Chuyên đề tổ hợp và số phức

THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP - S S Ố Ố P P H H Ứ Ứ C C Gv: N N g g u u y y ễ ễ n n V V ă ă n n L L o o a a n n – – Ô Ô n n t t h h i i c c ấ ấ p p t t ố ố c c – – N N ă ă m m h h ọ ọ c c 2 2 0 0 1 1 0 0 – – 2 2 0 0 1 1 1 1 - - Trang 2 C C H H U U Y Y Ê Ê N N Đ Đ Ề Ề : : S S Ố Ố P P H H Ứ Ứ C C 1 1 . . Đ Đ Ị Ị N N H H N N G G H H Ĩ Ĩ A A P P H H É É P P T T O O Á Á N N S S Ố Ố P P H H Ứ Ứ C C I> Khái niệm số phức:  Là biểu thức có dạng a + b i , trong đó a, b là những số thực và số i thoả 2 i = –1. Kí hiệu là z = a + b i với a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo.  Tập hợp các số phức kí hiệu là  = {a + b i / a, b  và 2 i = –1}. Ta có    .  Số phức có phần ảo bằng 0 là một số thực: z = a + 0. i = a     Số phức có phần thực bằng 0 là một số ảo: z = 0.a + b i = b i . Đặc biệt i = 0 + 1. i  Số 0 = 0 + 0.i vừa là số thực vừa là số ảo. II> Số phức bằng nhau:  Cho hai số phức z = a + b i và z’ = a’ + b’ i . Ta có z = z  ' ' aa bb        VD: Tìm các số thực x, y biết: (2x – 3) – (3y+1) i = (2y + 1) + (3x – 7) i (1) (1)  2321 2 2 3137 2 0 xy xy x yx xy y            III> Biểu diễn hình học của số phức:  Mỗi số phức z = a + b i được xác định bởi cặp số thực (a; b).  Trên mặt phẳng Oxy, mỗi điểm M(a; b) được biểu diễn bởi một số phức và ngược lại.  Mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức được gọi là mặt phẳng phức. Gốc tọa độ O biểu diễn số 0, trục hoành Ox biểu diễn số thực, trục tung Oy biểu diễn số ảo.   VD: Các điểm A, B, C, D biểu diễn các số phức là: A z = 1 + 4 i , B z = –3 + 0. i , C z = 0 –2 i , D z = 4 – i IV> Môđun của số phức:  Số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy. Độ dài của véctơ OM  được gọi là môđun của số phức z. Kí hiệu 22 z =a+bi= a +b   VD: z = 3 – 4 i có 22 34 3 (4)zi   = 5   Chú ý: 2 222 222 2222 2()4z a b abi a b a b a b z     V> Số phức liên hợp:  Cho số phức z = a + b i , số phức liên hợp của z là z abi   .  z =a+bi z =a-bi ; zz , z =z * Chú ý iiiiZZ nn  ;;)()(  Z là số thực  Z Z   Z là số ảo  Z Z  * Môđun số phức Z=a + b.i (a; b  R) zzbaOMZ . 22  Chú ý: ZZ   z   C  Hai điểm biểu diễn z và z đối xứng nhau qua trục Ox trên mặt phẳng Oxy. VI> Cộng, trừ số phức:  Số đối của số phức z = a + b i là –z = –a – bi  Cho z abi và ''' z abi . Ta có z ± z' = (a ± a')+ (b ± b')i  Phép cộng số phức có các tính chất như phép cộng số thực. VII> Phép nhân số phức:  Cho hai số phức z abi và ''' z abi   . Nhân hai số phức như nhân hai đa thức rồi thay 2 i = –1 và rút gọn, ta được: z .z' = a.a' - b.b' + (a.b' + a'.b)i  k.z = k(a + bi ) = ka + kbi . Đặc biệt 0.z = 0 z   z. z = (a + b i )(a – b i ) hay 2 22 z .z = a + b = z THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP - S S Ố Ố P P H H Ứ Ứ C C Gv: N N g g u u y y ễ ễ n n V V ă ă n n L L o o a a n n – – Ô Ô n n t t h h i i c c ấ ấ p p t t ố ố c c – – N N ă ă m m h h ọ ọ c c 2 2 0 0 1 1 0 0 – – 2 2 0 0 1 1 1 1 - - Trang 3   VD: Phân tích 2 z + 4 thành nhân tử. 2 z + 4 = 2 z – 2 (2 )i = (z – 2 i )(z + 2 i ).  Phép nhân số phức có các tính chất như phép nhân số thực. VIII> Phép chia số phức:  Số nghịch đảo của số phức z abi  0 là -1 2 1z z= = z z hay 22 1a-bi = a+bi a +b  Cho hai số phức z abi  0 và ''' z abi   thì 2 ''.zzz z z  hay 22 a' + b'i (a' + b'i)(a - bi) = a+bi a +b   VD: Tìm z thoả (1 + 2 i )z = 3z – i . Ta có (3 – 1 – 2 i )z = i  z = 22 i i   (2 2 ) 2 2 1 1 44 8 4 4 ii i zzzi       IX> Lũy thừa của đơn vị ảo: Cho k N  4k 4k +1 4k+2 4k+3 i = 1; i = i; i = -1; i = -i   VD: Tìm phần thực và ảo của số phức: z = 13 (2 2 )i 6 2 6 6 6 19 19 (2 2 ) (2 2 ) (8 ) (2 2 ) 8 .2 8 .2 2 2zi iii i i         Phần thực a = 19 2 , phần ảo b = 19 2 2 2 . . B B À À I I T T Ậ Ậ P P P P H H É É P P T T O O Á Á N N S S Ố Ố P P H H Ứ Ứ C C . . 1) Tìm các số thực x, y biết: a) (3x –2) + (2y +1)i = (x + 1) – (y – 5)i; c) (1 – 2x) – i 3 = 5 + (1 – 3y)i; b) (2x + y) + (2y – x)i = (x – 2y + 3) + (y + 2x +1)i;  Hướng dẫn: a) x = 3 2 , y = 4 3 c) x = 15 2  , y = 13 3  b) x = 0, y = 1. 2) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa: a) Phần thực của z bằng –2; b) Phần ảo của z bằng 3; c) Phần thực của z thuộc khoảng (–1; 2); d) Phần ảo của z thuộc đoạn [1; 3]; e) Phần thực và phần ảo của z đều thuộc đoạn [–2; 2].  Hướng dẫn: a) Là đường thẳng x = –2; b) Là đường thẳng y = 3; c) Là miền trong giới hạn bởi hai đường thẳng song song x = –1 và x = 2 không tính biên; d) Là miền trong giới hạn bởi hai đường thẳng song song y = 1 và y = 3 tính cả biên; e) Là miền trong giới hạn bởi bốn đường thẳng đôi một song song x = –2, x = 2 và y = –2, y = 2 tính cả biên. 3) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa: a) |z| = 1; b) |z|  1 c) 1 < |z|  2 d) |z| = 1 và phần ảo của z bằng 1.  Hướng dẫn: a) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa 22 1ab   , là đường tròn tâm O, bán kính R = 1; b) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa 22 1ab   , là hình tròn tâm O, bán kính R = 1 tính cả biên; c) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa 22 12ab   , là hình vành khăn tâm O, bán kính r = 1 không tính biên, bán kính lớn R = 2 tính biên; 4)Thực hiện các phép tính sau: b) 2i(3 + i)(2 + 4i) c) 23 (1 ) (2 ) 2 ii i   5)Giải phương trình sau: c) (3 – 2i)z + (4 + 5i) = 7 + 3i; b) (1 + 3i)z – (2 + 5i) = (2 + i)z c) (2 3 ) 5 2 43 z ii i    THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP - S S Ố Ố P P H H Ứ Ứ C C Gv: N N g g u u y y ễ ễ n n V V ă ă n n L L o o a a n n – – Ô Ô n n t t h h i i c c ấ ấ p p t t ố ố c c – – N N ă ă m m h h ọ ọ c c 2 2 0 0 1 1 0 0 – – 2 2 0 0 1 1 1 1 - - Trang 4  Hướng dẫn: a) z = 1 b) z = 89 55 i  c) z = 15 – 5i. 6)Xác định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một lục giác đều có tâm là gốc tọa độ O trong mặt phẳng phức, biết rằng một đỉnh biểu diễn số i.  Hướng dẫn:Gọi A là điểm biểu diễn số phức i thì D biểu diễn số –i. cos ;sin 66 F      nên F biểu diễn số 31 22 i . C đối xứng F qua O nên C biểu diễn số 31 22 i   . E đối xứng F qua Ox nên E biểu diễn số 31 22 i . B đối xứng E qua O nên B biểu diễn số 31 22 i 7)Cho 13 22 zi  . Hãy tính: 23 2 1 ;; ;();1 zz z z z z   .  Hướng dẫn : Ta có 1z  nên 113 22 iz z    ; 2 13 22 zi  ; 32 .1zzz   ; 2 10zz  8)Chứng minh rằng: a) Phần thực của số phức z bằng  1 2 zz  , phần ảo của số phức z bằng  1 2 zz i  b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi zz   . c) Số phức z là số thực khi và chỉ khi zz  . d) Với mọi số phức z, z  , ta có '','.'zz zz zz zz  và nếu z  0 thì ''zz zz      Hướng dẫn: ,zabizabi   (1) a) Lấy vế cộng vế  Phần thực của số phức z bằng  1 2 zz  . Lấy vế trừ vế  phần ảo của số phức z bằng  1 2 zz i  . b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi phần thực bằng 0  0 z zzz   . c) Số phức z là số thực khi và chỉ khi phần ảo bằng 0  0 z zzz   . d) 22 ;' '';zabi z abi zza b    là số thực ' ( ') ( ') ( ') ( ') ( ) ( ' ' ) 'zz aa bbi aa bbi abi abi zz '('')('')('')('')( )('').'zz aa bb ab a b i aa bb ab a b i a bi a b i z z    ''.'.'.' zzzzzzzz zzzzzzzz        9)Chứng minh rằng với mọi số nguyên m > 0, ta có 44142 43 1; ; 1; mm m m iiii i i      Hướng dẫn: Ta có 422 .1iii  44441414242 43 11.1. 1.1. m mm m m m m m m i i iiii iiiiii ii ii i                    10)Chứng minh rằng: e) Nếu u  của mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thì ||||uz   và từ đó nếu hai điểm 12 ,AA theo thứ tự biểu diễn số phức 12 ,zz thì 12 2 1 AA z z     ; f) Với mọi số phức z, z  , ta có |z.z  | = |z|.|z  | và khi z  0 thì ' ' z z zz  g) Với mọi số phức z, z  , ta có '' z zzz    Hướng dẫn: THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP - S S Ố Ố P P H H Ứ Ứ C C Gv: N N g g u u y y ễ ễ n n V V ă ă n n L L o o a a n n – – Ô Ô n n t t h h i i c c ấ ấ p p t t ố ố c c – – N N ă ă m m h h ọ ọ c c 2 2 0 0 1 1 0 0 – – 2 2 0 0 1 1 1 1 - - Trang 5 a) z abi thì 22 z ab   , u  biểu diễn số phức z thì u  = (a; b)  22 uab  do đó ||||uz  12 ,AA theo thứ tự biểu diễn số phức 12 ,zz thì 12 2 1 2 1 12 2 1 A A OA OA z z A A z z         b) z abi , ''' z abi ,     .' ' ' ' ' z zaabb ababi , 22 2 2 ,' ' ' z abz ab  Ta có   22 22 2 2 .' ' ' z zabab  Ta có      2 222222 22 2 2 .' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' z zaabbababaabbabababab        Vậy |z.z| = |z|.|z| Khi z  0 ta có 22 '. '. ' ''. . zz zz z zzz zzz z zz    c) u  biểu diễn z, 'u   biểu diễn z thì 'uu    biểu diễn z + z và ''zz uu    Khi ,' 0uu    , ta có    2 222 22 ' '2'cos,' '2' 'u u u u uu uu u u uu u u                  ''uu u u    do đó '' z zzz 11)Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện sau: h) 1 z i b) 1 zi zi    c) 34 z zi    Hướng dẫn: Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức. a) Với zxyi   2 22 2 1 ( 1) 1 ( 1) 1 1 1zi x y i x y x y          Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I(0; 1) bán kính R = 1. b) Với zxyi    22 22 1(1)(1) 1 1 0 zi xy ixy i x y x y y zi                 Tập hợp các điểm M là trục thực Ox. c) Với zxyi  22 2 2 34 (3)(4) (3)(4) z zixyix yixyx y        68250xy . Tập hợp các điểm M là đường thẳng 68250xy   12)Chứng minh rằng với mọi số phức z  1, ta có 10 29 1 1 1 z zz z z        Hướng dẫn: Với z  1,     29 2910 2910 1 1 1 1zz z z zz z z zz z z              Chia hai vế cho z – 1 hằng đẳng thức được chứng minh.(Cấp số nhân) 13)Hỏi mỗi số sau đây là số thực hay số ảo (z là số phức tùy ý sao cho biểu thức xác định)? 22 ()zz 33 () zz zz   22 () 1 zz zz    Hướng dẫn: Ta có ,zabizabi  , 222 222 ()2,()2,z a b abi z a b abi  Và 33 2 2333 2 23 (3)(3 ), (3)(3 )z a ab a b b i z a ab a b b i      Vậy 22 22 ( ) 2( )zz ab là số thực; 333 2 () 3 zz b i zz aab    là số ảo; 22 22 () 4 1. 1 zz ab i zz a b    là số ảo. 13)Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện sau: i) 2 z là số thực âm; b) 2 z là số ảo ; c) 22 ()zz d) 1 zi là số ảo.  Hướng dẫn: M(x; y) biểu diễn z thì 222 222 2; 2z x yi z x y xyi z x y xyi  a) 2 z là số thực âm khi xy = 0 và 22 0xy    x = 0 và y  0. Tập hợp các điểm M là trục Oy trừ O THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP - S S Ố Ố P P H H Ứ Ứ C C Gv: N N g g u u y y ễ ễ n n V V ă ă n n L L o o a a n n – – Ô Ô n n t t h h i i c c ấ ấ p p t t ố ố c c – – N N ă ă m m h h ọ ọ c c 2 2 0 0 1 1 0 0 – – 2 2 0 0 1 1 1 1 - - Trang 6 b) 2 z là số ảo khi 22 0xy  y =  x. Tập hợp các điểm M là 2 đường phân giác của gốc tọa độ. c) 22 ()zz khi xy = 0  x = 0 hoặc y = 0. Tập hợp các điểm M là 2 trục tọa độ. d) 1 zi = 22 1(1) (1) (1) x yi xy ix y     là số ảo khi x = 0, y  1. Tập hợp M là trục Oy bỏ điểm M(0; 14).Tìm nghiệm phức của phương trình sau: j) 20iz i c)   240iz   e) 2 40z   k)  23 1iz z d)       13 230iz z i z i    Hướng dẫn: a) 12 z i b) 13 10 10 zi  c) 84 55 zi   d) ;3;23ii i   e) 2 z i   2) Tìm : 15) Cho số phức zxyi   (x, yR). Khi z  1, hãy tìm phần thực và phần ảo của số phức zi zi   b) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện zi zi   là số thực dương.  Hướng dẫn: a) Phần thực là 22 22 1 (1) xy xy   , phần ảo 22 2 (1) x xy b) Là số thực dương khi 0x  và 22 10xy    Tập hợp là trục Oy bỏ đoạn IJ với I, J là điểm biểu diễn hai số phức ,ii . 16)a) Trong mặt phẳng phức cho 3 điểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn số phức 123 ,,zzz. Hỏi trọng tâm ABC biểu diễn số phức nào? b) Xét 3 điểm A, B, C của mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số phức 123 ,,zzz thỏa 12 3 z zz . Chứng minh rằng A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác đều khi và chỉ khi 123 0zzz  Hướng dẫn: a) Gọi G là trọng tâm ABC, ta có    123 11 33 OG OA OB OC z z z      vậy G biểu diễn số phức  123 1 3 zzzz b) Vì OA OB OC  nên A, B, C thuộc đường tròn tâm O. Tam giác ABC đều khi trọng tâm G trùng O hay 123 0zzz. 3 3 . . C C Ă Ă N N B B Ậ Ậ C C H H A A I I C C Ủ Ủ A A S S Ố Ố P P H H Ứ Ứ C C & & P P H H Ư Ư Ơ Ơ N N G G T T R R Ì Ì N N H H B B Ậ Ậ C C H H A A I I . . I> Căn bậc hai của số phức: Cho số phức w, mỗi số phức z = a + b i thoả 2 z = w được gọi là căn bậc hai của w.   w là số thực: w = a   a = 0: Căn bậc hai của 0 là 0  a > 0: Có hai căn bậc hai đối nhau là a và – a  a < 0: Có hai căn bậc hai đối nhau là .ai và – .ai   w là số phức: w = a + b i (a, b  , b  0) và z = x + y. i là 1 căn bậc hai của w khi 2 zw      22 2 x -y =a (x + yi) = a + bi 2xy = b  Mỗi số phức đều có hai căn bậc hai đối nhau.   VD: Tính căn bậc hai của w = –3 + 4 i . Gọi z = x + y i là căn bậc hai của w. Ta có 22 22 3 ()34 24 xy zw xyi i xy         THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP - S S Ố Ố P P H H Ứ Ứ C C Gv: N N g g u u y y ễ ễ n n V V ă ă n n L L o o a a n n – – Ô Ô n n t t h h i i c c ấ ấ p p t t ố ố c c – – N N ă ă m m h h ọ ọ c c 2 2 0 0 1 1 0 0 – – 2 2 0 0 1 1 1 1 - - Trang 7 22 4 2 2 3340 4 22 2 xy y y y xx x yy y                   2 1 y x      hoặc 2 1 y x        . Vậy có 2 căn bậc hai của w là 1 z = 1 + 2 i , 2 z = –1 – 2 i . II> Phương trình bậc hai: 1) Phương trình bậc hai với hệ số a,b,c là số thực: 22 0( 0), 4ax bx c a b ac   .    0: Phương trình có 2 nghiệm thực 1,2 2 b x a      < 0: Phương trình có 2 nghiệm phức 1,2 ||. 2 bi x a      VD: Giải phương trình 3 80x  333 2 2 2 80 2 0 ( 2)( 2 4)0 240(1) x xx xxx xx             (1) có  = 1 – 4 = –3 =  2 3.i nên có 2 nghiệm phức 1,2 13. x i . Do đó phương trình có 3 nghiệm 123 1 3., 1 3., 2xixix   2) Phương trình bậc hai với hệ số phức: 22 0( 0), 4Ax Bx C A B AC   , abi     = 0: Phương trình có nghiệm kép 2 B x A      0: Phương trình có 2 nghiệm 1,2 2 B x A     với  là 1 căn bậc hai của  .  VD: Giải phương trình: a) 2 102ziz ; b) 2 (3 2 ) 5 5 0zizi   a) 2 102ziz có  = –1 – 8 = – 9 = 2 (3 )i . Phương trình có 2 nghiệm phức 1 3 4 ii zi    , 2 31 42 ii zi    b) 2 (3 2 ) 5 5 0zizi  có  = 22 (3 2 ) 4(5 5 ) 9 12 4 20 20 15 8iiiiii  = 2 (1 4 )i Phương trình có 2 nghiệm phức 1 32 14 13 2 ii zi      ; 2 32 14 2 2 ii zi    4 4 . . B B À À I I T T Ậ Ậ P P P P H H Ư Ư Ơ Ơ N N G G T T R R Ì Ì N N H H B B Ậ Ậ C C H H A A I I 1) Giải các phương trình sau trên tập phức: a) 2 3210zz b) 2 7320zz   ; c) 2 57110zz    Hướng dẫn: a) 12 3 i b) 347 14 i c) 7 171 10 i 2) Giải các phương trình sau trên tập phức: a) 42 60zz b) 42 7100zz  Hướng dẫn : a) 2; 3i b) 2; 5ii 3) Cho a, b, c  R, a  0, 12 ,zz là hai nghiệm phương trình 2 0az bz c   . Hãy tính 12 zz  và 12 zz theo các hệ số a, b, c.  Hướng dẫn: 12 zz  = b a  , 12 zz = c a 4) Cho z = a + bi là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z, z làm nghiệm. THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP - S S Ố Ố P P H H Ứ Ứ C C Gv: N N g g u u y y ễ ễ n n V V ă ă n n L L o o a a n n – – Ô Ô n n t t h h i i c c ấ ấ p p t t ố ố c c – – N N ă ă m m h h ọ ọ c c 2 2 0 0 1 1 0 0 – – 2 2 0 0 1 1 1 1 - - Trang 8  Hướng dẫn: Phương trình ẩn x nhận z, z làm nghiệm nên có (x – z)(x – z ) = 0  2 () 0xzzxzz  . Với z + z = 2a, z z = 22 ab . Vậy phương trình đó là 222 20xaxab   5) Chứng minh rằng nếu z là một căn bậc hai của w thì z w  Hướng dẫn: z abi   là một căn bậc hai của w  2 22 z wzwzwz w      VD:  2 34 2ii tức 2 z i là một căn bậc hai của 34wi   thì z w 6) Tìm nghiệm phức của các phương trình sau: a) 2 1zz b) 2 250zz c) 2 (1 3 ) 2(1 ) 0zizi    Hướng dẫn: a) 2 2 115 1 5 1 5 2. . 244 2 4 2 2 zz z z     b)   222 2 2501412 12 12zz z z i z iz i  c)   22 13 81 2 1iiii       Phương trình có hai nghiệm phức là 12 2; 1ziz i. 7) a) Hỏi công thức Viét về phương trình bậc hai với hệ số thực có đúng cho phương trình bậc hai với hệ số phức không? Vì sao? b) Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 4 – i và tích của chúng bằng 5(1 – i). c) Có phải mọi phương trình bậc hai 2 0zBzC   (B, C là hai số phức) nhận hai nghiệm là hai số phức liên hợp không thực phải có các hệ số B, C là hai số thực? Vì sao? Điều ngược lại có đúng không?  Hướng dẫn: a) Hai nghiệm của phương trình bậc hai hệ số phức là  22 1,2 4 2 B zBAC A      nên 12 12 ; B C zz zz A A   . b) Hai số cần tìm là nghiệm phương trình     2 4510zizi   Có  2 512 23ii    nên hai số cần tìm là 12 3; 12ziz i  . c) Phương trình 2 0zBzC   có hai nghiệm là ;z a bi z a bi   thì  2Bzz a   là số thực và 22 .Czza b là số thực. Điều ngược lại không đúng. 8) a) Giải phương trình sau:    22 210ziz iz b) Tìm số phức B để phương trình 2 30zBzi   có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8.  Hướng dẫn : a)    2 2 0zizi có 3 nghiệm là 22 22 ;; 22 22 iii . b) Ta có 12 12 ;. 3zz Bzz i  nên    22 22 2 2 12 12 12 828683 3zz zz zz B i B i B i       9) Tìm nghiệm của phương trình 1 zk z   trong các trường hợp sau: a) k = 1; b) k = 2 ; c) k = 2i.  Hướng dẫn: 2 1 10zkzkz z     có 2 nghiệm  22 1,2 4 2 k zk       a) k = 1 thì 1,2 13 22 zi b) k = 2 thì 1,2 22 22 zi c)   1,2 212kiz i  10) Giải phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên mặt phẳng phức mỗi phương trình sau: a) 3 10z  ; b) 4 10z  ; c) 4 40z   ; d) 43 88 1zzz  Hướng dẫn: THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP - S S Ố Ố P P H H Ứ Ứ C C Gv: N N g g u u y y ễ ễ n n V V ă ă n n L L o o a a n n – – Ô Ô n n t t h h i i c c ấ ấ p p t t ố ố c c – – N N ă ă m m h h ọ ọ c c 2 2 0 0 1 1 0 0 – – 2 2 0 0 1 1 1 1 - - Trang 9 a)   32 13 13 10 1 1 0 1, , 22 22 zzzzzzizi     . b) 442 10 1 1 1,zzzzzi         c)     442 40 4 2 1 , 1 z zzizizi           d)      32 113 18 1 0 12 14 2 1 0 1, , 244 zz zzzz zzz i         11) a) Tìm các số thực b, c để phương trình 2 0zbzc   nhận 1 z i   làm nghiệm. b) Tìm các số thực a, b, c để phương trình 32 0zazbzc   nhận 1 z i và z = 2 làm nghiệm.  Hướng dẫn: a)     2 110 20 0202,2 vaøi b i c bc bi bc b b c    b b ) ) Lần lượt thay 1 z i và z = 2 vào phương trình, ta được 2(22 ) 0 84 2 0 bc abi abc          24 22 6 42 8 4 bc a ab b abc c              5 5 . . D D Ạ Ạ N N G G L L Ư Ư Ợ Ợ N N G G G G I I Á Á C C C C Ủ Ủ A A S S Ố Ố P P H H Ứ Ứ C C ( ( t t h h a a m m k k h h ả ả o o ) ) I> Số phức dưới dạng lượng giác: 1) Acgumen của số phức z  0:  Cho số phức z = a + b i  0 được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy. Số đo (rađian) của góc (, )Ox OM     được gọi là một acgumen của z.  Mọi acgumen của z sai khác nhau là k2 tức là có dạng  + k2 (k  ) (z và nz sai khác nhau k2 với n là một số thực khác 0).   VD: Biết z  0 có một acgumen là  . Hãy tìm một acgumen của mỗi số phức sau: –z; z ; – z ; 1 z .  z biểu diễn bởi OM   thì –z biểu diễn bởi – OM   nên có acgumen là  + (2k + 1)  z biểu diễn bởi M đối xứng M qua Ox nên có acgumen là –  + k2  – z biểu diễn bởi – 'OM  nên có acgumen là –  + (2k + 1)  1 z = 1 2 || z z z   , vì 2 1 ||z là một số thực nên 1 z  có cùng acgumen với z là –  + k2. 2) Dạng lượng giác của số phức z = a + b i :  Dạng lượng giác của số phức z  0 là z = r (cos  + i sin  ) với  là một acgumen của z.  Vôùi  22 ab z=a+bi z=r cosφ+isinφ r= a +b ; cosφ =;sinφ = rr   VD:  Số –1 có môđun là 1 và một acgumen bằng  nên có dạng lượng giác là z = cos + i sin  Số 1 + 3 i có môđun bằng 2 và một acgumen bằng  thoả cos  = 1 2 và sin  = 3 2 . Lấy  = 3  thì 1 + 3 i = 2(cos 3  + i sin 3  )  Số 0 có môđun là 0 và một acgumen tuỳ ý nên có dạng lượng giác 0 = 0(cos  + i sin  )   Chú ý:  Số – cos  – i sin  có dạng lượng giác là cos(  + ) + i sin(  + )  Số cos  – i sin  có dạng lượng giác là cos(–  ) + i sin(–  )  Số – cos  + i sin  có dạng lượng giác là cos( –  ) + i sin( –  ) II> Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác: Cho z = r (cos  + i sin  ) và z = r (cos  ’ + i sin  ’) với r , r  0 THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP - S S Ố Ố P P H H Ứ Ứ C C Gv: N N g g u u y y ễ ễ n n V V ă ă n n L L o o a a n n – – Ô Ô n n t t h h i i c c ấ ấ p p t t ố ố c c – – N N ă ă m m h h ọ ọ c c 2 2 0 0 1 1 0 0 – – 2 2 0 0 1 1 1 1 - - Trang 10 z.z' = r.r'[cos(φ+ φ')+ isin(φ+ φ')] và zr =[cos(φ - φ')+ isin(φ - φ')] z' r' ( r  0)  Ta có 1 'z và z có cùng acgumen là –  ’ + k2 nên 11 [cos(')sin(')] '' i zr    . Do đó [cos( - ') sin( - ')] '' zr i zr    ( r ’  0)   VD: 1 33 2cos sin 44 zi       và 2 55 2sin cos 12 12 zi       . Tính 12 .zz và 1 2 z z Với 2 2cos sin 12 12 zi       ; 12 .zz = 55 31 22cos sin 22 6 2. 66 22 iii          và 1 2 z z = 22 2 13 26 cos sin 2 33 2222 2 iii          III> Công thức Moa–vrơ (Moivre) và ứng dụng: 1) Công thức Moa–vrơ : Cho số phức z = r (cos  + i sin  )    n n r(cosφ+isinφ)=r(cosnφ+isinnφ) (n *  ) 2) Căn bậc hai số phức dạng lượng giác:`  Mọi số phức z = r (cos  + i sin  ) ( r > 0) có 2 căn bậc hai là      φφ rcos +isin 22 và 22 cos sin 22 ri                      φφ r cos + π +isin +π 22   VD: Đổi sang dạng lượng giác rồi tính:  100 1 i và căn bậc hai của w = 1 + 3.i  Ta có 1 + i = 11 22cossin 44 22 ii           . Do đó  100 1 i =  100 50 2 cos sin 2 cos25 sin 25 44 ii             w = 1 + 3.i = 2cos sin 33 i       có 2 căn bậc hai là 2cos sin 66 i       và 77 2cos sin 66 i       . 1) Dùng công thức khai triển nhị thức Niutơn  19 1 i và công thức Moavrơ để tính 024 1618 19 19 19 19 19  ððð ð ð .  Hướng dẫn: 12cossin 44 ii        Ta có  19 19 0 0 1 1 2 2 18 18 19 19 19 19 19 19 19 0 1 n kk n k iiiiiii         ðððð ð ð với phần thực là 024 1618 19 19 19 19 19  ððð ð ð  19 19 19 99 19 19 2 2 12cossin 2 22 44 22 ii ii              có phần thực 9 2512 Vậy 024 1618 19 19 19 19 19  ððð ð ð = –512. 2) Tính: 21 2004 533 ; 1 123 ii i i            Hướng dẫn: THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP - S S Ố Ố P P H H Ứ Ứ C C Gv: N N g g u u y y ễ ễ n n V V ă ă n n L L o o a a n n – – Ô Ô n n t t h h i i c c ấ ấ p p t t ố ố c c – – N N ă ă m m h h ọ ọ c c 2 2 0 0 1 1 0 0 – – 2 2 0 0 1 1 1 1 - - Trang 11  2004 2004 2004 1002 1002 12 1 1 cos sin cos sin 122442 2 ii ii i                          21 21 21 21 21 533 2 2 13 2cos sin 2cos14 sin14 2 33 123 i ii i i                    3) Cho số phức   1 13 2 wi  . Tìm các số nguyên dương n để n w là số thực. Hỏi có số nguyên dương m để m w là số ảo?  Hướng dẫn:  14444 1 3 cos sin cos sin 23333 n nn wiiw i          W là số thực khi 4 sin 0 3 n   , điều này xảy ra khi n là bội nguyên dương của 3. Không có m nào để m w là số ảo. 6.CÁC DẠNG BAI TẬP CƠ BẢN 1. Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:    i iii i i 1 32321 1 1 10 2          2. Tìm nghiệm phức của mỗi phương trình sau: a. ; 2 31 1 2 i i z i i      b.    ;0 2 1 .32         i izizi c. ;0|| 2  zz d. 0 2 2  zz ; 3.Tính : a.1+(1+i)+(1+i) 2 +(1+i) 3 +…….+(1+i) 20 b. 1+i+i 2 +i 3 ++……+i 2011 4. Xác đỉnh tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn điều kiện sau: a. ;4|3|  zz b. ;2|1|  izz c.    ziz 2 là số ảo tùy ý; d. |;2|||2 izziz  5. Các vectơ  ',uu trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z’. a. Chứng minh rằng tích vô hướng   '.'. 2 1 '. zzzzuu   ; b. Chứng minh rằng  ',uu vuông góc khi và chỉ khi .|'||'| zzzz    6. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn ,k iz z   (k là số thực dương cho trước). 7. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời 1 1    iz z và .1 3    iz iz 8. Tìm số phức z thỏa mãn 1 4          iz iz 9. Tìm phần thực ;phần ảo ;mô đun số phức: 1tan 1tan i i     10. Giải các phương trình sau trên C : [...]... hợp điểm biểu diễn số phức z là trục Ox TỔ HỢP -SỐ PHỨC S 1 y  0 c) z  z  1  i  x  yi  ( x  1)  ( y  1)i  x 2  y 2  ( x  1) 2  ( y  1)2  x  y  1  0 Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng d: x + y – 1 = 0 2m  6   x  13 m  2i 2m  6 3m  4  z  i  3x  2 y  2  0 d) (2  3i ) z  2i  m  0  z  2  3i 13 13  y   3m  4  13  Tập hợp điểm biểu diễn số phức. .. (n là số nguyên n  1! k k dương, An là số chỉnh hợp chập k của n phần tử và C n là số tổ hợp chập k của n phần tử) 3 ĐS: M  4 5 (ĐH_Khối A 2006) 8 n  1  Tìm số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Newton của  4  x 7  , biết rằng x  n 1 2 20 k C 2 n 1  C 2 n 1    C 2 n 1  2  1 , (n nguyên dương và C n là số tổ hợp chập k của n phần tử) ĐS: 210 6 (ĐH_Khối D 2008) 1 3 2n k Tìm số nguyên... 3  3i   19 Hỏi với số nguyên dương n nào, số phức   3  3i    1 2 z 20.Viết dạng lượng giác số z=  n là số thực, là số ảo? 3 i Suy ra căn bậc hai số phức z 2 BÀI TẬP TỰ RÈN 1) Tìm các số thực x, y sao cho: a) 3x + yi = 2y + 1 + (2 – x)i; b) 2x + y –1 = (x + 2y – 5)i  Hướng dẫn: a) x = 1, y = 1 b) x = –1, y = 3 2) Chứng tỏ rằng với mọi số phức z, ta luôn có phần thực và phần ảo không vượt... Tính tổng C n  Cn  Cn    C n , ( C n là số tổ hợp 2 3 n 1 n 1 n 1 3 2 chập k của n phần tử) ĐS: n 1 Gv: Nguyễn Văn Loan – Ôn thi cấp tốc – Năm học 2010 – 2011- Trang 19 THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -SỐ PHỨC S 13 (ĐH_Khối A 2008) Cho khai triển (1+2x)n=a0+a1x+ … +anxn, trong đó nN* và các hệ số a0, a1,…an thỏa mãn hệ thức a a a 0  1    n  4096 Tìm số lớn nhất trong các số. .. các số nguyên dương, k≤n, C n là số tổ hợp chập k Chứng minh rằng  C C n  2  n 1 C n 1  n của n phần tử) 11 (ĐH_Khối B 2007) Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển nhị thức Newton của (2+x)n, biết: k 3nCn03n1Cn1+3n2Cn23n3Cn3+ … +(1)nCnn=2048 (n là số nguyên dương, C n là số tổ hợp chập k của n phần tử) ĐS: 22 12 (ĐH_Khối B 2003) 2 2  1 1 23  1 2 2 n 1  1 n k 0 Cho n là số nguyên... 3 3i  9  3 3i 8 8(1  i )     4  4i 1 i 1 i 1 i 11  z = –4 + 4i và iz = –4 – 4i  z  iz = –8 – 8i Do đó : z  iz   8   8 2 2 8 2 Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP A LÝ THUYẾT 1 Giai thừa: n!= n.(n1)!=n.(n1).(n2) … 3.2.1, n≥0 n! k , n≥k>0 2 Số chỉnh hợp chập k của n phần tử: An  n  k ! n! k 3 Số tổ hợp chập k của n phần tử: C n  , n≥k≥0 k!n  k ! 4 Quy ước n!=0!=1 5 Nhị thức... hình |z|min z Bài 24 Trong các số phức thỏa mãn z  2  3i  HD: 26  3 13 78  9 13  i 13 26 2 Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau: 1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)3+ … + (1+i)20 HD: Áp dụng công thức tính tổng của CSN ĐS: phần thực 210, phần ảo: 210+1 ĐS: z  CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG Bài 1 (Đề thi Cao đẳng năm 2009 – Khối A, B, D) a) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Cho số phức z thoả mãn (1  i ) 2 (2... 2010 – Khối A) a) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm phần ảo của số phức z thỏa: z  ( 2  i ) 2 (1  2i ) b) Chương trình Nâng Cao (1 điểm) Cho số phức z thỏa: z  z  iz  Hướng dẫn: Gv: Nguyễn Văn Loan – Ôn thi cấp tốc – 2 (1  3i )3 Tìm môđun của số phức 1 i Năm học 2010 – 2011- Trang 17 THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -SỐ PHỨC S    a) Gọi z = a + bi, ta có: z  ( 2  i ) 2 (1 ... 1  i 2 2 Phương trình z 2  iz  1  3i  0 có nghiệm z3  1  2i; z4  1  i Bài 1 Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = ( x  yi ) 2  2( x  yi )  5 Với giá trị nào của x, y thì số phức trên là số thực  Hướng dẫn: Phần thực là x 2  y 2  2 x  5 , phần ảo là 2( xy  y ) Số phức trên là số thực khi y = 0 hoặc x = 1 Bài 2 Thực hiện các phép tính: 2  i 2 1 i 2 g) (1  i ) 2010  (1  i... Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -SỐ PHỨC S 2 4 f)   i g) z  3  i h) z  3i 5 5 Bài 4 Biết z1 và z2 là hai nghiệm của phương trình z 2  3 z  3  0 Hãy tính: z z 2 2 2 3 b) z13  z2 ; c) 1  2 ; d) z1  z2 a) z12  z2 ; z2 z1  Hướng dẫn: z z 2 2 2 3 a) z12  z2 = –3; b) z13  z2 = 6 3 ; c) 1  2 = –1; d) z1  z2 = 6 z2 z1 Bài 5 Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 3 và tích của chúng bằng . của số phức z bằng  1 2 zz  , phần ảo của số phức z bằng  1 2 zz i  b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi zz   . c) Số phức z là số thực khi và chỉ khi zz  . d) Với mọi số phức. nhân số phức có các tính chất như phép nhân số thực. VIII> Phép chia số phức:  Số nghịch đảo của số phức z abi  0 là -1 2 1z z= = z z hay 22 1a-bi = a+bi a +b  Cho hai số phức. V> Số phức liên hợp:  Cho số phức z = a + b i , số phức liên hợp của z là z abi   .  z =a+bi z =a-bi ; zz , z =z * Chú ý iiiiZZ nn  ;;)()(  Z là số thực  Z Z   Z là số