Chuyên đề so sánh Giá trị biểu thức bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 5

Câu lạc bộ Toán Tiểu học – toantieuhoc.com CHUYÊN ĐỀ SO SÁNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC Bài 1. Cho S = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 + + + + + + + + + . Hãy so sánh S và 1 2 . Bài giải. S là tổng của 10 phân số mà 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ; ; ; ; ; ; ; ; , 11 20 12 20 13 20 14 20 15 20 16 20 17 20 18 20 19 20 > > > > > > > > > do đó 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9 . 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 + + + + + + + + > × Suy ra: 1 1 10 1 9 . 20 20 20 2 S > × + = = Bài 2. Tìm M biết: 1 13 33 61 9601 9997 . 3 15 35 63 9603 9999 M = + + + + + + Bài giải. 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 3 15 35 9603 9999 M           = − + − + − + + − + −  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷           2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 3 3 5 5 7 97 99 99 101   = + + + + − + + + + +  ÷ × × × × ×   M = A – B Ta thấy từ 1 đến 99 có các số lẻ liên tiếp là: (99 – 1) : 2 + 1 = 50 (số). Do đó A = 1 × 50 = 50. B = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 5 5 7 97 99 99 101 1 101. − + − + − + + − + − = − Vậy M = 100 1 50 49 . 101 101 − = Bài 3. Tính tích: 1 1 1 1 1 1 1 1 15 21 28 210         − × − × − × × −  ÷  ÷  ÷  ÷         Bài giải. 1 1 1 1 14 20 27 209 1 1 1 1 15 21 28 210 15 21 28 210         − × − × − × × − = × × × ×  ÷  ÷  ÷  ÷         . = 28 40 54 418 4 7 5 8 6 9 19 22 30 42 56 420 5 6 6 7 7 8 20 21 × × × × × × × × = × × × × × × × × = ( ) ( ) ( ) ( ) 4 5 6 19 7 8 9 22 4 22 11 . 5 6 7 20 6 7 8 21 20 6 15 × × × × × × × × × × = = × × × × × × × × × × Bài 4. So sánh A và B, biết rằng: 2006 2007 987654321 246813579 A = + và 2007 2006 987654321 246813579 B = + . Bài giải. Ta có: 2006 2007 987654321 246813579 A = + = 2006 2006 1 . 987654321 246813579 246813579 + + 1 50 số 1 Câu lạc bộ Toán Tiểu học – toantieuhoc.com 2007 2006 987654321 246813579 B = + = 2006 1 2006 . 987654321 987654321 246813579 + + Ta thấy: Tổng 2006 2006 987654321 246813579 + đều có mặt ở A và B. Do 1 1 246813579 987654321 > nên A > B. Bài 5. So sánh tổng A với 39 40 biết: 1 1 1 1 1 1 . 21 22 23 24 79 80 A = + + + + + + Bài giải. Ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 21 22 23 24 79 80 21 22 50 51 52 80 A     = + + + + + + = + + + + + + +  ÷  ÷     Ta thấy tổng 1 1 1 21 22 50 + + + có 50 – 21 + 1 = 30 (số hạng). Mặt khác: 1 1 1 1 1 1 ; ; ; . 21 50 22 50 49 50 > > > Suy ra: 1 1 1 1 3 30 . 21 22 50 50 5 + + + > × = Tương tự đối với tổng còn lại, ta cũng suy ra: 1 1 1 1 3 30 . 51 52 80 80 8 + + + > × = Do đó 1 1 1 1 1 1 3 3 39 . 21 22 50 51 52 80 5 8 40 A     = + + + + + + + > + =  ÷  ÷     Hay A > 39 40 . Bài 6. Hãy tính giá trị của biểu thức sau: 2009 2009 20082008 2008 2008 20092009 2008 20072007 A × × − × × = × . Bài giải. 2009 2009 20082008 2008 2008 20092009 2008 20072007 A × × − × × = × 2009 2009 2008 10001 2008 2008 2009 10001 2008 20072007 A × × × − × × × = × ( ) 2009 2008 10001 2009 2008 2009 2008 10001 2009 . 2008 20072007 2008 2007 10001 2007 A × × × − × × = = = × × × Bài 7. So sánh: 2006 2007 2008 2009 2007 2008 2009 2006 + + + và 4. Bài giải. Vì : 2006 1 2007 1 2008 1 2009 1 1 1 1 ; 1 ; 1 ; 1 2007 2007 2008 2008 2009 2009 2006 2006 2006 2006 = − = − = − = + + + nên 2006 2007 2008 2009 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2007 2008 2009 2006 2007 2008 2009 2006 2006 2006 + + + = − + − + − + + + + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2006 2007 2006 2008 2006 2009       = + + + + − + − + −  ÷  ÷  ÷       Mặt khác: 1 1 1 1 . 2006 2007 2008 2009 > > > Do đó: 2006 2007 2008 2009 4. 2007 2008 2009 2006 + + + > 2 Câu lạc bộ Toán Tiểu học – toantieuhoc.com Bài 8. So sánh M và N biết: 2003 2004 2003 2004 ; 2004 2005 2004 2005 M N + = + = + . Bài 9. Hãy so sánh: 432143214321 999999999999 A = và 1231 1231 1231 1231 1997 19971997 199819982000 B + + + = + + . Bài giải. Cách 1. Ta có 10A > 1 (vì 10A là phân số mà tử số có 13 chữ số, mẫu số có 12 chữ số). 10B < 1 (vì 10B là phân số mà tử số có 5 chữ số, mẫu số có 12 chữ số). Do đó 10A > 10B. Vậy A > B. Cách 2. Chia cả tử số và mẫu số của A cho 100010001 ta có: 4321 9999 A = . Do 4321 3333 9999 9999 > nên 1 . 3 A > Còn 1231 4 4924 1 . 19971997 14772 3 B × < < = Vậy A > B. Bài 10. So sánh 7777772 7777778 A = và 88888881 88888889 B = . Bài giải. Phần bù tới đơn vị của hai phân số đó là: 6 7777778 và 8 88888889 . Ta có: 6 60 8 8 7777778 77777780 77777780 88888889 = > > nên 6 8 7777778 88888889 > . Vậy 7777772 7777778 < 88888881 88888889 . Bài 11. So sánh A và B 2 2 2 2 1 3 3 5 5 7 2003 2005 A = + + + + × × × × ; 2006 2005 B = . (Đề Giao lưu TTT tỉnh Hà Tây năm 2006) Bài 12. Chứng tỏ rằng: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 2 3 4 2004 2005         − × − × − × × − >  ÷  ÷  ÷  ÷         (Đề Giao lưu TTT tỉnh Thái Bình năm 2006) Bài 13. Cho 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 S = + + + + + + + + + Hãy so sánh S và 1 3 . 3 Câu lạc bộ Toán Tiểu học – toantieuhoc.com So sánh biểu thức qua biểu thức trung gian. Bài 14. So sánh 1 1 1 1 1 4 9 16 25 4048144 A = + + + + + với 1. Bài giải. Cách 1. Ta có 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ; ; ; ; ; 4 3 9 8 16 15 25 24 4048144 4048143 < < < < < . Do đó 1 1 1 1 1 3 8 15 24 4048143 A B< = + + + + + . Mặt khác: 1 1 1 1 1 1 3 2 4 3 5 4 6 2011 2013 B = + + + + + × × × × × 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 3 2 4 3 5 2011 2013 1 1 1 1 1 3 3 1 1. 2 2 2012 2013 2 2 4   = × − + − + − + + −  ÷     = × + − − < × = <  ÷   Vậy A < 1. Cách 2. Do 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ; ; ; ; ; 4 1 2 9 2 3 16 3 4 25 4 5 4048144 2011 2012 < < < < < × × × × × . Nên A < C = 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 2011 2012 + + + + + × × × × × . Mặt khác: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 2011 2012 2012 C = − + − + − + − + + − = − < . Vậy A < 1. 4 . Câu lạc bộ Toán Tiểu học – toantieuhoc.com CHUYÊN ĐỀ SO SÁNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC Bài 1. Cho S = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 + + + + + + + + + . Hãy so sánh S và 1 2 . Bài. 24681 357 9 B = + = 2006 1 2006 . 987 654 321 987 654 321 24681 357 9 + + Ta thấy: Tổng 2006 2006 987 654 321 24681 357 9 + đều có mặt ở A và B. Do 1 1 24681 357 9 987 654 321 > nên A > B. Bài 5. So sánh. toantieuhoc.com So sánh biểu thức qua biểu thức trung gian. Bài 14. So sánh 1 1 1 1 1 4 9 16 25 4048144 A = + + + + + với 1. Bài giải. Cách 1. Ta có 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ; ; ; ; ; 4 3 9 8 16 15 25 24