc tƣ hàm vào vấn đề tƣơng quan tuyến tính gặp sống, vận dụng kĩ đƣợc học vào giải tập có liên quan đến hàm số Từ hình thành thói quen tốn học hóa vấn đề gặp phải sống u thích mơn học II Phƣơng pháp Kết hợp phƣơng pháp trực quan, hoạt động nhóm, khám phá, vấn đáp gợi mở III Phƣơng tiện dạy học - Dành cho giáo viên: Bài giảng điện tử, máy chiếu, bảng tƣơng tác thông minh - Dành cho học sinh: bảng phụ IV Hoạt động dạy học - 139 - Thời lƣợng Tên hoạt động Nội dung hoạt động Học cụ 10 phút Kiểm tra Vẽ đồ thị hàm số y = x Bảng kiến thức Tìm giá trị tƣơng ứng hàm phụ số x = -1; 0; cũ Điểm sau thuộc đồ thị hàm số A(3;9); B(-3;4) Từ đồ thị hàm số, nêu nhận xét biến thiên hàm số tập xác định Xác định điểm sau mặt phẳng tọa độ Oxy: A(0;2); B(5;2) Vẽ đƣờng thẳng (d) qua hai điểm A, B Điểm C(-1;2) có thuộc đƣờng thẳng (d) không? 15 phút Khảo hàm sát  xkhix  số x   xkhix   y x Tìm tập xác định hàm số Lập bảng biến thiên hàm số Vẽ đồ thị hàm số y  x hàm số chẵn hay lẻ? Giải thích 15 phút Khảo hàm sát Lập bảng biến thiên vẽ đồ số thị hàm số y  x  y  ax  b phút Củng cố Hãy lập bảng tổng kết tính chất hàm số sau y  ax  b ; y x phút Bài tập học sinh: Vẽ đồ thị hàm trang 41 số phút Bài tập nhóm (2 nhóm/ câu): Xác Bảng trang 42 định a, b để đồ thị hàm số phụ y  ax  b qua hai điểm Ghi - 140 - 10 phút Bài tập nhóm (3 nhóm/ câu): Viết trang 42 phƣơng trình y  ax  b đƣờng thẳng a Đi qua hai điểm A(4;3); B(2;-1) b Đi qua A(1;-1) song song với Ox 15 phút Bài tập nhóm (3 nhóm/ câu): Vẽ đồ trang 42 thị hàm số  xkhix   a y     xkhix    x  1khix  b y   2 x  4khix  Củng cố Chuẩn bị hoạt động dặn dò Xem đọc thêm trang 46 - 141 - Lớp: ……… Họ tên học sinh: ……………………………… BÀI KIỂM SỐ Câu a Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị hàm số y  3x  (d) b Vẽ đƣờng thẳng y  1 (d’) hệ trục tọa độ câu a c Tìm tọa độ giao điểm hai đồ thị (d) (d’) Câu a Vẽ đồ thị hàm số y  x b Tìm giá trị nhỏ hàm số y  x Câu Xác định hàm số y  ax  b biết: a Đồ thị hàm số (d) qua hai điểm A(1;-2); B(-1;6) b Đồ thị hàm số (d) qua điểm M(-2;-5) song song với đƣờng thẳng (d’): y  3x  - 142 - PHỤ LỤC (Giáo án Hàm số Hàm số bậc hai kiểm số 3) Trƣờng THPT Mỹ Xuyên Tổ toán – tin học Giáo viên Huỳnh Hữu Đào Vũ Kế hoạch lên lớp HÀM SỐ BẬC HAI I Mục tiêu học - Kiến thức: Qua học HS hiểu khái niệm tính chất hàm số bậc hai gồm: công thức biểu diễn hàm số, tập xác định hàm số, tập giá trị hàm số, biến thiên hàm số, đồ thị hàm số tính chất đối xứng đồ thị hàm số - Kỹ năng: Qua học học sinh biết xét biến thiên vẽ đồ thị hàm số bậc hai - Vận dụng: Qua học học sinh vận dụng kiến thức hàm số bậc hai tƣ hàm vào vấn đề gặp sống, vận dụng kĩ đƣợc học vào giải tập có liên quan đến hàm số bậc hai Từ hình thành thói quen tốn học hóa vấn đề gặp phải sống u thích mơn học II Phƣơng pháp Kết hợp phƣơng pháp trực quan, hoạt động nhóm, khám phá, vấn đáp gợi mở III Phƣơng tiện dạy học - Dành cho giáo viên: Bài giảng điện tử, máy chiếu, bảng tƣơng tác thông minh - Dành cho học sinh: bảng phụ - 143 - IV Hoạt động dạy học Thời lƣợn g Tên hoạt động Nội dung hoạt động Học cụ Nội dung cần đạt Huy động kiến Trị chơi chữ vƣợt File Powe phút thức cũ chƣớng ngại vật r Point Định dạng hàm Từ khái bậc đa thức biến, nêu phút số bậc hai ví dụ hàm số bậc hai Nhắc lại kết phút biết hàm số y  ax ,a  Các dạng: y  ax ,a  y  ax  bx ,a  y  ax  bx + c ,a  Liệt kê hình Tọa độ đỉnh Hình dáng Tính đối xứng đồ thị 10 Liên hệ hai Biến đổi biểu thức phút hàm số y  ax y  ax  bx + c 2 y  ax  bx + c dạng Y  aX Xác định trục đối xứng, với a  File tọa độ đỉnh GSP parabol hình y  ax  bx + c  Y  aX với b Xx ; 2a  Y  y 4a Hình dáng đồ thị hai hàm số giống Xác định cách vẽ phút đồ thị hàm số y  ax  bx + c với a  Nhắc lại cách vẽ đồ thị hàm số y  ax ,a  Từ nêu cách vễ đồ thị hàm số y  ax  bx + c ,a  Liệt kê hình Trục đối xứng x   b 2a   b Đỉnh I   ,    2a 4a  Điểm đặc biệt Vẽ trục đối xứng đồ thị hàm số - 144 - Vận dụng phút Vẽ đồ thị hàm số File GSP y  x -4x+3 Từ đồ thị hàm số cho biết hàm số đồng biến (nghịch biến) khoảng nào? Khái quát hóa Hãy khoảng File phút biến thiên đồng biến (nghịch GSP biến) hàm số hàm số bậc hai a  0, a  Củng cố, hƣớng Điền vào chỗ trống Phiếu - Hàm số bậc hai có học phút dẫn nhà dạng tập - Đồ thị hàm số bậc hai - Sắp xếp bƣớc sau để vẽ đƣợc parabol: a Đỉnh b Điểm đặc biệt c Vẽ đồ thị d Vẽ trục đối xứng e Xác định trục đối xứng Làm tập 1,2,3 trang 49 Định lý trang 46 - 145 - Lớp: ……… Họ tên học sinh: ……………………………… BÀI KIỂM SỐ Câu a Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị hàm số y  3x  x  b Tìm giá trị nhỏ hàm số c Tìm x để y < Câu Tìm phƣơng trình parabol (P): y  ax  bx  c biết a (P) qua ba điểm M(0;-1); N(1;-1); P(-1;1) b (P) qua điểm M(0;1) có đỉnh D(-2;5) - 146 - PHỤ LỤC (Giáo án Ôn tập chương k iểm số 4) Trƣờng THPT Mỹ Xuyên Tổ toán – tin học Giáo viên Huỳnh Hữu Đào Vũ Kế hoạch lên lớp ÔN TẬP CHƢƠNG HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI I Mục tiêu học - Kiến thức: Qua học HSnắm đƣợc mối liên hệ kiến thức liên quan đến hàm số Cách khảo sát hàm số - Kỹ năng: Qua học HS biết hệ thống hóa kiến thức học, xác định đƣợc vị trí kiến thức hệ thống liên hệ chúng với kiến thức khác - Vận dụng: Qua học HS vận dụng kiến thức hàm số tƣ hàm vào vấn đề gặp sống, vận dụng kĩ hệ thống kiến thức vào môn khác diễn đạt chúng cách trực quan II Phƣơng pháp Kết hợp phƣơng pháp trực quan, hoạt động nhóm, khám phá, vấn đáp gợi mở III Phƣơng tiện dạy học - Dành cho giáo viên: Bài giảng điện tử, máy chiếu, bảng tƣơng tác thông minh - Dành cho học sinh: bảng phụ - 147 - IV Hoạt động dạy học Thời lƣợng Tên hoạt động Nội dung hoạt động Học cụ Ghi 10 Hệ phút thống hóa kiến thức Hãy dùng sơ đồ thể mối liên Bảng hệ kiến thức phụ chƣơng File GSP Hệ thống kiến thức: - Định nghĩa hàm số - Cách cho hàm số - Đồ thị hàm số - Sự biến thiên hàm sơ - Tính chẵn/ lẻ hàm số - Các hàm số cụ thể 10 Hệ phút thống kỹ cần đạt Hãy sơ đồ hóa dạng tập File chƣơng với kiến GSP thức liên quan cách giải tƣơng ứng - Tìm tập xác định hàm số - Vẽ đồ thị hàm sô - Xét biến thiên hàm số - Xét tính chẵn/lẻ hàm số - Tìm cơng thức biểu diễn hàm số 15 Trắc phút nghiệm cuối chƣơng 10 Ứng phút dụng thực tiễn Phiếu học tập Dùng đồ thị biểu diễn giá cƣớc gửi thƣ Bƣu Chính Việt Nam ban hành bảng sau: Trọng lƣợng Giá (gam) (VNĐ) 100  w  250 250  w  500 10000 12500 15000 - 148 - 500  w  1000 1000  w  1500 1500  w  2000 18000 21000 w  50 6000 50  w  100 8000 Lớp: ……… Họ tên học sinh: ……………………………… BÀI KIỂM SỐ Câu Cho hàm số y  x2  x 1 x 1 a Tìm tập xác định hàm số b Trong điểm sau, điểm thuộc đồ thị hàm số: A(1;4); B(-1;-3); C(-2;7); D(2;5) Câu a Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị hàm số y  3x  b Vẽ đồ thị hàm số y  x  Câu a Xét biến thiên vẽ đồ thị hàm số y  x  x  b Tìm tọa độ giao điểm đồ thị hàm số cho với đƣờng thẳng y  x  ... theo hƣớng tích cực với hỗ trợ phần mềm hình học động GSP -7 - Giả thuyết nghiên cứu Nếu tổ chức dạy học chƣơng Hàm số bậc hàm số bậc hai - Đại Số 10 với hỗ trợ phần mềm hình học động GSP triển... Chính lý mà chọn đề tài Dạy học hàm số - đại số 10 với hỗ trợ phần m ềm Geom eter’s Sketchpad nhằm tổ chức dạy học số nội dung chƣơng Hàm số bậc hàm số bậc hai - Đại số 10 theo PPDH tích cực Mục... TRƢỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ –––––––––– HUỲNH HỮU ĐÀO VŨ DẠY HỌC HÀM SỐ - ĐẠI SỐ 10 VỚI SỰ HỖ TRỢ CỦA PHẦN MỀM GEOMETER’S SKETCHPAD Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MƠN TỐN Mã số: 60.14.10