chuyên đề số phức

sivantran@gmail.com - 01689583116 SỐ PHỨC I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Khái niệm số phức Một biểu thức dạng z = a + bi, trong đó a và b là những số thực và i thỏa mãn i 2 = -1 được gọi là số phức. a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo. Tập hợp số phức được kí hiệu là C. Số phức có phần ảo bằng 0 gọi là số thực nên R C⊂ . Số phức có phần thực bằng 0 gọi là số ảo. 0 = 0 + 0i là số vừa thực vừa ảo. 2. Biểu diễn hình học Số phức z = a + bi ( ) ,a b R∈ được biểu diễn bởi điểm M(a; b) hay bởi ( ) ,u a b= r trong mp(Oxy) (mặt phẳng phức). 3. Hai số phức bằng nhau ( ) ' ' ' , , ', ' ' a a a bi a b i a b a b R b b =  + = + ⇔ ∈  =  4. Cộng và trừ hai số phức  ( ) ( ) ( ) ' ' ' 'a bi a b i a a b b i+ + + = + + +  ( ) ( ) ( ) ' ' ' 'a bi a b i a a b b i+ − + = − + −  Số đối của z = a + bi là –z = -a – bi 5. Nhân hai số phức  ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' ' ' ' 'a bi a b i aa bb ab ba i+ × + = − + +  ( ) ( ) k a bi ka kbi k R+ = + ∈ 6. Số phức liên hợp Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là z a bi= − z z= ' 'z z z z± = ± . ' . ' ; ' ' z z z z z z z z   = =  ÷   2 2 .z z a b= + z là số thực z z⇔ = z là số ảo z z⇔ = − 7. Modul của số phức Cho số phức z = a + bi 2 2 .z a b z z OM= + = = uuuur 0, ; 0 0z z C z z≥ ∀ ∈ = ⇔ = O x y b a M (a,b) Trục thực Trục ảo sivantran@gmail.com - 01689583116 . ' . 'z z z z= ' ' z z z z = ' ' 'z z z z z z− ≤ ± ≤ + 8. Chia hai số phức  ( ) 1 2 1 0z z z z − = ≠  ' ' ' ' 1 2 . . . . z z z z z z z z z z z − = = = 9. Căn bậc hai của số phức  z = x + yi là căn bậc hai của số phức w = a + bi 2 2 2 x w 2 y a z xy b  − = ⇔ = ⇔  =   w = 0 có đúng một căn bậc hai là z = 0  w 0 ≠ có đúng hai căn bậc hai đối nhau  Hai căn bậc hai của a > 0 là a±  Hai căn bậc hai của a < 0 là .a i± − 10. Phương trình bậc hai ( ) 2 0 *Az Bz C+ + = (A, B, C là các số phức cho trước, 0)A ≠ Công thức nghiệm giống phương trình bậc 2 trên tập số thực Nếu 0 z C∈ là một nghiệm của (*) thì 0 z cũng là nghiệm của (*) 11. Dạng lượng giác của số phức  ( ) ( ) sin 0z r cos i r ϕ ϕ = + > là dạng lượng giác của số phức z = a + bi ( ) 2 2 0 sin r a b a z cos r b r ϕ ϕ   = +   ≠ ⇔ =    =    ϕ là một acgumen của z, ( ) ,Ox OM ϕ =  1z z cos isin ϕ ϕ = ⇔ = + II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TRONG CÁC ĐỀ THI Dạng tìm phần thực, phần ảo của một số phức Bài 1: Tìm phần thực, phần ảo của số phức i + (2 – 4i) – (3 – 2i) Giải: Ta có: i + (2 – 4i) – (3 – 2i) = ( 0 + 2) + (1- 4)i + (-3 + 2i) = (2 – 3) + (-3 + 2)i = -1 – i Vậy số phức đã cho có phần thực là – 1, phần ảo là – 1. Bài 2: Tìm phần thực, phần ảo của số phức ( ) ( ) 3 3 1 2i i− + − Giải: Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 3 3 3 3 1 1 3 1 3 1 2 2 2 2 8 i i i i i i i i − + = − + − + − + = + = × = − ( ) ( ) 3 3 1 2 2 10i i i⇒ − + − = + sivantran@gmail.com - 01689583116 Vậy số phức đã cho có phần thực là 2, phần ảo là 10. Bài 3: (A10) Tìm phần ảo của số phức z, biết ( ) ( ) 2 2 1 2z i i= + − Giải: Ta có: ( ) ( ) 1 2 2 1 2 5 2 5 2z i i i z i= + − = + ⇒ = − Phần ảo của số phức z bằng: 2.− Bài 4: (CD10) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện ( ) ( ) ( ) 2 2 3 4 1 3i z i z i− + + = − + . Tìm phần thực và phần ảo của z. Giải: Gọi z = a + bi ( ) ,a R b R∈ ∈ . Đẳng thức đã cho trở thành 6a + 4b - 2(a + b)i = 8 - 6i 6 4 8 2 2 2 6 5 a b a a b b + = = −   ⇔ ⇔   + = =   Vậy số phức z đã cho có phần thực là -2, phần ảo là 5 Bài 5: (CDA09) Cho số phức z thỏa mãn ( ) ( ) ( ) 2 1 2 8 1 2i i z i i z+ − = + + + . Tìm phần thực và phần ảo của z. Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 1 2 8 1 2i i z i i z+ − = + + + ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 2 8z i i i i   ⇔ + − − + = +   ( ) 2 2 1 2 8z i i i i⇔ − − − = +    ( ) ( ) 8 1 2 8 2 3 2 1 5 i i i z i i + − + ⇔ = = = − + Vậy số phức z đã cho có phần thực là 2, phần ảo là -3 Dạng tìm môđun của số phức Bài 1: (A10) Cho số phức z thỏa mãn ( ) 3 1 3 1 i z i − = − . Tìm môđun của số phức z iz+ Giải: Ta có: ( ) 3 1 3 8i− = − Do đó 8 4 4 4 4 1 z i z i i − = = − − ⇒ = − + − ( ) 4 4 4 4 8 8z iz i i i i⇒ + = − − + − + = − − Vậy 8 2.z iz+ = Dạng tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước Bài 1: (D10) Tìm số phức z thỏa mãn: 2z = và 2 z là số thuần ảo. Giải: Gọi z = a + bi ( ) ,a R b R∈ ∈ , ta có: 2 2 z a b= + và 2 2 2 2z a b abi= − + sivantran@gmail.com - 01689583116 Yêu cầu bài toán tỏa mãn khi và chỉ khi: 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 0 1 a b a a b a b b   + = = = ±    ⇔ ⇔    = ± − = =      Vậy các số phức cần tìm là: 1 + i; 1 – i; -1 + i; -1 – i. Bài 2: (B09) Tìm số phức z thỏa mãn: ( ) 2 10z i− + = và . 25z z = . Giải: Gọi z = a + bi ( ) ,a R b R∈ ∈ , Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 1 ;z i a b i− + = − + − Từ giả thiết ta có: ( ) 2 10z i− + = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 10 1a b⇔ − + − = và . 25z z = ( ) 2 2 25 2a b⇔ + = Giải hệ (1) và (2) ta được 3 5 4 0 a a b b = =   ∨   = =   Vậy các số phức cần tìm là: 3 4z i= + hoặc 5z = Bài 3: Tìm số phức z thỏa mãn: 2 0z z+ = Giải: Gọi z = x + yi ( ) ,x R y R∈ ∈ , khi đó ( ) 2 2 2 2 0 0z z x yi x y+ = ⇔ + + + = ( ) 2 2 2 2 2 0x y x y xyi⇔ − + + + = 2 2 2 2 0 2 0 x y x y xy  − + + =  ⇔  =   2 2 0 0 0 0 x y y y x x  =     − + =    ⇔  =      + =    ( ) ( ) 0 1 0 0 1 0 x y y y x x  =     − =    ⇔  =      + =    ( ) 0 0 1 0 0 1 0 x y y y x do x  =    =       = ⇔     =     = + >     0, 0 0, 1 0, 1 0, 0 x y x y x y x y  = =    = =   ⇔   = = −   = =   Vậy các số phức cần tìm là: 0; ;z z i z i= = = − Giải phương trình trên tập hợp các số phức Bài 1: (CD10) Giải phương trình ( ) 2 1 6 3 0z i z i− + + + = trên tập hợp các số phức. Giải: Phương trình có biệt thức ( ) ( ) 2 1 4 6 3 24 10i i i∆ = + − + = − − ( ) 2 1 5i= − Phương trình có hai nghiệm là: 1 2z i= − và 3 .z i= Bài 2: (A09) Gọi 1 z và 2 z là hai nghiệm phức của phương trình 2 2 10 0z z+ + = . Tính giá trị của biểu thức 2 2 1 2 A z z= + . sivantran@gmail.com - 01689583116 Giải: Ta có: 2 2 2 4.10 36 36i∆ = − = − = Phương trình có hai nghiệm là: 1 1 3z i= − + và 2 1 3 .z i= − − ( ) 2 2 1 1 3 10z = − + = và ( ) ( ) 2 2 1 1 3 10z = − + − = Vậy 2 2 1 2 20A z z= + = Bài 3: (CDA09) Giải phương trình sau trên tập hợp các số phức: 4 3 7 2 z i z i z i − + = − − Giải: Điều kiện: 1z ≠ − Phương trình đã cho tương đương với ( ) 2 4 3 1 7 0z i z i− + + + = Phương trình có biệt thức ( ) ( ) 2 4 3 4 1 7 3 4i i i∆ = + − + = − ( ) 2 2 i= − Phương trình có hai nghiệm là: 1 2z i = + và 3 .z i = + Dạng tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức (Quỹ tích) Bài 1: (D09) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện ( ) 3 4 2z i− − = . Giải: Gọi z = x + yi ( ) ,x R y R∈ ∈ , ta có: ( ) ( ) 3 4 3 4z i x y i− + = − + + Từ giả thiết ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 4 2 3 4 4x y x y− + + = ⇔ − + + = Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(3, -4), bán kính R = 2. Bài 2: (B10) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn: ( ) 1z i i z− = + Giải: Gọi z = x + yi ( ) ,x R y R∈ ∈ , ta có: ( ) 1z i i z− = + ( ) ( ) ( ) 1x y i x y x y i⇔ + − = − + + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1x y x y x y⇔ + − = − + + 2 2 2 1 0x y y⇔ + + − = ( ) 2 2 1 2x y⇔ + + = Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(0, -1), bán kính R = 2 . . ảo. Tập hợp số phức được kí hiệu là C. Số phức có phần ảo bằng 0 gọi là số thực nên R C⊂ . Số phức có phần thực bằng 0 gọi là số ảo. 0 = 0 + 0i là số vừa thực vừa ảo. 2. Biểu diễn hình học Số phức. − + ⇔ = = = − + Vậy số phức z đã cho có phần thực là 2, phần ảo là -3 Dạng tìm môđun của số phức Bài 1: (A10) Cho số phức z thỏa mãn ( ) 3 1 3 1 i z i − = − . Tìm môđun của số phức z iz+ Giải:. Số phức liên hợp Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là z a bi= − z z= ' 'z z z z± = ± . ' . ' ; ' ' z z z z z z z z   = =  ÷   2 2 .z z a b= + z là số