Giá trị lớn nhất GTLN và giá trị nhỏ nhất GTNN của một biểu thức chứa nhiều hơn một biến số là một phần trong cấu trúc đề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng, đây là loại toán tương đ
Trang 1BÀI VIẾT ĐƯỢC ĐĂNG TRÊN ĐẶC SAN SỐ 5 TOÁN HỌC & TUỔI TRẺ
THÁNG 11 NĂM 2012
Giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một biểu thức chứa nhiều hơn một biến
số là một phần trong cấu trúc đề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng, đây là loại toán tương đối khó có nhiều dạng và nhiều phương pháp giải được học ở chương trình THPT Trong bài viết này tác giả trình bày phương pháp đưa biểu thức chứa nhiều hơn một biến số về biểu thức
theo một biến số mới giả sử theo t và sau đó sử dụng công cụ đạo hàm, thiết lập bảng biến thiên
của hàm sốy= f t( )trên tập xác định của nó, từ đó suy ra GTLN và GTNN của biểu thức cần tìm
SỬ DỤNG CÔNG CỤ ĐẠO HÀM
ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
CỦA BIỂU THỨC NHIỀU BIẾN PHẠM TRỌNG THƯ
(GV THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu, Đồng Tháp) Thí dụ 1 Xét hai số thực không âm x y, thỏa mãn điều kiện x+ =y 1 Tìm GTLN và GTNN của biểu thứcA=(5x2+4 )(5y y2+4 )x +40xy
Lời giải
Ta có A=25x y2 2+20(x3+y3)+56xy
2 2
2 2
(do
4
t
≤ ≤
2
1 0
Ta được A=25t2− +4t 20
Xét hàm số f t( )=25t2− +4t 20với 0 1
4
t
25
4
t 0 2
25 1
4 ( )
f t′ − 0 +
( )
f t
20 329
16
496
25
4
t
≤ ≤ ⋅
1
1
; 1
2 4
xy
+ =
⇔ = =
=
Trang 2vàGTNN của A bằng 496
1 2 25
xy
+ =
=
10
10
x y
= +
−
=
hoặc
10
10
x
y
= −
⋅
+
=
Thí dụ 2 Xét ba số thực dương x y z, , .Tìm GTNN của biểu thức 2 ( 2 2 2)
2
xyz
xyz
Lời giải
Viết lại biểu thức B dưới dạng
2 2 2 2 2 2
B
xyz
với mọi số x y z, , ta luôn có bất đẳng thức x2+y2+z2≥xy+yz+zx
Do đó
2 2 2
B
xyz
B
⇒ ≥ + + + + +
Xét hàm số
2
1 ( )
2
t
f t
t
= + với t>0, có
2
2
( )
Ta cóf t′ = ⇔ =( ) 0 t 1
Bảng biến thiên của hàm số f t( ) trên (0;+∞) :
t 0 1 +∞
( )
f t′ − 0 +
( )
f t
+∞ +∞
3
2
2
2
Thí dụ 3 Xét hai số thực x y, thỏa mãn điều kiện x≥1, y≥1 và 3(x+ =y) 4xy Tìm GTLN và GTNN của biểu thức 3 3
2 2
3
= + + + ⋅
Lời giải
Do (x+y)2−4xy≥0nên a2−3a≥0⇒a≥3
4
Vậy 3≤ ≤a 4
Trang 3Ta có
2
a
2
a
⇔
1 3
x y
=
⋅
=
vàGTNN của C bằng113
3
3 9
2 4
xy
+ =
⇔ = = ⋅
=
Thí dụ 4 Xét hai số thực x y, thỏa mãn điều kiện (x+y)3+4xy≥2
Tìm GTNN của biểu thứcD=3(x2+y2 2) −2(x+y)2−xy(3xy− +4) 2012
Lời giải
Với mọi số x, y ta luôn có (x−y)2≥0 hay (x+y)2≥4xy,nên từ điều kiện
suy ra (x+y)3+ +(x y)2≥ +(x y)3+4xy≥2
2
(x+y) +2(x+ + =y) 2 (x+ +y) 1 + > ∀1 0, x y, , nên từ (1) suy ra x+ ≥y 1
Ta biến đổi D như sau:
2 2 2 2 2 2 2 2
Do
2 2 2
4 4 ( )
2
4
2
4
2
2
Suy ra
1
;
2
( )
min
t
∈ +∞
2
Thí dụ 5 Xét hai số x y, đều dương thỏa mãn điều kiện 2 2 2 2
x +y =x −y +y −x
Tìm GTNN của biểu thức 2 2
2 2
Lời giải
Trang 4Áp dụng BĐT Bunyakovsky ta có
2 2 2 2 2 2 2
Do (x2+ y2 2) ≥4x y2 2 nên từ (1) suy ra
x +y =t thì 0< ≤t 1
t
= + với0< ≤t 1, có
2
4
t
′ = − < ∀ ∈
nên hàm số f(t) nghịch biến trong (0; 1], suy ra
(0; 1]
min
t
2
Thí dụ 6 Cho x y, là các số thực thay đổi.Tìm GTNN của biểu thức
2 2 2 2
F= x− +y + x+ +y + −y
Lời giải
Trên mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, xét các điểm M( 1− +x; −y);N(1+x y; )
Xét hàm số f y( )=2 1+y2+ −y 2
2
2
1
y
y
′
+
3
3 2
( )
f′ y − 0 +
( )
f y
+∞ 2 5
2+ 3
Suy ra
2
1
3
y
<
iVới y≥2thì f y( )≥2 1+y2 ≥2 5> +2 3
3
Trang 5BÀI TẬP TỰ LUYỆN
4
4
A
Đáp số minA=5
2 2
2 2
B
Đáp số minB= −10
Đáp số max 3; min 1
3
4 4 2 2
Đáp số max 3; min 1
2
= + + + + + ⋅
Đáp số min 15
2
3 3
F
xy
+
Đáp số minF= +4 2 3
3 3
Đáp số maxG=4
8. Xét hai số thực x y, khác 0 thay đổi thỏa mãn điều kiện (x+y xy) =x2+ y2−xy.Tìm GTLN của biểu thức
3 3
H
Đáp số maxH =16
5
+ +
Đáp số max 14
3
I =
10. Xét hai số thực x y, thỏa mãn điều kiện x2+y2=2.Tìm GTLN và GTNN của biểu thức
3 3
Đáp số max 13; min 7
2
Trang 611. Xét hai số thực x y, thỏa mãn điều kiện 2(x2+y2)=xy+1.Tìm GTLN và GTNN của biểu thức
4 4
K
xy
+
+
Đáp số max 1; min 2
2
Đáp số min 195
16
