Chuyên đề Mệnh đề, tập hợp

Trần Thành Minh – Phan Lưu Biên - Trần Quang Nghĩa ĐẠI SỐ 10 Chương I. Mệnh Đề - Tập Hợp www.saosangsong.com.vn/ SAVE YOUR TIME & MONEY SHARPEN YOUR SELF-STUDY SKILL SUIT YOUR PACE Chương 1. Mệnh đề- Tập hợp www.saosangsong.com.vn 2 2 § 1. Mệnh đề A. Tóm tắt giáo khoa . 1. Mệnh đề là một câu khẳng định đúng (mệnh đề đúng ) hoặc sai (mệnh đề sai) 2. Mệnh đề “ Không phải P ” là mệnh đề phủ định của P , kì hiệu P . Nếu P đúng thì P sai , P sai thì P đúng. 3. Mệnh đề P(x) chứa biến x có giá trị đúng hoặc sai tùy theo giá trị của x . Mệnh đề “ )x(P,x ∀ ” đúng khi P(x) đúng với mọi x , sai x ∃ , P(x) sai . Mệnh đề “ )x(P,x ∃ ” đúng khi tồn tại x sao cho P(x) đúng, sai khi ∀ x, P(x) sai . )(,)(,;)(,)(, xPxxPxxPxxPx ∀=∃∃=∀ 4. Mệnh đề “ Nếu P thì Q ” gọi là mệnh đề kéo theo , kí hiệu P => Q . Mệnh đề P => Q chì sai khi P đúng và Q sai . 5. Mệnh đề “ P nếu và chỉ nếu Q ” ( hay “ P khi và chì khi Q ” ) được gọi là mệnh đề tương đương và kì hiệu P Ù Q . Mệnh đề PÙ Q đúng khi P và Q cùng đúng hay cùng sai ( hay khi P => Q và Q => P đều đúng . 6. Định lí “ P => Q ” là mệnh đề đúng , P : giả thiết , Q kết luận . P là điều kiện đủ để có Q , Q là điều kiện cần để có P . Khi đó mệnh đề “ Q => P ” là mệnh đề đảo của mệnh đề “ P => Q ” Định lí “ PÙ Q ” đọc là : P là điều kiện cần và đủ để có Q . B. Giải toan : Dạng 1 : Xét tính đúng sai của một mệnh đề Ví dụ 1 : Tìm xem các mệnh đề sau đúng hay sai ? a) “ 12 là số nguyên tố ” b) “ Phương trình : x 2 + 4x – 3 = 0 có 2 nghiệm thực ” c) “ π không là số hữu tỉ ” d) “ Nếu tam giác ABC và A’B’C ‘ có diện tích bằng nhau thì hai tam giác ấy bằng nhau ” e) “ Tam giác ABC đều khi và chỉ khi tam giác ABC cân và có một góc bằng 60 0 ” Giải a) Vì 12 chia hết cho 3 nên 12 không là số nguyên tố nên mệnh đề cho là sai . b) Phương trình : x 2 + 4x – 3 = 0 có hai nghiệm là x 1 = - 2 + 7và x 2 = - 2 – 7 , vậy mệnh đề cho là đúng . c) Số π là số vô tỉ , không phải là số vô tỉ , do đó mệnh đề cho đúng . d) Xét mệnh đề P = “ Tam giác ABC và tam giác A’B’C’ bằng nhau ” và mệnh đề Q = “Tam giác ABC và tam giác A’B’C’c ó diện tích bằng nhau ” . Rõ ràng nếu P đúng thì Q đúng , do đ ó mệnh đề P => Q l à đ úng . e) Xét mệnh đề P = “ Tam giác ABC đều ” và mệnh đề Q = “ Tam giác ABC cân và có một góc bằng 60 0 ” Rõ ràng nếu P đúng thì Q đúng , vậy P => Q là đúng . Chương 1. Mệnh đề- Tập hợp www.saosangsong.com.vn 3 3 Ngược lại nếu Q đúng thì tam giác ABC có ba góc bằng nhau , do đó ABC là tam giác đều , tức P đúng , vậy Q => P là đúng . Vậy mệnh đề cho là đúng . Ví dụ 2 : Tìm x để các mệnh đề sau là đúng : a) “ x là số nguyên trong khoảng (0 ; 15 ) và chia hềt cho 3 ” b) “ 2x 2 – 5x + 2 = 0 ” c) “ x là số dương thỏa (x – 2) 2 > x 2 + 13 ” d) “ x không là thỏa phương trình : (2x – 5)(x + 6) = 0 ” Giải a) Trong khoảng (0 ; 15 ) , những số nguyên chia hết cho 3 là 3 , 6, 9 , 12 . Vậy mệnh đề đúng khi x = 3 , 6 , 9 , 12 . b) Phương trình : 2x 2 – 5x + 2 = 0 có hai nghiệm là x = 2 và x = ½ . Vậy mệnh đề đúng khi x = 2 , ½ . c) Ta giải bất phương trình: (x – 2) 2 > x 2 + 13 Khai triển , rút gọn , ta được : - 4x > 9 Ù x < - 9 / 4 . Vì x > 0 nên bất phương trình này vô nghiệm . Vậy không có x để mệnh đề là đúng , có nghĩa là mệnh đề đã cho sai với mọi x . d) Ta giải phương trình: (2x – 5)(x + 6) = 0 , được hai nghiệm x = 5/2 hay x = - 6 . Vậy mệnh đề cho là đúng khi x ≠ 5/2 và x ≠ - 6 . Dạng 2 : Phủ định một mệnh đề Ví dụ 1 : Xét tính đúng sai các mệnh đề sau v à phủ định mệnh đề ấy . a) P = “Hình vuông có hai đường chéo bằng nhau ” b) Q = “ 2 > 3/2 ” c) R = “ Phương trình : x 4 + 3x 2 + 1 = 0 vô nghiệm ” Giải : a) P đúng . P = “ Hình vuông có hai đường chéo không bằng nhau ” b) Vì 2 = 1, 41. . . và 3/2 = 1, 5 nên Q sai . Q = “ 2 ≤ 3/2 ” c) Vì x 4 ≥ 0 , x 2 ≥ 0 nên x 4 + 3x 2 + 1 > 0 , do đ ó R l à mệnh đề đúng . R = “Phương trình : x 4 + 3x 2 + 1 = 0 c ó nghiệm ” V í dụ 2 : Tìm xem các mệnh đề sau đúng hay sai và phủ định các mệnh đề ấy . a) “ x , x∀ 2 + x + 1 > 0 ” b) “ ∀ x , x 2 ≥ x ” c) “ x , x∃ 3 – 4x 2 + 3x - 3 > 0 ” d) “ x , x∃ 2 + 4x + 5 = 0 ” e) “ ∀ n ∈ N , (2n + 1) 2 – 1 chia hết cho 4 ” . Giải : a) Vì x , x ∀ 2 + x + 1 = (x + ½) 2 + ¾ > 0 , nên “ ∀ x, P(x) ” là mệnh đề đúng . Phủ định của mệnh đề này là : “ x, x∃ 2 + x + 1 ≤ 0 ” : mệnh đề này là sai . b) Phủ định mệnh đề là : “ ∃ x , x 2 < x ” . Mệnh đề này đúng vì nếu lấy x = ½ thì : (1/2) 2 < ½ là đúng . Suy ra mệnh đề “ ∀ x, P(x) ” là sai . Chương 1. Mệnh đề- Tập hợp www.saosangsong.com.vn 4 4 c) Mệnh đề “ x, P(x) ” là đúng vì nếu lấy x = 10 thì : P(10) = 10∃ 3 – 4.10 2 + 3.10 – 3 = 627 > 0 là đúng . Suy ra mệnh đề phủ định “ ∀ x , x 3 – 4x 2 + 3x – 3 ≤ 0 ” : mệnh đề sai . d) Phủ định mệnh đề là : “ ∀ x , x 2 + 4x + 5 ≠ 0 ” . M ệnh đ ề này đúng vì ∀ x , P(x) = (x + 2) 2 + 1 > 0 . Do đó mệnh đề “ ∃ x, P(x) ” là sai . e) Ta chứng minh mệnh đề này đúng . Ta có : (2n + 1) 2 – 1 = 4n 2 – 4n = 4n(n - 1) => đpcm . Phủ định mệnh đề là : “ ∃ n , (2n + 1) 2 – 1 không chia hết cho 4 . Dạng 3 : “Điều kiện cần “ , “Điều kiện đủ ” và “Điều kiện cần và đủ ” Ghi nhớ : Với mệnh đề đúng : “ P => Q ” , có thể phát biểu : “ P là điều kiện đủ để có Q ” hay “ Q là điều kiện cần để có P ” Ví dụ 1 : Nối kết các mệnh đề sau bằng thuật ngữ “ Điều kiện cần ” , “ Điều kiện đủ ” và “ Điều kiện cần và đủ ” a) “ ABCD là hình chữ nhật ” , “ ABCD có ba góc vuông ” b) “ Tam giác ABC và DEF đồng dạng ” , “ Tam giác ABC và DEF có ít nhất một góc bằng nhau ” c) “ a = b ” , “ a 2 = b 2 ” d) “ a là số nguyên lẻ ” , “ a 2 là số nguyên lẻ ” Giải : a) Vì mệnh đề kéo theo “ ABCD là hình chữ nhật ” => “ ABCD có ba góc vuông ” là đúng , nên ta có thể phát biêu : “ ABCD là hình chữ nhật ” là điều kiện đủ để “ ABCD có ba góc vuông ” Hay “ ABCD có ba góc vuông ” là điều kiện cần để “ ABCD là hình chữ nhật ” b) Vì mệnh đề kéo theo “ Tam giác ABC và DEF đồng dạng ” => “ Tam giác ABC và DEF có ít nhất một góc bằng nhau ” là đúng , nên ta có thể phát biểu : “ Để tam giác ABC và DEF có ít nhất một góc bằng nhau thì điều kiện đủ là chúng đồng dạng ” “ Để hai tam giác ABC và DEF đồng dạng thì điều kiện cần là chúng có ít nhất một góc bằng nhau ” c) Vì mệnh đề kéo theo “ a = b ” => “ a 2 = b 2 ” là đúng , nên ta có thể phát biểu : “ Để a 2 = b 2 thì điều kiện đủ là a = b ” “ Để a = b thì điều kiện cần là a 2 = b 2 ” d) Vì mệnh đề kéo theo “ a là số nguyên lẻ ” => “ a 2 là số nguyên lẻ ” là đúng , nên ta có thể phát biểu : “ Để a 2 là số nguyên lẻ thì điều kiện đủ là a là số nguyên lẻ ” “ Để a là số nguyên lẻ thì điều kiện cần là a 2 là số nguyên lẻ ” . Ví dụ 2 : Lập mệnh đề đảo của các định lí sau và cho biết các mệnh đề này đúng hay sai .Sử dụng mệnh đề tương đương , nếu được . a) “ Nếu tứ giác là hình vuông thì tứ giác có bốn cạnh bằng nhau ” b) “ Nếu hai tam giác bằng nhau thì hai tam giác ấy đồng dạng và có một cạnh bằng nhau ” c) “ Nếu hai số nguyên lẻ thì tích của chúng là số lẻ m Chương 1. Mệnh đề- Tập hợp www.saosangsong.com.vn 5 5 Giải a) Mệnh đề đảo là mệnh đề : “ Nếu tứ giác có bốn cạnh bằng nhau thì tứ giác là hình vuông ” . Mệnh đề này sai vì hình thoi cũng có 4 cạnh bằng nhau nhưng không phải là hình vuông . b) Mệnh đề đảo là mệnh đề : “ Nếu hai tam giác đồng dạng và có một cạnh bằng nhau thì hai tam giác ấy bằng nhau “ . Mệnh đề này sai vì hai tam giác ABC và A’B’C’ có các cạnh tương ứng là 3, 4,6 và 6, 8, 12 thì đồng dạng và có một cạnh bằng nhau là 6 nhưng không bằng nhau . c) Mệnh đề đảo là mệnh đề : “ Nếu tích của hai số nguyên là lẻ thì hai số nguyên là lẻ ” . Mệnh đề này đúng , do đó có thể phát biểu : “ Hai số nguyên là lẻ khi và chỉ khi tích của chúng là số lẻ ” * Dạng 4 : Chứng minh bằng phương pháp phản chứng Để chứng minh mệnh đề “A => B ” đúng , ta chứng minh mệnh đề “ AB => “ là đúng , theo các bước sau : • Giã sử B sai , ta chứng minh giả thịết A hay một tính chất đã biết là đúng cũng sai . • Kết luận mệnh đề “ A = > B ” là đúng . Ví dụ 1: Chứng minh nếu tích hai số nguyên a và b là lẻ thì a và b là lẻ Giải : A = “ ab lẻ ” , B = “ a lẻ và b lẻ ” Giả sử B sai tức a chẵn hay b chẵn , thế thì ab là số chẵn , tức A sai . Vậy mệnh đề “ A = > B ” là đúng . Ví dụ 2 : Chứng minh có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là đúng : “ a 2 + b 2 ≥ 2bc ” , “ b 2 + c 2 ≥ 2ca ” , “ c 2 + a 2 ≥ 2ab ” với a, b , c là ba số bầt kì . Giải : Giả sửi cả ba bất đẳng thức trên đều sai, thế thì : “ a 2 + b 2 < 2bc ” , “ b 2 + c 2 < 2ca ” , “ c 2 + a 2 < 2ab ” . Cộng ba bất đẳng thức trên vế với vế , ta được : a 2 + b 2 + b 2 + c 2 + c 2 + a 2 < 2bc + 2ca + 2ab => (a – b) 2 + (b – c) 2 + (c – a) 2 < 0 : mệnh đề này sai , vậy mệnh đề cho là đúng . B. Bài tập rèn luyện . 1.1. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau : a) “ Phương trình : x 2 – 2x – 4 = 0 có nghiệm nguyên ” b) “ d là trung trực của AB Ù ∀ M ∈ d, MA = MB ” c) “ ABCD là hình bình hành ” => ” ABCD có các góc đối bằng nhau ” : d) “( C ) không phải là đường tròn tâm O , bán kính 5 Ù ∃ M ∈ (C ) , OM ≠ 5 ” 1.2. Tìm giá trị của biến số sao cho các mệnh đề sau là đúng : a) “ x ∈ Z và x 2 < 5 ” b) “ x ∈ Z và 2x 2 – 9x + 4 = 0 ” c) “ n là số nguyên dương chia hết cho 3 và 5 nhỏ hơn 50 ” d) “ x < 3 => x 2 > 9 ” e) “ x nguyên thỏa ” ⎩ ⎨ ⎧ <− >− 1743 052 x x 1.3. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau và phủ định các mệnh đề này . a) “ ∀ x ∈ N , x 2 ≥ x ” b) “ ∀ n ∈ Z , n 2 + n là số chẵn ” Chương 1. Mệnh đề- Tập hợp www.saosangsong.com.vn 6 6 c) “ ∀ n ∈ N , 2n 2 + 1 chia hết cho 3 ” d) “ Tam giác nào cũng có ít nhất một góc nhỏ hơn 60 0 ” e) “ Tồn tại một hình thang có ba góc tù ” 1.4. Sử dụng thuật ngữ “ điều kiện cần ” , “ điều kiện đủ “ hay “ điều kiện cần và đủ ” để nối kết các cặp mệnh đề sau sao cho mệnh đề này là đúng . a) “ ABC là tam giác vuông ” , “ AB 2 + BC 2 = AC 2 ” b) “ a và b là hai đường thẳngsong song và a cắt đường thẳng c ” , “ b cắt đường thẳng c ” c) “ a + b > 2 ” , “ a > 1 và b > 1 ” d) “ a chia hết cho 3 và a chia hết cho 6 ” , “ a chia hết cho 18 ” * 1.5. Chứng minh các định lí sau : a) Với mọi số nguyên dương n , nếu n 2 là số lẻ thì n là số lẻ . b) Với mọi số nguyên dương n, nếu n 2 chia hết cho 3 thì n chia hết cho 3 . c) CMR nếu a, b, c là ba cạnh tam giác vuông ( a cạnh huyền ) thì b hay c chia hết cho 3 . d) Trên đường tròn có bán kính là 100m, lấy 630 điểm tùy ý . CMR có ít nhất hai điểm cách nhau không đến 1m . 1.6. Chọn câu đúng : a) “ ∏ là số không nhỏ hơn 4 ” b) “ Nếu a + b > c + d thì a > c và b > d ” ∃ x ∈ N , x 2 = 2 ” c) “ Nếu a > 3 thì a > 0 ” d) “ 1.7. Chọn câu sai : a) Điều kiện cần để ABCD là hình chữ nhật là ABCD là hình vuông. b) Điều kiện đủ để ABCD là hình bình hành là ABCD là hình thoi . c) Cả a và b đều đúng . d) Cả a và b đều sai . 1.8. Chọn câu đúng : a) Điều kiện cần và đủ để tam giác vuông là nó có một trung tuyến ứng với một cạnh thì bằng nửa cạnh ấy . b) Điều kiện cần và đủ dể tứ giác nội tiếp được trong đường tròn là nó có hai góc vuông . c) Cả a và b đều đúng d) Cả a và b đều sai . 1.9. Chọn câu đúng: Phủ định của mệnh đề “ ∀ x ∈ Z , x 2 – x – 1 ≠ 0 ” là : a) “ ∀ x ∈ Z , x 2 – x – 1 = 0 ” b) “ ∃ x ∈ Z , x 2 – x – 1 ≠ 0 ” b) “ x ∈ Z , x ∃ 2 – x – 1 > 0 ” d) “ ∃ x ∈ Z , x 2 – x – 1 = 0 ” 1. 10 . Chọn câu đúng : a) “ Nếu một số tự nhiên chia hết cho 15 thì chữ số tận cùng của nó là 5 hay 0 ” b) “ Nếu hai số dương có tích nhỏ hơn 1 thì có ít nhất một số nhỏ hơn 1 ” c) Cả a và b đều đúng d) Cả a và b đều sai . D.Hứơng dẫn – Đáp số . Chương 1. Mệnh đề- Tập hợp www.saosangsong.com.vn 7 7 1.1. a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Đúng 1.2 . a) x = - 2 , - 1 , 0 , 1, 2 . b) x = 4 c) n chia hết cho 15 , vậy n = 15 , 30 , 45 . d) Mệnh đề p => q chỉ sai khi p đúngvà q sai . Vậy mệnh đề cho là sai khi x < 3 và x 2 9 , tức khi – 3 ≤ ≤ x < 3 . Vậy mệnh đề đúng khi x < - 3 hay x 3 . ≥ e) x nguyên , x > 5/2 và x < 7 , vậy x = 3 , 4, 5,6 . 1.3. a) Vì x 2 – x = x(x – 1) 0 với mọi x là số tự nhiên nên mệnh đề cho là đúng. Phủ định là mệnh đề : “ ≥ ∃ x ∈ N , x 2 < x ” b) Ta có n 2 + n = n(n + 1) . Vì n và n + 1 là hai số nguyên liên tiếp nên trong hai số có một số lẻ , một số chẵn , do đó n(n + 1) luôn là chẵn . Vậy mệnh đề cho là đúng và phủ định là : “ ∃ n ∈ Z , n 2 + n là số lẻ ” c) Mệnh đề này sai vì chọn n = 3 thì 2n 2 + 1 = 19 không chia hết cho 3 . Phủ định là : “ ∃ n ∈ N , 2n 2 + 1 không chia hết cho 3 ” d) Sai , chẳng hạn tam giác đều có ba góc đều không nhỏ hơn 60 0 . Mệnh đề đảo là : “ Tồn tại một tam giác không có góc nào nhỏ hơn 60 0 ” e) Mệnh đề này sai vì hình thang có các cặp góc bù nhau . Phủ định là : “ Mọi hình thang đều không có 3 góc tù ” 1.4. Các độc giả tự phát biểu điều kiện cần . a) Để tam giác ABC vuông điều kiện đủ là AB 2 + BC 2 = AC 2 . Ta không có tương đương v ì tam giác ABC c ó th ể vuông tại A , khi đó ta không có AB 2 + BC 2 = AC 2 . b) Để b cắt c , điều kiện đủ là a // b và a cắt c . c) Để a + b > 2 , điều kiện đủ là a > 1 và b > 1 . d) Để a chia hết cho 3 và cho 6 , điều kiện đủ là a chia hết cho 18 . 1.5. a) Giả sửi n là số chẵn , thế thì ; n = 2k . Suy ra : n 2 = 4k 2 => n 2 là số chẵn : vô lí . Vậy mệnh đề cho là đúng . b) Nếu n không chia hết cho 3 tức n = 3k ± 1 . Thế thì : n 2 = 9k 2 6k + 1 = 3(3k± 2 ± 2k) + 1 . Vậy n 2 không chia hết cho 3 : vô lí , do đó mệnh đề cho là đúng . c) Nếu b và c không chia hết cho 3 , thế thì : b = 3m ± 1 , c = 3n ± 1 Suy ra : b 2 + c 2 = 9(m 2 + n 2 ) ± 6m ± 6n + 2 . Số này chia cho 3 thì dư 2 . Trong khi : • Nếu a = 3k => a 2 chia hết cho 3 . • Nếu a = 3k 1 => a± 2 = 3(3k 2 ± 2k) + 1 => a 2 chia 3 dư 1 . Chương 1. Mệnh đề- Tập hợp www.saosangsong.com.vn 8 8 Do đó a 2 luôn khác 3k + 2 , do đó mệnh đề : a 2 = b 2 + c 2 là sai . Vậy mệnh đề cho là đúng . d) Giả sử không có hai điểm nào cách nhau dưới 1 m , tức mọi cặp điểm đều cách nhau 1m trở lên . Thế thì chu vi đường tròn sẽ lớn 630 dây cung , mỗi dây cung đều dài hơn 1m trở lên . Do đó chu vi đường tròn lớn hơn 630m . Nhưng đường tròn có bán kính là 100m , theo công thức chu vi đường tròn là 2∏R = 200. 3, 1415….< 630m : vô lí . Vậy mệnh đề cho là đúng . 1.6. (c) 1.7. (b) 1.8. (a) 1.9. (d) 1. 10 . (c) § 2. Tập hợp A. Tóm tắt giáo khoa . 1.a ∈ X : a là phần tử của tập hợp X . a ∉ X Ù a không là phần tử của tập hợp X . Có thể xác định một tập hợp bằng 2 cách : * Liệt kê các phần tử giữa hai dấu móc . * Chỉ rõ tính chất cho các phần tử của tập hợp . là tập hợp không chứa phần tử nào cả . ∅ 2. A là tập con của B ( A B , B A ) Ù ⊂ ⊃ ∀ x ∈ A, x ∈ B . 3.a. A ∪ B = {x hoặc x ∈ B } / x A ∈ / x A ∈ ⊂ E C b. A B = {x và x ∈ B } ∩ c. Khi A E : A = {x ∈/ x ∉A} B. Giải toán . Dạng toán 1 : Xác định tập hợp bằng cách liệt kê hay bằng tính chất đặc trưng A B A B A B AUB E A C A E Chương 1. Mệnh đề- Tập hợp www.saosangsong.com.vn 9 9 Ví du 1 : Hãy xác định các tập hợp sau bằng cách liệt kê tất cả các phần tử của tập hợp : 3 a) A = {x b) B = {x Q / x 3x 0} ∈ Z / 3 x 2}∈−<< −= Z / 4x 8x 3 0}∈−+= c) C = {x 2 Giải a) Ta tìm số nguyên x sao cho – 3 < x < 2 , vậy : A = { - 2 , - 1 , 0 , 1 } Giải a) Ta tìm số nguyên x sao cho – 3 < x < 2 , vậy : A = { - 2 , - 1 , 0 , 1 } b) Ta giải phương trình : x 3 – 3x = 0 Ù x(x 2 – 3) = 0 b) Ta giải phương trình : x 3 – 3x = 0 Ù x(x 2 – 3) = 0 Ù x = 0 hoặc x 2 = 3 Ù x = 0 hoặc x 2 = 3 3 hoặc x = - 3 Ù x = 0 hoặc x = Ù x = 0 hoặc x = Vì x là số hữu tỉ do đó x = 0 . Vậy B = { 0 } c) Ta giải phương trình: 4x 2 – 8x + 3 = 0 , được nghiệm : x = 3/2 hoặc x = ½ Vì x là số nguyên nên cả hai nghiệm đều bị loại và C = ∅ . Ví dụ 2 : Hãy xác định các tập hợp sau bằng cách chỉ ra một tính chất đặc trưng : a) A = { 2 , 3, 5 , 7 } b) B = { 0 , 5 , 10 , 15 , 20 } c) C = { N , A , V , E , M , I , T } d) D = { - 5 , - 2 , - 3 , - 2 , - 1, 0 , 1 , 2 3 , 2 , 5} Giải a) x ∈ A Ù x là số nguyên tố nhỏ hơn 8 . Do đó ta viết : A = {x là số nguyên tố nhỏ hơn 8 } / x b) x ∈ B Ù x là số tự nhiên chia hết cho 5 và không lớn hơn 20 . Do đó ta viết : B = {x ∈ N / x chia hết cho 5 và x 20 } ≤ c) x ∈ C Ù x là các mẫu tự trong chữ VIETNAM . Do đó ta viết : C = { x / x là các mẫu tự trong chữ VIETNAM } d) x ∈ D Ù x 2 là số nguyên và x 2 ≤ 5 . Do đó ta viết : D = { x / x 2 ∈ N và x 2 5 } ≤ Ví dụ 3 : Cho E = { x ∈ Z / 3x 8 x1 + + ∈ Z } a) Tìm tất cả các phần tử của E . b) Tìm các tập con của E có chứa đúng 3 phần tử . c) Tìm các tập con của E có chứa phần tử 0 , và không chứa các ước số của 12 . Giải a) Ta có : 3x 8 3(x 1) 5 5 3 x1 x1 x1 +++ ==+ ++ + ∈ Z Ù x + 1 chia hết 5 Ù x + 1 = 1 hay ± ± 5 . Suy ra : x ∈ { 0 , - 2 ; - 6 ; 4 } . b) Các tập con của (E) chứa đúng 3 phần tử là : { 0 ; - 2 ; - 6 } , { 0 ; - 2 ; 4}; { 0 ; - 6 ; 4 } và { - 2 ; – 6 , 4 }. c) Vì những số - 2 ; - 6 , 4 đều là ước số của 12 , do đó tập con cần tìm là {0}. Dạng toán 2 : Xác định hợp , giao và phân bù của hai tập hợp Ví dụ 1 : Cho E = { x ∈ Z / x 2 ≤ 9 } , B = { x / x 3 – 4x = 0 } , C = { x ∈ Z / | x – 1| < 3 . a) Hãy xác định các tập hợp E , A, B bằng cách liệt kê . Chương 1. Mệnh đề- Tập hợp www.saosangsong.com.vn 10 10 b) Tìm A B , A ∪ B , C A , B . E E C ∩ c) Tìm , . Biểu diễn các tập hợp này bằng biểu đồ Ven . A (A B) C ∩ EE (A B) , ( A) B CC ∪∪ Giải a) Ta có : x 2 9 Ù - 3 x ≤ 3 . Vì x nguyên nên : E = { - 3 , - 2 ; - 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3} ≤ ≤ Ta có : x 3 – 4x = 0 Ù x( x 2 – 4) = 0 Ù x = 0 , ± 2 . A = { - 2 ; 0 ; 2}. Ta có : | x - 1| < 3 Ù - 3 < x – 1 < 3 Ù - 2 < x < 4 . Vì x nguyên nên B = { - 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 } b) Ta có : A B = { 0 ; 2 } , A B = { - 2 ; - 1; 0 ; 1 ; 2 ; 3 } . A là tập con của E nện A = { - 3 ; - 1; 1 ; 3 } . ∩ ∪ E C Vì B là tập con của E nên B = { - 3 ; - 2 } E C c) Vì A B là tập con của A nên ta có : ∩ A B A B (A B) = { - 2 } A C ∩ Vì A B là con của E nên ta có : ∪ C A (A B) (A B ) = { - 3 } E C ∪ Ta có : A B = { - 3 ; - 1; 0 ; 1 ; 2 ; 3 } E C ∪ A B AUB C E AUB E A B C E ( A )UB E Ví dụ 2 : Một lớp có 44 học sinh trong đó có 28 học sinh không dự thi môn điền kinh nào trong hội khỏe Phù Đổng , có 6 học sinh thi môn chạy 1000m , có 7 học sinh thi môn chạy 100m và 7 học sinh thi bơi lội . Biết rằng các học sinh có thể thi hai môn nhưng học sinh thi bơi thì không thi chạy . Hỏi có bao nhiêu học sinh : a) thi cả hai môn chạy . b) chỉ thi môn chạy 1000m hoặc môn chạy 100m . Giải a) Biểu diễn biểu đồ Ven , E là tập hợp các học sinh của lớp , A , B , C lần lượt là tập hợp các học sinh thi chạy 1000 m , chạy 100m và bơi . A B C 7 E 28 4 2 3 Tổng số các phần tử của A, B và C là : 44 – 28 = 16 Vì C và A B cách biệt nên số phần tử của tập hợp A ∪ B là : 16 – 7 = 9 . ∪ Số học sinh thi cà hai môn chay là số phần tử của tập hợp A ∩ B . Nếu gọi n(X) là số phần tử của tập hợp X , thì ta có : n(A) + n(B) = n( A ∪ B) + n(A ∩ B) . Suy ra số học sinh thi cả hai môn chạy là : n(A B) = 6 + 7 – 9 = 4 ∩ Số học sinh chỉ thi môn chạy 1000 m là : n(A) – n(A ∩ B) = 6 – 4 = 2 . Số học sinh chỉ thi môn chạy 100 m là : n(B) – n(A ∩ B) = 7 – 4 = 3 . . n(T) + n(L) + n(H) – n(A B ∪ C) = 14 + 10 + 11 – 22 = 13 ∪ 1. 16 . (a) 1. 17. (b) 1. 18. (c) 1. 19. (d) 1. 20. (d) § 3. Các tập hợp số A. Tóm tắt giáo khoa . 1. N : tập hợp các số tự nhiên. 3,7782 1. 25. Giá trị gần đúng là a = (223/ 71 + 22/7)/2 = 3, 14 185. . . π = 3, 14 159 … Chương 1. Mệnh đề- Tập hợp www.saosangsong.com.vn 16 16 Suy ra : | a – π | < 3, 14 19 – 3, 14 15 =. Chương 1. Mệnh đề- Tập hợp www.saosangsong.com.vn 2 2 § 1. Mệnh đề A. Tóm tắt giáo khoa . 1. Mệnh đề là một câu khẳng định đúng (mệnh đề đúng ) hoặc sai (mệnh đề sai) 2. Mệnh đề “ Không