Ứng dụng GSP trong dạy học khái niệm hàm số

9. Cấu trúc luận văn

2.2.3 Ứng dụng GSP trong dạy học khái niệm hàm số

Trong các SGK toán 7 (phần đại số) và Đại số 10 hiện nay, khái niệm hàm số đƣợc định nghĩa thông qua khái niệm đại lƣợng biến thiên. Thực ra điều này không có gì mới. Trong lịch sử toán, các nhà toán học cũng đã dịnh nghĩa khái niệm hàm số theo cách này. Có thể kể ra đây một số ví dụ minh họa.

Năm 1718, J Becnuli đã đƣa ra định nghĩa: “hàm số của một biến lượng là một biểu thức giải tích gồm biến lượng đó và các đại lượng không đổi”.

Năm 1755, Ơ le đã định nghĩa: “khi một đại lượng phụ thuộc vào các đại lượng khác sao cho sự thay đổi của các đại lượng thứ hai kéo theo sự thay đổi của đại lượng thứ nhất thì đại lượng thứ nhất được gọi là hàm số của các đại lượng thứ hai”.

Năm 1837, Dirichlet đƣa ra định nghĩa: “y là hàm số của x nếu với mỗi giá trị của x thì tương ứng một giá trị hoàn toàn xác định của y, còn sự tương ứng đó được thiết lập như thế nào thì điều này không quan trọng”.

Dẫn ra một số định nghĩa trên đây về khái niệm hàm số của một số nhà toán học ta có thể thấy rằng: khái niệm hàm số hiện nay do Dirichlet đƣa ra đã giúp ngƣời học tránh đƣợc một số sai lầm nhất định. Chẳng hạn: hàm số phải gắn liền với một biểu thức giải tích,… Tuy nhiên, từ trƣớc đến nay ta vẫn chỉ sử dụng khái niệm này theo cách hiểu trực giác. Định nghĩa hàm số thông qua khái niệm quy tắc tƣơng ứng giữa các phần tử của các tập hợp số, chúng ta cũng phải sử dụng quy tắc tƣơng ứng này một cách trực giác. Việc phải sử dụng những yếu tố trực quan trong trình bày kiến thức toán ở trƣờng phổ thông là không thể tránh khỏi. Vấn đề là lựa chọn cách trình bày phù hợp với định hƣớng quá trình dạy học và quan điểm viết SGK của tác giả. Đây là thời điểm phát huy vai trò của CNTT trong dạy học toán.

Bảng 2.1 Hoạt động dạy học kiến tạo khái niệm hàm số Tên hoạt động Tƣơng tác GV-HS-PTDH Dụng ý sƣ phạm Định nghĩa

hàm số, tập xác định và tập

- Xét các ví dụ thực tiễn (file GSP). - Trên cơ sở đó yêu cầu HS nêu định nghĩa hàm số.

- Khám phá đặc trƣng tƣơng ứng của hàm số, rèn luyện các thao tác tƣ duy

giá trị của hàm số

- Từ ví dụ đã nêu, yêu cầu HS tính giá trị đầu ra khi biết giá trị đầu vào và ngƣợc lại, tính giá trị đầu vào khi biết giá trị đầu ra. (file GSP)

và kỹ năng sữ dụng ngôn ngữ toán học.

- Củng cố đặc trƣng tƣơng ứng của hàm số thông qua các khái niệm tập xác định và tập giá trị

Các cách cho một hàm số

- Yêu cầu HS nêu ví dụ về hàm số, nêu những cách đƣợc dùng để cho một hàm số.

- Từ hàm số đƣợc cho bởi công thức, yêu cầu HS tìm tập xác định của hàm số.

- Rèn luyện kỹ năng thể hiện khái niệm

Rèn luyện kỹ năng tính toán

Đồ thị của hàm số

- Từ định nghĩa hàm số hãy cho biết biểu diễn hình học của hàm số trên mặt phẳng tọa độ Oxy là gì?

- Yêu cầu HS xác định tọa độ của một số điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Quan sát, nhận xét tung độ của điểm A thuộc đồ thị hàm số và điểm B không thuộc đồ thị hàm số. Từ đó nhận xét đặc điểm của tập hợp những điểm biểu diễn hàm số

2

y x 1, y 3x (file GSP). Nêu định nghĩa đồ thị hàm số

- Yêu cầu HS nhắc lại các bƣớc vẽ đồ thị hàm số, vẽ đồ thị hàm số

2 y  x 1, y2x

- Kích thích khả năng liên tƣởng, khả năng diễn đạt một nội dung bằng nhiều cách khác nhau của HS. - Rèn luyện kỹ năng thực hành, nhận dạng dồ thị hàm số, khái quát hóa từ những nhận xét trực quan và diễn đạt nội dung bằng ngôn ngữ toán học cũng nhƣ ký hiệu toán học.

- Huy động kiến thức liên quan, rèn luyện các bậc nhận thức: nhớ, hiểu và vận dụng.

- Từ đồ thị, xác định giá trị của hàm số tại x 2;0;1. Tìm x để hàm số đạt giá trị bằng 2; -3 (file GSP).

- Rèn luyện kỹ năng đọc đồ thị và thói quen kiểm chứng lý luận bằng thực tiễn.

Định nghĩa khái niệm hàm số 2.2.3.2

Dùng công cụ nhãn trình chiếu cho HS xem xét các ví dụ thực tiễn sau:

Ví dụ 2.2Diện tích S của hình tròn phụ thuộc vào bán kính r của đƣờng tròn đó. Biểu thức liện hệ giữa hai đại lƣợng S và r là 2

S .r . Với một giá trị dƣơng của r có duy nhất một giá trị dƣơng của S và ta nói S là một hàm số của r. (Hình 2.25)

Hình 2.25

Ví dụ 2.3Dân số thế giới phụ thuộc vào thời gian t. Bảng sau cho ta dân số xấp xỉ của thế giới P(t) tại thời điểm t ở một số năm:

Bảng 2.2

Năm 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000

Dân số 1650 1750 1860 2070 2300 2560 3040 3710 4450 5280 6080

Mặc dù chƣa xác định đƣợc cụ thể một biểu thức liên hệ nào cho hai đại lƣợng P(t) và t. Nhƣng rõ ràng với một giá trị của t có duy nhất một giá trị của P(t) ta nói P(t) là một hàm số của t.

Ví dụ 2.4Gọi c là cƣớc dịch vụ chuyển phát nhanh EMS trong tỉnh thì c phụ thuộc trọng lƣợng w của thƣ. Không có công thức đơn giản để tính c theo w nhƣng bƣu điện có quy ƣớc để tính c khi biết w mà theo đó nếu cho một giá trị của w ta có duy nhất một giá trị tƣơng ứng của c và ta nói c là một hàm số của w.

GV: “Hãy xác định một tính chất chung trong 3 ví dụ trên để đại lƣợng này là một hàm số của đại lƣợng kia”. Nội dung cần đạt “ứng với một giá trị của đại lƣơng này ta có duy nhất một giá trị c ủa đại lƣợng kia”.

GV: “Hãy xác định mối liên hệ giữa hai đại lƣợng x và y thuộc tập số thực R để y là một hàm số của x”. Nội dung cần đạt “ứng với mỗi giá trị của x ta có duy nhất một giá trị của y”.

GV: “Hãy phát biểu định nghĩa hàm số”. Nội dung cần đạt “SGK”.

GV: “Hãy nêu một ứng dụng hàm số trong đời sống mà em biết”. Nội dung cần đạt “máy chơi game play station. Cứ mỗi lần đút thẻ vào máy ngƣời chơi sẽ đƣợc chơi với thời gian tƣơng ứng với mệnh giá của thẻ,…”.

Hàm số xuất hiện khi có một đại lƣợng nào đó phụ thuộc vào một đại lƣợng khác.

Các cách biểu diễn một hàm số

GV: “Theo em có bao nhiêu cách cho một hàm số?” GV: “Hãy cho 3 ví dụ tƣơng ứng với 3 cách trên”.

GV: “Hãy cho một ví dụ có thể biểu diễn một hàm số theo cả 3 cách trên”. GV: “Với mỗi hàm số, sẽ tự nhiên và thuận lợi hơn nếu sử dụng cách này thay vì cách khác, chẳng hạn ở ví dụ (iii). Thay cho việc mô tả bằng lời hay trình bày công thức tính cƣớc, Bƣu Chính Việt Nam đã ban hành giá cƣớc nhƣ trong Bảng 2.3:

Bảng 2.3 Trọng lƣợng (gam) Giá (VNĐ) 50 w 50 w 100 100 w 250 250 w 500 500 w 1000 1000 w 1500 1500 w 2000 6000 8000 10000 12500 15000 18000 21000 Đồ thị hàm số 2.2.3.3 Hình 2.26

Khởi tạo hệ trục tọa độ mặc định, kết hợp với các tính năng trình chiếu, để dạy học kiến thức đồ thị hàm số (Hình 2.26) nhƣ sau:

• Minh họa định nghĩa đồ thị hàm số. • Vẽ tập hợp điểm trên hệ trục tọa độ Oxy.

• Thể hiện vị trí tƣơng đối của điểm và đồ thị hàm số. • Vẽ đồ thị hàm số.

Hình 2.27

1. Xác định tọa độ các điểm trên Hình 2.27:

Những điểm nằm trên trục hoành có tung độ bằng bao nhiêu? Những điểm nằm trên trục tung có hoành độ bằng bao nhiêu? 2. Xác định các điểm sau trên hệ trục tọa độ Oxy:

          1 A ;4 ;B 2;3 ;C 1;1 ;D 1; 1 ;E 0; 3 ;F 3;0 . 2          

3. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tìm tất cả các điểm: a. có hoành độ bằng 3

b. có tung độ bằng -4 c. có tung độ bằng hoành độ d. có tung độ và hoành độ đối nhau. 4. Vẽ đồ thị hàm số 1 a)y x 3 2    b)y2 x x 2 c)y  x 3x2

5. Những điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số y2x21

       

A  2; 9 ;B 2;7 ;C  1; 3 ;D 1;1

6. Tìm điểm M sao cho đƣờng thẳng y2m 5 x  luôn đi qua M dù m lấy bất kỳ giá trị nào.

Việc lựa chọn các công cụ khác nhau để giải toán là việc làm cần thiết để phát triển tƣ duy sáng tạo cho HS. Các công cụ đƣợc lựa chọn trên cơ sở phân tích đặc điểm của bài toán đã cho. Những đặc điểm nào thích hợp với loại công cụ nào ngƣời giải toán phải làm quen và nắm vững. Chọn đƣợc công cụ thích hợp nhất tất nhiên lời giải tƣơng ứng sẽ tốt nhất. Chẳng hạn, ở bài tập 7, HS sẽ chọn cho mình một trong hai cách là vẽ đồ thị\ xác định các điểm trên đồ thị để khẳng định điểm nào thuộc đồ thị hàm số hoặc sử dụng phƣơng pháp đại số tính f x 0 rồi so sánh

 0

f x với y . 0

Hình 2.28

Nếu ta dừng lại ở đây thì chƣa kích thích đƣợc nhiều tƣ duy sáng tạo của HS bởi các kết quả về hàm số và đồ thị hàm số chƣa đƣợc khai thác nhiều. Việc nghiên cứu, lợi dụng các kết quả của hàm số và đồ thị cần đƣợc tiếp tục đề cập trong các chủ đề tiếp theo: phƣơng trình, hệ phƣơng trình, bất phƣơng trình. Chẳng hạn

Bài toán 1: “Cho hệ phƣơng trình

   x y 1 0 x y 2 x 2y 1 0            (*) a. Giải hệ phƣơng trình

b. Có thể thay 1 trong phƣơng trình đầu bởi số nào để hệ có một nghiệm duy nhất?

Gợi ý: phƣơng trình sau là dạng phƣơng trình tích

      x y 1 0 i x y 2 0 x y 1 0 ii x 2y 1 0                       

Hệ (i) và (ii) là các hệ phƣơng trình bậc nhất hai ẩn mà các em đã học ở lớp 9 và có thể nhanh chóng tìm ra kết quả nhờ máy tính bỏ túi. Tuy nhiên từ cách giải này các em không tìm ra đặc điểm nào để trả lời chính xác câu hỏi b. Nhƣng nếu giải hệ phƣơng trình trên bằng phƣơng pháp đồ thị các em sẽ có đƣợc câu trả lời không mấy khó khăn nhƣ sau:

Vẽ các đƣờng thẳng  a : x  y 1 0;  b : x1   y 2 0 và

 b2 : x2y 1 0  trên cùng hệ trục tọa độ. Nghiệm của hệ phƣơng trình là

  3 1 A ; ;B 3;2 2 2    

  tƣơng ứng là tọa độ của các giao điểm của    a , b và 1    a , b2

Trong GSP ta thực hiện nhƣ sau (Hình 2.29):

Tạo tham số mới là m bằng cách Số\ tham số mới\ nhập tên tham số và giá trị ban đầu là 1

Đồ thị\ vẽ đồ thị hàm số mới\ nhập công thức hàm số y x m  với m là tham số vừa tạo\ Ok.

Thực hiện tƣơng tự cho các đƣờng thẳng    b , b1 2

Chọn tham số m\ hiển thị\ hoạt náo tham số

HS quan sát sự di chuyển của đƣờng thẳng a. Từ đó đƣa ra nhận xét và chiến lƣợc giải bài toán.

Căn cứ vào đồ thị ta thấy    b , b1 2 cắt nhau tại C 1;1 .  

Để hệ có 1 nghiệm duy nhất thì 3 đƣờng thẳng trên phải đồng quy tại C Gọi m là hệ số tự do trong phƣơng trình của (a).

(a) đi qua C     1 1 m m 0

Vậy thay m 0 thì hệ phƣơng trình có ngiệm duy nhất là  1;1

Từ cách giải trên HS có thể tinh giản việc trình bày bài giải bằng những lập luận có cơ sở trực quan và lý thuyết vững chắc nhƣ sau:

Hệ phƣơng trình trên có nghiệm duy nhất khi ba đƣờng thẳng      a , b , b1 2

đồng quy. Từ điều kiện đƣờng thẳng  a đi qua giao điểm M của    b , b1 2 tìm đƣợc m thỏa yêu cầu của bài toán.

Đây là cơ hội để các em tiếp cận và khai thác phƣơng pháp đồ thị trong giải toán. Để các em có cơ hội tiếp cận thƣờng xuyên hơn với phƣơng pháp này và từ đó có thể nhận biết và khai thác trong những vấn đề khác, GV có thể bổ sung thêm bài tập sau đây sau khi đã dạy dấu của tam thức bậc hai:

Bài toán 2:“Cho   2

P : yx 7x6 và  d : ymx 1 , m là tham số. Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tung độ dƣơng”.

Nếu giải bằng phƣơng pháp đại số, HS phải có cơ sở kiến thức vững vàng, phối hợp nhiều kiến thức khác nhau một cách linh hoạt bởi tính lôgic, và tính trừu tƣợng ở bài toán này tƣơng đối cao. Trƣớc hết HS phải tìm đƣợc nghiệm của tam

thức bậc hai ở (P), tiếp đến là bao quát tất cả các trƣờng hợp có thể xảy ra nhƣ sau: Trƣờng hợp 1: x1x2   6 1 Trƣờng hợp 2:    6 1 x1x2 Trƣờng hợp 3:  6 x1x2 1 Trƣờng hợp 4: x1    6 1 x2 Trƣờng hợp 5: x1  6 x2 1 Trƣờng hợp 6:  6 x1  1 x2

Đến đây thì việc xác lập điều kiện để giải mỗi trƣờng hợp trên là một vấn đề lớn đối với HS vì theo tinh thần giảm tải của Bộ Giáo Dục, nội dung so sánh hai nghiệm của tam thức bậc hai với một số  hay hai số ,  không đƣa vào chƣơng trình giảng dạy nhƣ trƣớc đây. Hơn nữa việc phải giải quyết tất cả các trƣờng hợp trên đòi hỏi một lƣợng thời gian không nhỏ.

Trong trƣờng hợp này GV có thể dẫn dắt HS giải bằng phƣơng pháp đồ thị nhƣ sau:

Nhận xét: tƣơng tự bài tập 8 ta có (d) luôn đi qua điểm cố định  0;1 . Vẽ đồ thị (P) và (d) trên cùng hệ trục tọa độ.

Trong GSP ta thực hiện nhƣ sau. Đồ thị\ hệ trục tọa độ mặc định.

Đồ thị\ vẽ đồ thị hàm số mới\ nhập công thức biểu diễn hàm số (P) từ bàn phím giả lập trên màn hình Sketch.

Số\ tham số mới\ nhập tên m, chọn đơn vị là không.

Đồ thị\ vẽ đồ thị hàm số mới\ nhập công thức biểu diễn hàm số (d) từ bàn phím giả lập với m vừa tạo.

Chọn tham số m trên màn hình Sketch\ soạn thảo\ nút điều khiển\ sự hoạt náo\ chọn hƣớng hoạt náo bidirectional, thay đổi giá trị kế tiếp nhau vùng -10 đến 10\ OK.

Nháy chuột vào nút animate tham số cho HS quan sát đƣờng thẳng (d) quay quanh điểm cố định (0;1), giao điểm của (P) và (d) và đƣa ra nhận xét .

Hình 2.30

Căn cứ vào đồ thị (Hình 2.30) ta thấy (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tung độ dƣơng khi hoành độ giao điểm của (P) và (d) nằm ngoài đoạn  6; 1

      1 2 1 2 1 2 x x 6 1 1 x 6 1 x 2 6 1 x x 3                   

Dự đoán  1 vô nghiệm (vì điểm cố định  0;1 nằm phía phải trục đối xứng của đồ thị (P) do đó (d) không thể cắt (P) tại 2 điểm cùng thuộc phía trái trục đối xứng của (P)). Thật vậy   1 2 0 x x 6 f 6 0 S 6 2               

  1 2 1 2 x 6 x 2 x 1 x               f 6 0 f 1 0          6m 1 0 m 1 0       